Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов
A solution of the problem on the determination of an algorithm of optimum control over electromagnetic mechanisms is given. The problem was solved by the method of moments with minimization of the integral functional of energy.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1659 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 37-44. — Библиогр.: 7 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236935614693376 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 37-44. — Библиогр.: 7 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | A solution of the problem on the determination of an algorithm of optimum control over electromagnetic mechanisms is given. The problem was solved by the method of moments with minimization of the integral functional of energy.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:25:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 62-253.517.9.621.34
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Минимизация мощности управления электромагнитных
механизмов
A solution of the problem on the determination of an algorithm of optimum control over
electromagnetic mechanisms is given. The problem was solved by the method of moments with
minimization of the integral functional of energy.
В крупных технических системах, таких как электросети, мартеновские печи, прокатные
станы, суда, космические корабли, автоматизированные цеха производства, системы связи
и др., используется большое количество электромагнитных механизмов ЭМ (контакторов,
реле, муфт, пускателей и т. д.), а в технологическом оборудовании ряда производств при-
меняются электромагнитные вибровозубудители. Все эти ЭМ в сумме потребляют большое
количество электроэнергии, особенно в переходных процессах не только в самих ЭМ, но и
в объектах нагрузки (электродвигатели, различные нагрузки электросетей и т. д.). В связи
с этим возникает задача определения закона оптимального управления ЭМ, обеспечиваю-
щего минимизацию энергии потребления ЭМ. Рассмотрим решение такой задачи.
В качестве критерия оптимальности примем функционал
I(u) =
T
∫
0
bU2(t) dt, (1)
где T — время, в течение которого минимизируется мощность управления в ЭМ; U — управ-
ляющее электрическое напряжение; t — текущее время.
Данное решение осуществим с учетом перевода подвижной части ЭМ из начального
положения в конечное за время T . Наиболее приемлемым методом для синтеза оптималь-
ного управления, удовлетворяющего минимуму (1), на наш взгляд, является метод момен-
тов [1–4]. Обоснование применения метода моментов для нахождения оптимального управ-
ления динамическими объектами дано Н.Н. Красовским в работе [1]. В [3, 4] представлены
решения методом моментов для электродинамических вибростендов и колебательных меха-
нических систем с любым числом степеней свободы. Во всех этих работах предусматрива-
ется линейность объекта управления. В ЭМ же проявляется нелинейность (квадратичная
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 37
Рис. 1
зависимость тягового усилия или вращающего момента от входного напряжения управле-
ния), которая в решении данной задачи вносит определенные коррективы.
Для наглядности приведем на рис. 1, а, б основные две электромагнитомеханические
схемы ЭМ, где 1 — магнитопровод; 2 — якорь (подвижная часть); 3 — электрическая
обмотка с током i и числом витков w; ε — воздушный зазор; U — входное управляющее
напряжение; Φ — магнитный поток; 4 — пружины; — корпус.
На рис. 1, а изображен ЭМ с поворотным перемещением якоря 2, а на рис. 1, б — ЭМ
с прямоходовым перемещением якоря 2.
Уравнения движения представленных ЭМ имеют вид:
для ЭМ (рис. 1, а)
J
d2β
dt2
+ Rβ
dβ
dt
+ Cββ = M, (2)
где J , M — моменты инерции и тяговый (вращающий) соответственно; Rβ, Cβ — коэффици-
енты сопротивления (диссипации) и упругости соответственно; β — угол поворота якоря 2
(см. рис. 1, а);
для ЭМ (рис. 1, б )
m
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ Cy = F, (3)
где m — масса якоря с механической нагрузкой; b, c — коэффициенты диссипации и упруго-
сти соответственно; y — перемещение якоря (см. рис. 1, б ); F — тяговое усилие; t — время.
В уравнениях (2) и (3)
F =
dWe
dε
, M =
dWe
dβ
, (4)
где We — электромагнитная энергия ЭМ.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Для упрощения задачи будем определять оптимальное управление ЭМ для объекта,
описываемого уравнением движения
a2
d2x
dt2
+ a1
dx
dt
+ a0x = f(t), (5)
которое эквивалентно (2) и (3). Здесь x — координата перемещения (β или y); a2, a1, a0,
f(t) соответствуют J , Rβ, Cβ, M для (2) и m, b, c, F — для (3).
Электромагнитные системы ЭМ с поворотным и прямоходовым якорем 2 описываются
одинаковыми уравнениями магнитной и электрической частей (см. [5]).
Уравнение электрической части ЭМ касается связи тока i и задающего напряжения U
в виде
U = ri + L
di
dt
, (6)
где r — активное сопротивление провода электрической катушки совместно с внутренним
активным сопротивлением источника напряжения U ; L — индуктивность этой же катушки
L1 =
wΦ1
i
= w2G1 = µ0w
2 S
ε
;
L2 =
wΦ2
i
= w2G2 = µ0w
2 S
2ε
,
(7)
где L1, L2 — индуктивности для поворотного и прямоходового ЭМ соответственно; w —
число витков катушки 3 ; G1, G2 — магнитные проводимости совместно для тех же ЭМ;
Φ1, Φ2 — магнитные потоки в ЭМ; S — площадь поперечного сечения магнитопровода на
полюсе у зазора ε; µ0 — магнитная проницаемость воздуха.
Уравнения магнитной части ЭМ определяют связь магнитного потока Φ с током i и тя-
гового усилия (момента) с магнитным потоком Φ или с током i и напряжением U .
Эти связи следующие: Φ = iwG (закон полного тока [6]); F и M определяются из (4).
Электромагнитная энергия ЭМ
We =
1
2
Li2. (8)
Для поворотного ЭМ угол β = arcsin ε/h ≈ ε/h, где h — длина якоря 2.
Преобразуем (8) для поворотного ЭМ. Для этого запишем
L = w2G = µ0Sw2 1
ε
= µ0Sw2 1
βh
.
Тогда энергия для поворотного ЭМ выражается так:
WeП =
µ0S
2βh
(iw)2 =
(iwG)2
2µ0S
βh =
Φ2
1
2µ0S
βh. (9)
Применяя к (9) действие (4), получим выражение вращающего момента в виде
M =
Φ2
1h
2µ0S
=
µ0Sh
2
(
iw
ε
)2
. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 39
Для прямоходового ЭМ
WeПР =
1
2
L2i
2 =
1
2
w2G2i
2 =
1
2
(iw)2
µ0S
2ε
=
Φ2
2
ε
µ0S
и тогда, с учетом (3), тяговое усилие
F =
Φ2
2
µ0S
= µ0S
(
iw
2ε
)2
. (11)
Величины M и F в уравнении (5) фигурируют как f(t) соответственно для поворотного
и прямоходового ЭМ.
Итак, независимо от вида ЭМ, обобщенные уравнения электромагнитного механизма
ЭМ с учетом (11) имеют вид
U = ri + Lk
di
dt
;
iwGk = Φk;
f(t) = bkΦ
2
k;
a2
d2x
dt2
+ a1
dx
dt
+ a0x = f(t),
(12)
где k = 1, 2 (1 относится к поворотному ЭМ, а 2 — прямоходовому ЭМ); b1 = h/(2µ0S);
b2 = 1/(µ0S).
В соответствии с методом моментов [1] функцию оптимального управления ЭМ можно
определить по формуле
f(x0, t) = λ2(x0)
n
∑
i=1
l0i hi(t), (13)
где x0 = x(0), λ(x0), l0i (i = 1, n) — величины, получаемые в результате решения на условный
экстремум выражения
λ−2(x0) = min
l1,...,ln
{ T
∫
0
[
n
∑
i=1
l0i hi(t)
]2
dt
}
(14)
при условии
n
∑
i=1
l0i xi0 = −1.
В соотношениях (13), (14) hi(t) — импульсные переходные функции каналов действия
управляющих сигналов.
Как видно из (12), в системе уравнений присутствует нелинейность bkΦ
2
k. Поэтому в ка-
честве корректива в данной задаче воспользуемся принципом динамического программиро-
вания [7], предусматривающего нахождение оптимального управления U на каждой функ-
циональной части ЭМ. В нашем случае решение может заключаться в нахождении опти-
мального тягового усилия Fопт или оптимального вращающего момента Mопт, являющихся
управляющими воздействиями для механических частей ЭМ (движение якоря 2 ) и нахож-
дения оптимального управления Uопт электромагнитной части ЭМ.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
При таком решении на основе оптимизации электромагнитной части получаем U1опт
и, соответственно, F1опт = d1U
2
1опт. Оптимизируя тяговое усилие F на основе уравнения
движения механической части, находим F2опт = d2U
2
2опт. Далее видим, что
F1опт
F2опт
=
d1U
2
1опт
d2U2
2опт
,
откуда
U2опт = U1опт
(
d1
d2
F2опт
F1опт
)1/2
.
Могут быть и другие варианты получения Uопт и, в частности, квазиоптимального управ-
ления. В любом случае необходимо уравнения (12) представить в форме Коши в следую-
щем виде:
ẋ1 =
1
Lk
(rx1 + U);
ẋ2 = x3;
ẋ3 =
1
a2
[−a0x2 − a1x3 + f(t)];
f(t) = Bx2
1,
(15)
где x1 = i, B = b′k(wGk)2.
Нахождение оптимального U(t) из (15) может быть и таким. Учитывая уравнение ме-
ханической части ЭМ, находим оптимальную функцию f(t) = fопт, затем находим x1опт =
= (fопт/B)1/2, а после, решая первое уравнение (15), определяем x1 = (U/r)(1 − e−t/τ ), где
τ = L/r, откуда при x1 = x1опт видим, что
Uопт(t) = x1r
(
1 − e−t/τ
)
−1
=
(
fопт
B
)1/2
r
(
1 − e−t/τ
)
−1
. (16)
Возможен еще один корректив в задаче определения Uопт. Известно, что любая безынер-
ционная система всегда будет обрабатывать входной сигнал наилучшим (оптимальным)
образом. В связи с этим желательно, чтобы электромагнитная часть была безынерцион-
ной. Это можно осуществить следующим образом. Обычно в ЭМ r ≪ xL — индуктивного
сопротивления. Поэтому уравнение U = ri + Ldi/dt можно представить в виде
i =
1
L
∫
U(t) dt. (17)
Если бы в (17) вместо U(t) стояла функция dU(t)/dt, то
∫
dU(t)
dt
dt = U(t)
и
i(t) =
1
L
U(t). (18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 41
Кроме того, на основании (12) с учетом (18)
f(t) = Bki
2, (19)
где Bk = bk(wGk)2.
Входное напряжение ЭМ можно пропустить через звено извлечения квадратного корня,
затем через дифференцирующее устройство и усилитель мощности, тогда
i(t) = g
√
U(t), (20)
где g — коэффициент, и, учитывая (20),
f(t) = Bk
1
L
U(t).
Воспользовавшись предлагаемыми принципами, будем находить оптимальную функ-
цию (13) fопт(t) = f(x0, t) для подвижной системы ЭМ. Минимум (14) можно найти по пра-
вилу множителей Лагранжа. Для подвижной системы ЭМ, описываемой уравнением (5),
определим минимум функции [1, 3]
z(l1, l2) =
T
∫
0
[
2
∑
i=1
lihi(t)
]2
dt + 2γ
(
2
∑
i=1
lixi0 + 1
)
, (21)
где 2γ — множитель Лагранжа, приравняв нулю производные (21) по l1, l2.
Тогда
dz
dlk
k=1,2
=
T
∫
0
[
2
∑
i=1
lihi(t)
]
hk(t) dt + γxk0 = 0. (22)
Умножив каждое уравнение из (22) на соответствующее по индексу lk(k = 1, 2) и про-
суммировав все выражения, определим значение множителя γ. В результате получим
T
∫
0
[
2
∑
i=1
lihi(t)
]2
dt + γ
2
∑
i=1
lixi0 = 0
или, учитывая, что
2
∑
i=1
lixi0 = −1, в точке экстремума λ−2(x0)
γ =
T
∫
0
[
2
∑
i=1
l0i hi(t)
]2
dt. (23)
Подставим γ в (22) и произведем интегрирование каждого уравнения. При этом обо-
значим
T
∫
0
h2
1(t) dt = δ11;
T
∫
0
h2
2(t) dt = δ22;
T
∫
0
h1(t)h2(t) dt = δ12 = b21.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Получим
l01δ11 + l02δ12 + γx10 = 0;
l01δ21 + l02δ22 + γx20 = 0.
}
(24)
Из (24) найдем
l01 =
∆1i
∆i
; l02 =
∆2i
∆i
, (25)
где ∆i =
∣
∣
∣
∣
δ11 δ12
δ21 δ22
∣
∣
∣
∣
, ∆1i, ∆2i — определители, полученные из ∆i путем замены соответству-
ющего столбца столбцом (−x10,−x20).
Из (25) множитель Лагранжа
γ =
l01
k2∆
=
l02
k2∆
,
где ks∆ =
∆si
∆i
, s = 1, 2.
Сравнивая (14) и (23), видим, что γ = λ−2(x0). Для определения γ необходимо найти
числа l01, l02. Для этого запишем систему уравнений
l01x10 + l02x20 = −1;
l01k2∆ = l02k1∆,
}
откуда
l01 = l02
k1∆
k2∆
, l02 =
−1
k1∆
k2∆
x0
10
+ x20
.
Таким образом, функция оптимального управления f(x0, t), определяемая по форму-
ле (13), имеет следующий вид:
f(x0, t) =
1
γ
2
∑
i=1
l0i hi(t). (26)
Согласно [3, 4], импульсные переходные функции
h1(t) =
1
m
(
e−λ1t
λ1 − λ2
+
e−λ2t
λ2 − λ1
)
; h2(t) =
1
m
(
λ1e
−λ1t
λ1 − λ2
+
λ2e
−λ2t
λ2 − λ1
)
,
где m — масса якоря 2 ЭМ; λ1,2 — корни характеристического уравнения
λ2 +
b
m
λ +
c
m
= 0
(b, c — коэффициенты диссипации и жесткости соответственно, т. е. λ1,2 = kλ ± jωλ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 43
После подстановки в (26) значений h1(t) и h2(t) получим закон оптимального управления
ЭМ, который выражается соотношениями
fопт(t) =
1
γ
Aλe−kλt sin(ωλt + ϕλ), (27)
где Aλ =
√
P 2
λ + H2
λ; ϕλ = arctg(Pλ/Hλ);
Pλ =
−1
ωλ(k2
λ + ω2
λ)
[l01ωλ − 2l02ωλkλ]; Hλ =
1
ωλ(k2
λ + ω2
λ)
[kλl01 + (k2
λ − ω2
λ)l02].
Подставив (27) в (16) или в (20), получим алгоритмы оптимального управления ЭМ,
удовлетворяющие минимуму функционала (1) и обеспечивающие минимизацию мощности
управления ЭМ при переходе подвижной части ЭМ из начального состояния в конечное.
Эти алгоритмы выражаются соотношениями
U1опт(t) = r
(
1 − e−t/τ
)
−1
[
Aλ
Bγ
e−kλt sin(ωλt + ϕλ)
]1/2
, (28)
U2опт(t) =
LAλ
Bkγ
e−kλt sin(ωλt + ϕλ). (29)
Заметим, что в данных алгоритмах присутствует величина магнитной проводимости Gk
(см. (7)), зависящая от величины воздушного зазора ε. При движении якоря ЭМ к ма-
гнитопроводу воздушный зазор уменьшается. Если перемещение якоря 2 x(t)
max
= ε, то, по
существу, воздушный зазор ε = ε(t) и определяется как решение уравнений (2) и (3) при
M и F оптимальных, описываемых выражением (27).
Исходя из этого, в окончательных алгоритмах (формулах) Mопт и Fопт, а соответственно
и U1опт и U2опт, должны присутствовать ε(t), являющиеся решениями уравнений (2) и (3)
при Mопт и Fопт. Как видно из (27)–(29), полученные алгоритмы отражают математиче-
скую запись переходного процесса координаты x(t) = ε(t) в ЭМ. При таком управлении
исключаются излишки подводимой к ЭМ энергии. Эти оптимальные управления действу-
ют в ЭМ во время переходных процессов. В установившемся режиме необходимое состояние
ЭМ поддерживается напряжениями U = const для ЭМ постоянного тока и U = Ua sinωt,
где Ua — амплитуда; ω — круговая частота для ЭМ переменного тока. В ЭМ переменного
тока алгоритмы (27)–(29) относятся к формулам амплитуд Ua, которые в установившемся
режиме имеют постоянное значение.
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – Москва: Наука, 1968. – 475 с.
2. Чистов В.П., Бондаренко В.И., Святославский В.А. Оптимальное управление электрическими при-
водами. – Москва: Энергия, 1968. – 232 с.
3. Божко А.Е. Оптимальное управление в системах воспроизведения вибраций. – Киев: Наук. думка,
1977. – 219 с.
4. Божко А. Е. Синтез оптимального управления колебательными системами. – Киев: Наук. думка,
1990. – 164 с.
5. Любчик М.А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов. – Москва: Энер-
гия, 1974. – 392 с.
6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 529 с.
7. Беллман Р. Динамическое программирование. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 400 с.
Поступило в редакцию 03.06.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1659 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:25:27Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2008-09-01T14:28:45Z 2008-09-01T14:28:45Z 2007 Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 37-44. — Библиогр.: 7 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1659 62-253.517.9.621.34 A solution of the problem on the determination of an algorithm of optimum control over electromagnetic mechanisms is given. The problem was solved by the method of moments with minimization of the integral functional of energy. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов Article published earlier |
| spellingShingle | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика |
| title | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| title_full | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| title_fullStr | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| title_full_unstemmed | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| title_short | Минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| title_sort | минимизация мощности управления электромагнитных механизмов |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1659 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae minimizaciâmoŝnostiupravleniâélektromagnitnyhmehanizmov |