Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах
Рассматриваются слабонелинейные уравнения Фредгольма с вырожденным яром в банаховых пространствах. Получены необходимое условие и достаточные условия существования решений таких уравнений, построены сходящиеся итерационные процедуры для построения единственного решения и хотя бы одного из возможных...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165909 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах / В.П. Журавльов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1477–1490. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165909 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Журавльов, В.П. 2020-02-17T10:52:03Z 2020-02-17T10:52:03Z 2015 Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах / В.П. Журавльов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1477–1490. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165909 517.983 Рассматриваются слабонелинейные уравнения Фредгольма с вырожденным яром в банаховых пространствах. Получены необходимое условие и достаточные условия существования решений таких уравнений, построены сходящиеся итерационные процедуры для построения единственного решения и хотя бы одного из возможных решений. We consider weakly nonlinear Fredholm integral equations with degenerate kernel in Banach spaces and establish a necessary condition and sufficient conditions for the existence of solutions of equations of this kind. The convergent iterative procedures are proposed for the construction either of a single solution or of at least one possible solution. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах Weakly Nonlinear Fredholm Integral Equations with Degenerate Kernel in Banach Spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| spellingShingle |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах Журавльов, В.П. Статті |
| title_short |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| title_full |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| title_fullStr |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| title_full_unstemmed |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| title_sort |
слабконелінійні рівняння фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах |
| author |
Журавльов, В.П. |
| author_facet |
Журавльов, В.П. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Weakly Nonlinear Fredholm Integral Equations with Degenerate Kernel in Banach Spaces |
| description |
Рассматриваются слабонелинейные уравнения Фредгольма с вырожденным яром в банаховых пространствах. Получены необходимое условие и достаточные условия существования решений таких уравнений, построены сходящиеся итерационные процедуры для построения единственного решения и хотя бы одного из возможных решений.
We consider weakly nonlinear Fredholm integral equations with degenerate kernel in Banach spaces and establish a necessary condition and sufficient conditions for the existence of solutions of equations of this kind. The convergent iterative procedures are proposed for the construction either of a single solution or of at least one possible solution.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165909 |
| citation_txt |
Слабконелінійні рівняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах / В.П. Журавльов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1477–1490. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlʹovvp slabkonelíníinírívnânnâfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT žuravlʹovvp weaklynonlinearfredholmintegralequationswithdegeneratekernelinbanachspaces |
| first_indexed |
2025-11-27T09:38:39Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:38:39Z |
| _version_ |
1850810024946827264 |
| fulltext |
УДК 517.983
В. П. Журавльов (Житомир. нац. агроекол. ун-т)
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА
З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ У БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ
The paper highlights the weak non-linear Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces. The
author has obtained necessary condition and sufficient conditions for finding the solutions of such equations. The author
also managed to establish the converging iterative procedures for constructing the only possible solution, or at least one of
possible solutions.
Рассматриваются слабонелинейные уравнения Фредгольма с вырожденным яром в банаховых пространствах. Полу-
чены необходимое условие и достаточные условия существования решений таких уравнений, построены сходящиеся
итерационные процедуры для построения единственного решения и хотя бы одного из возможных решений.
Дослiдження умов розв’язностi та побудова розв’язкiв слабконелiнiйних операторних рiвнянь
(Lz)(t) = f(t) + εZ(z, t, ε) (1)
бере свiй початок з робiт I. Г. Малкiна [1] i Є. О. Гребенiкова, Ю. О. Рябова [2], де розгля-
далися задачi про побудову перiодичних розв’язкiв слабконелiнiйних диференцiальних систем
у скiнченновимiрному евклiдовому просторi Rn. Цей метод було узагальнено на дослiдження
умов розв’язностi крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь та систем
функцiонально-диференцiальних рiвнянь у загальному нетеровому випадку [3, 4].
Подальшим узагальненням задачi (1) став її розгляд у банаховому просторi, тобто скiн-
ченновимiрний евклiдiв простiр Rn значень функцiї розв’язку замiнювався на загальний ба-
нахiв простiр. О. А. Бойчук та Є. В. Панасенко [5] дослiджували рiвняння (1) у випадку,
коли L — диференцiальний оператор, який дiє у банаховому просторi, а А. М. Самойленко та
Ю. В. Теплiнський [6] дослiджували умови iснування перiодичних розв’язкiв диференцiальних
та рiзницевих рiвнянь у банаховому просторi обмежених числових послiдовностей.
Суттєвою особливiстю цих задач є те, що лiнiйне породжуюче рiвняння (ε = 0) має
розв’язки при будь-якiй правiй частинi, тобто, за термiнологiєю С. Г. Крейна [7], рiвняння
(Lz)(t) = f(t) є скрiзь розв’язним.
У цiй роботi з використанням конструкцiї узагальнено-обернених операторiв L− у ба-
нахових просторах, а також теореми про розв’язнiсть операторних рiвнянь з узагальнено-
оборотними операторами L розглянуто задачу про умови iснування та способи побудови
розв’язкiв слабконелiнiйних (з узагальнено-оборотною лiнiйною частиною) iнтегральних рiв-
нянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах.
Постановка задачi. Нехай z(t) — вектор-функцiя, яка дiє з вiдрiзка I = [a, b] у дiйсний
банахiв простiр B1, z(t) ∈ C(I,B1) := {z(·) → B1, ‖z‖ = supt∈I‖z(t)‖B1}, C(I,B1) —
банахiв простiр неперервних на I вектор-функцiй, C[0, ε0] — простiр неперервних по ε ∈ [0, ε0]
вектор-функцiй.
Розглянемо слабконелiнiйне операторне iнтегральне рiвняння Фредгольма з малим парамет-
ром ε
c© В. П. ЖУРАВЛЬОВ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11 1477
1478 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
(Lz)(t) := z(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z(s)ds = f(t) + ε
b∫
a
K(t, s)Z(z(s, ε), s, ε)ds, (2)
де
(a1) оператор-функцiїM(t) таN(t) дiють з банахового простору B1 у B1, сильно неперерв-
нi з нормами |||M ||| = supt∈I‖M(t)‖B1 = M0 <∞ та |||N ||| = supt∈I‖N(t)‖B1 = N0 <∞;
(a2) оператор-функцiя K(t, s) є визначеною у квадратi I×I i дiє з банахового простору B1
у B1 по кожнiй змiннiй, сильно неперервна по t, s з нормою |||K||| = supt,s∈I‖K(t, s)‖B1 =
= K0 <∞;
(a3) Z(z(t, ε), t, ε) — нелiнiйна по z обмежена оператор-функцiя, яка в околi породжуючого
розв’язку ‖z− z0‖ ≤ q має сильно неперервну похiдну Фреше по z i неперервна за сукупнiстю
змiнних z, t, ε; q i ε0 — досить малi сталi;
(a4) Z(0, t, 0) = 0, Z ′z(0, t, 0) = 0;
(a5) f(t) ∈ C(I,B1).
Знайдемо умови iснування та алгоритм побудови розв’язку z = z(t, ε) рiвняння (2), який
визначений у класi вектор-функцiй z(·, ε) ∈ C(I,B1), z(t, ·) ∈ C[0, ε0] i перетворюється при
ε = 0 в один iз породжуючих розв’язкiв не скрiзь розв’язного лiнiйного породжуючого рiвняння
Фредгольма з виродженим ядром
z0(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z0(s)ds = f(t). (3)
Для дослiдження рiвняння (2) застосуємо методи узагальненого обернення лiнiйних обме-
жених операторiв у банахових просторах [4, 8 – 10] та перехiд за допомогою методiв типу
Ляпунова – Шмiдта [1 – 3] вiд рiвняння (2) до операторної системи, для розв’язання якої засто-
совнi збiжнi iтерацiйнi процедури, основанi на принципi нерухомої точки.
Попереднi вiдомостi. Лiнiйне породжуюче iнтегральне рiвняння Фредгольма з виродженим
ядром (3) у банаховому просторi не є скрiзь розв’язним. У [10] встановлено умови узагальне-
ної оборотностi [11] iнтегрального оператора Фредгольма з виродженим ядром у банаховому
просторi та побудовано узагальнено-обернений оператор L− до нього.
Добуток M(t)x сильно неперервної оператор-функцiї M(t) на елемент x ∈ B1 є неперерв-
ною вектор-функцiєю [12, c. 141]. Тому оператор L дiє з банахового простору C(I,B1) у цей
же простiр.
Позначимо
D = IB1 −A, A =
b∫
a
N(s)M(s)ds, D : B1 → B1. (4)
Нехай D — обмежений узагальнено-оборотний оператор. Тодi iснують [13] обмеженi проек-
тори: PN(D) : B1 → N(D), який проектує банаховий простiр B1 на нуль-простiр N(D) опера-
тора D; PYD
: B1 → YD, який проектує банаховий простiр B1 на пiдпростiр YD, iзоморфний
нуль-простору N(D∗) спряженого оператора D∗ до оператора D, та обмежений узагальнено-
обернений оператор D− [8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1479
Теорема 1 [10]. Нехай D : B1 → B1 — обмежений узагальнено-оборотний оператор. Тодi
iнтегральний оператор L є узагальнено-оборотним.
Для доведення узагальненої оборотностi iнтегрального оператора побудовано проектори
(PN(L)z)(t) = M(t)PN(D)
b∫
a
N(s)z(s)ds, PN(L) : C(I,B1)→ N(L), (5)
(PYL
f)(t) = M(t)PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds, PYL
: C(I,B1)→ YL, (6)
та доведено, що вони обмеженi.
Теорема 2 [10]. Нехай D : B1 → B1 — обмежений узагальнено-оборотний оператор. Тодi
оператор
(L−f)(t) = f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds (7)
є обмеженим узагальнено-оберненим оператором до iнтегрального оператора L, де D− —
обмежений узагальнено-обернений оператор до оператора D.
Для доведення теореми перевiрено спiввiдношення LL−L = L, яке визначає узагальнено-
обернений оператор [11, c. 138].
Допомiжний результат. Розв’язок лiнiйних iнтегральних рiвнянь Фредгольма з вирод-
женим ядром. Розглянемо умови iснування та вигляд загального розв’язку лiнiйного породжу-
ючого iнтегрального рiвняння Фредгольма з виродженим ядром (3).
Теорема 3. Нехай D : B1 → B1 — обмежений узагальнено-оборотний оператор. Тодi при
виконаннi умови
(PYL
f)(t) = M(t)PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds = 0 (8)
i тiльки при нiй операторне рiвняння (3) є розв’язним i має сiм’ю розв’язкiв
z0(t) = M(t)PN(D)ĉ+ (L−f)(t),
деM(t)PN(D) — оператор-функцiя, яка є розв’язком вiдповiдного (3) однорiдного iнтегрального
рiвняння, ĉ — довiльний елемент банахового простору B1, L
− — узагальнено-обернений опера-
тор (7) до iнтегрального оператора L.
Доведення. Оскiльки оператор D : B1 → B1 є узагальнено-оборотним, то за теоремою 1
iнтегральний оператор L теж є узагальнено-оборотним, а тому нуль-простiр N(L) i образ
R(L) доповнювальнi у банаховому просторi C(I,B1). Тодi загальний розв’язок рiвняння (3) є
прямою сумою z0(t) = z̃(t) + z̄(t), де z̃(t) — загальний розв’язок вiдповiдного (3) однорiдного
рiвняння (Lz)(t) = 0, а z̄(t) — частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1480 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
З означення проектора PN(L) на нуль-простiр N(L) оператора L (5) маємо, що загальний
розв’язок вiдповiдного (3) однорiдного рiвняння має вигляд
z̃(t) = (PN(L)ẑ)(t) = M(t)PN(D)
b∫
a
N(s)ẑds = M(t)PN(D)ĉ, (9)
де ẑ(t) — довiльний елемент банахового простору C(I,B1) i ĉ =
∫ b
a
N(s)ẑds — вiдповiдно
довiльний елемент банахового простору B1.
Оскiльки оператор L є узагальнено-оборотним, то лiнiйне операторне рiвняння (3) є нор-
мально розв’язним. Для його розв’язностi необхiдно i достатньо [7], щоб елемент f(t) ∈
∈ C(I,B1) належав образу R (L) оператора L. З доповнювальностi образу R(L) та означення
проектора PYL
(6) маємо R(L) = N(PYL
). Таким чином, умова (8) гарантує належнiсть еле-
мента f(t) образу R(L) оператора L.
При виконаннi умови (8) частинний розв’язок z̄(t) неоднорiдного рiвняння (3) знаходиться
за формулою
z̄(t) = (L−f)(t) = f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds,
оскiльки за теоремою 2
(L−f)(t) = f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds
— узагальнено-обернений оператор до iнтегрального оператора Фредгольма з виродженим
ядром.
Таким чином, загальний розв’язок iнтегрального рiвняння (3) має вигляд
z0(t, ĉ) = M(t)PN(D)ĉ+ f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds. (10)
Пiдставивши розв’язок (10) у (3), отримаємо
(Lz0(·, ĉ))(t) = M(t)PN(D)ĉ+ f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds−
−M(t)
b∫
a
N(s)
M(s)PN(D)ĉ+ f(s) +M(s)D−
b∫
a
N(τ)f(τ)dτ
ds.
Оскiльки D = IB1 − A, DD− = IB1 − PYD
, то з урахуванням умови (8) пiсля перетворень
отримаємо
(Lz0(·, ĉ))(t) = f(t)−M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds = f(t). (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1481
Зауваження 1. Якщо
PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds = 0, (12)
то умова (8) буде завжди виконуватись. Тому у подальшому будемо використовувати умову (12).
Основний результат. Необхiдна умова iснування розв’язкiв слабконелiнiйного рiвнян-
ня Фредгольма з виродженим ядром. Знайдемо необхiдну умову iснування розв’язку z(t, ε)
операторного рiвняння (2), який при ε = 0 перетворюється в один iз породжуючих розв’язкiв
z0(t, ĉ) ∈ C(I,B1) (10) рiвняння (3).
Ця задача розв’язується за допомогою операторного рiвняння
F (ĉ) = PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)Z(z0(τ, ĉ), τ, 0)dτds = 0, (13)
яке по аналогiї з подiбними задачами для скрiзь розв’язних диференцiальних рiвнянь [5] у
банахових просторах будемо називати рiвнянням для породжуючих елементiв.
Зауважимо, що у випадку перiодичної крайової задачi у скiнченновимiрному просторi
ĉ ∈ Rn — векторна стала, яка має фiзичний змiст, — це амплiтуда коливань породжуючого
розв’язку. Тому в класичнiй перiодичнiй задачi для диференцiальних систем рiвняння, аналогiч-
не рiвнянню (13), називається рiвнянням для породжуючих амплiтуд [1].
Теорема 4. Нехай слабконелiнiйне операторне iнтегральне рiвняння (2) має розв’язок z =
= z(t, ε) : z(·, ε) ∈ C(I,B1), z(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворюється в породжуючий
розв’язок (12) з елементом ĉ = c0 ∈ B1. Тодi елемент c0 обов’язково повинен бути дiйсним
коренем рiвняння (13) для породжуючих елементiв.
Доведення. Нехай рiвняння (2) має розв’язки z(t, ε). Тодi за теоремою 3, розглядаючи праву
частину рiвняння (2) як неоднорiднiсть та враховуючи (12), записуємо умову його розв’язностi
у виглядi
PYD
b∫
a
N(s)
f(s) + ε
b∫
a
K(s, τ)Z(z(τ, ε), τ, ε)dτ
ds = 0. (14)
З урахуванням (12) умова (14) набере вигляду
εPYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)Z(z(τ, ε), τ, ε)dτds = 0.
При ε 6= 0 повинна виконуватись рiвнiсть
PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)Z(z(τ, ε), τ, ε)dτds = 0. (15)
Далi, z(t, ε) → z0(t, ĉ) при ε → 0. Враховуючи неперервнiсть оператор-функцiї Z(z, t, ε) за
сукупнiстю змiнних z, t, ε, при переходi до границi при ε → 0 у рiвностi (15) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1482 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
необхiдну умову iснування розв’язку операторного рiвняння (2):
F (ĉ) = PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)Z(z0(τ, ĉ), τ, 0)dτds = 0.
Отже, якщо рiвняння (13) має розв’язок ĉ = c0 ∈ B1, то елемент c0 визначає той пород-
жуючий розв’язок z0(t, c0), якому може вiдповiдати розв’язок z(t, ε) нелiнiйного рiвняння (2).
Якщо ж рiвняння (13) не має розв’язкiв, то i операторне рiвняння (2) не має шуканого розв’язку.
Мова йде про дiйснi розв’язки рiвняння (13), оскiльки розглядаються дiйснi банаховi просто-
ри. Таким чином, необхiдна умова iснування розв’язку рiвняння (2) задовольняється вибором
константи ĉ у породжуючому розв’язку (12), як дiйсного кореня рiвняння для породжуючих
елементiв (13).
Достатнi умови iснування розв’язкiв. Для отримання достатнiх умов iснування розв’язкiв
iнтегрального рiвняння Фредгольма (2) у випадку, коли породжуюче операторне рiвняння (3)
має сiм’ю розв’язкiв (12), виконаємо у рiвняннi (2) замiну змiнних
z(t, ε) = z0(t, c0) + x(t, ε), (16)
де z0(t, c0) — породжуючий розв’язок (10) рiвняння (3), а елемент c0 ∈ B1 є дiйсним коренем
рiвняння для породжуючих елементiв (13). Враховуючи нову змiнну, будемо шукати умови iсну-
вання розв’язку x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C(I,B1), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворюється в
нульовий розв’язок рiвняння
x(t)−M(t)
b∫
a
N(s)x(s)ds = ε
b∫
a
K(t, s)Z(z0(s, c0) + x(t, ε), s, ε)ds. (17)
Використавши неперервну диференцiйовнiсть вектор-функцiї Z(z, t, ε) по z в околi точки
ε = 0, видiлимо у вектор-функцiї Z(z0+x, t, ε) лiнiйну частину по z i члени нульового порядку
по ε. Тодi будемо мати розвинення
Z(z0 + x, t, ε) = Z(z0, t, 0) + T (t)x+R(x, t, ε), (18)
де вектор-функцiя Z(z0(t, c0), t, 0) належить C(I,B1), а оператор-функцiя
T (t) = T (t, c0) =
∂Z(z, t, 0)
∂z
|z=z0(t,c0)
дiє з банахового простору B1 у B1, сильно неперервна з нормою |||T ||| = supt∈I‖T (t)‖B1 =
= T0 <∞.
Нелiнiйна вектор-функцiя R(x(t, ε), t, ε) задовольняє умови (a3) та (a4).
Отже, враховуючи замiну (16), будемо розглядати операторне рiвняння
x(t)−M(t)
b∫
a
N(s)x(s)ds =
= ε
b∫
a
K(t, s)
{
Z(z0(s, c0), s, 0) + T (s)x(s, ε) +R(x(s, ε), s, ε)
}
ds (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1483
для знаходження вiдхилення x(t, ε) вiд породжуючого розв’язку z0(t, c0).
Використовуючи розвинення (18), записуємо умову розв’язностi операторного рiвняння (19):
PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
{
Z(z0(τ, c0), τ, 0)+
+T (τ)
[
M(τ)PN(D)c+ x̄(τ, ε)
]
+R(x(τ, ε), τ, ε)
}
dτds = 0, (20)
де c — довiльний елемент банахового простору B1, x̄(t, ε) — частинний, а x(t, ε) — загальний
розв’язок операторного рiвняння (19).
Позначимо через
B0 = PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)T (τ)M(τ)dτdsPN(D)
лiнiйний обмежений оператор, який дiє з простору B1 у пiдпростiр YD ⊂ B1. Тодi з урахуван-
ням (13) рiвняння (20) для визначення елемента c набере вигляду
B0c+ PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds = 0. (21)
Припустимо, що B0 : B1 → YD — узагальнено-оборотний оператор. Нехай PN(B0) : B1 →
→ N(B0) i PYB0
: YD → YB0 — обмеженi проектори, а B−0 — узагальнено-обернений оператор
до оператора B0.
За теоремою 3, розглядаючи нелiнiйну оператор-функцiю Z як неоднорiднiсть i використо-
вуючи формулу (10), для розв’язку x(t, ε) отримуємо
x(t, ε) = M(t)PN(D)c+ x̄(t, ε).
Елемент c ∈ B1 визначається з умови (21) розв’язностi рiвняння (19), а вектор-функцiя
x̄(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ)
[
Z(z0(τ, c0), τ, 0) + T (τ)x(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτ+
+M(t)D−
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)
[
Z(z0(τ, c0), τ, 0) + T (τ)x(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds
— частинний розв’язок рiвняння (19).
Таким чином, враховуючи, що c0 задовольняє рiвняння для породжуючих елементiв (13),
для визначення розв’язку x(·, ε) ∈ C(I,B1), x(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) = 0 вiд рiвняння (19)
приходимо до еквiвалентної операторної системи
x(t, ε) = M(t)PN(D)c+ x̄(t, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1484 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
B0c = −PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds = 0, (22)
x̄(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
×
×
[
Z(z0(τ, c0), τ, 0) + T (τ)x(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτ.
Розв’язнiсть операторної системи (22) залежить вiд розв’язностi її другого рiвняння. Оскiль-
ки за припущенням операторB0 є узагальнено-оборотним, то воно може бути скрiзь розв’язним
(PYB0
= 0), однозначно розв’язним (PN(B0)) = 0 або неоднозначно i не скрiзь розв’язним
(PN(B0) 6= 0, PYB0
6= 0) [7, c. 7, 8].
Розглянемо найбiльш загальний випадок, коли PN(B0) 6= 0 та PYB0
6= 0.
Друге операторне рiвняння системи (22) має розв’язки тодi i лише тодi, коли виконується
умова
PYB0
PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds = 0, (23)
яка буде виконуватись завжди, якщо
PYB0
PYD
= 0. (24)
При виконаннi умови (23) сiм’я розв’язкiв другого рiвняння системи (22) має вигляд
c = PN(B0)ĉ−B
−
0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds,
де ĉ — довiльний елемент банахового простору B1.
Таким чином, при виконаннi умови (24) вiд системи (22) переходимо до операторної системи
x(t, ε) = M(t)PN(D)c+ x̄(t, ε),
c = PN(B0)ĉ−B
−
0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτds,
(25)
x̄(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
×
×
[
Z(z0(τ, c0), τ, 0) + T (τ)x(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτ,
де ĉ — довiльний елемент банахового простору B1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1485
Покажемо, що операторна система (25) належить до класу систем, для розв’язку яких
застосовний метод простих iтерацiй.
Введемо такi позначення:
y(·, ε) = col(x(·, ε), c, x̄(·, ε)) — вектор-стовпець з банахового простору B = C(I,B1)×B1×
×C(I,B1);
W =
0 M(t)PN(D) I
0 0 K
0 0 0
(26)
— клiтинно-матричний оператор верхньотрикутного вигляду, де I — тотожний оператор у про-
сторi C(I,B1), а оператор K дiє на вектор-функцiю g за правилом
(Kg)(·, ε) := −B−0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)T (τ)g(·, ε)dτds,
U(y(t, ε), t, ε) :=
0
−B−0 PYD
∫ b
a
∫ b
a
N(s)K(s, τ)R(x(τ, ε), τ, ε)dτds+ c]
ε
∫ b
a
[
K(t, τ) +M(t)D−
∫ b
a
N(s)K(s, τ)ds
]
×
×
[
Z(z0(τ, c0), τ, 0) + T (τ)x(τ, ε) +R(x(τ, ε), τ, ε)
]
dτ
,
де c] = PN(B0)ĉ0 — деякий фiксований елемент iз нуль-простору N(B0) оператора B0. Вектор-
функцiя U(y, t, ε) задовольняє умови (a3) та (a4).
Оператори, якi входять до матричного оператора (26), є лiнiйними, обмеженими за визна-
ченням та як суперпозицiї лiнiйних обмежених операторiв.
Використовуючи введенi позначення, систему (25) можна записати у виглядi
y(t, ε) = Wy(·, ε)(t) + U(y(·, ε), ·, ε)(t). (27)
Операторна система (27) еквiвалентна системi
V y(t, ε) = U(y(·, ε), ·, ε)(t),
де
V = IB −W =
I −M(t)PN(D) −I
0 I −K
0 0 I
.
Далi необхiдно показати, що оператор V має обмежений обернений.
Завдяки структурi матричного оператора V верхньотрикутного вигляду з тотожними опе-
раторами на головнiй дiагоналi оператор V = IB −W завжди має обернений оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1486 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
V −1 =
I M(t)PN(D) M(t)PN(D)K + I
0 I K
0 0 I
.
Оператор V −1 дiє на вектор-стовпець y = col(x, c, x̄) за правилом
V −1y =
x+M(t)PN(D)c+ [M(t)PN(D)K + I]x̄
c+Kx̄
x̄
.
Для доведення обмеженостi оператора V −1 покажемо, що iснує стала k > 0 така, що
виконується нерiвнiсть
|||V −1y|||B ≤ k
{
|||x|||C(I,B1) + |||c|||B1 + |||x̄|||C(I,B1)
}
.
Для цього доведемо обмеженiсть кожної компоненти вектора V −1y у банаховому просто-
рi C(I,B1).
Оператори M(t)PN(D) та K є обмеженими. Позначимо їх норми:
|||M(t)PN(D)|||C(I,B1) = m, |||K|||C(I,B1) = p.
Враховуючи введенi позначення, отримуємо
|||x+M(t)PN(D)c+M(t)PN(D)Kx̄+ Ix̄|||B ≤
≤ |||x|||C(I,B1) + |||M(t)PN(D)c|||C(I,B1) + |||M(t)PN(D)Kx̄|||C(I,B1) + |||Ix̄|||C(I,B1) ≤
≤ |||x|||C(I,B1) +m|||c|||B1 + (mp+ 1)|||x̄|||C(I,B1),
|||c+Kx̄|||B ≤ |||c|||B1 + |||Kx̄|||C(I,B1) ≤ |||c|||B1 + p|||x̄|||C(I,B1).
Отже,
|||V −1y|||B ≤ |||x|||C(I,B1) + (m+ 1)|||c|||B1 + (mp+ p+ 2)|||x̄|||C(I,B1) ≤
≤ k
{
|||x|||C(I,B1) + |||c|||B1 + |||x̄|||C(I,B1)
}
,
де k = max
{
1, (m+ 1), (mp+ p+ 2)
}
. Таким чином, обмеженiсть оператора V −1 доведено.
З урахуванням введених вище позначень запишемо операторну систему (25) у виглядi
y = V −1Uy = V −1Ũ(ε)y,
де Ũ(ε) — взагалi кажучи, нелiнiйний обмежений оператор. Враховуючи обмеженiсть оператора
V −1 i обмеженiсть промiжку I, можна пiдiбрати ε∗ ≤ ε0 так, що для всiх ε ≤ ε∗ оператор
V −1Ũ(ε) буде оператором стиску. Звiдси випливає, що операторна система (25) належить до
класу систем, для розв’язання яких може бути застосований метод простих iтерацiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1487
y = lim
k→∞
yk, yk = V −1Uyk−1, y0 = 0,
i має єдину нерухому точку, яка буде розв’язком рiвняння (2).
Використавши метод простих iтерацiй для знаходження розв’язкiв операторного рiвнян-
ня (2) у класi вектор-функцiй, неперервних по ε, що дорiвнюють нулю при ε = 0, побудуємо
iтерацiйний процес.
Перше наближення x̄1(t, ε) до x̄(t, ε) знайдемо як частинний розв’язок операторного рiв-
няння
x1(t)−M(t)
b∫
a
N(s)x1(s)ds = ε
b∫
a
K(t, s)Z(z0(s, c0), s, 0)ds,
який iснує завдяки вибору c0 ∈ B1 з рiвняння для породжуючих елементiв (13). Цей розв’язок
можна записати у виглядi
x̄1(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, s) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
Z(z0(s, c0), s, 0)dτ.
Перше наближення x1(t, ε) до розв’язку x(t, ε) операторного рiвняння (2) покладемо рiвним
x̄1(t, ε) :
x1(t, ε) = x̄1(t, ε).
Друге наближення x2(t, ε) до шуканого розв’язку x(t, ε) знаходимо як розв’язок операторного
рiвняння
x2(t)−M(t)
b∫
a
N(s)x2(s)ds = ε
b∫
a
K(t, s)
{
Z(z0(s, c0), s, 0)+
+T (s)
[
M(s)PN(D)c1 + x̄1(s, ε)
]
+R(x1(s, ε), s, ε)
}
ds. (28)
Iз необхiдної та достатньої умови розв’язностi рiвняння (28)
B0c1 = −PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄1(τ, ε) +R(x1(τ, ε), τ, ε)
]
dτds (29)
знайдемо перше наближення c1 до c :
c1 = −B−0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄1(τ, ε) +R(x1(τ, ε), τ, ε)
]
dτds+ c],
де c] = PN(B0)ĉ — довiльний фiксований елемент iз нуль-простору N(B0) оператора B0.
Необхiдна та достатня умова розв’язностi вiдносно c1 рiвняння (29) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1488 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
PYB0
PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄1(τ, ε) +R(x1(τ, ε), τ, ε)
]
dτds = 0. (30)
Друге наближення x2(t, ε) до x(t, ε) запишеться так:
x2(t, ε) = M(t)PN(D)c1 + x̄2(t, ε),
де
x̄2(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
{Z(z0(τ, c0), τ, 0)+
+T (τ)
[
M(τ)PN(D)c1 + x̄1(τ, ε)
]
+R(x1(τ, ε), τ, ε)
}
dτ.
Третє наближення x̄3(t, ε) до частинного розв’язку x̄(t, ε) визначимо за формулою
x̄3(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
{Z(z0(τ, c0), τ, 0)+
+T (τ)
[
M(τ)PN(D)c2 + x̄2(τ, ε)
]
+R(x2(τ, ε), τ, ε)
}
dτ,
як розв’язок операторного рiвняння
x3(t)−M(t)
b∫
a
N(s)x3(s)ds = ε
b∫
a
K(t, s)
{
Z(z0(s, c0), s, 0)+
T (s)
[
M(s)PN(D)c2 + x̄2(s, ε)
]
+R(x2(s, ε), s, ε)
}
ds.
Iз необхiдної та достатньої умови iснування розв’язку цього операторного рiвняння прихо-
димо до спiввiдношення
B0c2 = −PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄2(τ, ε) +R(x2(τ, ε), τ, ε)
]
dτds (31)
для знаходження другого наближення c2 до c.
При виконаннi критерiю розв’язностi рiвняння (31)
PYB0
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)
[
T (τ)x̄2(τ, ε) +R(x2(τ, ε), τ, ε)
]
dτds = 0 (32)
його розв’язок має вигляд
c2 = −B−0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄2(τ, ε) +R(x2(τ, ε), τ, ε)
]
dτds+ c].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI РIВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ . . . 1489
Таким чином, якщо PYB0
PYD
= 0, то критерiї розв’язностi типу (30) та (32) вiдповiдних
рiвнянь на кожному кроцi iтерацiйного процесу будуть виконанi. Продовжуючи iтерацiйний
процес далi, з операторної системи (25) отримуємо схему для знаходження розв’язку x(t, ε),
неперервного по ε i такого, що дорiвнює нулю при ε = 0:
ck = −B−0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄k(τ, ε) +R(xk(τ, ε), τ, ε)
]
dτds+ c],
x̄k+1(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
{Z(z0(τ, c0), τ, 0)+
+T (τ)
[
M(τ)PN(D)ck(ε) + x̄k(τ, ε)
]
+R(xk(τ, ε), τ, ε)
}
dτ,
xk+1(t, ε) = M(t)PN(D)ck + x̄k+1(t, ε),
x0(t, ε) = x̄0(t, ε) ≡ 0, k = 0, 1, 2, . . . .
Не порушуючи загальностi можна покласти ĉ = 0, c] = PN(B0)ĉ = 0 i з множини розв’язкiв
другого рiвняння операторної системи (22) вибрати один iз розв’язкiв.
Таким чином, для операторного рiвняння (2) справедливою є така теорема.
Теорема 5. Нехай операторне рiвняння (2) задовольняє умови (a1) – (a5), оператор D є
узагальнено-оборотним, а вiдповiдне породжуюче рiвняння (3) при виконаннi умови (12) має
сiм’ю породжуючих розв’язкiв (10). Тодi якщо операторB0 : B1 → YD є узагальнено-оборотним
i виконуються умови
PN(B0) 6= 0, PYB0
PYD
= 0, (33)
то для кожного елемента c0 ∈ B1, який задовольняє рiвняння для породжуючих елементiв (13),
операторне рiвняння (2) має принаймнi один розв’язок z(t, ε) = z0(t, c0) + x(t, ε), неперервний
по ε, який перетворюється в породжуючий розв’язок z0(t, c0) при ε = 0. Цей розв’язок можна
знайти за допомогою збiжного на [0, ε∗] ⊂ [0, ε0] iтерацiйного процесу
ck = −B−0 PYD
b∫
a
b∫
a
N(s)K(s, τ)
[
T (τ)x̄k(τ, ε) +R(xk(τ, ε), τ, ε)
]
dτds,
x̄k+1(t, ε) = ε
b∫
a
K(t, τ) +M(t)D−
b∫
a
N(s)K(s, τ)ds
{Z(z0(τ, c0), τ, 0)+
+T (τ)
[
M(τ)PN(D)ck + x̄k(τ, ε)
]
+R(xk(τ, ε), τ, ε)
}
dτ,
(34)
xk+1(t, ε) = M(t)PN(D)ck + x̄k+1(t, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1490 В. П. ЖУРАВЛЬОВ
zk(t, ε) = z0(t, c0) + xk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . ,
x0(t, ε) ≡ x̄0(t, ε) ≡ 0.
Зауваження 2. Якщо PN(B0) 6= 0, а PYB0
= 0, то друге рiвняння системи (22) буде скрiзь
розв’язним, а оператор B0 — d-нормальним [7, c. 31] з нульовим коядром або нетеровим
(indB0 = dimN(B0)). Тодi узагальнено-обернений оператор B−0 буде правим оберненим опе-
ратором (B0)
−1
r [8, c. 67], друга умова з (33) буде автоматично виконуватись, а операторне
рiвняння (2) буде мати принаймнi один розв’язок, який знаходиться за допомогою збiжного
iтерацiйного процесу (34), де B−0 = (B0)
−1
r .
Зауваження 3. Якщо PN(B0) = 0, а PYB0
6= 0, то друге рiвняння системи (22) буде одно-
значно розв’язним, а оператор B0 — n-нормальним [7, c. 27] з нульовим ядром або нетеровим
(indB0 = −dimYB0). Тодi узагальнено-обернений оператор B−0 буде лiвим оберненим опера-
тором (B0)
−1
l [8, c. 67], i при PYB0
PYD
= 0 операторне рiвняння (2) буде мати єдиний розв’язок
(c] = PN(B0)ĉ ≡ 0), який знаходиться за допомогою збiжного iтерацiйного процесу (34), в
якому B−0 = (B0)
−1
l .
Зауваження 4. Аналогiчнi методи було застосовано у [5] для побудови розв’язкiв слабко-
нелiнiйних крайових задач для скрiзь розв’язних звичайних диференцiальних рiвнянь у бана-
хових просторах у критичних випадках, а у [14] для побудови розв’язкiв cлабконелiнiйних кра-
йових задач для не скрiзь розв’язних систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь у просторi Rn.
1. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. – Киев: Наук. думка, 1990. – 96 с.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 317 p.
5. Бойчук О. А., Панасенко Є. В. Слабконелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у критичному
випадку в банаховому просторi // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 4. – С. 483 – 496.
6. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових про-
сторах. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. – 496 с.
7. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
8. Журавлев В. Ф. Построение обобщенно обратного оператора к матричному в банаховом пространстве // Наук.
вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. математика i iнформатика. – 2010. – Вип. 21. – С. 61 – 71.
9. Журавлев В. Ф. Критерий разрешимости и представление решений линейных n- (d)-нормальных операторных
уравнений в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 2. – С. 167 – 182.
10. Журавльов В. П. Узагальнене обернення операторiв Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах //
Нелiнiйнi коливання. – 2014. – 17, № 3. – C. 351 – 364.
11. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
12. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
13. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Математика
сьогоднi’07. – 2007. – Вип. 13. – C. 78 – 116.
14. Бойчук О. А., Головацька I. А. Слабконелiнiйнi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливан-
ня. – 2013. – 16, № 3. – C. 314 – 321.
Одержано 18.11.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|