Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности

Доведено, що умовне сподівання на компактній квантовій групі, що задовольняє певні умови, можна розкласти в композицію двох умовних сподівань, перше з яких пов'язане з квантовими подвійними класами суміжності, а друге зберігає коодиницю....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Калюжный, А.А., Подколзин, Г.Б., Чаповский, Ю.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165736
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 644–653. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165736
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1657362025-02-09T13:32:59Z Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности Conditional Expectations on Compact Quantum Groups and Quantum Double Cosets Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. Статті Доведено, що умовне сподівання на компактній квантовій групі, що задовольняє певні умови, можна розкласти в композицію двох умовних сподівань, перше з яких пов'язане з квантовими подвійними класами суміжності, а друге зберігає коодиницю. We prove that a conditional expectation on a compact quantum group that satisfies certain conditions can be decomposed into a composition of two conditional expectations one of which is associated with quantum double cosets and the other preserves the counit. 2005 Article Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 644–653. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165736 517.98 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности Український математичний журнал
description	Доведено, що умовне сподівання на компактній квантовій групі, що задовольняє певні умови, можна розкласти в композицію двох умовних сподівань, перше з яких пов'язане з квантовими подвійними класами суміжності, а друге зберігає коодиницю.
format	Article
author	Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А.
author_facet	Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А.
author_sort	Калюжный, А.А.
title	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
title_short	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
title_full	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
title_fullStr	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
title_full_unstemmed	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
title_sort	условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165736
citation_txt	Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 5. — С. 644–653. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT kalûžnyjaa uslovnyeožidaniânakompaktnyhkvantovyhgruppahikvantovyedvojnyeklassysmežnosti AT podkolzingb uslovnyeožidaniânakompaktnyhkvantovyhgruppahikvantovyedvojnyeklassysmežnosti AT čapovskijûa uslovnyeožidaniânakompaktnyhkvantovyhgruppahikvantovyedvojnyeklassysmežnosti AT kalûžnyjaa conditionalexpectationsoncompactquantumgroupsandquantumdoublecosets AT podkolzingb conditionalexpectationsoncompactquantumgroupsandquantumdoublecosets AT čapovskijûa conditionalexpectationsoncompactquantumgroupsandquantumdoublecosets
first_indexed	2025-11-26T06:48:19Z
last_indexed	2025-11-26T06:48:19Z
_version_	1849834557908451328
fulltext	UDK 517.98 A. A. KalgΩn¥j * , H. B. Podkolzyn, G. A. Çapovskyj * (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX Y KVANTOVÁE DVOJNÁE KLASSÁ SMEÛNOSTY We prove that under certain conditions, a conditional expectation on a compact quantum group is decomposable into a composition of two conditional expectations. The first of these expectations is associated with quantum double cosets and the second one preserves the counit. Dovedeno, wo umovne spodivannq na kompaktnij kvantovij hrupi, wo zadovol\nq[ pevni umovy, moΩna rozklasty v kompozycig dvox umovnyx spodivan\, perße z qkyx pov’qzane z kvantovymy podvijnymy klasamy sumiΩnosti, a druhe zberiha[ koodynycg. Vvedenye. Kompaktn¥e kvantov¥e hyperhrupp¥ b¥ly vveden¥ v [1] kak obæek- t¥, odnovremenno obobwagwye ob¥çn¥e hyperhrupp¥ [2, 3], kompaktn¥e mat- ryçn¥e psevdohrupp¥ [4] y byalhebr¥ byynvaryantn¥x funkcyj, svqzann¥e s kvantov¥my paramy Hel\fanda [5 – 7]. Pod kompaktnoj kvantovoj hyperhruppoj ponymaetsq unytal\naq C* -alheb- ra s koassocyatyvn¥m vpolne poloΩytel\n¥m koproyzvedenyem, soxranqgwym edynycu y udovletvorqgwym nekotor¥m dopolnytel\n¥m aksyomam. Prymer¥ kompaktn¥x kvantov¥x hyperhrupp, svqzann¥x s kvantov¥my paramy Hel\fanda, b¥ly postroen¥ v [1]. V [8] predloΩen obwyj metod postroenyq kvantov¥x hy- perhrupp s pomow\g uslovnoho oΩydanyq na kompaktnoj kvantovoj hruppe. Ukazann¥j metod obobwaet konstrukcyg postroenyq ob¥çn¥x DJS-hyperhrupp s pomow\g orbytal\n¥x morfyzmov [9], vklgçaet v sebq konstrukcyg dvojn¥x klassov smeΩnosty dlq kvantov¥x hrupp [6, 7] y analoh konstrukcyy Del\sarta dlq kvantov¥x hyperhrupp. V [8] s pomow\g prymenenyq ukazannoj konstruk- cyy k netryvyal\n¥m koneçnomern¥m alhebram Kaca, poluçenn¥m tvystynhom [10, 11] klassyçeskyx seryj koneçn¥x hrupp, postroeno neskol\ko seryj netry- vyal\n¥x koneçnomern¥x kvantov¥x hyperhrupp. Prymer¥ kompaktn¥x kvantov¥x hyperhrupp, postroenn¥e v [8], xaraktery- zugtsq tem svojstvom, çto sootvetstvugwye uslovn¥e oΩydanyq soxranqgt koedynycu. Budem naz¥vat\ takye uslovn¥e oΩydanyq kounytal\n¥my (sm. op- redelenye 1). Uslovn¥e oΩydanyq, voznykagwye v konstrukcyy kvantov¥x dvojn¥x klassov smeΩnosty, πtoho svojstva ne ymegt. V nastoqwej stat\e m¥ pokaΩem, çto pry nekotor¥x dopolnytel\n¥x uslovyqx lgboe uslovnoe oΩy- danye na kompaktnoj kvantovoj hruppe qvlqetsq kompozycyej uslovn¥x oΩyda- nyj dvux opysann¥x v¥ße typov. Takym obrazom, dva typa rassmotrenn¥x pry- merov obrazugt, v nekotorom sm¥sle, πlementarn¥e bloky dlq postroenyq po kvantovoj hruppe kompaktnoj kvantovoj hyperhrupp¥. Otmetym, çto analohyçnaq teorema dokazana v [12] v çastnom sluçae uslov- noho oΩydanyq na kompaktnoj alhebre Kaca. Osnovnaq trudnost\, v otlyçye ot [12], sostoyt v tom, çto koedynyca y antypod kompaktnoj kvantovoj podhrupp¥, voznykagwej pry dokazatel\stve osnovnoj teorem¥, voobwe hovorq, neohrany- çen¥. Tem ne menee, udaetsq dokazat\, çto kvantovaq hyperhruppa, kotoraq po- luçaetsq s pomow\g faktoryzacyy po πtoj podhruppe, soderΩyt neprer¥vnug koedynycu. 1. Predvarytel\n¥e svedenyq. 1. Pust\ A = ( A, ∆ ) — kompaktnaq kvan- tovaq hruppa [13]. Zdes\ ∆ : A → A ⊗ A — koumnoΩenye, pod A ⊗ A ponymaetsq * Çastyçno podderΩan¥ Hosudarstvennoj prohrammoj „Matematyçeskoe modelyrovanye fyzy- çeskyx y mexanyçeskyx processov v syl\no neodnorodn¥x sredax” (tema # 20). © A. A. KALGÛNÁJ, H. B. PODKOLZYN, G. A. ÇAPOVSKYJ, 2005 644 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX … 645 proektyvn¥j tenzorn¥j kvadrat C* -alhebr¥ A. Oboznaçym çerez µ meru Xaara kompaktnoj kvantovoj hrupp¥ A . Pust\ A0 — -podalhebra C -alhebr¥ A, obrazovannaq lynejn¥my komby- nacyqmy matryçn¥x πlementov uij α nepryvodym¥x unytarn¥x kopredstavlenyj. Tohda A0 plotna v A y qvlqetsq -alhebroj Xopfa (zdes\ koedynyca ε y an- typod κ opredelen¥ ravenstvamy ε α( )uij = δi j 1 y κ α( )uij = uji α [13]). V dal\- nejßem budem predpolahat\, çto tak opredelennaq koedynyca prodolΩaetsq do neprer¥vnoho homomorfyzma na vsej C* -alhebre A. Oboznaçym çerez Â banaxovo prostranstvo neprer¥vn¥x funkcyonalov na C* -alhebre A s normoj \|\| ξ \|\| = sup \|\| a \|\| = 1 \| ξ ( a ) \|. Dlq ξ, η ∈ Â opredelym proyz- vedenye ⋅ y ynvolgcyg � ravenstvamy ( ξ ⋅ η ) ( a ) = ( ξ ⊗ η ) δ ( a ), χ� ( a ) = χ κ( )( )a * , hde a ∈ A. Otnosytel\no tak vvedenn¥x operacyj prostranstvo Â qvlqetsq ynvolgtyvnoj banaxovoj alhebroj. Oboznaçym, kak ob¥çno, pravoe y levoe dej- stvyq alhebr¥ Â na A sootvetstvenno ξ . a = ( id ⊗ ξ ) � ∆ ( a ), a . ξ = ( ξ ⊗ id ) � ∆ ( a ), hde ξ ∈ Â y a ∈ A. Pod Â ⊗ Â budem ponymat\ popolnenye alhebrayçeskoho tenzornoho proyzvedenyq otnosytel\no norm¥, soprqΩennoj k proektyvnoj norme na A ⊗ A [14]. Proyzvedenye na C* -alhebre A poroΩdaet koproyzvede- nye m̂ : Â → Â ⊗ Â . Pust\ ρ : A → B ( Hξ ) — HNS-predstavlenye, sootvet- stvugwee sostoqnyg ξ ∈ Â . Zdes\ Hξ y B ( Hξ ) — sootvetstvenno hyl\bertovo prostranstvo y -alhebra ohranyçenn¥x operatorov na Hξ . Zafyksyruem orto- normyrovann¥j bazys { } = ∞ei i 1, hde e1 = 1, v Hξ y poloΩym ξi j ( a ) = ( ρ ( a ) ej , ei ) Hξ . Tohda ξ 11 = ξ y m̂ i i i ( ) = ⊗ = ∞ ∑ξ ξ ξ1 1 1 . V dal\nejßem nam ponadobytsq sledugwee utverΩdenye. PredloΩenye 1. Pust\ A 1 = ( A1 , ∆1 ) y A 2 = ( A2 , ∆2 ) — dve kompaktn¥e kvantov¥e hrupp¥ y π : A1 → A2 — πpymorfyzm C -alhebr takoj, çto ∆ 2 � � π = ( π ⊗ π ) � ∆2 . Tohda suΩenye πpymorfyzma π na -alhebru A10 , obrazo- vannug lynejn¥my kombynacyqmy matryçn¥x πlementov nepryvodym¥x unytar- n¥x kopredstavlenyj, qvlqetsq homomorfyzmom sootvetstvugwyx alhebr Xopfa ( A10 , ∆1 , κ1 , ε1 ) y ( A20 , ∆2 , κ2 , ε2 ), v çastnosty na A10 v¥polnqgt- sq sootnoßenyq ε2 � π = ε1 , (1) κ2 � π = π � κ2 (2) (zdes\ κ i y ε i qvlqgtsq sootvetstvenno antypodom y koedynycej i-j al- hebr¥ Xopfa). Dokazatel\stvo. V¥byraq ortonormyrovann¥j bazys v prostranstve uny- tarnoho kopredstavlenyq uα , moΩno kaΩdoe takoe kopredstavlenye otoΩdest- vyt\ s matrycej ( ) =uij i j uα α , dim 1 , hde uij α — matryçn¥e πlement¥ kopredstavlenyq. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 646 A. A. KALGÛNÁJ, H. B. PODKOLZYN, G. A. ÇAPOVSKYJ Pust\ ( ) =uij i j uα α , dim 1 — matryca, sootvetstvugwaq nepryvodymomu unytarnomu kopredstavlenyg kompaktnoj kvantovoj hrupp¥ A 1 . PoloΩym vij α = π( )uij α . Tohda, kak netrudno vydet\, matryca ( ) =vij i j uα α , dim 1 qvlqetsq matrycej koneçno- mernoho kopredstavlenyq kompaktnoj kvantovoj hrupp¥ A2 . Xotq poslednee predstavlenye, voobwe hovorq, ne qvlqetsq nepryvodym¥m, ono razlahaetsq v prqmug summu unytarn¥x nepryvodym¥x kopredstavlenyj kvantovoj hrupp¥ A2 . Tem sam¥m kaΩd¥j πlement vij α predstavym v vyde lynejnoj kombynacyy nepryvodym¥x unytarn¥x kopredstavlenyj A 2 y poπtomu prynadleΩyt -al- hebre A20 . Otsgda sleduet, çto π ( A10 ) ⊂ A20 . Ravenstvo (1) sleduet yz toho, çto koedynyca kaΩdoj yz dvux kompaktn¥x kvantov¥x hrupp dejstvuet na matryçn¥x πlementax sootvetstvugwyx nepryvo- dym¥x (y, sledovatel\no, proyzvol\n¥x koneçnomern¥x) kopredstavlenyj po formule εi ( ukl ) = δkl . Ravenstvo (2) analohyçno sleduet yz formul¥ κ i ( ukl ) = = ulk * . PredloΩenye dokazano. 2. Kompaktnaq kvantovaq hyperhruppa [1] — πto nabor B = ( B, δ, ε, � , σ t , µ ), v kotorom B — unytal\naq C* -alhebra s vpolne poloΩytel\n¥m koassocy- atyvn¥m koumnoΩenyem δ : B → B ⊗ B (zdes\ pod B ⊗ B ponymaetsq proektyv- noe tenzornoe proyzvedenye), ε : B → C — koedynyca, � — koynvolgcyq, σt , t ∈ R, — neprer¥vnaq odnoparametryçeskaq hruppa avtomorfyzmov B y µ — mera Xaara. Pry πtom v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq: ( a ⋅ b ) � = a� ⋅ b�, δ � * = ( * ⊗ * ) � δ, ε ( a ⋅ b ) = ε ( a ) ε ( b ), δ ( 1 ) = 1 ⊗ 1, (3) � � * = * � � dlq vsex a, b ∈ B. Uslovyq na odnoparametryçeskug hruppu σt ymegt sledu- gwyj vyd: a) suwestvugt plotn¥e podalhebr¥ B0 ⊂ B y B̃0 ⊂ B ⊗ B takye, çto odno- parametryçeskye hrupp¥ σt , σt ⊗ id y id ⊗ σt , t ∈ R, mohut b¥t\ prodolΩen¥ do kompleksn¥x odnoparametryçeskyx hrupp σz y σz ⊗ id, id ⊗ σz , z ∈ C, av- tomorfyzmov alhebr B0 y B̃0 sootvetstvenno; b) B0 ynvaryantna otnosytel\no * y �, y δ ( B0 ) ⊂ B̃0 ; c) dlq lgboho z ∈ C na alhebre B0 v¥polnqgtsq sootnoßenyq δ � σz = ( σz ⊗ σz ) � δ, µ ( σz ( a ) ) = µ ( a ); d) suwestvuet z0 ∈ C takoe, çto mera Xaara µ udovletvorqet sledugwemu uslovyg syl\noj ynvaryantnosty: dlq lgb¥x a, b ∈ B0 v¥polneno ravenstvo ( id ⊗ µ ) [ ( ( * � σz0 � � ⊗ id ) � δ ( a ) ) ⋅ ( 1 ⊗ b ) ] = ( id ⊗ µ ) ( ( 1 ⊗ a ) ⋅ δ ( b ) ); Nakonec, predpolahaetsq, çto mera Xaara µ toçna na B0 . Antypod κ opredelqetsq sootnoßenyem ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX … 647 κ = * � σz0 � �. (4) Otsgda dlq lgb¥x a, b ∈ B0 ymeem κ ( a b ) = κ ( b ) κ ( a ), δ � κ = Π � ( κ ⊗ κ ) � δ, µ � κ = µ, κ ( 1 ) = 1, ε � κ = ε. Antypod obratym y κ– 1 = � � σ– z0 � . Tohda sootnoßenye v uslovyy d) ymeet vyd ( id ⊗ µ ) ( ( κ ⊗ id ) � δ ( a ) ⋅ ( 1 ⊗ b ) ) = ( id ⊗ µ ) ( ( 1 ⊗ a ) ⋅ δ ( b ) ). 3. Pust\ A1 = ( A1 , ∆1 ) y A2 = ( A2 , ∆2 ) — dve kompaktn¥e kvantov¥e hrup- p¥ y µ1 , µ2 — sootvetstvugwye mer¥ Xaara. PredpoloΩym, çto π : A 1 → A2 — πpymorfyzm, t. e. takoj πpymorfyzm C -alhebr, çto v¥polneno ravenstvo ( π ⊗ π ) � ∆1 = ∆2 � π. Tohda v sylu predloΩenyq 1 π ( A10 ) ⊂ A20 y na A10 v¥- polnqgtsq ravenstva π � κ1 = κ2 � π y ε1 = ε2 � π (zdes\ Ai0 , i = 1, 2, qvlqetsq -podalhebroj, poroΩdennoj matryçn¥my πlementamy nepryvodym¥x kopred- stavlenyj sootvetstvugwej kompaktnoj kvantovoj hrupp¥, a κi y ε i — soot- vetstvenno antypod y koedynyca na Ai0 ). PoloΩym A10 / A2 = { a ∈ A10 : ( id ⊗ π ) � ∆1 ( a ) = a ⊗ 1 }, A2 \ A10 = { a ∈ A10 : ( π ⊗ id ) � ∆1 ( a ) = 1 ⊗ a }, A2 \ A10 / A2 = A2 \ A10 ∩ A10 / A2 . Tohda lynejnoe prostranstvo B0 = A2 \ A10 / A2 qvlqetsq ynvolgtyvnoj alheb- roj s edynycej 1. KoumnoΩenye δ : B0 → B0 ⊗ B0 opredeleno s pomow\g su- Ωenyq δ = ( id ⊗ µ2 � π ⊗ id ) � ( ∆1 ⊗ id ) � ∆1 na B0 y ynvolgcyq � : B0 → B0 zadaetsq ravenstvom a� = f– 1 / 2 . κ1 ( a ) . f1 / 2 , hde a ∈ B0 , a fz , z ∈ C, — odnoparametryçeskoe semejstvo modulqrn¥x homo- morfyzmov A1 . Çerez B oboznaçym C* -podalhebru, poluçennug popolnenyem B0 v C* -alhebre A1 , prodolΩym otobraΩenyq δ y � po neprer¥vnosty do so- otvetstvugwyx otobraΩenyj na B y poloΩym σt ( a ) = fit . a . f– i t , z0 = − 1 2 i . Esly koedynyca ε1 na kvantovoj hruppe A1 neprer¥vna, to na B suwestvu- et koedynyca ε, kotoraq qvlqetsq suΩenyem ε1 , y mera Xaara µ — suΩenye µ1 na B. Tohda B = ( B, δ, ε, �, σt , µ ) qvlqetsq kompaktnoj kvantovoj hyper- hruppoj [1], kotorug m¥ oboznaçym çerez A2 \ A1 / A2 y nazovem kvantovoj hy- perhruppoj dvojn¥x klassov smeΩnosty kvantovoj hrupp¥ A1 otnosytel\no ee kvantovoj podhrupp¥ A2 . OtobraΩenye P : A1 → B, opredelennoe sootno- ßenyem P = ( µ2 � π ⊗ id ⊗ µ2 � π ) � ( ∆1 ⊗ id ) � ∆1 , ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 648 A. A. KALGÛNÁJ, H. B. PODKOLZYN, G. A. ÇAPOVSKYJ qvlqetsq uslovn¥m oΩydanyem, sootvetstvugwym konstrukcyy dvojn¥x klas- sov smeΩnosty. Polahaq A2 = �1 s tryvyal\n¥my operacyqmy, poluçaem, çto kompaktnaq kvantovaq hruppa A1 s neprer¥vnoj koedynycej qvlqetsq pryme- rom kompaktnoj kvantovoj hyperhrupp¥. 4. Pust\ A = ( A, ∆, ε, �, σt , µ ) — kompaktnaq kvantovaq hyperhruppa y κ — antypod, opredelenn¥j ravenstvom (4). Pust\ B — unytal\naq C* -podal- hebra A y P : A → B — sootvetstvugwee µ-ynvaryantnoe uslovnoe oΩydanye (t. e. µ � P = µ ). Sledugwaq teorema [8] pozvolqet stroyt\ nov¥e prymer¥ kvantov¥x hyperhrupp. Teorema 1. Pust\ A — kompaktnaq kvantovaq hyperhruppa, B — uny- tal\naq C* -podalhebra C* -alhebr¥ A y P : A → B — sootvetstvugwee us- lovnoe oΩydanye. PredpoloΩym, çto dlq plotn¥x podalhebr A0 y Ã0 v¥- polnen¥ sootnoßenyq P ( A0 ) ⊂ A0 , ( P ⊗ id ) ( )Ã0 ⊂ Ã0 y ( id ⊗ P ) ( )Ã0 ⊂ Ã0 . Pust\ P udovletvorqet sledugwym uslovyqm: ( P ⊗ id ) ∆ � P = ( P ⊗ P ) ∆ = ( id ⊗ P ) ∆ � P, (5) P � � = � � P, (6) P � σz = σz � P, (7) µ � P = µ. (8) PoloΩym dlq lgboho x ∈ B ∆̃( )x = ( P ⊗ P ) ∆ ( x ). Tohda ( B, ∆̃ , ε, �, σt , µ ) qvlqetsq kompaktnoj kvantovoj hyperhruppoj. 2. Teorema o faktoryzacyy. Opredelenye 1. Uslovnoe oΩydanye P na kompaktnoj kvantovoj hyper- hruppe naz¥vaetsq kounytal\n¥m, esly ε � P = ε, hde ε — koedynyca hyper- hrupp¥. Pust\ A — kompaktnaq kvantovaq hruppa s neprer¥vnoj koedynycej ε, B — unytal\naq C* -podalhebra C* -alhebr¥ A. Pust\ P : A → B — uslovnoe oΩydanye, udovletvorqgwee uslovyqm teorem¥ 1 (zdes\ pod podalhebramy A0 y Ã0 ponymagtsq sootvetstvenno alhebra, poroΩdennaq matryçn¥my πlemen- tamy nepryvodym¥x predstavlenyj, y ee alhebrayçeskyj tenzorn¥j kvadrat). Oboznaçym ε̃ = ε � P. Lemma 1. OtobraΩenye ε̃ : A → � qvlqetsq sostoqnyem na C* -alhebre A , pryçem ε̃ , ponymaem¥j kak πlement alhebr¥ Â , qvlqetsq ydempoten- tom, t. e. ε̃2 = ε̃ . Dokazatel\stvo. Pervoe utverΩdenye lemm¥ sleduet yz toho, çto P sox- ranqet konus poloΩytel\n¥x πlementov C* -alhebr¥ A, ε qvlqetsq homomor- fyzmom y ε̃( )1 = 1. DokaΩem vtoroe utverΩdenye. Ymeem ε̃2 = ( ε � P ⊗ ε � P ) � ∆ = ( ε ⊗ id ) � ( id ⊗ ε � P ) � ∆ � P = = ( id ⊗ ε � P ) � ( ε ⊗ id ) � ∆ � P = ε � P � P = ε̃ . Lemma 2. Pust\ ε̃ — sled na A. Tohda lev¥j ydeal ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX … 649 J = { a ∈ A \| ˜ ε( )a a = 0 } qvlqetsq zamknut¥m dvustoronnym ydealom y koydealom v A, t. e. ∆ ( J ) ⊂ J ⊗ A + A ⊗ J. (9) Krome toho, ydeal J ynvaryanten otnosytel\no ynvolgcyy, koynvolgcyy y hrupp¥ σt , t. e. J = J, J� = J, σt ( J ) ⊂ J, t ∈ �. (10) Dokazatel\stvo. Poskol\ku ε̃ — sled, lev¥j ydeal J qvlqetsq dvusto- ronnym. PokaΩem, çto J — koydeal. Dlq a ∈ J ymeem ( ⊗ ) ( ) ( ) = ( ⊗ ) ( ) = ( ) = ( )( ) ( )˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜* * * ε ε ε ε ε ε∆ ∆ ∆a a a a a a a a2 = 0. Yspol\zuq snova sledovoe svojstvo ε̃ , poluçaem ˜ ˜ ˜ * * * ε ε ε( )( ) = ( ) = ( )a a aa a a = 0 dlq a ∈ J. Nakonec, yspol\zuq kommutyruemost\ ynvolgcyy y koynvolgcyy, ravenstvo ε̃( )a� = ε̃( )a [1] y (3), naxodym ̃ ˜ ˜ * ε ε ε( ) ( )( ) = ( ) = ( )a a a a a a� � � = 0. DokaΩem poslednee yz sootnoßenyj (10). Poskol\ku uslovnoe oΩydanye P kommutyruet s σt y ε � σ t = ε [1], dlq lgboho a ∈ A ymeem ε̃ σ( )( )t a = ε ( P � � σt ( a ) ) = ε ( σt ( P ( a ) ) ) = ε � P ( a ) = ε̃( )a . Poπtomu dlq vsex a ∈ J ˜ ˜ ˜ * ε σ σ ε σ ε( ) ( )( ) ( ) = ( ) = ( )t t ta a a a a a = 0. Lemma dokazana. V dal\nejßem budem predpolahat\, çto ε̃ qvlqetsq sledom na C -alheb- reSSA. Lemma 3. Oboznaçym çerez Ĵ = { ξ ∈ Â \| ξ ( a ) = 0 dlq vsex a ∈ J } annulq- tor J v Â . Tohda: i) sostoqnye ε̃ prynadleΩyt Ĵ ; ii) ∆ Ĵ ⊂ Ĵ ⊗ Ĵ ; iii) Ĵ qvlqetsq zamknutoj ynvolgtyvnoj podalhebroj ynvolgtyvnoj bana- xovoj alhebr¥ Â ; iv) Ĵ zamknuta otnosytel\no otobraΩenyj * y σt , opredelenn¥x raven- stvamy χ* ( a ) = χ( )a* y σt ( χ ) ( a ) = χ ( σt ( a ) ), hde χ ∈ Â , a ∈ A, t ∈ �. Dokazatel\stvo. Poskol\ku ε̃( )a 2 ≤ ˜ ˜ ε ε( ) ( )1 a a = 0 dlq vsex a ∈ J, to ε̃ ∈ Ĵ . DokaΩem ii). Pust\ a ∈ J, b ∈ A y ξ ∈ Ĵ . Poskol\ku J — lev¥j ydeal, to 〈 ∆ξ, a ⊗ b 〉 = ξ ( a b ) = 0, otkuda ∆ξ ⊂ Ĵ ⊗ Â , a tak kak J takΩe qvlqetsq pra- v¥m ydealom, to 〈 ∆ξ, b ⊗ a 〉 = ξ ( b a ) = 0, otkuda ∆ξ ⊂ Â ⊗ Ĵ . Sledovatel\no, ∆ Ĵ ⊂ Ĵ ⊗ Ĵ . Nakonec, poslednye dva utverΩdenyq sledugt yz toho, çto zamknut¥j ydeal J ynvaryanten otnosytel\no , � y σt , t ∈ �. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 650 A. A. KALGÛNÁJ, H. B. PODKOLZYN, G. A. ÇAPOVSKYJ Oboznaçym çerez A / Ĵ = { a ∈ A \| a . ξ = 〈 ξ, 1 〉 a dlq vsex ξ ∈ Ĵ } prostran- stvo Ĵ -pravoynvaryantn¥x πlementov A y çerez Ĵ \ A = { a ∈ A \| ξ . a = 〈 ξ, 1 〉 a dlq vsex ξ ∈ Ĵ } prostranstvo Ĵ -levoynvaryantn¥x πlementov A. Pust\ Ĵ \ A / Ĵ = Ĵ \ A ∩ A / Ĵ — prostranstvo Ĵ -byynvaryantn¥x πlementov A. Lemma 4. Prostranstvo Ĵ \ A / Ĵ Ĵ -byynvaryantn¥x πlementov qvlqet- sq C* -podalhebroj C* -alhebr¥ A. Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto Ĵ / A qvlqetsq podalhebroj A. Pust\ a, b ∈ A / Ĵ . Poskol\ku ∆ξ ∈ Ĵ ⊗ Ĵ dlq vsex ξ ∈ Ĵ , to a b . ξ = ( ⊗ ) ( ) = ( ⊗ ) ( ) ( )ξ ξid id∆ ∆ ∆ab a b = = ( ⊗ ) ( ⊗ )( ⊗ )    = ( )∑ ∑ξ ξid a a b b a b a bi i i i i i i i i i 1 2 1 2 1 1 2 2 = = 〈 ⊗ 〉 = ( ) ( )∑ ∑∆ξ ξ ξ, a b a b a a b bi i i i i j i i j i i ij 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 = = ( ⊗ ) ( ⊗ ) = . .∑ ∑ξ ξ ξ ξj j j j j j a b a b1 2 1 2id id∆ ∆ = = 〈 〉 〈 〉 = 〈 ⊗ 〉 = 〈 〉∑ ξ ξ ξ ξj j j a b ab ab1 21 1 1 1 1, , , ,∆ , otkuda sleduet, çto a b ∈ A / Ĵ y A / Ĵ qvlqetsq alhebroj. Poskol\ku ( ⊗ ) ( )ξ id ∆ a = ( ξ � ⊗ * ) ∆ ( a ) = ( )( ⊗ ) ( )ξ* id ∆ a = 〈 〉ξ , 1 a = 〈 〉ξ, 1 a , A / Ĵ qvlqetsq ynvolgtyvnoj alhebroj y, v sylu zamknutosty po norme, C* - podalhebroj A. Vse pryvedenn¥e v¥ße rassuΩdenyq takΩe spravedlyv¥ dlq Ĵ \ A. Lemma 5. Opredelym πR ( a ) = a . ε̃ y πL ( a ) = ε̃ . a, a ∈ A. Tohda: i) proektor¥ πL , πR kommutyrugt na A; ii) πL y πR qvlqgtsq uslovn¥my oΩydanyqmy na A; iii) dlq lgboho ξ ∈ Ĵ v¥polnqgtsq sootnoßenyq ξ ε ξ ε⋅ = 〈 〉˜ , ˜1 , (11) ˜ , ˜ε ξ ξ ε⋅ = 〈 〉1 ; (12) iv) πR ( A ) = A / Ĵ y πL ( A ) = Ĵ \ A. Dokazatel\stvo. Dlq lgboho a ∈ A ymeem ( πL ) 2 ( a ) = ˜ ˜ε ε. .( )a = ε̃2 . a = = πL ( a ), poskol\ku ε̃2 = ε̃ . Poπtomu πL y πR — proektor¥ na A. Poskol\ku ( ). .˜ ˜ε εa = ˜ ˜ε ε. .( )a , proektor¥ πL y πR kommutyrugt. Dalee, poskol\ku \|\| πL \|\| ≤ 1 y \|\| πR \|\| ≤ 1, yz teorem¥ Tomyqm¥ [15] sleduet, çto πL y πR — uslovn¥e oΩydanyq na A. V sylu toho, çto πL qvlqetsq uslovn¥m oΩydanyem na A, dlq lgb¥x a, b ∈ A ymeem ˜ ˜ε ε. ( . )( )a b = ( )( ). .˜ ˜ε εa b . Prymenqq ε k obeym çastqm πtoho ra- venstva, poluçaem ˜ ˜ ˜ ˜ε ε ε ε( . )( ) = ( ) ( )a b a b . (13) ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX … 651 DokaΩem iii). Ravenstvo (11) dostatoçno dokazat\ dlq poloΩytel\n¥x ξ ∈ ∈ Ĵ . Poskol\ku ε̃ qvlqetsq sledom na A, ydeal J sovpadaet s qdrom pred- stavlenyq Hel\fanda – Najmarka – Syhala, postroennoho po sostoqnyg ε̃ . Ys- pol\zuq sledstvye 3.4.3 yz [16], poluçaem, çto ravenstvo (11) dostatoçno doka- zat\ dlq poloΩytel\n¥x sostoqnyj ξ vyda ξ ( a ) = ˜ ε( )c ac , hde a, c ∈ A. Yspol\zuq (13) y sledovoe svojstvo sostoqnyq ε̃ , dlq lgboho sostoqnyq ξ vyda ξ ( a ) = ˜ ε( )c ac poluçaem 〈 〉 = 〈 ⊗ 〉 = ( ) = ( )⋅ . ( . )ξ ε ξ ε ξ ε ε ε˜, ˜, ˜ ˜ ˜a a a c a c∆ = = ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ * ε ε ε ε ε ε ε ε( . ) .( ) = ( ) ( ) = ( )( ⊗ )cc a cc a c c a∆ = = ξ ε ξ ε( )〈 〉 = ( ) ( )1 12˜ , ˜a a , otkuda sleduet (11). Dokazatel\stvo ravenstva (12) osnovano na ravenstve ˜ ˜ε ε( . )( )a b = ˜ ˜ε ε( ) ( )a b , kotoroe spravedlyvo v sylu toho, çto πR — uslovnoe oΩydanye. DokaΩem iv). VloΩenyq A / Ĵ ⊂ πR ( A ) y Ĵ \ A ⊂ πL ( A ) oçevydn¥. V sylu (11) dlq lgb¥x ξ ∈ Ĵ , a ∈ A ymeem ξ ξ ε ξ ε ξ ε ξ. ( ) . . . . .π ( ) = ( ) = ( ) = 〈 〉 = 〈 〉π ( )L La a a a a˜ ˜ , ˜ ,1 1 , otkuda sleduet obratnoe vloΩenye πL ( A ) ⊂ Ĵ \ A. VloΩenye πR ( A ) ⊂ A / Ĵ sleduet yz (12). Lemma dokazana. Oboznaçym çerez C = A / J faktor-alhebru C -alhebr¥ A po ydealu J. Pust\ π : A → C — sootvetstvugwyj morfyzm C* -alhebr. Nadelym alhebru C koumnoΩenyem ∆1 ( π ( a ) ) = ( π ⊗ π ) ∆ a, kotoroe korrektno opredeleno v sylu (9). Tohda C* -alhebra C s koumnoΩenyem ∆1 qvlqetsq kompaktnoj kvantovoj hruppoj. Dejstvytel\no, koassocyatyvnost\ koumnoΩenyq y plotnost\ mno- Ωestv { ( b ⊗ 1 ) ∆1 ( c ) : b, c ∈ C } y { ( 1 ⊗ b ) ∆1 ( c ) : b, c ∈ C } v C oçevydn¥. ∏pymorfyzm π : A → C, oçevydno, qvlqetsq πpymorfyzmom kompaktn¥x kvantov¥x hrupp. V sylu predloΩenyq 1 moΩno postroyt\ kompaktnug kvan- tovug hyperhruppu dvojn¥x klassov smeΩnosty B = ( C \ A / C, δ, ε, � , σ t , ν ), yspol\zovav konstrukcyg, pryvedennug v pp. 3 p. 1 (napomnym, çto C \ A / C zdes\ ponymaetsq kak zam¥kanye C \ A0 / C v A ). Oboznaçym çerez P1 : A → → C \ A / C sootvetstvugwee uslovnoe oΩydanye [8]. Vvedem sledugwye oboznaçenyq: A / C = { a ∈ A \| ( id ⊗ π ) � ∆ ( a ) = a ⊗ 1C} y C \ A = { a ∈ A \| ( π ⊗ id ) � ∆ ( a ) = 1C ⊗ a}. PokaΩem, çto C* -alhebr¥ A / C y C \ A sovpadagt s zam¥kanyqmy -alhebr A0 / C y C \ A0 sootvetstvenno. Lemma 6. C -alhebr¥ Ĵ \ A / Ĵ y C \ A / C sovpadagt kak podalhebr¥ C* - alhebr¥ A y, sledovatel\no, P1 = πR πL . Dokazatel\stvo. Oçevydno, çto formula ξ̃ � π = ξ osuwestvlqet yzo- morfyzm C′ � ξ̃ � ξ ∈ Ĵ meΩdu dual\n¥m prostranstvom C′ faktor-alheb- r¥ C = A / J y Ĵ . Yz ravenstv (11), (12) sleduet, çto ε̃ pry πtom yzomorfyzme sootvetstvuet sostoqnyg Xaara µ1 na C. Otsgda sleduet ravenstvo C* -alhebr C \ A = Ĵ \ A y A / C = A / Ĵ . ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 652 A. A. KALGÛNÁJ, H. B. PODKOLZYN, G. A. ÇAPOVSKYJ Ostalos\ pokazat\, çto zam¥kanyq -alhebr A 0 / C y C \ A0 sovpadagt s A / Ĵ y Ĵ \ A sootvetstvenno. Vklgçenyq A0 / C ⊂ A / Ĵ y C \ A0 ⊂ Ĵ \ A oçe- vydn¥. PokaΩem, çto zam¥kanye A0 / C soderΩyt A / Ĵ . Pust\ a ∈ A / Ĵ , t. e. a = a . ε̃. Poskol\ku A0 plotno v A, suwestvuet posledovatel\nost\ an ∈ A0 , sxodqwaqsq k a. Rassmotrym posledovatel\nost\ an . ε̃ . Zametym, çto an . ε̃ ∈ A0 / Ĵ v sylu toho, çto uij α ξ. ∈ A0 dlq lgboho neprer¥vnoho funkcy- onala ξ ∈ Â y proyzvol\noho matryçnoho πlementa nepryvodymoho unytarnoho kopredstavlenyq. No an . ε̃ sxodytsq k πlementu a v sylu a = a . ε̃. Vtoroe utverΩdenye dokaz¥vaetsq analohyçno. Teorema 2. Pust\ A — kompaktnaq kvantovaq hruppa s neprer¥vnoj ko- edynycej ε. Pust\ P : A → B — uslovnoe oΩydanye na C -alhebre A, udov- letvorqgwee uslovyqm teorem¥ 1. PredpoloΩym takΩe, çto ε̃ = ε � P qv- lqetsq sledom na A. Tohda suwestvugt kompaktnaq kvantovaq hruppa C y πpymorfyzm π : A → C. Oboznaçym çerez P1 : A → C \ A / C uslovnoe oΩyda- nye, kotoroe sootvetstvuet konstrukcyy dvojn¥x kvantov¥x klassov smeΩ- nosty. Tohda suwestvuet takoe kounytal\noe uslovnoe oΩydanye P2 : C \ A / C → B, çto dyahramma A BC \ A / C P1 P2 P (14) kommutatyvna. Dokazatel\stvo. Hyperhruppa C \ A / C y uslovnoe oΩydanye P1 b¥ly postroen¥ v¥ße. V sylu lemm¥ 6 dlq vsex a ∈ C \ A / C ymeem P1 ( a ) = ( µ1 � � π ⊗ id ⊗ µ1 � π ) ∆2 ( a ) = ˜ ˜ε ε. .a . Oboznaçym çerez P2 = P Û C \ A / C suΩenye P na C* -alhebru C \ A / C. Oçe- vydno, çto P2 qvlqetsq uslovn¥m oΩydanyem y udovletvorqet vsem uslovyqm teorem¥ 1. PokaΩem, çto uslovnoe oΩydanye P2 kounytal\no. Dlq vsex a ∈ ∈ C \ A / C ymeem ( ε � P2 ) ( a ) = ( ε � P ) ( ).ε̃ a = ε ε( ⊗ )P a˜ ∆ = ε̃2( )a = ε̃( )a . S dru- hoj storon¥, ε ( a ) = ε ε( ).˜ a = ( ⊗ )ε ε̃ ∆a = ε̃( )a . Sledovatel\no, ( ε � P2 ) ( a ) = = ε ( a ) dlq vsex a ∈ C \ A / C, t. e. P2 qvlqetsq kounytal\n¥m uslovn¥m oΩy- danyem. Yspol\zuq (5), dlq vsex a ∈ A ymeem P2 ( P1 ( a ) ) = P a( ). .˜ ˜ε ε = ( ε ⊗ id ⊗ ε ) ( P ⊗ P ⊗ P ) ( ∆ ⊗ id ) ∆ a = = ( ε ⊗ id ⊗ ε ) ( id ⊗ P ⊗ id ) ( ∆ ⊗ id ) ( P ⊗ P ) ∆ a = = ( ε ⊗ id ⊗ ε ) ( id ⊗ P ⊗ id ) ( ∆ ⊗ id ) ( P ⊗ id ) ∆ P a = = ( ε ⊗ id ) ( id ⊗ P ) ( P ⊗ ε ) ∆ P a = = ( ε ⊗ id ) ( id ⊗ P ) ∆ P a = P2 a = P a, otkuda P = P2 P1 , t. e. dyahramma (14) kommutatyvna. 1. Chapovsky Yu. A., Vainerman L. I. Compact quantum hypergroups // J. Operator Theory. – 1999. – 41. – P. 261 – 289. ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5 USLOVNÁE OÛYDANYQ NA KOMPAKTNÁX KVANTOVÁX HRUPPAX … 653 2. Berezansky Yu. M., Kalyzhnyi A. A. Harmonic analysis in hypercomplex systems. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1998. – 483 p. 3. Bloom W. R., Heyer H. Harmonic analysis of probability measures on hypergroups. – Berlin; New York: de Grueter, 1995. – VI + 602 p. 4. Woronowicz S. L. Compact matrix preudogroups // Communs Math. Phys. – 1987. – 111. – P. 613 – 665. 5. Koornwinder T. H. Discrete hypergroups associated with compact quantum Gelfand pairs // Contemp. Math. – 1995. – 183. – P. 213 – 235. 6. Chapovsky Yu. A., Vainerman L. I. Hypergroup structures associated with a pair of quantum groups ( S Uq ( n ), Uq ( n – 1 ) ) // Meth. Funct. Anal. in Problems Math. Phys. – 1992. – P. 47 – 69. 7. Vainerman L. I. Gelfand pairs of quantum groups, hypergroups and q-special functions // Contemp. Math. – 1995. – 183. – P. 373 – 394. 8. Kalyzhnyi A. A. Conditional expectations on quantum groups and new examples of quantum hypergroups // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2001. – 7, # 4. – P. 49 – 68. 9. Jewett R. Spaces with abstract convolution of measures // Adv. Math. – 1975. – 18, # 1. – P. 1 – 101. 10. Vainerman L. I. 2-Cocycles and twisting of Kac algebras // Communs Math. Phys. – 1998. – 191. – P. 697 – 721. 11. Nikshych D. K 0 rings and twisting of finite dimensional semisimple Hopf algebras // Communs Algebra. – 1998. – 26. – P. 321 – 342. 12. Chapovsky Yu. A., Kalyzhnyi A. A. A factorization of conditional expectations on Kac algebras and quantum double coset hypergroups // Ukr. Mat. Zh. – 2003. – 55, # 12. – P. 1669 – 1677. 13. Woronowicz S. L. Compact quantum groups // Symetries Quantiques (Les Houches, 1995). – Amsterdam: North-Holland, 1998. – P. 845 – 884. 14. Takesaki M. Theory of operator algebras. – New York: Springer, 1979. – 415 p. 15. Tomiyama J. On the projection of norm one in W -algebras. I – III // Proc. Jap. Acad. Sci. – 1957. – 33. – P. 608 – 612; Tohoku Math. J. – 1958. – 10. – P. 204 – 209; 1959. – 11. – P. 125 – 129. 16. Dixmier J. Les C -algebras et leur representations. – Paris: Gauthier-Villars Edit., 1969. Poluçeno 24.01.2005 ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 5

Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности

Institution

Ähnliche Einträge