Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями
The boundary layer near a solid wall, at which a sliding condition periodically appears, is considered. The problem is solved numerically using an explicit finite-difference method. The calculations are presented in terms of the velocity profile and the drag coefficient as functions of the Reynolds...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1657 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 70-76. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859607297793196032 |
|---|---|
| author | Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. |
| author_facet | Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. |
| citation_txt | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 70-76. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The boundary layer near a solid wall, at which a sliding condition periodically appears, is considered. The problem is solved numerically using an explicit finite-difference method. The calculations are presented in terms of the velocity profile and the drag coefficient as functions of the Reynolds number and the scale factor of the sliding region. The obtained results show that a drag benefit increases with the scale factor of the sliding region. In order to reduce the drag force by two times, the total area of the sliding region should be no less than 70% of the total area of the wall.
|
| first_indexed | 2025-11-28T05:34:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
У той же час в нерухомiй системi координат OXY Z рух елементiв не є перiодичним.
Рис. 2, б iлюструє характер абсолютного руху в тому ж перерiзi z = 5691 м на вiдрiзку часу
0 6 t 6 100 с. Можна бачити, що траєкторiя руху заповнює кiльцеву область з найбiльшим
та найменшим радiусами, що дорiвнюють найбiльшим та найменшим пiвосям елiпса.
1. Гуляев В.И., Луговой П.З., Белова М.А., Соловьев И.Л. Устойчивость прямолинейной формы рав-
новесия вращающихся бурильных колонн // Прикл. механика. – 2006. – 42, № 6.
2. Гуляев В.И., Гайдайчук В. В., Соловьев И.Л., Горбунович И.В. Компьютерное моделирование крити-
ческих состояний колонн глубокого бурения // Тр. междунар. научно-техн. конф. “Вычислительная
механика деформируемого твердого тела”. – Москва, 2006. – Т. 1. – С. 122–129.
3. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. – Москва: Наука, 1967. –
237 с.
4. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. – Москва: Мир, 1971. – 192 с.
Надiйшло до редакцiї 10.07.2006Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
УДК 532.528
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины Ю.Н. Савченко, Ю. А. Семенов
Гидродинамическое сопротивление поверхности
со смешанными граничными условиями
The boundary layer near a solid wall, at which a sliding condition periodically appears, is
considered. The problem is solved numerically using an explicit finite-difference method. The
calculations are presented in terms of the velocity profile and the drag coefficient as functions
of the Reynolds number and the scale factor of the sliding region. The obtained results show
that a drag benefit increases with the scale factor of the sliding region. In order to reduce the
drag force by two times, the total area of the sliding region should be no less than 70% of the
total area of the wall.
Снижение сопротивления трения, обусловленного прилипанием жидкости к обтекаемой по-
верхности и касательным напряжением в пограничном слое, остается до настоящего вре-
мени фундаментальной проблемой гидродинамики. Существующие методы снижения со-
противления трения можно разделить на две группы: по воздействию на течение в по-
граничном слое и по воздействию на контакт жидкости с поверхностью. К первой группе
относятся методы, способствующие ламинаризации пограничного слоя и снижению уровня
турбулентности, в частности, путем отсоса пограничного слоя, вдува микропузырьков газа,
использование полимерных добавок, поверхностно активных веществ, упруго-деформиру-
емых покрытий [1–3].
Ко второй группе относятся методы, обеспечивающие снижение сопротивления трения
за счет изменения свойств контакта жидкость — твердая поверхность. Это достигается пу-
тем применения двигающихся вдоль потока поверхностей, гидрофобных покрытий, а так-
же с помощью воздушного либо парового зазора между потоком жидкости и обтекаемой
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Рис. 1. Задание граничных условий на пластинке с периодическими областями проскальзывания и прили-
пания
поверхностью [2, 4]. В последнем случае жидкость не взаимодействует с обтекаемой поверх-
ностью на участке расположения зазора, в результате чего сила трения отсутствует. При
этом на свободной границе реализуется условие скольжения.
Для определенного числа модулей, обеспечивающих проскальзывание, каждый из кото-
рых имеет конечную длину, можно поставить задачу их оптимальной группировки, распо-
ложения или распределения с целью обеспечения максимального снижения сопротивления
поверхности. Для количественной оценки снижения сопротивления поверхности, на кото-
рой образованы области скольжения, требуется рассчитать течение в пограничном слое со
смешанным типом граничных условий: на твердой поверхности имеет место равенство нулю
скорости, а на участке скольжения — равенство нулю производной скорости в направлении,
перпендикулярном потоку, что эквивалентно равенству нулю касательного напряжения.
В данной работе расчет течения в пограничном слое выполнен на основе маршевого
метода, предложенного в работе [5] для расчета ламинарных пограничных слоев в кана-
лах с внезапным расширением. Метод основан на численном решении уравнений Прандтля
в переменных u−ψ, где u — продольная скорость; ψ — функция тока. Основная трудность
заключалась в численной реализации изменения типа граничного условия на поверхности,
т. е. перехода от граничного условия прилипания к граничному условию скольжения и на-
оборот. В этой связи особое внимание уделено исследованию вычислительных параметров
задачи — влиянию размера шага в продольном и поперечном на результаты расчетов.
Достоверность представленных результатов основывается на согласовании полученных
значений коэффициента сопротивления для полностью смоченной поверхности с аналити-
ческой зависимостью Блазиуса для ламинарного пограничного слоя.
Метод решения. Для установившегося ламинарного двумерного течения несжимае-
мой жидкости уравнения пограничного слоя записываются в декартовой системе коорди-
нат в переменных u − ψ
u
∂u
∂x
−
∂ψ
∂x
∂u
∂y
= −
1
ρ
dp
dx
+
µ
ρ
∂2u
∂y2
, (1)
где u — составляющая скорости в проекции на ось OX; ψ(x, y) — функция тока, удовлетво-
ряющая уравнению неразрывности в силу своего определения
u =
∂ψ
∂y
, v = −
∂ψ
∂x
; (2)
v — составляющая скорости вдоль оси y; µ — коэффициент динамической вязкости; dp/dx —
продольный градиент давления, который считается заданным.
На рис. 1 показана схема пограничного слоя вблизи пластинки, на которой периоди-
чески заданы условия прилипания и скольжения. На длине a каждого периода b = l/M ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 71
где M — число областей прилипания и проскальзывания жидкости, выполняется условие
прилипания
u = 0, ψ = 0, (3)
а на длине b − a — условие проскальзывания, при котором касательное напряжение τ =
= ν∂u/∂y равно нулю, следовательно,
∂u
∂y
= 0. (4)
Отношение длины суммарной области скольжения к длине пластинки определяется па-
раметром скважности S = (b − a)/b, а отношение l/b = M характеризует масштаб одно-
родности граничных условий.
При заданном градиенте давления dp/dx граничные условия (3) и (4) являются до-
статочными для получения решения уравнений пограничного слоя (1) и (2). Распределе-
ние скорости в начальном сечении задавалось равномерным. На передней кромке пластики
уравнения пограничного слоя имеют особенность. Для вычисления производных вдоль оси
OX в уравнении (1) на входной кромке и при переходе от участка скольжения к смачивае-
мому участку на интервале ε≪ a вместо граничного условия (3) задается условие перехода
u(x, 0) = u(kb, 0)
kb + ε− x
ε
, kb < x < kb+ ε, k = 0,M − 1. (5)
Переход от условия прилипания к условию скольжения не приводит к вычислительным
трудностям, так как жидкость вблизи пластинки имеет конечное ускорение, обусловлен-
ное касательным напряжением в сдвиговом слое. Как будет показано далее, интервал ε
можно выбрать настолько малым, что его влияние на результаты расчета не проявляется.
Численное решение основано на методе, представленном в работе [5].
Уравнения (1), (2) в конечно-разностной форме с переменным шагом по y в безразмер-
ном виде можно записать
U i+1
j − U i+1
j−1
2
=
Ψi+1
j − Ψi+1
j−1
∆y−
, (6)
U i+1
j
(U i+1
j − U i
j)
∆X+
−
(Ψi+1
j − Ψi
j)
∆X+
(U i+1
j+1
− U i+1
j−1
)
(∆Y+ + ∆Y−)
= χ+
2
(∆Y+ + ∆Y−)
×
×
Ki
j+1/2
(
U i+1
j+1
− U i+1
j
∆Y+
)
−Ki
j−1/2
(
U i+1
j − U i+1
j−1
∆Y−
)
, (7)
где j = 1, . . . , N ; U =
u
u∞
; X =
x
l
; Y =
y
l
; Ψ =
ψ
u∞l
; χ =
l
ρu2
∞
dp
dx
.
Безразмерные коэффициенты диффузии Ki
j−1/2
, заданные для узловых точек с индек-
сами j + 1/2 и j − 1/2, вычисляются как средние арифметические значений этих величин
в соседних узловых точках с целыми индексами. Для рассматриваемого в настоящей работе
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
частного случая ламинарного течения с постоянными физическими свойствами коэффици-
енты диффузии постоянны во всем потоке, т. е. Ki
j−1/2
= 1/Re, где Re = ρu∞l/µ — число
Рейнольдса, определенное по длине пластики; µ — коэффициент динамической вязкости.
Уравнение количества движения (7) представляет собой нелинейное алгебраическое
уравнение относительно неизвестных U i+1
j и Ψi+1
j . Применяя линеаризацию по методу Нью-
тона, можно получить его линейное представление. Для этого переменные на k-й итерации
представляются в виде U i+1
j = Ũ i+1
j + δU , Ψi+1
j = Ψ̃i+1
j + δΨ, где δU и δΨ — малые перво-
го порядка. Переменные с тильдой представляют собой значения на предыдущей итерации.
Подставляя эти выражения в уравнение (7) и отбрасывая члены с произведением величин δ,
можно получить следующую систему уравнений относительно неизвестных U i+1
j и Ψi+1
j :
[
Bj 0
bj 1
]{
U i+1
j−1
Ψi+1
j−1
}
+
[
Dj Ej
dj −1
]{
U i+1
j
Ψi+1
j
}
+
[
Aj 0
0 0
]{
U i+1
j+1
Ψi+1
j+1
}
=
{
Hjχ+ Cj
0
}
. (8)
При известном градиенте давления χ уравнение (8) можно решить стандартным мето-
дом для решения блочной тридиагональной матрицы 2×2. Выражение для коэффициентов
Aj, Bj , Cj, Dj , Ej, Hj , bj и dj приведено в работе [5]. Расчет течения вдоль оси OX осу-
ществляется переходом от шага i к шагу i + 1.
Результаты расчетов. Расчетная область вдоль оси OX ограничена длиной пластин-
ки l, а в направлении оси OY — значением h = (5/
√
Re)l [1]. Учитывая, что на пластинке
вблизи входной кромки, а также при переходе от условия скольжения к условию прилипа-
ния скорость скачком уменьшается до нуля, градиент скорости в дискретном представлении
становится очень большим. Поэтому дискретизация в направлении OY задавалась квадра-
тичной, а число точек Yj выбиралось в диапазоне N = 200–800. На интервале ε = 10−4,
соответствующем переходу от условия скольжения к условию прилипания каждого перио-
да b, задавался шаг интегрирования вдоль оси OX ∆x/l = 10−6. Далее на интервале b− ε
шаг интегрирования увеличивался до значения ∆x/l = 10−3 по закону геометрической про-
грессии. На каждом шаге требовалось три — пять итераций для достижения сходимости
итерационной процедуры решения уравнения (8).
Расчеты плоскопараллельного ламинарного течения выполнены в диапазоне чисел Рей-
нольдса 103–5 · 105. Коэффициент трения
cf =
F
ρu2
∞
l
, (9)
где сила трения F =
M−1∑
i=0
ib+a∫
ib
τ0dx, а напряжение трения на смоченной поверхности τ0 =
= µ
∂u
∂y
∣∣∣∣
y=0
=
µu∞
l
U2 − U1
Y2 − Y1
; на участке скольжения напряжение трения равно нулю.
Ввиду нелинейности развития пограничного слоя, кроме параметра скважности, на со-
противление трения оказывает влияние масштаб однородности граничных условий l/b = M .
На рис. 2 представлены профили скорости на последнем периоде в конце смачиваемого
участка (кривая 1 ) и в конце участка скольжения (конец пластинки) (кривая 2 ) для раз-
личных значений масштаба l/b = M . Можно видеть, что с увеличением M отличие профиля
скорости в конце смачиваемого участка от профиля скорости в конце участка скольжения
уменьшается. Это объясняется тем, что вследствие прилипания жидкости на смачиваемом
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 73
Рис. 2. Профили скорости на пластинке в конце последнего участка a (кривая 1 ) и в конце пластинки
(кривая 2 ) при скважности S = 0,5 для различных значений масштаба однородности граничных условий
участке a периода b скорость на поверхности становится равной нулю независимо от длины
смачиваемого участка. В отличие от этого, на участке скольжения, вследствие касатель-
ного напряжения в сдвиговом слое, скорость возрастает монотонно от нуля в начале до
некоторого значения в конце. Чем больше длина участка скольжения, тем больше значение
скорости в конце этого участка. Длина участка скольжения, как можно видеть из опреде-
ления параметра скважности b − a = bS, увеличивается как с увеличением параметра S,
так и с увеличением длины периода b. Поэтому скорость в конце участка скольжения уве-
личивается как с увеличением параметра скважности S, что можно видеть из рис. 3, так и
с увеличением отношения b/l = 1/M , как видно из рис. 2.
На рис. 4 представлены зависимости коэффициента гидравлического сопротивления
пластинки от числа Рейнольдса для различных значений скважности S и длины периода b.
Там же штриховой линией показана теоретическая зависимость cf = 1,35/
√
Re [1], соот-
ветствующая полностью смоченной пластинке. Как видно из рисунка, при нулевой скваж-
ности результаты численного решения уравнений пограничного слоя достаточно хорошо
согласуются с точным решением Блазиуса. С увеличением скважности коэффициент со-
противления уменьшается. Кроме того, как видно, коэффициент сопротивления меньше
при меньшем масштабе однородности граничных условий l/b = M .
Максимальное значение b/l = 1 соответствует M = 1, т. е. наибольший выигрыш в сни-
жении гидравлического сопротивления можно получить при максимальной длине участка
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Рис. 3. Профиль скорости в конце пластинки для различных значений скважности S
Рис. 4. Зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса для различных значений скважно-
сти и длины периода b: а — b/l = 1/8; б — b/l = 0,01
скольжения на пластинке. Для этого случая коэффициент сопротивления определяется
аналитически
cf =
1,35
√
Re
√
a
b
=
1,35
√
Re
√
1 − S. (10)
На основе численного решения уравнений пограничного слоя для поверхности, на кото-
рой образованы области проскальзывания потока, можно сделать следующие выводы.
1. Получена количественная оценка снижения гидравлического сопротивления поверх-
ности, на которой образованы области проскальзывания потока.
2. На коэффициент сопротивления оказывают влияние скважность поверхности и мас-
штаб однородности граничных условий. Максимальный выигрыш в снижении сопротив-
ления при заданной скважности реализуется при максимальном масштабе однородности
граничных условий.
3. С уменьшением масштаба однородности граничных условий сопротивление трения
повышается, а его зависимость от скважности становится существенно нелинейной. В слу-
чае большого количества (M > 20) модулей, периодически реализующих проскальзывание
жидкости на обтекаемой поверхности, для снижения сопротивления на 10% требуется, что-
бы скважность поверхности составляла не менее 90%, в то время как для одного модуля
достаточно 30% скважности.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 75
4. Cопротивление обтекаемой поверхности не зависит от последовательности располо-
жения областей скольжения и прилипания, если не учитывать энергетические затраты на
образование областей проскальзывания. Энергетические затраты будут зависеть от после-
довательности расположения областей проскальзывания, если они зависят от профиля ско-
рости потока.
Решение относительно выбора оптимальных значений параметра скважности и коли-
чества модулей, обеспечивающих условие скольжения потока, должно приниматься с уче-
том выбранного метода реализации условия проскальзывания потока. В частности, область
скольжения может быть организована путем установки кавитаторов на обтекаемой поверх-
ности [6]. Однако в этом случае следует учитывать гидродинамическое сопротивление ка-
витатора, зависящее от его размеров и профиля скорости в пограничном слое.
1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. – Москва: Наука, 1974. – 712 с.
2. Савченко Ю.Н. Перспективы методов снижения гидродинамического сопротивления // Прикл. гiд-
ромеханiка. – 1999. – 1 (73), № 4. – С. 42–50.
3. Watanabe K. Drag reduction research in Japan // Proceedings of the Intern. Symp. on Seawater Drag
Reduction. – Newport, 22–23 July, 1998. – P. 19–23.
4. Савченко Ю.Н., Савченко Г.Ю. Оценка эффективности использования суперкавитации на осесим-
метричных корпусах // Прикл. гiдромеханiка. – 2004. – 6(78), № 4. – С. 50–56.
5. Kwon O.K., Pletcher R. B., Lewis J. P. Расчет течений с внезапным расширением при помощи урав-
нений пограничного слоя // Тр. амер. об-ва инж.-мех. Сер. D. Теорет. основы инжен. расчетов. –
1984. – 106, No 3. – С. 116–123.
6. Савченко Ю.Н., Семенов Ю.А. Метод расчета кавитационного течения в вихревом набегающем по-
токе // Прикл. гiдромеханiка. – 2005. – 7(79), № 2. – С. 54–62.
Поступило в редакцию 04.07.2006Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1657 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T05:34:24Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. 2008-09-01T14:28:25Z 2008-09-01T14:28:25Z 2007 Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями / Ю.Н. Савченко, Ю.А. Семенов // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 70-76. — Библиогр.: 6 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1657 532.528 The boundary layer near a solid wall, at which a sliding condition periodically appears, is considered. The problem is solved numerically using an explicit finite-difference method. The calculations are presented in terms of the velocity profile and the drag coefficient as functions of the Reynolds number and the scale factor of the sliding region. The obtained results show that a drag benefit increases with the scale factor of the sliding region. In order to reduce the drag force by two times, the total area of the sliding region should be no less than 70% of the total area of the wall. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями Article published earlier |
| spellingShingle | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями Савченко, Ю.Н. Семенов, Ю.А. Механіка |
| title | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| title_full | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| title_fullStr | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| title_full_unstemmed | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| title_short | Гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| title_sort | гидродинамическое сопротивление поверхности со смешанными граничными условиями |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1657 |
| work_keys_str_mv | AT savčenkoûn gidrodinamičeskoesoprotivleniepoverhnostisosmešannymigraničnymiusloviâmi AT semenovûa gidrodinamičeskoesoprotivleniepoverhnostisosmešannymigraničnymiusloviâmi |