Про одну задачу для комонотонного наближення
Доведено, що для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана - Тотіка ωᵠₖ,ᵣ при (k,r)=(2,2) є хибним навіть зі сталою, залежною від функції. For a comonotone approximation, we prove that an analog of the second Jackson inequality with gener...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165849 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про одну задачу для комонотонного наближення / А.Н. Нестеренко, Т.О. Петрова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1424–1429. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859741266797920256 |
|---|---|
| author | Нестеренко, А.Н. Петрова, Т.О. |
| author_facet | Нестеренко, А.Н. Петрова, Т.О. |
| citation_txt | Про одну задачу для комонотонного наближення / А.Н. Нестеренко, Т.О. Петрова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1424–1429. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Доведено, що для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана - Тотіка ωᵠₖ,ᵣ при (k,r)=(2,2) є хибним навіть зі сталою, залежною від функції.
For a comonotone approximation, we prove that an analog of the second Jackson inequality with generalized Ditzian - Totik modulus of smoothness ωᵠₖ,ᵣ is invalid for (k,r)=(2,2) even if the constant depends on a function.
|
| first_indexed | 2025-12-01T18:27:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.518.8
O.�N.�Nesterenko, T.�O.�Petrova (Ky]v. nac. un-t im.T.�Íevçenka)
PRO ODNU ZADAÇU
DLQ KOMONOTONNOHO NABLYÛENNQ
For a comonotone approximation, we prove that an analog of the second Jackson inequality with
generalized Ditzian – Totik modulus of smoothness ωϕ
k r, is invalid for ( k , r ) = ( 2, 2 ) even if the
constant depends on a function.
Dovedeno, wo dlq komonotonnoho nablyΩennq analoh druho] nerivnosti DΩeksona z uzahal\ne-
nym modulem neperervnosti Diciana – Totika ωϕ
k r, pry ( k , r ) = ( 2, 2 ) [ xybnym navit\ zi stalog,
zaleΩnog vid funkci].
1. Nexaj C [ –1, 1 ] — prostir dijsnyx neperervnyx na [ –1, 1 ] funkcij iz rivno-
mirnog normog || ⋅ || , a Pn — sukupnist\ alhebra]çnyx mnohoçleniv stepenq
ne�vywe niΩ n – 1, n ∈ N . Poznaçymo çerez Ys , de s ∈ N , mnoΩynu vsix nabo-
riv toçok Ys : = { yj | j = 1, … , s }, dlq qkyx –1 < ys < … < y1 < 1, a çerez ∆1
( Ys )
sukupnist\ nespadnyx na [ y1 , 1] funkcij f ∈ C [ –1, 1 ] , wo zminggt\ naprqmok
monotonnosti v toçkax yj . Zokrema, qkwo f ∈ C1
[ –1, 1 ] ta
Π ( x ) : = ( )x yj
j
s
−
=
∏
1
,
to f ∈ ∆1
( Ys ) todi i til\ky todi, koly Π ( x ) f ′ ( x ) ≥ 0, x ∈ ( –1, 1 ) . Qkwo s = 0,
to vvaΩa[mo, wo Y0 : = ∅, ∆1
( Y0 ) — mnoΩyna nespadnyx na [ –1, 1] funkcij, a
Π ( x ) : = 1. Poznaçymo çerez
E f Yn s
( ) ,1 ( ) : = inf ( )f p p Yn n n s− ∈{ }P ∩ ∆1
velyçynu najkrawoho komonotonnoho nablyΩennq funkci] f ∈ ∆1(Ys ) ∩ C[–1, 1] .
Poklademo ϕ ( x ) : = 1 2− x , x ∈ [ –1, 1 ] , a takoΩ
ϕδ ( x ) : = 1
2
1
2
− −
+ −
x x x xδ ϕ δ ϕ( ) ( ) , x ± δ
2
ϕ ( x ) ∈ [ –1, 1 ] , δ > 0.
Dlq f ∈ C ( –1, 1 ) i r ∈ N ∪ { 0 } poznaçymo çerez
ωϕ
1, ( , )r f t : =
: = sup sup ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
2
1
2
1
2
1
< ≤
+
− −
± <
h t
h
r x f x h x f x h x x h xϕ ϕ ϕ ϕ , t > 0,
ωϕ
2, ( , )r f t : =
: = sup sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2 1
< ≤
+( ) − + −( )( ) ± <{ }
h t
h
r x f x h x f x f x h x x h xϕ ϕ ϕ ϕ , t > 0,
uzahal\neni (pry r = 0 — zvyçajni) moduli neperervnosti Diciana – Totika funk-
ci] f perßoho i druhoho porqdkiv vidpovidno. Vyznaçymo pidprostir
Cr
ϕ : =
f C C x f xr
x
r r∈ − − ={ }| |→
( , ) [ , ] lim ( ) ( )( )1 1 1 1 0
1
∩ ϕ .
© O.�N.�NESTERENKO, T.�O.�PETROVA, 2005
1424 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO ODNU ZADAÇU DLQ KOMONOTONNOHO NABLYÛENNQ 1425
U robotax [1 – 3], zokrema, dovedeno: qkwo Ys ∈ Ys , f ∈ Cr
ϕ ∩ ∆1
( Ys ) , to
E f Y f
n
O
n
n s r
r
r
( )
,
( )( , ) ,1
1
1 1≤
ωϕ , n → ∞ ,
a takoΩ pry r ≠ 2
E f Y f
n
O
n
n s r
r
r
( )
,
( )( , ) ,1
2
1 1≤
ωϕ , n → ∞ .
Pytannq pro spravedlyvist\ ostann\oho spivvidnoßennq u vypadku r = 2 zaly-
ßalos\ vidkrytym (dyv. [3]). Osnovnyj rezul\tat dano] roboty — teorema 1, v
qkij pokazano, wo ce spivvidnoßennq [ xybnym dlq r = 2. Pry c\omu my vyko-
rystaly metody robit [4, 5], de analohiçna zadaça rozv’qzana dlq opuklo] ta ko-
opuklo] aproksymaci].
Teorema 1. Nexaj s ∈ N ∪ {0}, Ys ∈ Ys . Todi isnu[ funkciq f ∈ Cϕ
2 ∩ ∆1
( Ys ) ,
dlq qko]
lim sup
( , )
,
( )
, /n
n sn E f Y
f n→∞ ′′( )
2 1
2 2 1ωϕ = + ∞ .
2. U podal\ßomu çerez c budemo poznaçaty dodatni stali, wo moΩut\ zale-
Ωaty lyße vid k , r ta Ys , pryçomu konstanty, wo poznaçagt\sq ci[g literog
u riznyx çastynax odni[] nerivnosti, moΩut\ buty, vzahali kaΩuçy, riznymy.
Magt\ misce nerivnosti [3; 6, s. 165 – 167]
ω ϕϕ
2 2
2
, ( , )f t c f≤ , t > 0, f ∈ C
2
[ –1, 1 ] , (1)
ω ϕϕ
2 2
2 2 4 4
,
( ) ( ),f t c t f( ) ≤ , t > 0, f ∈ C
4
[ –1, 1 ] . (2)
Pry b ∈ ( 0, 1 ) poklademo
gb ( x ) : = Π( ) lnx b
x b1 + +
, Gb ( x ) : = g u dub
x
( )
−
∫
1
, x ∈ [ –1, 1 ] .
Todi vykonugt\sq nastupni ocinky:
ωϕ
2 2
21 1
, , ln′′( ) ≤ +
G t c t
bb , t > 0, (3)
ϕ2 1 1′′ ≤ +
G c
bb ln , (4)
b
b
g x x x e
xbln ( ) ( ) ( ) ln1 1 3
1
2
≤ +
+
Π , x ∈ ( –1, 1 ] . (5)
Spravdi, poklademo
h1 ( x ) : = Π′ ( x ) ln b, h2 ( x ) : = Π′ ( x ) ln (1 + x + b) + Π( )x
x b
1
1+ +
, x ∈ [ –1, 1 ] .
Todi ′′G xb( ) = h1 ( x ) – h2 ( x ) . Poznaçyvßy çerez ω2 ( h1 , ⋅ ) (zvyçajnyj) druhyj
modul\ neperervnosti funkci] h1 i vykorystavßy joho vlastyvosti, otryma[mo
ωϕ
2 2 1, ( , )h t ≤ ω2 ( h1 , t ) ≤ ct h ct
b
2
1
2 1′′ ≤ ln .
Vraxuvavßy formulu (1), znajdemo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1426 O.�N.�NESTERENKO, T.�O.�PETROVA
ωϕ
2 2 2, ( , )h t ≤ c hϕ2
2 ≤
≤ c x x x x b
x
x b
x x
x
sup ( )( )( ) ln( ) ( ) ( )
[ , ]∈ −
′ − + + + + +
+ +
−
1 1
1 1 1
1
1
1Π Π ≤ c .
Zvidsy, vykorystovugçy nerivnist\ trykutnyka, oderΩu[mo ocinky�(3) i ( 4 ) .
Ocinku (5) vstanovleno v [4] (nerivnist\ (5.2)).
Poznaçymo çerez Pn
∗ mnoΩynu takyx mnohoçleniv pn stepenq ne vywe niΩ
n – 1, wo Π( ) ( )− ′ −1 1pn ≥ 0. Zrozumilo, wo Pn ∩ ∆1
( Ys ) ⊂ Pn
∗ . Nastupna ocinka
vstanovlg[t\sq doslivnym povtorennqm mirkuvan\ z dovedennq lemy 5.3 z [4].
Qkwo b ∈ 0 1
2,
n
, pn ∈ Pn
∗ , n ≥ s + 1, to
G p c
n n b nb n− ≥ −2 2 2
1 1ln . (6)
3. Dovedennq teoremy. Nexaj bn ∈
1 1
4 2n n
,
, n ≥ 2, take, wo b
b n
n
n
ln 1 1
2= .
Poklademo
fn ( x ) : = c
n
G xbn2 ( ) , x ∈ [ –1, 1 ] , n ≥ 2,
de 0 < c < 1 vybyra[t\sq nastil\ky malym, wob vykonuvalys\ nerivnosti (takyj
vybir c [ moΩlyvym na pidstavi ocinok (3) – (5))
ωϕ
2 2 2
1 1
, ,′′
≤f
n n
n , (7)
fn
j( ) < 1, j = 0, 1, ϕ2 ′′fn < 1. (8)
Krim c\oho, fn ∈ C∞
[ –1, 1 ] , fn ( –1 ) = ′ −fn( )1 = 0. Z oznaçennq bn otrymu[mo
nerivnosti
ln ln n ≤ ln ln n2 ≤ ln ln 1
bn
= ln 1
2n bn
,
zvidky vnaslidok (6) vyplyva[ isnuvannq stalo] c > 0 i nomera n1 ≥ 2 takyx, wo
dlq vsix n ≥ n1 i koΩnoho pn ∈ Pn
∗
f p c
n
n
n n− ≥ ln ln
4 . (9)
Poklademo D0 : = 1 i
Dσ : =
D
n n n
σ
σ σ
− =1
4
1
4 4
1 1… , σ ∈ N ,
de nσ vyznaçagt\sq za indukci[g takym çynom. Prypustymo, wo n1 , … , nσ –1
vΩe pobudovano. Poznaçymo
Fσ –1 ( x ) : = D f xj n
j
j−
=
−
∑ 1
1
1
( )
σ
.
Vyberemo nσ > nσ –1 nastil\ky velykym, wob vykonuvalys\ nerivnosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO ODNU ZADAÇU DLQ KOMONOTONNOHO NABLYÛENNQ 1427
max , ( )σ σF −{ }1
4 < Dσ –1 ln ln ln nσ ,
(10)
Fσ−1
6( ) < Dσ –1 nσ .
Na pidstavi nerivnosti typu DΩeksona ta ostann\o] ocinky otrymu[mo
inf ( )′ − ∈{ } ≤ < =− − − − −
−F p p c
n
F
cD n
n
cDn n nσ
σ
σ
σ σ
σ
σσ σ σ1 1 1 1 5 1
6 1
5P . (11)
Poklademo
Φσ ( x ) : = D f xj n
j
j−
=
∞
∑ 1 ( )
σ
, x ∈ [ –1, 1 ] .
ZauvaΩymo, wo cej rqd moΩna dviçi poçlenno dyferencigvaty na ( –1, 1) ; ce
vyplyva[ z nerivnosti (8) ta ocinky
D D
n n
D
n
Dj
j jj
j
j
−
=
∞
−
−= +
∞
−
−
−
=
∞
∑ ∑ ∑= +
<
<1 1 4
1
4
1
1 4 11 1 1 2
σ
σ
σσ
σ
σ
σ
σ
σ…
. (12)
Pry c\omu
Φσ σ< −2 1D , ϕ σ σ
2
12′′ < −Φ D . (13)
Teper dlq velykyx σ ma[mo (poqsnennq dyv. nyΩçe)
ω ω ω ωϕ
σ
ϕ
σ
σ
ϕ
σ
σ
ϕ
σ
σ
σ2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1
, , , ,, , , ,′′
≤ ′′
+ ′′
+ ′′
− − +Φ Φ
n
F
n
D f
n nn ≤
≤ c
n
F
D
n
cD
σ
σ
σ
σ
σϕ2
4
1
4 1
2 2−
−+ +( ) ≤
≤ c
n
D n
D
n
c
D
n
cD
n
n
σ
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ2 1
1
2
1
4
1
22−
− − −+ + ≤ln ln ln ln ln ln . (14)
U druhij nerivnosti dlq ocinky perßoho dodanka vykorystano formulu (2), dru-
hoho — formulu (7), a tret\oho — formuly (1) i (13). Tretq ta çetverta neriv-
nosti vyplyvagt\ z (10).
Dali, na pidstavi (11) isnu[ qnσ
— mnohoçlen stepenq ne�vywoho za nσ – 2,
dlq qkoho q Fnσ σ( ) ( )− = ′ −−1 11 = 0 ta ′ −−F qnσ σ1 ≤ 2cDσ . Tomu dlq mnohoçlena
Q x q u dun n
x
σ σ
( ) : ( )=
−
∫
1
vykonu[t\sq nerivnist\
F Q F u q u dun x n
x
σ σσ σ− ∈ − −
−
− = ′ −( )∫1 1 1 1
1
max ( ) ( )
[ , ]
≤ 4cDσ . (15)
Dlq pn nσ σ
∈ ∗P poklademo R
D
p Qn n n nσ σ σ σ
σ
:= −( ) ∈
−
∗1
1
P . Todi
Φ Φ1 1 1 1− = −( ) + −( ) +− − +p F Q D f Rn n n nσ σ σ σσ σ σ ,
zvidky, poslidovno vykorystovugçy (9), (15), (13) ta (10), dlq velykyx σ otry-
mu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1428 O.�N.�NESTERENKO, T.�O.�PETROVA
Φ Φ1 1 1 1− ≥ − − − −− − +p D f R F Qn n n nσ σ σ σσ σ σ ≥
≥ D c
n
n cD c D nσ
σ
σ σ σ σ− − ≥1 4 2
ln ln ln ln . (16)
Poklademo
′ = +
+
f x x x e
x
( ) : ( )( ) ln2 1 3
1
2
Π , f x f u du
x
( ) : ( )= ′
−
∫
1
, x ∈ ( –1, 1 ] , f ( )−1 : = 0.
Intehruvannqm çastynamy lehko perekonatys\, wo funkciq f ma[ vyhlqd
f x x x
x
x x( ) ( )( ) ln ( ) ( )= +
+
+ +Π Π1
2 2
21 2
1
1 , x ∈ ( –1, 1 ] ,
de Π1 , Π2 — deqki mnohoçleny stepenq ne vywe za s . U roboti [7] vstanovle-
no, wo dlq koΩnoho n ≥ 1 isnu[ takyj mnohoçlen Ωn ∈ Pn , wo
f c
n
n− ≤Ω 4 . (17)
Rozhlqdagçy mnohoçleny vydu
Ω ( x ) = Π Π1
2
4
21
2
21 1 1 1
1 1
1( )( )
( ) ( )
( ) ( )x x
n
T u
u
du
u
x xn
n
x
+ − − −
+
+
+ +∫ , x ∈ [–1, 1] ,
de Tn ( u ) = cos n arccos u — mnohoçlen Çebyßova, i mirkugçy analohiçno do [8],
lehko pokazaty, wo mnohoçlen Ωn ∈ Pn zi spivvidnoßennq (17) moΩna vybraty
tak, wob ′ −Ωn( )1 = 0.
ZauvaΩymo takoΩ, wo z formuly (2) vyplyva[ ocinka
ω ϕϕ
2 2 2
4 4
2
1
,
( ),′′
≤ ≤f
n
c
n
f c
n
. (18)
Poklademo
f ( x ) : = Φ1 ( x ) + f x( ), x ∈ [ –1, 1 ] ,
i pokaΩemo, wo funkciq f [ ßukanog. Vklgçennq f ∈ ∆1
( Ys ) [ naslidkom
(5)�i�(12).
Z nerivnostej (14), (18) i (10) vyplyva[, wo dlq velykyx σ
ωϕ
σ
2 2
1
, ,′′
≤f
n
≤ ′′
+ ′′
≤ + ≤− −ω ωϕ
σ
ϕ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ2 2 1 2 2
1
2 2
1
2
1 1
, ,, , ln ln ln ln ln lnΦ
n
f
n
cD
n
n c
n
cD
n
n . (19)
Oskil\ky prava çastyna ci[] nerivnosti prqmu[ do nulq pry σ → + ∞ , to (dyv.
[3]) f ∈ Cϕ
2 .
Vykorystovugçy te, wo dlq koΩnoho pn nσ σ
∈ ∗P spravdΩu[t\sq vklgçennq
pn n nσ σ σ
− ∈ ∗Ω P , z uraxuvannqm (16), (17) i (10) dlq velykyx σ ma[mo
f p p f c D n c
n
c D
n
nn n n n− ≥ − −( ) − − ≥ − ≥ −
σ σ σ σ σ σ
σ
σ
σ
σΦ Ω Ω1 4
1
42 4
ln ln ln ln . (20)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
PRO ODNU ZADAÇU DLQ KOMONOTONNOHO NABLYÛENNQ 1429
Oskil\ky E f Yn s
( ) ,1 ( ) ≥ inf f p pn n n− ∈{ }∗P , to z (19) i (20) vyplyva[, wo
n E f Y
f n
c
n
n
n sσ
ϕ
σ
σ
σ
σ
ω
2 1
2 2 1
( )
,
,
,
ln ln
ln ln ln/
( )
′′( )
≥ → + ∞ , σ → + ∞ .
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq. Bezposerednim naslidkom teoremy [ analohiçnyj rezul\tat
dlq vypadku ( k , r ) = ( 3 , 1 ) (oznaçennq modulq neperervnosti ωϕ
3 1, ta joho vla-
styvosti, z qkyx i vyplyva[ cej rezul\tat, dyv. v [3 – 5]).
Avtory vyslovlggt\ wyru podqku profesoru I.�O.�Íevçuku za postanovku
zadaçi ta cinni zauvaΩennq.
1. Leviatan D. Pointwise estimates for convex polynomial approximation // Proc. Amer. Math. Soc. –
1986. – 98. – P. 471 – 474.
2. Kopotun K. A. Uniform estimates of monotone and convex approximation of smooth functions // J.
Approxim. Theory. – 1995. – 80. – P. 76 – 107.
3. Leviatan D., Shevchuk I. A. Some positive results and counterexamples in comonotone approxima-
tion // Ibid. – 1999. – 100. – P. 113 – 143.
4. Kopotun K. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Convex polynomial approximation in the uniform
norm: conclusion // Can. J. Math. – 2005. – 58. – P. 407 – 430.
5. Kopotun K. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Coconvex approximation in the uniform norm – the
final frontier // Acta math. hung. – 2005. – 108. – P. 305 – 333.
6. Íevçuk%Y.%A. PryblyΩenye mnohoçlenamy y sled¥ neprer¥vn¥x na otrezke funkcyj. –
Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 225�s.
7. Ybrahymov%Y.%Y. O velyçyne nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyj s vewestvennoj osoboj
toçkoj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1946. – 10, #�5. – S.�429 – 456.
8. Íevçuk%Y.%A. K ravnomernomu pryblyΩenyg funkcyj na otrezke // Mat. zametky. – 1986. –
40, #�1. – S.�36 – 48.
OderΩano 08.06.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165849 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T18:27:04Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Нестеренко, А.Н. Петрова, Т.О. 2020-02-16T20:25:00Z 2020-02-16T20:25:00Z 2005 Про одну задачу для комонотонного наближення / А.Н. Нестеренко, Т.О. Петрова // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1424–1429. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165849 517.518.8 Доведено, що для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана - Тотіка ωᵠₖ,ᵣ при (k,r)=(2,2) є хибним навіть зі сталою, залежною від функції. For a comonotone approximation, we prove that an analog of the second Jackson inequality with generalized Ditzian - Totik modulus of smoothness ωᵠₖ,ᵣ is invalid for (k,r)=(2,2) even if the constant depends on a function. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Про одну задачу для комонотонного наближення On one problem for comonotone approximation Article published earlier |
| spellingShingle | Про одну задачу для комонотонного наближення Нестеренко, А.Н. Петрова, Т.О. Короткі повідомлення |
| title | Про одну задачу для комонотонного наближення |
| title_alt | On one problem for comonotone approximation |
| title_full | Про одну задачу для комонотонного наближення |
| title_fullStr | Про одну задачу для комонотонного наближення |
| title_full_unstemmed | Про одну задачу для комонотонного наближення |
| title_short | Про одну задачу для комонотонного наближення |
| title_sort | про одну задачу для комонотонного наближення |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165849 |
| work_keys_str_mv | AT nesterenkoan proodnuzadačudlâkomonotonnogonabližennâ AT petrovato proodnuzadačudlâkomonotonnogonabližennâ AT nesterenkoan ononeproblemforcomonotoneapproximation AT petrovato ononeproblemforcomonotoneapproximation |