О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом
Обчислено логарифмiчний лишок для моногенних (неперервних диференційовних за Гато) Функцій зі значеннями в тривимірній гармонічній алгебрі з двовимірним радикалом. При цьому встановлено, що на логарифмічний лишок впливають не тільки нулі й особливі точки функції, але й точки, в яких функція набуває...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165588 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 967–973. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165588 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Плакса, С.А. Шпаковский, В.С. 2020-02-14T09:54:34Z 2020-02-14T09:54:34Z 2013 О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 967–973. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165588 517.96 Обчислено логарифмiчний лишок для моногенних (неперервних диференційовних за Гато) Функцій зі значеннями в тривимірній гармонічній алгебрі з двовимірним радикалом. При цьому встановлено, що на логарифмічний лишок впливають не тільки нулі й особливі точки функції, але й точки, в яких функція набуває значення в радикалі гармонічної алгебри. For monogenic (continuous and Gâteaux-differentiable) functions taking values in a three-dimensional harmonic algebra with two-dimensional radical, we compute the logarithmic residue. It is shown that the logarithmic residue depends not only on the roots and singular points of a function but also on the points at which the function takes values in the radical of a harmonic algebra. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом On the Logarithmic Residues of Monogenic functions in a Three-Dimensional Harmonic Algebra with Two-Dimensional Radical Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| spellingShingle |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом Плакса, С.А. Шпаковский, В.С. Статті |
| title_short |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| title_full |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| title_fullStr |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| title_full_unstemmed |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| title_sort |
о логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом |
| author |
Плакса, С.А. Шпаковский, В.С. |
| author_facet |
Плакса, С.А. Шпаковский, В.С. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the Logarithmic Residues of Monogenic functions in a Three-Dimensional Harmonic Algebra with Two-Dimensional Radical |
| description |
Обчислено логарифмiчний лишок для моногенних (неперервних диференційовних за Гато) Функцій зі значеннями в тривимірній гармонічній алгебрі з двовимірним радикалом. При цьому встановлено, що на логарифмічний лишок впливають не тільки нулі й особливі точки функції, але й точки, в яких функція набуває значення в радикалі гармонічної алгебри.
For monogenic (continuous and Gâteaux-differentiable) functions taking values in a three-dimensional harmonic algebra with two-dimensional radical, we compute the logarithmic residue. It is shown that the logarithmic residue depends not only on the roots and singular points of a function but also on the points at which the function takes values in the radical of a harmonic algebra.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165588 |
| citation_txt |
О логарифмическом вычете моногенных функций в трехмерной гармонической алгебре с двумерным радикалом / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 967–973. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT plaksasa ologarifmičeskomvyčetemonogennyhfunkciivtrehmernoigarmoničeskoialgebresdvumernymradikalom AT špakovskiivs ologarifmičeskomvyčetemonogennyhfunkciivtrehmernoigarmoničeskoialgebresdvumernymradikalom AT plaksasa onthelogarithmicresiduesofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithtwodimensionalradical AT špakovskiivs onthelogarithmicresiduesofmonogenicfunctionsinathreedimensionalharmonicalgebrawithtwodimensionalradical |
| first_indexed |
2025-11-25T19:21:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T19:21:42Z |
| _version_ |
1850519984225124352 |
| fulltext |
УДК 517.96
С. А. Плакса, В. С. Шпаковский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
О ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ВЫЧЕТЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
С ДВУМЕРНЫМ РАДИКАЛОМ
For monogenic (continuous and Gâteaux-differentiable) functions taking values in a three-dimensional harmonic algebra
with two-dimensional radical, we calculate the logarithmic residue. It is established that the logarithmic residue depends
not only on the zeros and singular points of a function, but also on the points at which the function takes values in the
radical of a harmonic algebra.
Обчислено логарифмiчний лишок для моногенних (неперервних диференцiйовних за Гато) функцiй зi значеннями
в тривимiрнiй гармонiчнiй алгебрi з двовимiрним радикалом. При цьому встановлено, що на логарифмiчний лишок
впливають не тiльки нулi й особливi точки функцiї, але й точки, в яких функцiя набуває значення в радикалi
гармонiчної алгебри.
Пусть A3 — трехмерная коммутативная ассоциативная банахова алгебра над полем комплексных
чисел C, базис которой состоит из единицы алгебры 1 и элементов ρ1, ρ2, для которых вы-
полняются правила умножения ρ1ρ2 = ρ2
2 = 0, ρ2
1 = ρ2.
Рассмотрим базис
e1 = 1, e2 = i+ ρ2, e3 = (1− i)ρ1
алгебры A3, удовлетворяющий условию
e2
1 + e2
2 + e2
3 = 0,
т. е. являющийся гармоническим (см. [1, 2]).
Выделим в алгебре A3 линейную оболочку E3 :=
{
ζ = x + ye2 + ze3 : x, y, z ∈ R
}
над
полем действительных чисел R, порожденную векторами гармонического базиса 1, e2, e3.
Непрерывная функция Φ: Ωζ → A3 называется моногенной в области Ωζ ⊂ E3, если Φ
дифференцируема по Гато в каждой точке этой области, т. е. если для каждого ζ ∈ Ωζ су-
ществует элемент Φ′(ζ) алгебры A3 такой, что выполняется равенство
lim
ε→0
(
Φ(ζ + εh)− Φ(ζ)
)
ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ E3.
Φ′(ζ) называется производной Гато функции Φ в точке ζ.
В работе [3] показано, что каждая моногенная в области Ωζ функция Φ со значениями
в алгебре A3 удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа. В работе [4] для моногенных
функций со значениями в алгебре A3 доказаны теоремы Коши для поверхностного и криволи-
нейного интеграла, интегральная формула Коши и теорема Морера, а в работе [5] установлены
тейлоровские и лорановские разложения моногенных функций и дана классификация их осо-
бых точек.
Как известно, в различных вопросах теории аналитических функций комплексной перемен-
ной и ее приложениях важную роль играют геометрические принципы (см., например, [6]). В
частности, принцип аргумента существенно используется при решении краевых задач [7, 8].
c© С. А. ПЛАКСА, В. С. ШПАКОВСКИЙ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7 967
968 С. А. ПЛАКСА, В. С. ШПАКОВСКИЙ
В его основе лежит теорема о сумме логарифмических вычетов (см., например, [6, c. 205]),
устанавливающая связь контурного интеграла от логарифмической производной g′(ξ)/g(ξ) с
топологическим инвариантом, которым является разность нулей и полюсов функции g(ξ), го-
ломорфной вне особых точек.
В работе [9] вычислен логарифмический вычет моногенных функций, принимающих значе-
ния в двумерной алгебре с радикалом, ассоциированной с бигармоническим уравнением. При
этом установлено, что в отличие от случая мероморфных функций комплексной переменной на
значение логарифмического вычета оказывают влияние не только нули и полюсы, но и точки, в
которых функция принимает значение в радикале алгебры. В данной работе аналоги результа-
тов работы [9] устанавливаются для логарифмической производной Φ′
(
ζ)(Φ(ζ)
)−1
моногенной
функции Φ(ζ) переменной ζ = x+ ye2 + ze3, где x, y, z ∈ R.
1. Предварительные сведения. Множество I :=
{
λ1ρ1 + λ2ρ2 : λ1, λ2 ∈ C
}
, являющееся
единственным максимальным идеалом алгебры A3, образует радикал этой алгебры. В нем
содержатся все необратимые элементы алгебры A3.
Следовательно, элемент a = a0 + a1ρ1 + a2ρ2, где a0, a1, a2 ∈ C, обратим тогда и только
тогда, когда a0 6= 0, при этом обратный елемент a−1 представляется равенством
a−1 =
1
a0
− a1
a2
0
ρ1−
(
a2
a2
0
− a2
1
a3
0
)
ρ2,
а разложение логарифмической функции, определенной в работе [10], по базису {1, ρ1, ρ2}
имеет вид
ln a := ln a0 +
a1
a0
ρ1+
(
a2
a0
− a2
1
2a2
0
)
ρ2, (1)
где ln a0 — главная ветвь логарифмической функции комплексной переменной a0.
Радикалу I соответствует линейный непрерывный мультипликативный функционал f : A3 →
→ C, ядром которого является I и при этом f(1) = 1.
Условимся, что всюду в дальнейшем переменные x, y, z принадлежат пространству R, а
также действительными числами являются значения переменных x, y, z, снабженных нижними
индексами, например x0, z1 и т. п. Области Ω пространства R3 поставим в соответствие область
Ωζ :=
{
ζ = x+ ye2 + ze3 : (x, y, z) ∈ S
}
в E3.
Пусть Ω — выпуклая в направлении оси Oz область пространства R3. Как и в работе [3],
введем в рассмотрение линейный оператор A, который каждой моногенной функции Φ: Ωζ →
→ A3 ставит в соответствие голоморфную функцию F : D → C, определенную в области
D :=
{
ξ = f(ζ) : ζ = x+ye2 +ze3 ∈ Ωζ
}
комплексной плоскости равенством F (ξ) := f
(
Φ(ζ)
)
,
где ζ = x+ ye2 + ze3 и ξ = x+ iy.
В [3] показано, что если область Ω является выпуклой в направлении оси Oz, то каждая
моногенная функция Φ: Ωζ → A3 представляется в виде
Φ(ζ) = F (ξ) +
(
(1− i)zF ′(ξ) + F1(ξ)
)
ρ1+
+
(
yF ′(ξ)− iz2F ′′(ξ) + (1− i)zF ′1(ξ) + F2(ξ)
)
ρ2 ∀ζ = x+ ye2 + ze3 ∈ Ωζ , (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
О ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ВЫЧЕТЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 969
где F, F1, F2 — однозначно определяемые голоморфные функции комплексной переменной
ξ = x + iy ∈ D, в частности F = AΦ. Формула (2) дает конструктивное описание всех мо-
ногенных функций Φ: Ωζ → A3 с помощью голоморфных функций комплексной переменной.
Кроме того, формулой (2) задается моногенное продолжение функции Φ в цилиндрическую
область Πζ :=
{
ζ = x+ ye2 + ze3 : x+ iy ∈ D
}
.
Поэтому, рассматривая далее моногенные функции переменной ζ = x + ye2 + ze3, будем
предполагать, что они заданы в неограниченных областях вида Πζ .
2. Логарифмический вычет моногенных функций, принимающих значения в алгебре
A3. Пусть ζ0 := x0 + y0e2 + z0e3 ∈ E3 и функция Φ: Kζ0(0, R) → A3 моногенна в кольцевой
цилиндрической областиKζ0(0, R) :=
{
ζ = x+ye2+ze3 : 0 < (x−x0)2+(y−y0)2 < R2, z ∈ R
}
.
Если при этом логарифмическая производная Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
также является моногенной
функцией в области Kζ0(0, R) , то логарифмическим вычетом функции Φ в точке ζ0 назовем
интеграл
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ, (3)
где Γζ0(r) :=
{
ζ = x+ ye2 + z0e3 : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
}
и r < R.
В теореме 3 работы [4] установлен аналог интегральной теоремы Коши для моногенных
функций, принимающих значения в алгебре A3, а именно показано, что интеграл от моно-
генной функции по замкнутой жордановой спрямляемой кривой, гомотопной точке из области
моногенности, равен нулю. Из этой теоремы следует, что величина логарифмического вычета
не зависит от r при 0 < r < R и, кроме того, справедливо равенство∫
Γζ1 (r)
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ =
∫
Γζ0 (r)
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ ∀ζ1 = ζ0 + z1e3,
т. е. логарифмические вычеты функции Φ во всех точках прямой {ζ0 + ze3 : z ∈ R} равны.
В работе [5] доказано, что любая моногенная в области Kζ0(0, R) функция Φ представима
в виде суммы сходящегося ряда Лорана
Φ(ζ) =
∞∑
n=−∞
dn(ζ − ζ0)n, (4)
где (ζ − ζ0)n :=
(
(ζ − ζ0)−1
)−n
при n = −1,−2, . . . и коэффициенты dn определяются форму-
лами
dn =
1
2πi
∫
γζ
Φ(τ)
(
(τ − ζ0)−1
)n+1
dτ, n = 0,±1,±2, . . . ,
в которых γζ — любая замкнутая жорданова спрямляемая кривая в области Kζ0(0, R), один раз
охватывающая прямую {ζ0 + ze3 : z ∈ R}.
Очевидно, что имеет смысл рассматривать логарифмический вычет не только в нулях и
особых точках функции Φ, но и в тех точках, где значения функции Φ принадлежат радикалу
I алгебры A3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
970 С. А. ПЛАКСА, В. С. ШПАКОВСКИЙ
Заметим, что если Φ(ζ0) ∈ I, то для существования интеграла (3) необходимо, чтобы
существовало R > 0 такое, что множество Kζ0(0, R) не содержит точек ζ таких, что Φ(ζ) ∈ I.
Действительно, если для всех сколь угодно малых R > 0 существуют точки ζ ∈ Kζ0(0, R),
для которых Φ(ζ) ∈ I, то в этом случае внутренняя точка ξ0 = f(ζ0) области D является
предельной точкой множества нулей голоморфной функции F, входящей в равенство (2). Тог-
да в соответствии с теоремой единственности [6, с. 118] голоморфных функций комплексной
переменной F ≡ 0 и с учетом равенства (2) приходим к выводу, что все значения функции Φ
принадлежат радикалу I, а значит, интеграл (3) не существует.
Кроме того, легко устанавливается, что для точки ζ0 существуетR > 0 такое, что множество
Kζ0(0, R) не содержит точек ζ, в которых Φ(ζ) ∈ I, тогда и только тогда, когда в разложении (4)
существует коэффициент dn, не принадлежащий радикалу I. В этом случае равенство (4)
запишем в виде
Φ(ζ) = ϕ(ζ) + ψ(ζ)ρ1 + φ(ζ)ρ2, (5)
где
ϕ(ζ) :=
∑
n : dn /∈I
dn(ζ − ζ0)n, ψ(ζ)ρ1 + φ(ζ)ρ2 :=
∑
n : dn∈I
dn(ζ − ζ0)n
и dn, n = 0,± 1, ± 2, . . . , — коэффициенты ряда Лорана (4).
В следующей лемме вычисляется логарифмический вычет функции (5) в точке ζ0 в пред-
положении, что в ряде Лорана (4) существует min{n : dn /∈ I} .
Лемма 1. Пусть ζ0 := x0 + y0e2 + z0e3 и в области Kζ0(0, R) функция Φ представима в
виде
Φ(ζ) = (ζ − ζ0)n0ϕ0(ζ) + ψ(ζ)ρ1 + φ(ζ)ρ2, (6)
где n0 — некоторое целое число, ϕ0 — моногенная в цилиндрической области Kζ0(R) :=
{
ζ =
= x+ ye2 + ze3 : (x−x0)2 + (y− y0)2 < R2, z ∈ R
}
функция, не принимающая в этой области
значений в радикале I, а ψ и φ — моногенные в области Kζ0(0, R) функции. Тогда
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ = n0 ∀r ∈ (0, R).
Доказательство. Следствием разложения (6) функции Φ является равенство
Φ′(ζ) = n0(ζ − ζ0)n0−1ϕ0(ζ) + (ζ − ζ0)n0ϕ′0(ζ) + ψ′(ζ)ρ1 + φ′(ζ)ρ2 (7)
при всех ζ ∈ Kζ0(0, R).
Учитывая то, что значения ϕ0(ζ) обратимы при всех ζ ∈ Kζ0(0, R), записываем равен-
ство (6) в виде
Φ(ζ) = (ζ − ζ0)n0ϕ0(ζ)
(
1 + ψ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0ρ1 + φ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0ρ2
)
и убеждаемся в справедливости равенства
(
Φ(ζ)
)−1
= (ζ − ζ0)−n0(ϕ0(ζ))−1
[
1− ψ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0ρ1+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
О ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ВЫЧЕТЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 971
+
((
ψ(ζ)
)2
(ϕ0(ζ))−2(ζ − ζ0)−2n0 − φ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0
)
ρ2
]
(8)
при всех ζ ∈ Kζ0(0, R).
Поскольку ϕ0 — моногенная в области Kζ0(R) функция и ϕ0(ζ) /∈ I при всех ζ ∈ Kζ0(R),
функции
(
ϕ0(ζ)
)−1
,
(
ϕ0(ζ)
)−2
также моногенны в Kζ0(R) и для их производных Гато спра-
ведливы равенства((
ϕ0(ζ)
)−1
)′
= −
(
ϕ0(ζ)
)−2
ϕ′0(ζ),
((
ϕ0(ζ)
)−2
)′
= −2(ϕ0(ζ))−3ϕ′0(ζ).
Поэтому функции
η(ζ) := ψ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0 ,
χ(ζ) := φ(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
(ζ − ζ0)−n0 − 1
2
(
ψ(ζ)
)2(
ϕ0(ζ)
)−2
(ζ − ζ0)−2n0
являются моногенными в области Kζ0(0, R).
Теперь с учетом равенств (7), (8) преобразуем выражение (3) к виду
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
Φ′(ζ)(Φ(ζ))−1dζ =
n0
2πi
∫
Γζ0 (r)
(ζ − ζ0)−1dζ+
+
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
ϕ′0(ζ)(ϕ0(ζ))−1dζ + ρ1
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
η′(ζ)dζ+
+ρ2
1
2πi
∫
Γζ0 (r)
χ′(ζ)dζ =: I1 + I2 + ρ1I3 + ρ2I4 .
В теореме 6 из [4] установлен аналог интегральной формулы Коши для моногенной функ-
ции, принимающей значения в алгебре A3, в силу которого справедливо равенство I1 = n0.
Поскольку функция ϕ′0(ζ)
(
ϕ0(ζ)
)−1
моногенна в области Kζ0(R), используя аналог интеграль-
ной теоремы Коши для моногенных функций со значениями в A3 (см. теорему 3 из [4]),
получаем равенство I2 = 0. Наконец, в силу непрерывности функций η, χ на кривой Γζ0(r)
справедливы равенства I3 = I4 = 0.
Лемма доказана.
В теореме 5 работы [5] показано, что изолированная точечная особенность моногенной
функции может быть только устранимой, а в случае, когда функция имеет неустранимую осо-
бенность в точке ζ0, особыми являются также все точки прямой {ζ0 + ze3 : z ∈ R}. Кроме
того, к функции Φ, моногенной в области Kζ0(R), применима лемма 1 из [3], в силу которой
Φ(ζ0 + ze3)− Φ(ζ0) ∈ I при всех z ∈ R. Следовательно, если в точке ζ0 значение моногенной
в Kζ0(R) функции Φ принадлежит радикалу I, то значения функции Φ во всех точках прямой
{ζ0 + ze3 : z ∈ R} также принадлежат радикалу I.
В случае, когда функция Φ моногенна в области Kζ0(0, R) и не принимает в этой области
значений в радикале I, назовем прямую {ζ0 + ze3 : z ∈ R} сингулярностью логарифмической
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
972 С. А. ПЛАКСА, В. С. ШПАКОВСКИЙ
производной функции Φ, если точка ζ0 является неустранимой особой точкой функции Φ или
же Φ(ζ0) ∈ I. Если при этом функция Φ представима в виде (6), то показатель степени n0 в
разложении (6) назовем показателем сингулярности логарифмической производной функции
Φ в точке ζ0. Очевидно, что n0 = min{n : dn /∈ I}, где dn, n = 0,± 1,± 2, . . . , — коэффициенты
ряда Лорана (4).
Справедлива следующая теорема о сумме логарифмических вычетов для моногенных функ-
ций, принимающих значения в алгебре A3.
Теорема 1. Пусть D — область в комплексной плоскости и функция Φ моногенна всю-
ду в области Πζ :=
{
ζ = x + ye2 + ze3 : x + iy ∈ D
}
, за исключением, быть может,
некоторого множества особых точек. Пусть область G, компактно принадлежащая об-
ласти D, ограничена замкнутой жордановой спрямляемой кривой γ и такая, что в области
Gζ := {ζ = x + ye2 + ze3 : x + iy ∈ G} содержится лишь конечное множество {Lk}mk=1
сингулярностей Lk := {ζk + ze3 : z ∈ R} логарифмической производной функции Φ, при этом
показатель сингулярности nk логарифмической производной функции Φ в точке ζk конечен при
всех k = 1, 2, . . . ,m, а граница ∂Gζ области Gζ не содержит указанных сингулярностей. Тогда
справедливо равенство
1
2πi
∫
Γζ
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ =
m∑
k=1
nk, (9)
где Γζ — замкнутая жорданова спрямляемая кривая на поверхности ∂Gζ , гомотопная кривой
{x+ ye2 : x+ iy ∈ γ}.
Доказательство. Пусть положительное число r такое, что множества Kζk(r), k = 1,m,
содержатся в области Gζ и попарно не пересекаются. Тогда, используя аналог интегральной
теоремы Коши для моногенных функций со значениями в A3 (см. теорему 3 из [4]), убеждаемся
в справедливости равенства
1
2πi
∫
Γζ
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ =
1
2πi
m∑
k=1
∫
Γζk (r)
Φ′(ζ)(Φ(ζ))−1dζ. (10)
Теперь для завершения доказательства остается применить лемму 1 к каждому из интегралов
в правой части равенства (10).
Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 справедливо равенство
1
2πi
∫
Γζ
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ = NF − PF , (11)
где NF и PF — соответственно число нулей и полюсов функции F = AΦ в области
{
ξ =
= x+ iy : ζ = x+ ye2 + ze3 ∈ Gζ
}
с учетом их кратности.
Доказательство. Поскольку кривая Γζ не содержит сингулярностей логарифмической про-
изводной функции Φ, справедливо равенство
1
2πi
∫
Γζ
Φ′(ζ)
(
Φ(ζ)
)−1
dζ =
1
2πi
∆Γζ ln Φ(ζ), (12)
где через ∆Γζ ln Φ(ζ) обозначено приращение функции ln Φ(ζ) при обходе ζ кривой Γζ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
О ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ВЫЧЕТЕ МОНОГЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ТРЕХМЕРНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ . . . 973
Следствием равенств (1), (2) является равенство
ln Φ(ζ) = lnF (ξ) +
(1− i)zF ′(ξ) + F1(ξ)
F (ξ)
ρ1+
+
(
yF ′(ξ)− iz2F ′′(ξ) + (1− i)zF ′1(ξ) + F2(ξ)
F (ξ)
−
(
(1− i)zF ′(ξ) + F1(ξ)
)2
2
(
F (ξ)
)2
)
ρ2 =:
=: lnF (ξ) +B1(ζ)ρ1 +B2(ζ)ρ2
при всех ζ = x+ ye2 + ze3 ∈ Γζ , где ξ = x+ iy.
Поскольку функция Φ принимает на контуре Γζ значения, не принадлежащие радикалу I,
учитывая равенство (2), заключаем, что функция F (ξ) не обращается в нуль на кривой γ в
комплексной плоскости. Поэтому функции B1, B2 непрерывны на кривой Γζ и, следовательно,
их приращение при обходе этой кривой равно нулю.
Таким образом, ∆Γζ ln Φ(ζ) = ∆γ lnF (ξ) и с учетом принципа аргумента аналитических
функций комплексной переменной (см., например, [6, с. 206]) равенство (12) преобразовывается
к виду (11).
Теорема доказана.
Заметим, что следствием равенств (9), (11) является равенство
m∑
k=1
nk = NF − PF ,
справедливое при выполнении условий теоремы 1.
1. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30, № 4. –
P. 641 – 667.
2. Мельниченко И. П., Плакса С. А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. – Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с.
3. Плакса С. А., Шпаковский В. С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре
третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – C. 1078 – 1091.
4. Плакса С. А., Шпаковский В. С. Интегральные теоремы для дифференцируемых функций в трехмерной
гармонической алгебре // Доп. НАН України. – 2010. – 5. – C. 23 – 30.
5. Шпаковский В. С. Степенные ряды и ряды Лорана в трехмерной гармонической алгебре // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2010. – 7, № 2. – C. 314 – 321.
6. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: В 2 ч. – М.: Наука, 1976. – Ч. 1. – 320 с.
7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. –
688 с.
8. Гахов Ф. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.
9. Грищук C. В., Плакса С. А. О логарифмическом вычете моногенных функций бигармонической перемен-
ной // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 2. – C. 227 – 234.
10. Lorch E. R. The theory of analytic functions in normed abelian vector rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1943. – 54,
№ 3. – P. 414 – 425.
Получено 29.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|