О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках
Встановлено нерівності, що пов'язують константи найкращого (α;β) -наближення у просторі Lp при різних значеннях p. We prove inequalities connecting the constants of the best (α;β) -approximation in the space Lp for various values of p....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165593 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках / О.В. Поляков // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1015–1020. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Поляков, О.В. 2020-02-14T10:00:57Z 2020-02-14T10:00:57Z 2013 О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках / О.В. Поляков // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1015–1020. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165593 512.5 Встановлено нерівності, що пов'язують константи найкращого (α;β) -наближення у просторі Lp при різних значеннях p. We prove inequalities connecting the constants of the best (α;β) -approximation in the space Lp for various values of p. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках On the Best (α;β)-Approximations of Convex Functions by Constants in Integral Metrics Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| spellingShingle |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках Поляков, О.В. Короткі повідомлення |
| title_short |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| title_full |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| title_fullStr |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| title_full_unstemmed |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| title_sort |
о наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках |
| author |
Поляков, О.В. |
| author_facet |
Поляков, О.В. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the Best (α;β)-Approximations of Convex Functions by Constants in Integral Metrics |
| description |
Встановлено нерівності, що пов'язують константи найкращого (α;β) -наближення у просторі Lp при різних значеннях p.
We prove inequalities connecting the constants of the best (α;β) -approximation in the space Lp for various values of p.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165593 |
| citation_txt |
О наилучших (α;β) -приближениях постоянными выпуклых функций в интегральных метриках / О.В. Поляков // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 7. — С. 1015–1020. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovov onailučšihαβpribliženiâhpostoânnymivypuklyhfunkciivintegralʹnyhmetrikah AT polâkovov onthebestαβapproximationsofconvexfunctionsbyconstantsinintegralmetrics |
| first_indexed |
2025-11-26T05:16:07Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:16:07Z |
| _version_ |
1850613091068280832 |
| fulltext |
© О. В. ПОЛЯКОВ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7 1015
УДК 512.5
О. В. Поляков (Днепропетр. нац. ун-т)
О НАИЛУЧШИХ (!;") -ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПОСТОЯННЫМИ
ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ
We prove inequalities that connect the constants of the best (!;") -approximation in the space Lp for different p .
Встановлено нерівності, що пов’язують константи найкращого (!;") -наближення у просторі Lp при різних зна-
ченнях p .
Пусть C[0,1] , Lp[0;1] , 1 ! p < " , — пространства соответственно непрерывных и сумми-
руемых в p -й степени на [0;1] функций с соответствующими нормами.
Пусть !,!" > 0 — заданные числа. Для f (x) !Lp[0;1] и H ! Lp[0;1] рассмотрим
величину
E f ; H( )p;!," = inf f # u p;!," :!u $H{ } ,
где g p;!," = !g+ + "g# p и g± (x) = max ±g(x); 0{ } . Эту величину будем называть на-
илучшим (!,") -приближением функции f множеством H в пространстве Lp[0;1] [1].
Функция u0 (x) , реализующая точную нижнюю грань, называется элементом наилучшего
(!,") -приближения.
Ясно, что при ! = " = 1 будем иметь обычное наилучшее приближение (см., например,
[2, 3]).
Величины
E± f ; H( )p = inf f ! u p :!u "H ,!±u(x) # ± f (x){ }
называются наилучшими односторонними приближениями (снизу (+) и сверху (–)) функции
f множеством H в пространстве Lp[0;1] .
Общие свойства наилучших односторонних приближений подробно изложены в [4].
В работе [1] В. Ф. Бабенко установил следующий результат.
Теорема. Пусть p ![1; +") , H — локально компактное подмножество Lp[0;1] . Тог-
да для любой функции f !Lp[0;1] имеют место равенства
lim
!"#
E f ; H( )p;1,! = E+ f ; H( )p ,
lim
!"#
E f ; H( )p;!,1 = E$ f ; H( )p .
1016 О. В. ПОЛЯКОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
Таким образом, задачи наилучшего (!,") -приближения позволяют изучать с единой точки
зрения задачи обычного наилучшего приближения и наилучшего одностороннего приближе-
ния. Более детально с вопросами наилучших (!,") -приближений можно ознакомиться в ра-
ботах [1, 2, 5, 6].
Для !,!" > 0 через Cp;!" ( f ) будем обозначать постоянную на [0;1] функцию
Cp;!" ( f ; x) # Cp;!" ( f ) , являющуюся элементом наилучшего (!,") -приближения функции
f в пространстве Lp[0;1] , т. е.
f ! Cp;"# p;"#
= inf f ! c p;"# :!c $!{ } = inf "( f ! c)+ + #( f ! c)! p :!c $!{ } .
Как известно, критерием элемента наилучшего (!,") -приближения функции f в про-
странстве Lp[0;1] является следующая теорема.
Теорема ([1], [2], гл. 1). Для того чтобы функция C(x) ! C была элементом наилуч-
шего (!,") -приближения функции f постоянными в пространстве Lp[0;1] , доста-
точно, а в случае p = 1 при условии mes x ![0;1]:! f (x) = C{ } = 0 необходимо, чтобы
выполнялось равенство
f (x) ! C p!1 " p sign( f (x) ! C)+ ! # p sign( f (x) ! C)!( ) dx = 0
0
1
$ . (1)
Введем величину
A!" ( f ) =
"
! + "
f (0) + !
! + "
f (1) .
Из равенства (1) следует, что если функция f !C[0;1] возрастающая, то C1;!" ( f ) =
= f !
! + "
#
$%
&
'(
. Если, кроме того, функция f выпукла вниз, то в силу неравенства Йенсена
C1;!" ( f ) = f !
! + "
#
$%
&
'(
= f "
! + "
) 0 + !
! + "
)1#
$%
&
'(
*
"
! + "
f (0) + !
! + "
f (1) = A!" ( f ) .
Таким образом, если функция f !C[0;1] возрастающая и выпуклая вниз, то
C1;!" ( f ) # A!" ( f ) . Если же функция f !C[0;1] возрастающая и выпуклая вверх, то
C1;!" ( f ) # A!" ( f ) .
Отсюда следует, что если функция f !C[0;1] возрастающая и выпуклая, то равенство
C1;!" ( f ) = A!" ( f ) является необходимым и достаточным условием линейности функции f .
Если функция f !C[0;1] возрастающая, то из равенства (1) вытекает равенство
О НАИЛУЧШИХ (!;") -ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПОСТОЯННЫМИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ … 1017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
! p ! Cp;"! ( f ) # f (x)( )p#1 dx
0
$
% = " p ! f (x) # Cp;"! ( f )( )p#1 dx
$
1
% , (2)
где Cp;!" ( f ) = f (# ) , ! "[0;1] .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть f !C[0;1] монотонна на [0;1] и не является линейной. Тогда:
1) если функция f (x) выпуклая вверх, то A!" ( f ) < Cp;!" ( f ) < C1;!" ( f ) ;
2) если функция f (x) выпуклая вниз, то C1;!" ( f ) < Cp;!" ( f ) < A"! ( f ) .
Доказательство. Пусть вначале функция f (x) возрастающая и выпуклая вверх. Пред-
положим, что существует такое число p !(1;") , что для элемента C = Cp;!" ( f ) наилуч-
шего (!,") -приближения функции f постоянными в метрике Lp[0;1] выполняется
неравенство C < A!" ( f ) .
В силу предположения выполняются неравенства
C ! f (x)( )p!1 dx
0
"
# $ A%& ( f ) ! f (x)( )p!1 dx
0
'
# ,
f (x) ! A"# ( f )( )p!1 dx
$
1
% & f (x) ! C( )p!1 dx
'
1
% ,
где A!" ( f ) = f (#) , ! "[0;1] .
Отсюда и из равенства (2) следует неравенство
! p f (x) " A!# ( f )( )p"1 dx
$
1
% & # p A!# ( f ) " f (x)( )p"1 dx
0
$
% . (3)
Поскольку f (!) = A"# ( f ) < C1;"# ( f ) = f "
" + #
$
%&
'
()
, в силу монотонности f ! <
"
" + #
. От-
сюда !" < #(1$ ") . Несложно проверить, что справедливо равенство
! A"! ( f ) # f (0)( ) = " f (1) # A"! ( f )( ) .
Введем функцию
g(x) =
! A"! ( f ) # f (x)( ) , x $[0, %),
" f (x) # A"! ( f )( ) , x $[%,1].
&
'
(
)(
Заметим, что g(0) = g(1) и на отрезке [0; !] функция g(x) выпукла вниз, а на отрезке
[!;1] — выпукла вверх. Отсюда следует, что
1018 О. В. ПОЛЯКОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
!! g(x)( )p"1 dx
0
#
$ < !
g(0)
#
(# " x)%
&'
(
)*
p"1
dx =
g(0)( )p
p
!# <
g(1)( )p
p
+(1" #)
0
#
$ =
= !! g(1)
1" #
(x " #)$
%&
'
()
p"1
dx
#
1
* < ! g(x)( )p"1 dx
#
1
* .
Тогда
! p ! A"! ( f ) # f (x)( )p#1 dx
0
$
% < " p ! f (x) # A"! ( f )( )p#1 dx
$
1
% ,
что противоречит неравенству (3).
Следовательно, для всех p !(1;") A!" ( f ) < Cp;!" ( f ) .
Пусть теперь существует некоторое число p !(1;") такое, что для элемента C =
= Cp;!" ( f ) наилучшего (!,") -приближения функции f постоянными в метрике Lp[0;1]
выполняется неравенство C ! A"# ( f ) .
Аналогично предыдущему справедливо равенство
! p ! C " f (x)( )p"1 dx
0
#
$ = % p f (x) " C( )p"1 dx
#
1
$ , (4)
где C = f (! ) , ! "[0;1] .
В силу предположения f (! ) = C > C1;"# ( f ) = f "
" + #
$
%&
'
()
. Следовательно, в силу монотон-
ности функции f ! >
"
" + #
.
Имеют место неравенства
C ! f (x)( )p!1 dx
0
"
# $ C1;%& ( f ) ! f (x)( )p!1 dx
0
%/(%+&)
# ,
f (x) ! C( )p!1 dx
"
1
# $ f (x) ! C1;%& ( f )( )p!1 dx
%/(%+&)
1
# .
В силу равенства (4) выполняется неравенство
! p C1;"! ( f ) # f (x)( )p#1 dx
0
"/("+!)
$ % " p f (x) # C1;"! ( f )( )p#1 dx
"/("+!)
1
$ ,
или, что то же самое,
О НАИЛУЧШИХ (!;") -ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПОСТОЯННЫМИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ … 1019
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
! p ! f
"
" + !
#
$%
&
'(
) f (x)
#
$%
&
'(
p)1
dx
0
"/("+!)
* + " p f (x) ) f
"
" + !
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
p)1
dx
"/("+!)
1
* . (5)
Имеют место неравенства
f
!
! + "
#
$%
&
'(
) f (x)
#
$%
&
'(
p)1
dx *
0
!/(!+")
+ ,f)
!
! + "
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
p)1
! p
p(! + ")p
, (6)
f (x) ! f
"
" + #
$
%&
'
()
$
%&
'
()
p!1
dx *
"/("+#)
1
+ ,f+
"
" + #
$
%&
'
()
$
%&
'
()
p!1
# p
p(" + #)p
, (7)
!f–
"
" + #
$
%&
'
()
* !f+
"
" + #
$
%&
'
()
. (8)
Пусть неравенство (6) строгое. Тогда с учетом неравенств (7), (8) получим неравенство
! p ! f
"
" + !
#
$%
&
'(
) f (x)
#
$%
&
'(
p)1
dx
0
"/("+!)
* > " p ! f (x) ) f
"
" + !
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
p)1
dx
"/("+!)
1
* ,
которое противоречит неравенству (5).
Аналогично получаем противоречие с неравенством (5) в предположении, что неравенст-
во (7) строгое.
Если в (6) и (7) имеют место знаки равенств, то f (x) — ломаная из двух звеньев,
!f–
"
" + #
$
%&
'
()
> !f+
"
" + #
$
%&
'
()
и вновь получаем противоречие с (5).
Таким образом, для всех p !(1;") Cp;!" ( f ) < C1;!" ( f ) .
Пусть функция f (x) убывающая и выпуклая вверх. Тогда функция g(x) = f (1! x) воз-
растающая и выпуклая вверх.
Воспользуемся тем фактом, что для всех p !(1;")
Cp;!" (g) = Cp;!" ( f (1!#!x)) = Cp;"! ( f ) и A!" (g) = A!" ( f (1!#!x)) = A"! ( f ) .
Тогда с учетом доказанного Cp;!" ( f ) = Cp;"! (g) < C1;"! (g) = C1;!" ( f ) и
Cp;!" ( f ) = Cp;"! (g) > A"! (g) = A!" ( f ) .
Пусть функция f (x) убывающая и выпуклая вниз. Тогда функция h(x) = ! f (x) возрас-
тающая и выпуклая вверх.
Воспользуемся тем фактом, что для всех p !(1;") Cp;!" (# f ) = #Cp;"! ( f ) и A!" (# f ) =
1020 О. В. ПОЛЯКОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
= !A"# ( f ) . Тогда с учетом доказанного Cp;!" ( f ) = #Cp;"! (# f ) > #C1;"! (# f ) = C1;!" ( f ) и
Cp;!" ( f ) = #Cp;"! (# f ) < #A"! (# f ) = A!" ( f ) .
В заключение заметим, что случай ! = " = 1 изучен в [7].
1. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр. мат. журн. –
1982. – 34, № 4. – С. 43 – 51.
2. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. – М.: Наука, 1987.
3. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
4. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1982. –
250 с.
5. Бабенко В. Ф. Несимметричные экстремальные задачи теории приближения // Докл. АН СССР. – 1983. – 269,
№ 3. – С. 521 – 524.
6. Бабенко В. Ф. Приближение классов сверток // Сиб. мат. журн. – 1987. – 28, № 5. – С. 6 – 21.
7. Черницкая О. В. Поведение констант наилучшего приближения для выпуклых функций // Вісн. Дніпропетр.
ун-ту. Математика. – 2006. – Вип. 11. – С. 110 – 114.
Получено 23.04.12,
после доработки — 01.04.13
|