Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье
Знайдено загальну достатню умову для зображення функцій у вигляді абсолютно з6іжного подвійного інтеграла Фур'є та показано його застосування до різних питань сумовності подвійних рядів Фур'є, зокрема, методом Марцинкевича-Рюса....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165759 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1082–1096. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165759 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1657592025-02-09T20:15:56Z Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье A New Sufficient Condition for Belonging to the Algebra of Absolutely Convergent Fourier Integrals and Its Application to the Problems of Summability of Double Fourier Series Котова, О.В. Тригуб, Р.М. Статті Знайдено загальну достатню умову для зображення функцій у вигляді абсолютно з6іжного подвійного інтеграла Фур'є та показано його застосування до різних питань сумовності подвійних рядів Фур'є, зокрема, методом Марцинкевича-Рюса. We establish a general sufficient condition for the possibility of representation of functions in the form of absolutely convergent double Fourier integrals and study the possibility of its application to various problems of summability of double Fourier series, in particular, by using the Marcinkiewicz–Riesz method. 2015 Article Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1082–1096. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165759 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Котова, О.В. Тригуб, Р.М. Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье Український математичний журнал |
| description |
Знайдено загальну достатню умову для зображення функцій у вигляді абсолютно з6іжного подвійного інтеграла Фур'є та показано його застосування до різних питань сумовності подвійних рядів Фур'є, зокрема, методом Марцинкевича-Рюса. |
| format |
Article |
| author |
Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| author_facet |
Котова, О.В. Тригуб, Р.М. |
| author_sort |
Котова, О.В. |
| title |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье |
| title_short |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье |
| title_full |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье |
| title_fullStr |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье |
| title_full_unstemmed |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье |
| title_sort |
новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов фурье |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165759 |
| citation_txt |
Новое достаточное условие принадлежности алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и его применение к вопросам суммируемости двойных рядов Фурье / О.В. Котова, Р.М. Тригуб // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 8. — С. 1082–1096. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kotovaov novoedostatočnoeuslovieprinadležnostialgebreabsolûtnoshodâŝihsâintegralovfurʹeiegoprimeneniekvoprosamsummiruemostidvoinyhrâdovfurʹe AT trigubrm novoedostatočnoeuslovieprinadležnostialgebreabsolûtnoshodâŝihsâintegralovfurʹeiegoprimeneniekvoprosamsummiruemostidvoinyhrâdovfurʹe AT kotovaov anewsufficientconditionforbelongingtothealgebraofabsolutelyconvergentfourierintegralsanditsapplicationtotheproblemsofsummabilityofdoublefourierseries AT trigubrm anewsufficientconditionforbelongingtothealgebraofabsolutelyconvergentfourierintegralsanditsapplicationtotheproblemsofsummabilityofdoublefourierseries |
| first_indexed |
2025-11-30T10:15:53Z |
| last_indexed |
2025-11-30T10:15:53Z |
| _version_ |
1850209996374016000 |
| fulltext |
УДК 517.5
О. В. Котова (Донбас. нац. акад. стр-ва и архитектуры),
Р. М. Тригуб (Донец. нац. ун-т)
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
К ВОПРОСАМ СУММИРУЕМОСТИ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ
We establish a general sufficient condition for the possibility of representation of functions f
(
max{|x1|, |x2|}
)
in the
form of absolutely convergent double Fourier integrals and study the possibility of its application to various problems of
summability of double Fourier series, in particular, by the Marcinkiewicz – Riesz method.
Знайдено загальну достатню умову для зображення функцiй f
(
max{|x1|, |x2|}
)
у виглядi абсолютно збiжного
подвiйного iнтеграла Фур’є та показано його застосування до рiзних питань сумовностi подвiйних рядiв Фур’є,
зокрема, методом Марцинкевича – Рicса.
Банахова алгебра A(Rd) — это алгебра абсолютно сходящихся интегралов Фурье:
A(Rd) =
f(x) =
∫
Rd
g(y)e−i(x,y)dy, ‖f‖A =
∫
Rd
|g(y)|dy <∞
.
Здесь и далее x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd, (x, y) =
∑d
j=1
xjyj , |x| =
√
(x, x).
Функции Rd → C из этой алгебры используются в различных вопросах анализа: в муль-
типликаторах Фурье; при сравнении линейных операторов, включая дифференциальные с по-
стоянными коэффициентами; при суммируемости рядов и интегралов Фурье (см., например, [1],
гл. I). Имеется обзорная статья [2] на эту тему, содержащая список литературы из 175 названий.
В этой статье, в частности, приведено много достаточных условий для радиальных функций,
т. е. зависящих лишь от евклидовой нормы |x| =
√
(x, x), и квазирадиальных.
В п. 1 настоящей статьи приведено достаточное условие при d = 2 для функций, зависящих
только от max{|x1|, |x2|}. Отметим, что в случае финитной функции такого вида некоторое
достаточное условие принадлежности A(Rd) при d ≥ 2 имеется в [3].
В п. 2 показано применение результатов из п. 1 к вопросам сходимости (по норме, в
точках Лебега) разных методов суммирования двойных рядов Фурье (Марцинкевича – Рисса,
типа Гаусса – Вейерштрасса).
1. Достаточное условие принадлежности A(R2). Следующую теорему можно считать
дополнением к обзору [2]. Пусть R+ = [0,+∞).
Теорема 1. Пусть функция f0 принадлежит C(R+) и абсолютно непрерывна на любом
отрезке в (0,+∞), tf0(t) ∈ L1(R+), limt→+∞ tf0(t) = 0 и
∫ ∞
0
|f ′0(t)|dt < ∞. Если еще при
некотором ε ∈ (0, 1) и h→ +0
h∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt+
∞∫
0
max{1, t}
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣dt = O(hε), (1)
то f(x) = f(x1, x2) = f0
(
max{|x1|, |x2|}
)
∈ A(R2).
c© О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ, 2015
1082 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1083
Заметим сначала, что f ∈ Lp(R2), p > 0, тогда и только тогда, когда
∞∫
0
t
∣∣f0(t)∣∣pdt <∞.
Действительно,
∞∫
−∞
∞∫
−∞
∣∣∣f0(max{|x1|, |x2|}
)∣∣∣pdx1dx2 = 4
∞∫
0
∞∫
0
∣∣∣f0(max{x1, x2}
)∣∣∣pdx1dx2 =
= 4
∞∫
0
dx1
x1∫
0
∣∣f0(x1)∣∣pdx2 + 4
∞∫
0
dx1
∞∫
x1
∣∣f0(x2)∣∣pdx2 = 4
∞∫
0
x1
∣∣f0(x1)∣∣pdx1+
+4
∞∫
0
∣∣f0(x2)∣∣pdx2 x2∫
0
dx1 = 8
∞∫
0
t
∣∣f0(t)∣∣pdt.
Лемма 1. Если для любого y ∈ R существует предел (синус-преобразование Фурье)
lim
n→∞
n∫
0
f0(t) sin(ty)dt =
∞∫
0
f0(t) sin(ty)dt = f̂0(y),
то при любых y1 6= 0 и y2 6= 0
1
2
lim
n→∞
n∫
−n
n∫
−n
f0
(
max
{
|x1|, |x2|
})
e−i(x1y1+x2y2)dx1dx2 =
=
(
1
y1
+
1
y2
)
f̂0(y1 + y2) +
(
1
y2
− 1
y1
)
f̂0(y2 − y1).
Доказательство. Имеем
n∫
−n
n∫
−n
f0
(
max{|x1|, |x2|}
)
e−i(x1y1+x2y2)dx1dx2 =
= 4
n∫
0
n∫
0
f0
(
max{x1, x2}
)
cos(x1y1) cos(x2y2)dx1dx2 =
= 4
n∫
0
cos(x1y1)dx1
x1∫
0
f0(x1) cos(x2y2)dx2 + 4
n∫
0
cos(x2y2)dx2
x2∫
0
f0(x2) cos(x1y1)dx1 =
= 4
n∫
0
f0(x1) cos(x1y1)
sin(x1y2)
y2
dx1 + 4
n∫
0
f0(x2) cos(x2y2)
sin(x2y1)
y1
dx2 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1084 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
=
2
y2
n∫
0
f0(x1)
(
sinx1(y1 + y2) + sinx1(y2 − y1)
)
dx1+
+
2
y1
n∫
0
f0(x2)
(
sinx2(y1 + y2)− sinx2(y2 − y1)
)
dx2 =
= 2
(
1
y1
+
1
y2
) n∫
0
f0(t) sin t(y1 + y2)dt+ 2
(
1
y2
− 1
y1
) n∫
0
f0(t) sin t(y2 − y1)dt.
Осталось устремить n к ∞.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. При условиях на f0, содержащихся в теореме 1, существуют константа M0
такая, что для y ≥ 1 ∣∣∣∣f̂0(y)− f0(0)
y
∣∣∣∣ ≤ M0
y1+ε
, (2)
и константа M1 такая, что для y ≥ 1∣∣∣f̂0′(y)
∣∣∣ ≤ M1
y1+ε
. (3)
Доказательство. После интегрирования по частям получаем
f̂0(y)− f0(0)
y
=
1
y
∞∫
0
f ′0(t) cos(ty)dt = −1
y
∞∫
π/y
f ′0
(
t− π
y
)
cos(ty)dt.
Но если C = A = B, то и C =
1
2
(A+B). Поэтому
f̂0(y)− f0(0)
y
=
1
2y
∞∫
π/y
(
f ′0(t)− f ′0
(
t− π
y
))
cos(ty)dt+
1
2y
π/y∫
0
f ′0(t) cos(ty)dt.
Применим условие (1) при y ≥ 1:
∣∣∣∣f̂0(y)− f0(0)
y
∣∣∣∣ ≤ 1
2y
∞∫
π/y
∣∣∣∣f ′0(t)− f ′0(t− π
y
)∣∣∣∣ dt+
1
2y
π/y∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt ≤ M0
y1+ε
.
Аналогично получаем
f̂0
′
(y) =
∞∫
0
tf0(t) cos(ty)dt = −1
y
∞∫
0
(
f0(t) + tf ′0(t)
)
sin(ty)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1085
=
1
y
∞∫
π/y
(
f0
(
t− π
y
)
+
(
t− π
y
)
f ′0
(
t− π
y
))
sin(ty)dt =
=
1
2y
∞∫
π/y
[(
f0
(
t− π
y
)
− f0(t)
)
+
(
t− π
y
)
f ′0
(
t− π
y
)
− tf ′0(t)
]
sin(ty)dt−
− 1
2y
π/y∫
0
(
f0(t) + tf ′0(t)
)
sin(ty)dt
и, учитывая, что | sin(ty)| ≤ 1, имеем
∣∣f̂0′(y)
∣∣ ≤ 1
2y
∞∫
π/y
∣∣∣∣f0(t− π
y
)
− f0(t)
∣∣∣∣ dt+
1
2y
∞∫
π/y
∣∣∣∣(t− π
y
)
f ′0
(
t− π
y
)
− tf ′0(t)
∣∣∣∣ dt+
+
1
2y
π/y∫
0
∣∣f0(t)∣∣dt+
π
2y2
π/y∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt.
Первый интеграл не больше (меняем порядок интегрирования), чем
1
2y
∞∫
π/y
dt
t∫
t−π/y
∣∣f ′0(u)
∣∣du =
1
2y
π/y∫
0
u
∣∣f ′0(u)
∣∣du+
π
2y2
∞∫
π/y
∣∣f ′0(u)
∣∣du ≤ π
y2
∞∫
0
∣∣f ′0(u)
∣∣du.
Второй интеграл после простых преобразований не больше, чем
π
2y2
∞∫
π/y
∣∣∣∣f ′0(t− π
y
)∣∣∣∣ dt+
1
2y
∞∫
π/y
t
∣∣∣∣f ′0(t− π
y
)
− f ′0(t)
∣∣∣∣ dt =
=
π
2y2
∞∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt+
1
2y
∞∫
0
(
t+
π
y
) ∣∣∣∣f ′0(t)− f ′0(t+
π
y
)∣∣∣∣ dt =
=
π
2y2
∞∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt+
π
2y2
∞∫
0
∣∣∣∣f ′0(t)− f ′0(t+
π
y
)∣∣∣∣ dt+
1
2y
∞∫
0
t
∣∣∣f ′0(t+
π
y
)
− f ′0(t)
∣∣∣dt ≤
≤ 3π
y2
∞∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt+
1
2y
∞∫
0
t
∣∣∣∣f ′0(t+
π
y
)
− f ′0(t)
∣∣∣∣ dt.
Осталось применить ко всем четырем интегралам условие (1).
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1086 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что f̂ ∈ L1(R2), так как f ∈ L1(R2)
(см. замечание перед леммой 1), и можно применить формулу обращения (см. [1], п. 1.21) к
непрерывной функции f.
В силу четности f̂ по y1 и y2 можно ограничиться первой четвертью R2 (y1 > 0 и y2 > 0),
а в силу симметрии относительно биссектрисы первой четверти (см. формулу леммы 1) —
областью y2 > y1 > 0.
Разобьем эту область интегрирования на четыре:
1) 0 < y1 < y2 < 2; 2) 0 < y1 < 1, y2 ≥ 2; 3) y1 ≥ 1, y2 ≥ y1 + 1; 4) y1 ≥ 1, y1 < y2 ≤ y1 + 1.
В первом случае (треугольник) интеграл от модуля непрерывной функции конечен.
Во втором случае интеграл от |f̂ | в силу леммы 1 равен
1∫
0
dy1
∞∫
2
∣∣∣∣( 1
y1
+
1
y2
)
f̂0(y1 + y2) +
(
1
y2
− 1
y1
)
f̂0(y2 − y1)
∣∣∣∣ dy2 ≤
≤
1∫
0
dy1
∞∫
2
(
1
y1
+
1
y2
) ∣∣∣f̂0(y1 + y2)− f̂0(y2 − y1)
∣∣∣ dy2 +
1∫
0
dy1
∞∫
2
2
y2
∣∣f̂0(y2 − y1)∣∣dy2 ≤
≤
1∫
0
dy1
∞∫
2
2
y1
y1+y2∫
y2−y1
∣∣f̂0′(u)
∣∣dudy2 +
1∫
0
dy1
∞∫
2
2
y2
∣∣f̂0(y2 − y1)∣∣dy2.
К первому слагаемому применим неравенство (3), а ко второму — следующее из него нера-
венство
∣∣f̂0(y)
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∞∫
y
f̂0
′
(u)du
∣∣∣∣∣∣ ≤ M1
εyε
.
Поэтому интеграл от |f̂ | в этом случае не больше, чем
1∫
0
2
y1
dy1
∞∫
2
dy2
y1+y2∫
y2−y1
M1
u1+ε
du+
1∫
0
dy1
∞∫
2
2
y2
· M1
ε(y2 − y1)ε
dy2 ≤
≤
1∫
0
2
y1
dy1
∞∫
2
2y1M1
(y2 − y1)1+ε
dy2 +
1∫
0
dy1
∞∫
2
2M1
εy2(y2 − 1)ε
dy2 <∞.
В третьем случае y1 ≥ 1, а y2 ≥ y1 + 1. Тогда
f̂0(y) =
∞∫
0
f0(t) sin(ty)dt =
f0(0)
y
+
1
y
∞∫
0
f ′0(t) cos(ty)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1087
При применении к этому равенству леммы 1 слагаемое вида
c
y
исчезает. Применяем нера-
венство (2).
Интеграл от |f̂ | по указанной области не больше, чем
∞∫
1
dy1
∞∫
y1+1
(
1
y1
+
1
y2
)
M0
(y1 + y2)1+ε
dy2 +
∞∫
1
dy1
∞∫
y1+1
(
1
y1
− 1
y2
)
M0
(y2 − y1)1+ε
dy2 =
= M0
∞∫
1
dy1
y1
∞∫
y1+1
dy2
y2(y1 + y2)ε
+M0
∞∫
1
dy1
y1
∞∫
y1+1
dy2
y2(y2 − y1)ε
≤
≤ 2M0
∞∫
1
dy1
y1
∞∫
y1+1
dy2
y2(y2 − y1)ε
= 2M0
∞∫
2
dy2
y2
y2−1∫
1
dy1
y1(y2 − y1)ε
≤
≤ 2M0
∞∫
2
dy2
y2
y2−1∫
1
dy1
y1(y2 − 1)ε
= 2M0
∞∫
2
ln(y2 − 1)
y2(y2 − 1)ε
dy2 <∞.
И наконец, в четвертом случае (y1 ≥ 1, y1 < y2 ≤ y1+1), используя то же самое условие (2),
получаем
∞∫
1
dy1
y1+1∫
y1
(
1
y1
+
1
y2
)
M0
(y1 + y2)1+ε
dy2 +
∞∫
1
dy1
y1+1∫
y1
(
1
y1
− 1
y2
)
M0
(y2 − y1)1+ε
dy2 ≤
≤ 2M0
∞∫
1
dy1
y1
y1+1∫
y1
dy2
y2(y2 − y1)ε
≤ 2M0
∞∫
1
dy1
y21
y1+1∫
y1
dy2
(y2 − y1)ε
<∞.
Таким образом, f̂ ∈ L1(R2) и теорема 1 доказана.
Как доказал Винер, алгебра A имеет локальное свойство (см., например, [4], п. 6.1.3).
Следствие 1. Условие (1) в теореме можно заменить следующими тремя:
при некоторых 0 < δ < N < ∞ и ε ∈ (0, 1) при h → +0 на [N,+∞) f ′0 монотонна и
f0(N + h)− f0(N) = O(hε), на [δ,N + 1]
N∫
δ
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt = O(hε)
и на (0, 2δ] f ′0 сохраняет знак и монотонна, а
∣∣f0(t+h)−f0(t)
∣∣ = O(hε)
(
f0 ∈ Lip ε на [0, 2δ]
)
.
Если же f ′0 ∈ ACloc[N,+∞) и
∫ ∞
δ
t
∣∣f ′′0 (t)
∣∣dt <∞, то
∞∫
δ
max{1, t}
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt = O(hε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1088 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Доказательство. Около нуля
h∫
0
∣∣f ′0(t)∣∣dt =
∣∣∣∣∣∣
h∫
0
f ′0(t)dt
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣f0(h)− f0(0)
∣∣ = O(hε),
δ∫
0
max{1, t}
∣∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣∣dt ≤ (1 + δ)
∣∣∣∣∣∣
δ∫
0
(
f ′0(t+ h)− f ′0(t)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
= (1 + δ)
∣∣∣[f0(δ + h)− f0(δ)
]
+ [f0(0)− f0(h)
]∣∣∣ = O(hε).
Далее
N∫
δ
max{1, t}
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt ≤ (1 +N)
N∫
δ
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt = O(hε).
Учитывая еще ограниченность функции f0, получаем
∞∫
N
max{1, t}
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt ≤ (1 +
1
N
) ∞∫
N
t
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt =
=
(
1 +
1
N
) ∣∣∣∣∣∣
∞∫
N
t
(
f ′0(t+ h)− f ′0(t)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
(
1 +
1
N
) ∣∣∣∣∣[t(f0(t+ h)− f0(t)
)]∞
N
−
−
∞∫
N
(
f0(t+ h)− f0(t)
)
dt
∣∣∣∣∣ =
(
1 +
1
N
) ∣∣∣∣∣∣N(f0(N)− f0(N + h)
)
−
N+h∫
N
f0(t)dt
∣∣∣∣∣∣ = O(hε).
Осталось учесть, что
∞∫
δ
t
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt ≤ ∞∫
δ
tdt
t+h∫
t
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du =
δ+h∫
δ
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du u∫
δ
tdt+
+
∞∫
δ+h
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du u∫
u−h
tdt ≤ h
δ+h∫
δ
u
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du+ h
∞∫
δ+h
u
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du = h
∞∫
δ
u
∣∣f ′′0 (u)
∣∣du.
Следствие доказано.
Существенное отличие от радиальных функций содержится в следующей теореме.
Теорема 2. Если tf0(t) ∈ L1(R+) и f̂0 ∈ L1(R+)
(
или f̂0(t) = o
(
1
t
)
при t → +∞
)
, а
f(x) = f0
(
max{|x1|, |x2|}
)
∈ A∗(R2), где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1089
A∗(R2) =
f(x) =
∫
R2
g(y)e−i(x,y)dy,
∞∫
0
t ess sup
|y|≥t
∣∣g(y)
∣∣dt <∞
,
то f0 ≡ 0.
Доказательство. Заметим, что свойствам и применениям алгебрыA∗ посвящена статья [5].
После перехода к полярным координатам∫
R2
|g(y)|dy =
∞∫
0
tdt
2π∫
0
∣∣g(t cosϕ, t sinϕ)
∣∣dϕ ≤ ∞∫
0
t ess sup
|y|≥t
∣∣g(y)
∣∣dt <∞,
так что f = ĝ ∈ A(R2), а поскольку и f ∈ L1(R2) (см. замечание перед леммой 1), то в силу
формулы обращения почти всюду
g(y) =
1
4π2
∫
R2
f(x)ei(x,y)dx.
По лемме 1 при y1 и y2 6= 0
2π2g(y) =
(
1
y1
+
1
y2
)
f̂0(y1 + y2) +
(
1
y2
− 1
y1
)
f̂0(y2 − y1).
При произвольном a > 0 берем y1 = t и y2 = t+ a. Тогда
2π2
∞∫
0
t ess sup
y21+y
2
2≥t2
∣∣∣∣( 1
y2
− 1
y1
)
f̂0(y2 − y1) +
(
1
y1
+
1
y2
)
f̂0(y1 + y2)
∣∣∣∣ dt ≥
≥ 2π2
∞∫
0
t
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣1t − 1
t+ a
∣∣∣∣ ∣∣f̂0(a)
∣∣− 2
t
∣∣f̂0(2t+ a)
∣∣ ∣∣∣∣∣∣dt = 2π2
∞∫
0
∣∣∣∣∣∣ a
∣∣f̂0(a)
∣∣
t+ a
− 2
∣∣f̂0(2t+ a)
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt.
В каждом из указанных в теореме двух случаев должен сходиться интеграл
∞∫
0
a
∣∣f̂0(a)
∣∣
t+ a
dt.
Следовательно, f̂0(a) = 0 при a > 0 и f0 ≡ 0.
Сделаем еще замечание о положительно определенных функциях вида f0
(
max{|x1|, |x2|}
)
.
Функция f : Rd → C называется положительно определенной, если для любых наборов
векторов {xk}n1 и чисел {ck}n1
n∑
k=1
n∑
m=1
f(xk − xm)ckcm ≥ 0.
Если при этом f ∈ C(Rd), то по теореме Бохнера – Хинчина она представляется в виде пре-
образования Фурье конечной борелевской положительной меры. А если еще f ∈ L1(Rd), то
f̂(y) ≥ 0 для всех y ∈ Rd и f̂ ∈ L1(Rd) (см., например, [4]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1090 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Предположим, что f0 ∈ C(R+) ∩ACloc(R+), tf0(t) ∈ L1(R+), f0(0) > 0 и f ′0 ∈ L1(R+).
В силу леммы 1 при y1 и y2 6= 0
2f̂(y1, y2) =
1
y1y2
[
(y1 + y2)f̂0(y1 + y2)− (y2 − y1)f̂0(y2 − y1)
]
,
где
f̂0(y) =
∞∫
0
f0(t) sin(ty)dt.
Очевидно, что f̂ ≥ 0 в том и только в том случае, когда yf̂0(y) возрастает на R+ или, что
то же самое, возрастает интеграл
∞∫
0
f ′0(t) cos(ty)dt
(от −f0(0) до нуля).
2. Применения к двойным рядам Фурье. Пусть ϕα,β(t) =
(
1 − tα
)β
при t ∈ [0, 1] и
ϕα,β(t) = 0 при t > 1, а α и β > 0. Суммируемость числового ряда
∑∞
k=0
uk по Риссу — это
существование предела средних
n∑
k=0
ukϕα,β
(
k
n
)
при n → ∞ ((α, β)-сходимость). При β = 0 — это обычная сходимость. (α1, β)- и (α2, β)-
сходимости имеют место одновременно, только при β2 > β1 из (α, β1)-сходимости следует
(α, β2)-сходимость, но не наоборот (см. [6], теорема 58). А (1, β)-сходимость эквивалентна
(C, β)-суммируемости (см. там же).
Фейер применил этот метод при α = β = 1 к рядам Фурье :
σn(f) =
∑
|k|≤n
(
1− |k|
n
)
f̂kek, ek = eikx, f̂k =
1
2π
π∫
−π
f(x)e−ikxdx
(
это средние арифметические первых S0, S1, . . . , Sn−1 — частных сумм ряда Фурье 2π-перио-
дической функции f ∈ L1(T), T = [−π, π]
)
и доказал равномерную сходимость σn к f для
любой f ∈ C(T).
Лебег доказал сходимость σn к f ∈ L1(T) во всех ее точках Лебега и, значит, почти всюду.
В случае кратных рядов Фурье размерности d сходимость средних
σ0n,2,β(f) =
∑
|k|≤n
(
1− |k|
2
n2
)β
f̂kek
ek = ei(k,x), f̂k =
1
4π2
∫
T2
f(x)e−i(k,x)dx
изучил Бохнер. В случае d = 2 сходимость в C(T2) имеет место только при β >
1
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1091
Критический показатель
1
2
связан с тем, что норма оператора взятия круговой частной
суммы
‖S◦n‖C→C = ‖σ◦n,2,0‖C→C �
√
n.
Для квадратных частных сумм
‖S2
n ‖C→C = sup
‖f‖C≤1
∥∥∥ ∑
|k1|,|k2|≤n
f̂kek
∥∥∥
C
� ln2 n.
Это два крайних случая роста норм операторов (констант Лебега) вида
sup
‖f‖C≤1
∥∥∥ ∑
k∈nW
f̂kek
∥∥∥
C
,
где W — выпуклое ограниченное плоское множество с началом координат внутри (см. [4], гл. 9
и комментарий к ней).
Марцинкевич [7] исследовал сходимость средних арифметических квадратных частных
сумм двойных рядов Фурье
1
n
n−1∑
k=0
S2
k (f) =
∑
k∈Z2
ϕ1,1
(
1
n
max{|k1|, |k2|}
)
f̂kek.
Оказалось, что для непрерывных f ∈ C(T2) имеет место равномерная сходимость всегда, а
сходимость почти всюду для f ∈ L1(T2) — при некотором дополнительном условии
(
|f | ln(1 +
+ |f |) ∈ L1(T2)
)
.
Еще в 1968 г. появились два принципа сравнения разных методов суммирования рядов
Фурье [8, 9]. В этом сравнении скорости сходимости по норме для средних Рисса уже при
d = 1 порядок приближения не зависит от β, а с ростом α улучшается (отличие от случая
числовых рядов) (см. [4, с. 342] и ниже теорему 4).
Исследуем сходимость следующих средних Марцинкевича – Рисса (α > 0, β > 0) :
σ2n,α,β(f) =
∑
k∈Z2
ϕα,β
(
1
n
max{|k1|, |k2|}
)
f̂kek
(по поводу приближения средними Бохнера – Рисса см. [4], п. 8.2.8).
Из предшествующих работ отметим [10 – 12]. В отличие от статей [7, 10, 11] в настоящее
время для подобных целей используется принадлежность некоторых функций алгебре A (см. в
начале статьи).
Введем еще аналог средних Гаусса – Вейерштрасса (α > 0)
G2
n,α(f) =
∑
k∈Z2
e−
1
nα max{|k1|α,|k2|α}f̂kek.
Теорема 3. При любых α и β > 0 для любой функции f ∈ Lp(T2), p ∈ [1,+∞] (L∞ = C)∥∥f − σ2n,α,β(f)
∥∥
Lp
+
∥∥f −G2
n,α(f)
∥∥
Lp
→ 0 при n→∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1092 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Доказательство. Если ϕ ∈ C(Rd), то для того чтобы средние∑
k∈Zd
ϕ
(
k
n
)
f̂kek
сходились на всем пространстве C(Td)
(
или L1(Td)
)
, необходимо и достаточно, чтобы
ϕ(0) = 1, ϕ ∈ A(Rd).
Это же условие достаточно для сходимости на Lp(Td), p ∈ (1,+∞) (см. [4], п. 8.1.2).
Теперь применим следствие из теоремы 1. В случае средних типа Гаусса – Вейерштрасса
f0(t) = e−t
α
, α > 0. Около нуля
f0(t) = 1− tα +
1
2
t2α − . . . , f ′0(t) = −αtα−1e−tα .
Производная сохраняет знак и монотонна, а f0 ∈ Lip min{α, 1}.
Вне любой окрестности нуля f ′′0 (t) = O
(
1
t3
)
.
В случае средних Марцинкевича – Рисса f0(t) = ϕα,β(t) =
(
1− tα
)β
+
.
Около нуля действуем аналогично предыдущему, а вне окрестностей 0 и 1 f0 = 0 (t ≥ 1)
или принадлежит C2(t < 1).
Около 1 слева
f0(t) =
[
1−
(
1− (1− t)
)α]β
=
(
α(1− t)− α(α− 1)
2
(1− t)2 + . . .
)β
=
= αβ(1− t)β
(
1− α− 1
2
(1− t) + . . .
)β
.
Следовательно, при некотором q ∈ (0, 1) f0 ∈ Lip ε на [q, 1], ε = min{1, β}, а на [q, 1) f ′0
сохраняет знак и монотонна. Поэтому при h ∈ (0, 1− q]
1+q∫
q
∣∣f ′0(t+ h)− f ′0(t)
∣∣ dt =
∣∣∣∣∣∣
1−h∫
q
(
f ′0(t+ h)− f ′0(t)
)
dt
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
1∫
1−h
f ′0(t)dt
∣∣∣∣∣∣ = O(hε).
Теорема 3 доказана.
Теперь сравним эти методы суммирования при разных значениях параметров. Заметим, что
γ(a, b) зависит только от a и b.
Теорема 4. 1. При любых α, β1 и β2 > 0, при любом n и f ∈ Lp(T2), p ∈ [1,+∞] (L∞ = C)∥∥f − σ2n,α,β1(f)
∥∥
Lp
≤ γ1(α, β1, β2)
∥∥f − σ2n,α,β2(f)
∥∥
Lp
,
т. е. порядок приближения не зависит от β.
2. При β > 0 и α2 > α1 > 0, при любом n и для любой функции f ∈ Lp(T2), p ∈ [1,+∞]
(L∞ = C) ∥∥f − σ2n,α2,β(f)
∥∥
Lp
≤ γ2(α1, α2, β)
∥∥f − σ2n,α1,β(f)
∥∥
Lp
,
т. е. с ростом α скорость сходимости может возрастать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1093
Доказательство. Применим принцип сравнения в следующей форме (см. [4], п. 8.2.2в):
если ϕ и ψ ∈ A(Rd) и ψ(x) 6= 1 при x 6= 0, то для того чтобы∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈Zd
ϕ
(
k
n
)
f̂kek
∥∥∥∥∥∥
C
≤ K
∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈Zd
ψ
(
k
n
)
f̂kek
∥∥∥∥∥∥
C
с константой K, не зависящей от f и n, необходимо и достаточно, чтобы
ψ − ϕ
1− ψ
∈ A(Rd).
Отсюда следует такое же неравенство и в Lp(Td), 1 ≤ p <∞.
1. Нужно доказать, что для любых α и β > 0∥∥f − σ2n,α,β(f)
∥∥ � ∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥
(двойное неравенство с константами, зависящими только от α и β).
Применим следствие из теоремы 1 к функции
f0(t) =
ϕα,1(t)− ϕα,β(t)
1− ϕα,1(t)
, f0(0) = β − 1.
Около нуля
f0(t) =
1− tα − (1− tα)β
tα
= β − 1− 1
2
β(β − 1)tα + . . . ,
а в окрестности 1
f0(t) =
1
tα
− (1− tα)β+
(см. доказательство теоремы 3).
Для доказательства противоположного неравенства
f0(t) =
ϕα,β(t)− ϕα,1(t)
1− ϕα,β(t)
можно повторить предыдущие рассуждения, но проще применить
1
f
-теорему Винера (см., на-
пример, [4], следствие из 6.1.8):
если f ∈ A и при некотором λ ∈ C\{0} f(x) 6= λ для всех x, то и
f(x)
f(x)− λ
+
1
λ
∈ A.
При λ = 1 и β 6= 2 эта теорема применима. А при целых β утверждение 1 очевидно.
2. В силу первого утверждения можно ограничиться случаем β = 1. Тогда при применении
приведенного выше принципа сравнения
f0(t) =
ϕα1,1(t)− ϕα2,1(t)
1− ϕα1,1(t)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1094 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Очевидно, что f0
(
max{|x1|, |x2|}
)
∈ A(R2), так как
f0(t) = tα2−α1 − 1 (0 ≤ t ≤ 1), f0(t) = 0 (t > 1),
а противоположное неравенство для всех функций и n не существует.
Теорема 4 доказана.
Еще в начале 60-х годов прошлого столетия второй из авторов стал определять точный по-
рядок приближения индивидуальных периодических функций классическими средними рядов
Фурье. Иногда, а особенно в случае кратных рядов Фурье, пришлось вводить для этих целей
специальные модули гладкости и K-функционалы (см. [13]). Так, О. И. Кузнецова (см. [12])
доказала, что
∥∥f − σ2n,1,1(f)
∥∥
C
�
∥∥∥∥∥∥∥
∞∫
1
(
∆̇2
(e◦1+e
◦
2)
u
n
+ ∆̇2
(e◦1−e◦2)
u
n
)
f(·)
u2
du
∥∥∥∥∥∥∥
C
. (4)
Здесь ∆̇1
hf(x) = f(x+ h)− f(x− h), e◦1 и e◦2 — орты осей в R2.
Как следует из теоремы 4 (см. п. 1), такой же порядок приближения у σ2n,1,β(f) при любом
β > 0.
В настоящее время такие результаты называют „strong converge inequalities” (см., напри-
мер, [14] и имеющиеся там ссылки).
Можно найти точный порядок приближения полиномами σ2n,α,β при любом α > 0 через
специальный K-функционал, если воспользоваться схемой доказательства, изложенной в [4,
с. 371].
Полагаем β = 1. Норма ‖ · ‖ в Lp(T2), 1 ≤ p ≤ ∞ (L∞ = C).
I. Определяем класс насыщения для σ2n,α,1. В данном случае он задается дифференциальным
оператором
dα(f) ∼
∑
k∈Z2
max
{
|k1|α, |k2|α
}
f̂kek,
который порождает следующий K-функционал (ε > 0) :
Kα(ε, f) = inf
g
(
‖f − g‖+ εα‖dα(g)‖
)
.
II. Используя принцип сравнения, доказываем неравенство∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥ ≤ γ1(α)
1
nα
‖dα(f)‖.
III. Используя принцип сравнения, доказываем неравенство
1
nα
∥∥dα(σ2n,α,1(f))
∥∥ ≤ γ2(α)
∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥.
В случае II
(
t = max
{
|x1|, |x2|
})
f0(t) =
1− ϕα,1(t)
tα
= 1 (t ∈ [0, 1]),
1
tα
(t ≥ 1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
НОВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ АЛГЕБРЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ . . . 1095
а в случае III
f0(t) =
tαϕα,1(t)
1− ϕα,1(t)
= 1− tα (t ∈ [0, 1]), 0 (t ≥ 1).
Применяем, как и ранее, следствие из теоремы 1.
Из этих двух неравенств следует, что
Kα
(
1
n
, f
)
≤
∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥+
1
nα
∥∥dα(σ2n,α,1(f))
∥∥ ≤ (1 + γ2(α)
)∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥
и ∥∥f − σ2n,α,1(f)
∥∥ ≤ ∥∥f − g − σ2n,α,1(f − g)
∥∥+
∥∥g − σ2n,α,1(g)
∥∥ ≤
≤
(
1 + ‖σ2n,α,1‖
)
‖f − g‖+ γ1(α)
1
nα
∥∥dαg∥∥.
Остается учесть, что в силу того же принципа сравнения
‖σ2n,α,1‖ = sup
‖f‖≤1
‖σ2n,α,1(f)‖ ≤ ‖ϕα,1‖A.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 5. При любых α и β > 0, n ∈ N и f ∈ Lp(T), 1 ≤ p ≤ ∞ (L∞ = C)
‖f − σ2n,α,β(f)‖Lp � Kα
(
1
n
, f
)
.
В теоремах этого пункта множитель
1
n
можно заменить на произвольное ε > 0 (см. [4]).
Поэтому из теоремы 5 и неравенства (4) получаем такое следствие.
Следствие 2. При любом ε > 0
K1(ε, f) := inf
g
(
‖f − g‖+ εα‖dα(g)‖
)
�
∥∥∥∥∥∥
∞∫
1
(
∆̇2
(e◦1+e
◦
2)εu
+ ∆̇2
(e◦1−e◦2)εu
)
f(·)
u2
du
∥∥∥∥∥∥.
Теперь рассмотрим вопрос о сходимости таких средних в точках Лебега.
Точкой Лебега функции f ∈ L1 называют точку x0, для которой существует такое число
s = s(x0), что
lim
r→0
1
rd
∫
|x0|≤r
∣∣f(x0 + x)− s
∣∣dx = 0.
Оказывается, что ни при каких α и β > 0 не может быть сходимости σ2n,α,β(f) и G2
n,α(f) к
f в точках Лебега любой функции f ∈ L1(T2).
Теорема 6. Если tϕ(t) ∈ L1(R+), а
∫ ∞
0
ϕ(t) sin(ty)dt = o
(
1
t
)
при t → +∞, то не
может быть для любой f ∈ L1(T2) во всех ее точках Лебега limn→∞ σ
2
n (f ;x) = f(x), если
σ2n (f) =
∑
k∈Z2
ϕ
(
1
n
max{|k1|, |k2|}
)
f̂kek.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
1096 О. В. КОТОВА, Р. М. ТРИГУБ
Доказательство. Как известно, для сходимости таких средних в точках Лебега
(
при мно-
жителях ϕ
(
k
n
)
с непрерывной функцией ϕ
)
достаточно, чтобы ϕ(0) = 1 и ϕ ∈ A∗(Rd) (см. [1],
п. 1.25). На самом деле, это и необходимое условие ([5], [4], п. 8.1.3). Поэтому достаточно при-
менить теорему 2.
Теорема 6 доказана.
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 331 с.
2. Liflyand E., Samko S., Trigub R. The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals: an overview // Anal.
and Math. Phys. – 2012. – 2, № 1. – P. 1 – 68.
3. Подкорытов А. Н. Суммирование кратных рядов Фурье по полиэдрам // Вестн. ЛГУ. Мат., мех., астрон. –
1980. – № 1. – С. 51 – 58.
4. Trigub R. M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Kluwer-Springer, 2004. – 585 р.
5. Belinsky E. S., Liflyand E. R., Trigub R. M. The Banach algebra A∗ and its properties // Fourier Anal. and Appl. –
1997. – 3, № 2.
6. Харди Г. Х. Расходящиеся ряды. – М.: Изд-во иностр. лит., 1951. – 505 с.
7. Marcinkiewicz I. Sur une methode remarquable de sommation des series doubles de Fourier. Collected papers. –
Warszawa: PWN, 1964. – P. 527 – 538.
8. Shapiro H. S. Some Tauberian teorems with applications to approximation theory // Bull. Amer. Math. Soc. – 1968. –
74. – P. 499 – 504.
9. Тригуб Р. М. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1968. – 32, № 1. – С. 24 – 49.
10. Жижиашвили Л. В. О суммировании двойных рядов Фурье // Сиб. мат. журн. – 1967. – 8, № 3. – С. 548 – 564.
11. Тиман М. Ф., Пономаренко В. Г. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа
Марцинкевича // Изв. вузов. Математика. – 1975. – № 9. – С. 59 – 67.
12. Кузнецова О. И., Тригуб Р. М. Двусторонние оценки приближения функций средними Рисса и Марцинкевича //
Докл. АН СССР. – 1980. – 251, № 1. – С. 34 – 36.
13. Тригуб Р. М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение поли-
номами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – 44, № 6. – С. 1378 – 1409.
14. Draganov B. R. Exact estimates of the rate of approximation of convolution operators // J. Approxim. Theory. –
2010. – 162. – P. 952 – 979.
Получено 18.06.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 8
|