Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема
Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему. We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem for the cor...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165857 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165857 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. 2020-02-16T20:31:19Z 2020-02-16T20:31:19Z 2015 Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165857 517.98 Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему. We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem for the corresponding one-parameter semigroup. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема Laplacian Generated by the Gaussian Measure and Ergodic Theorem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| spellingShingle |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. Статті |
| title_short |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_full |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_fullStr |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_full_unstemmed |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| title_sort |
лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема |
| author |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| author_facet |
Богданский, Ю.В. Санжаревский, Я.Ю. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Laplacian Generated by the Gaussian Measure and Ergodic Theorem |
| description |
Розглянуто лапласіан, що породжений гауссовою мірою на сепарабельному гільбертовому просторі. Для відповідної однопараметричної напівгрупи встановлено ергодичну теорему.
We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem for the corresponding one-parameter semigroup.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165857 |
| citation_txt |
Лапласиан по гауссовой мере и эргодическая теорема / Ю.В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 9. — С. 1172–1180. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanskiiûv laplasianpogaussovoimereiérgodičeskaâteorema AT sanžarevskiiâû laplasianpogaussovoimereiérgodičeskaâteorema AT bogdanskiiûv laplaciangeneratedbythegaussianmeasureandergodictheorem AT sanžarevskiiâû laplaciangeneratedbythegaussianmeasureandergodictheorem |
| first_indexed |
2025-11-24T02:48:25Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:48:25Z |
| _version_ |
1850838710623404032 |
| fulltext |
УДК 517.98
Ю. В. Богданский, Я. Ю. Санжаревский
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
We consider the Laplacian generated by the Gaussian measure on a separable Hilbert space and prove the ergodic theorem
for the corresponding one-parameter semigroup.
Розглянуто лапласiан, що породжений гауссовою мiрою на сепарабельному гiльбертовому просторi. Для вiдповiдної
однопараметричної напiвгрупи встановлено ергодичну теорему.
1. Предварительные сведения. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово про-
странство (dimH ≤ ∞); µ — конечная неотрицательная борелевская мера на H с дополнитель-
ным условием: µ(U) > 0 для любого непустого открытого множества U в H.
Обозначим через C1
b (H) пространство всех непрерывно дифференцируемых функций наH,
ограниченных на H вместе со своей производной.
Наряду с функциональным пространством L2(H) = L2(H,µ) будем рассматривать про-
странство L2(H;H) квадратично интегрируемых векторных полей на H. Норму в L2(H;H)
задаем формулой |||Z |||2 =
∫
H
‖Z (x)‖2dµ, а интегрируемость векторного поля понимаем в
смысле конструкции Бохнера.
Функциональное пространство C1
b (H) плотно в L2(H) (доказательство этого факта анало-
гично доказательству предложения 1 из работы [1]).
Соответствие grad : f 7→ grad f задает оператор grad : L2(H) → L2(H; H) с облас-
тью определения C1
b (H). Корректность задания этого оператора является следствием условий
на меру µ :
((
u ∈ C1
b (H);u = 0 (mod µ)
)
⇒
(
u ≡ 0
))
. В частности, оператор grad коррект-
но определен в случае гауссовой меры µ, ядерный корреляционный оператор которой имеет
плотный в H образ.
Для h ∈ H меру µh определим равенством µh(A) = µ(A + h), которое предполагается
выполненным для каждого борелевского множества в H
(
A ∈ B(H)
)
. Мера µ называется
дифференцируемой (по Фомину) вдоль вектора h, если для каждого A ∈ B(H) существует
предел ϑh(A) = limt→0
1
t
(
µt h(A)− µ(A)
)
. В этом случае ϑh также является мерой (знакопе-
ременной), абсолютно непрерывной относительно меры µ. Если при этом ρhµ =
dϑh
dµ
∈ L2(H),
то мера µ называется L2-дифференцируемой вдоль вектора h.
Лемма 1. Пусть в пространстве H существует полная система L векторов, вдоль ко-
торых мера µ L2-дифференцируема. Тогда оператор grad замыкаем.
Доказательство. Пусть um ∈ C1
b (H), um → 0 в L2(H); gradum → Z ∈ L2(H; H).
Если ϕ ∈ C1
b (H), то ϕ · um → 0 в L2(H); grad (ϕ · um) = ϕ · gradum+ um · gradϕ→ ϕ · Z
в L2(H; H). Для каждого вектора h ∈ L имеет место равенство∫
H
(
grad (ϕ · um), h
)
dµ = −
∫
H
ϕum · ρhµ dµ
(см., например, [2]).
c© Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ, 2015
1172 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1173
Переходя к пределу m→∞, получаем∫
H
(
Z , ϕ h
)
dµ = 0 для каждого h ∈ L.
Линейные комбинации индикаторов открытых подмножеств вH (с векторными коэффициен-
тами) плотны в L2(H;H), а они, в свою очередь, аппроксимируются линейными комбинациями
функций вида ϕ · h (ϕ ∈ C1
b ;h ∈ L). Отсюда и следует равенство Z = 0 (mod µ), что и дока-
зывает лемму.
Следствие 1. Пусть µ — гауссова мера вH с ядерным корреляционным операторомA, об-
раз которого плотен в H. Тогда grad: L2(H) ⊃ C1
b (H)→ L2(H;H) — плотно определенный
замыкаемый оператор.
Доказательство следует из леммы 1, так как мера µ L2-дифференцируема вдоль векторов
h ∈ ImA.
Определим оператор div: L2(H;H)→ L2(H) равенством div = −(grad )∗. Иными слова-
ми, для Z ∈ D(div) и любой функции u ∈ C1
b (H) выполнено равенство∫
H
(
Z , gradu
)
dµ = −
∫
H
div Z · u dµ.
Предлагаемый оператор div является L2-версией классического понятия дивергенции век-
торного поля Z относительно меры µ (или, другими словами, логарифмической производной
меры µ вдоль векторного поля Z ).
В случае, когда оператор grad допускает замыкание, лапласиан по мере µ определим фор-
мулой4 = div ◦ grad : L2(H)→ L2(H).4 — самосопряженный отрицательно определенный
оператор; его область определения плотна в D(grad ), наделенном нормой графика операто-
ра grad [3]. Поэтому D(4) плотна в L2(H) и, согласно теореме Хилле – Иосиды (в форме
Люмера – Филлипса), оператор4 является генератором C0-полугруппы сжатий в пространстве
L2(H).
Настоящая работа посвящена исследованию некоторых особенностей поведения этой полу-
группы в случае гауссовой меры µ, ядерный корреляционный оператор которой имеет плотный
образ в H.
2. Полугруппа, порожденная лапласианом. Пусть A — ядерный неотрицательный опера-
тор в H, образ которого плотен в H; µA — гауссова мера в H с корреляционным оператором A;
h — собственный вектор оператора A с собственным числом λ > 0. Через h̃ обозначим функ-
цию на H вида h̃(x) = (x, h). Тогда grad h̃ = h (постоянное векторное поле). В силу формулы
интегрирования по частям [4] имеет место равенство∫
H
v · h̃ dµA =
∫
H
(
grad v, λ h
)
dµA,
справедливое для всех v ∈ C1
b (H).
Из последнего равенства следует, что λh ∈ D(div) и h̃ = −div (λh) = −λ div (grad h̃).
Следовательно, h̃ ∈ D(4) и имеет место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1174 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
4h̃ = − 1
λ
h̃. (1)
Если T (t) — однопараметрическая полугруппа с генератором 4, то, как следует из (1),
имеет место равенство
T (t)h̃ = e−
t
λ h̃. (1′)
Лемма 2. Пусть u1, . . . , um ∈ C1
b (H) ∩ D(4), F ∈ C2(Rm). Тогда сложная функция
v(x) = F
(
u1(x), . . . , um(x)
)
∈ D(4) и при этом
4v =
m∑
k=1
F′k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
4 uk(x)+
+
m∑
i, k=1
(
F′′i k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
gradui(x), graduk(x)
)
. (2)
Доказательство. Имеем grad v =
∑m
k=1
F′k
(
u1(x), . . . , um(x)
)
· graduk(x). Далее сле-
дует воспользоваться тождеством div(f · Z ) = f · div Z +
(
grad f, Z
)
, справедливым для
Z ∈ D(div); f ∈ C1
b (H) [5].
Следствие 2. Пусть h1, h2, . . . , hm — попарно ортогональные собственные векторы опе-
ратора A, соответствующие собственным числам λk > 0, k = 1, . . . ,m. Тогда функция
v = h̃1 · h̃2 · . . . · h̃m является собственной функцией оператора 4 и имеет место равенство
4v = −
( 1
λ1
+
1
λ2
+ . . .+
1
λm
)
h̃1 · . . . · h̃m.
Следствие 3. Пусть ‖h‖ = 1, Ah = λh. Для функции v = h̃
m
имеет место равенство
4v = −m
λ
v +m(m− 1)h̃
m−2
. (3)
Доказательство. Для функции F(s) = sm равенство (2) превращается в следующее:4v =
= m · h̃
m−1
4 h̃+m (m− 1)h̃
m−2
, что и приводит к формуле (3).
Лемма 3. Пусть h — нормированный собственный вектор оператора A с собственным
числом λ > 0, T (t) — однопараметрическая полугруппа в L2(H) с генератором4. Тогда имеет
место равенство
T (t)
(
h̃
m)
= e−
mt
λ
(
h̃
m
−
[
m/2
]∑
k=1
αkh̃
m−2k
)
+
[
m/2
]∑
k=1
αkT (t)
(
h̃
m−2k)
, (4)
где
αk = (−1)k−1 m!
(m− 2k)! k! 2k
λk. (5)
Доказательство. При t = 0 формула (4) превращается в равенство T (0)
(
h̃
m)
= h̃
m
, и
достаточно лишь доказать, что константа αk в (4) удовлетворяет равенству (5). Применяя (3) к
равенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1175
∂
∂t
(
e−
mt
λ
(
h̃
m
−
[m/2]∑
k=1
αk h̃
m−2k))
= e−
mt
λ 4
(
h̃
m
−
[m/2]∑
k=1
αk h̃
m−2k
)
,
приходим к системе уравнений
α1 ·
m
λ
= m (m− 1) +
α1
λ
(m− 2),
αk ·
m
λ
= −αk−1 (m− 2k + 2) (m− 2k + 1) + αk ·
m− 2k
λ
, k = 2, 3, . . . ,
[m
2
]
.
Решая систему, получаем равенства (5).
Следствие 4. Если m = 2k − 1, k ∈ N, то limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
= 0; если m = 2k − 2,
k ∈ N, то
lim
t→+∞
T (t)
(
h̃
2k)
=
(2k)!
2k k!
λk. (6)
Доказательство. В силу формулы (1′) limt→+∞ T (t)
(
h̃
)
= 0, поэтому из (4) для нечет-
ныхm получим равенство limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
= 0. Поскольку дляm = 0 h̃
0
= 1 и T (t)
(
h̃
0)
≡
≡ 1→ 1, t→ +∞, в силу формулы (4) limt→+∞ T (t)
(
h̃
m)
существует для всех m = 2k, k ∈ N.
Положим βk = limt→+∞ T (t)
(
h̃
2k)
. Тогда из (4) получаем равенство
βk =
k∑
j=1
α
(k)
j βk−j , (7)
где α(k)
j = (−1)j−1 (2k)!
(2k − 2j)!j!2j
λj , 1 ≤ j ≤ k (см. (5)).
Формула (7) дает возможность доказать (6), применив метод математической индукции.
При k = 0 равенство очевидно. Индукционный шаг. Равенство
(2k)!
2k k!
λk =
k∑
j=1
(−1)j−1 (2k)!
(2k − 2j)! j! 2j
λj · (2k − 2j)!
2k−j (k − j)!
λk−j
непосредственно следует из очевидного: 1 = C1
k − C2
k + . . .+ (−1)k−1Ckk .
С другой стороны, из равенства
∫
H
e(x, y)µA(dx) = e(Ay, y)/2 (см. [4]) следует равенство∫
H
exp
(
th̃
)
µA(dx) = eλt
2/2, а разлагая обе части по степеням t, получаем тождества
∫
H
h̃
m
dµA =
0, если m = 2k − 1, k ∈ N,
(2k)!
2kk!
λk, если m = 2k, k ∈ N ∪ {0} .
Тем самым приходим к формуле
lim
t→+∞
T (t)
(
h̃
m)
=
∫
H
h̃
m
dµA.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1176 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Далее будет доказано, что последнее равенство имеет место и для любой функции u ∈
∈ L2(H).
3. Эргодическая теорема.
Лемма 4. Пусть H = H1 ⊕ H2 — разложение гильбертова пространства H в орто-
гональную сумму своих подпространств; µ1 и µ2 — конечные борелевские меры в H1 и H2
соответственно, удовлетворяющие условию µk(U) > 0 для любого непустого открытого
множества U ⊂ Hk, k = 1, 2; Pk — ортопроекторы в H, ImPk = Hk, k = 1, 2; 4k —
лапласиан по мере µk в Hk; 4 — лапласиан в H по мере µ = µ1 ⊗ µ2 (предполагается, что
операторы 4, 41, 42 корректно определены (см. п. 1)). Пусть f ∈ D(41) ⊂ L2(H1, µ1).
Тогда u = f ◦ P1 ∈ D(4) ⊂ L2(H, µ) и при этом 4u = (41f) ◦ P1.
Доказательство. Пусть f ∈ D(41). Тогда существуют последовательность fn ∈ C1
b (H1),
для которой fn → f в L2(H1), и предел последовательности
{
grad fn
}
в L2(H1;H1), ко-
торый обозначим grad 1f. Но тогда функции un = fn ◦ P1 ∈ C1
b (H),
∫
H
(un − u)2dµ =
=
∫
H1
(fn − f)2dµ1 → 0, n→∞. Далее,
(
gradun
)
(x) = i1
(
grad fn(P1(x))
)
, где i1: H1 ↪→ H
(вложение H1 в H), последовательность
{
gradun
}
сходится в L2(H; H) к векторному полю
i1
(
grad 1f(P1(x))
)
. Действительно,∫
H
∥∥∥i1(grad fn(P1(x))
)
− i1
(
grad 1f(P1(x))
)∥∥∥2 dµ =
=
∫
H1
∥∥grad fn − grad 1f
∥∥2 dµ1 → 0, n→∞.
Итак, u = f ◦ P1 ∈ D(grad ).
Поскольку f ∈ D(41), для любой функции ϕ ∈ C1
b (H1) имеет место равенство∫
H1
41f · ϕdµ1 = −
∫
H1
(
grad 1f, gradϕ
)
dµ1. (8)
Пусть v ∈ C1
b (H). Для доказательства леммы достаточно выполнения равенства∫
H
(
(41f) ◦ P1
)
· v dµ = −
∫
H
(
gradu, grad v
)
dµ,
из которого вследствие произвольности v ∈ C1
b (H) и будет следовать результат:∫
H
(
gradu, grad v
)
dµ = [далее xk = Pkx] =
=
∫
H
(
i1 grad 1f(P1x), P1 grad v(x1 + x2)
)
dµ = [полагаем vx2(x1) = v(x1 + x2)] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1177
=
∫
H2
µ2(dx2)
∫
H1
(
grad 1f, grad vx2
)
dµ1 = [применим (8)] =
= −
∫
H2
µ2(dx2)
∫
H1
41f · vx2 dµ1 = −
∫
H
(
41f
)
(P1x) · v(x1 + x2) dµ.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть T1(t) и T2(t) — C0-полугруппы в банаховых пространствах X1 и X2 со-
ответственно и Ak = T ′k(0) — их генераторы. Пусть Q : X2→ X1 — ограниченный линейный
оператор, для которого Q
(
D(A2)
)
⊂ D(A1), и для каждого y ∈ D(A2) выполнено равенство
QA2y = A1Qy. Тогда для любых t ≥ 0 и y ∈ X2 имеет место равенство
QT2(t)y = T1(t)Qy. (9)
Доказательство. Равенство (9) достаточно доказать для векторов y из плотного подмно-
жества в X2. Полагаем y ∈ D(A2). Тогда Qy ∈ D(A1), поэтому при t ≥ 0 обе части равенст-
ва (9) дифференцируемы по t :
d
dt
(
QT2(t)y
)
= QA2T2(t)y = A1QT2(t)y,
d
dt
T1(t)Qy = A1T1(t)Qy.
ПосколькуQT2(0)y = Qy = T1(0)Qy, то равенство (9) для y ∈ D(A2) следует из единствен-
ности решения в X1 дифференциального уравнения
d
dt
z(t) = A1z(t) с начальным условием
z(0) = Qy.
Лемма доказана.
Следствие 5. Пусть в условиях леммы 4 T (t) — C0-полугруппа в L2(H) = L2(H, µ) с
генератором4, T1(t) — C0-полугруппа в L2(H1) с генератором41. Тогда для каждой функции
f ∈ L2(H1) при всех t ≥ 0 имеет место равенство
T (t)
(
f ◦ P1
)
=
(
T1(t)f
)
◦ P1.
Доказательство. Применим лемму 5 к пространствам X1 = L2(H), X2 = L2(H1). Поло-
жим A1 = 4, A2 = 41 и
(
Qf
)
(x) = f(P1x) для f ∈ L2(H1). Тогда ‖Qf‖2 =
∫
H
f2(P1x)dµ =
= µ2(H2)
∫
H1
f2dµ1 = µ2(H2)‖f‖2. Теперь из леммы 4 следует выполнение всех условий
леммы 5.
Следствие доказано.
Лемма 6. Пусть µ — конечная неотрицательная мера в H, для которой существует
такое линейное многообразие L в H, что для каждого h ∈ L мера µh эквивалентна ме-
ре µ (квазиинвариантность меры µ вдоль вектора h), причем γh =
dµh
dµ
∈ L2(H, µ) и
sup
{
‖γth‖L2(H)
∣∣ 0 ≤ t ≤ 1
}
< ∞. Пусть u ∈ D(grad ), gradu = 0 (mod µ). Тогда для
каждого h ∈ L равество u(x+ h) = u(x) выполнено для µ-почти всех x ∈ H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1178 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
Доказательство. Пусть um ∈ C1
b (H), um → u в L2(H), gradum → 0 в L2(H; H). Тогда
для каждого борелевского множества A ∈ B(H) и h ∈ H имеют место равенства
∫
A
um(x+ h) dµ−
∫
A
um(x) dµ =
1∫
0
dt
∫
A
(
gradum(x+ th), h
)
dµ. (10)
При этом limm→∞
∫
A
umdµ =
∫
A
udµ, а для h ∈ L получим также∫
A
um(x+ h) dµ =
∫
A+h
um dµ−h =
∫
A+h
um · γ−h dµ −→
m→∞
−→
m→∞
∫
A+h
u · γ−h dµ =
∫
A
u(x+ h) dµ.
Для каждого фиксированного t ∈ [0; 1] и фиксированного h ∈ L при m → ∞ имеет место
сходимость ∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
dµ =
∫
A+t h
(
gradum(x), h
)
· γ−t h dµ −→
−→
∫
A+t h
(
gradu, h
)
· γ−t h dµ =
∫
A
(
gradu(x+ t h), h
)
dµ.
При этом последовательность функций gm(t) =
∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
µ(dx) в силу условий
леммы по модулю равномерно ограничена на [0; 1] интегрируемой на [0; 1] функцией:∣∣∣∣∣∣
∫
A
(
gradum(x+ t h), h
)
dµ
∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
H
∥∥gradum(x+ t h)
∥∥ dµ · ‖h‖ =
= ‖h‖ ·
∫
H
∥∥gradum∥∥ · γ−t h dµ ≤ ‖h‖ · ∣∣∣∣∣∣gradum∣∣∣∣∣∣ · ‖γ−t h‖L2(H).
Поэтому предельным переходом из (10) для h ∈ L получим∫
A
u(x+ h) dµ−
∫
A
u(x) dµ =
1∫
0
dt
∫
A
(
gradu(x+ t h), h
)
dµ. (11)
Поскольку gradu = 0 (mod µ), из условия квазиинвариантности меры µ вдоль вектора
h ∈ L следует, что для h ∈ L и t ∈ R имеет место равенство
(
gradu(·+ t h), h
)
= 0 (mod µ),
поэтому из (11) следует равенство
ϕh(A) =
∫
A
u(x+ h) dµ =
∫
A
u dµ = ϕ0(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
ЛАПЛАСИАН ПО ГАУССОВОЙ МЕРЕ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1179
Последнее равенство справедливо для всех A ∈ B(H), поэтому для каждого h ∈ L равен-
ство u(x) = u(x+ h) выполнено для почти всех x ∈ H.
Лемма доказана.
Замечание 1. В случае, когда L плотно в H, исходное условие, наложенное на меру µ
в сепарабельном гильбертовом пространстве H : „µ(U) > 0 для любого непустого открытого
множества U в H”, является следствием квазиинвариантности меры µ, заложенной в условии
леммы 6. В частности, эти условия выполнены для гауссовой меры в H, ядерный корреляцион-
ный оператор которой имеет плотный образ в H.
Следствие 6. Если в условиях леммы 6 пространство H конечномерно и L = H, то
u(x) = const (mod µ).
Доказательство. Из теорем Фубини и Тонелли следует равенство∫
H
µ(dx)
∫
H
∣∣u(x+ h)− u(x)
∣∣µ(dh) = ∫
H
µ(dh)
∫
H
∣∣u(x+ h)− u(x)
∣∣µ(dx) = 0,
поэтому для почти всех x равенство u(x+ h) = u(x) выполнено для почти всех h.
Зафиксируем x0 ∈ H, для которого u(x0 + h) = u(x0) для почти всех h. В силу квазиинва-
риантности меры µ множеством полной меры будет также множество
{
h
∣∣u(h) = u(x0)
}
, что
и доказывает следствие.
Теорема. Пусть µ — гауссова мера на сепарабельном гильбертовом пространстве H,
корреляционный оператор которой — положительный ядерный оператор A с плотным в H
образом. Пусть 4 — построенный выше оператор Лапласа по мере µ, T (t) — однопара-
метрическая полугруппа в L2(H) = L2(H, µ) с генератором 4. Тогда для каждой функции
u ∈ L2(H) имеет место равенство
lim
t→+∞
T (t)u =
∫
H
u dµ (modµ). (12)
Доказательство. В силу замечания 1 соответствующий оператор grad корректно опре-
делен. Из формулы (12) [6, с. 115] следует выполнение условий леммы 1, поэтому оператор
grad и лапласиан 4 также определены.
Отрицательно определенный самосопряженный оператор 4 порождает в L2(H) аналити-
ческую полугруппу сжатий T (t) [7, с. 105], поэтому для каждой функции u ∈ L2(H) при t > 0
имеет место включение T (t)u ∈ D(4) и при этом C := supt>0
∥∥t 4 T (t)
∥∥ <∞ [7, с. 101].
Для генератора полугруппы сжатий T (t) на рефлексивном пространстве L2(H) имеет мес-
то разложение в прямую (ортогональную в силу самосопряженности оператора 4) сумму:
L2(H) = Im4 ⊕ Ker4. Пусть Q — ортопроектор в L2(H) на Ker4. Тогда для u ∈ L2(H)
имеем разложение u = (I − Q)u + Qu, T (t)
(
Qu
)
= Qu для всех t ≥ 0. Пусть u ∈ Im4.
Тогда u = 4v, v ∈ D(4), T (t)u = 4T (t)v,
∥∥4T (t)v∥∥ ≤ C
t
‖v‖ → 0, t → +∞. Предельным
переходом равенство limt→+∞ T (t)u = 0 доказывается для всех u ∈ Im4. Тем самым доказано,
что для всех u ∈ L2(H) существует limt→+∞ T (t)u = Qu.
Функции из ImQ — это в точности 4-гармонические функции на H. Если 4u = 0, то
u ∈ D(grad ) и существует последовательность функций un ∈ C1
b (H), для которых un → u в
L2(H) и gradun → gradu в L2(H; H). С другой стороны, имеет место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
1180 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Я. Ю. САНЖАРЕВСКИЙ
0 =
∫
H
4u · un dµ = −
∫
H
(
gradu, gradun
)
dµ,
поэтому предельным переходом n → ∞ приходим к выводу:
(
4u = 0 почти всюду
)
⇔
⇔
(
gradu = 0 почти всюду
)
.
Пусть {e1, e2, . . .} — ортонормированный базис в H из собственных векторов корреляци-
онного оператора A и Pn — ортопроектор в H на линейную оболочку векторов {e1, . . . , en}.
Разложение H = PnH ⊕ (I − Pn)H индуцирует на PnH и (I − Pn)H меры по принципу:
µ1(A) = µ(A+ (I − Pn)H), µ2(B) = µ(PnH + B)
(
здесь A ∈ B(PnH); B ∈ B
(
(I − Pn)H
))
.
При этом µ = µ1 ⊗ µ2.
Если за L принять линейную оболочку векторов {ek}∞k=1, то выполнены условия леммы 6.
Рассмотрим конечномерное подпространство PnH, L ∩ PnH = PnH. Если 41g = 0 (здесь
41 — лапласиан в PnH по мере µ1), то, как было доказано выше, grad 1g = 0 и, в силу
следствия 6, g = const (почти всюду) в PnH. Следовательно, limt→+∞ T1(t)f — постоянная
функция (mod µ1) для любой f ∈ L2(PnH)
(
здесь T1(t) — полугруппа в PnH с генератором
41
)
. f 7→ limt→+∞ T1(t)f — ортопроектор на подпространство констант, поэтому
lim
t→+∞
T1(t)f =
∫
PnH
f dµ1 (mod µ1).
В силу следствия 5 для функции u ∈ L2(H) вида u(x) = f(Pnx) имеет место равенство(
T (t)u
)
(x) =
(
T1(t)f
)
(Pnx), поэтому для таких функций u получим
lim
t→+∞
T (t)u =
∫
PnH
f dµ1 =
∫
H
u dµ (modµ).
Осталось заметить, что функции вида f(Pnx), где n ∈ N, а f ∈ Cb(PnH), образуют плотное
множество в пространстве L2(H).
Теорема доказана.
Следствие 7. Для гауссовой меры, ядерный корреляционный оператор которой имеет
плотный в H образ,4-гармоническими функциями в H являются только константы (modµ).
1. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2-версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
2. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: РХД, 2008. – 544 с.
3. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом простран-
стве. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. – 264 с.
4. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. –
М.: Наука, 1983. – 384 с.
5. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
6. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 232 с.
7. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations // Grad. Texts Math. – 2000. – 194. –
586 p.
Получено 06.03.14,
после доработки — 04.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 9
|