О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп
Вивчаються властивості i будова неабелевих груп з умовою мінімальності для неінваріантних абелевих pd-підгруп, якщо вони не задовольняють умову мінімальності для абелевих pd-підгруп. Доведено їх розв'язність та встановлено зв'язки з неабелевими групами, в яких всі нескінченні абелеві pd-пі...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165621 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп / Ф.Н. Лиман // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 265-270. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165621 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лиман, Ф.Н. 2020-02-14T15:22:59Z 2020-02-14T15:22:59Z 2005 О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп / Ф.Н. Лиман // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 265-270. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165621 512.544 Вивчаються властивості i будова неабелевих груп з умовою мінімальності для неінваріантних абелевих pd-підгруп, якщо вони не задовольняють умову мінімальності для абелевих pd-підгруп. Доведено їх розв'язність та встановлено зв'язки з неабелевими групами, в яких всі нескінченні абелеві pd-підгрупи є інваріантними. We study properties and the structure of non-Abelian groups with minimality condition for non-invariant Abelian pd-subgroups in the case where they do not satisfy the minimality condition for Abelian pd-subgroups. We prove the solvability of these groups and establish relations with non-Abelian groups in which all infinite Abelian pd-subgroups are invariant. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп On Groups with Minimality Condition for Noninvariant Abelian pd-Subgroups Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| spellingShingle |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп Лиман, Ф.Н. Короткі повідомлення |
| title_short |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| title_full |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| title_fullStr |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| title_full_unstemmed |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| title_sort |
о группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп |
| author |
Лиман, Ф.Н. |
| author_facet |
Лиман, Ф.Н. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Groups with Minimality Condition for Noninvariant Abelian pd-Subgroups |
| description |
Вивчаються властивості i будова неабелевих груп з умовою мінімальності для неінваріантних абелевих pd-підгруп, якщо вони не задовольняють умову мінімальності для абелевих pd-підгруп. Доведено їх розв'язність та встановлено зв'язки з неабелевими групами, в яких всі нескінченні абелеві pd-підгрупи є інваріантними.
We study properties and the structure of non-Abelian groups with minimality condition for non-invariant Abelian pd-subgroups in the case where they do not satisfy the minimality condition for Abelian pd-subgroups. We prove the solvability of these groups and establish relations with non-Abelian groups in which all infinite Abelian pd-subgroups are invariant.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165621 |
| citation_txt |
О группах с условием минимальности для неинвариантных абелевых pd-подгрупп / Ф.Н. Лиман // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 265-270. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT limanfn ogruppahsusloviemminimalʹnostidlâneinvariantnyhabelevyhpdpodgrupp AT limanfn ongroupswithminimalityconditionfornoninvariantabelianpdsubgroups |
| first_indexed |
2025-11-25T13:04:49Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:04:49Z |
| _version_ |
1850515124453900288 |
| fulltext |
UDK 512.544
F. N. Lyman (Sum. ped. un-t)
O HRUPPAX S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY
DLQ NEYNVARYANTNÁX ABELEVÁX p d-PODHRUPP
We study properties and the structure of non-Abelian groups with minimality condition for Abelian p d-
subgroups in the case where they do not satisfy the minimality condition for Abelian p d-subgroups. We
prove the solubility of the considered groups and establish relations with non-Abelian groups in which
all the infinite Abelian p d-groups are invariant.
Vyvçagt\sq vlastyvosti i budova neabelevyx hrup z umovog minimal\nosti dlq neinvariantnyx
abelevyx p d-pidhrup, qkwo vony ne zadovol\nqgt\ umovu minimal\nosti dlq abelevyx p d-
pidhrup. Dovedeno ]x rozv’qznist\ ta vstanovleno zv’qzky z neabelevymy hrupamy, v qkyx vsi
neskinçenni abelevi p d-pidhrupy [ invariantnymy.
Podhruppu hrupp¥ G, soderΩawug otlyçn¥e ot edynyc¥ p-πlement¥ dlq ne-
kotoroho prostoho çysla p, naz¥vagt p d-podhruppoj.
V nastoqwej rabote yzuçagtsq Ip-hrupp¥. Ip-hruppoj budem naz¥vat\ besko-
neçnug neabelevu p d-hruppu, udovletvorqgwug uslovyg mynymal\nosty dlq
neynvaryantn¥x abelev¥x p d-podhrupp.
Takym obrazom, v Ip-hruppe G ne suwestvuet ny odnoj beskoneçnoj ub¥vag-
wej cepoçky neynvaryantn¥x abelev¥x p d-podhrupp.
Klass Ip-hrupp dostatoçno ßyrokyj. V çastnosty, πtomu klassu prynadle-
Ωat beskoneçn¥e neabelev¥ p d-hrupp¥ sledugwyx podklassov: s uslovyem my-
nymal\nosty dlq abelev¥x podhrupp, dlq abelev¥x p d-podhrupp, dlq neynva-
ryantn¥x abelev¥x podhrupp ( I-hrupp¥ S. N. Çernykova, sm. [1], hl. 4); s uslo-
vyem ynvaryantnosty vsex p d-podhrupp ( p d I-hrupp¥, sm. [2]), vsex abelev¥x ne-
cyklyçeskyx p d-podhrupp ( pdHA-hrupp¥, sm. [3]), vsex beskoneçn¥x p d-pod-
hrupp ( I N Hp-hrupp¥, sm. [4]), vsex beskoneçn¥x abelev¥x podhrupp (I H-hrupp¥
S.8N.8Çernykova, sm. [1], hl. 4), vsex beskoneçn¥x abelev¥x p d-podhrupp ( I Hp-
hrupp¥, sm. [5]).
Lemma 1. Neperyodyçeskaq I p-hruppa G, ne udovletvorqgwaq uslovyg
mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, soderΩyt ynvaryantn¥e cyklyçes-
kye podhrupp¥ porqdka p y beskoneçnoho porqdka.
Dokazatel\stvo. Pust\ A — abeleva podhruppa neperyodyçeskoj Ip-hrup-
p¥ G, ne udovletvorqgwaq uslovyg mynymal\nosty dlq p d-podhrupp.
Esly podhruppa A neperyodyçeskaq, to ona soderΩyt prqmoe proyzvedenye
〈 a 〉 × 〈 x 〉, hde | a | = p, | x | = ∞. Sohlasno opredelenyg Ip-hrupp beskoneçnaq
cepoçka p d-podhrupp dlq lgboho natural\noho çysla s > 1
〈 a, x 〉 ⊃ 〈 a, x
s
〉 ⊃ … a xsn
, ⊃ …
soderΩyt ynvaryantnug podhruppu a xsk
, . Tohda 〈 a 〉 � G, x p sk⋅ � G, y v
πtom sluçae lemma dokazana.
Esly podhruppa A peryodyçeskaq, to ona soderΩyt prqmoe proyzvedenye
〈 a 〉 × 〈 b1 〉 × … × 〈 bn 〉 × …
beskoneçnoho çysla hrupp prost¥x porqdkov, hde | a | = p. Tohda beskoneçnaq
cepoçka podhrupp
〈 a, b1 , b3 , … , b2 n – 1 , … 〉 ⊃ 〈 a, b3 , … , b2 n – 1 , … 〉 ⊃ …
soderΩyt ynvaryantnug podhruppu 〈 a, b2 k – 1 , b2 k + 1 , … 〉, a cepoçka
© F. N. LYMAN, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2 265
266 F. N. LYMAN
〈 a, b2 , b4 , … , b2 n , … 〉 ⊃ 〈 a, b4 , … , b2 n , … 〉 ⊃ …
— ynvaryantnug podhruppu 〈 a, b2 m , b2 m + 2 , … 〉. Tohda
〈 a, b2 k – 1 , b2 k + 1 , … 〉 ∩ 〈 a, b2 m , b2 m + 2 , … 〉 = 〈 a 〉 � G.
Poskol\ku centralyzator CG ( a ) soderΩyt πlement¥ beskoneçnoho porqd-
ka, dalee vse svodytsq k rassmotrennomu v¥ße sluçag.
Lemma dokazana.
Lemma 2. Esly abeleva p d-podhruppa Ip-hrupp¥ G ne udovletvorqet
uslovyg mynymal\nosty dlq podhrupp, to ona sama y vse ee peryodyçeskye pod-
hrupp¥ ynvaryantn¥ v hruppe G.
Dokazatel\stvo. Pust\ H — abeleva p d-podhruppa Ip-hrupp¥ G , ne
udovletvorqgwaq uslovyg mynymal\nosty dlq podhrupp.
Esly podhruppa H neperyodyçeskaq, to ona poroΩdaetsq podhruppamy vyda
〈 x 〉 × 〈 c 〉, hde x — πlement beskoneçnoho porqdka, c — otlyçn¥j ot edynyc¥
p d-πlement, kaΩdaq yz kotor¥x ynvaryantna v G. Dejstvytel\no, voz\mem dva
razlyçn¥x prost¥x çysla q y r. Tohda beskoneçnaq cepoçka podhrupp
〈 x, c 〉 ⊃ 〈 x
q, c 〉 ⊃ x cq2
, ⊃ … ⊃ x cqn
, ⊃ …
soderΩyt ynvaryantnug podhruppu x cqk
, , a beskoneçnaq cepoçka podhrupp
〈 x, c 〉 ⊃ 〈 x
r, c 〉 ⊃ x cr2
, ⊃ … ⊃ x crn
, ⊃ …
— ynvaryantnug podhruppu x crm
, .
Poskol\ku ( q
k, r
m
) = 1, suwestvugt takye cel¥e çysla u y v, çto u q
k +
+ v r
m = 1. Tohda
x cqk
, ⋅ x crm
, = 〈 x, c 〉 � G.
Esly h ∈ H y h — otlyçn¥j ot edynyc¥ p d-πlement, to sohlasno dokazan-
nomu 〈 x, h 〉 � G y 〈 h 〉 � G. Esly | h | < ∞ y h p,( ) = 1, to 〈 x, h a 〉 � G, hde
| a | = p, y snova 〈 h 〉 � G. Sledovatel\no, v πtom sluçae H � G y vse ee peryo-
dyçeskye podhrupp¥ ynvaryantn¥ v hruppe G.
Pust\ teper\ podhruppa H peryodyçeskaq. Tohda ona soderΩyt prqmoe
proyzvedenye beskoneçnoho çysla hrupp prost¥x porqdkov. Otsgda sleduet,
çto dlq lgb¥x πlementov h ∈ H y a ∈ H, hde | a | = p, moΩno ukazat\ takoe
proyzvedenye B = 〈 b1 〉 × 〈 b2 〉 × … × 〈 bn 〉 × … beskoneçnoho çysla hrupp prost¥x
porqdkov, çto 〈 a, h 〉 ∩ B = E. Tohda beskoneçnaq cepoçka podhrupp
〈 a, h, b1 , b3 , … , b2 n – 1 , … 〉 ⊃ 〈 a, h, b3 , … , b2 n – 1 , … 〉 ⊃ …
soderΩyt ynvaryantnug podhruppu 〈 a , h , b2 k – 1 , b2 k + 1 , … 〉, a beskoneçnaq
cepoçka
〈 a, h, b2 , b4 , … , b2 n , … 〉 ⊃ 〈 a, h, b4 , … , b2 n , … 〉 ⊃ …
— ynvaryantnug podhruppu 〈 a, h, b2 m , b2 m+2 , … 〉. Sledovatel\no,
〈 a, h, b2 k – 1 , b2 k + 1 , … 〉 ∩ 〈 a, h, b2 m , b2 m + 2 , … 〉 = 〈 a, h 〉 � G.
Esly h p,( ) = 1, to otsgda sleduet 〈 h 〉 � G. Esly h — otlyçn¥j ot edy-
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
O HRUPPAX S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY DLQ NEYNVARYANTNÁX … 267
nyc¥ p d-πlement, to voz\mem a ∈ 〈 h 〉, y tohda 〈 a, h 〉 = 〈 h 〉 � G. Takym obrazom,
y v πtom sluçae podhruppa H y vse ee peryodyçeskye podhrupp¥ ynvaryantn¥ v
hruppe G.
Lemma dokazana.
Lemma 3. V I p-hruppe G s neperyodyçeskym centrom ynvaryantn¥ vse
beskoneçn¥e abelev¥ p d-podhrupp¥.
Dokazatel\stvo. Pust\ H — beskoneçnaq abeleva p d-podhruppa hrupp¥
G. Esly H ne udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq podhrupp, to so-
hlasno lemme 2 H � G. Esly H udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq
podhrupp, to ona peryodyçeskaq. Tohda sohlasno lemme 2 yz podhrupp¥ 〈 z, H 〉,
hde | z | = ∞ y z ∈ Z ( G ), ynvaryantn¥ v hruppe G vse peryodyçeskye podhrup-
p¥. Poπtomu H � G, y lemma dokazana.
Lemma 4. V neperyodyçeskoj Ip-hruppe G , soderΩawej v centre πlement
porqdka p, ynvaryantn¥ vse beskoneçn¥e abelev¥ p d-podhrupp¥.
Dokazatel\stvo. Pust\ a ∈ Z ( G ), | a | = p y H — lgbaq beskoneçnaq abe-
leva p d-podhruppa hrupp¥ G. Esly podhruppa H ne udovletvorqet uslovyg
mynymal\nosty dlq podhrupp, to sohlasno lemme 2 ona ynvaryantna v hruppe G.
PredpoloΩym, çto H udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq pod-
hrupp. Sohlasno lemme 1 v hruppe G suwestvuet ynvaryantnaq beskoneçnaq
cyklyçeskaq podhruppa 〈 x 〉. Oboznaçym centralyzator CG ( x ) = C.
Pust\ H � C. Tohda suwestvuet takoj πlement h ∈ H, çto h ∉ C, h
2 ∈ C y
h
–
1
x h = x
–
1
. Poskol\ku H udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty, ona soder-
Ωyt kvazycyklyçeskug podhruppu Q po nekotoromu prostomu çyslu q. Oçe-
vydno, çto Q ⊂ C. Voz\mem πlement y ∈ Q porqdka q
3
. Sohlasno lemme 2 pod-
hruppa 〈 x y 〉 × 〈 a 〉 ynvaryantna v G. Tohda
( 〈 x y 〉 × 〈 a 〉 )
p = 〈 x
p
y
p
〉 � G.
Poskol\ku h ∉ CG ( x
p
y
p
), to h
–
1
( x
p
y
p
) = ( x
p
y
p
)
–
1
. S druhoj storon¥,
h
–
1
( x
p
y
p
) h = ( h
–
1
x
p
h ) y
p = x
–
p
y
p
. Otsgda x
–
p
y
–
p = x
–
p
y
p
, y
2
p = 1. No 2 p ne de-
lytsq na q
3
. Sledovatel\no, H ⊂ C y sohlasno lemme 2 H � G.
Lemma dokazana.
Teorema 1. Neperyodyçeskaq Ip-hruppa G, ne udovletvorqgwaq uslovyg
mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, qvlqetsq I Hp-hruppoj.
Dokazatel\stvo. Pust\ H — beskoneçnaq abeleva p d-podhruppa hrupp¥
G. Esly podhruppa H ne udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq pod-
hrupp, to sohlasno lemme 2 ona ynvaryantna v hruppe G.
PredpoloΩym, çto podhruppa H udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty
dlq podhrupp. Sohlasno lemme 1 hruppa G ymeet ynvaryantnug beskoneçnug
cyklyçeskug podhruppu 〈 x 〉 y ynvaryantnug podhruppu 〈 a 〉 porqdka p. Esly
[ H, x ] = 1, to sohlasno lemme 2 H � G. Esly [ H, x ] ≠ 1, to polnaq çast\ P
podhrupp¥ H udovletvorqet uslovyqm [ P, x ] = 1 y [ P, a ] = 1 y suwestvuet
takoj πlement y ∈ H, çto y
–
1
x y = x
–
1
. Voz\mem πlement b ∈ P porqdka q
3
dlq nekotoroho prostoho çysla q ∈ π ( P ) y rassmotrym podhruppu 〈 a 〉 × 〈 b x 〉,
ynvaryantnug v G sohlasno lemme 2. Tohda
( 〈 a 〉 × 〈 b x 〉 )
p = 〈 b
p
x
p
〉 � G.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
268 F. N. LYMAN
Poskol\ku [ h, b
p
x
p
] = [ h, x
p
] ≠ 1, to h
–
1
( b
p
x
p
) h = ( b
p
x
p
)
–
1 = b
–
p
x
–
p
. S
druhoj storon¥, h
–
1
( b
p
x
p
) h = b
p
( h
–
1
x
p
h )
–
1 = b
p
x
–
p
. Otsgda b
–
p
x
–
p = b
p
x
–
p
,
b
2
p = 1. No 2 p ne delytsq na q
3
. Sledovatel\no, sluçaj [ H, x ] ≠ 1 nevozmo-
Ωen, y teorema dokazana.
Sledstvye 1. Neperyodyçeskaq Ip-hruppa G, ne udovletvorqgwaq uslo-
vyg mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, razreßyma.
∏to utverΩdenye neposredstvenno v¥tekaet yz teorem¥ 1 y opysanyq nepe-
ryodyçeskyx I Hp-hrupp v rabote [5].
Zameçanye 1. Neperyodyçeskaq I p-hruppa, udovletvorqgwaq uslovyg my-
nymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, moΩet soderΩat\ neynvaryantn¥e
beskoneçn¥e abelev¥ p d-podhrupp¥ y b¥t\ nerazreßymoj.
Sootvetstvugwym prymerom takoj hrupp¥ qvlqetsq hruppa
G = ( ( 〈 x1 〉 × 〈 x2 〉 ) � 〈 b 〉 ) × A × F,
hde | x1 | = | x2 | = ∞, | b | = 3, b
–
1
x1 b = x2 , b
–
1
x2 b = x x1
1
2
1− −
, A — kvazycykly-
çeskaq q-hruppa y q ≠ 3, F = S z ( 2
2
n
+
1
) — prostaq hruppa Sudzuky porqdka, ne
delqwehosq na 3.
∏ta hruppa udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq abelev¥x 3 d-pod-
hrupp, y vse ony neynvaryantn¥ v G. ∏to sleduet yz toho, çto proyzvol\naq
abeleva 3 d-podhruppa hrupp¥ G peryodyçeskaq y ee normalyzator ne soder-
Ωyt πlementov beskoneçnoho porqdka.
Lemma 5. Pust\ peryodyçeskaq Ip-hruppa G soderΩyt beskoneçnug
abelevu p d-podhruppu
H = H1 × H2 × … × Hn × … ,
hde H i , i = 1, 2, … , n, … , — cyklyçeskye hrupp¥ prost¥x porqdkov. Tohda
centralyzator CG ( x ) qvlqetsq dedekyndovoj hruppoj, vse podhrupp¥ kotoroj
ynvaryantn¥ v G . Pry πtom CG ( H ) poroΩdaetsq vsemy abelev¥my p d-pod-
hruppamy hrupp¥ G, ne udovletvorqgwymy uslovyg mynymal\nosty, y fak-
tor-hruppa G / CG ( H ) abeleva bez kvazycyklyçeskyx podhrupp.
Dokazatel\stvo. Sohlasno lemme 2 Hi � G, i = 1, 2, … , n, … . Sledova-
tel\no, CG ( Hi ) = Ci � G y G / Ci — cyklyçeskaq hruppa. Poπtomu Ci ⊃ G ′, a
znaçyt,
G ′ ⊆
i
iC
=
∞
1
∩ = CG ( H )
y dlq podhrupp¥ C = CG ( H ) faktor-hruppa G / C abeleva.
Pust\ A — proyzvol\naq beskoneçnaq abeleva p d-podhruppa hrupp¥ G, ne
udovletvorqgwaq uslovyg mynymal\nosty. Tohda sohlasno lemme 2 A � G , y
tak kak H � G, A H — nyl\potentnaq podhruppa. Poskol\ku kaΩdaq yz pod-
hrupp Hi , i = 1, 2, … , n, … , prostoho porqdka y ynvaryantna v G, podhruppa
A H abeleva y A ⊂ C. Vvydu proyzvol\nosty podhrupp¥ A otsgda sleduet, çto
C soderΩyt podhruppu K, poroΩdennug vsemy beskoneçn¥my abelev¥my p d-
podhruppamy, ne udovletvorqgwymy uslovyg mynymal\nosty. Voz\mem proyz-
vol\n¥j πlement c ∈ C. Tohda 〈 c 〉 H — abeleva p d-podhruppa, ne udovletvorq-
gwaq uslovyg mynymal\nosty, y poπtomu 〈 c 〉 H ⊂ K. Sledovatel\no, C = K.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
O HRUPPAX S USLOVYEM MYNYMAL|NOSTY DLQ NEYNVARYANTNÁX … 269
Sohlasno lemme 2 kaΩdaq podhruppa yz 〈 c 〉 H ynvaryantna v G. Otsgda
sleduet, çto vse podhrupp¥ yz C ynvaryantn¥ v G y poπtomu C — dedekyndo-
va hruppa.
PokaΩem, çto G / C ne soderΩyt kvazycyklyçeskyx podhrupp. Predpolo-
Ωym, çto P / C — kvazycyklyçeskaq podhruppa G / C. Poskol\ku centraly-
zator Cp ( Hi ), i = 1, 2, … , n, … , ymeet koneçn¥j yndeks v P , s uçetom
yzomorfyzma
( P / C ) / ( Cp ( Hi ) / C ) � P / Cp ( Hi ),
Cp ( Hi ) = P, P ⊆ Ci , y poπtomu P ⊆ C y faktor-hruppa P / C — edynyçnaq pod-
hruppa hrupp¥ G / C, çto protyvoreçyt predpoloΩenyg.
Lemma dokazana.
Sledstvye 2. Peryodyçeskaq I p-hruppa G, ne udovletvorqgwaq uslovyg
mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, razreßyma.
Zameçanye 2. Peryodyçeskaq Ip-hruppa G , udovletvorqgwaq uslovyg my-
nymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, moΩet soderΩat\ neynvaryantn¥e
beskoneçn¥e abelev¥ p d-podhrupp¥ y b¥t\ nerazreßymoj.
Prymerom takoj hrupp¥ qvlqetsq hruppa
G = ( A � 〈 b 〉 ) × P × F,
hde A — beskoneçnaq πlementarnaq abeleva q-hruppa, | b | = p ≠ q, dlq lgboho
πlementa a ∈ A podhruppa 〈 a 〉 � 〈 b 〉 — neabeleva porqdka p q, P — kvazycyk-
lyçeskaq r-hruppa, ( r, p q ) = 1, F — koneçnaq prostaq neabeleva hruppa y
F pqr,( ) = 1.
Hruppa G ne udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq abelev¥x pod-
hrupp, udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, vse
ee otlyçn¥e ot edynyçnoj abelev¥ p d-podhrupp¥ neynvaryantn¥ y ona
nerazreßyma.
Sledstvye 3. Esly v lemme 5 podhruppa H qvlqetsq beskoneçnoj πlemen-
tarnoj abelevoj p-podhruppoj, to G / CG ( H ) — cyklyçeskaq hruppa.
Dokazatel\stvo. Voz\mem Ci = CG ( Hi ) y Cj = CG ( Hj ) pry i ≠ j. Pust\
Ci ≠ Cj y x ∈ Cj \ Ci . Esly Hi = 〈 hi 〉, Hj = 〈 hj 〉, to yz uslovyq ynvaryantnosty v
hruppe G vsex podhrupp yz H ymeem
x
–
1
( hi hj ) x = ( hi hj )
k = h hi
k
j
k
.
S druhoj storon¥,
x
–
1
( hi hj ) x = ( x
–
1
hi x ) hj = hi
mhj .
Poπtomu h hi
k
j
k = hi
mhj . Otsgda m = k = 1 y x ∈ Ci , çto protyvoreçyt predpo-
loΩenyg. Takym obrazom, Ci = Cj y CG ( H ) = CG ( Hm ) dlq vsex m = 1, 2, … .
Poπtomu faktor-hruppa G / CG ( H ) cyklyçeskaq, y sledstvye 3 dokazano.
Zameçanye 3. V obwem sluçae faktor-hruppa G / CG ( H ) moΩet b¥t\
necyklyçeskoj. Sootvetstvugwym prymerom qvlqetsq hruppa
G = ( 〈 a 〉 � 〈 b1 〉 ) × a a a bn1 2 2× ×… ×…( )( )� ,
hde | a | = p ≠ 2, | b1 | = | b2 | ≠ 2, | ai | = q, q ≠ 2, q ≠ p,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
270 F. N. LYMAN
b ab1
1
1
− = a
–
1
, b a bi2
1
2
− = ai
−1
, i = 1, 2, … , n, … .
V πtoj hruppe H = 〈 a 〉 × 〈 a1 〉 × 〈 a2 〉 × … × 〈 an 〉 × … , CG ( H ) = H y G / H — πle-
mentarnaq abeleva hruppa porqdka 4.
Teorema 2. Peryodyçeskaq Ip-hruppa G, ne udovletvorqgwaq uslovyg
mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp, qvlqetsq abelev¥m rasßyrenyem
dedekyndovoj podhrupp¥ K, poroΩdennoj vsemy beskoneçn¥my abelev¥my p d-
podhruppamy, ne udovletvorqgwymy uslovyg mynymal\nosty. Pry πtom vse
podhrupp¥ yz K ynvaryantn¥ v G , a faktor-hruppa G / K ne soderΩyt kva-
zycyklyçeskyx podhrupp. Esly hruppa G soderΩyt beskoneçnug πlementarnug
abelevu p-podhruppu, to faktor-hruppa G / K qvlqetsq cyklyçeskoj.
Vse utverΩdenyq teorem¥ dokazan¥ v lemme 5 y sledstvyy 3.
Obæedynqq sledstvyq 1 y 2, poluçaem sledugwug teoremu.
Teorema 3. Hruppa G razreßyma, esly dlq nekotoroho prostoho çysla p
ona ne udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq abelev¥x p d-podhrupp y
udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq neynvaryantn¥x abelev¥x p d-
podhrupp.
1. Çernykov S. N. Hrupp¥ s zadann¥my svojstvamy system¥ podhrupp. – M.: Nauka, 1980. –
3848s.
2. Lyman F. N. Hrupp¥ s nekotor¥my systemamy ynvaryantn¥x p d-podhrupp // Hrupp¥ y sys-
tem¥ yx podhrupp. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1983. – S. 100 – 118.
3. Lyman F. N. O hruppax, vse abelev¥ necyklyçeskye p d-podhrupp¥ kotor¥x normal\n¥ //
Ukr. mat. Ωurn. – 1991. – 43, # 7-8. – S. 974 – 980.
4. Lyman F. N. O beskoneçn¥x hruppax, vse beskoneçn¥e p d-podhrupp¥ kotor¥x normal\n¥
// Yzv. vuzov. Matematyka. – 1990. – # 3. – S. 75 – 78.
5. Lyman F. N. O hruppax, vse beskoneçn¥e abelev¥ p d-podhrupp¥ kotor¥x normal\n¥ //
Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 6. – S. 796 – 800.
Poluçeno 25.12.2003
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 2
|