Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II

• Опубліковано в: : Український математичний журнал
• Дата: 2015
• Автор: Полулях, Е.А.
• Формат: Стаття
• Мова: Російська
• Опубліковано: Інститут математики НАН України 2015
• Теми: Статті
• Онлайн доступ: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165872
• Назва журналу: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Цитувати: Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. II / Е.А. Полулях // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 10. — С. 1398–1408. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Розглянуто неперервні функції на двовимірних поверхнях, які відповідають наступним умовам: множина їх локальних єкстрємумів дискретна; якщо точка не є локальним екстремумом, то існують її окіл i число nЄN такі, що функція в цьому околі топологічно спряжена до Re zn в околі нуля. Нехай для кожної f:M²→R є фактор-простором M² по розбиттю, що утворене компонентами множин рівня функції f. Відомо, що для компактного M2 простір ΓK−R(f) є топологічним графом. У першій частині статті визначено поняття графа з черенками, яке є узагальненням топологічного графа. Для некомпактного M² наведено три умови, при виконанні яких простір ΓK−R(f) є графом з черенками. У другій частині доведено, що у випадку M²=R² ці умови є також необхідними. У загальному випадку одна з умов не є необхідною. Наведено відповідний приклад. We consider continuous functions on two-dimensional surfaces satisfying the following conditions: they have a discrete set of local extrema and if a point is not a local extremum, then there exist its neighborhood and a number n ∈ ℕ such that the function restricted to this neighborhood is topologically conjugate to Re z n in a certain neighborhood of zero. Given f : M² → ℝ, let Γ K−R (f) be a quotient space of M² with respect to its partition formed by the components of level sets of the function f. It is known that the space Γ K−R (f) is a topological graph if M 2 is compact. In the first part of the paper, we introduced the notion of graph with stalks that generalizes the notion of topological graph. For noncompact M² , we present three conditions sufficient for Γ K−R (f) to be a graph with stalks. In the second part, we prove that these conditions are also necessary in the case M² = ℝ² . In the general case, one of our conditions is not necessary. We provide an appropriate example.