Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою
Полугруппа S называется ∆-полугруппой, если решетка ее конгруэнций образует цепь относительно включения. Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя ее подполугруппами. Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных отно...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165679 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 867–873. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165679 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дереч, В.Д. 2020-02-15T17:12:29Z 2020-02-15T17:12:29Z 2015 Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 867–873. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165679 512.534.5 Полугруппа S называется ∆-полугруппой, если решетка ее конгруэнций образует цепь относительно включения. Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя ее подполугруппами. Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В данной статье дана классификация конечных коммутативных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является ∆-полугруппой. A semigroup S is called a ∆-semigroup if the lattice of its congruences forms a chain relative to the inclusion. A local automorphism of the semigroup S is called an isomorphism between its two subsemigroups. The set of all local automorphisms of the semigroup S relative to the ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. We present a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is a ∆-semigroup. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою Classification of Finite Commutative Semigroups for Which the Inverse Monoid of Local Automorphisms is a ∆-Semigroup Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою |
| spellingShingle |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою Дереч, В.Д. Статті |
| title_short |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою |
| title_full |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою |
| title_fullStr |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою |
| title_full_unstemmed |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою |
| title_sort |
класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є δ-напівгрупою |
| author |
Дереч, В.Д. |
| author_facet |
Дереч, В.Д. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Classification of Finite Commutative Semigroups for Which the Inverse Monoid of Local Automorphisms is a ∆-Semigroup |
| description |
Полугруппа S называется ∆-полугруппой, если решетка ее конгруэнций образует цепь относительно включения. Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя ее подполугруппами. Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В данной статье дана классификация конечных коммутативных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является ∆-полугруппой.
A semigroup S is called a ∆-semigroup if the lattice of its congruences forms a chain relative to the inclusion. A local automorphism of the semigroup S is called an isomorphism between its two subsemigroups. The set of all local automorphisms of the semigroup S relative to the ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. We present a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is a ∆-semigroup.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165679 |
| citation_txt |
Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є Δ-напівгрупою / В.Д. Дереч // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 7. — С. 867–873. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT derečvd klasifíkacíâskínčennihkomutativnihnapívgrupdlââkihínversniimonoídlokalʹnihavtomorfízmívêδnapívgrupoû AT derečvd classificationoffinitecommutativesemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsisasemigroup |
| first_indexed |
2025-11-24T15:52:36Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:52:36Z |
| _version_ |
1850849064899313664 |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП,
ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД ЛОКАЛЬНИХ АВТОМОРФIЗМIВ
Є ∆-НАПIВГРУПОЮ
A semigroup S is called a ∆-semigroup if the lattice of its congruences forms a chain relative to the inclusion. A local
automorphism of the semigroup S is called an isomorphism between its two subsemigroups. The set of all local automor-
phisms of the semigroup S relative to the ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of
local automorphisms. We present a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local
automorphisms is a ∆-semigroup.
Полугруппа S называется ∆-полугруппой, если решетка ее конгруэнций образует цепь относительно включения.
Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя ее подполугруппами. Множество
всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных отношений
образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В данной статье дана классификация конечных коммута-
тивных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является ∆-полугруппой.
Напiвгрупа S називається iнверсною, якщо для будь-якого елемента a iснує єдиний елемент
a−1 такий, що aa−1a = a i a−1aa−1 = a−1. Вiдомо (див. [1]), що напiвгрупа є iнверсною тодi i
лише тодi, коли вона регулярна i два її довiльнi iдемпотенти комутують. Напiвгрупа називається
моноїдом, якщо вона мiстить одиницю. Найбiльш природним чином iнверсний моноїд з’явля-
ється у виглядi моноїда всiх локальних автоморфiзмiв тiєї чи iншої математичної структури.
(Пiд локальним автоморфiзмом математичної структури розумiють iзоморфiзм мiж її пiдструк-
турами.) Нехай S — довiльна напiвгрупа. Через P Aut(S) позначимо iнверсний моноїд усiх
локальних автоморфiзмiв напiвгрупи S. У данiй статтi мова йтиме про iнверснi моноїди ло-
кальних автоморфiзмiв скiнченних комутативних напiвгруп. Розглянемо два приклади. Нехай
E — n-елементна лiнiйно впорядкована напiврешiтка. Iнверсний моноїд усiх локальних авто-
морфiзмiв напiврешiтки E зазвичай позначають через IOn. Нехай тепер S — (n+1)-елементна
напiвгрупа з нульовим множенням (тобто для довiльних x, y ∈ S xy = 0, де 0 — нуль напiв-
групи S). Очевидно, що в цьому випадку моноїд P Aut(S) iзоморфний симетричнiй iнверснiй
напiвгрупi на n-елементнiй множинi. Цей моноїд позначають через ISn. Отже, iнверснi мо-
ноїди IOn i ISn є моноїдами локальних автоморфiзмiв комутативних напiвгруп. Крiм того,
кожний з цих моноїдiв є ∆-напiвгрупою (тобто конгруенцiї на IOn i ISn лiнiйно впорядкованi
вiдносно включення). Вивчення ∆-напiвгруп розпочато в 1969 р. незалежно Б. Шайном в [2, 3]
i Т. Тамурою в [4]. В цих статтях з’ясовано структуру довiльної комутативної ∆-напiвгрупи.
В бiльшостi наступних робiт (див., наприклад, [5 – 16]) вивчалася структура ∆-напiвгруп, якi є
тим чи iншим узагальненням комутативних напiвгруп. У роботi [17] запропоновано метод кон-
струювання скiнченної iнверсної ∆-напiвгрупи. У зв’язку з викладеним вище цiлком природно
виникає проблема класифiкацiї скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд
усiх локальних автоморфiзмiв є ∆-напiвгрупою. В данiй статтi цю задачу розв’язано (див. п. 2).
1. Означення. Термiнологiя. Формулювання потрiбних результатiв. Напiвгрупа на-
зивається переставною, якщо для будь-яких двох її конгруенцiй ρ i σ виконується рiвнiсть
ρ ◦ σ = σ ◦ ρ, де ◦ — позначення композицiї бiнарних вiдношень.
Напiвгрупа S називається ∆-напiвгрупою, якщо її конгруенцiї лiнiйно впорядкованi вiднос-
но включення. Очевидно, що будь-яка ∆-напiвгрупа є переставною.
Комутативну напiвгрупу, кожний елемент якої є iдемпотентом, називають напiврешiткою.
Вiдомо (див. [1]), що на будь-якiй напiврешiтцi за допомогою операцiї можна визначити ста-
c© В. Д. ДЕРЕЧ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7 867
868 В. Д. ДЕРЕЧ
бiльний порядок, а саме a ≤ b ⇔ ab = a. Зрозумiло, що скiнченна напiврешiтка мiстить
найменший елемент, який стандартно позначають через 0.
Нехай P — впорядкована множина з найменшим елементом 0. Через ≺ будемо позначати
вiдношення покриття. Якщо 0 ≺ a , то елемент a називають атомом впорядкованої множини P.
Якщо E — нетривiальна напiврешiтка скiнченної довжини, то, очевидно, вона мiстить атоми.
Нетривiальну напiврешiтку називають примiтивною, якщо кожний її ненульовий елемент є
атомом.
Через Sub(S) позначимо решiтку пiднапiвгруп напiвгрупи S. Нехай A ∈ Sub(S). Число
h(A)
(
де h(A) — висота пiднапiвгрупи A в решiтцi Sub(S)
)
назвемо розмiрнiстю пiднапiвгрупи
A. Якщо A ∈ Sub(S), то через ∆A будемо позначати вiдношення рiвностi на пiднапiвгрупi A.
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Iзоморфiзм мiж пiднапiвгрупами напiвгрупи S називають
локальним автоморфiзмом напiвгрупи S. Множина всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи
S вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд, який
ми позначимо через P Aut(S). Якщо ξ ∈ P Aut(S), то через dom(ξ) i im(ξ) будемо позначати
вiдповiдно область визначення i множину значень локального автоморфiзму ξ.
До класу iнверсних моноїдiв, що розглядаються в данiй статтi, входять, зокрема, симет-
рична iнверсна напiвгрупа на n-елементнiй множинi (вона позначається через ISn), а також
iнверсний моноїд усiх локальних автоморфiзмiв скiнченного n-вимiрного простору
(
його по-
значаємо через P Aut(Vn)
)
. Якщо ϕ ∈ ISn, то ранг перетворення ϕ
(
його позначають через
rank(ϕ)
)
— це число |im(ϕ)|. Але таке означення рангу незвичне для моноїда P Aut(Vn)):
якщо ψ ∈ P Aut(Vn), то згiдно зi стандартним означенням rank(ψ) = dim
(
im(ψ)
)
. Щоб при
переходi вiд одного iнверсного моноїда до iншого не змiнювати сенс позначення rank(ϕ),
ми нагадаємо вiдносно унiверсальне означення рангу (див. [18]). Отже, нехай S — iнверс-
на напiвгрупа скiнченної довжини (вiдносно канонiчного порядку). Через rank(a) позначимо
число h(a · a−1), де h(a · a−1) — висота iдемпотента a · a−1 у напiврешiтцi iдемпотентiв на-
пiвгрупи S. Можна перевiрити, що виконується характеристична властивiсть рангу, а саме
rank(a · b) ≤ min
(
rank(a), rank(b)
)
.
Нехай S — iнверсна напiвгрупа перетворень скiнченної довжини з нулем. Припустимо, що
iдеали напiвгрупи S утворюють ланцюг вiдносно включення. В цьому випадку кожний iдеал
має форму Ik = {α ∈ S : rank(α) ≤ k}. Якщо Θ — конгруенцiя на S, то очевидно, що множина
IΘ = {α ∈ S : (α, 0) ∈ Θ} є iдеалом напiвгрупи S i, отже, iснує невiд’ємне цiле число m таке,
що IΘ = Im. Це число ми позначимо через ind(Θ) i назвемо iндексом конгруенцiї Θ.
Цiлком 0-проста iнверсна напiвгрупа називається напiвгрупою Брандта. Нехай G — група,
I — довiльна непорожня множина. Нехай, крiм того, B = B(G, I) = (I × G × I) ∪ {0}, де
0 /∈ I ×G× I. Визначимо операцiю множення на множинi B таким чином: (i, g, j) · (j, h, l) =
= (i, gh, l), а всi iншi добутки дорiвнюють 0. Тодi B(G, I) є напiвгрупою Брандта i будь-яку
напiвгрупу Брандта можна зобразити в такiй формi. Групу G називають базисною групою
напiвгрупи Брандта B(G, I).
Нехай σ — довiльна конгруенцiя на групi G. На напiвгрупi Брандта B(G, I) визначимо
бiнарне вiдношення Σ таким чином:
(
(i, g, j), (k, h, l)
)
∈ Σ тодi i тiльки тодi, коли i = k, j = l i
(g, h) ∈ σ. Вiдношення Σ є конгруенцiєю на напiвгрупi Брандта. Кожна конгруенцiя, вiдмiнна
вiд унiверсальної на B(G, I), має такий вигляд.
Група G називається елементарною абелевою p-групою (p — просте число), якщо будь-який
її вiдмiнний вiд одиницi елемент має порядок p. Вiдомо (див. [19]), що група автоморфiзмiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 869
елементарної абелевої p-групиG = F × F × . . .× F︸ ︷︷ ︸
n
iзоморфна повнiй лiнiйнiй групiGLn(Fp),
де Fp — поле, адитивна група якого — це група F простого порядку p.
Нехай I — iдеал напiвгрупи S. Конгруенцiю ρI = I × I ∪∆, де ∆ — вiдношення рiвностi
на S, називають конгруенцiєю Рiса.
Напiвгрупу S, що мiстить нуль, називають нiльнапiвгрупою, якщо для довiльного x ∈ S
iснує натуральне число n таке, що xn = 0.
Нехай H — скiнченна множина, що мiстить щонайменше 4 елементи. Нехай 0 i z — два
рiзнi фiксованi елементи з множини H. Визначимо операцiю на H таким чином:
a) для довiльного x ∈ H 0 ∗ x = x ∗ 0 = 0;
b) для будь-якого x ∈ H x ∗ x = 0;
c) якщо x 6= y i {x, y} ∩ {0, z} = ∅, то x ∗ y = y ∗ x = z;
d) для довiльного x ∈ H x ∗ z = z ∗ x = 0.
Легко перевiрити, що (H, ∗) є нiльнапiвгрупою. Клас таких напiвгруп позначимо через N .
У статтi [20] наведено класифiкацiю скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверс-
ний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним. Сформулюємо вiдповiдний результат.
Твердження 1 (див. [20], теорема 1). Нехай S — скiнченна комутативна напiвгрупа. Її iн-
версний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним тодi i лише тодi, коли S :
(1) або лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(2) або примiтивна напiврешiтка;
(3) або елементарна абелева p-група;
(4) або напiвгрупа з нульовим множенням;
(5) або нiльнапiвгрупа з класу N .
2. Основна теорема. В цьому пунктi ми сформулюємо i доведемо основний результат
статтi.
Теорема. Нехай S — скiнченна комутативна напiвгрупа. Її iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв є ∆-напiвгрупою тодi i лише тодi, коли S :
(1) або лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(2) або примiтивна напiврешiтка;
(3) або група простого порядку p, причому p − 1 = 2k для деякого невiд’ємного цiлого
числа k;
(4) або елементарна абелева 2-група порядку 2n, де n ≥ 2;
(5) або напiвгрупа з нульовим множенням;
(6) або нiльнапiвгрупа з класу N .
Доведення. Будь-яка ∆-напiвгрупа, очевидно, є переставною, тому, використовуючи тверд-
ження 1, будемо шукати скiнченнi комутативнi напiвгрупи S, для яких iнверсний моноїд
P Aut(S) є ∆-напiвгрупою, серед напiвгруп, що перелiченi в цьому твердженнi. За числом
класiв, що наведенi у твердженнi 1, доведення розiб’ємо на 5 пунктiв.
2.1. Лiнiйно впорядкована напiврешiтка. Почнемо з лiнiйно впорядкованої напiврешiт-
ки S, що складається з n елементiв. Iдеали iнверсного моноїда IOn лiнiйно впорядкованi
вiдносно включення (цей факт без доведення сформульовано в [21] i доведено в [22]). Будь-яка
конгруенцiя на IOn є конгруенцiєю Рiса (цей факт без доведення сформульовано в [21] i дове-
дено в [22]). Звiдси випливає, що конгруенцiї на iнверсному моноїдi IOn лiнiйно впорядкованi
вiдносно включення, тобто моноїд IOn є ∆-напiвгрупою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
870 В. Д. ДЕРЕЧ
2.2. Примiтивна напiврешiтка. Розглянемо тепер iнверсний моноїд P Aut(S), де S —
примiтивна напiврешiтка. Якщо |S| = 2 , то легко перевiрити, що |P Aut(S)| = 6 i конгруенцiї
iнверсного моноїда P Aut(S) вичерпуються такими бiнарними вiдношеннями: ∆ — вiдношен-
ням рiвностi, унiверсальним бiнарним вiдношенням i (I1 × I1) ∪ ∆. Отже, в цьому випадку
конгруенцiї на P Aut(S) лiнiйно впорядкованi вiдносно включення.
Далi будемо вважати, що |S| = n i n ≥ 3. Оскiльки iнверсний моноїд PAut(S) є пере-
ставним, то (див. [23]) його iдеали утворюють ланцюг вiдносно включення, а отже, кожний
iдеал має форму Im = {α ∈ P Aut(S) : rank(α) ≤ m}. Нехай k — таке невiд’ємне цiле число,
що k < n. Легко перевiрити, що фактор-напiвгрупа Ik+1/Ik є напiвгрупою Брандта. Нехай σ —
конгруенцiя, вiдмiнна вiд унiверсальної на факторi Ik+1/Ik. Зазначимо, що опис конгруенцiй на
напiвгрупi Брандта є вiдомим (див. п. 1). На моноїдi P Aut(S) визначимо бiнарне вiдношення
Σ таким чином:
Σ = Ik × Ik ∪
(
(Dk+1 ×Dk+1) ∩ σ
)
∪4,
де Dk+1 = {ϕ ∈ P Aut(S)) : rank(ϕ) = k + 1} i ∆ — вiдношення рiвностi на P Aut(S).
Перевiрка показує, що бiнарне вiдношення Σ є конгруенцiєю на моноїдi P Aut(S). Покажемо,
що кожна вiдмiнна вiд унiверсальної конгруенцiя на P Aut(S) має таку форму.
Нехай Ω — конгруенцiя на P Aut(S), причому ind(Ω) = k. Якщо k = n, то зрозумiло, що Ω
є унiверсальною конгруенцiєю на P Aut(S). Вiдтепер будемо вважати, що k < n. Нехай k ≥ 1,
(α, β) ∈ Ω i rank(α) ≥ k+2. Покажемо, що в цьому випадку α = β. Оскiльки iнверсний моноїд
P Aut(S) є переставним, то (див. [18]) (α, β) ∈ H, тобто dom(α) = dom(β) i im(α) = im(β).
Якщо припустити, що α 6= β, то знайдеться елемент x ∈ dom(α) такий, що (x)α 6= (x)β.
Зрозумiло, що x 6= 0 (тут 0 — найменший елемент напiврешiтки S). Позначимо (x)α через
a, а множину dom(α) − {x} через X. Оскiльки x 6= 0, то множина X є пiднапiврешiткою
примiтивної напiврешiтки S. Тому ∆X ∈ P Aut(S). Позаяк (α, β) ∈ Ω, то (∆X ◦α,∆X ◦β) ∈ Ω.
Оскiльки rank(∆X ◦ α) = rank(α) − 1 ≥ k + 1 > k, то (див. [18]) im(∆X ◦ α) = im(∆X ◦ β).
Очевидно, що a /∈ im(∆X ◦ α). З iншого боку, iснує y ∈ dom(β) (y 6= x) такий, що (y)β = a.
Позаяк y ∈ dom(∆X ◦ β), то a ∈ im(∆X ◦ β). Суперечнiсть. Отже, α = β.
Зазначимо, якщо ind(Ω) = 0, то Ω — вiдношення рiвностi на P Aut(S). Дiйсно, якщо
(α, β) ∈ Ω i rank(α) = 1, то dom(α) = dom(β) i im(α) = im(β). Звiдси безпосередньо
випливає рiвнiсть α = β. Якщо rank(α) = 2, то, враховуючи рiвностi (0)α = (0)β = 0,
dom(α) = dom(β) i im(α) = im(β), знову одержуємо рiвнiсть α = β. Якщо rank(α) ≥ 3, то,
мiркуючи так само, як i вище, отримуємо α = β.
Далi, розглянемо бiнарне вiдношення на фактор-напiвгрупi Ik+1/Ik, а саме ω =
(
Ω ∩
∩ (Dk+1 ×Dk+1)
)
∪
{
(0∗, 0∗)
}
, де 0∗ — нуль фактор-напiвгрупи Ik+1/Ik. Легко перевiрити, що
ω — конгруенцiя, вiдмiнна вiд унiверсальної на фактор-напiвгрупi Ik+1/Ik. Отже,
Ω = (Ik × Ik) ∪
(
(Dk+1 ×Dk+1) ∩ ω
)
∪∆,
де ∆ — вiдношення рiвностi на моноїдi P Aut(S).
Нехай Θ i Υ — двi довiльнi конгруенцiї на iнверсному моноїдi P Aut(S). Покажемо, що
Θ ⊆ Υ або Υ ⊆ Θ. Припустимо, що ind(Θ) = k, ind(Υ) = m i k < m. Якщо m = n, то Υ —
унiверсальна конгруенцiя на P Aut(S). Тому Θ ⊂ Υ.
Нехай тепер k < m < n. Вище ми вже з’ясували структуру довiльної (вiдмiнної вiд унi-
версальної) конгруенцiї на iнверсному моноїдi P Aut(S), де S — примiтивна напiврешiтка.
Оскiльки Ik ⊂ Im, то Θ ⊂ Υ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 871
Залишилося розглянути випадок, коли ind(Θ) = ind(Υ) = k. Якщо k = 0, то, як вже
показано вище, конгруенцiї Θ i Υ є вiдношеннями рiвностi на P Aut(S).
Також окремо розглянемо випадок, коли ind(Θ) = ind(Υ) = 1. Зрозумiло, що базисна група
фактор-напiвгрупи I2/I1 як i в попередньому випадку, є тривiальною. До того ж якщо (α, β) ∈ Θ
((α, β) ∈ Υ) i rank(α) ≥ 3, то α = β. Отже, кожна з конгруенцiй Θ i Υ є конгруенцiєю Рiса,
що вiдповiдає iдеалу I1. Таким чином, Θ = Υ.
Залишилося розглянути випадок, коли k ≥ 2. Легко зрозумiти, що базисна група напiвгру-
пи Брандта Ik+1/Ik iзоморфна симетричнiй групi Sk. Вiдомо, що конгруенцiї на скiнченнiй
симетричнiй групi лiнiйно впорядкованi вiдносно включення. До того ж якщо (α, β) ∈ Θ(
(α, β) ∈ Υ
)
i rank(α) ≥ k + 2, то α = β. З цих двох фактiв випливає, що Θ ⊆ Υ або Υ ⊆ Θ.
2.3. Елементарна абелева p-група. Тепер розглянемо випадок, коли G — елементарна
абелева p-група. Насамперед зазначимо такий простий факт. Нехай H — група. Зовнi приєд-
наємо до неї 0. Одержимо iнверсний моноїд H ∪ {0}. Легко показати, що iнверсний моноїд
H ∪ {0} є ∆-напiвгрупою тодi i лише тодi, коли H є ∆-групою. Спочатку розглянемо випа-
док, коли порядок групи G є простим числом p. Цю групу будемо розглядати в адитивнiй
формi з нульовим елементом. Оскiльки група G не мiстить нетривiальних власних пiдгруп, то
P Aut(G) = Aut(G) ∪ {
(
0
0
)
}. Якщо |G| = 2, то P Aut(G) =
{
∆G,
{(
0
0
)}}
, де ∆G — тотожне
перетворення на G. Очевидно, що в цьому випадку P Aut(G) є ∆-напiвгрупою. Розглянемо
тепер випадок, коли p > 2. Вiдомо (див. [19]), що група автоморфiзмiв групи простого по-
рядку p iзоморфна мультиплiкативнiй групi вiдповiдного поля Fp, яка має порядок p − 1 i є
циклiчною. Оскiльки число p−1 є парним, то група Aut(G) мiстить пiдгрупу порядку 2. Якщо
припустити, що число |Aut(G)| дiлиться на непарне просте число (наприклад, q), то згiдно
з теоремою Кошi група Aut(G) мiстить пiдгрупу порядку q. Очевидно, що пiдгрупи групи
Aut(G) порядку 2 i q непорiвняннi. В цьому випадку група Aut(G) не є ∆-групою, а отже, i iн-
версний моноїд P Aut(G) не є ∆-напiвгрупою. Таким чином, якщо група Aut(G) є ∆-групою,
то число |Aut(G)| має форму 2k. Як вiдомо (див. [2] або [4]), циклiчна група порядку pn (p
— просте число) є ∆-групою. Отже, у випадку, коли порядок групи G є простим числом p,
iнверсний моноїд P Aut(G) є ∆-напiвгрупою тодi i лише тодi, коли число p− 1 має форму 2k.
Наприклад, до простих чисел з такою властивiстю належать 3, 5, 17, 257, . . . .
Нехай тепер елементарна абелева p-група G має форму G = F × F × . . .× F︸ ︷︷ ︸
n
, де n ≥ 2,
група F має простий порядок p, причому p ≥ 3. Покажемо, що в цьому випадку iнверсний
моноїд P Aut(G) не належить до класу ∆-напiвгруп. На моноїдi P Aut(G) розглянемо два
бiнарних вiдношення Ω i Θ, де Ω — конгруенцiя Рiса, що вiдповiдає iдеалу In−1, а Θ =
{
(ϕ,ψ) ∈
∈ P Aut(G)× P Aut(G) : ∃ c ∈ F ∗, ψ = cϕ
}
(тут через F ∗ позначено мультиплiкативну групу
поля, що вiдповiдає групi F ). Легко перевiрити, що бiнарне вiдношення Θ є конгруенцiєю
на P Aut(G). Оскiльки n ≥ 2, то iдеал In−1 вiдмiнний вiд 0, а отже, конгруенцiя Ω не є
вiдношенням рiвностi. Нехай β ∈ P Aut(G) i rank(β) = n−1, тодi (0, β) ∈ Ω. Оскiльки (0, β) /∈
/∈ Θ, то Ω * Θ. Далi, нехай ξ ∈ Aut(G). Тодi rank(ξ) = n. Оскiльки p ≥ 3, то iснує елемент
c ∈ F ∗, вiдмiнний вiд 1. Очевидно, що (ξ, cξ) ∈ Θ. Разом з тим (ξ, cξ) /∈ Ω. Отже, Θ * Ω.
Таким чином, в цьому випадку iнверсний моноїд P Aut(G) не належить до класу ∆-напiвгруп.
Залишилося розглянути випадок, коли G = F × F × . . .× F︸ ︷︷ ︸
n
, n ≥ 2, |F | = 2. Нехай Φ —
довiльна конгруенцiя на iнверсному моноїдi P Aut(G). Якщо ind(Φ) = n, то Φ — унiверсальна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
872 В. Д. ДЕРЕЧ
конгруенцiя на P Aut(G). Нехай ind(Φ) = k < n i (α, β) ∈ Φ. Оскiльки моноїд P Aut(G)
є переставним, то у випадку, коли rank(α) > k, маємо (α, β) ∈ H, де H — вiдношення
Грiна. Останнє твердження випливає з теореми 4 статтi [20]. До того ж якщо (α, β) ∈ Φ i
rank(α) ≥ k+ 2, то згiдно з результатами Т. Н. Шаронової (див. [24, 25]) iснує елемент c ∈ F ∗
(де F ∗ — мильтиплiкативна група поля F ) такий, що α = cβ. Оскiльки |F | = 2, то c = 1. Отже,
в цьому випадку α = β. Таким чином, конгруенцiя Φ має форму
Φ = Ik × Ik ∪ (φ ∩ (Dk+1 ×Dk+1)) ∪∆,
де φ — конгруенцiя, вiдмiнна вiд унiверсальної на факторi Ik+1/Ik, ∆ — вiдношення рiвностi
на P Aut(G) i Dk+1 = {ϕ ∈ P Aut(G) : rank(α) = k + 1}.
Нехай Θ i Υ — двi довiльнi конгруенцiї на iнверсному моноїдi P Aut(G). Покажемо, що
Θ ⊆ Υ або Υ ⊆ Θ. Припустимо, що ind(Θ) = k, ind(Υ) = m i k < m. Якщо m = n, то Υ —
унiверсальна конгруенцiя на P Aut(G). Тому Θ ⊂ Υ.
Нехай тепер k < m < n. Як зазначено вище, конгруенцiя Θ має форму
Θ = Ik × Ik ∪ (θ ∩ (Dk+1 ×Dk+1)) ∪∆,
де θ — конгруенцiя, вiдмiнна вiд унiверсальної на Ik+1/Ik. Зрозумiло, що Θ ⊂ Υ.
Залишилося розглянути випадок, коли ind(Θ) = ind(Υ) = k, де k 6= n. Якщо k = 0, то Θ
i Υ є вiдношеннями рiвностi. Справдi, якщо (α, β) ∈ Θ i rank(α) ≥ 2, то α = β. Аналогiчно
для конгруенцiї Υ. Якщо ж rank(α) = 1, то (α, β) ∈ H, де H —- вiдношення Грiна, тобто
dom(α) = dom(β) i im(α) = im(β). Якщо пiдгрупа A має розмiрнiсть 1, то вона, очевидно,
мiстить лише один ненульовий елемент. Звiдси випливає рiвнiсть α = β.
Нехай тепер k = 1. Якщо (α, β) ∈ Θ i rank(α) ≥ 3, то α = β. Те саме виконується i
для Υ. Якщо rank(α) = 2, то кожна вiдмiнна вiд унiверсальної конгруенцiя на факторi I2/I1
однозначно визначається конгруенцiєю на групiGL2(F ) (див. п. 1). Як вiдомо (див. [26, с. 170]),
група GL2(F ) iзоморфна симетричнiй групi S3. Нормальнi пiдгрупи симетричної групи S3 є
вiдомими — це тривiальна i альтернативна пiдгрупи, а також сама група. Оскiльки цi пiдгрупи
лiнiйно впорядкованi вiдносно включення, то лiнiйно впорядкованi i вiдповiднi конгруенцiї на
факторi I2/I1. Звiдси маємо Θ ⊆ Υ або Υ ⊆ Θ.
Нехай тепер k ≥ 2. Якщо (α, β) ∈ Θ i rank(α) ≥ k + 2, то α = β. Те саме виконується i
для Υ. Розглянемо випадок, коли rank(α) = k + 1. У цьому випадку (див. [26, с. 169]) група
GLk+1(F ) є простою. Звiдси випливає, що конгруенцiї на факторi Ik+1/Ik лiнiйно впорядкованi,
а отже, конгруенцiї Θ i Υ утворюють ланцюг вiдносно включення.
2.4. Напiвгрупа з нульовим множенням. Нехай тепер S — напiвгрупа з нульовим множен-
ням. Зрозумiло, що ϕ ∈ P Aut(S) тодi i лише тодi, коли (0)ϕ = 0, де 0 — нуль напiвгрупи
S. Отже, якщо напiвгрупа S мiстить n + 1 елемент, то iнверсний моноїд P Aut(S), очевидно,
iзоморфний симетричнiй iнверснiй напiвгрупi ISn. Знаючи структуру будь-якої конгруенцiї
на симетричному iнверсному моноїдi (див. [27]), робимо висновок, що конгруенцiї на ISn
утворюють ланцюг вiдносно включення.
2.5. Нiльнапiвгрупа з класу N . Залишилося розглянути випадок, коли напiвгрупа S нале-
жить класу N (див. означення у п. 1). Перелiчимо всi пiднапiвгрупи напiвгрупи S. Оскiльки
напiвгрупа S є нiльнапiвгрупою, то {0} — єдина одноелементна пiднапiвгрупа напiвгрупи S.
Легко зрозумiти, що довiльна двоелементна множина, що мiстить 0, є пiднапiвгрупою напiв-
групи S. Будь-яка пiдмножина множини S, яка складається щонайменше з трьох елементiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 873
i мiстить 0 i z, є пiднапiвгрупою напiвгрупи S. Iнших пiднапiвгруп напiвгрупи S, кiлькiсть
елементiв яких не менша за 3, немає. Цi твердження легко перевiряються.
Далi, нехай A,B ∈ Sub(S) i |A| = |B| ≤ 3. В цьому випадку A i B є напiвгрупами з ну-
льовим множенням. Очевидно, що iн’єкцiя f : A→ B є локальним автоморфiзмом напiвгрупи
S тодi i лише тодi, коли (0)f = 0. Якщо |A| = |B| ≥ 4, то iн’єкцiя ϕ : A → B є локальним
автоморфiзмом напiвгрупи S тодi i тiльки тодi, коли (0)ϕ = 0 i (z)ϕ = z.
Нехай Θ — конгруенцiя, вiдмiнна вiд унiверсальної на iнверсному моноїдi P Aut(S), при-
чому ind(Θ) = k. Якщо (α, β) ∈ Θ i rank(α) ≥ k + 2, то, мiркуючи аналогiчно тому, як це
було зроблено в п. 2.2 щодо iнверсного моноїда P Aut(S), коли S — примiтивна напiврешiтка,
можна довести рiвнiсть α = β. Крiм того, зазначимо, що базисна група напiвгрупи Брандта
Im+1/Im при m ≥ 3 iзоморфна симетричнiй групi Sm−1, а при m = 2 — симетричнiй групi S2.
Враховуючи все викладене вище i мiркуючи, як i в п. 2.2, робимо висновок, що у випадку, коли
напiвгрупа S належить класу N , P Aut(S) є ∆-напiвгрупою.
Теорему доведено.
1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В 2 т. – М.: Мир, 1972.– Т. 1. – 286 с. – Т. 2. –
422 с.
2. Schein B. M. Commutative semigroups where congruences form a chain // Bull. Acad. pol. sci. Sér. sci. math., astron.
et phys. – 1969. – 17. – P. 523 – 527.
3. Schein B.M. Corrigenda to "Commutative semigroups where congruences form a chain"// Bull. Acad. pol. sci. Sér.
sci. math., astron. et phys. – 1975. – 12. – P. 1247.
4. Tamura T. Commutative semigroups whose lattice of congruences is a chain // Bull. Soc. Math. France. – 1969. –
97. – P. 369 – 380.
5. Bonzini C., Cherubini A. Sui ∆-semigrouppi di Putcha // Inst. Lombardo Acad. Sci. Lett. Rend. A. – 1980. – 114. –
P. 179 – 194.
6. Nagy A. Weakly exponential ∆-semigroups // Semigroup Forum. – 1990. – 40. – P. 297 – 313.
7. Nagy A. RC-commutative ∆-semigroups // Semigroup Forum. – 1992. – 44. – P. 332 – 340.
8. Nagy A. On the structure of (m,n)-commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1992. – 45. – P. 183 – 190.
9. Nagy A. Semilattice decomposition of n2-permutative semigroups // Semigroup Forum. – 1993. – 46. – P. 16 – 20.
10. Nagy A. RGCn-commutative ∆-semigroups // Semigroup Forum. – 1998. – 57. – P. 92 – 100.
11. Nagy A. Right commutative ∆-semigroups // Acta Sci. Math. (Szeged). – 2000. – 66. – P. 33 – 45.
12. Nagy A., Jones P. R. Permutative semigroups whose congruences form a chain // Semigroup Forum. – 2004. – 69. –
P. 446 – 456.
13. Nagy A. Notes on a problem on weakly exponential ∆-semigroups // arXiv:1305.5427v1 [math.GR] 23 May 2013.
14. Pondĕlíc̆ek B. On generalized conditionally commutative semigroups // Math. Slovaca. – 1994. – 44, № 3. –
P. 359 – 364.
15. Strecker R. H-commutative ∆-semigroups // Rostock. math. Kolloq. – 1995. – 49. – S. 98 – 104.
16. Trotter P. G. Exponential ∆-semigroups // Semigroup Forum. – 1976. – 12. – P. 313 – 331.
17. Trotter P., Tamura T. Completely semisimple inverse ∆-semigroups admitting principal series // Pacif. J. Math. –
1977. – 68, № 2. – P. 515 – 525.
18. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 4. – С. 469 – 473.
19. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982. – 288 с.
20. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 176 – 184.
21. Дереч В. Д. О квазипорядках на некоторых инверсных полугруппах // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 3. –
С. 76 – 78.
22. Fernandes V. H. The monoid of all injective order preserving partial transformations on a finite chain // Semigroup
Forum. – 2001. – 62. – P. 178 – 204.
23. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1975. – 10. – P. 55 – 66.
24. Шаронова Т. Н. Конгруенцiї на напiвгрупах лiнiйних операторiв // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1971. – № 1. –
С. 17 – 19.
25. Шаронова Т. Н. Конгруэнции на полугруппе всех взаимно однозначных частичных линейных преобразова-
ний // 17 Всесоюз. алгебр. конф.: Тез. сообщ. (Минск, 14–17 сент. 1983 г.). – Минск, 1983. – С. 275.
26. Artin A. Geometric algebra. – New York; London, 1957. – 214 p.
27. Либер А. Е. О симметрических обобщенных группах // Мат. сб. – 1953. – 33, № 3. – С. 531 – 544.
Одержано 03.06.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 7
|