Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем
За допомогою функцій Ляпунова вперше отримано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості деяких нелінійних систем диференціальних і різницевих рівнянь. By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some no...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165564 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем / С.К. Персидский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 131–136. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859760096338247680 |
|---|---|
| author | Персидский, С.К. |
| author_facet | Персидский, С.К. |
| citation_txt | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем / С.К. Персидский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 131–136. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | За допомогою функцій Ляпунова вперше отримано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості деяких нелінійних систем диференціальних і різницевих рівнянь.
By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations.
|
| first_indexed | 2025-12-02T02:26:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.36
S. K. Persydskyj (Tavryç. nac. un-t, Symferopol\)
OB ∏KSPONENCYAL|NOJ USTOJÇYVOSTY
NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM
By using Lyapunov functions, we obtain for the first time necessary and sufficient conditions of the
exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations.
Za dopomohog funkcij Lqpunova vperße otrymano neobxidni ta dostatni umovy eksponencial\-
no] stijkosti deqkyx nelinijnyx system dyferencial\nyx i riznycevyx rivnqn\.
V nastoqwej rabote dlq odnoho klassa nelynejn¥x system dyfferencyal\n¥x
y raznostn¥x uravnenyj poluçen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq πkspo-
nencyal\noj ustojçyvosty v celom y πksponencyal\noj neustojçyvosty. Ys-
sleduetsq πksponencyal\naq ustojçyvost\ vozmuwenn¥x system s nelynejn¥m
perv¥m pryblyΩenyem.
Zametym, çto problema πksponencyal\noj ustojçyvosty nelynejn¥x system
svqzana s rabotoj L. Hrujyça [1], v kotoroj pryveden¥ dostatoçn¥e uslovyq
πksponencyal\noj ustojçyvosty v celom odnoj nelynejnoj sloΩnoj system¥
s5nelynejn¥my yzolyrovann¥my podsystemamy, kotor¥e predpolahagtsq lybo
πksponencyal\no ustojçyv¥my, lybo πksponencyal\no neustojçyv¥my.
1. Ob πksponencyal\noj ustojçyvosty nelynejn¥x system dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj. Pust\ K ( α1 , … , αn ) : xs αs ≥ 0, hde s = 1, … , n, —
v¥pukl¥j konus prostranstva R
n
, α1 , … , αn — parametr¥ konusa [2]. Napry-
mer, poloΩytel\n¥j oktant Kn
+
prostranstva R
n
ymeet parametr¥, ravn¥e
edynyce.
Opredelenye 1. Matrycu P razmernosty n × n budem naz¥vat\ kvazypo-
zytyvnoj, esly πlement¥ Psk matryc¥ P y parametr¥ nekotoroho konusa
K ( α1 , … , αn ) svqzan¥ sootnoßenyqmy
psk αs αk ≥ 0 pry s ≠ k, hde s = 1, … , n, k = 1, … , n. (1)
Rassmotrym nelynejnug systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj s kvazypo-
zytyvnoj matrycej P
x ′ = P ϕ ( x ), (2)
ϕ ( x ) = col (ϕ1 ( x1 ), … , ϕn ( xn )),
hde ϕs ( xs ) — neprer¥vn¥e funkcyy, udovletvorqgwye neravenstvam
ϕs ( xs ) xs > 0 pry xs ≠ 0, s = 1, … , n. (3)
Teorema 1. Pust\ prav¥e çasty system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2)
udovletvorqgt sformulyrovann¥m v¥ße uslovyqm, a funkcyy ϕs ( xs ) — soot-
noßenyg (3) y neravenstvam
k1 | xs | ≤ | ϕs ( xs ) | ≤ k2 | xs |, s = 1, … , n, (4)
hde k2 > k1 — nekotor¥e poloΩytel\n¥e çysla.
Tohda dlq absolgtnoj πksponencyal\noj ustojçyvosty πtoj system¥ neob-
xodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny „xarakterystyçeskoho” uravnenyq
det ( P – λ E ) = 0 (5)
ymely otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty.
© S. K. PERSYDSKYJ, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1 131
132 S. K. PERSYDSKYJ
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ systema (2) πksponencyal\no
ustojçyva pry lgb¥x neprer¥vn¥x funkcyqx ϕs ( xs ), udovletvorqgwyx uslo-
vyqm (1) y (3). V çastnosty, ona πksponencyal\no ustojçyva pry ϕs ( xs ) = xs , s =
= 1, … , n, no tohda vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (5) dolΩn¥ ymet\
otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty.
Dostatoçnost\. V rassmatryvaemom sluçae vse korny xarakterystyçeskoho
uravnenyq (5) leΩat v levoj poluploskosty. V sylu πtoho vse opredelqem¥e yz
system¥ lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj
k
k s
n
ks k kp b
=
≠
∑
1
α + pss bs = – αs , s = 1, … , n, (6)
çysla b1 , … , bn budut poloΩytel\n¥e [2].
UmnoΩaq prav¥e çasty system¥ (6) na sootvetstvugwye parametr¥ α1 , …
… , αn konusa K ( α1 , … , αn ), poluçaem systemu
k
k s
n
ks kp b
=
≠
∑
1
+ pss bs = – 1, s = 1, … , n. (7)
PoloΩym
ν ( x1 , … , xn ) =
s
n
s sb x
=
∑
1
=
s
n
s s sb x x
=
∑
1
sign .
Tohda ν ′ v sylu system¥ (2) pryvodytsq k vydu
′ν( )2 ≤
s
n
k
k s
n
ks k ss s s sp b p b x
= =
≠
∑ ∑ +
1 1
ϕ ( ) = –
s
n
s sx
=
∑
1
ϕ ( ) .
Sohlasno (4) okonçatel\no poluçaem neravenstva
d1 || x || ≤ ν ( x ) ≤ d2 || x ||, ′ν( )2 ≤ – k1 || x || ≤ –
k
d
x1
2
ν( ) ,
hde d1 = mins sb{ } , d2 = maxs sb{ } y || x || =
s
n
sx=∑ 1
.
Sledovatel\no, na reßenyqx system¥ (2) v¥polnen¥ neravenstva
|| x ( t ) || ≤
d
d
x t
k
d
t t2
1
0
1
2
0( ) exp ( )− −
,
çto y dokaz¥vaet teoremu.
Zametym, çto systema vyda (2) vperv¥e b¥la rassmotrena E. A. Barbaßy-
n¥m5[3].
Rassmotrym dalee nelynejnug systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj s kva-
zypozytyvnoj matrycej P, rassmotrennug v rabote [4]:
x ′ = P ϕ ( x ) + R ( ϕ ( x ) ), (8)
hde vektor-funkcyq R ( ϕ ( x ) ) udovletvorqet sootnoßenyg
|| R ( ϕ ) || = o || ϕ || pry || ϕ || → 0.
Sootvetstvugwug systemu vyda (2), soderΩawugsq v (8), budem naz¥vat\
„nelynejn¥m perv¥m pryblyΩenyem” system¥ (8).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
OB ∏KSPONENCYAL|NOJ USTOJÇYVOSTY NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM 133
Teorema 2. Pust\ neprer¥vn¥e funkcyy ϕs ( xs ) udovletvorqgt sootno-
ßenyqm (3) y neravenstvam (4). Tohda dlq πksponencyal\noj ustojçyvosty re-
ßenyq system¥ (8) v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty naçala koor-
dynat neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterystyçeskoho urav-
nenyq (5) ymely otrycatel\n¥e vewestvenn¥e çasty.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pry ϕs ( xs ) = xs , s = 1, … , n, nelynej-
naq vozmuwennaq systema (8) perexodyt v lynejnug vozmuwennug systemu Lq-
punova vyda
x ′ = P x + R ( x ),
hde || R ( x ) || = o || x || pry || x || → 0. Otsgda sleduet v¥polnenye neobxodym¥x
uslovyj teorem¥.
Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty opredelym çysla b1 , … , bn yz soot-
vetstvugwej system¥ (7) y poloΩym
ν ( x ) =
s
n
s sb x
=
∑
1
.
∏ta funkcyq budet udovletvorqt\ neravenstvu
d1 || x || ≤ ν ( x ) ≤ d2 || x ||,
hde d1 > 0, d2 > 0.
V sylu polnoj system¥ (8) polnaq proyzvodnaq funkcyy ν ( x ) udovletvorq-
et neravenstvu
′ν( )8 ≤ − k
x1
2
–
k
x d R1
22
−
( )ϕ .
Yz posledneho neravenstva sleduet, çto v dostatoçno maloj okrestnosty naçala
koordynat || x || < δ, hde δ > 0 — dostatoçno maloe çyslo, reßenyq system¥ (8)
budut udovletvorqt\ neravenstvu vyda
|| x ( t ) || ≤
d
d
x t
k
d
t t2
1
0
1
1
02
( ) exp ( )− −
,
çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥.
Pust\ dana systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj (2) s kvazypozytyvnoj
matrycej P, pryçem vse funkcyy ϕs ( xs ) udovletvorqgt neravenstvam (3).
Tohda netrudno vydet\ [2], çto sootvetstvugwyj konus K ( α1 , … , αn ) dlq sys-
tem¥ (2) qvlqetsq zamknut¥m sektorom. Otsgda lehko poluçyt\ sledugwug
teoremu ob πksponencyal\noj neustojçyvosty v konuse.
Teorema 3. Pust\ systema (2) s kvazypozytyvnoj matrycej P takova,
çto funkcyy ϕ s ( xs ) udovletvorqgt uslovyqm (4) y v sootvetstvugwem
konuse K ( α1 , … , αn ) — neravenstvam
αs ϕs ( xs ) ≥ αs xs , s = 1, … , n. (9)
Tohda dlq πksponencyal\noj neustojçyvosty reßenyj πtoj system¥ v ras-
smatryvaemom konuse neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterys-
tyçeskoho uravnenyq (5) ymely poloΩytel\n¥e vewestvenn¥e çasty.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ uslovyj teorem¥ oçevydna.
Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty zametym, çto yz uslovyq kvazypozytyv-
nosty matryc¥ P sleduet, çto sootvetstvugwyj konus K ( α1 , … , αn ) qvlqetsq
zakr¥t¥m sektorom [2]. Opredelym çysla b1 , … , bn yz system¥ uravnenyj
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
134 S. K. PERSYDSKYJ
k
k s
n
ks kp b
=
≠
∑
1
+ pss bs = 1, s = 1, 2, … , n.
Netrudno vydet\, çto vse bs poloΩytel\n¥e. Zatem v rassmatryvaemom konuse
poloΩym
ν ( x ) =
s
n
s s sb x
=
∑
1
α =
s
n
s sb x
=
∑
1
.
V sylu system¥ (2) y uslovyq (9) v rassmatryvaemom konuse ymeem
d1 || x || ≤ ν ( x ) ≤ d2 || x ||, ′ν( )2 =
s
n
s sx
=
∑
1
ϕ ( ) ≥ || x ||.
Sledovatel\no, ′ν( )2 ≥ ν ( x ) / d2 yly
|| x ( t ) || ≥
d
d
x t
d
t t1
2
0
2
0
1
( ) exp ( )−
.
Teorema dokazana.
2. ∏ksponencyal\naq ustojçyvost\ reßenyj nelynejn¥x raznostn¥x
system. Pust\ P — vewestvennaq postoqnnaq nev¥roΩdennaq matryca razmer-
nosty n × n y α1 , … , αn — parametr¥ nekotoroho konusa K ( α1 , … , αn ) ⊂ R
n
.
Opredelenye 2. Budem naz¥vat\ ukazannug matrycu „kvazypoloΩytel\-
noj”, esly ee πlement¥ psk y parametr¥ nekotoroho konusa K ( α1 , … , αn )
svqzan¥ sootnoßenyqmy
pks αk αs ≥ 0, s, k = 1, … , n.
Rassmotrym systemu raznostn¥x uravnenyj s „kvazypoloΩytel\noj” matry-
cej P vyda
x ( m + 1 ) = P ϕ ( x ( m ) ), (10)
hde m ∈ J = { 0, 1, … , n, … }, ϕ ( x ( m ) ) = col ϕ ϕ1 1x m x mn n( ) , , ( )( )… ( )( ) . V dal\nej-
ßem budem predpolahat\, çto vse funkcyy ϕs ( xs ( m ) ) qvlqgtsq odnoznaçn¥my,
prynymagwymy v kaΩdoj toçke mnoΩestva J koneçn¥e znaçenyq y soxranqg-
wymy znaky svoyx arhumentov ( ϕs ( 0 ) = 0 ).
Teorema 4. Pust\ prav¥e çasty system¥ raznostn¥x uravnenyj (10) udov-
letvorqgt sformulyrovann¥m v¥ße uslovyqm, a funkcyy ϕs ( xs ( m ) ) udov-
letvorqgt, krome toho, pry lgbom m ∈ J neravenstvam vyda
ϕs sx m( )( ) ≤ | xs ( m ) |, s = 1, … , n.
Tohda dlq absolgtnoj πksponencyal\noj ustojçyvosty reßenyj system¥ urav-
nenyj (10) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ vse korny xarakterystyçeskoho
uravnenyq
det ( P – µ E ) = 0 (11)
leΩaly vnutry edynyçnoho kruha.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ oçevydna.
DokaΩem dostatoçnost\ uslovyj teorem¥.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
OB ∏KSPONENCYAL|NOJ USTOJÇYVOSTY NEKOTORÁX NELYNEJNÁX SYSTEM 135
Rassmotrym systemu uravnenyj
k
k s
n
ks kp b
=
≠
∑
1
+ ( pss – 1 ) bs = – 1, s = 1, … , n. (12)
Netrudno vydet\ [5], çto vse opredelqem¥e yz system¥ (12) çysla b1 , … , bn bu-
dut poloΩytel\n¥my.
PoloΩym
ν ( x ( m ) ) =
s
n
s sb x m
=
∑
1
( ) .
Oçevydno, çto funkcyy ν ( x ) udovletvorqgt neravenstvu a || x || ≤ ν ( x ) ≤
≤ b || x ||, hde a > 0, b > 0. Ne narußaq obwnosty, budem sçytat\, çto b > 1. Ot-
sgda sleduet, çto na reßenyqx system¥ (10) v¥polnqetsq neravenstvo
ν ( x ( m + 1 ) ) ≤ 1
1−
( )
b
x mν ( ) = λ ν ( x ( m ) ), (13)
hde 0 < λ < 1.
Na osnovanyy (13) zaklgçaem, çto pry vsex m ≥ m0 ≥ 0 dolΩno v¥polnqt\sq
sootnoßenye
|| x ( m ) || ≤
b
a
x mm mλ( ) ( )− 0
0 = Be x mm m− −β( ) ( )0
0 ,
hde B = b / a ≥ 1, β = – ln λ > 0. ∏to dokaz¥vaet dostatoçnost\ uslovyj teorem¥.
Zameçanye. Esly prav¥e çasty system¥ (10) zadan¥ v nekotoroj ohrany-
çennoj oblasty h : m ∈ I, || x || ≤ R, y pry πtom v¥polnen¥ vse uslovyq teore-
m¥54, to reßenye system¥ (10) budet πksponencyal\no ustojçyvo v oblasty h.
Spravedlyv¥ takΩe sledugwye teorem¥.
Teorema 5. Esly nelynejnoe pervoe pryblyΩenye system¥
x ( m + 1 ) = P ϕ ( x ( m ) ) + R ϕ ( x ( m ) ) (14)
udovletvorqet vsem uslovyqm teorem¥ 4, a || R ( ϕ ) || = o ϕ( ) pry || ϕ || → 0,
to v nekotoroj dostatoçno maloj okrestnosty naçala koordynat reßenyq
system¥ (14) πksponencyal\no ustojçyv¥.
Teorema 6. Pust\ koneçno-raznostnaq systema (10) s kvazypoloΩytel\noj
matrycej P takova, çto v sootvetstvugwem konuse K ( α1 , … , αn ) v¥pol-
nen¥ neravenstva
αs ϕs ( xs ( m ) ) ≥ αs xs ( m ) , s = 1, … , n.
Tohda, esly vse korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (11) leΩat vne kruha
edynyçnoho radyusa, v ukazannom konuse reßenyq rassmatryvaemoj system¥
uravnenyj πksponencyal\no neustojçyv¥.
V kaçestve prymera prymenenyq teorem¥ 4 dlq sluçaq ohranyçennoj
oblasty rassmotrym v oblasty h : m ∈ I, || x || ≤ 1 raznostnug systemu
x1 ( m + 1 ) = 0,5 sin
3
x1 ( m ) + 0,1 x m2
5( ),
x2 ( m + 1 ) = 0,1 sin
3
x1 ( m ) + 0,5 x m2
5( ).
Xarakterystyçeskoe uravnenye πtoj system¥ ymeet korny µ1 y µ2 , leΩawye
vnutry edynyçnoho kruha, a sootvetstvugwyj konus K ( α1 , α2 ) ymeet paramet-
r¥ α1 y α2
, ravn¥e edynyce, krome toho, v h | sin
3
x1 | ≤ | x1 |, x2
5 ≤ | x2 |.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
136 S. K. PERSYDSKYJ
Najdem çysla b1 y b2 yz system¥ uravnenyj
( 0,5 – 1 ) b1 + 0,1 b2 = – 1,
(15)
0,1 b1 + ( 0,5 – 1 ) b2 = – 1
y poloΩym ν ( x1 , x2 ) = b1 | x1 | + b2 | x2 |.
Prymenym k funkcyy ν ( x1 , x2 ) dovol\no hrubug ocenku:
2 || x || ≤ ν ( x1 , x2 ) ≤ 3 || x ||.
Tohda v sylu system¥
ν ( x ( m + 1 ) ) ≤ 1
1
3
−
( )ν x m( ) .
Otsgda poluçaem ocenku reßenyj system¥ (15)
|| x ( m ) || ≤
3
2 0
2 3 0x m e m m( ) ln ( )/( ) −
,
kotoraq spravedlyva dlq vsej oblasty h pry m ≥ m0 ≥ 0.
V zaklgçenye zametym, çto nevozmuwenn¥e system¥ dyfferencyal\n¥x y
raznostn¥x uravnenyj (2) y (10) dopuskagt suwestvovanye zakr¥toho sektora v
vyde nekotoroho v¥pukloho konusa K ( α1 , … , αn ), çto, v koneçnom ytohe, y poz-
volylo dokazat\ vse teorem¥, pryvedenn¥e v nastoqwej rabote.
V teoryy ustojçyvosty ponqtye sektora b¥lo vvedeno K. P. Persydskym [6].
∏to ponqtye okazalos\ oçen\ plodotvorn¥m y ßyroko prymenqetsq v metode
funkcyj Lqpunova.
1. Grujic L. T. Stability analysis of large-scale systems with stable and unstable subsystems // Int. J.
Contr. – 1974. – 2. – P. 453 – 463.
2. Persydskyj S. K. K yssledovanyg ustojçyvosty reßenyj nelynejn¥x system dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1970. – 34. – S. 219 – 226.
3. Barbaßyn E. A. Funkcyy Lqpunova. – M.: Nauka, 1970. – 239 s.
4. Persydskyj S. K. Prymenenye odnorodn¥x mnohoçlenov v kaçestve funkcyj Lqpunova //
Dynam. system¥. – 2000. – V¥p. 16. – S. 15 – 21.
5. Persydskyj S. K. Absolgtnaq ustojçyvost\ nelynejn¥x system uravnenyj v koneçn¥x
raznostqx // Dyfferenc. uravnenyq y yx prymenenyq. – Alma-Ata: Yzd-vo Kazax. un-ta,
1979. – S. 114 – 116.
6. Persydskyj K. P. Ko vtoroj metode Lqpunova // Yzv. AN Kaz SSR. Ser. mat. – 1947. – #542,
v¥p. 1. – S. 48 – 53.
Poluçeno 29.08.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165564 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T02:26:26Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Персидский, С.К. 2020-02-14T09:18:01Z 2020-02-14T09:18:01Z 2005 Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем / С.К. Персидский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 1. — С. 131–136. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165564 517.36 За допомогою функцій Ляпунова вперше отримано необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості деяких нелінійних систем диференціальних і різницевих рівнянь. By using Lyapunov functions, we obtain, for the first time, necessary and sufficient conditions for the exponential stability of some nonlinear systems of differential and difference equations. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems Article published earlier |
| spellingShingle | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем Персидский, С.К. Короткі повідомлення |
| title | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| title_alt | On the Exponential Stability of Some Nonlinear Systems |
| title_full | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| title_fullStr | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| title_full_unstemmed | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| title_short | Об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| title_sort | об экспоненциальной устойчивости некоторых нелинейных систем |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165564 |
| work_keys_str_mv | AT persidskiisk obéksponencialʹnoiustoičivostinekotoryhnelineinyhsistem AT persidskiisk ontheexponentialstabilityofsomenonlinearsystems |