On Supplement Submodules

• Published in: Український математичний журнал
• Date: 2013
• Main Authors: Nebiyev, C., Pancar, A.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Інститут математики НАН України 2013
• Subjects: Статті
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165587
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: On Supplement Submodules / C. Nebiyev, A. Pancar // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 961–966. — Бібліогр.: 14 назв. — англ.

We investigate some properties of supplement submodules. Some relations between lying-above and weak supplement submodules are also studied. Let V be a supplement of a submodule U in M. Then it is possible to define a bijective map between the maximal submodules of V and the maximal submodules of M that contain U. Let M be an R-module, U ≤ M, let V be a weak supplement of U, and let K ≤ V. In this case, K is a weak supplement of U if and only if V lies above K in M. We prove that an R-module M is amply supplemented if and only if every submodule of M lies above a supplement in M. We also prove that M is semisimple if and only if every submodule of M is a supplement in M. Дослiджено деякi властивостi доповнюючих пiдмодулiв. Також вивчено деякi спiввiдношення мiж вищерозмiщеними та слабкими доповнюючими пiдмодулями. Нехай V— доповнення пiдмодуляUвM.Тодi можна означити бiєкцiю мiж максимальними пiдмодулями V та максимальними пiдмодулямиM, що мiстятьU.НехайM—R-модуль,U≤M, V— слабке доповненняU i K≤V. У цьому випадку K є слабким доповненням U тодi i тiльки тодi, коли V лежить вище K у M.Доведено, що R-модуль M є достатньо доповненим тодi i тiльки тодi, коли кожен пiдмодуль модуля M лежить вище доповнення в M.Також доведено, що M є напiвпростим тодi i тiльки тодi, коли кожен пiдмодуль модуля M є доповненням у M.