Функтори скруту та D-брани
Обговорюється категорний підхід до вивчення топологічних D-бран. Вивчаються функтори скруту та їх індукована дія на когомологічному кільці многовиду. Побудовано нетривіальний сферичний об'єкт похідної категорії когерентних пучків звідної плоскої особливої кривої третього степеня. We discuss a c...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165554 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функтори скруту та D-брани / І.І. Бурбан, І.М. Бурбан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 18–31. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165554 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бурбан, І.І. Бурбан, І.М. 2020-02-14T09:13:06Z 2020-02-14T09:13:06Z 2005 Функтори скруту та D-брани / І.І. Бурбан, І.М. Бурбан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 18–31. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165554 512.723 Обговорюється категорний підхід до вивчення топологічних D-бран. Вивчаються функтори скруту та їх індукована дія на когомологічному кільці многовиду. Побудовано нетривіальний сферичний об'єкт похідної категорії когерентних пучків звідної плоскої особливої кривої третього степеня. We discuss a categorical approach to the investigation of topological D-branes. Twist functors and their induced action on the cohomology ring of a manifold are studied. A nontrivial spherical object of the derived category of coherent sheaves of a reduced plane singular curve of degree 3 is constructed. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Функтори скруту та D-брани Twist Functors and D-Branes Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Функтори скруту та D-брани |
| spellingShingle |
Функтори скруту та D-брани Бурбан, І.І. Бурбан, І.М. Статті |
| title_short |
Функтори скруту та D-брани |
| title_full |
Функтори скруту та D-брани |
| title_fullStr |
Функтори скруту та D-брани |
| title_full_unstemmed |
Функтори скруту та D-брани |
| title_sort |
функтори скруту та d-брани |
| author |
Бурбан, І.І. Бурбан, І.М. |
| author_facet |
Бурбан, І.І. Бурбан, І.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2005 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Twist Functors and D-Branes |
| description |
Обговорюється категорний підхід до вивчення топологічних D-бран. Вивчаються функтори скруту та їх індукована дія на когомологічному кільці многовиду. Побудовано нетривіальний сферичний об'єкт похідної категорії когерентних пучків звідної плоскої особливої кривої третього степеня.
We discuss a categorical approach to the investigation of topological D-branes. Twist functors and their induced action on the cohomology ring of a manifold are studied. A nontrivial spherical object of the derived category of coherent sheaves of a reduced plane singular curve of degree 3 is constructed.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165554 |
| citation_txt |
Функтори скруту та D-брани / І.І. Бурбан, І.М. Бурбан // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 18–31. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT burbaníí funktoriskrututadbrani AT burbaním funktoriskrututadbrani AT burbaníí twistfunctorsanddbranes AT burbaním twistfunctorsanddbranes |
| first_indexed |
2025-11-25T22:13:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:13:40Z |
| _version_ |
1850560977651630080 |
| fulltext |
UDK 512.723
I. I. Burban (Un-t P’[ra ta Mari] Kgri, ParyΩ, ta Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka),
I. M. Burban (In-t teoret. fizyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY
We discuss the categorical approach to the study of topological D-branes. We investigate twist functors
and their induced action on the cohomology ring of a manifold. We construct a nontrivial spherical
object of a derived category of coherent sheaves of reduced plane singular curve of degree three.
Obhovorg[t\sq katehornyj pidxid do vyvçennq topolohiçnyx D-bran. Vyvçagt\sq funktory
skrutu ta ]x indukovana diq na kohomolohiçnomu kil\ci mnohovydu. Pobudovano netryvial\nyj
sferyçnyj ob’[kt poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv zvidno] plosko] osoblyvo] kryvo]
tret\oho stepenq.
1. Vstup. Vidomo, wo bahato pytan\, pov’qzanyx iz vyvçennqm mnohovydiv, vyma-
hagt\ doslidΩennq vlastyvostej katehori] koherentnyx puçkiv na cyx mnohovy-
dax. Vyqvlq[t\sq, wo movog homolohiçno] alhebry zruçno takoΩ formulgvaty
i rozv’qzuvaty bahato zadaç teoretyçno] fizyky. Protqhom ostann\oho desqty-
riççq sposteriha[t\sq intensyvne pronyknennq alhebra]çnyx metodiv, zokrema,
teori] poxidnyx katehorij, u teorig superstrun.
Odni[g z perßyx, qkwo ne perßog, robotog u c\omu naprqmku bula stattq
E. Zaslova [1], u qkij bulo zvernuto uvahu na ßyrokyj spektr zv’qzkiv najnovi-
ßyx rezul\tativ alhebra]çno] heometri] i homolohiçno] alhebry z rezul\tatamy,
oderΩanymy v N = 2 superkonformnij teori] polq (teoriq perebudov vynqtko-
vyx naboriv na mnohovydax Fano). A vtim, spravΩnij rezonans vyklykala robota
M. Koncevyça [2], v qkij proponuvalosq formulgvaty dzerkal\nu symetrig su-
perstrunnyx teorij typu IIA ta IIV qk ekvivalentnist\ dvox tryanhul\ovanyx
katehorij. A same, strunna teoriq typu IIV povnistg xarakteryzu[t\sq poxid-
nog katehori[g koherentnyx puçkiv na hladkomu kompleksnomu mnohovydi Ka-
labi – Qu X. Dzerkal\na do ne] teoriq typu IIA opysu[t\sq, v svog çerhu, po-
xidnog katehori[g Fuka] na dzerkal\nomu mnohovydi Kalabi – Qu X̂ . Kil\koma
rokamy pizniße Û. Pol\çyns\kyj [3] vidkryv isnuvannq D-bran u strunnyx teo-
riqx, wo spryçynylo vybux novyx doslidΩen\ u teori] superstrun.
Z toho çasu vidbulasq kardynal\na zmina pohlqdiv na sami strunni teori] qk z
teoretyçno], tak i z fenomenolohiçno] toçok zoru. Robota Û. Pol\çyns\koho
[3] stala poçatkom druho] superstrunno] revolgci].
Koncepciq D-bran harmonijno dopovnyla teorig homolohiçno] dzerkal\no]
symetri] M. Koncevyça. Dva pidxody do vyvçennq D-bran, superhravitacijnyj ta
vidkrytosuperstrunnyj, vyqvylys\ ekvivalentnymy. V ramkax ostann\oho pidxo-
du teoriq D-bran formulg[t\sq movog poxidnyx katehorij. Buduçy syntezom
dvox kul\tur, fizyçno] ta matematyçno], teoriq D-bran, u svog çerhu, vkazala
na al\ternatyvnyj ßlqx vyvçennq heometryçnyx katehorij.
Na pidtverdΩennq efektyvnosti ide] katehornoho pidxodu vyvçennq D-bran
moΩna navesty taki arhumenty:
1. D -brany typu IIV doslidΩuvalysq na rivni ]x topolohiçnyx zarqdiv [4].
Topolohiçnyj zarqd [ elementom kil\cq parnyx kohomolohij H X2*( , )C . Qkwo
F
• ∈ D
b ( Coh
X
) — topolohiçna brana, to ]] topolohiçnyj zarqd vyznaça[t\sq za
formulog
Q ( F
• ) : = ch ( F
• ) tdX ∈ H X2*( , )C .
Cej topolohiçnyj invariant (vektor Muka]) bulo vperße znajdeno u roboti [5]
nezaleΩno vid homolohiçno] teori] D-bran.
© I. I. BURBAN, I. M. BURBAN, 2005
18 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 19
2. Formalizm poxidnyx katehorij dozvolq[ opysaty zv’qzni stany, marhinal\-
nu stabil\nist\, rozsiqnnq i anihilqcig D-bran. Qkwo F
•
i G
•
— brana j anty-
brana, qki za dopomohog struny f : F
• → G
•
utvorggt\ zv’qznyj stan, to cej
zv’qznyj stan opysu[t\sq qk konus Cone ( f ) morfizmu f u poxidnij katehori]
koherentnyx puçkiv. ZauvaΩymo, wo my oderΩu[mo korektnu formulu dlq to-
polohiçnoho zarqdu zv’qznoho stanu:
Q ( Cone ( f ) ) = Q ( F
• ) – Q ( G
• ).
3. Dlq teori] D-bran u strunnij teori] typu IIV vaΩlyvu rol\ vidihra[
strunnyj prostir moduliv kelerovyx struktur Käh ( X ) mnohovydu X. U vypad-
ku, koly X [ povnym peretynom dyvizoriv u toryçnomu mnohovydi, Käh ( X )
moΩna vyznaçyty za dopomohog sklejky kelerovyx konusiv pevnyx biracional\-
nyx perebudov (flopiv) mnohovydu X [6] (rozdil 6.2). Za teoremamy O. Bondala
i D. Orlova [7] (teorema 3.6) ta T. BridΩelanda [8] (teorema 1.1) flopy ne zmi-
nggt\ poxidnu katehorig. Ce oznaça[, wo strunnyj prostir moduliv kelerovyx
struktur vyznaça[t\sq poxidnog katehori[g mnohovydu.
U cij roboti my rozhlqdatymemo topolohiçni BPZ (Bohomol\noho – Prasada
– Zommerfel\da) D-brany v superstrunnyx teoriqx typu IIV. Matematyçno vo-
ny ototoΩnggt\sq z ob’[ktamy poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
D
b ( CohX
) na kompaktyfikugçomu mnohovydi Kalabi – Qu X. Vyvçennq topolo-
hiçnyx D-bran za dopomohog poxidnyx katehorij moΩna rozhlqdaty qk uzahal\-
nennq K-teornoho opysu topolohiçnyx zarqdiv D-bran u heometryçnij fazi.
Metody poxidnyx katehorij dozvolqgt\ vyvçaty taki fizyçni xarakterystyky
D-bran, qk stabil\nist\ ta monodromig pry obxodi kontura navkolo osoblyvo]
toçky strunnoho prostoru moduliv kelerovyx struktur mnohovydu X. Peretvo-
rennq monodromi] na ob’[ktax poxidno] katehori] vyznaça[t\sq deqkym funkto-
rom skrutu Zajdelq – Tomasa [9]. Meta roboty — bil\ß detal\ne vyvçennq
struktury poxidnyx katehorij koherentnyx puçkiv na deqkyx proektyvnyx mno-
hovydax, zokrema, pobudova ]x avtoekvivalentnostej ta sferyçnyx ob’[ktiv. U
roboti takoΩ pobudovano novyj typ avtoekvivalentnostej poxidnyx katehorij,
qki uzahal\nggt\ funktory skrutu Zajdelq – Tomasa [9] ta teleskopni funk-
tory Lencinha – Mel\tcera [10]. My takoΩ da[mo stverdnu vidpovid\ na zapy-
tannq roboty O.IPoliwuka [11] pro isnuvannq vidminnyx vid strukturnyx puçkiv
hladkyx toçok kryvo] ta prostyx rozßaruvan\ sferyçnyx ob’[ktiv u katehori]
D
b ( CohX
) , de X — ploska kubiçna kryva, qka [ transversal\nym peretynom
koniky ta prqmo].
Poxidnym katehoriqm ta peretvorenng Fur’[ – Muka] prysvqçeno ohlqdovu
robotu [12]. U danij roboti my akcentu[mo uvahu na aspektax poxidnyx katehorij
koherentnyx puçkiv, qki ne rozhlqnuti u roboti D. Orlova, ta deqkyx pytannqx
homolohiçno] teori] D-bran.
2. Poxidni katehori]. Nahada[mo deqki vlastyvosti poxidnyx katehorij ko-
herentnyx puçkiv na proektyvnyx mnohovydax. Za vyznaçennqm ta osnovnymy
vlastyvostqmy poxidnyx ta tryanhul\ovanyx katehorij moΩna zvernutysq do
monohrafi] [3].
Skladnist\ poxidno] katehori] D
b ( A ) abelevo] katehori] A xarakteryzu[t\-
sq ]] homolohiçnog rozmirnistg gl. dim ( A ). U najprostißomu vypadku, koly
gl. dim ( A ) = 0, katehoriq A [ napivprostog, bud\-qkyj ob’[kt A [ proektyv-
nym i poxidna katehoriq D
b ( A ) ekvivalentna prqmij sumi katehorij ⊕ ∈i iZ A ,
de Ai = A dlq i ∈
Z. U vypadku gl. dim ( A ) = 1 klasyfikaciq nerozkladnyx
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
20 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
ob’[ktiv poxidno] katehori] D
b ( A ) takoΩ zvodyt\sq do klasyfikaci] neroz-
kladnyx ob’[ktiv samo] katehori] A
.
Nahada[mo, wo symvol [ n ], n = 0, 1, 2, 3, …
, [ standartnym poznaçennqm
zsuvu danoho kompleksu na n pozycij livoruç.
Teorema 1. Nexaj X — hladka proektyvna kryva. U poxidnij katehori] kohe-
rentnyx puçkiv D
b ( CohX
) isnugt\ dva typy nerozkladnyx ob’[ktiv:
1) zsuvy xmaroçosiv 0 → Ox
/ � x
k → 0, x ∈ X, k ∈
N;
2) zsuvy nerozkladnyx rozßaruvan\ 0 → E → 0.
Dovedennq. Vnaslidok toho, wo Ext
2 ( –, – ) = 0, katehoriq koherentnyx
puçkiv CohX ma[ homolohiçnu rozmirnist\ 1 i za teoremog A. Dol\da [12] F
• �
� ( H
• ( F
• ), 0 ) dlq vsix F
• ∈ Ob ( D
b ( Coh
X
) ). Ce oznaça[, wo
F
• �
⊕ → ( ) →( ) −[ ]
∈
•
i
iH i
Z
0 0F .
Takym çynom, bud\-qkyj ob’[kt poxidno] katehori] [ izomorfnym prqmij sumi
zsuviv koherentnyx puçkiv. Tomu klasyfikaciq nerozkladnyx kompleksiv zvo-
dyt\sq do klasyfikaci] koherentnyx puçkiv.
Nexaj F — koherentnyj puçok na X. Ma[mo korotku toçnu poslidovnist\
0 → tor ( F ) → F → F / tor ( F ) → 0,
de tor ( F ) — skrut puçka F. Puçok F / tor ( F ) [ puçkom bez skrutu. Oskil\ky
kryva [ hladkog, to vin [ lokal\no vil\nym. Tomu Ext tor tor1 F F F/ ( ) ( )( ), = 0.
Funktory E xt
1
i Ext
1
pov’qzani spektral\nog poslidovnistg Û. Lere. A sa-
me, Hom ( –, – ) = Γ ° Hom ( –, – ), tomu H p qE F Gxt ,( )( ) ⇒ Ext p q+ ( )F G, . Iz ci[]
lokal\no hlobal\no] spektral\no] poslidovnosti oderΩu[mo toçnu poslidov-
nist\
0 → E2
1 0, → H
1 → E2
0 1, → E2
0 2, → H
2 → …
,
abo bil\ß konkretno,
0 → H
1 ( Hom ) → Ext
1 → H
0 ( E xt
1 ) → 0.
Ale nosij puçka H F F Fom tor tor/ ( ) ( )( ), [ pidmnoΩynog nosiq puçka tor ( F ).
Tomu funktor tor ( F ) takoΩ [ xmaroçosom i
H
1 H F Fom tor/ ( )(( , tor F( ))) = 0.
Zvidsy oderΩu[mo
Ext tor tor1 F F F/ ( ) ( )( ), =
H0 1E F F Fxt tor tor/ ( ) ( )( )( ), = 0.
Takym çynom, F = tor ( F ) ⊕ F / tor ( F ) [ koherentnym puçkom na hladkij kryvij,
izomorfnym prqmij sumi xmaroçosiv ta rozßaruvan\. Zalyßylosq zauvaΩyty,
wo nerozkladni xmaroçosy — ce Ox
/
� x
k
. Ce vyplyva[ iz faktu, wo katehoriq
koherentnyx puçkiv iz nosi[m u toçci x ekvivalentna katehori] skinçennovymir-
nyx moduliv nad lokal\nym kil\cem Ox
, qke u vypadku hladko] kryvo] [ kil\cem
dyskretnoho normuvannq dlq bud\-qko] toçky x ∈ X.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 21
Pryklad 1. Nerozkladnymy ob’[ktamy Db( )Coh
P
1 [ zsuvy xmaroçosiv
0 → Ox
/
� x
k → 0,
de x ∈
P
1
, k ∈
N, ta zsuvy linijnyx rozßaruvan\
0 → O ( n ) → 0, n ∈
Z.
Lema 1 (dyv. [13], hl. III.5). Nexaj A — abeleva katehoriq. Rozhlqnemo
funktor A → D b ( A ), qkyj vidobraΩa[ ob’[kt F u kompleks 0 →
→
F
0-ve misce
� → 0.
1. Cej funktor [ povnym i strohym.
2. Qkwo kompleks F
• ∈ D
b ( CohX
) ma[ lyße odnu netryvial\nu
kohomolohig H
0 ( F
• ), to
F
• � 0 00→ ( ) →( )•H F .
3. Nexaj F, G ∈ CohX . Ma[ misce izomorfizm
Hom F G, i[ ]( ) = Ext
i ( F, G ).
Ce oznaça[, wo katehoriq koherentnyx puçkiv [ ekvivalentnog povnij pidkateho-
ri] poxidno] katehori], qka sklada[t\sq z kompleksiv, u qkyx lyße nul\ova homo-
lohiq ne dorivng[ nulg.
Pryklad 2. Nexaj X = P 1
. Todi Ext1 2O O( ),( ) = H1 2O( )−( ) = k. Prointer-
pretu[mo cej izomorfizm movog poxidnyx katehorij. Ma[ misce korotka toçna
poslidovnist\ Ejlera
0 → O → O ( 1 ) ⊕ 2 → O ( 2 ) → 0.
Tomu oderΩu[mo morfizm iz O ( 2 ) [ – 1 ] v O
:
0 0 2 0
0 1 0
0 0 0
2
→ → →
↑ ↑
→ → →
↓ ↓
→ → →
⊕
O
O O
O
( )
( )
.
id
Cej morfizm [ kompozyci[g morfizmu, obernenoho do kvaziizomorfizmu, ta zvy-
çajnoho morfizmu kompleksiv.
Iz teoremy 1 ta lemy 1 otrymu[mo takyj naslidok.
Naslidok 1. Nexaj X — hladka proektyvna kryva. Poxidna katehoriq kohe-
rentnyx puçkiv D
b ( CohX
) ma[ vnutrißnij opys u terminax katehori] koherent-
nyx puçkiv:
1) nerozkladnymy ob’[ktamy [ zsuvy koherentnyx puçkiv F [ i ];
2) ma[ misce izomorfizm Hom F Gi j[ ] [ ]( ), = Ext j i− ( )F G, ;
3) kompozyciq morfizmiv zada[t\sq dobutkom Jonedy.
U vypadku osoblyvyx kryvyx ta mnohovydiv vywo] rozmirnosti cq teorema ne
ma[ miscq. Dlq mnohovydiv vywo] rozmirnosti v poxidnij katehori] isnugt\
kompleksy, qki ne izomorfni sumi svo]x kohomolohij. Vnaslidok c\oho poxidna
katehoriq koherentnyx puçkiv [ skladnym alhebro-heometryçnym ob’[ktom.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
22 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
3. Funktory skrutu. Pry vyvçenni dzerkal\no] symetri] pryrodno vynyklo
pytannq vstanovlennq ekvivalentnosti poxidnyx katehorij koherentnyx puçkiv
[2]. Qk vidomo [4], taka ekvivalentnist\ dlq hladkyx proektyvnyx mnohovydiv X
ta Y vstanovlg[t\sq peretvorennqm Fur’[ – Muka]
ΦX Y→ ( )P F =
R
L
π πY X*
* F P( ) ⊗
,
de P ∈ D ( X × Y ), πX , πY — zadani proekci] X π X← X × Y πY → Y , RπY*( – )
— pravyj poxidnyj funktor prqmoho obrazu vidobraΩennq πY . U vypadku, ko-
ly mnohovydy X ta Y zbihagt\sq, a qdro peretvorennq Fur’[ – Muka] ma[
vyhlqd
P =
Cone E E O∨ →{ }� j X*
,
j : X → X × X — diahonal\ne vkladennq, E ∈ D ( CohX
) , funktor Fur’[ – Muka]
zvodyt\sq do funktora skrutu TE
( F ) [9].
Cej klas funktoriv [ zruçnym dlq doslidΩennq zv’qzku miΩ poqvog bezma-
sovyx B-typu D-bran dlq deqkyx toçok kelerovoho prostoru moduliv mnohovy-
du ta monodromi[g navkolo cyx toçok, a takoΩ dlq obçyslennq v dovil\nij toç-
ci prostoru moduliv kompleksyfikovanyx kelerovyx form spektra BPZ solito-
niv deqkyx supersymetryçnyx teorij Qnha – Milsa.
Nexaj X — proektyvnyj alhebra]çnyj mnohovyd iz wonajbil\ß horenßtej-
novymy osoblyvostqmy. Nexaj � — povna pidkatehoriq homotopiçno] katehori]
in’[ktyvnyx kvazikoherentnyx puçkiv K Q XI Coh+ ( ), qka sklada[t\sq iz komp-
leksiv iz skinçennog kil\kistg netryvial\nyx homolohij, qki [ koherentnymy
puçkamy. Todi � ekvivalentna poxidnij katehori] D
b ( CohX
).
Nexaj E ∈ � — ob’[kt, izomorfnyj obmeΩenomu kompleksu in’[ktyvnyx
moduliv. Oskil\ky mnohovyd X horenßtejnovyj, ce ekvivalentno tomu, wo E [
perfektnym kompleksom.
Oznaçennq 1 [9] (oznaçennq 2.5). Vyznaçymo funktor skrutu T E
: � → �
za pravylom
TE
( F ) =
hom ,E F E F( ) ⊗ →{ }ev
.
Take oznaçennq dozvolq[ korektno vyznaçyty TE na morfizmax. Bil\ß konk-
retno, na ob’[ktax TE vyznaça[t\sq takym çynom:
TE
( F ) : = Cone Hom
End( ) ev⊕ [ ]( ) ⊗ [ ] →
∈i
i i
Z
E F E F
E
, ,
de ev — morfizm evalgaci].
Lema 2 [9] (lema 2.8). Funktor skrutu TE ma[ livyj sprqΩenyj funktor
′TE , qkyj vyznaça[t\sq za pravylom
′ ( )TE F = ev : lin hom′ → ( )( ){ }F F E E, , .
Na ob’[ktax katehori] funktor ′TE vyznaça[t\sq takym çynom:
′TE ( F ) : =
Cone Homev End( )
F F E E
E′
∈
∨ → ⊕ [ ]( ) ⊗ [ ]
i
i i
Z
, .
Poznaçymo çerez τ : Db
Xperf Coh( ) → Db
Xperf Coh( ) funktor Serra poxidno]
katehori] perfektnyx kompleksiv Db
Xperf Coh( ).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 23
Teorema 2. Prypustymo, wo E 1
, E2
, … , E
m — nabir ob’[ktiv Db
Xperf Coh( )
takyj, wo:
1) τ ( E
i
) = E
i
+
1
[ N ], de N = dim ( X ), E
m
+
1 = E1
;
2) Hom E Ei j s, [ ]( ) =
k, , ,
.
qkwo ta abo ta
u reßti vypadkiv
i j s i j s N= = = + =
−
0 1
0
N e x a j E =
⊕
=i
m
i
1
E . Todi funktor TE [ ekvivalentnistg katehori]
Db
Xperf Coh( ) i ′TE [ kvaziobernenym do TE
.
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo koly nabir E
1
, E
2
, … , E
m iz navedenymy
vlastyvostqmy sklada[t\sq z odnoho elementa E
, to E bude sferyçnym [9].
Dovedennq ci[] teoremy [ analohiçnym dovedenng teoremy 2.10 z [9] . Ma[ misce
taka komutatyvna diahrama:
hom , hom , hom , , hom ,
hom ,
.
E F E E F E E E E F E
F F E F
F
E
E
E E
( ) ⊗ → ( )( )( ) ⊗ → ′ ( )( ) ⊗
↓ ↓ ↓
→ ( )( ) → ′ ( )
↓
′ ( )
δ
α
β
γ
lin
lin
T
T
T T
Oskil\ky konus morfizmu kompleksiv
f : K → T [ total\nym kompleksom vid-
povidnoho bikompleksu, to T TE E F′ ( ) [ total\nym kompleksom 3-vymirnoho
kompleksu
hom lin
lin
E F E E F E E E
F F E E
, hom , hom , ,
hom , , .
( ) ⊗ → ( )( )( ) ⊗
↓ ↓
→ ( )( )
δ
α
β
γ
Monomorfizm kompleksiv
hom , hom , ,E F E E Elin ( )( )( ) ⊗ ⊂→ lin hom , , hom ,F E E E E( ) ( ) ⊗( )
[ kvaziizomorfizmom. Bil\ß toho, ma[ misce komutatyvna diahrama
hom , hom , , hom , , hom ,
hom , , hom , , ,
E F E E E F E E E E
F E E F E E
lin lin
lin lin
( )( )( ) ⊗ → ( ) ( ) ⊗( )
↓ ↓
( )( ) → ( )( )=
γ γ
de morfizm γ indukovanyj morfizmom hom ,E E( ) ⊗ E → E. Tomu T TE E F′ ( ) [
total\nym kompleksom 3-vymirnoho kompleksu
hom lin
lin
E F E F E E E E
F F E E
, hom , , hom ,
hom , , .
( ) ⊗ → ( ) ( ) ⊗( )
↓ ↓
→ ( )( )
δ
α γ
β
Teper zauvaΩymo, wo morfizm kompleksiv γ : lin hom F E,( )( , hom E E E,( ) ⊗ ) →
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
24 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
→ lin hom F E E, ,( )( ) rozweplg[t\sq, tomu T TE E F′ ( ) [ total\nym kompleksom
3-vymirnoho kompleksu
hom linE F E F E E E
E E
E
F
, hom , ,
hom ,
hom ,
.
( ) ⊗ → ( ) ( )
( )
⊗
↓ ↓
→
′δ
α
0
0
Zalyßylosq zauvaΩyty, wo vidobraΩennq
δ ′ : hom ,E F( ) ⊗ E →
lin hom , ,
hom ,
hom ,
F E E E
E E
E( ) ( )
( )
⊗
0
[ kvaziizomorfizmom, tomu wo
H*( )′δ : Hom*
� E F,( ) ⊗ H
* E( ) →
→ Hom*
� F E,( )∨ ⊗
End( )E
Hom
Hom
*
0
�
�
E E
E E
,
,
( )
( )
⊗ H* E( )
[ izomorfizmom.
VidobraΩennq Hi ( )′δ [ izomorfizmom dlq vsix i ∈
Z, oskil\ky zhidno iz
dvo]stistg Serra vidobraΩennq
Homi E F,( ) × HomN i− ( )F E, → HomN E E,( )
[ izomorfizmom i usi endomorfizmy E magt\ stepin\ 0 abo N.
Rozhlqnemo deqki pryklady.
Pryklad 3. Nexaj X — hladka proektyvna K 3-poverxnq. Za oznaçennqm
dualizugçyj puçok X [ tryvial\nym: ωX = O i, krim toho, H 1 ( O ) = 0. Todi
strukturnyj puçok O [ sferyçnym: O = τ ( O ) [ – 2 ] i Hom O O, s[ ]( ) = k dlq
s = 0 i 0 dlq s ≠ 0. Vidpovidnyj funktor
TO : D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
)
vperße rozhlqnuto u roboti S. Muka] [16] pid nazvog „funktor vidbyttq”.
Pryklad 4. Nexaj X — poverxnq Enrikvesa. Za oznaçennqm kvadrat kano-
niçnoho puçka [ tryvial\nym: ω X
⊗2 = O, i, krim toho, vykonugt\sq taki umovy
dlq kohomolohij ci[] poverxni:
H 0 H 1 H 2
O k 0 0
ω 0 0 k
Oskil\ky funktor Serra τ poxidno] katehori] D
b ( CohX
) dorivng[ – ⊗ ωX
[ 2 ],
to para ( O, ωX
) zadovol\nq[ umovy teoremy 2. Funktor T
XO ⊕ω u neqvnomu
vyhlqdi bulo rozhlqnuto u roboti S. Zube [17]. ZauvaΩymo, wo bud\-qka poverx-
nq Enrikvesa [ orbifoldnym faktorom pevno] K 3-poverxni vidnosno di] hru-
pyIIZ
2
.
Pryklad 5. Nexaj X — zvaΩena proektyvna prqma virtual\noho rodu 1
[10]. Kolçan Auslendera – Rajten poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 25
D
b ( CohX
) sklada[t\sq lyße iz trub, i tomu orbita bud\-qkoho nerozkladnoho
koherentnoho puçka vidnosno translqci] Auslendera – Rajten [ skinçennog.
Nexaj A1 = O, A1
, … , Am — orbita Auslendera – Rajten strukturnoho puçka
prqmo] X. Todi nabir Ai i m1 ≤ ≤{ } zadovol\nq[ umovy teoremy 2. Funktory
TA
, de A = = A1 ⊕ A2 ⊕ … ⊕ A
m
, rozhlqdalys\ u roboti X. Mel\tcera i
X.ILencinha pid nazvog „teleskopni funktory” [10], qki daly zmohu klasyfiku-
vaty vsi nerozkladni ob’[kty katehori] D
b ( CohX
).
4. Topolohiçnyj zarqd D-bran typu IIV. Vidomo, wo katehoriq topolo-
hiçnyx D-bran typu IIV zbiha[t\sq z poxidnog katehori[g koherentnyx puçkiv na
mnohovydi Kalabi – Qu X. U c\omu rozdili my rozhlqnemo ponqttq topolohiçno-
ho zarqdu topolohiçno] B-brany ta proilgstru[mo joho na prykladi kvintyky —
hiperpoverxni 5-ho stepenq v P
4
.
Rozhlqnemo rozßaruvannq E na mnohovydi Kalabi – Qu X. Vono xaraktery-
zu[t\sq joho topolohiçnymy invariantamy, klasamy ÇΩenq ci
( E ) ∈ H
2 i ( X ; C ).
Nahada[mo ]xni osnovni vlastyvosti:
a) ci
( E
∨ ) = ( –1 ) i ci
( E );
b)
c fi
* E( )( ) = f ci
* E( )( ) dlq bud\-qkoho morfizmu f : X → Y kompleksnyx
mnohovydiv X, Y;
c) povnyj klas ÇΩenq linijnoho rozßaruvannq E = L ( D ), asocijovanoho iz
dyvizorom Vejlq D, obçyslg[t\sq za formulog c ( E ) = 1 + [ D ].
ZauvaΩymo, wo D [ pidmnohovydom dijsno] korozmirnosti 2, tomu dvo]styj
za Puankare kocykl naleΩyt\ H
2 ( X; C ). Iz mnohovydom X asocig[t\sq kil\ce
Hrotendyka K ( X ).
Oznaçennq 2. Qk abeleva hrupa, K ( X ) porodΩu[t\sq klasamy izomorfizmu
vektornyx rozßaruvan\ E[ ] ta spivvidnoßennqmy
E[ ] = ′[ ]E + ′′[ ]E ,
de 0 → E ′ → E → E ′′ → 0 — korotka toçna poslidovnist\ rozßaruvan\. Do-
butok v K ( X ) induku[t\sq tenzornym dobutkom vektornyx rozßaruvan\ E[ ] ⋅
⋅ ′[ ]E = E E⊗ ′[ ].
Xarakter ÇΩenq ch ( E ) rozßaruvannq E ranhu r ta klasamy ÇΩenq
ci
= ci
( E ) vyznaça[t\sq za formulog
ch ( E ) = r + c1 +
1
2
21
2
2c c−( ) +
1
6
3 31
3
1 2 3c c c c− +( ) +
+
1
24
4 4 2 41
4
1
2
2 1 3 2
2
4c c c c c c c− + + −( ) + … .
Teorema 3 (dyv. [18], dodatok A). Xarakter ÇΩenq vyznaça[ homomorfizm
kilec\
ch : K ( X ) → H
2 * ( X; C ), ch ( E ⊗ F ) = ch ( E ) ∧ ch ( F ),
de ∧ poznaça[ zovnißnij dobutok dyferencial\nyx form.
Nahada[mo formulgvannq teoremy Rimana – Roxa – Xircebruxa.
Teorema 4 (dyv. [18], dodatok A). Nexaj E — lokal\no vil\nyj puçok na X,
F — dovil\nyj koherentnyj puçok. Vyznaçymo ejlerovu xarakterystyku puçkiv
(„formu peretynu”) E i F
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
26 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
χ ( E , F ) : =
i
i i
X
∈
∑ − ( )
Z
C
( ) dim ,1 ExtO E F .
Todi ma[ misce spivvidnoßennq
χ ( E , F ) =
X
X∫ ∨( ) ∧ ( ) ∧ch ch tdE F .
Nahada[mo, wo klas Toda vektornoho rozßaruvannq E vyznaça[t\sq za for-
mulog
td ( E ) = 1 +
1
2 1c +
1
12 1
2
2c c+( ) +
1
24 1 2c c –
–
1
720
4 31
4
1
2
2 2
2
2 3 4c c c c c c c− − − +( ) + … .
Symvol tdX poznaça[ td ( TX
), de TX — dotyçne rozßaruvannq mnohovydu X. U
vypadku mnohovydu Kalabi – Qu X perßyj klas ÇΩenq zanulq[t\sq c1
( X ) =
= 0. Tomu formula dla klasu Toda mnohovydu Kalabi – Qu X rozmirnosti 3 i
menße nabyra[ prostißoho vyhlqdu
tdX = 1 +
1
12 2c X( ) .
Zokrema, klas Toda eliptyçno] kryvo] [ tryvial\nym, tdX = 1.
ZauvaΩennq 1. Hrupu K ( X ) moΩna ekvivalentnym çynom vyznaçyty qk
hrupu, porodΩenu klasamy izomorfizmiv kompleksiv katehori] D
b ( CohX
). Qkwo
E ′ • → E • → E ′′ • → E ′ • [ 1 ]
— vydilenyj trykutnyk, to
[ E • ] = [ E
′• ] + [ E ′′• ]. Dobutok u kil\ci induku-
[t\sq poxidnym tenzornym dobutkom u poxidnij katehori] • ⊗
L
•.
Teorema Rimana – Roxa – Xircebruxa uzahal\ng[t\sq na poxidnu katehorig
koherentnyx puçkiv D
b ( CohX
). Qk i dlq koherentnyx puçkiv, my moΩemo vyzna-
çyty ejlerovu xarakterystyku („formu peretynu”) dvox kompleksiv (topolohiç-
nyx D-bran) E •
i F •
:
χ ( E •, F • ) =
i
i i
∈
• •∑ − [ ]( )
Z
C
( ) dim ,1 Hom E F .
Ejlerova xarakterystyka [ adytyvnog po vidnoßenng do vydilenyx trykutny-
kiv. Zastosuvavßy funktor
Hom −( )•, F do vydilenoho trykutnyka
E ′ • → E • → E ′′ • → E ′ • [ 1 ],
oderΩu[mo acykliçnyj kompleks skinçennovymirnyx vektornyx prostoriv
… → Hom ( E ′ •, F • ) → Hom ( E •, F • ) →
→ Hom ( E ′′ •, F • ) → Hom ( E ′ •, F • [ 1 ] ) → … .
Zvidsy vyplyva[, wo ejlerova xarakterystyka acykliçnoho kompleksu dorivng[
nulg, tomu vykonu[t\sq spivvidnoßennq
χ ( E •, F • ) = χ ( E ′ •, F • ) + χ ( E ′′ •, F •).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 27
Oznaçennq 3. Vyznaçymo xarakter ÇΩenq kompleksu E • za formulog
ch ( E • ) =
i
i i
∈
∑ − ( )
Z
( )1 ch E .
Standartni arhumenty pokazugt\, wo cq formula ne zaleΩyt\ vid vyboru
lokal\no vil\noho predstavnyka E •
i zaleΩyt\ lyße vid klasu kohomolohij
kompleksu.
Tomu moΩna sformulgvaty teoremu Rimana – Roxa – Xircebruxa dlq poxid-
nyx katehorij, qka [ bezposerednim naslidkom standartno] teoremy Rimana – Ro-
xa – Xircebruxa.
Teorema 5. Nexaj ejlerova xarakterystyka („forma peretynu”) dvox
kompleksiv E • i F • katehori] D
b ( CohX
) vyznaça[t\sq za formulog
χ ( E •, F • ) =
i
i i
∈
• •∑ − [ ]( )
Z
( ) dim ,1 Hom E F .
Todi
χ ( E •, F • ) =
X
X∫ •∨ •( ) ∧ ( ) ∧ch ch tdE F .
Oznaçennq 4. Nexaj E • — deqkyj kompleks (D-brana) iz D
b ( CohX
). Todi
v ( E • ) : = ch ( E • ) ∧ tdX
nazyva[t\sq vektorom Muka] ( topolohiçnym zarqdom) kompleksu E • ( D-
brany).
Nexaj X — mnohovyd Kalabi – Qu. Na pidstavi vykladenoho vywe z koΩnym
sferyçnym ob’[ktom E poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv asocig[t\sq pev-
nyj funktor skrutu TE
: D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
) . Skrut Zajdelq – Tomasa [
dzerkal\nym dvijnykom symplektomorfizmu Dena. Zrozumilo, wo diq TE na K-
hrupi poxidno] katehori] ma[ vyhlqd
[ F ] � TE F( )[ ] = F[ ] – χ ( E •, F • ) [ E ].
Na rivni topolohiçnyx zarqdiv my ma[mo peretvorennq H
2 • ( X; C ) → H
2 • ( X; C ):
γ � γ –
X
X∫ ∨( ) ∧ ∧
( )ch td chE Eγ .
Zokrema, u vypadku E = O otrymu[mo
γ � γ –
X
X∫ ∧
⋅γ td 1.
Provedemo konkretni pidraxunky dlq kvintyky v P
4
. Nasampered my povynni
pidraxuvaty ]] kohomolohiçne kil\ce.
Lema 3. Kil\ce parnyx kohomolohij kvintyky X dorivng[ C [ t ] / t
3
.
Dovedennq. Iz korotko] toçno] poslidovnosti
0 →
O
P4 5( )− →
O
P4 → OX → 0
vyplyva[, wo H
1 ( OX
) = H
2 ( OX
) = 0. Tomu h1, 0 ( X ) = h2, 0 = 0. Vykorystovugçy
spivvidnoßennq h
p, q
= h
q, p
(teorema XodΩa pro izomorfizm) ta h
p, q
= h
3 – p, 3 – q
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
28 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
(teorema dvo]stosti Koda]ry – Serra, dyv. [19, c. 116]), znaxodymo vyhlqd romba
XodΩa
b
b
b h
b h h
b h
b
b
0
1
2
1 1
3
2 1 2 1
4
1 1
5
6
1
0 0
0 0
1 1
0 0
0 0
1
,
, ,
,
.
Tut h1, 1
[ rozmirnistg prostoru moduliv kelerovyx struktur mnohovydu X. Vi-
domo, wo cej prostir moduliv u vypadku kvintyky [ odnovymirnym. Tomu b0 =
= b2 = b4 = b6 = 1. Nexaj i : X → P
4
— morfizm vkladennq. Vin induku[ mor-
fizm kilec\ kohomolohij H
* ( i ) : H
* ( P
4; C ) → H * ( X; C ). Kohomolohiçne kil\ce
proektyvnoho prostoru P
4
zoseredΩene lyße u parnyx rozmirnostqx ta doriv-
ng[ C [ t ] / t
4
. MoΩna dovesty, wo indukovane vidobraΩennq kohomolohiçnyx ki-
lec\ u vypadku kvintyky, vkladeno] v P
4
, [ epimorfizmom. Tomu iz pidraxunkiv
rozmirnostej hrup kohomolohij vyplyva[, wo H
2 * ( X; C ) = C [ t ] / t
3
, de klas t [
dvo]stym do klasu hiperploskoho peretynu t =
c X1 1 1O
P
( )( ) mnohovydu X.
Takym çynom, diq TO na kil\ci H
2 * ( X; C ) zada[t\sq pevnog (4 × 4)-mat-
ryceg. Dlq obçyslennq ]] qvnoho vyhlqdu nam neobxidno pidraxuvaty klas Toda
mnohovydu X. Rozhlqnemo korotku toçnu poslidovnist\
0 → TX →
T
P4 X → N
X |P4 → 0,
de
N
X |P4 — konormal\ne rozßaruvannq do X. Ci[] poslidovnosti vyqvlq[t\sq
dosyt\ dlq pidraxunku klasiv ÇΩenq mnohovydu X.
1. Dotyçne rozßaruvannq
T
P4 vyznaça[t\sq korotkog toçnog poslidovnis-
tg Ejlera
0 →
O
P4 →
O
P4 1 5( )⊕ →
T
P4 → 0.
2. Poznaçymo çerez I puçok idealiv dlq kvintyky X. Todi I � O
P4 5( )− i
N
X |P4 =
I I/( )∨2 = O OO( )− ⊗( )∨X X . Inßymy slovamy, N
X |P4 = O( )5 X .
Nexaj H ⊂ P
4
— hiperplowyna, D = H M . Oskil\ky N = OX
( 5 D ), to
ct
( N ) = 1 + 5 D ⋅ t.
Ma[mo
ct T
P4( ) = ( 1 + H t )
5 = 1 + 5 H ⋅ t + 10 H
2 ⋅ t
2 + 10 H
3 ⋅ t
3 + 5 H
4 ⋅ t
4
. To-
mu
ct XT
P4( ) = 1 + 5 D ⋅ t + 10 D
2 ⋅ t
2 + 10 D
3 ⋅ t
3
. Nareßti, my moΩemo pidraxu-
vaty povnyj klas ÇΩenq dotyçnoho rozßaruvannq TX :
ct
( TX
) =
1 5 10 10
1 5
2 2 3 3+ ⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅
D t D t D t
D t
= 1 + 10 D
2 ⋅ t
2 – 40 D
3 ⋅ t
3
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 29
Iz formuly dlq klasu Toda vyplyva[, wo tdX = 1 + c2 / 12+ 5 D
2
/ 6. Nahada[mo,
wo funktor skrutu TO di[ na H
2 * ( X; C ) za pravylom
γ � γ –
X
X∫ ∧( )⋅γ td 1.
ZauvaΩymo, wo
X
D∫ 3 = 5. Tomu u bazysi 1, D, D
2
, D
3
skrut TO induku[ li-
nijne peretvorennq, qke zada[t\sq matryceg
T =
1
25
6
0 5
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
− −
.
U vypadku, koly avtoekvivalentnist\ poxidno] katehori] D
b ( CohX
) zada[t\sq:
⋅ ⊗ O ( D ) : D
b ( CohX
) → D
b ( CohX
),
indukovane vidobraΩennq v kohomolohiqx ma[ vyhlqd
γ � γ ∧ ch O( )D( ).
Oskil\ky ch O( )D( ) = 1 + D + D
2
/ 2 + D
3
/ 6, to u bazysi 1, D, D 2
, D 3
vono za-
da[t\sq matryceg
S =
1 0 0 0
1 1 0 0
1
2
1 1 0
1
6
1
2
1 1
.
ZauvaΩymo, wo ( T S )5 = 1
. Vyqvlq[t\sq, wo ce ne vypadkovist\: ma[ misce riv-
nist\ T OO � ( )D( )5 = [ 2 ]. Ce tverdΩennq bulo sformul\ovane qk hipoteza
M.IKoncevyçem ta dovedeno pizniße P. Xor’q ta P. Zajdelem (neopublikovano).
Lema 4. Hrupa Pikara kvintyky dorivng[ Z. Zokrema, linijni rozßaruvannq
vyznaçagt\sq ]x stepenqmy.
Dovedennq. Rozhlqnemo korotku toçnu poslidovnist\
0 → Z → O exp → O * → 0.
Oskil\ky H
1( O ) = H
2( O ) = 0, to iz dovho] toçno] poslidovnosti vyplyva[, wo
poslidovnist\
0 → H
1( O * ) deg → H
2 ( M; Z ) → 0
[ toçnog. Ale H
1( O * ) = Pic ( M ), a H
2 ( M; Z ) = Z.
Pryklad 6. Pidraxu[mo topolohiçnyj zarqd linijnoho rozßaruvannq O ( 1 ):
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
30 I. I. BURBAN, I. M. BURBAN
Q O( )1( ) = ch tdO D
X5
∧ = 1
5 50 750
1
5
6
2 3
2+ + +
+
D D D
D =
= 1 +
D
5
+
64
75
2⋅D
+
21
125
3⋅D
.
5. Topolohiçni brany na vyrodΩenyx eliptyçnyx kryvyx. VaΩlyvym
aspektom homolohiçno] teori] D-bran [ doslidΩennq poxidno] katehori] kohe-
rentnyx puçkiv pry vyrodΩenni kompleksno] struktury mnohovydu, zokrema,
doslidΩennq poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv na osoblyvyx mnohovydax
Kalabi – Qu.
Klasyfikacig nerozkladnyx ob’[ktiv poxidno] katehori] koherentnyx puçkiv
na cyklax proektyvnyx prqmyx (qki [ odnovymirnymy osoblyvymy mnohovydamy
Kalabi – Qu) oderΩano u roboti [20] , opys prostyx rozßaruvan\ na cyklax pro-
ektyvnyx prqmyx — v [21, 22]. Nexaj X — cykl proektyvnyx prqmyx. U roboti
O. Poliwuka [11] postavleno take zapytannq: çy isnugt\ sferyçni ob’[kty v
D
b ( CohX
), vidminni vid strukturnyx puçkiv hladkyx toçok ta prostyx rozßaru-
van\? Ce zapytannq [ vaΩlyvym z toçky zoru fizyky D-bran. U c\omu rozdili
my pobudu[mo netryvial\nyj sferyçnyj ob’[kt na cykli dvox proektyvnyx
prqmyx.
Nexaj X ⊂ P
2
— kryva tret\oho stepenq, qka [ peretynom koniky ta prqmo].
Kryva X [ ploskym vyrodΩennqm hladko] kubiçno] kryvo].
Lema 5 (dyv. [18], vprava II. 6. 9). Ma[ misce izomorfizm
Pic ( X ) = Z
2 × C
*
.
Tomu my poznaçatymemo linijne rozßaruvannq L ∈ Pic ( X ) çerez L ( ( a, b ),
λ), de a, b ∈ Z, λ ∈ C
*
.
Rozhlqnemo rozßaruvannq L1 = L ( ( 2, 0 ), 1 ) i L 2 = L ( ( 0, 3 ), 1 ). Obydva
rozßaruvannq [ sferyçnymy ob’[ktamy, tomu my moΩemo rozhlqnuty kompleks
T LL1 2( ) ∈ Db
Xperf Coh( ). Magt\ misce rivnosti Hom ( L
1, L
2
) = C
2
, Hom ( L
2,
L
1
) = Ext
1 ( L
1, L
2
) = C. Zhidno z oznaçennqm
T LL1 2( ) =
= Cone Hom Hom evL L L L L L L1 2 1 1 2 1 21 1, ,( ) ⊗ ⊕ −[ ]( ) ⊗ −[ ] →( ) .
Rozpyßemo cej kompleks u qvnomu vyhlqdi. Ma[mo korotku toçnu poslidov-
nist\
0 → L ( ( 0, 0 ), – 1 ) i → L ( ( 1, 0 ), 1 ) ⊕ L ( ( 1, 0 ), – 1 ) j → L ( ( 2, 0 ), 1 ) → 0,
de
i =
y x
x y
−
+
1
1
ta
j =
x y x y+ −
−
1 1
.
Tomu my ma[mo rozhlqnuty konus takoho vidobraΩennq kompleksiv:
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
FUNKTORY SKRUTU TA D-BRANY 31
0 0 0
0 0
0 0 0
1
2
2
→ → →
⊕
→ ′ → ′ →
↓
→ → →
⊕
′
L
L L
L
i
,
de L ′ = L ( ( 0, 0 ), – 1 ), L ′′ = L ( ( 1, 0 ), 1 ) ⊕ L ( ( 1, 0 ), – 1 ). Konusom morfizmu
c\oho vidobraΩennq [ kompleks
0 → L1
2⊕ ⊕ L ′
ev ev0 1
0 i
→ L
2 ⊕ L ′′ → 0.
Oçevydno, wo:
1) morfizm ev0 :
L1
2⊕ → L2 ma[ qdro;
2) morfizm i :
L ′ → L ′′ ma[ koqdro.
Tomu kompleks
T LL1 2( ) ma[ dvi netryvial\ni kohomolohi]. Oskil\ky skrut
TL1
[ avtoekvivalentnistg poxidno] katehori] D
b ( CohX
), to
TL L
1 2( ) [ sferyç-
nym ob’[ktom.
1. Zaslow E. Soliton and helics: search for a mathematical physics bridge // Communs Math. Phys. –
1996. – 175. – P. 337
–
347.
2. Kontsevich M. Homological algebra of mirror symmetry // Proc. Int. Congress Math. (Zürich,
1994). – 1995. – P. 120
–
139.
3. Polchinski J. Dirichlet branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett. – 1995. – 75. –
P. 4724
–
4727. (Preprint / arxiv: hep-th N 9510017.)
4. Witten E. D-branes and K-theory // J. High Energy Phys. – 1998. – 9812. – P. 19.
5. Minasian R., Moore G. K-theory and Ramond-Ramond charges, D-branes and K-theory // Ibid. –
1997. – 11. – P. 102. (arxiv: hep-th N 9710230.)
6. Cox D. A., Kaz S. Mirror symmetry and algebraic geometry // Math. Surveys and Monographs. –
Amer. Math. Soc., 1999. – 68. – P. 203.
7. Bondal A., Orlov D. Semiorthogonal decompositions for algebraic varieties. – 1995. – 10 p.
(Preprint / arxiv: math AG N 9506006.)
8. Bridgeland T. Flops and derived categories // Invent. math. – 2002. – 147, # 3. – P. 613
–
632.
9. Seidel P., Thomas R. Braid group actions on derived categories of coherent sheaves // Duke Math.
J. – 2001. – 108, # 1. – P. 37
–
108.
10. Lenzing H., Meltzer H. Sheaves on a weighted projective line of genus one and representations of a
tubular algebra // Can. Math. Soc. Conf. Proc. – 1993. – 14. – P. 313
–
337.
11. Polishchuk A. Yang – Baxter equation and A∞-constrains // Adv. Math. – 2002. – 168. – P. 56
–
95.
12. Orlov D. Proyzvodn¥e katehoryy koherentn¥x puçkov y πkvyvalentnosty meΩdu nymy //
Uspexy mat. nauk. – 2003. – 58, # 3. – P. 89
–
172.
13. Hel\fand S. Y., Manyn G. Y. Metod¥ homolohyçeskoj alhebr¥. – M.: Nauka, 1988.
14. Orlov D. Equivalences of derived categories and K3 surfaces // J. Math. Sci. (New York). – 1997.
– 84, # 5. – P. 1361–1381.
15. Dold A. Zur Homotopietheorie der Kettenkomplexe // Math. Ann. – 1960. – 140. – S. 278
–
298.
16. Mukai S. On the moduli spaces of bundles on K3 surfaces I // Vector Bundles on Algebraic
Varieties. Stud. Math. Tata Inst. Fundam. Res. – 1987. – 11. – P. 341
–
413.
17. Zube S. Exceptional sheaves on Enriques surfaces // Math. Notes. – 1994. – 61, # 6. –
P. 693
–
699.
18. Xartsxorn R. Alhebrayçeskaq heometryq. – M.: Myr, 1981. – 599 s.
19. Hryffyts F., Xarrys DΩ. Pryncyp¥ alhebrayçeskoj heometryy. – M.: Myr, 1982. – 862 s.
20. Burban I. I., Drozd Yu. A. Coherent sheaves on singular curves with nodal singularities // Duke
Math. J. – 2004. – 121, # 2. – P. 189
–
229. (Preprint / axiv: math. AG N 0101140.)
21. Burban I. I. Stabil\ni rozßaruvannq na racional\nij kryvij iz odni[g prostog podvijnog
toçkog // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 7. – P. 867
–
875.
22. Burban I. I., Drozd Yu. A., Greuel G.-M. Vector bundles on singular projective curves // Appl.
Geometry to Coding Theory, Physics, Computation. – New York: Kluwer, 2001. – P. 1 – 15.
OderΩano 17.02.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|