Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими
Досліджується скінченновимірність i зріст алгебр, які задані системою твірних, що пов'язані полілінійними співвідношеннями. Результати формулюються в термінах функції ρ. We investigate the finite-dimensionality and growth of algebras specified by a system of polylinearly interrelated generators...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165851 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими / И.К. Редчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1435–1440. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165851 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Редчук, И.К. 2020-02-16T20:25:35Z 2020-02-16T20:25:35Z 2005 Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими / И.К. Редчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1435–1440. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165851 519.1 Досліджується скінченновимірність i зріст алгебр, які задані системою твірних, що пов'язані полілінійними співвідношеннями. Результати формулюються в термінах функції ρ. We investigate the finite-dimensionality and growth of algebras specified by a system of polylinearly interrelated generators. The results obtained are formulated in terms of a function ρ. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими Finite-dimensionality and growth of algebras specified by polylinearly interrelated generators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| spellingShingle |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими Редчук, И.К. Короткі повідомлення |
| title_short |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| title_full |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| title_fullStr |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| title_full_unstemmed |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| title_sort |
конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими |
| author |
Редчук, И.К. |
| author_facet |
Редчук, И.К. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Finite-dimensionality and growth of algebras specified by polylinearly interrelated generators |
| description |
Досліджується скінченновимірність i зріст алгебр, які задані системою твірних, що пов'язані полілінійними співвідношеннями. Результати формулюються в термінах функції ρ.
We investigate the finite-dimensionality and growth of algebras specified by a system of polylinearly interrelated generators. The results obtained are formulated in terms of a function ρ.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165851 |
| citation_txt |
Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими / И.К. Редчук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 10. — С. 1435–1440. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT redčukik konečnomernostʹirostalgebrzadannyhpolilineinosvâzannymiobrazuûŝimi AT redčukik finitedimensionalityandgrowthofalgebrasspecifiedbypolylinearlyinterrelatedgenerators |
| first_indexed |
2025-11-24T21:51:11Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:51:11Z |
| _version_ |
1850498680369446912 |
| fulltext |
UDK 519.1
Y. K. Redçuk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
KONEÇNOMERNOST| Y ROST ALHEBR, ZADANNÁX
POLYLYNEJNO SVQZANNÁMY OBRAZUGWYMY
The finite-dimensionality and growth of algebras generated by a system of generators related by
polylinear interrelations are studied. Results are formulated in terms of ρ-function.
DoslidΩu[t\sq skinçennovymirnist\ i zrist alhebr, qki zadani systemog tvirnyx, wo pov’qzani
polilinijnymy spivvidnoßennqmy. Rezul\taty formulggt\sq v terminax funkci] ρ.
Pust\ V = Vm — m-mernoe vektornoe prostranstvo nad nekotor¥m polem k s
bazysom ( e1 , … , em ) , m > 1, v1 , … , vs ∈ V, vi ≠ 0, ϕ1 , … , ϕs ∈ k [ x ], ψ i = ϕi ( vi )
dlq i = 1, s .
Svobodnug assocyatyvnug alhebru T m s m obrazugwymy moΩno rassmat-
ryvat\ kak tenzornug alhebru T ( Vm ). Oboznaçym çerez I = I ( ψ1, … , ψs ) (dvu-
storonnyj) ydeal v Tm , poroΩdenn¥j πlementamy ψ1 , … , ψs .
V dannoj stat\e yzuçaetsq zadaça o koneçnomernosty y roste alhebr Tm / I v
zavysymosty ot m, s y polynomov ψi pry nekotorom ohranyçenyy na vyd po-
lynomov ϕi , kotoroe, po-vydymomu, ne qvlqetsq suwestvenn¥m.
Pust\ k = Q ( Σ ) — beskoneçnoe çysto transcendentnoe rasßyrenye polq Q ,
poluçennoe prysoedynenyem k Q alhebrayçesky nezavysymoho sçetnoho mno-
Ωestva Σ, n1 , … , ns ∈ N, ni ≤ nj pry i < j y ϕi = xni +1
, i = 1, s .
Krome toho, pust\ M — matryca, strokamy kotoroj qvlqgtsq vektor¥
v1 , … , vs . Lehko vydet\, çto πlementarn¥e preobrazovanyq so stolbcamy mat-
ryc¥ M, a takΩe perestanovky strok y umnoΩenye proyzvol\noj stroky na ne-
nulevoj πlement q ∈ k ne menqgt (s toçnost\g do yzomorfyzma) alhebru
Tm / I ( ψ1 , … , ψs ).
Esly s ≤ m, to zadaça o koneçnomernosty y roste alhebr Tm / I =
= Tm / I ( ψ1 , … , ψs ) tryvyal\na:
a) pry s = m = 2 y n1 = n2 = 1 Tm / I ymeet polynomyal\n¥j rost;
b) v ostal\n¥x sluçaqx alhebra Tm / I ymeet πksponencyal\n¥j rost.
Pust\ s > m. Matryca M moΩet b¥t\ pryvedena k vydu
M ′ =
E
S
,
hde E — edynyçnaq matryca razmera m × m , S — nekotoraq matryca razmera
r × m ( r = s – m ) nad k. Takym obrazom, moΩno poloΩyt\ v i = ei dlq i =
= 1, m .
Rassmotrym beskoneçnug matrycu S∞ = || λ i j ||, hde λ i j ∈ Σ, i, j ∈ N, pryçem
λ i j ≠ λ p q pry i ≠ p yly j ≠ q. PoloΩym vt = λ t 1 e1 + � + λ t m em , t = m s+ 1, .
Oboznaçym dlq zadannoho m y vvedenn¥x v¥ße ψ1 , … , ψ s alhebru
Tm / I ( ψ1 , … , ψs ) kak Tm ( n1 , … , ns ).
Dannaq zadaça dlq sluçaq r = 1 reßena v rabote [1] (v neskol\ko bolee ob-
wej postanovke). V πtom sluçae opredelqgwye sootnoßenyq v alhebre
Tm ( n1 , … , ns ) mohut b¥t\ pryveden¥ k vydu
© Y. K. REDÇUK, 2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10 1435
1436 Y. K. REDÇUK
ei
ni +1 = 0, i = 1, m ,
e e em
nm
1 2
11+ +…+( ) + + = 0.
V rabote [2] vvedena funkcyq ρ:
ρ ( n ) = 1 +
n
n
−
+
1
1
, n ∈ N,
(1)
ρ ( n1, … , ns ) =
i
s
in
=
∑
1
ρ( ) ,
v termynax kotoroj mohut b¥t\ oxarakteryzovan¥ hraf¥ D¥nkyna y rasßyren-
n¥e hraf¥ D¥nkyna
1
.
Yzvestno [2], çto uravnenye ρ ( n1, … , ns ) = 4, kotoroe çasto vstreçaetsq v
pryloΩenyqx, ymeet sledugwye reßenyq:
( 2, 2, 2 ), ( 1, 3, 3 ), ( 1, 2, 5 ), ( 1, 1, 1, 1 ).
Funkcyg ρ moΩno opredelyt\ y na mnoΩestve Q
+ = q q∈ ≥{ }Q 0 , zada-
vaq ee toj Ωe formuloj (1).
Kak ukazal A. V. Rojter, v termynax funkcyy ρ mohut b¥t\ pereformuly-
rovan¥ sledugwye utverΩdenyq [1].
PredloΩenye 1. Alhebra Tm ( n1 , … , nm , nm + 1 ) koneçnomerna (ymeet po-
lynomyal\n¥j rost), esly y tol\ko esly ρ ( n1 , … , nm , nm + 1 ) < 4 ( ρ ( n1 , …
… , nm , nm + 1 ) = 4).
PredloΩenye 2. Esly alhebra Tm ( n1 , … , nm , nm + 1 ) koneçnomerna, to
dim Tm ( n1 , … , nm , nm + 1 ) =
4
4 1 1− … +ρ( , , , )n n nm m
.
Na mnoΩestve obrazugwyx e1 , … , em alhebr¥ Tm ( n1 , … , ns ) moΩno zadat\
lynejn¥j porqdok, kotor¥j ynducyruet porqdok na mnoΩestve slov alfavyta
ei{ } (slova snaçala sravnyvagtsq po dlyne, a pry ravenstve dlyn — leksyko-
hrafyçesky). Bazys Hrebnera ydeala I — πto mnoΩestvo G ( I ) ⊂ I takoe, çto
dlq lgboho u ∈ I starßee slovo u soderΩyt v kaçestve podslova odno yz
starßyx slov πlementa G ( I ). Bazys Hrebnera naz¥vaetsq mynymal\n¥m, esly
nykakoe eho sobstvennoe podmnoΩestvo ne qvlqetsq bazysom Hrebnera. Postro-
enye mynymal\noho bazysa Hrebnera alhorytmyzyrovano [4], xotq çyslo ßahov
takoho alhorytma trudno ocenymo (y ne vsehda koneçno) y zavysyt ot v¥bora po-
rqdka na mnoΩestve obrazugwyx ei{ }.
Lehko vydet\, çto, znaq mynymal\n¥j (koneçn¥j) bazys Hrebnera ydeala I ,
sootvetstvugweho faktor-alhebre Tm / I, moΩno postroyt\ bazys πtoj alhebr¥
y, sledovatel\no, opredelyt\ ee razmernost\ (rost).
PredloΩenye 3. Dlq lgb¥x m , n ∈ N suwestvuet takoe s > m, çto dlq
lgboho πlementa v ∈ Vm alhebr¥ Tm ( n1 , … , ns ) s uslovyem n1 = n2 … = ns =
= n v¥polnqetsq ravenstvo v
n
+
1 = 0.
Dokazatel\stvo. PoloΩym s =
( )!
( )!( )!
m n
m n
+
− +1 1
. Alhebra Tm ( n1 , n2 , …
… , ns ) = Tm ( n, n, … , n ) zadaetsq obrazugwymy e1 , … , em y sootnoßenyqmy
1
EFunkcyy ρi (sm. [3]), kotor¥e mohut b¥t\ opredelen¥ kak ρ i (1) = 1, ρ i ( n + 1) =
=
i
i ni
+
+ −
4
4 ρ ( )
, takΩe ymegt otnoßenye k rassmatryvaem¥m voprosam, no v formulyruem¥x ny-
Ωe rezul\tatax qvno ne soderΩatsq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KONEÇNOMERNOST| Y ROST ALHEBR, ZADANNÁX POLYLYNEJNO … 1437
F1 = 0, … , Fs = 0, (2)
hde Fi , i = 1, s , — odnorodn¥e nekommutatyvn¥e polynom¥ ot e1 , … , em stepe-
ny n + 1.
Çyslo kommutatyvn¥x monomov ot e1 , … , em stepeny n + 1 ravno s. KaΩ-
domu takomu monomu sootvetstvuet nekotoroe mnoΩestvo nekommutatyvn¥x mo-
nomov ot e1 , … , em : πto vse monom¥, v kotor¥e ei vxodyt stol\ko raz, kakova
stepen\ ei v sootvetstvugwem kommutatyvnom monome. Oboznaçym çerez
y1 , … , ys summ¥ vsex nekommutatyvn¥x monomov, sootvetstvugwyx kaΩdomu
kommutatyvnomu monomu ot e1 , … , em stepeny n + 1. Tohda systemu (2) moΩno
predstavyt\ v vyde
α11 y1 + … + α1s ys = 0,
……………………
αs1 y1 + … + αss ys = 0,
hde α11 = α22 = … = αmm = 1; αi j = 0 pry i ≤ m y i ≠ j; αi j =
k
m
i m k
dkj
= −∏ 1
λ pry
i > m, hde dk j — stepen\, v kotoroj ej vxodyt v kommutatyvn¥j monom, soot-
vetstvugwyj yk .
Poskol\ku matryca || αi j || nev¥roΩdena nad k, to yi = 0 dlq vsex i =
= 1, s . Otsgda dlq lgboho v ∈ Vm v
n
+
1 = β1 y1 + … + βs ys = 0 ( βi ∈ k ), çto y
trebovalos\ dokazat\.
Vektor ( m, n1 , … , ns ), m , ni ∈ N, nazovem suwestvenn¥m, esly Tm ( n1 , …
… , ns – 1 ) � Tm ( n1 , … , ns ). Yz predloΩenyq 3 neposredstvenno sleduet, çto dlq
lgboho vektora ( m, n1 , … , ns ) suwestvuet takoe t ≥ s, çto vektor ( m, ′n1 , …
… , ′nt ) ( ′ni = ni pry 1 ≤ i ≤ s y ′ni = ns pry s + 1 ≤ i ≤ t ) budet
nesuwestvenn¥m.
Oboznaçym çerez N
t
dekartovu t-g stepen\ mnoΩestva N . Pust\ dalee U =
= u
t
t∈{ ∈N
N∪ esly u = ( n1 , … , ns ), to ni ≤ nj pry i < j }. Vvedem na U ças-
tyçn¥j porqdok: pust\ u, u ′ ∈ U, u = ( n1 , … , ns ), u ′ = ( ′n1, … , ′′ns ); tohda po-
loΩym u ≥ u ′, esly lybo s < s ′ y ni = ′ni pry i = 1, s , lybo s = s ′ y ni ≥ ′ni
pry i = 1, s . Tohda lehko vydet\, çto spravedlyva sledugwaq lemma.
Lemma 1. Esly u, u ′ ∈ U, u ≥ u ′, to rost alhebr¥ Tm ( u ′ ) men\ße yly ra-
ven rostu alhebr¥ Tm ( u ).
Avtorom b¥l reßen vopros o koneçnomernosty y roste alhebr Tm ( n1 , … , ns )
pry 2 ≤ r ≤ 5 putem v¥çyslenyq mynymal\noho bazysa Hrebnera ydeala
I ( ψ1 , … , ψs ). Dlq formulyrovky poluçenn¥x rezul\tatov nam ponadobytsq
çyslovaq funkcyq
ρ ′ ( n1 , … , nt + 1 ) = max ( , , , ), , , ,ρ ρn n n n n nt t t t1 1 1 1 11 2… − …( ){ }− − + / .
Pust\ 2 ≤ r ≤ 5.
PredloΩenye 4. Pry m = 2 alhebra Tm ( n1 , … , ns ) koneçnomerna, esly
ρ ( n1 , … , nm + 1 ) < 4. Esly m = 3, to Tm ( n1 , … , ns ) koneçnomerna, esly r ≥ 3
y lybo n1 = n2 = n3 = n4 = 1, lybo n1 = n2 = n3 = 1, n4 = n5 = 2.
PredloΩenye 5. Pust\ alhebra Tm ( n1 , … , ns ) ne udovletvorqet uslovy-
qm predloΩenyq 4.
Alhebra Tm ( n1 , … , ns ) ymeet polynomyal\n¥j rost v sledugwyx sluçaqx:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1438 Y. K. REDÇUK
a) pry m = 2, r ≥ 2 y pry m = 3, r = 2, esly lybo ρ ( n1 , … , nm + 1 ) = 4,
lybo ρ ′ ( n1 , … , nm + 2 ) = 4;
b) pry m = 3, r ≥ 3, esly ρ ( n1 , … , nm + 2 ) ≤ 6 (v πtom sluçae n1 = n2 = 1);
c) pry m = 4, r = 3 y m = 5, r = 5, esly n1 = … = ns = 1;
d) pry m = 4, r = 4, esly n1 = … = ns – 1 = 1;
e) pry m = 4, r = 5, esly n1 = … = ns – 4 = 1 y ρ ( ns – 3 , ns – 2 , ns – 1 ) < 4.
PredloΩenye 6. Dlq m ≥ 6 vse Tm ( n1 , … , ns ) ymegt πksponencyal\n¥j
rost.
Pry m < 6 alhebra Tm ( n1 , … , ns ) ymeet πksponencyal\n¥j rost, esly dlq
fyksyrovannoho s ( n1 , … , ns ) ≥ ( ′n1, … , ′ns ) ( v sootvetstvyy s opredelen-
n¥m v¥ße çastyçn¥m porqdkom), hde vektor ( ′n1, … , ′ns ) sovpadaet s odnym
yz pereçyslenn¥x nyΩe vektorov:
1) m = 2:
a) r = 2: (2, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 5), (2, 2, 4, 4), (1, 4, 4, 4), (1, 3, 4, 7), (1, 3, 5, 5),
(1, 2, 6, 11), (1, 2, 7, 7),
b) r = 3: (2, 3, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 5, 5), (2, 2, 4, 4, 4), (1, 4, 4, 4, 4), (1, 3, 4, 7, 7),
(1, 3, 5, 5, 5), (1, 2, 6, 11, 11), (1, 2, 7, 7, 7),
c) r = 4: (2, 3, 3, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 5, 5, 5), (2, 2, 4, 4, 4, 4), (1, 4, 4, 4, 4, 4), (1, 3,
4, 7, 7, 7), (1, 3, 5, 5, 5, 5), (1, 2, 6, 11, 11, 11), (1, 2, 7, 7, 7, 7),
d) r = 5: (2, 3, 3, 3, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 5, 5, 5, 5), (2, 2, 4, 4, 4, 4, 4), (1, 4, 4, 4, 4, 4,
4), (1, 3, 4, 7, 7, 7, 7), (1, 3, 5, 5, 5, 5, 5), (1, 2, 6, 11, 11, 11, 11), (1, 2, 7, 7, 7, 7, 7);
2) m = 3:
a) r = 2: (1, 1, 2, 2, 2), (1, 1, 1, 2, 3),
b) r = 3: (1, 2, 2, 2, 2, 2), (1, 1, 2, 2, 3, 3), (1, 1, 1, 3, 4, 4), (1, 1, 1, 2, 6, 6),
c) r = 4: (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2), (1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), (1, 1, 1, 3, 4, 4, 4), (1, 1, 1, 2, 6,
6,E6),
d) r = 5: (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), (1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3), (1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 4), (1, 1, 1,
2, 6, 6, 6, 6);
3) m = 4:
a) r = 2: (1, 1, 1, 1, 1, 1),
b) r = 3: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2),
c) r = 4: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2),
d) r = 5: (1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 5);
4) m = 5:
a) r = 2: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
b) r = 3: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
c) r = 4: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
d) r = 5: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2).
Neposredstvenno b¥ly v¥çyslen¥ bazys¥ Hrebnera dlq sledugwyx alhebr:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
KONEÇNOMERNOST| Y ROST ALHEBR, ZADANNÁX POLYLYNEJNO … 1439
1) alhebr¥ polynomyal\noho rosta:
T2 ( 2, 2, 3, 4 ), T2 ( 1, 3, 4, 6 ), T2 ( 1, 2, 6, 10 ), T2 ( 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ), T2 ( 1, 3, 3, 3,
3, 3, 3 ), T2 ( 1, 2, 5, 5, 5, 5, 5),
T3 ( 1, 1, 1, 1, 1), T3 ( 1, 1, 1, 2, 2), T3 ( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ), T3 ( 1, 1, 1, 2, 3, 3,
3, 3 ),
T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
T5 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1);
2) alhebr¥ πksponencyal\noho rosta:
T2 ( 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3), T2 ( 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5), T2 ( 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4), T2 ( 1, 3, 4, 7, 7,
7, 7), T2 ( 1, 3, 5, 5, 5, 5, 5), T2 ( 1, 2, 6, 11, 11, 11, 11), T2 ( 1, 2, 7, 7, 7, 7, 7), T2 ( 1, 4,
4, 4, 4, 4, 4),
T3 ( 1, 1, 2, 2, 2), T3 ( 1, 1, 1, 2, 3), T3 ( 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ), T3 ( 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3,
3 ), T3 ( 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 4), T3 ( 1, 1, 1, 2, 6, 6, 6, 6),
T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2), T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2), T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3),
T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 5),
T5 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2),
T6 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
Koneçnomernost\ alhebr¥ T3 ( 1, 1, 1, 1, n5 , n6 ), n5 , n6 > 1, ustanavlyvalas\
sledugwym obrazom. V¥çyslqlsq bazys Hrebnera alhebr¥ T3 ( 1, 1, 1, 1),
zadannoj sootnoßenyqmy e3
2 = 0, ( λ 21 e1 + λ 22 e2 + λ 23 e3 )
2 = 0, ( λ 31 e1 + λ 32 e2 +
+ λ 33 e3 )
2 = 0, ( λ 41 e1 + λ 42 e2 + λ 43 e3 )
2 = 0, λ i j ∈ Σ. Poluçenn¥j bazys Hrebne-
ra G soderΩyt starßye slova e2
2
, e3 e1 , e3 e2 , e3
2
, e e2 1
2
. Esly k sootnoßeny-
qm gi ( e1 , e2 , e3 ) = 0, gi ∈ G, dobavyt\ sootnoßenyq en
1
5 = 0 y en
1
6 = 0, to, v¥-
çyslqq bazys Hrebnera πtoj dopolnennoj system¥ sootnoßenyj, çerez nekoto-
roe çyslo redukcyj y kompozycyj poluçaem dva πlementa (novoho bazysa Hreb-
nera) so starßymy slovamy
e e
n
2 1
6
…
raz
��� y en
1
5
. Poluçennoe mnoΩestvo starßyx
slov est\ podmnoΩestvo starßyx slov bazysa Hrebnera alhebr¥ T3 ( 1, 1, 1, 1, n5 ,
n6 ), y, kak netrudno vydet\, πta alhebra koneçnomerna. Analohyçno ustanavly-
valas\ koneçnomernost\ (rost) dlq sledugwyx alhebr: T3 ( 1, 1, 1, 2, 2, n6 ),
T3 ( 1, 1, 2, 2, 2, n6 ), T3 ( 1, 1, 1, 3, 3, n6 ), T3 ( 1, 1, 1, 2, 5, n6 ), T4 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4,
n9 ).
UtverΩdenye o koneçnomernosty (roste) dlq vsex ostal\n¥x alhebr, pere-
çyslenn¥x v predloΩenyqx 4 – 6, sleduet yz lemm¥ 1.
Netrudno proveryt\, çto predloΩenyqmy 4 – 6 ysçerp¥vagtsq vse alhebr¥
Tm ( n1 , … , ns ) dlq 2 ≤ r ≤ 5.
PredloΩenye 7. Pust\ dim Tm ( n1 , … , ns ) < ∞.
Tohda dim Tm ( n1 , … , ns ) =
4
4 1 1− … +ρ( , , )n nm
, esly y tol\ko esly m = 2 y
vektor ( n1 , … , ns ) ymeet vyd lybo ( 1, 1, n3 , n4 , … , ns ) ( n3 neçetno yly
n3 ≠ n4 ), lybo ( 1, 2, 2, n4 , … , ns ) ( n4 > 4 ), lybo ( 1, 2, 3, n4 , … , ns ) ( n4 > 6 ),
lybo ( 1, 2, 4, n4 , … , ns ) ( n4 > 12 ).
Yz alhebr¥ Tm ( n1 , … , ns ) s pomow\g matryc¥ S = || si j || razmera r × m ,
si j ∈ Q, moΩno poluçyt\ alhebru
˜ ( , , , )T n n Sm s1 … , zadavaq ee toj Ωe systemoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
1440 Y. K. REDÇUK
obrazugwyx e1 , … , em y sootnoßenyj ψi = 0, i = 1, s , berq pry πtom koπffy-
cyent¥ λ i j pry i > m yz matryc¥ S : λ i j = si j dlq vsex i = m s+ 1, , j = 1, m .
Matrycu S nazovem podxodqwej dlq alhebr¥ Tm ( n1 , … , ns ), esly rost alheb-
r¥ Tm ( n1 , … , ns ) raven rostu alhebr¥
˜ ( , , , )T n n Sm s1 … .
Prymer 1. Esly r = 1, to dlq lgboj alhebr¥ Tm ( n1 , … , ns ) v kaçestve
podxodqwej moΩno vzqt\ proyzvol\nug matrycu, sostoqwug yz nenulev¥x
πlementov.
Prymer 2. Neposredstvenn¥e v¥çyslenyq pokaz¥vagt, çto dlq alhebr s
2 ≤ r ≤ 5 v kaçestve podxodqwej moΩet b¥t\ v¥brana matryca S = || si j ||, v ko-
toroj dlq vsex i, j s1 j = si 1 = 1, a pry i ≠ 1 y j ≠ 1 s i j ravno ( i + j – 3 )-mu
prostomu çyslu.
Bazys¥ Hrebnera b¥ly v¥çyslen¥ s pomow\g komp\gternoj prohramm¥
Magma (http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/). V predvarytel\n¥x v¥çysleny-
qx m¥ pol\zovalys\ takΩe prohrammamy grobner dlq paketa GAP (http://www.
win.tue.nl/~amc/pub/grobner/) y Groebner (http://www.imath.kiev.ua/~mellit/groebner/
index.html), razrabotçyku kotoroj A Mellytu avtor v¥raΩaet blahodarnost\.
Avtor blahodaryt A. V. Rojtera za postanovku zadaçy y polezn¥e sovet¥, ka-
sagwyesq dannoj rabot¥.
1. Vlasenko M., Mellyt A., Samojlenko G. Ob alhebrax, poroΩdenn¥x lynejno svqzann¥my
obrazugwymy s zadann¥m spektrom // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 2005. – 39, # 2.
2. Nazarova L. A., Rojter A. V. Norma otnoßenyq, razdelqgwye funkcyy y predstavlenyq
markyrovann¥x kolçanov // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 6. – S. 18 – 54.
3. Redçuk Y. K., Rojter A. V. Synhulqrn¥e lokal\no-skalqrn¥e predstavlenyq kolçanov v
hyl\bertov¥x prostranstvax y razdelqgwye funkcyy // Tam Ωe. – 2004. – 56 , # 6. –
S.E796 – 809.
4. Ufnarovskyj V. A. Kombynatorn¥e y asymptotyçeskye metod¥ v alhebre // Sovrem. probl.
matematyky. Fundam. napravlenyq. – 1990. – 57. – S. 5 – 77.
Poluçeno 01.10.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 10
|