О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами
Розглянуто проблему Кегеля - Шеметкова про знаходження класів скінченних груп F таких, що в будь-якій скінченнiй групi добуток переставних F -субнормальних пiдгруп є F -субнормальною підгрупою. We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups F such that, in any finite gr...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165704 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1555–1559. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859502842819117056 |
|---|---|
| author | Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. |
| author_facet | Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. |
| citation_txt | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1555–1559. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Розглянуто проблему Кегеля - Шеметкова про знаходження класів скінченних груп F таких, що в будь-якій скінченнiй групi добуток переставних F -субнормальних пiдгруп є F -субнормальною підгрупою.
We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups F such that, in any finite group, the product of permutable F-subnormal subgroups is a F-subnormal subgroup.
|
| first_indexed | 2025-11-25T07:26:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.542
В. Ф. Велесницкий, В. Н. Семенчук (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ
ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ
We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups F such that, in any finite group, the product
of permutational F-subnormal groups is a F-subnormal subgroup.
Розглянуто проблему Кегеля – Шеметкова про знаходження класiв скiнченних груп F таких, що в будь-якiй скiнчен-
нiй групi добуток переставних F-субнормальних пiдгруп є F-субнормальною пiдгрупою.
Все рассматриваемые в статье группы конечны. Согласно классической теореме Виландта [1],
множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку. Развивая
этот результат, Кегель [2] установил, что множество всех F-достижимых подгрупп в любой ко-
нечной группе образует решетку, если F — наследственная формация, замкнутая относительно
расширения.
В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие F-субнормальности(F-достижимости). Напомним эти понятия.
Пусть F — непустая формация. Подгруппу H группы G называют F-субнормальной, если
либо H = G, либо существует максимальная цепь
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hn = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для всех i = 1, 2, . . . , n.
Несколько другое понятие F-субнормальности введено Кегелем в работе [2]. Фактически
оно объединяет понятие субнормальности и F-субнормальности.
ПодгруппуH называют F-субнормальной в смысле Кегеля или F-достижимой, если сущест-
вует цепь подгрупп
G = H0 ⊇ H1 ⊇ . . . ⊇ Hm = H
такая, что для любого i = 1, 2, . . . ,m либо подгруппаHi нормальна вHi−1, либо (Hi−1)
F ⊆ Hi.
В настоящее время F-субнормальные (F-достижимые) подгруппы называют обобщенно
субнормальными подгруппами.
В 1978 году Кегель и Шеметков поставили следующую проблему.
Проблема 1 [2, 3]. Найти классы групп F, обладающие тем свойством, что в любой ко-
нечной группе множество всех обобщенно субнормальных подгрупп образует решетку.
Полное решение проблемы 1 о нахождении наследственных насыщенных формаций F,
обладающих решеточным свойством для F-достижимых (F-субнормальных) подгрупп в клас-
се разрешимых групп, получили Баллестер-Болинше, Дерк и Перец-Рамош в работе [4], а в
произвольном случае Васильев, Каморников, Семенчук [5].
c© В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1555
1556 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
Напомним, что формация F обладает решеточным свойством, если в любой группе G для
любых ее F-субнормальных подгрупп H и K подгруппы 〈H,K〉 и H ∩K F-субнормальны в G.
Если условия порождения F-субнормальных подгрупп заменить более слабым условием —
произведением перестановочных F-субнормальных подгрупп, а также опустить условие насы-
щенности формаций F, то проблема 1 обобщается следующим образом.
Проблема 2. Найти классы групп F такие, что для любой группы G и для любых ее
перестановочных F-субнормальных (F-достижимых) подгруппH иK подгруппаHK F-субнор-
мальна (F-достижима) в G.
В настоящей статье найдены непустые наследственные формации F, удовлетворяющие
условиям, сформулированным в проблеме 2. Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F — непустая наследственная сверхрадикальная формация. Тогда для
любой группы G и любых ее перестановочных F-субнормальных подгрупп H и K подгруппа
HK F-субнормальна в G.
В дальнейшем нам потребуются следующие определения и обозначения.
Пусть π — некоторое множество простых чисел, Gπ — класс всех π-групп, S — класс всех
разрешимых групп. Через π′ обозначим дополнение к π во множестве всех простых чисел;
если π = {p}, то вместо π′ будем писать p′.
Если F — класс групп и G — группа, то корадикал GF — пересечение всех нормальных
подгрупп N из G таких, что G/N ∈ F.
Формация — класс групп, замкнутый относительно фактор-групп и подпрямых произве-
дений.
Обозначим через π(F) множество всех простых чисел p, для которых в F имеется нееди-
ничная p-группа.
Формация F называется X-сверхрадикальной, если любая группаG ∈ X такая, чтоG = AB,
где A,B ∈ F и F-субнормальны в G, принадлежит F.
Если X — класс всех групп, то X-сверхрадикальная формация называется сверхрадикальной.
Пусть F и X — непустые формации конечных групп. Напомним, что произведением форма-
ций называется FX = {G | GX ∈ F}.
Если F — класс групп, то группа G называется минимальной не F-группой, если она не
принадлежит F, а любая ее собственная подгруппа принадлежит F. Множество всех таких
минимальных не F-групп обозначается через M(F).
Приведем известные свойства F-субнормальных подгрупп.
Лемма 1. Пусть F — непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) если H — подгруппа группы G и GF ⊆ H, то H — F-субнормальная подгруппа группы G;
2) если H — F-субнормальная подгруппа группы G, то H∩K — F-субнормальная подгруппа
K для любой подгруппы K группы G.
Лемма 2. Пусть F — непустая формация, H и N — подгруппы группы G, причем N
нормальна в G. Тогда:
1) если H F-субнормальна в G, то HN F-субнормальна в G и HN/N F-субнормальна в
G/N ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ . . . 1557
2) еслиN ⊆ H,тоH F-субнормальна вGтогда и только тогда, когдаH/N F-субнормальна
в G/N.
Лемма 3 [7]. ПустьW = Zpn−1 oZp иB — база сплетения, p ∈ P, n ∈ N. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) W содержит субнормальную подгруппу, изоморфную Zpn ;
2) если M = [B,Zp], N =MZp и ω ∈ N \M, то ωp = 1;
3) W = BN, где B и N — нормальные подгруппы W экспоненты pn−1, n ≥ 2.
Лемма 4. Пусть F — непустая наследственная S-сверхрадикальная формация. Тогда
Nπ(F) ⊆ F.
Доказательство. Вначале докажем, что любая примарная минимальная не F-группа явля-
ется циклической. Пусть G ∈ M(F) и G — p-группа. Если G не циклическая, то в G найдутся
две различные максимальные подгруппы M1 и M2. Ясно, что они нормальны в G и G/Mi ∈ F,
Mi ∈ F, i = 1, 2. Отсюда следует, что GF ⊆Mi. Согласно лемме 1 M1, M2 — F-субнормальные
подгруппы группы G. Поскольку G = M1M2 и F — S-сверхрадикальная формация, то G ∈ F,
что невозможно.
Покажем, что Nπ(F) ⊆ F. Предположим противное и пусть G — группа наименьшего по-
рядка из Nπ(F) \ F. Так как Nπ(F) — наследственная формация, то G — минимальная не F-
группа. Покажем, что G — примарная группа. Пусть
∣∣π(G)∣∣ > 1. Поскольку G нильпотентна,
тоG = A×B. Очевидно, чтоG/A ∈ F иG/B ∈ F. Так как F — формация, тоG ' G/A∩B ∈ F,
что невозможно. Итак, G — p-группа. Выше было показано, что G — циклическая p-группа.
Пусть |G| = pn, где n — некоторое фиксированное натуральное число.
Если n = 1, то G — группа простого порядка p. Поскольку G ∈ Nπ(F), где π(F) — характе-
ристика формации F, то G ∈ F, что невозможно.
Пусть n > 1. Рассмотрим группу W = Zpn−1 oZp. Тогда W = BZp, где B — база сплетения.
По лемме 3W содержит подгруппу P, изоморфнуюG. Так как P ∈M(F) и F — наследственная
формация, то W не принадлежит F.
Согласно лемме 3 W = BN, где B и N — нормальные подгруппы группы W экспоненты
pn−1. Заметим, что B ∈ F и N ∈ F. Отсюда следует, что W/B ∈ F и W/N ∈ F. А это значит,
что W F ⊆ B ∩N. Согласно лемме 1 B и N — F-субнормальные подгруппы группы W. Так как
F — S-сверхрадикальная формация, то W ∈ F. Получили противоречие.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1 проведем индукцией по порядку группы G. Пусть A и B —
перестановочные F-субнормальные подгруппы группы G. Обозначим T = AB. Пусть N —
минимальная нормальная подгруппа группы G. Учитывая лемму 2, по индукции получаем,
что TN/N — F-субнормальная подгруппа G/N. По лемме 2 TN — F-субнормальная подгруппа
группы G. Если TN 6= G, то по индукции T — F-субнормальная подгруппа из TN, а это значит,
что T F-субнормальна в G.
Пусть теперь TN = G для любой нормальной подгруппы N группы G. Очевидно, что
TG = 1. Если AF 6= 1, то в силу леммы 1 подгруппа AF F-субнормальна в G. Но тогда по
теореме 7.10 из [3]
1 6= (AF)G = (AF)TN ⊆ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1558 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
А это значит, что TG 6= 1. Получили противоречие. Значит, AF = 1. Аналогичным образом
доказывается, что BF = 1.
Покажем, что AN ∈ F, BN ∈ F. Рассмотрим следующие два случая:
1. Пусть N — абелева подгруппа. Так как N — минимальная нормальная подгруппа группы
G, то N — p-группа. Покажем, что p ∈ π(F). Поскольку AN/N ' A/A ∩ N и A ∈ F, то
AN/N ∈ F. Отсюда (AN)F ⊆ N.
Пусть (AN)F = N. Поскольку A — F-субнормальная подгруппа группы G, то по лемме 1
A — F-субнормальная подгруппа в AN. Так как A ∈ F, то, очевидно, что A — собственная
подгруппа AN. Тогда A ⊆ M, где M — максимальная F-нормальная подгруппа в AN. Ясно,
что (AN)F ⊆ M. Тогда A(AN)F = AN ⊂ M, что невозможно. Итак, (AN)F ⊂ N. Теперь
из того факта, что AN/(AN)F ∈ F и p ∈ π
(
AN/(AN)F
)
, следует, что p ∈ π(F). По лемме 4
Nπ(F) ⊆ F. Отсюда следует, что N ∈ F. Согласно лемме 1 N — F-субнормальная подгруппа
AN. Так как F — сверхрадикальная формация, то AN ∈ F. Аналогичным образом получаем,
что BN ∈ F.
2. Пусть N — неабелева подгруппа. Тогда
N = N1 ×N2 × . . .×Nt
— прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп. Поскольку A ∈ F, то AN/N ∈
∈ F. Отсюда (AN)F ⊆ N. Если (AN)F = N, то AN = (AN)FA. Если A — собственная
подгруппа AN, то A ⊆ M, где M — максимальная F-нормальная подгруппа в AN. Так как
(AN)F ⊆M, то M = AN, что невозможно. Итак, A = AN и AN ∈ F. Пусть теперь (AN)F ⊂
⊂ N. Если (AN)F 6= 1, то
(AN)F = Ni1 ×Ni2 × . . .×Nin .
Так как F — наследственная формация, то N/(AN)F ∈ F. Но тогда нетрудно заметить, что
N ∈ F. Согласно лемме 1 N — F-субнормальная подгруппа AN. Так как F‘— сверхрадикальная
формация, то AN ∈ F. Аналогичным образом получаем, что BN ∈ F. По лемме 2 AN и BN —
F-субнормальные подгруппы группы G. Поскольку F‘— сверхрадикальная формация, то G ∈ F.
Так как F — наследственная формация, то T — F-субнормальная подгруппа группы G.
Теорема доказана.
Обозначим через I некоторое подмножество из N×N. Пусть πi, πj — некоторые множества
простых чисел, а Gπi , Gπj — классы всех πi-групп и πj-групп соответственно. В дальнейшем
мы рассматриваем формации вида
F =
⋂
(i,j)∈I
GπiGπj .
Напомним, что группа G называется p-замкнутой (p-нильпотентной), если ее силовская p-
подгруппа (силовское p-дополнение) нормальна в G. Группа G называется p-разложимой, если
она одновременно p-замкнута и p-нильпотентна. Тогда Gp′Gp — класс всех p-нильпотентных
групп, GpGp′ — класс всех p-замкнутых групп, Gp′Gp
⋂
GpGp′ — класс всех p-разложимых
групп, N =
⋂
Gp′Gp — класс всех нильпотентных групп, где p пробегает все простые числа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ . . . 1559
Группа G называется π-нильпотентной (π-разложимой), если она p-нильпотентна (p-раз-
ложима) для любого простого числа p из π. Классы всех π-нильпотентных (π-разложимых)
групп можно записать в виде ⋂
p∈π
Gp′Gp
⋂
p∈π
(
Gp′Gp
⋂
GpGp′
)
.
Группа G называется π-замкнутой, если она имеет нормальную π-холлову подгруппу. Тогда
GπGπ′ — класс всех π-замкнутых групп.
В работе [8] доказано, что формации вида F =
⋂
(i,j)∈I GπiGπj являются сверхрадикаль-
ными.
Таким образом, учитывая теорему 1, получаем следующий результат.
Теорема 2. Пусть F — либо класс всех p-замкнутых групп, либо класс всех p-нильпотент-
ных групп, либо класс всех p-разложимых групп, либо класс всех π-нильпотентных групп, либо
класс всех π-разложимых групп, либо класс всех π-замкнутых групп. Тогда для любой группы
G и для любых ее перестановочных F-субнормальных подгрупп H и K подгруппа HK F-
субнормальна в G.
Нетрудно показать, что полученные результаты также справедливы, если понятие F-субнор-
мальности заменить понятием F-достижимости.
1. Wielandt H. Über den Normalisator der subnormalen Untergruppen // Math. Z. – 1958. – 69, № 8. – S. 463 – 465.
2. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten // Arch. Math. –
1978. – 30, № 3. – S. 225 – 228.
3. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.
4. Ballester-Bolinches A., Döerk К., Perez-Ramos M. D. On the lattice of F-subnormal subgroups // J. Algebra. –
1992. – 148, № 2. – P. 42 – 52.
5. Васильев А. Ф., Каморников С. Ф., Семенчук В. Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные
группы и примыкающие алгебраические системы. – Киев, 1993. – С. 27 – 54.
6. Семенчук В. Н. Разрешимые F-радикальные формации // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 2. – С. 261 – 266.
7. Döerk K., Hаwkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
8. Семенчук В. Н., Шеметков Л. А. Сверхрадикальные формации // Докл. НАН Беларуси. – 2000. – 44, № 5. –
С. 24 – 26.
Получено 20.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165704 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T07:26:57Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. 2020-02-16T07:41:52Z 2020-02-16T07:41:52Z 2013 О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами / В.Ф. Велесницкий, В.Н. Семенчук // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 11. — С. 1555–1559. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165704 517.542 Розглянуто проблему Кегеля - Шеметкова про знаходження класів скінченних груп F таких, що в будь-якій скінченнiй групi добуток переставних F -субнормальних пiдгруп є F -субнормальною підгрупою. We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups F such that, in any finite group, the product of permutable F-subnormal subgroups is a F-subnormal subgroup. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups Article published earlier |
| spellingShingle | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами Велесницкий, В.Ф. Семенчук, В.Н. Короткі повідомлення |
| title | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| title_alt | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_full | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| title_fullStr | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| title_full_unstemmed | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| title_short | О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| title_sort | о конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165704 |
| work_keys_str_mv | AT velesnickiivf okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT semenčukvn okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT velesnickiivf onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT semenčukvn onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups |