Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши
Встановлено достатні умови для диференційовності сингулярного інтеграла Коші з кусково-неперервною щільністю. Одержано формули для похідних порядку n сингулярного інтеграла Коші та для граничних значень похідних порядку n інтеграла типу Коші. We establish sufficient conditions for the differentiabil...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165616 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши / С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 222–229. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165616 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Плакса, С.А. 2020-02-14T15:13:06Z 2020-02-14T15:13:06Z 2005 Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши / С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 222–229. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165616 517.5 Встановлено достатні умови для диференційовності сингулярного інтеграла Коші з кусково-неперервною щільністю. Одержано формули для похідних порядку n сингулярного інтеграла Коші та для граничних значень похідних порядку n інтеграла типу Коші. We establish sufficient conditions for the differentiability of a singular Cauchy integral with piecewise-continuous density. Formulas for the nth-order derivatives of a singular Cauchy integral and for the boundary values of the nth-order derivatives of a Cauchy-type integral are obtained. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши Differentiation of Singular Integrals with Piecewise-Continuous Density and Boundary Values of Derivatives of a Cauchy-Type Integral Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши |
| spellingShingle |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши Плакса, С.А. Статті |
| title_short |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши |
| title_full |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши |
| title_fullStr |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши |
| title_full_unstemmed |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши |
| title_sort |
дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа коши |
| author |
Плакса, С.А. |
| author_facet |
Плакса, С.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Differentiation of Singular Integrals with Piecewise-Continuous Density and Boundary Values of Derivatives of a Cauchy-Type Integral |
| description |
Встановлено достатні умови для диференційовності сингулярного інтеграла Коші з кусково-неперервною щільністю. Одержано формули для похідних порядку n сингулярного інтеграла Коші та для граничних значень похідних порядку n інтеграла типу Коші.
We establish sufficient conditions for the differentiability of a singular Cauchy integral with piecewise-continuous density. Formulas for the nth-order derivatives of a singular Cauchy integral and for the boundary values of the nth-order derivatives of a Cauchy-type integral are obtained.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165616 |
| citation_txt |
Дифференцирование сингулярных интегралов с кусочно-непрерывной плотностью и граничные значения производных интеграла типа Коши / С.А. Плакса // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 222–229. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT plaksasa differencirovaniesingulârnyhintegralovskusočnonepreryvnoiplotnostʹûigraničnyeznačeniâproizvodnyhintegralatipakoši AT plaksasa differentiationofsingularintegralswithpiecewisecontinuousdensityandboundaryvaluesofderivativesofacauchytypeintegral |
| first_indexed |
2025-11-24T20:49:39Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:49:39Z |
| _version_ |
1850496363145461760 |
| fulltext |
UDK 517.5
S. A. Plaksa (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
DYFFERENCYROVANYE SYNHULQRNÁX YNTEHRALOV
S KUSOÇNO-NEPRERÁVNOJ PLOTNOST|G
Y HRANYÇNÁE ZNAÇENYQ PROYZVODNÁX
YNTEHRALA TYPA KOÍY
We establish sufficient conditions of the differentiability of the Cauchy singular integral with piecewise
continuous density. We obtain formulas for n order derivatives of the Cauchy singular integral and for
boundary values of n order derivatives of the Cauchy-type integral.
Vstanovleno dostatni umovy dlq dyferencijovnosti synhulqrnoho intehrala Koßi z kuskovo-
neperervnog wil\nistg. OderΩano formuly dlq poxidnyx porqdku n synhulqrnoho intehrala
Koßi ta dlq hranyçnyx znaçen\ poxidnyx porqdku n intehrala typu Koßi.
V monohrafyy [1] ustanovleno suwestvovanye predel\n¥x znaçenyj n-j proyz-
vodnoj yntehrala typa Koßy na zamknutom hladkom konture yntehryrovanyq
pry uslovyy, çto plotnost\ yntehrala ymeet hel\derovskug konturnug proyz-
vodnug toho Ωe porqdka. Obobwenyq πtoho rezul\tata na bolee ßyrokye klas-
s¥ konturov y plotnostej yntehrala pryveden¥ v rabotax [2, 3].
Teorema31 dannoj rabot¥ soderΩyt dostatoçn¥e uslovyq dyfferencyrue-
mosty synhulqrnoho yntehrala s neprer¥vnoj plotnost\g, konturnaq proyz-
vodnaq kotoroj dopuskaet razr¥v¥ v dvux toçkax. Na osnove πtoho rezul\tata v
teoremax323–34 ustanavlyvagtsq formul¥ dlq n-j proyzvodnoj synhulqrnoho
yntehrala Koßy s razlyçn¥m çyslom razr¥vov u plotnosty yntehrala. Çerez
proyzvodn¥e synhulqrnoho yntehrala Koßy v¥raΩagtsq hranyçn¥e znaçenyq
n-j proyzvodnoj yntehrala typa Koßy, formul¥ dlq kotor¥x pry razlyçnom
çysle razr¥vov u plotnosty yntehrala ustanavlyvagtsq v teoremax353–37.
1. Proyzvodn¥e synhulqrnoho yntehrala Koßy s dvumq razr¥vamy u
plotnosty yntehrala. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq
v kompleksnoj ploskosty C , a b1 y b2 — fyksyrovann¥e toçky kryvoj γ.
Pry j = 1, 2 y 0 < ε < b b1 2 2− / oboznaçym çerez γ ε, j svqznug komponentu
mnoΩestva t t bj∈ − ≤{ }γ ε: , soderΩawug toçku bj . Vvedem takΩe v ras-
smotrenye svqzn¥e komponent¥ γ
1
y γ
2
mnoΩestva γ γ γε ε\( ), ,1 2∪ , pry πtom
uslovymsq, çto pry zadannoj oryentacyy kryvoj γ toçky mnoΩestva γ1 sledu-
gt za toçkoj b1 y predßestvugt toçke b2 . Pry m = 1, 2 y j = 1, 2 obozna-
çym çerez ξm j, obwug toçku mnoΩestv γ m
y γ ε, j .
V sledugwej teoreme pryveden¥ uslovyq, dostatoçn¥e dlq dyfferency-
ruemosty na γ \{ , }b b1 2 synhulqrnoho yntehrala Koßy
( S f ) ( ξ ) : = 1
π ξγi
f t
t
dt
( )
−∫ ≡
1
0π ξε
γ ξ εi
f t
t
dt
t t
lim
( )
{ :| | }
→
∈ − ≥ −∫ , ξ ∈ γ, (1)
plotnost\ kotoroho f ymeet konturnug proyzvodnug f ′, dopuskagwug razr¥-
v¥ v toçkax b1 y b2 .
Teorema31. Pust\ svqzn¥e komponent¥ mnoΩestva γ \{ , }b b1 2 qvlqgtsq
hladkymy kryv¥my, a funkcyq f dyfferencyruema na γ \{ , }b b1 2 , neprer¥vna
v toçkax b1 y b2 y, krome toho, ee proyzvodnaq pry lgbom ξ γ0 1 2∈ \{ , }b b
udovletvorqet uslovyg
( ( ) ( )) ln( )′ − ′ −f fξ ξ ξ ξ0 0 → 0, ξ → ξ0 . (2)
Tohda spravedlyvo ravenstvo
© S. A. PLAKSA, 2005
222 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DYFFERENCYROVANYE SYNHULQRNÁX YNTEHRALOV … 223
d
d
f t
t
dt
ξ ξγ
( )
−∫ =
′
−∫ f t
t
dt
( )
ξγ
∀ ∈ξ γ \{ , }b b1 2 (3)
pry uslovyy, çto synhulqrn¥j yntehral v pravoj çasty ravenstva suwestvuet.
Dokazatel\stvo. Pust\ ξ — fyksyrovannaq toçka mnoΩestva γ \{ , }b b1 2
y ε — fyksyrovannoe poloΩytel\noe çyslo, udovletvorqgwee neravenstvu
ε < 1
2 1 2 1 2min , ,ξ ξ− − −{ }b b b b .
Yspol\zuq teoremu yz [1, c. 32], pry lgbom ζ ∈ γ , udovletvorqgwem neravenst-
vu ζ ξ− < ε , poluçaem ravenstva
f t
t
dt
( )
−∫ ζγ
=
γ γ γ γε ε
ζ
, ,
( )
1 1 2 2
∫ ∫ ∫ ∫+ + +
−
f t
t
dt =
γ γε ε
ζ
, ,
( )
1 2
∫ ∫+
−
f t
t
dt +
+ π ζ ξ ξ ζ ξ ξ ζi f f f( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ), , , ,+ − − −1 2 1 2 11 11 +
+ f f f t t dt( ) ln( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ), , , ,ξ ξ ζ ξ ξ ζ ζ
γ γ
2 1 2 1 2 2 2 2
1 2
− − − − +
′ −∫ ∫ .
Tak Ωe, kak y v monohrafyy [1, s. 43], dyfferencyruq poluçennoe ravenstvo
po ζ y uçyt¥vaq pry πtom uslovye (2), a zatem polahaq ζ = ξ, ymeem
d
d
f t
t
dt
ζ ζγ ζ ξ
( )
−
∫
=
=
γ γε ε
ξ
π ξ
, ,
( )
( )
( )
1 2
2∫ ∫+
−
+ ′f t
t
dt i f +
+
f f f f( ) ( ) ( ) ( ),
,
,
,
,
,
,
,
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ
1 2
1 2
11
11
2 1
2 1
2 2
2 2−
−
−
+
−
−
−
+
γ γ
ξ
π ξ
1 2
∫ ∫+
′
−
− ′f t
t
dt i f
( )
( ).
Teper\, perexodq k predelu pry ε → 0, poluçaem ravenstvo (3).
Teorema dokazana.
Vvedem v rassmotrenye modul\ neprer¥vnosty funkcyy g, neprer¥vnoj na
kryvoj γ :
ωγ ( g, ε ) : = sup ( ) ( )
, , | |t t t t
g t g t
1 2 1 2
1 2
∈ − ≤
−
γ ε
.
Oboznaçym çerez D0 ( b1 , b2 ) klass neprer¥vn¥x na γ funkcyj g, dlq koto-
r¥x v¥polnqgtsq ravenstva g ( b1 ) = g ( b2 ) = 0 y moduly neprer¥vnosty udov-
letvorqgt uslovyg Dyny
ω η
η
ηγ ( , )g
d
0
1
∫ < ∞ . (4)
V sledugwej teoreme pryveden¥ uslovyq, dostatoçn¥e dlq suwestvovanyq
na γ \{ , }b b1 2 konturn¥x proyzvodn¥x porqdka n u synhulqrnoho yntehrala
Koßy v sluçae, kohda eho plotnost\ dopuskaet razr¥v¥ v toçkax b1 y b2 .
Teorema32. Pust\ svqzn¥e komponent¥ mnoΩestva γ \{ , }b b1 2 qvlqgtsq
hladkymy kryv¥my y γ udovletvorqet uslovyg
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
224 S. A. PLAKSA
t t b t b
dt
∈ − − ≤{ }
∫
γ ε: min{| |, | |}1 2
= O ( ε ) , ε → 0 , (5)
a funkcyq f ymeet na γ \{ , }b b1 2 konturn¥e proyzvodn¥e do porqdka n ta-
kye, çto funkcyy
ˆ ( )f tk : = [( )( )] ( )( )t b t b f tk k− − +
1 2
1 , k = 0, 1, … , n,
prynadleΩat klassu D0 ( b1 , b2 ) . Tohda synhulqrn¥j yntehral (1) ymeet na
γ \{ , }b b1 2 konturn¥e proyzvodn¥e do porqdka n y spravedlyv¥ formul¥
( ) ( )( )S f k ξ = 1
1 2
1 2
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dtk
k k
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−∫ +
+
1
1
1
1
1 2π
ξ
γi
A t b t b f t dtk j
j
j
k
k j k j
− +
−
=
− −∑ ∫ − −( ) ( )( ) [( )( )] ( ) ∀ ∈ξ γ \{ , }b b1 2 , (6)
k = 1, 2, … , n,
hde
Ak ( ξ ) : = 2 1
1 2
k
b b k
−
− −[( )( )]ξ ξ
.
Dokazatel\stvo. Pry ξ γ∈ \{ , }b b1 2 predstavym yntehral (1) v vyde
( S f ) ( ξ ) =
1
1 2
1 2
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dt
( )( )
( )( ) ( )
− −
− −
−∫ +
+
b b
i b b
f t dt
i b b
t f t dt1 2
1 2 1 2
1+ −
− −
−
− −∫ ∫ξ
π ξ ξ π ξ ξγ γ( )( )
( )
( )( )
( ) ,
hde suwestvovanye yntehralov obespeçyvaetsq uslovyem (5) y tem, çto f̂0 ∈
∈ D0 ( b1 , b2 ) .
Teper\, yspol\zuq teoremu31, naxodym proyzvodnug synhulqrnoho yntehrala
(1) pry ξ γ∈ \{ , }b b1 2 :
( S f ) ′ ( ξ ) = –
2 1 2
1 2
2
1 2ξ
π ξ ξ ξγ
− −
− −
− −
−∫b b
i b b
t b t b f t
t
dt
[( )( )]
( )( ) ( )
+
+
1 2
1 2
1 2
π ξ ξ ξγi b b
t b b f t
t
dt
( )( )
( ) ( )
− −
− −
−∫ +
+
1
1 2
1 2
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dt
( )( )
( )( ) ( )
− −
− − ′
−∫ +
+
ξ ξ
π ξ ξ
ξ
π ξ ξγ γ
2
1 2 1
2
2
2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2
2 2− + + + +
− −
+ − −
− −∫ ∫( )
[( )( )]
( )
[( )( )]
( )
b b b b b b
i b b
f t dt
b b
i b b
t f t dt = :
= : I1 + I2 + I3 + I4 + I5 . (7)
Pry πtom, preobrazuq summu yntehralov I1 y I2 k vydu
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DYFFERENCYROVANYE SYNHULQRNÁX YNTEHRALOV … 225
I1 + I2 =
( )
[( )( )]
( )
[( )( )]
( )
b b b b
i b b
f t dt
b b
i b b
t f t dt1 2 1
2
2
2
1 2
2
1 2
1 2
2
2+ − −
− −
− − −
− −∫ ∫ξ
π ξ ξ
ξ
π ξ ξγ γ
y podstavlqq poluçennoe v¥raΩenye v ravenstvo (7), posle pryvedenyq podob-
n¥x slahaem¥x ustanavlyvaem spravedlyvost\ formul¥ (6) v sluçae k = 1.
Dalee, predpoloΩyv spravedlyvost\ formul¥ (6) pry k = 1, 2, … , m < n,
dokaΩem ee spravedlyvost\ pry k = m + 1. S πtoj cel\g predstavym synhulqr-
n¥j yntehral, vxodqwyj v ravenstvo (6), v vyde summ¥ yntehralov:
1
1 2
1 2
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dtm
m m
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−∫ =
=
1
1 2
1
1 2
1
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dtm
m m
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−+
+
∫ +
+
b b
i b b
t b t b f t dtm
m m1 2
1 2
1 1 2
+ −
− −
− −+ ∫ξ
π ξ ξ γ[( )( )]
[( )( )] ( )( ) –
–
1
1 2
1 1 2π ξ ξ γi b b
t t b t b f t dtm
m m
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −+ ∫ ,
suwestvovanye kotor¥x obespeçyvaetsq uslovyem (5) y tem, çto f̂m ∈ D0 ( b1 ,
b2 ) .
Teper\, yspol\zovav teoremu31, prodyfferencyruem ravenstvo (6), poloΩyv
pry πtom k = m :
( ) ( )( )S f m+1 ξ = –
( )( )
[( )( )]
[( )( )] ( )( )m b b
i b b
t b t b f t
t
dtm
m m+ − −
− −
− −
−+
+
∫1 2 1 2
1 2
2
1 2
1ξ
π ξ ξ ξγ
+
+
m
i b b
t b t b t b b f t
t
dtm
m m+
− −
− − − −
−+ ∫1 2
1 2
1
1 2 1 2
π ξ ξ ξγ[( )( )]
[( )( )] ( ) ( )( )
+
+
1
1 2
1
1 2
1 1
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dtm
m m
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−+
+ +
∫ +
+
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
[( )( )]
2 1 3 2 1 2 12
1 2 1
2
2
2
1 2
1 2
2
m m b b m b b m b b
i b b m
+ − + + + + + + +
− − +
ξ ξ
π ξ ξ
×
×
γ
∫ − −[( )( )] ( )( )t b t b f t dtm m
1 2 +
+
( )( )
[( )( )]
[( )( )] ( )( )m b b
i b b
t t b t b f t dtm
m m+ − −
− −
− −+ ∫1 2 1 2
1 2
2 1 2
ξ
π ξ ξ γ
+
+
1
1
1 1 2π
ξ
γi
A t b t b f t dt
j
m
m j
j m j m j
=
− +
− −∑ ∫ − −( ) ( )( ) [( )( )] ( ) = :
= : I I I I I1 2 3 4 5
∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ + + + + Σ . (8)
Nakonec, preobrazuq summu yntehralov I1
∗
y I2
∗
k vydu
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
226 S. A. PLAKSA
I I1 2
∗ ∗+ =
( )(( ) )
[( )( )]
[( )( )] ( )( )m b b b b
i b b
t b t b f t dtm
m m+ + − −
− −
− −+ ∫1 1 2 1
2
2
2
1 2
2 1 2
ξ
π ξ ξ γ
–
–
( )( )
[( )( )]
[( )( )] ( )( )m b b
i b b
t t b t b f t dtm
m m+ − −
− −
− −+ ∫1 2 1 2
1 2
2 1 2
ξ
π ξ ξ γ
y podstavlqq poluçennoe v¥raΩenye v ravenstvo (8), posle pryvedenyq podob-
n¥x slahaem¥x ymeem
( ) ( )( )S f m+1 ξ = I
i
A t b t b f t dtm
m m
3 1 1 2
1∗
++ − − +∫π
ξ
γ
( ) [( )( )] ( )( ) Σ =
=
1
1 2
1
1 2
1 1
π ξ ξ ξγi b b
t b t b f t
t
dtm
m m
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−+
+ +
∫ +
+
1
1
1
2
1
1 2
1 1
π
ξ
γi
A t b t b f t dt
j
m
m j
j m j m j
=
+
− +
− + − + −∑ ∫ − −( ) ( )( ) [( )( )] ( ) .
Takym obrazom, poluçena formula (6) pry k = m + 1 y teorema dokazana.
2. Proyzvodn¥e synhulqrnoho yntehrala Koßy s koneçn¥m çyslom
razr¥vov u plotnosty yntehrala. Pust\ teper\ na kryvoj γ zafyksyrovan¥
toçky b1 , b2 , … , bm y m ≥ 1.
Oboznaçym çerez D0 ( b1 , b2 , … , bm ) klass neprer¥vn¥x na γ funkcyj g,
dlq kotor¥x v¥polnqgtsq ravenstva g ( b1 ) = g ( b2 ) = … = g ( bm ) = 0 y mo-
duly neprer¥vnosty udovletvorqgt uslovyg Dyny (4).
V sluçae, kohda plotnost\ f synhulqrnoho yntehrala (1) ymeet edynstven-
nug toçku razr¥va b1 , formul¥ dlq eho proyzvodn¥x ustanavlyvagtsq v sle-
dugwej teoreme (dokaz¥vaetsq analohyçno teoreme32).
Teorema33. Pust\ γ \{ }b1 qvlqetsq hladkoj kryvoj y v¥polnqetsq uslovye
t t b
dt
∈ − ≤{ }
∫
γ ε: | |1
= O ( ε )
, ε → 0,
a funkcyq f ymeet na γ \{ }b1 konturn¥e proyzvodn¥e do porqdka n takye,
çto funkcyy ( ) ( )( )t b f tk k− +
1
1
p r y k = 0, 1, … , n prynadleΩat klassu
D0 ( b1 ) . Tohda synhulqrn¥j yntehral (1) ymeet na γ \{ }b1 konturn¥e proyz-
vodn¥e do porqdka n y spravedlyv¥ formul¥
( ) ( )( )S f k ξ =
1
1
1
π ξ ξγi b
t b f t
t
dtk
k k
( )
( ) ( )( )
−
−
−∫ ∀ ∈ξ γ \{ }b1 , k = 1, 2, … , n.
Uslovymsq, çto pry m ≥ 2 toçky b1 , b2 , … , bm kryvoj γ zanumerovan¥ v
tom porqdke, v kakom ony vstreçagtsq pry poloΩytel\nom obxode γ, naçynaq
ot nekotoroj yz nyx, oboznaçennoj çerez b1 . Pry s = 1, 2, … , m – 1 oboznaçym
çerez γs duhu kryvoj γ s naçalom v toçke bs y koncom v toçke bs + 1 . Vvedem
takΩe v rassmotrenye duhu γm kryvoj γ s naçalom v toçke bm y koncom v toç-
ke bm + 1 : = b1 .
Obobwenyem teorem¥32 na sluçaj m toçek razr¥va u plotnosty f synhu-
lqrnoho yntehrala (1) qvlqetsq sledugwee utverΩdenye.
Teorema34. Pust\ svqzn¥e komponent¥ mnoΩestva γ \{ , , , }b b bm1 2 … qvlq-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DYFFERENCYROVANYE SYNHULQRNÁX YNTEHRALOV … 227
gtsq hladkymy kryv¥my y γ udovletvorqet uslovyg
t t b t b t bm
dt
∈ − − … − ≤{ }
∫
γ ε: min{| |, | |, , | |}1 2
= O ( ε )
, ε → 0,
a funkcyq f ymeet na γ \{ , , , }b b bm1 2 … konturn¥e proyzvodn¥e do porqdka n
takye, çto funkcyy [( )( ) ( )] ( )( )t b t b t b f tm
k k− − … − +
1 2
1
p r y k = 0, 1, … , n
prynadleΩat klassu D0 ( b1 , b 2 , … , bm ) . Tohda synhulqrn¥j yntehral (1)
ymeet na γ \{ , , , }b b bm1 2 … konturn¥e proyzvodn¥e do porqdka n y spraved-
lyv¥ formul¥
( ) ( )( )S f k ξ =
s
m
s s
k
s s
k k
i b b
t b t b f t
t
dt
s= +
+∑ ∫− −
− −
−1 1
11
π ξ ξ ξγ[( )( )]
[( )( )] ( )( )
+
+
1
1 1
1
1
1π
ξ
γi
A t b t b f t dt
s
m
j
k
s k j
j
s s
k j k j
s= =
− +
−
+
− −∑ ∑ ∫ − −,
( ) ( )( ) [( )( )] ( )
∀ ∈ …ξ γ \{ , , , }b b bm1 2 , k = 1, 2, … , n,
hde
As k, ( )ξ : =
2 1
1
k
b bs s
k
−
− − +[( )( )]ξ ξ
.
Dokazatel\stvo. Vvedem v rassmotrenye funkcyy
fs ( t ) : =
f t t b b b
t
s m
s
( ) { , , , },\
\
pry
pry
∈ …
∈
γ
γ γ
1 2
0
(9)
y predstavym yntehral (1) v vyde summ¥ synhulqrn¥x yntehralov, plotnosty
kotor¥x ymegt tol\ko dve toçky razr¥va:
( S f ) ( ξ ) =
s
m
s
i
f t
t
dt
=
∑ ∫ −1
1
π ξγ
( )
.
Teper\ dokazatel\stvo zaverßaetsq prymenenyem k kaΩdomu yz slahaem¥x sum-
m¥ teorem¥32.
3. Formul¥ predel\n¥x znaçenyj proyzvodn¥x yntehrala typa Koßy
s kusoçno-neprer¥vnoj plotnost\g. Ustanovym teper\ formul¥ predel\-
n¥x znaçenyj na γ \{ , , , }b b bm1 2 … proyzvodnoj n-ho porqdka yntehrala typa
Koßy
˜( )f z : =
1
2π γi
f t
t z
dt
( )
−∫ , z ∈ C \ γ , (10)
plotnost\ kotoroho f dopuskaet razr¥v¥ v toçkax b1 , b2 , … , bm , hde m ≥ 1.
Pry πtom predel\n¥e znaçenyq proyzvodnoj
˜( )f n
sleva y sprava ot γ obozna-
çym sootvetstvenno çerez ( )˜( )f n +
y ( )˜( )f n −
.
PreΩde vseho otmetym, çto esly γ — takaq kryvaq, kak y v teoreme34, to dlq
lgboj funkcyy g ∈ D0 ( b1 , b2 , … , bm ) spravedlyvo ravenstvo
d
dz
g t
t z
dt
( )
−∫
γ
=
′
−∫ g t
t z
dt
( )
γ
∀ z ∈ C \ γ , (11)
kotoroe ustanavlyvaetsq analohyçno ravenstvu (3).
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
228 S. A. PLAKSA
Rassmotrym snaçala sluçaj dvux toçek razr¥va u plotnosty f yntehra-
la3(10).
Teorema35. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥32. Tohda proyzvodnaq n-
ho porqdka yntehrala (10) ymeet na γ \{ , }b b1 2 predel\n¥e znaçenyq ( )˜( )f n +
y ( )˜( )f n − , kotor¥e v¥raΩagtsq formuloj
( )˜ ( )( )f n ± ξ = ±
1
2
1
2 1 2
1 2f
i b b
t b b f t
t
dtn
n
n n
( )
( )
( )
[( )( )]
[( )( )] ( )ξ
π ξ ξ
ξ
ξγ
+
− −
− −
−∫ +
+
1
2 1
1
1
1 2π
ξ
γi
A t b t b f t dt
j
n
n j
j n j n j
=
− +
− − −∑ ∫ − −( ) ( )( ) [( )( )] ( ) ∀ ∈ξ γ \{ , }b b1 2 ,
hde funkcyy Ak , k = 1, 2, … , n, opredelen¥ v teoreme32.
Dokazatel\stvo. Predstavym yntehral (10) v vyde
˜( )f z =
1
2 1 2
1 2
π γi z b z b
t b t b f t
t z
dt
( )( )
( )( ) ( )
− −
− −
−∫ +
+
b b z
i z b z b
f t dt
i z b z b
t f t dt1 2
1 2 1 22
1
2
+ −
− −
−
− −∫ ∫π πγ γ( )( )
( )
( )( )
( )
y, yspol\zuq ravenstvo (11), po sxeme dokazatel\stva teorem¥32 pry lgbom z ∈
∈ C \ γ poluçym ravenstvo
˜ ( )( )f zn =
1
2 1 2
1 2
π γi z b z b
t b t b f t
t z
dtn
n n
[( )( )]
[( )( )] ( )( )
− −
− −
−∫ +
+
1
2 1
1
1
1 2π γi
A z t b t b f t dt
j
n
n j
j n j n j
=
− +
− − −∑ ∫ − −( ) ( )( ) [( )( )] ( ) . (12)
Predel\n¥e znaçenyq na γ \{ , }b b1 2 pervoho yntehrala yz pravoj çasty ra-
venstva (12) sleva y sprava ot γ v¥raΩagtsq formulamy Soxockoho. Yx
spravedlyvost\ pry f̂n ∈ D0 ( b1 , b2 ) y uslovyy (5) sleduet yz teorem32 y 3
rabot¥ [4]. Teper\ utverΩdenye teorem¥ sleduet yz ukazann¥x formul y toho,
çto pry k = 1, 2, … , n funkcyy Ak y yx proyzvodn¥e neprer¥vn¥ na
γ \{ , }b b1 2 .
V sluçae, kohda plotnost\ f yntehrala (10) ymeet edynstvennug toçku raz-
r¥va b1, spravedlyva sledugwaq teorema (dokaz¥vaetsq analohyçno teo-
reme35).
Teorema36. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥33. Tohda proyzvodnaq n-
ho porqdka yntehrala (10) ymeet na γ \{ }b1 predel\n¥e znaçenyq ( )˜( )f n +
y
( )˜( )f n − , kotor¥e v¥raΩagtsq formuloj
( )˜ ( )( )f n ± ξ = ±
1
2
1
2 1
1f
i b
t b f t
t
dtn
n
n n
( )
( )
( )
( )
( ) ( )ξ
π ξ ξγ
+
−
−
−∫ ∀ ∈ξ γ \{ }b1 .
Nakonec, v sluçae, kohda plotnost\ f yntehrala (10) ymeet m toçek razr¥-
va y m > 2, predstavlqq yntehral (10) v vyde summ¥
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
DYFFERENCYROVANYE SYNHULQRNÁX YNTEHRALOV … 229
˜( )f z =
s
m
s
i
f t
t z
dt
=
∑ ∫ −1
1
2π γ
( )
,
hde funkcyy fs opredelen¥ ravenstvamy (9), a zatem prymenqq k kaΩdomu yz
slahaem¥x summ¥ teoremu35, pryxodym k sledugwemu utverΩdenyg.
Teorema37. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥34. Tohda proyzvodnaq n-
ho porqdka yntehrala (10) ymeet na γ \{ , , , }b b bm1 2 … predel\n¥e znaçenyq
( )˜( )f n +
y ( )˜( )f n − , kotor¥e v¥raΩagtsq formuloj
( )˜ ( )( )f n ± ξ = ±
1
2
f n( )( )ξ +
+
s
m
s s
n
s s
n n
i b b
t b t b f t
t
dt
s= +
+∑ ∫− −
− −
−1 1
11
2π ξ ξ ξγ[( )( )]
[( )( )] ( )( )
+
+
1
2 1 1
1
1
1π
ξ
γi
A t b t b f t dt
s
m
j
n
s n j
j
s s
n j n j
s= =
− +
−
+
− −∑ ∑ ∫ − −,
( ) ( )( ) [( )( )] ( )
∀ ∈ …ξ γ \{ , , , }b b bm1 2 ,
hde funkcyy As k, , s = 1, 2, … , m, k = 1, 2, … , n, opredelen¥ v teoreme34.
1. Haxov F. D. Kraev¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1977. – 640 s.
2. Tamrazov P. M. Hladkosty y polynomyal\n¥e pryblyΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1975. –
272 s.
3. Herus O. F. O module neprer¥vnosty telesn¥x proyzvodn¥x yntehrala typa Koßy // Ukr.
mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 4. – S. 476 – 484.
4. Plaksa S. A. Kraevaq zadaça Rymana s oscyllyrugwym svobodn¥m çlenom y synhulqrn¥e
yntehral\n¥e uravnenyq na sprqmlqemoj kryvoj // Nekotor¥e vopros¥ analyza y
dyfferencyal\noj topolohyy. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1988. – S. 70 – 80.
Poluçeno 04.12.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
|