Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь
Рассмотрена вторая краевая задача для параболического уравнения со степенными особенностями в коэффициентах по пространственным переменным и импульсными условиями по временной переменной. С помощью принципа максимума и априорных оценок установлено существование и единственность решения поставленной...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165868 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь / I.М. Ісарюк, І.Д. Пукальський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1348–1357. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859471938887352320 |
|---|---|
| author | Ісарюк, I.М. Пукальський, І.Д. |
| author_facet | Ісарюк, I.М. Пукальський, І.Д. |
| citation_txt | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь / I.М. Ісарюк, І.Д. Пукальський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1348–1357. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Рассмотрена вторая краевая задача для параболического уравнения со степенными особенностями в коэффициентах по пространственным переменным и импульсными условиями по временной переменной. С помощью принципа максимума и априорных оценок установлено существование и единственность решения поставленной задачи в гельдеровых пространствах со степенным весом.
We consider the second boundary-value problem for a parabolic equation with power singularities in the coefficients of space variables and impulsive conditions in the time variable. By using the maximum principle and a priori estimates, we establish the existence and uniqueness of the solution of posed problem in Hölder spaces with power weights.
|
| first_indexed | 2025-11-24T10:32:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
I. М. Iсарюк, I. Д. Пукальський (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ
I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ
We consider the second boundary-value problem for a parabolic equation with power singularities in the coefficients in
space variables and impulsive conditions in the time variable. By using the maximum principle and a priori estimates, we
establish the existence and uniqueness of the solution of the posed problem in Hölder spaces with power weights.
Рассмотрена вторая краевая задача для параболического уравнения со степенными особенностями в коэффициентах
по пространственным переменным и импульсными условиями по временной переменной. С помощью принципа
максимума и априорных оценок установлено существование и единственность решения поставленной задачи в
гельдеровых пространствах со степенным весом.
Вступ. Математичне моделювання багатьох фiзичних та хiмiчних явищ приводить до задач з
виродженнями та особливостями для рiвнянь iз частинними похiдними. Зокрема, у рiвняннi
Шредiнгера, яке описує стан квантомеханiчної системи, коефiцiєнти визначають потенцiальну
енергiю i мають степеневi особливостi при молодших похiдних [1]. Дослiдженню крайових
задач з виродженнями та особливостями для рiвнянь iз частинними похiдними присвячено
працi [2 – 7]. У монографiях [5, 6] побудовано теорiю класичних розв’язкiв задачi Кошi та
крайових задач у просторах максимально широких класiв функцiй для рiвнянь параболiчного
типу, коефiцiєнти яких мають степеневi особливостi обмеженого порядку на межi областi.
Вивчення задач теорiї автоматичного керування, теорiї ядерних реакторiв, динамiчних сис-
тем приводять до розв’язання перiодичних крайових задач для диференцiальних рiвнянь з
iмпульсною дiєю. Задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
глибоко вивченi у працях А. М. Самойленка i О. М. Перестюка [8, 9].
Питання iснування перiодичних розв’язкiв рiвняння з частинними похiдними гiперболiч-
ного типу з iмпульсною дiєю вивчались у працях [11 – 13]. Класичним розв’язкам задачi Кошi
для параболiчних систем з iмпульсною дiєю присвячено другий роздiл монографiї [14].
У данiй статтi розглядається задача для лiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку з
iмпульсними умовами за часовою змiнною i степеневими особливостями довiльного порядку у
коефiцiєнтах за просторовими змiнними на координатних площинах. За допомогою апрiорних
оцiнок та принципу максимуму встановлено iснування та єдинiсть розв’язку поставленої задачi
у гельдерових просторах зi степеневою вагою.
1. Постановка задачi та основнi обмеження. Нехай (x1, . . . , xn) — координати точки
x ∈ Rn, Ωj = {x, x ∈ Rn, xj = 0}, Ω =
⋃n
j=1
Ωj , D — обмежена область з множини Rn+ = {x ∈
∈ Rn|xj ≥ 0, j ∈ {1, . . . , n}} з межею ∂D така, що ∂D ∩ Ωj 6= ∅, t0, t1, . . . , tN+1 — фiксованi
додатнi числа, t0 < t1 < t2 < . . . < tN+1.
В областi Q = [t0, tN+1)×D розглянемо задачу знаходження функцiї u(t, x), яка при t 6= tλ,
λ ∈ {1, . . . , N}, x ∈ D задовольняє рiвняння
(Lu)(t, x) =
∂t − n∑
i,j=1
Aij(t, x)∂xi∂xj +
n∑
i=1
Ai(t, x)∂xi +A0(t, x)
u(t, x) = f(t, x), (1)
c© I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ, 2015
1348 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 1349
умови за змiнною t:
u(t0 + 0, x) = ϕ0(x), (2)
u(tλ + 0, x)− u(tλ − 0, x) = ψλ(tλ, x)u(tλ − 0, x) + ϕλ(tλ, x) (3)
i крайову умову
lim
x→z∈∂D
(Bu− g)(t, x) ≡ lim
x→z∈∂D
[
n∑
k=1
bk(t, x)∂xku+ b0(t, x)u− g(t, x)
]
= 0. (4)
Виродження коефiцiєнтiв рiвняння (1) i крайової умови (4) у точцi P (t, x) ∈ D буде харак-
теризувати функцiя s(ai, xi), s(ai, xi) = xaii при 0 ≤ xi ≤ 1 i s(ai, xi) = 1 при xi ≥ 1, ai —
дiйснi числа, i ∈ {1, . . . , n}.
Позначимо через q, l, γ, µj , βi, δ, α дiйснi числа, α ∈ (0, 1), γ ≥ 0, µj ≥ 0, j ∈ {0, 1, . . . , n},
βi ∈ (−∞,+∞), i ∈ {1, . . . , n}, β = (β1, . . . , βn), δ ≥ 0, µ = (µ1, . . . , µn), [l] — цiла частина l,
l = [l] + {l}, l, q — додатнi фiксованi числа.
Нехай (x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i , . . . , x
(1)
n ) — координати точки x(1) областiD = D∪∂D, (x
(1)
1 , . . . , x
(1)
i−1,
x
(2)
i , x
(1)
i+1, . . . , x
(1)
n ) — координати точки x(2) ∈ D, P (t, x), P1(t(1), x(1)), Ri(t
(2), x(2)), Hi(t
(1),
x(2)) — довiльнi точки областiQ = [t0, tN+1)×D,Q(k) = [tk, tk+1)×D, S(γ, x) = mini{s(γ, xi)}.
Означимо функцiональний простiр, в якому будемо вивчати задачу (1) – (4).
C l(γ;β; q;Q) — множина функцiй u, якi мають неперервнi частиннi похiднi при t 6= tλ,
x ∈ D вигляду ∂it∂
r
xu, 2i+ |r| ≤ [l], для яких скiнченною є норма
‖u; γ;β; q;Q‖l = ‖u; γ;β; q;Q‖[l] + 〈u; γ;β; q;Q〉l,
де
‖u; γ;β; 0;Q‖0 = sup
k
{sup
Q(k)
|u|} ≡ ‖u;Q‖0,
‖u; γ;β; q;Q‖[l] = sup
k
∑
2i+|r|≤[l]
sup
P∈Q(k)
S(q + (2i+ |r|)γ, x)
n∏
j=1
s(−rjβj , xj)|∂it∂rxu(P )|,
〈u; γ;β; q;Q〉l = sup
k
{ ∑
2i+|r|=[l]
n∑
ν=1
sup
(P1,Hν)⊂Q(k)
[
S(q + lγ, x̃)
n∏
j=1
s(−rjβj , x̃j)×
×|∂it∂rxu(P1)− ∂it∂rxu(Hν)||x(1)
ν − x(2)
ν |−{l}s(−{l}βν , x̃ν)
]
+
+
∑
2i+|r|=[l]
n∑
ν=1
sup
(Rν ,Hν)⊂Q(k)
S(q + lγ, x(2))
n∏
j=1
s(−rjβj ,
˜
x
(2)
j )×
×|∂it∂rxu(Rν)− ∂it∂rxu(Hν)||t(1) − t(2)|−{
l
2}
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1350 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
r = r(r1, r2, . . . , rn) — мультиiндекс на невiд’ємних цiлих числах, |r| = r1 + . . .+ rn, S(a, x̃) =
= min{S(a, x(1)), S(a, x(2))}, s(ai, x̃i) = min{s(ai, x(1)
i ), s(ai, x
(2)
i )}.
Щодо параметрiв задачi (1) – (4) вважаємо виконаними такi умови:
а) для довiльного вектора ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) виконується нерiвнiсть
π1|ξ|2 ≤
n∑
i,j=1
s(βi, xi)s(βj , xj)Aij(t, x)ξiξj ≤ π2|ξ|2,
де π1, π2 — фiксованi додатнi сталi, |ξ|2 =
∑n
i=1
ξ2
i та s(βi, xi)s(βj , xj)Aij ∈ Cα(γ;β; 0;Q),
s(µi, xi)Ai ∈ Cα(γ;β; 0;Q), s(µ0, x)A0 ∈ Cα(γ;β; 0;Q), infQ̄A0 ≡ a > 0, f ∈ Cα(γ;β;µ0;Q),
ϕ0 ∈ C2+α(γ;β; 0;D), ϕλ ∈ C2+α(γ;β; 0;Q ∩ (t = tλ));
б) вектори
−→
b (s) = {s(β1, x1)b1, . . . , s(βn, xn)bn} i
−→
b = {b1, . . . , bn} утворюють з напрямком
зовнiшньої нормалi −→n до Γ в точцi P (t, x) ∈ Γ кут менший за
π
2
; Γ = [t0, tN+1) × ∂D,
∂D ∈ C2+α, s(βi, xi)bi ∈ C1+α(γ;β; 0;Q), S(δ, x)b0 ∈ C1+α(γ;β; 0;Q), b0(t, x)|Γ > 0, g ∈
∈ C1+α(γ;β; δ;Q), ψλ ∈ C2+α(Q ∩ (t = tλ)), limx→z∈∂D(Bϕ0 − g)(t0, x) = 0,
[g(tλ + 0, x)− g(tλ − 0, x)]|∂D = [ψλ(tλ, x)g(tλ − 0, x) + Bϕλ(tλ, x)]|∂D ,
n∑
k=1
bk(t, x)
∂ψλ
∂x
∣∣∣∣∣
∂D
= 0, γ = max
{
max
i
(1 + βi),max
i
(µi − βi),
µ0
2
, δ
}
.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай для задачi (1) – (4) виконано умови а), б). Тодi iснує єдиний розв’язок
задачi (1) – (4) iз простору C2+α(γ, β; 0;Q) i виконується нерiвнiсть
‖u; γ;β; 0;Q‖2+α ≤ c
{
N∑
k=1
N∏
λ=k
(1 + ‖ψλ;Q ∩ (t = tλ)‖0)×
×(‖ϕk−1; γ;β; 0;Q ∩ (t = tk−1)‖2+α + ‖f ; γ;β;µ0;Q(k−1)‖α+
+‖g; γ;β; δ;Q(k−1)‖1+α) + ‖ϕN ; γ;β; 0;Q ∩ (t = tN )‖2+α+
+‖f ; γ;β;µ0;Q(N)‖α + ‖g; γ;β; δ;Q(N)‖1+α
}
. (5)
Для дослiдження задачi (1) – (4) встановимо спочатку iснування та єдинiсть розв’язкiв мно-
жини крайових задач iз гладкими коефiцiєнтами. З множини одержаних розв’язкiв видiлимо
збiжну пiдпослiдовнiсть, граничне значення якої буде розв’язком задачi (1) – (4).
2. Оцiнка розв’язкiв крайових задач iз гладкими коефiцiєнтами. Нехай Q(k)
m = Q(k)
⋂⋂
{(t, x) ∈ Q(k)|s(1, xi) ≥ m−1}, m ≥ 1, — послiдовнiсть областей, яка при m→∞ збiгається
до Q(k).
Розглянемо в областi Q задачу знаходження функцiй um(t, x), якi при t 6= tλ задовольняють
рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 1351
(L1um)(t, x) ≡
∂t − n∑
i,j=1
aij(t, x)∂xi∂xj +
n∑
i=1
ai(t, x)∂xi + a0(t, x)
um(t, x) = fm(t, x), (6)
умови за змiнною t:
um(t0 + 0, x) = ϕ(0)
m (x), (7)
um(tλ + 0, x)− um(tλ − 0, x) = ψλ(tλ, x)um(tλ − 0, x) + ϕ(λ)
m (tλ, x) (8)
i крайову умову
(B1um − gm)(t, x)|Γ ≡
[
n∑
k=1
hk(t, x)∂xkum + h0(t, x)um − gm(t, x)
]∣∣∣∣∣
Γ
= 0. (9)
Коефiцiєнти aij , ai, a0, hi, h0 i функцiї fm, ϕ
(0)
m , ϕ
(λ)
m , gm в областi Q(k)
m збiгаються з
коефiцiєнтами Aij , Ai, A0, bi, b0 i функцiями f, ϕ0, ϕλ, g вiдповiдно, а в областях Q\Q(k)
m вони
є неперервним продовженням коефiцiєнтiв Aij , Ai, A0, bi, b0 i функцiй f, ϕ0, ϕλ, g iз областей
Q
(k)
m в область Q \Q(k)
m iз збереженням норм i гладкостi [15, с. 82].
Справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай um(t, x) — класичний розв’язок задачi (6) – (9) в областi Q i виконано
умови а), б). Тодi для um(t, x) справджується оцiнка
|um(t, x)| ≤
N∑
k=1
{
N∏
λ=k
(1 + ‖ψλ;Q ∩ (t = tλ)‖0)×
×
(
‖ϕ(k−1)
m ;Q ∩ (t = tk−1)‖0 + ‖fma−1
0 ;Q(k−1)‖0 + ‖gmh−1
0 ;Q(k−1)‖0
)}
+
+‖ϕN ;Q ∩ (t = tN )‖0 + ‖fma−1
0 ;Q(N)‖0 + ‖gmh−1
0 ;Q(N)‖0. (10)
Доведення. Нехай max
Q(k) um(t, x) = um(R1). Якщо точка R1 ∈ [tk, tk+1) × ∂D, то ви-
конується умова (9). Оскiльки
dum(R1)
d~b
≥ 0 (вектор ~b задовольняє умову б)), то з рiвностi
(B1um − gm)(R1) = 0 маємо
um(R1) ≤ sup
Q(k)
(gm · h−1
0 ). (11)
Якщо R1(t, x) ∈ Q(k), то в точцi R1 мають мiсце спiввiдношення
∂tum(R1) ≥ 0, ∂xium(R1) = 0,
n∑
ij=1
aij(R1)∂xi∂xjum(R1) ≤ 0 (12)
i задовольняється рiвняння (6). З урахуванням (12) i рiвняння (6) у точцi R1 виконується
нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1352 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
um(R1) ≤ sup
Q(k)
(fm · a−1
0 ). (13)
Нехай min
Q(k) um(t, x) = um(R2). Якщо точка R2 ∈ [tk, tk+1) × ∂D, то
dum(R2)
d~b
≤ 0.
Враховуючи крайову умову (9), маємо
um(R2) ≥ inf
Q(k)
(gm · h−1
0 ). (14)
Якщо R2(t, x) ∈ Q(k), то в точцi R2 виконуються спiввiдношення
∂tum(R2) ≤ 0, ∂xium(R2) = 0,
n∑
ij=1
aij(R2)∂xi∂xjum(R2) ≥ 0 (15)
i задовольняється рiвняння (6). З урахуванням (15) i рiвняння (6) в точцi R2 маємо
um(R2) ≥ inf
Q(k)
(fm · a−1
0 ). (16)
У випадку, коли R1 ∈ D або R2 ∈ D, з початкової умови (7) одержуємо
|um| ≤ ‖ϕ(0)
m ;D‖0. (17)
Враховуючи нерiвностi (11), (13), (14), (16), (17) при k = 0, отримуємо
‖um;Q(0)‖0 ≤ ‖fma−1
0 ;Q(0)‖0 + ‖ϕ(0)
m ;D‖0 + ‖gmh−1
0 ;Q(0)‖0. (18)
Якщо R1 ∈ Q∩ (t = tλ) або R2 ∈ Q∩ (t = tλ), λ ≥ 1, то, враховуючи умову (8), одержуємо
спiввiдношення
‖um;Q ∩ (t = tλ)‖0 ≤ (1 + ‖ψλ;Q ∩ (t = tλ)‖0)‖um;Q(λ−1)‖0 + ‖ϕ(λ)
m ;Q ∩ (t = tλ)‖0, (19)
λ ∈ {1, 2, . . . , N}.
Об’єднуючи нерiвностi (11), (13), (14), (16), (18), (19), отримуємо нерiвнiсть (10).
Теорему 2 доведено.
В областi Q(k) розглянемо крайову задачу
(L1um)(t, x) = fm(t, x),
um(tk + 0, x) = G(k)
m (tk, x), (20)
(B1um − gm)(t, x)|Γ(k) ≡ 0,
де Γ(k) = [tk, tk+1) × ∂D, G(0)
m (t0, x) = ϕ
(0)
m (x), x ∈ D, G(k)
m (tk, x) = (1 + ψk(tk, x))um(tk −
− 0, x) + ϕm(tk, x), x ∈ Q ∩ (t = tk), k ∈ {1, . . . , N}.
При виконаннi умов а), б) розв’язок крайової задачi (20) в областi Q(k) iснує i єдиний у
просторi C2+α(Q(k)) [7, 14]. Знайдемо оцiнку похiдних розв’язку um(t, x).
Введемо у просторi C2+α(Q) норму ‖um; γ;β; q;Q‖2+α, еквiвалентну при кожному фiк-
сованому m гельдеровiй нормi, яка визначається так само, як i ‖u; γ;β; q;Q‖l, лише замiсть
функцiй s(ai, xi) беремо d(ai, xi), де d(ai, xi) = max(s(ai, xi),m
−ai) при ai ≥ 0 i d(ai, xi) =
= min(s(ai, xi),m
−ai) при ai < 0.
Справджується така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 1353
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi для розв’язку задачi (6) – (9) пра-
вильною є оцiнка
‖um; γ;β; 0;Q‖2+α ≤ c
{
N∑
k=1
{
N∏
λ=k
(1 + ‖ψλ;Q ∩ (t = tλ)‖0)×
×(‖ϕk−1; γ;β; 0;Q ∩ (t = tk−1)‖2+α+
+‖f ; γ;β;µ0;Q(k−1)‖α + ‖g; γ;β; δ;Q(k−1)‖1+α)
}
+ ‖ϕN ; γ;β; 0;Q ∩ (t = tN )‖2+α+
+‖f ; γ;β;µ0;Q(N)‖α + ‖g; γ;β; δ;Q(N)‖1+α
}
. (21)
Доведення. Використовуючи означення норми тa iнтерполяцiйнi нерiвностi iз [15, 16],
маємо
‖um; γ;β; 0;Q(k)‖2+α ≤ (1 + εα)〈um; γ;β; 0;Q(k)〉2+α + c(ε)‖um;Q(k)‖0,
де ε — довiльне дiйсне число iз (0; 1). Тому досить оцiнити напiвнорму 〈um; γ;β; 0;Q(k)〉2+α.
Iз визначення напiвнорми випливає iснування в областi Q(k) точок P1, Ri, Hi, для яких вико-
нується одна з нерiвностей
1
2
‖um; γ;β; 0;Q(k)‖2+α ≤ Eµ, µ ∈ {1, 2}, (22)
де
E1 =
∑
2i+|r|=2
n∑
ν=1
|x(1)
ν − x(2)
ν |−αS1((2 + α)γ, x̃)d(−αβν , x̃ν)
n∏
j=1
d(−rjβj , x̃j)×
×|∂it∂rxum(Hν)− ∂it∂rxum(P1)|,
E2 =
∑
2i+|r|=2
n∑
ν=1
|t(1) − t(2)|−
α
2 S1((2 + α)γ, x̃)
n∏
j=1
d(−rjβj , x̃j)×
×|∂it∂rxum(Hν)− ∂it∂rxum(Rν)|.
Тут d(aj , x̃j) = min(d(aj , x
(1)
j ), d(aj , x
(2)
j )), S1(a, x̃) = min(mini d(a, x
(1)
i ), mini d(a, x
(2)
i )).
Нехай |x(1)
ν − x
(2)
ν | ≤ n−1d(γ − βν , x̃ν)
ε1
4
≡ T1, ε1 — довiльне число з iнтервалу (0; 1),
|t(1)−t(2)| ≤ S1(2γ, x̃)
ε2
1
16
≡ T2. Будемо вважати |x(1)
ν −yν | ≥ 4T1, y ∈ ∂D i d(γ, x̃j) = d(γ, x
(1)
j ),
P1(t(1), x(1)) ∈ Q(k), k ∈ {0, 1, . . . , N}.
В областi Q(k) задачу (20) запишемо у виглядi∂t − n∑
i,j=1
aij(P1)∂xi∂xj
um =
n∑
i,j=1
[aij(P )− aij(P1)]∂xi∂xjum −
n∑
i=1
ai(P )∂xium−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1354 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
−a0(P )um = fm(t, x) ≡ F (t, x;um), (23)
um(tk + 0, x) = G(k)
m (tk, x), (24)
n∑
i=1
hi(P1)∂xium
∣∣∣∣∣
Γ(k)
=
{
n∑
i=1
[hi(P1)− hi(P )]∂xium − h0(P )um + gm(P )
}∣∣∣∣∣
Γ(k)
≡
≡ Φm(t, x;um)|Γ(k) . (25)
Нехай Vτ — область iз Q(k), Vτ = {(t, x) ∈ Q(k) : |t − t(1)| ≤ τ2T2, |xj − x
(1)
j | ≤ τT1}.
В задачi (23) – (25) виконаємо замiну um(t, x) = vm(t, y), де yj = d(βj , x
(1)
j )xj . В результатi
одержимо
(L2vm)(t, y) ≡
∂t − n∑
i,j=1
aij(P1)d
(
βi, x
(1)
i
)
d
(
βj , x
(1)
j
)
∂yi∂yj
vm = F (t, Y ; vm), (26)
vm(tk + 0, y) = G(k)
m (tk, Y ), (27)
(B2vm)(t, y)|Γ(k) ≡
n∑
i=1
hi(P1)d
(
βi, x
(1)
i
)
∂yivm
∣∣∣∣∣
Γ(k)
= Φm(t, Y ; vm)
∣∣∣
Γ(k)
, (28)
де Y =
(
d
(
−β1, x
(1)
1 )
)
y1, . . . , d
(
−βn, x(1)
n
)
yn
)
.
Позначимо y
(1)
j = d(βj , x
(1)
j )x
(1)
j , V
(1)
τ = {(t, y) : |t − t(1)| ≤ τ2T2, |yj − y(1)
j | ≤ τ
√
T1} i
вiзьмемо тричi диференцiйовну функцiю η(t, y), яка задовольняє умови
η(t, y) =
1, (t, y) ∈ V (1)
1/2 , 0 ≤ η(t, y) ≤ 1,
0, (t, y) 6∈ V (1)
3/4 , |∂it∂ryη| ≤ criS1(−(2i+ |r|)γ, x(1)).
Тодi функцiя ωm(t, y) = vm(t, y)η(t, y) задовольняє крайову задачу
(L3ωm)(t, y) =
n∑
i,j=1
aij(P1)d(βi, x
(1)
i )d(βj , x
(1)
j ){∂yivm∂yjη + ∂yjvm∂yiη + vm∂yi∂yjη}+
+ηF (t, Y ; vm)− ωm∂tη ≡ F1(t, y; vm), (29)
ωm(tk + 0, y) = G(k)
m (tk, Y )η(tk + 0, y), (30)
(B3ωm)(t, y)|Γ(k) ≡
[
η(t, y)Φm(t, Y ; vm)− vm
n∑
i=1
hi(P1)d(βi, x
(1)
i )∂yiη
]∣∣∣∣∣
Γ(k)
=
= Φ(1)
m (t, Y ; vm)
∣∣∣
Γ(k)
. (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 1355
На пiдставi теореми 5.3 iз [7, с. 264] для розв’язку задачi (29) – (31) i довiльних точок
{M1,M2} ⊂ V (1)
1/2 виконується нерiвнiсть
d−α(M1,M2)|∂it∂ryvm(M1)− ∂it∂ryvm(M2)| ≤ c(‖F1‖Cα(V
(1)
3/4
)
+
+‖ηG(k)
m ‖C2+α(V
(1)
3/4
∩(t=tk))
+ ‖Φ(1)
m ‖C1+α(V
(1)
3/4
∩Γ(k))
), (32)
де 2i+ |r| = 2, d(M1,M2) — параболiчна вiдстань мiж точками M1 i M2.
Враховуючи властивостi функцiї η(t, y), знаходимо
‖F1‖Cα(V
(1)
3/4
)
≤ cS1
(
−(2 + α)γ, x(1)
)(∥∥∥fm; γ; 0; 2γ;V
(1)
3/4
∥∥∥
α
+
∥∥∥vm;V
(1)
3/4
∥∥∥
0
+
+
∥∥∥vm; γ; 0; 0;V
(1)
3/4
∥∥∥
2
)
,
‖ηG(k)
m ‖C2+α(V
(1)
3/4
∩(t=tk))
≤ cS1
(
−(2 + α)γ, x(1)
)∥∥∥G(k)
m ; γ; 0; 0;V
(1)
3/4 ∩ (t = tk)
∥∥∥
2+α
, (33)
‖Φ(1)
m ‖C1+α(V
(1)
3/4
∩Γ(k))
≤ cS1
(
−(2 + α)γ, x(1)
)(∥∥∥gm; γ; 0; γ;V
(1)
3/4
∥∥∥
1+α
+
+
∥∥∥vm;V
(1)
3/4
∥∥∥
α
+
∥∥∥vm; γ; 0; 0;V
(1)
3/4
∥∥∥
2
)
.
Пiдставляючи (33) у (32) i повертаючись до змiнних (t, x), отримуємо нерiвнiсть
Eµ ≤
(
εα(n+ 2) + ε1Cn
2
) ∥∥∥um; γ;β; 0;Q(k)
∥∥∥
2+α
+ c
(∥∥∥fm; γ; 0; 2γ;Q(k)
∥∥∥
α
+
+
∥∥∥gm; γ;β; γ;Q(k)
∥∥∥
1+α
+
∥∥∥G(k)
m ; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)
∥∥∥
2+α
+
∥∥∥um;Q(k)
∥∥∥
0
)
. (34)
Враховуючи значення виразу G(k)
m (tk, x) при k = 0, маємо
‖G(0)
m ; γ;β; 0;Q(0) ∩ (t = t0)‖2+α = ‖ϕ(0)
m ; γ;β; 0;D‖2+α. (35)
У випадку k ≥ 1 одержимо нерiвностi∥∥∥G(k)
m ; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)
∥∥∥
2+α
≤
(
1 + ‖ψk;Q(k) ∩ (t = tk)‖0
)
×
×
(∥∥∥um; γ;β; 0;Q(k−1)
∥∥∥
2+α
+
∥∥∥ϕ(k)
m ; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)
∥∥∥
2+α
)
. (36)
Об’єднуючи нерiвностi (22), (34), (35), (36) i вибираючи ε, ε1 достатньо малими, отримуємо
нерiвностi∥∥∥um; γ;β; 0;Q(k)
∥∥∥
2+α
≤ c
(∥∥∥fm; γ;β;µ0;Q(k)
∥∥∥
α
+
∥∥∥gm; γ;β; δ;Q(k)
∥∥∥
1+α
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
1356 I. М. IСАРЮК, I. Д. ПУКАЛЬСЬКИЙ
+
(
1 +
∥∥∥ψk;Q(k) ∩ (t = tk)
∥∥∥
0
)∥∥∥um; γ;β; 0;Q(k−1)
∥∥∥
2+α
+
+
∥∥∥ϕ(k)
m ; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)
∥∥∥
2+α
. (37)
Розглянемо випадок |x(1)
ν − yν | ≤ 4T1, y ∈ ∂D. Для простоти вважаємо ν = n. Нехай K(P )
— куля радiуса R0, R0 > 4(T1n+T2), з центром у деякiй точцi P ∈ Γ(k), яка мiстить точки Hj ,
Rj , P1. Використовуючи обмеження на гладкiсть межi ∂D, можна розпрямити межу ∂D∩K(P )
за допомогою взаємно однозначного перетворення x = W (ξ) iз [15, с. 126]. В результатi такого
перетворення область Q(k) ∩K(P ) перейде в область Π, для точок якої ξn ≥ 0.
Вважаємо, що um(t, x), P1, Hj , Rj при цьому перетвореннi переходять вiдповiдно в ωm(t, ξ),
M1, Zj , Θj . Позначимо коефiцiєнти диференцiальних виразiв L1, B1 в областi Π через ãij(t, ξ),
ãi(t, ξ), ã0(t, ξ), h̃i(t, ξ), h̃0(t, ξ). Тодi ωm(t, ξ) буде розв’язком задачi∂t − n∑
i,j=1
ãij(M1)∂ξi∂ξj
ωm =
n∑
i,j=1
[ãij(t, ξ)− ãij(M1)]∂ξi∂ξjωm −
n∑
i=1
ãi(t, ξ)∂ξiωm−
−ã0(t, ξ)ωm + fm(t,W (ξ)),
ωm(tk + 0, ξ) = G(k)
m (tk,W (ξ)),
n∑
i=1
h̃i(M1)∂ξiωm
∣∣∣
ξn=0
=
{
n∑
i=1
[
h̃i(M1)− h̃i(t, ξ)
]
∂ξiωm − h̃0(t, ξ)ωm + gm(t,W (ξ))
}∣∣∣∣∣
ξn=0
.
Повторюючи мiркування, наведенi при знаходженнi оцiнок розв’язку задачi (23) – (25), i
використовуючи при цьому теорему 6.1 iз [7, с. 264], одержуємо нерiвнiсть (37).
Якщо
∣∣∣x(1)
ν − x(2)
ν
∣∣∣ ≥ T1, то
E1 ≤ 2ε−α1 ‖um; γ;β; 0;Q(k)‖2. (38)
Якщо
∣∣t(1) − t(2)
∣∣ ≥ T2, то
E2 ≤ 2ε−α1 ‖um; γ;β; 0;Q(k)‖2. (39)
Застосовуючи iнтерполяцiйнi нерiвностi до (38), (39), знаходимо
Eµ ≤ εα‖um; γ;β; 0;Q(k)‖2+α + c(ε)‖um;Q(k)‖0. (40)
Оскiльки
‖fm; γ;β;µ0;Q(k)‖α ≤ c‖f ; γ;β;µ0;Q(k)‖α,
‖gm; γ;β; δ;Q(k)‖1+α ≤ c‖g; γ;β; δ;Q(k)‖1+α,
‖ϕ(k)
m ; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)‖2+α ≤ c‖ϕk; γ;β; 0;Q(k) ∩ (t = tk)‖2+α,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
КРАЙОВА ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНИМИ УМОВАМИ I ВИРОДЖЕННЯМ ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ 1357
то, об’єднавши нерiвностi (37), (40), одержимо оцiнку (21).
Теорему 3 доведено.
Доведення теореми 1. Права частина нерiвностi (21) не залежить вiд m. Крiм того, по-
слiдовностi {U (0)
m } ≡ {um}, {U (1)
m } ≡ {S1(γ, x)d(−βi, xi)∂xium}, {U
(2)
m } ≡ {S1(2γ, x)∂tum},
{U (3)
m } ≡ {S1(2γ, x)d(−βi, xi)d(−βj , xj)∂xi∂xjum} рiвномiрно обмеженi i рiвностепенево не-
перервнi в областях Q(k). За теоремою Арчела iснують пiдпослiдовностi {U (µ)
m(j)}, якi рiвно-
мiрно збiжнi в Q(k) до {U (µ)
0 } при m(j) → ∞, µ ∈ {0, 1, 2, 3}. Переходячи до границi при
m(j) → ∞ в задачi (6) – (9), одержуємо, що u(t, x) = U
(0)
0 — єдиний розв’язок задачi (1) – (4),
u ∈ C2+α(γ;β; 0;Q).
1. Зейтц Ф. Современная теория твердого тела. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — 736 с.
2. Базалий Б. В., Краснощек Н. В. Классическая разрешимость начально-краевой задачи для нелинейного сильно
вырождающегося параболического уравнения // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 10. — С. 1299 – 1320.
3. Бицадзе А. Б. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
4. Han Pigong. Asymptotic behavior of solutions to semilinear elliptic equations with Harby potential // Proc. Amer.
Math. Soc. — 2007. — 135, № 2. — P. 365 – 372.
5. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. — Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. — 176 с.
6. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi задачi з особливостями. — Чернiвцi: Прут, 2003. — 248 с.
7. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.
8. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulse differential equations. — Singapore: World Sci., 1995.
9. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects: multi-
valued right-hand sides with discontinuities. — Berlin: Walter de Gruyter Co., 2011.
10. Bainov D. D, Simeonov P. S. Systems with impulse effect stability, theory and applications. — New York etc.: Halsted
Press, 1989. — 345 p.
11. Perestyuk N. A., Tkach A. B. Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with impulse influense // Ukr.
Math. J. — 1997. — 49, № 4. — P. 601 – 605.
12. Bainov D. D., Minckev E., Myshkis A. Periodic boundary value problems for impulsive hyperbolic system // Commun.
Appl. Anal. — 1997. — 1, № 4. — P. 1 – 14.
13. Асанова А. Т. О нелокальной краевой задаче для систем гиперболического типа с импульсными воздействиями
// Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 3. — С. 315 – 328.
14. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi задачi у просторах Дiнi. — Чернiвцi: Рута, 2010. — 248 с.
15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968. — 427 с.
16. Пукальський I. Д. Крайовi задачi для нерiвномiрно параболiчних та елiптичних рiвнянь з виродженнями i
особливостями. — Чернiвцi: Рута, 2008. — 253 с.
Одержано 09.10.14,
пiсля доопрацювання — 22.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165868 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T10:32:24Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ісарюк, I.М. Пукальський, І.Д. 2020-02-16T20:37:01Z 2020-02-16T20:37:01Z 2015 Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь / I.М. Ісарюк, І.Д. Пукальський // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1348–1357. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165868 517.946 Рассмотрена вторая краевая задача для параболического уравнения со степенными особенностями в коэффициентах по пространственным переменным и импульсными условиями по временной переменной. С помощью принципа максимума и априорных оценок установлено существование и единственность решения поставленной задачи в гельдеровых пространствах со степенным весом. We consider the second boundary-value problem for a parabolic equation with power singularities in the coefficients of space variables and impulsive conditions in the time variable. By using the maximum principle and a priori estimates, we establish the existence and uniqueness of the solution of posed problem in Hölder spaces with power weights. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь Boundary-Value Problem with Impulsive Conditions and Degeneration for Parabolic Equations Article published earlier |
| spellingShingle | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь Ісарюк, I.М. Пукальський, І.Д. Статті |
| title | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| title_alt | Boundary-Value Problem with Impulsive Conditions and Degeneration for Parabolic Equations |
| title_full | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| title_fullStr | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| title_short | Крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| title_sort | крайова задача з імпульсними умовами і виродженням для параболічних рівнянь |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165868 |
| work_keys_str_mv | AT ísarûkim kraiovazadačazímpulʹsnimiumovamiívirodžennâmdlâparabolíčnihrívnânʹ AT pukalʹsʹkiiíd kraiovazadačazímpulʹsnimiumovamiívirodžennâmdlâparabolíčnihrívnânʹ AT ísarûkim boundaryvalueproblemwithimpulsiveconditionsanddegenerationforparabolicequations AT pukalʹsʹkiiíd boundaryvalueproblemwithimpulsiveconditionsanddegenerationforparabolicequations |