Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень

Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень

Встановлено теореми існування, необхідну і достатню умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2005
Main Author: Гудима, У.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2005
Series:Український математичний журнал
Subjects:
Статті
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165886
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У.В. Гудима // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 47 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165886
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1658862025-02-09T15:57:56Z Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень Best uniform approximation of a continuous compact-valued mapping by sets of continuous single-valued mappings Гудима, У.В. Статті Встановлено теореми існування, необхідну і достатню умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. We prove existence theorems and establish necessary and sufficient conditions and criteria for an extremal element for the problem of the best uniform approximation of a continuous compact-valued mapping by sets of continuous single-valued mappings. 2005 Article Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У.В. Гудима // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 47 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165886 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Гудима, У.В.
Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
Український математичний журнал
description Встановлено теореми існування, необхідну і достатню умови та критерії екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.
format Article
author Гудима, У.В.
author_facet Гудима, У.В.
author_sort Гудима, У.В.
title Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
title_short Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
title_full Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
title_fullStr Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
title_full_unstemmed Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
title_sort найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2005
topic_facet Статті
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165886
citation_txt Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У.В. Гудима // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 47 назв. — укр.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT gudimauv najkraŝarívnomírnaaproksimacíâneperervnogokompaktnoznačnogovídobražennâmnožinamineperervnihodnoznačnihvídobraženʹ
AT gudimauv bestuniformapproximationofacontinuouscompactvaluedmappingbysetsofcontinuoussinglevaluedmappings
first_indexed 2025-11-27T18:57:29Z
last_indexed 2025-11-27T18:57:29Z
_version_ 1849971030891692032
fulltext UDK 517.5 U. V. Hudyma (Kam’qnec\-Podil. un-t) NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO KOMPAKTNOZNAÇNOHO VIDOBRAÛENNQ MNOÛYNAMY NEPERERVNYX ODNOZNAÇNYX VIDOBRAÛEN| We prove theorems of the existence, the necessary and sufficient conditions and criteria of the extremal element for a problem of the best uniform approximation of continuous compact-valued map by sets of continuous single-valued maps. Vstanovleno teoremy isnuvannq, neobxidnu i dostatng umovy ta kryteri] ekstremal\noho ele- menta dlq zadaçi najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] neperervnoho kompaktnoznaçnoho vidobra- Ωennq mnoΩynamy neperervnyx odnoznaçnyx vidobraΩen\. 1. Postanovka zadaçi. Nexaj S — kompakt, X — normovanyj linijnyj nad po- lem kompleksnyx (dijsnyx) çysel prostir, C ( S, X ) — normovanyj linijnyj nad polem dijsnyx çysel prostir odnoznaçnyx vidobraΩen\ g kompaktu S v X, ne- perervnyx na S, z normog g = max ( ) s S g s ∈ , K ( X ) — sukupnist\ neporoΩnix kompaktiv prostoru X, C ( S, K ( X )) — mnoΩyna neperervnyx na S bahatoznaç- nyx vidobraΩen\ S v K ( X ) , V ⊂ C ( S, X ) . Zadaçeg najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] vidobraΩennq a ∈ C ( S, K ( X )) mnoΩynog V neperervnyx odnoznaçnyx vidobraΩen\ budemo nazyvaty zadaçu vidßukannq velyçyny αa V∗ ( ) = inf sup sup ( ) ( )g V s S y a s g s y ∈ ∈ ∈ − . (1.1) Qkwo isnu[ vidobraΩennq g* ∈ V take, wo αa V∗ ( ) = sup sup ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , to joho budemo nazyvaty ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.1). Qk vidomo, teoriq aproksymaci] ma[ svo]m poçatkom zadaçu P. L. Çebyßova pro rivnomirne (çebyßovs\ke) nablyΩennq neperervno] na vidrizku dijsnoznaç- no] funkci] mnoΩynog alhebra]çnyx mnohoçleniv stepenq, wo ne perevywu[ n. Pizniße rozhlqdalas\ nyzka j inßyx postanovok zadaç pro najkrawe nably- Ωennq funkci], odni[g z qkyx [ zadaça pro rivnomirne nablyΩennq neperervno] na kompakti S dijsnoznaçno] (kompleksnoznaçno]) funkci] a mnoΩynog V in- ßyx neperervnyx na c\omu kompakti funkcij, tobto zadaça vidßukannq velyçy- ny inf max ( ) ( ) g V s S g s a s ∈ ∈ − . (1.2) Z rozvytkom teori] normovanyx linijnyx prostoriv stalo zrozumilym, wo ßyro- ke kolo zadaç najkrawoho nablyΩennq dopuska[ zahal\nu postanovku, qkwo qk miru vidxylennq rozhlqdaty normu prostoru, wo dalo moΩlyvist\ vykorystovu- vaty dlq rozv’qzannq cyx zadaç ide] ta metody funkcional\noho analizu. Vna- slidok c\oho bulo sformul\ovano zadaçu najkrawoho nablyΩennq elementa a normovanoho linijnoho prostoru X mnoΩynog V X⊂ , tobto zadaçu vidßukan- nq velyçyny inf g V g a ∈ − . (1.3) Zadaça vidßukannq velyçyny (1.3) doslidΩuvalas\ bahat\ma avtoramy. Osnovni rezul\taty cyx doslidΩen\ pidsumovano u monohrafiqx N.9I. Axi[zera [1], © U. V. HUDYMA, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1601 1602 U. V. HUDYMA V.9K.9Dzqdyka [2], M. P. Korn[jçuka [3], P.-Û. Lorana [4], O. I. Stepancq [5, 6], V.9M. Tyxomyrova [7] ta in. VaΩlyvi rezul\taty doslidΩennq zadaç vidßukannq velyçyn (1.2), (1.3) bulo uzahal\neno na vypadok zadaçi vidßukannq velyçyny inf max ( ) ( ) g V s S g s a s ∈ ∈ − , (1.4) de S, X , C ( S, X ) , V oznaçagt\sq, qk i pry postanovci zadaçi (1.1), a a ∈ ∈ C ( S, X ) . Zadaça najkrawoho rivnomirnoho polinomial\noho nablyΩennq abstraktno] funkci] a ∈ C ( S, X ) uperße rozhlqdalas\ S. I. Zuxovyc\kym ta M. H. Krejnom u roboti [8], de vyvçalys\ funkci] zi znaçennqmy v skinçennovymirnomu kompleks- nomu evklidovomu prostori. Pytannqm isnuvannq, [dynosti, xarakteryzaci], pobudovy çysel\nyx metodiv vidßukannq ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.4) pry riznyx prypuwen- nqx wodo S, X ta V prysvqçeno velyku kil\kist\ robit (dyv., napryklad, [8 – 19]). VaΩlyvyj klas zadaç teori] nablyΩennq utvorggt\ zadaçi najkrawoho od- noçasnoho nablyΩennq kil\kox abo neskinçenno] kil\kosti elementiv. Do zadaç odnoçasnoho nablyΩennq kil\kox elementiv moΩna vidnesty zadaçu Ítejnera, zadaçu vidßukannq çebyßovs\koho centra systemy kil\kox toçok, zadaçu od- noçasnoho nablyΩennq funkci] ta ]] poxidno], osnovni rezul\taty doslidΩennq qko] otrymani O. I. Stepancem, ta in. VaΩlyvym vypadkom zadaçi najkrawoho odnoçasnoho nablyΩennq neskinçen- no] kil\kosti elementiv [ zadaça pro çebyßovs\kyj centr kompaktu K normova- noho linijnoho nad polem kompleksnyx (dijsnyx) çysel prostoru X vidnosno mnoΩyny V c\oho prostoru, tobto zadaça vidßukannq velyçyny inf max g V y K g y ∈ ∈ − . (1.5) Pytannqm isnuvannq, [dynosti, stijkosti, xarakteryzaci], naleΩnosti çeby- ßovs\koho centra mnoΩyny opuklij obolonci ci[] mnoΩyny prysvqçeno nyzku prac\ (dyv., napryklad, [20 – 27]). Sered zadaç najkrawoho odnoçasnoho nablyΩennq neskinçenno] kil\kosti elementiv slid vydilyty takoΩ zadaçu najkrawo] odnoçasno] rivnomirno] aprok- symaci] sim’] ϕ j j I, ∈ , neperervnyx na kompakti S dijsnoznaçnyx funkcij, takyx, wo Φ1( ) min ( )s s j I j= ∈ ϕ , Φ2( ) max ( )s s j I j= ∈ ϕ , s ∈ S, takoΩ [ neperervnymy na S funkciqmy, mnoΩynog V C S⊂ ( ), qka polqha[ u vidßukanni velyçyny inf max max ( ) ( ) g V j I s S jg s s ∈ ∈ ∈ − ϕ . (1.6) Zadaça vidßukannq velyçyny (1.6) rozhlqdalas\, zokrema, u pracqx [28 – 32]. U vypadku, koly funkciq, wo aproksymu[t\sq, ne oznaçena toçno, ale vido- mo, wo dlq koΩnoho s kompaktu S ]] znaçennq naleΩat\ deqkij kompaktnij mnoΩyni a s R( ) ⊂ , pryçomu mnoΩyny a s( ) zminggt\sq neperervno po s na S, dlq najkrawoho rivnomirnoho vidtvorennq tako] funkci] funkciqmy mnoΩyny V C S⊂ ( ) pryrodno postavyty zadaçu vidßukannq velyçyny inf max max ( ) ( )g V s S y a s g s y ∈ ∈ ∈ − . (1.7) Zrozumilo, wo zadaçi vidßukannq velyçyn (1.2) – (1.7) vkladagt\sq u sxemu po- stanovky zadaçi najkrawo] rivnomirno] aproksymaci] neperervnoho kompaktno- znaçnoho vidobraΩennq mnoΩynamy neperervnyx odnoznaçnyx vidobraΩen\, tob- to [ çastkovymy vypadkamy zadaçi vidßukannq velyçyny (1.1). Slid zaznaçyty, wo pytannq aproksymaci] bahatoznaçnyx vidobraΩen\ u riz- nyx aspektax rozhlqdalys\ u bahat\ox pracqx (dyv., napryklad, [33 – 40]). Bil\- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1603 ßist\ cyx prac\ prysvqçeno pytannqm isnuvannq tak zvanyx odnoznaçnyx ta prostißyx bahatoznaçnyx neperervnyx ε -aproksymacij bahatoznaçnyx vidobra- Ωen\. Lyße v okremyx robotax rozhlqdagt\sq pytannq najkrawo] aproksyma- ci] bahatoznaçnyx vidobraΩen\. Zokrema, u praci [33] doslidΩuvalas\ zadaça najkrawoho nablyΩennq sehmentnyx funkcij vidnosno xausdorfovo] metryky. U praci [35] rozhlqnuto pytannq pro isnuvannq u mnoΩyni bahatoznaçnyx poli- nomiv fiksovanoho porqdku najkrawoho rivnomirnoho nablyΩennq neperervnoho bahatoznaçnoho vidobraΩennq sehmenta [ 0, 1 ] u mnoΩynu K Rlυ( ) neperervnyx opuklyx kompaktiv prostoru Rl . U praci [36] vstanovleno teoremy isnuvannq ta xarakteryzaci] najkrawoho rivnomirnoho nablyΩennq bahatoznaçnoho nepe- rervnoho vidobraΩennq kompaktu U prostoru Rm v K Rlυ( ) stalymy vidobra- Ωennqmy kompaktu U v K Rlυ( ). U praci [38] vstanovleno teoremy isnuvannq, [dynosti ta xarakteryzaci] ekstremal\noho elementa dlq zadaçi vidßukannq ve- lyçyny (1.7) u vypadku, koly S [ vidrizkom [ 0, 1 ] , V — mnoΩyna polinomiv n- ho stepenq, a a t g t g t( ) ( ), ( )[ ]= 1 2 , t ∈ [ 0, 1 ] , de g1 ( t ) i g2 ( t ) — neperervni na [ 0, 1 ] funkci], dlq qkyx g1 ( t ) ≤ g2 ( t ) pry t ∈ [ 0, 1 ] . U danij statti dovedeno deqki teoremy isnuvannq ta [dynosti ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.1); vstanovleno neobxidnu i dostatng umovy ta kry- terij ekstremal\noho elementa g∗ dlq velyçyny (1.1), qkyj [ uzahal\nennqm vidomoho klasyçnoho kryterig Kolmohorova mnohoçlena, wo najmenße vidxy- lq[t\sq vid zadano] funkci] [41], na vypadok zadaçi najkrawo] rivnomirno] ap- roksymaci] neperervnoho kompaktnoznaçnoho vidobraΩennq tak zvanog Γ∗-mno- Ωynog vidnosno g∗; rozhlqnuto konkretyzaci] c\oho kryterig na vypadok zir- kovo] vidnosno g∗, v tomu çysli opuklo], mnoΩyny, a takoΩ na vypadok zadaçi vidßukannq velyçyny (1.5), qki stanovlqt\ samostijnyj interes. Zrozumilo, wo zadaçu vidßukannq velyçyny (1.1) moΩna zapysaty v ekviva- lentnij formi αa V∗ ( ) = inf max max ( ) ( )g V s S y a s g s y ∈ ∈ ∈ − . (1.8) Ce vyplyva[ z neperervnosti funkci] F yz( ) = z y− , z ∈ X, po y na X, kom- paktnoznaçnosti vidobraΩennq a ta vlastyvostej neperervno] na kompakti dij- snoznaçno] funkci] (dyv., napryklad, [42, c. 28]) ta nastupnoho tverdΩennq. TverdΩennq01.1. Dlq bud\-qkoho g ∈ C ( S, X ) funkciq Φa g s( ) = max ( ) ( )y a s g s y ∈ − , s ∈ S, [ neperervnog po s na S. Dovedennq. Nexaj s0 ∈ S i ε > 0. Oskil\ky vidobraΩennq a ∈ C ( S, K ( X )) , to vono napivneperervne v toçci s0 i zverxu, i znyzu (dyv., napryklad, [43, c. 96]). Zvidsy ta z neperervnosti odnoznaçnoho vidobraΩennq g robymo vysnovok, wo dlq okolu Uε / ( )2 0 nulq prostoru X radiusa ε / 2 isnu[ okil V s( )0 toçky s0 kompaktu S takyj, wo a ( s ) ⊂ a s U( ) ( )/0 2 0+ ε , a ( s0 ) ⊂ a s U( ) ( )/+ ε 2 0 , g s g s( ) ( )− 0 < ε / 2 dlq vsix s ∈ V ( s0 ) . Nexaj s ∈ V ( s0 ) ta element ys ∈ a ( s ) takyj, wo Φa g s( ) = max ( ) ( )y a s g s y ∈ − = g s ys( ) − . Na pidstavi spivvidnoßennq a s a s U( ) ( ) ( )/⊂ +0 2 0ε isnugt\ y a ss s 0 0∈ ( ) ta ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1604 U. V. HUDYMA z Us ∈ ε / ( )2 0 taki, wo y y zs s s s= + 0 Z uraxuvannqm c\oho dlq vsix s V s∈ ( )0 oderΩymo Φ Φa g a gs s( ) ( )− 0 = g s y g s ys y a s ( ) max ( ) ( ) − − − ∈ 0 0 ≤ ≤ g s y g s ys s s( ) ( )− − −0 0 ≤ g s g s zs( ) ( )− +0 < ε ε 2 2 + = ε . (1.9) Nexaj element y a ss0 0∈ ( ) takyj, wo Φa g s( )0 = max ( ) ( )y a s g s y ∈ − 0 0 = g s ys( )0 0 − . Dlq s ∈ V ( s0 ) vnaslidok spivvidnoßennq a ( s0 ) ⊂ a s U( ) ( )/+ ε 2 0 isnugt\ y a ss s0 ∈ ( ) ta z Us ∈ ε / ( )2 0 taki, wo y y zs s s s0 0= + . Tomu dlq vsix s ∈ V ( s0 ) Φ Φa g a gs s( ) ( )0 − = g s y g s ys y a s ( ) max ( ) ( )0 0 − − − ∈ ≤ ≤ g s y g s ys s s( ) ( )0 0 0− − − ≤ g s g s zs( ) ( )0 − + < ε ε 2 2 + = ε . (1.10) Iz spivvidnoßen\ (1.9), (1.10) vyplyva[, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ okil V ( s0 ) toçky s0 kompaktu S takyj, wo dlq vsix s ∈ V ( s0 ) Φ Φa g a gs s( ) ( )− 0 < ε . Ce oznaça[, wo funkciq Φa g s( ) [ neperervnog v bud\-qkij toçci s0 ∈ S. TverdΩennq dovedeno. 2. Deqki teoremy isnuvannq ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8). Z uraxuvannqm podannq zadaçi vidßukannq velyçyny (1.1) u vyhlqdi (1.8) oznaçennq ekstremal\noho elementa dlq ci[] velyçyny moΩna sformulgvaty takym çynom: Qkwo isnu[ vidobraΩennq g* ∈ V take, wo αa V∗ ( ) = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , to budemo nazyvaty joho ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8). TverdΩennq02.1. Funkciq Φa g( ) = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ − , g ∈ C ( S, X ) , [ neperervnog po g na C ( S, X ) . Dovedennq. Nexaj g, g0 ∈ C ( S, X ) , sg ∈ S i Φa g( ) = max ( ) ( )y a s g g g s y ∈ − . Todi Φ Φa ag g( ) ( )− 0 = max ( ) max max ( ) ( ) ( )y a s g s S y a sg g s y g s y ∈ ∈ ∈ − − −0 ≤ ≤ max ( ) max ( ) ( ) ( )y a s g y a s g g g g s y g s y ∈ ∈ − − −0 ≤ ≤ max ( ) ( ) ( )y a s g g g g s y g s y ∈ − − −( )0 ≤ ≤ g s g sg g( ) ( )− 0 ≤ max ( ) s S g g s ∈ −( )0 = g g− 0 . (2.1) Analohiçno dovodyt\sq, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1605 Φ Φa ag g( ) ( )0 − ≤ g g− 0 . (2.2) Na pidstavi nerivnostej (2.1) i (2.2) moΩna zrobyty vysnovok, wo Φ Φa ag g( ) ( )− 0 ≤ g g− 0 . Z ci[] nerivnosti j vyplyva[ neperervnist\ funkci] Φa g( ) v koΩnij toçci g09∈ ∈ C ( S, X ) . TverdΩennq dovedeno. Teorema02.1. Qkwo V — zamknena lokal\no kompaktna mnoΩyna prostoru C ( S, X ) , to ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.8) isnu[. Dovedennq. Nexaj { }gm m= ∞ 1 — ekstremal\na poslidovnist\ dlq velyçyny (1.8), tobto gm ∈ V , m = 1, 2, … , i lim ( ) m a mg →∞ Φ = lim max max ( ) ( )m s S y a s mg s y →∞ ∈ ∈ − = αa V∗ ( ). (2.3) Dlq vsix m = 1, 2, … , s ∈ S ma[mo g sm( ) ≤ max ( ) max ( ) ( )y a s m y a s g s y y ∈ ∈ − + ≤ ≤ max max ( ) max max ( ) ( )s S y a s m s S y a s g s y y ∈ ∈ ∈ ∈ − + = = Φa m s S y a s g y( ) max max ( ) + ∈ ∈ . Tomu dlq vsix m = 1, 2, … gm = max ( ) s S mg s ∈ ≤ Φa m s S y a s g y( ) max max ( ) + ∈ ∈ . Zvidsy z ohlqdu na (2.3) robymo vysnovok, wo { }gm m= ∞ 1 [ obmeΩenog poslidovnis- tg elementiv mnoΩyny V. Vnaslidok lokal\no] kompaktnosti ta zamknenosti mnoΩyny V z { }gm m= ∞ 1 moΩna vybraty zbiΩnu do g V∗ ∈ pidposlidovnist\ { }gm kk = ∞ 1 (dyv., napryklad, [3, c. 21]). Beruçy do uvahy neperervnist\ funkci] Φa g( ) ta rivnist\ (2.3), otrymu[mo lim ( ) k a mg k∈∞ Φ = Φa g( )∗ = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − = αa V∗ ( ). Ce oznaça[, wo g∗ [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8). Teoremu dovedeno. Naslidok02.1. Bud\-qka kompaktna mnoΩyna V prostoru C ( S, X ) [ mno- Ωynog isnuvannq ekstremal\noho elementa dlq zadaçi vidßukannq velyçyny (1.8). Naslidok02.2. Bud\-qkyj skinçennovymirnyj pidprostir V prostoru C ( S, X ) [ mnoΩynog isnuvannq ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8). Spravedlyvist\ naslidku vyplyva[ z teoremy92.1, oskil\ky skinçennovymir- nyj pidprostir normovanoho prostoru [ lokal\no kompaktnog ta zamknenog mnoΩynog (dyv., napryklad, [3, c. 21]). Rozhlqnemo çastkovyj vypadok zadaçi vidßukannq velyçyny (1.8), koly S [ odnoelementnog mnoΩynog, a same, zadaçu vidßukannq velyçyny (1.5). Qk za- znaçalos\ vywe, v c\omu vypadku zadaça (1.8) [ zadaçeg vidßukannq çebyßov- s\oho centra kompaktu K u mnoΩyni V . U c\omu vypadku element g∗ mnoΩyny V [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.5), qkwo max y K g y ∈ ∗ − = inf max g V y K g y ∈ ∈ − . Zrozumilo, wo z teoremy92.1 vyplyva[, wo koly V [ lokal\no kompaktnog ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1606 U. V. HUDYMA zamknenog mnoΩynog prostoru X, v tomu çysli i skinçennovymirnym pidpros- torom prostoru X, to ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.5) isnu[. Teorema02.2. Qkwo X — banaxiv prostir, v qkomu dlq dovil\nyx x, y ma[ misce „nerivnist\ paralelohrama” vyhlqdu 2 22 2 2x y x y+ − + ≥ c x y− 2 , c > 0, (2.4) i V — zamknena opukla mnoΩyna c\oho prostoru, to ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.5) isnu[, pryçomu [dynyj. Dovedennq. Zhidno z oznaçennqm infimumu dlq bud\-qkoho natural\noho n isnu[ gn ∈ V take, wo α∗( )V ≤ max y K ng y ∈ − < α∗ +( )V n 1 . (2.5) Perekona[mosq, wo { }gn n= ∞ 1 [ fundamental\nog poslidovnistg. Oskil\ky g g Vn m, ∈ dlq vsix natural\nyx n i m , a V [ opuklog mnoΩynog prostoru X, to ( )/g g Vn m+ ∈2 . Nexaj max y K n mg g y ∈ + − 2 = g g yn m n m + − 2 ( , ) , de y Kn m( , ) ∈ . Vykorysta[mo dali „nerivnist\ paralelohrama” (2.4), poklavßy v nij x = = g yn n m− ( , ) , y = g ym n m− ( , ) . Zhidno z ci[g nerivnistg 2 2 2 2 2 2 g y g y g g yn n m m n m n m n m− + − − + −( , ) ( , ) ( , ) ≥ c g gn m− 2 . (2.6) Oskil\ky ( )/g g Vn m+ ∈2 , to g g yn m n m+ − 2 2 ( , ) = 4 2 2g g yn m n m + − ( , ) = = 4 2 2 max y K n mg g y ∈ + −    ≥ 4 2( )( )α∗ V . Zvidsy ta z nerivnostej (2.5), (2.6) vyplyva[ c g gn m− 2 ≤ 2 2 4 2 2 2g y g y Vn n m m n m− + − − ∗ ( , ) ( , ) ( )( )α ≤ ≤ 2 1 2 1 4 2 2 2α α α∗ ∗ ∗+    + +    −( ) ( ) ( )( )V n V m V = = 4 1 1 2 2 2 2( )( )α∗ +    + +V n m n m . Tomu g gn m− ≤ 4 1 1 2 2 2 2 1 2 α∗ +    + +     ( ) / V c n m cn cm . Vraxovugçy, wo prava çastyna ostann\o] nerivnosti prqmu[ do nulq pry n → → ∞ , m → ∞ , robymo vysnovok, wo lim ,n m n mg g →∞ →∞ − = 0. Ce oznaça[, wo { }gn n= ∞ 1 [ fundamental\nog poslidovnistg. Vnaslidok povnoty prostoru X i zamknenosti V vona zbiha[t\sq do deqkoho g V∗ ∈ . Na pidstavi neperervnosti po g funkci] max y K g y ∈ − (dyv. tverdΩennq92.1) zvidsy ta z nerivnosti (2.5) oder- Ωu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1607 lim max n y K ng y →∞ ∈ − = max y K g y ∈ ∗ − = α∗( )V . OtΩe, g∗ [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.5). Perekona[mos\ u [dynosti c\oho elementa. Nexaj dlq deqkoho g V∈ takoΩ ma[ misce rivnist\ max y K g y ∈ − = α∗( )V . (2.7) Poznaçymo çerez y∗ element kompaktu K, dlq qkoho max y K g g y ∈ ∗ + − 2 = g g y ∗ ∗+ − 2 . Oskil\ky ( )/g g V∗ + ∈2 , to g g y ∗ ∗+ − 2 ≥ α∗( )V . (2.8) Poklavßy v nerivnosti (2.4) x g y= −∗ ∗ , y g y= − ∗, otryma[mo 2 2 2 2 2 2 g y g y g g y∗ ∗ ∗ ∗ ∗− + − − + − ≥ c g g∗ − 2 . Zvidsy, vykorystavßy (2.7), (2.8), oderΩymo g g∗ − ≤ 1 2 2 4 2 2 2 2 1 2 c g y g y g g y y K y K max max / ∈ ∗ ∈ ∗ ∗−    + −    − + −             ≤ ≤ 1 4 42 2 1 2 c V V( ) ( )( ) ( ) / α α∗ ∗−( )    = 0. OtΩe, g g∗ − = 0. Tomu g g= ∗ . Teoremu dovedeno. Naslidok02.3. Qkwo X — hil\bertiv prostir, a V — zamknena opukla mnoΩyna c\oho prostoru, to ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.5) isnu[, pryçomu [dynyj. Spravedlyvist\ c\oho naslidku vyplyva[ z toho, wo hil\bertiv prostir [ pov- nym i v n\omu vykonu[t\sq rivnist\ paralelohrama: dlq bud\-qkyx x, y ∈ X 2 22 2 2x y x y+ − + = x y− 2 (dyv., napryklad, [44, c. 64]). Naslidok02.4. Qkwo X = lp , 1 < p ≤ 2, i V — zamknena opukla mnoΩyna prostoru X, to ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.5) isnu[, pryçomu [dynyj. Spravedlyvist\ naslidku vyplyva[ z toho, wo lp , 1 < p ≤ 2, [ povnym pro- storom (dyv., napryklad, [45, c. 78]) i v n\omu ma[ misce „nerivnist\ paralelo- hrama” [46]: dlq bud\-qkyx x, y ∈ lp , 1 < p ≤ 2, 2 22 2 2x y x y+ − + ≥ ( )p x y− −1 2. 3. Neobxidni i dostatni umovy ta kryterij ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8). Poznaçymo çerez X∗ prostir, sprqΩenyj z X, çerez B∗ zamk- nenu odynyçnu kulg prostoru X B f f X f∗ ∗ ∗= ∈ ≤{ }: : , 1 , a çerez E B( )∗ mnoΩynu krajnix toçok B∗ . Pry c\omu f B∈ ∗ nazyva[t\sq krajn\og toçkog ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1608 U. V. HUDYMA B∗ , qkwo iz spivvidnoßen\ f f B1 2, ∈ ∗, f f f= + −α α1 21( ) , 0 < α < 1, vyply- va[ f f1 2= (dyv., napryklad, [44, c. 497]). Zhidno z teoremog Krejna – Mil\mana (dyv., napryklad, [44, c. 497]) E B( )∗ ≠ ∅ . TverdΩennq03.1. Dlq bud\-qkoho elementa z ∈ X mnoΩyna B f fz ∗ = ∈{ : ∈ ∗B , 9 f z z( ) = } [ opuklog slabko* kompaktnog pidmnoΩynog B∗ ta isnu[ funkcional f E Bz ∈ ∗( ) takyj, wo f zz( ) = z . Dovedennq. Qk vidomo (dyv., napryklad, [44, c. 156]), isnu[ element f B∈ ∗ takyj, wo f z z( ) = . Tomu Bz ∗ ≠ ∅. Opuklist\ mnoΩyny Bz ∗ [ oçevydnog. Nexaj f — hranyçna toçka Bz ∗ v rozuminni slabko] * topolohi] prostoru X *. Todi okoly f vyhlqdu O fε( ) = f f X f z f z: , ( ) ( )∈ − <{ }∗ ε , de ε — dovil\ne dodatne çyslo, mistqt\ elementy fε iz Bz ∗ . Dlq cyx elementiv ma[mo f z f zε ( ) ( )− = z f z− ( ) < ε . Vnaslidok dovil\nosti ε zvidsy oderΩu[mo f z z( ) = . Oskil\ky f — hranyçna toçka dlq mnoΩyny Bz ∗ , wo vklgça[t\sq u B∗ , to f [ hranyçnog toçkog dlq B∗ . Vnaslidok slabko] * kompaktnosti B∗ (dyv., napryklad, [23, c. 35]) f B∈ ∗. Todi f Bz∈ ∗. OtΩe, Bz ∗ [ slabko * zamknenog pidmnoΩynog slabko * kompaktno] mnoΩyny B∗ . Tomu Bz ∗ [ slabko * kompaktnog pidmnoΩynog B∗ . Vraxuvavßy opuklist\ Bz ∗ , zvidsy moΩna zrobyty vysnovok, wo Bz ∗ ma[ prynajmni odnu krajng toçku (dyv., napryklad, [44, c. 497]). Nexaj dali f = α αf f1 21+ −( ) , de f Bz∈ ∗, f1, f B2 ∈ ∗ , α ∈ ( 0, 1 ) . Todi f ( z ) = z = α αf z f z1 21( ) ( ) ( )+ − ≤ α αz z+ −( )1 = z . Oskil\ky α ∈ ( 0, 1 ) , to zvidsy oderΩu[mo f z z1( ) = i f z z2( ) = . Tomu f Bz1 ∈ ∗, f Bz2 ∈ ∗ . Ce oznaça[, wo Bz ∗ [ krajn\og pidmnoΩynog B∗ . Oskil\ky koΩna krajnq toçka krajn\o] pidmnoΩyny [ krajn\og toçkog samo] mnoΩyny (dyv., napryklad, [4, c. 401]) i mnoΩyna krajnix toçok Bz ∗ neporoΩnq, to isnu[ f E Bz ∈ ∗( ) takyj, wo f z zz( ) = . TverdΩennq dovedeno. U podal\ßomu budemo prypuskaty, wo obmeΩennq y ∈ V v zadaçi vidßukan- nq velyçyny (1.8) [ sutt[vym, tobto αa ∗ < αa V∗ ( ), (3.1) de αa ∗ = inf max max ( ) ( , ) ( )g C S X s S y a s g s y ∈ ∈ ∈ − . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1609 Dlq a ∈ C ( S, K ( X )) ta g V∗ ∈ poklademo αa g∗ = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , Ca g∗ = g g C S X g s y s S y a s a g: ( , ), max max ( ) ( ) ∈ − < ∈ ∈ ∗ α , S a g∗ = s s S g s y y a s a g: , max ( ) ( ) ∈ − = ∈ ∗ ∗ α , as g∗ = y y a s g s y g s y y a s : ( ), ( ) max ( ) ( ) ∈ − = −  ∗ ∈ ∗ , s Sa g∈ ∗ , B g s ya ∗ ∗( , , ) = f f B f g s y g s y: , ( ( ) ) ( )∈ − = −{ }∗ ∗ ∗ , s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , E B g s ya( ( , , ))∗ ∗ = f f E B f g s y g s y: ( ), ( ( ) ) ( )∈ − = −{ }∗ ∗ ∗ , s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ . Krim toho, zhidno z [4, c. 12, 13] çerez Γ ( ),C ga g∗ ∗ poznaçymo konus vnutrißnix naprqmkiv dlq Ca g∗ iz g∗, a çerez Γ∗ ∗( ),V g — konus hranyçnyx naprqmkiv dlq V iz g∗. Pry c\omu g C ga g∈ ∗ ∗Γ ( ), , qkwo isnugt\ okil O g( ) toçky g ta dijsne çyslo ε > 0 taki, wo g th Ca g∗ + ∈ ∗ dlq vsix h O g∈ ( ) i vsix t ∈( , )0 ε , a g V g∈ ∗ ∗Γ ( ), , qkwo dlq dovil\noho okolu O g( ) toçky g ta dijsnoho çysla ε > 0 isnugt\ taki h O g∈ ( ) ta t ∈( , )0 ε , wo g th V∗ + ∈ . Z umovy (3.1) vyplyva[, wo Ca g∗ ≠ ∅. Spivvidnoßennq Sa g∗ ≠ ∅, as g∗ ≠ ∅ , s Sa g∈ ∗ , B g s ya ∗ ∗ ≠ ∅( , , ) , E B g s ya( )( , , )∗ ∗ ≠ ∅, s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , magt\ misce na pidstavi tverdΩennq91.1, neperervnosti funkci] F y z yz( ) = − , z ∈ X, na X i tverdΩennq93.1 vidpovidno. TverdΩennq03.2. Funkciq Φa s S y a s g g s y( ) max max ( ) ( ) = − ∈ ∈ , g ∈ C ( S, X ) , [ opuklog po g na C ( S, X ) . TverdΩennq03.3. Nexaj g V∗ ∈ . Funkci] ϕ αs a y a s a gg g s y( ) max ( ) ( ) = − − ∈ ∗ , s ∈ ∈ S, [ opuklymy ta neperervnymy na C ( S, X ) . TverdΩennq03.4. Nexaj g V∗ ∈ , ϕ αs a y a s a gg g s y( ) max ( ) ( ) = − − ∈ ∗ , s 9∈ S. Vid- obraΩennq T g s gs a( , ) ( )= ϕ , ( g, s ) ∈ C ( S, X ) × S , [ neperervnym po ( g, s ) n a C ( S, X ) × S . Dovedennq. Zafiksu[mo ( g0, s0 ) ∈ C ( S, X ) × S i ε > 0. Oskil\ky a ∈ C ( S, K ( X )) , g0 ∈ C ( S, X ) , to dlq okolu Uε / ( )3 0 nulq prostoru X radiusa ε / 3 is- nu[ okil V s( )0 toçky s0 kompaktu S takyj, wo a ( s ) ⊂ a s U( ) ( )/0 3 0+ ε , a ( s0 ) ⊂ a s U( ) ( )/+ ε 3 0 , g s g s0 0 0( ) ( )− < ε 3 dlq vsix s V s∈ ( )0 . Nexaj, krim toho, A g( )0 = g g C S X g g: ( , ),∈ − <{ }0 3 ε — okil toçky g0 prostoru C ( S, X ) radiusa ε / 3. Dlq ( , ) ( ) ( )g s A g V s∈ ×0 0 po- klademo max ( ) ( )y a s g s y ∈ − = g s y gs( ) ( )− , de y g a ss( ) ( )∈ . Vnaslidok spivvidno- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1610 U. V. HUDYMA ßennq a ( s ) ⊂ a s U( ) ( )/0 3 0+ ε isnugt\ y g a ss s 0 0( ) ( )∈ , z g Us( ) ( )/∈ ε 3 0 taki, wo y g y g z gs s s s( ) ( ) ( )= + 0 . Z uraxuvannqm c\oho oderΩu[mo ϕ ϕs a s ag g( ) ( )− 0 0 = max ( ) max ( ) ( ) ( )y a s y a s g s y g s y ∈ ∈ − − − 0 0 0 = = g s y g g s ys y a s ( ) ( ) max ( ) ( ) − − − ∈ 0 0 0 ≤ g s y g g s y gs s s( ) ( ) ( ) ( )− − −0 0 0 ≤ ≤ g s g s z gs( ) ( ) ( )− +0 0 ≤ g s g s g s g s z gs( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − +0 0 0 0 < < g g− + +0 3 3 ε ε < ε ε ε 3 3 3 + + = ε . OtΩe, dlq vsix ( , ) ( ) ( )g s A g V s∈ ×0 0 ϕ ϕs a s ag g( ) ( )− 0 0 < ε . (3.2) Nexaj dali max ( ) ( )y a s g s y ∈ − 0 0 0 = g s y gs0 0 00 ( ) ( )− , de y g a ss0 0 0( ) ( )∈ . Os- kil\ky dlq s V s∈ ( )0 a ( s0 ) ⊂ a s U( ) ( )/+ ε 3 0 , to dlq koΩnoho s V s∈ ( )0 isnu- gt\ y g a ss s0 0( ) ( )∈ ta z g Us( ) ( )/0 3 0∈ ε taki, wo y g y g z gs s s s0 0 0 0 0( ) ( ) ( )= + . Todi dlq vsix ( , ) ( ) ( )g s A g V s∈ ×0 0 ϕ ϕs a s ag g 0 0( ) ( )− = max ( ) max ( ) ( ) ( )y a s y a s g s y g s y ∈ ∈ − − − 0 0 0 ≤ ≤ g s y g g s y gs s s 0 0 0 00 0( ) ( ) ( ) ( )− − − ≤ g s g s z gs0 0 0( ) ( ) ( )− + ≤ ≤ g s g s g s g s z gs0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + < ε ε 3 30+ − +g g < < ε ε ε 3 3 3 + + = ε . OtΩe, dlq vsix ( , ) ( ) ( )g s A g V s∈ ×0 0 ϕ ϕs a s ag g 0 0( ) ( )− < ε . (3.3) Z uraxuvannqm (3.2) ta (3.3) robymo vysnovok, wo dlq vsix ( , ) ( ) ( )g s A g V s∈ ×0 0 spravdΩu[t\sq nerivnist\ T g s T g s( , ) ( , )− 0 0 = ϕ ϕs a s ag g( ) ( )− 0 0 < ε . Ce j oznaça[ neperervnist\ vidobraΩennq T g s( , ) na C ( S, X ) × S . TverdΩennq dovedeno. Analohiçno dovodqt\sq nastupni tverdΩennq. TverdΩennq03.5. Nexaj g* ∈ V, s ∈ S. VidobraΩennq ( g, y ) ∈ C ( S, X ) × a ( s ) → g s y a g( ) − − ∗ α [ neperervnym na C ( S, X ) × a ( s ) . TverdΩennq03.6. Nexaj g* ∈ V, s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ . VidobraΩennq ( g, f ) ∈ C ( S, X ) × B * → Re ( ( ) )f g s y a g− − ∗ α [ neperervnym na C ( S, X ) × B *, qkwo na C ( S, X ) rozhlqdaty syl\nu, a na B * — slabku * topolohi]. TverdΩennq03.7. Nexaj f X∈ ∗, s ∈ S, g * ∈ C ( S, X ) , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1611 β = Re ( )( )f g s∗ , g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }β ≠ ∅, D = g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ ≤{ }β . Todi Γ ( ),D g∗ = g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }0 . Dovedennq. Perekona[mosq, wo Int D = g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }β , (3.4) de Int D — vnutrißnist\ mnoΩyny D. Spravdi, nexaj g D0 ∈ Int . Todi isnu[ δ > 0 take, wo Re ( ( ))f g s ≤ β dlq vsix g O g g g C S X g g∈ = ∈ − <{ }( , ) : ( , ),0 0δ δ , v tomu çysli Re ( ( ))f g s0 ≤ β. Qkwo prypustyty, wo Re ( ( ))f g s0 = β , to dlq g C S X∈ ( , ) takoho, wo Re ( ( ))f g s < β , ta dostatn\o malyx dodatnyx çysel t ma[mo g t g g O g0 0 0+ − ∈( ) ( , )δ i Re ( ) ( )f g t g g s0 0+ −( )( ) = Re ( ( )) (Re ( ( ))f g s t f g s0 0+ – – Re ( ( )))f g s = β β+ −t f g s( Re ( ( ))) > β , wo supereçyt\ vklgçenng O g( , )0 δ ⊂ D. OderΩana supereçnist\ dozvolq[ zrobyty vysnovok, wo Int D ⊂ g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }β . (3.5) Perekona[mos\ u spravedlyvosti protyleΩnoho vklgçennq. Oskil\ky vidobraΩennq g ∈ C ( S, X ) → Re ( ( ))f g s [ linijnym i neperervnym na C ( S, X ), to z nerivnosti Re ( ( ))f g s0 < β, g C S X0 ∈ ( , ), vyplyva[, wo Re ( ( ))f g s < β dlq deqkoho okolu A g( )0 toçky g0. Tomu g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }β ⊂ Int D . (3.6) Z (3.5) ta (3.6) vyplyva[ rivnist\ (3.4). Z uraxuvannqm (3.4) ta tverdΩen- nq91.2.5 [4, c. 16] robymo vysnovok, wo Γ ( ),D g∗ = Γ ( ),Int D g∗ = Γ g g C S X f g s g: ( , ), Re ( ( )) ,∈ <{ }( )∗β . Na pidstavi tverdΩennq91.3.7 [4, c. 21] Γ g g C S X f g s g: ( , ), Re ( ( )) ,∈ <{ }( )∗β = g g C S X f g s: ( , ), Re ( ( ))∈ <{ }0 . TverdΩennq dovedeno. Teorema03.1. Nexaj g* ∈ V. Ma[ misce rivnist\ Γ ( , )C ga g∗ ∗ = s S y a f B g s ya g s g a g g g C S X f g s ∈ ∈ ∈ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ <{ }∩ ∩ ∩ : ( , ), Re ( ( )) ( , , ) 0 . (3.7) Dovedennq. Nexaj, qk i vywe, dlq s ∈ S ϕs a g( ) = max ( ) ( )y a s a gg s y ∈ − − ∗ α . Poznaçymo C s g a ∗ ( ) = g g C S X gs a: ( , ), ( )∈ <{ }ϕ 0 , s ∈ S. Ma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1612 U. V. HUDYMA s S a gC s ∈ ∗∩ ( ) = s S y a s a gg g C S X g s y ∈ ∈ ∈ − <  ∗∩ : ( , ), max ( ) ( ) α = = g g C S X g s y s S y a s a g: ( , ), max max ( ) ( ) ∈ − < ∈ ∈ ∗ α = Ca g∗ . (3.8) Oskil\ky Ca g∗ ≠ ∅, to i s S a gC s ∈ ∗∩ ( ) ≠ ∅. Poznaçymo C s g a ∗ ( ) = g g C S X gs a: ( , ), ( )∈ ≤{ }ϕ 0 , s ∈ S. Vnaslidok toho, wo funkci] ϕs a g( ), s ∈ S, opukli i neperervni na C ( S, X ) (dyv. tverdΩennq93.3), S — kompakt, vidobraΩennq T ( g, s ) = ϕs a g( ), ( g, s ) ∈ C ( S, X ) × × S, [ neperervnym na C ( S, X ) × S (dyv. tverdΩennq93.4), s S a gC s ∈ ∗∩ ( ) ≠ ∅, za teoremog91.8.8 [4, c. 40] Γ s S g aC s g ∈ ∗ ∗     ∩ ( ), = s S g a a g C s g ∈ ∗ ∗ ∗( )∩ Γ ( ), . (3.9) Na pidstavi tverdΩennq91.8.69[4, c. 39], neperervnosti j opuklosti (dyv. tverd- Ωennq93.3) funkcij ϕs a g( ), s ∈ S, na C ( S, X ) , spivvidnoßennq s S a gC s ∈ ∗∩ ( ) ≠ ∅ ta rivnosti (3.8) oderΩu[mo Int s S g aC s ∈ ∗     ∩ ( ) = s S g aC s ∈ ∗∩ Int ( )( ) = s S a gC s ∈ ∗∩ ( ) = Ca g∗ . (3.10) Vraxovugçy (3.9), (3.10) ta tverdΩennq91.2.5 [4, c. 16], ma[mo Γ ( , )C ga g∗ ∗ = Γ Int s S g aC s g ∈ ∗ ∗         ∩ ( ) , = = Γ s S g aC s g ∈ ∗ ∗     ∩ ( ), = s S g a a g C s g ∈ ∗ ∗ ∗( )∩ Γ ( ), . (3.11) Oxarakteryzu[mo teper konusy Γ ( )( ),C s g g a ∗ ∗ , s Sa g∈ ∗ . Baçymo, wo dlq s Sa g∈ ∗ , y a s∈ ( ) funkci] g ∈ C ( S, X ) → g s y a g( ) − − ∗ α [ opuklymy ta nepe- rervnymy na C ( S, X ) ; y a s a gg g C S X g s y ∈ ∈ − − <{ }∗ ( ) : ( , ), ( )∩ α 0 ≠ ∅; a ( s ) — kompakt; vidobraΩennq ( g, y ) ∈ C ( S, X ) × a ( s ) → g s y a g( ) − − ∗ α [ neperervnym na C ( S, X ) × a ( s ) (dyv. tverdΩennq93.5). Todi zhidno z teore- mog91.8.8 [4, c. 40] dlq vsix s Sa g∈ ∗ otrymu[mo Γ ( )( ),C s g g a ∗ ∗ = y a a g s g g g C S X g s y g ∈ ∗ ∗ ∗ ∈ − ≤{ }( )∩ Γ : ( , ), ( ) ,α . (3.12) Oxarakteryzu[mo teper dlq vsix s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ konus ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1613 Γ g g C S X g s y ga g: ( , ), ( ) ,∈ − ≤{ }( )∗ ∗α . Baçymo, wo dlq fiksovanyx s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , f B∈ ∗ funkci] g ∈ C ( S, X ) → → Re ( ( ) )f g s y a g− − ∗ α [ opuklymy ta neperervnymy na C ( S, X ) ; f B a g a gg g C S X f g s y C ∈ ∗ ∗ ∗ ∈ − − <{ } ⊃∩ : ( , ), Re ( ( ) ) α 0 ≠ ∅ ; B∗ — slabko * kompaktna mnoΩyna prostoru X∗ ; vidobraΩennq ( g, f ) ∈ C ( S, X ) × B * → Re ( ( ) )f g s y a g− − ∗ α [ neperervnym na C ( S, X ) × B * (dyv. tverdΩen- nq93.6). Todi na pidstavi teoremy91.8.89[4, c. 40] ta tverdΩennq93.7 dlq vsix s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ otrymu[mo Γ g g C S X g s y ga g: ( , ), ( ) ,∈ − ≤{ }( )∗ ∗α = = Γ f B a gg g C S X f g s y g ∈ ∗ ∗ ∗ ∈ − ≤{ }     ∩ : ( , ), Re ( ( ) ) ,α = = f B g s y a g a g g C S X f g s y g ∈ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ − ≤{ }( ) ( , , ) : ( , ), Re( ( ( )) ) ,∩ Γ α = = f B g s ya g C S X f g s ∈ ∗ ∗ ∈ <{ } ( , , ) ( , ), Re ( ( ))∩ 0 . (3.13) Iz (3.11) – (3.13) robymo vysnovok pro spravedlyvist\ rivnosti (3.7). Teoremu dovedeno. Teorema03.2. Nexaj g* ∈ V. Ma[ misce rivnist\ Γ ( , )C ga g∗ ∗ = s S y a f E B g s y a g s g a g g C S X f g s ∈ ∈ ∈∗ ∗ ∗ ∗ ∈ <{ }∩ ∩ ∩ : ( , ), Re ( ( )) ( ( , , )) 0 . (3.14) Dovedennq. Poznaçymo pravu çastynu rivnosti (3.14) çerez Γa g∗ . Qkwo g ∈ ∈ Γ ( , )C ga g∗ ∗ , to zhidno z teoremog93.1 dlq vsix s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , f B g s ya∈ ∗ ∗( , , ) vykonu[t\sq nerivnist\ Re ( ( ))f g s < 0; cq nerivnist\ vykonu[t\sq i dlq f ∈ ∈ E B g s ya( ( , , ))∗ ∗ . Tomu Γ ( , )C ga g∗ ∗ ⊂ Γa g∗ . Nexaj teper g a g∈ ∗ Γ , s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ . Todi Re ( ( ))f g s < 0 dlq vsix f ∈ ∈ E B g s ya( ( , , ))∗ ∗ . Zhidno z tverdΩennqm93.1 B g s ya ∗ ∗( , , ) [ opuklog slabko * kom- paktnog pidmnoΩynog B∗ . Funkciq f X f g s∈ →∗ Re ( ( )) [ neperervnog po f na X∗ u slabkij * topolohi] prostoru X∗ . Todi zhidno z uzahal\nennqm teore- my Vej[rßtrassa (dyv., napryklad, [42, c. 28]) isnu[ ˜ ( , , )f B g s ya∈ ∗ ∗ taka, wo max Re ( ( )) ( , , )f B g s ya f g s ∈ ∗ ∗ = Re ˜ ( ( ))f g s = c̃ . Perekona[mosq, wo mnoΩyna Bc̃ ∗ = f f B g s y f g s ca: ( , , ), Re ( ( )) ˜∈ ={ }∗ ∗ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1614 U. V. HUDYMA [ opuklog slabko * zamknenog krajn\og pidmnoΩynog mnoΩyny B g s ya ∗ ∗( , , ). Opuklist\ Bc̃ ∗ [ oçevydnog. Nexaj f0 — hranyçna toçka Bc̃ ∗ u rozuminni slabko] * topolohi] prostoru X∗ . Vnaslidok slabko] * kompaktnosti mnoΩyny B g s ya ∗ ∗( , , ) (dyv. tverdΩen- nq93.1) f0 ∈ B g s ya ∗ ∗( , , ). Krim toho, dlq dovil\noho ε > 0 okil f f X f g s f g s: , ( ( )) ( ( ))∈ − <{ }∗ 0 ε toçky f0 mistyt\ toçky fε ∈ Bc̃ ∗ . Dlq cyx toçok ma[mo Re ( ( )) Re ( ( ))f g s f g sε − 0 = ˜ Re ( ( ))c f g s− 0 ≤ f g s f g sε ( ( )) ( ( ))− 0 < ε . Zvidsy na pidstavi dovil\nosti ε > 0 robymo vysnovok, wo Re ( ( ))f g s0 = c̃ . Ot- Ωe, f0 ∈ Bc̃ ∗ . Slabku * zamknenist\ Bc̃ ∗ vstanovleno. Nexaj f ∈ Bc̃ ∗ i f = α αf f1 21+ −( ) , de f1, f2 ∈ B g s ya ∗ ∗( , , ) , α ∈ ( 0, 1 ) . Ma[mo Re ( ( ))f g s = c̃ = α αRe ( ( )) ( )Re ( ( ))f g s f g s1 21+ − ≤ α α˜ ( ) ˜c c+ −1 = c̃ . Zvidsy vyplyva[, wo Re ( ( ))f g s1 = c̃ i Re ( ( ))f g s2 = c̃ . Tomu f1 ∈ Bc̃ ∗ , f2 ∈ ∈ Bc̃ ∗ . Ce j oznaça[, wo Bc̃ ∗ [ krajn\og pidmnoΩynog B g s ya ∗ ∗( , , ). Oskil\ky B g s ya ∗ ∗( , , ) [ slabko * kompaktnog mnoΩynog prostoru X∗ , a Bc̃ ∗ — ]] slabko * zamknena pidmnoΩyna, to Bc̃ ∗ [ opuklog slabko * kompakt- nog mnoΩynog. Todi Bc̃ ∗ mistyt\ prynajmni odnu krajng toçku f̂ (dyv., na- pryklad, [44, c. 497]). Oskil\ky Bc̃ ∗ [ krajn\og pidmnoΩynog mnoΩyny B g s ya ∗ ∗( , , ), to f̂ ∈ E B g s ya( )( , , )∗ ∗ i Re ˆ( ( ))f g s = c̃ . Ale Ω dlq vsix f ∈ E B g s ya( )( , , )∗ ∗ Re ( ( ))f g s < 0. Tomu Re ˆ( ( ))f g s = c̃ < 0. OtΩe, max Re ( ( )) ( , , )f B g s ya f g s ∈ ∗ ∗ = c̃ < 0. Zvidsy vyplyva[, wo Re ( ( ))f g s < 0 dlq vsix f ∈ B g s ya ∗ ∗( , , ). Zhidno z teore- mog93.1 g C ga g∈ ∗ ∗Γ ( , ). Tomu Γa g∗ ⊂ Γ ( , )C ga g∗ ∗ , wo razom iz spivvidnoßennqm Γ ( , )C ga g∗ ∗ ⊂ Γa g∗ , vstanovlenym raniße, dozvolq[ zrobyty vysnovok pro spra- vedlyvist\ rivnosti9(3.14). Teoremu dovedeno. Teorema03.3. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C ( S, X ) . Dlq toho wob element g* ∈ V buv ekstremal\nym dlq velyçyny (1.8), neobxidno, wob ne isnuvalo takoho elementa z V g∈ ∗ ∗Γ ( , ), wo dlq vsix s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , f E B g s ya∈ ∗ ∗( ( , , )) spravdΩu[t\sq nerivnist\ Re ( ( ))f z s < 0. Dovedennq. Nexaj g* — ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.8). Zhid- no z teoremog91.4.1 [4, c. 22] ma[ misce spivvidnoßennq Γ Γ( , ) ( , )C g V ga g∗ ∗ ∗ ∗∩ = = ∅. Zvidsy, vraxovugçy (3.14), robymo vysnovok, wo ne isnu[ z V g∈ ∗ ∗Γ ( , ), dlq qkoho Re ( ( ))f z s < 0 dlq vsix s Sa g∈ ∗ , y as g∈ ∗ , f E B g s ya∈ ∗ ∗( ( , , )). U protyleΩnomu vypadku otrymaly b, wo Γ Γ( , ) ( , )C g V ga g∗ ∗ ∗ ∗∩ ≠ ∅. Teoremu dovedeno. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1615 Lehko zrozumity, wo teoremu93.3 moΩna sformulgvaty u takij ekvivalentnij formi. Teorema03.4. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C ( S, X ) . Qkwo g* ∈ ∈ V [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8), to dlq bud\-qkoho z V g∈ ∗ ∗Γ ( , ) isnugt\ taki elementy s Sz ∈ , y a sz z∈ ( ), f E Bz ∈ ∗( ), wo f g s yz z z( ( ) )∗ − = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , Re ( ( ))f z sz z ≥ 0. Opys konusa Γ∗ ∗( , )V g z uraxuvannqm specyfiky mnoΩyny V dozvolq[ v ok- remyx çastkovyx vypadkax znaçno konkretyzuvaty vstanovleni vywe neobxidni umovy ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8). Proilgstru[mo ce na okremyx prykladax. Teorema03.5. Nexaj V = Vi i I∈ ∪ , de ( )Vi i I∈ — sim’q opuklyx mnoΩyn iz C ( S, X ) , g* ∈ V i V g∗ = Vi i I g Vi ∈ ∈∗ , ∪ . Q k w o g * ∈ V [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8), to dlq bud\-qkoho elementa g ∈ V g∗ isnugt\ taki elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , wo f g s yg g g( ( ) )∗ − = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , (3.15) Re ( ( ) ( ))f g s g sg g g− ∗ ≥ 0. (3.16) Dovedennq. Nexaj g V∗ ∈ — ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.8). Zhidno z tverdΩennqm91.2.3 [4, c. 15] Γ∗ ∗( , )V g ⊃ Γ∗ ∗ ∈ ( , )V gi i I ∪ = Γ∗ ∗ ∈ ∈∗ ( , ) , V gi i I g Vi ∪ . (3.17) Nexaj, krim toho, g Vg∈ ∗ . Todi isnu[ i Ig ∈ take, wo g Vig ∗ ∈ ta g Vig ∈ . Os- kil\ky Vig [ opuklog mnoΩynog, to zhidno z teoremog91.3.4 [4, c. 19] g g− ∈∗ ∈ ∗ ∗Γ ( ),V gig . Zvidsy ta z (3.17) robymo vysnovok, wo g g V g− ∈∗ ∗ ∗Γ ( ), . Zhidno z teoremog93.4 isnugt\ taki elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx vykonugt\sq spivvidnoßennq (3.15), (3.16). Teoremu dovedeno. Vstanovymo dali dostatng umovu toho, wo g V∗ ∈ [ ekstremal\nym elemen- tom dlq velyçyny (1.8). Teorema03.6. Nexaj V — dovil\na mnoΩyna prostoru C ( S, X ) , g V∗ ∈ . Qkwo dlq koΩnoho elementa g V∈ isnugt\ elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) taki, wo magt\ misce rivnosti (3.15), (3.16), to g∗ [ ekstremal\- nym elementom dlq velyçyny (1.8). Dovedennq. Nexaj g — dovil\nyj element mnoΩyny V. Zhidno z umovog teoremy isnugt\ elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx magt\ mis- ce spivvidnoßennq (3.15), (3.16). Z uraxuvannqm cyx spivvidnoßen\ oderΩu[mo 0 ≤ Re ( ( ) ( ))f g s g sg g g− ∗ = Re ( ( ) ( ))f g s y y g sg g g g g− + − ∗ = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1616 U. V. HUDYMA = Re ( ( ) ) Re ( ( ) )f g s y f g s yg g g g g g− − −∗ ≤ ≤ f g s y g s yg g g s S y a s ( ( ) ) max max ( ) ( ) − − − ∈ ∈ ∗ ≤ ≤ g s y g s yg g s S y a s ( ) max max ( ) ( ) − − − ∈ ∈ ∗ ≤ ≤ max max ( ) max max ( ) ( ) ( )s S y a s s S y a s g s y g s y ∈ ∈ ∈ ∈ ∗− − − . Ce j oznaça[, wo g∗ [ ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8). Teoremu dovedeno. ZauvaΩymo, wo vstanovlena u teoremi93.6 dostatnq umova ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8) ma[ misce u vypadku najkrawoho rivnomirnoho na- blyΩennq bahatoznaçnoho vidobraΩennq a ∈ C ( S, K ( X )) bud\-qkog mnoΩynog V ⊂ C ( S, X ) . Stanovlqt\ interes mnoΩyny, dlq qkyx cq umova [ ne lyße dostatn\og, a j neobxidnog umovog ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8). MnoΩynu M normovanoho linijnoho prostoru Y budemo nazyvaty Γ∗- mnoΩynog vidnosno toçky y M0 ∈ , qkwo y y M y− ∈ ∗ 0 0Γ ( , ) dlq vsix y M∈ . Teorema03.7. Nexaj V ⊂ C ( S, X ) , g V∗ ∈ i V [ Γ∗-mnoΩynog vidnosno toçky g∗. Dlq toho wob element g∗ buv ekstremal\nym elementom dlq ve- lyçyny (1.8), neobxidno i dosyt\, wob dlq koΩnoho elementa g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx vykonugt\sq umovy (3.15), (3.16). Spravedlyvist\ teoremy vyplyva[ z oznaçennq Γ∗-mnoΩyny vidnosno toçky g∗, teorem93.4 ta 3.6. Prykladamy Γ∗-mnoΩyn vidnosno toçky g∗ [, zokrema, zirkovi vidnosno g∗ (dyv., napryklad, [47, c. 16]), v tomu çysli opukli, mnoΩyny. Spravdi, dlq takyx mnoΩyn V vidrizok g g∗[ ], = z z g t g g t: ( ), [ , ]= + − ∈{ }∗ ∗ 0 1 ⊂ V. Zvidsy vyplyva[, wo g g V g− ∈∗ ∗ ∗Γ ( , ). Iz zaznaçenoho ta teoremy93.7 vyplyva[ take tverdΩennq. Naslidok03.1. Nexaj V ⊂ C ( S, X ) , g V∗ ∈ i V [ zirkovog vidnosno g∗ (opuklog) mnoΩynog. Dlq toho wob element g∗ buv ekstremal\nym elemen- tom dlq velyçyny (1.8), neobxidno i dosyt\, wob dlq koΩnoho elementa g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx vykonugt\sq umo- vy (3.15), (3.16). Konkretyzu[mo vstanovleni kryteri] ekstremal\noho elementa dlq velyçyny (1.8) na vypadok najkrawoho rivnomirnoho nablyΩennq bahatoznaçnoho vidobra- Ωennq a ∈ C ( S, K ( X )) pidprostorom V prostoru C ( S, X ) . Naslidok03.2. Nexaj V — pidprostir prostoru C ( S, X ) . Dlq toho wob element g V∗ ∈ buv ekstremal\nym elementom dlq velyçyny (1.8), neobxidno i dosyt\, wob dlq bud\-qkoho g V∈ isnuvaly elementy s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) taki, wo f g s yg g g( )( )∗ − = max max ( ) ( )s S y a s g s y ∈ ∈ ∗ − , (3.18) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 NAJKRAWA RIVNOMIRNA APROKSYMACIQ NEPERERVNOHO … 1617 Re ( ( ))f g sg g ≥ 0. (3.19) Dovedennq. Nexaj g V∗ ∈ — ekstremal\nyj element dlq velyçyny (1.8) i g — dovil\nyj element V. Oskil\ky V — pidprostir, to ( )g g V+ ∈∗ . Vraxovugçy opuklist\ V ta za- stosovugçy naslidok93.1 dlq elementa ( )g g V+ ∈∗ , robymo vysnovok pro isnu- vannq elementiv s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx vykonugt\sq umovy (3.18), (3.19). Navpaky, nexaj dlq elementa g V∗ ∈ i dovil\noho elementa g V∈ isnugt\ s Sg ∈ , y a sg g∈ ( ), f E Bg ∈ ∗( ) , dlq qkyx vykonugt\sq umovy (3.18) ta (3.19). Zapysugçy ci umovy dlq elementa ( )g g V− ∈∗ , de g — dovil\nyj element pidprostoru V, na pidstavi naslidku 3.1 robymo vysnovok, wo g* — ekstremal\- nyj element dlq velyçyny (1.8). Naslidok dovedeno. Avtor vyslovlg[ hlyboku vdqçnist\ O. I. Stepancg za postanovku zadaçi i vsebiçnu dopomohu v roboti. 1. Axyezer N. Y. Lekcyy po teoryy approksymacyy. – M.: Nauka, 1965. – 4079s. 2. Dzqd¥k V. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj. – M.: Nauka, 1977. – 5109s. 3. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1976. – 3209s. 4. Loran P.-Û. Approksymacyq y optymyzacyq. – M.: Myr, 1975. – 4969s. 5. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç.I. – 4279s. 6. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç.II. – 4689s. 7. Tyxomyrov V. M. Nekotor¥e vopros¥ teoryy pryblyΩenyj. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1976. – 3079s. 8. Zuxovyckyj S. Y., Krejn M. H. Zameçanye ob odnom vozmoΩnom obobwenyy teorem¥ A.9Xaara y A. N. Kolmohorova // Uspexy mat. nauk. – 1950. – 5, # 1. – S.9217 – 229. 9. Zuxovyckyj S. Y., Steçkyn S. B. O pryblyΩenyy abstraktn¥x funkcyj // Tam Ωe. – 1957. – 12, # 1(73). – S.9187 – 191. 10. Qraxmedov H. Q. Ob odnom obobwenyy teorem¥ A. N. Kolmohorova // Syb. mat. Ωurn. – 1972. – 13, # 4. – S.9959. 11. Smyrnov H. S. O kryteryy πlementa nayluçßeho pryblyΩenyq abstraktnoj funkcyy so znaçenyqmy v banaxovom prostranstve. – Kyev, 1973.9– 209s. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 73-8). 12. Opfer G. An algorithm for the construction of best approximations based on Kolmogorov’s criterion // J. Approxim. Theory. – 1978. – 23. – P. 299 – 317. 13. Warth W. On the uniqueness of best uniform approximations in the presence of constraints // Ibid. – 1979. – 25. – P. 1 – 11. 14. Deutsch F. Best approximation in the space of continuous vector-valued functions // Ibid. – 1988. – 53. – P. 112 – 116. 15. T¥r¥hyn Y. Q. Kryteryj kolmohorovskoho typa dlq operatora nayluçßeho pryblyΩenyq // Ukr. mat. Ωurn. – 1993. – 45, # 1. – S.9114 – 119. 16. Vlasov L. P. Suwestvovanye πlementov nayluçßeho pryblyΩenyq v C Q X( , ) // Mat. zametky. – 1995. – 58, # 2. – S.9163 – 175. 17. Smirnov G. S., Smirnov R. G. Best uniform approximation of complex-valued functions by generalized polynomials having restricted ranges // J. Approxim. Theory. – 1999. – 100, # 2. – P. 284 – 303. 18. Smirnov G. S., Smirnov R. G. Kolmogorov-type theory of best restricted approximations of complex-valued functions // E. J. Approxim. – 2000. – 6, # 3. – P. 309 – 326. 19. Kocgbyns\ka T. V. Xarakteryzaciq elementa najkrawoho nablyΩennq z obmeΩennqmy // Visn. Ky]v. un-tu. Ser. Matematyka. Mexanika. – 2003. – # 10. – S.9106 – 113. 20. Klee V. L. Circumspheres and inner products // Math. scand. – 1960. – 8, # 2. – P. 363 – 370. 21. Harkavy A. L. O çeb¥ßevskom centre y v¥pukloj oboloçke mnoΩestva // Uspexy mat. nauk. – 1964. – 19, # 6(120). – S.9139 – 145. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12 1618 U. V. HUDYMA 22. Belobrov P. K. O çeb¥ßevskoj toçke system¥ mnoΩestv // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1966. – # 6. – S.918 – 24. 23. Hol\ßtejn E. H. Teoryq dvojstvennosty v matematyçeskom prohrammyrovanyy y ee prylo- Ωenyq. – M.: Nauka, 1971. – 3529s. 24. Ward J. D. Chebyshev centers in spaces of continuous functions // Pacif. J. Math. – 1974. – 52, # 1. – P. 283 – 287. 25. Mach J. On the existence of best simultaneous approximation // J. Approxim. Theory. – 1979. – 25. – P. 258 – 265. 26. Pevae L. Chebyshev centers in normed spaces // Publs Inst. Math. – 1989. – 45(59). – P. 109 – 112. 27. Hnatgk G. V., Hnatgk U. V. Najkrawe odnoçasne nablyΩennq elementiv zbiΩnyx za normamy poslidovnostej // Krajovi zadaçi dlq dyferencial\nyx rivnqn\: Zb. nauk. pr. – 2002. – Vyp. 8. – S.9228 – 238. 28. Harkavy A. L. Ob uslovnom çeb¥ßevskom centre kompaktnoho mnoΩestva neprer¥vn¥x funkcyj // Mat. zametky. – 1973. – 14, # 4. – S.9469 – 478. 29. Fernandez M., Soriano M. L. On the Chebyshev alternation theorem // Atti Semin. math. e fis. Univ. Modena. – 1997. – 45. – P. 169 – 178. 30. Tanimoto S. A. On best simultaneous approximation // Math. Jap. – 1998. – 48, # 2. – P. 275 – 279. 31. Hnatgk G. V. Najkrawe rivnomirne nablyΩennq sim’] neperervnyx na kompakti funkcij // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 11. – S.91574 – 1580. 32. Hnatgk G. V. Alhorytmy najkrawoho odnoçasnoho rivnomirnoho nablyΩennq sim’] neperervnyx na kompakti funkcij çebyßovs\kym pidprostorom // Tam Ωe. – 2003. – 55, # 2. – S.9291 – 307. 33. Sendov B. Xausdorfov¥ pryblyΩenyq. – Sofyq: BAN, 1979. – 3729s. 34. Borysovyç G. H., Hel\man B. D., M¥ßkys A. D., Obuxovskyj V. V. O nov¥x rezul\tatax v teoryy mnohoznaçn¥x otobraΩenyj. I. Topolohyçeskye xarakterystyky y razreßymost\ operatorn¥x sootnoßenyj // Ytohy nauky y texnyky. Mat analyz / VYNYTY. – 1987. – 25. – S.9123 – 197. 35. Nykol\skyj M. S. Approksymacyq v¥pukloznaçn¥x neprer¥vn¥x mnohoznaçn¥x otobraΩe- nyj // Dokl. AN SSSR. – 1989. – 308, # 5. – S.91047 – 1050. 36. Nykol\skyj M. S. Ob approksymacyy neprer¥vnoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq postoqn- n¥my mnohoznaçn¥my otobraΩenyqmy // Vestn. Mosk. un-ta. Ser. V¥çyslyt. matematyka y kybernetyka. – 1990. – # 1. – S.976 – 80. 37. Ypate D. M., Çoban M. M. Approksymacyq mnohoznaçn¥x otobraΩenyj neprer¥vn¥my otobraΩenyqmy // Serdyka Bælh. mat. spys. – 1991. – 17. – R.9127 – 136. 38. V¥hodçykova Y. G. O nayluçßem pryblyΩenyy neprer¥vnoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq alhebrayçeskym polynomom // Matematyka. Mexanyka: Sb. nauç. tr. – 2000. – # 2. – S.913 – 15. 39. V¥hodçykova Y. G. O nayluçßem pryblyΩenyy dyskretnoho mul\tyotobraΩenyq alhebra- yçeskym polynomom // Tam Ωe. – 2001. – # 3. – S.925 – 28. 40. V¥hodçykova Y. G. Ob alhorytme reßenyq zadaçy o nayluçßem pryblyΩenyy dyskretnoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq alhebrayçeskym polynomom // Tam Ωe. – 2002. – # 4. – S.915 – 20. 41. Kolmohorov A. N. Zameçanye po povodu mnohoçlenov P. L. Çeb¥ßeva, naymenee uklonq- gwyxsq ot zadannoj funkcyy // Uspexy mat. nauk. – 1948. – 3, # 1(23). – S.9216 – 221. 42. Kantorovyç L. V., Akylov H. P. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Nauka, 1977. – 7429s. 43. Pßenyçn¥j B. N. V¥pukl¥j analyz y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1980. – 3209s. 44. Yosyda K. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Myr, 1967. – 6249s. 45. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. – M.: Nauka, 1989. – 6239s. 46. Bynum W. L. Weak parallelogram lows for Banach spaces // Can. Math. Bull. – 1976. – 19, # 3. – P. 269 – 275. 47. Lejtxvejs K. V¥pukl¥e mnoΩestva. – M.: Nauka, 1985. – 3359s. OderΩano 11.06.2004, pislq doopracgvannq — 04.02.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 12

Similar Items