Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення
С помощью обобщенного n-мерного преобразования Лапласа медленно растущих обобщенных функций, носители которых содержатся в положительном n-мерном конусе, построено функциональное исчисление для коммутативных наборов инъективных генераторов n-параметрических аналитических полугрупп операторов, действ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165911 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення / А.О. Лопушанський, С.В. Шарин // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1498–1511. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165911 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лопушанський, А.О. Шарин, С.В. 2020-02-17T10:55:00Z 2020-02-17T10:55:00Z 2015 Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення / А.О. Лопушанський, С.В. Шарин // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1498–1511. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165911 517.98 С помощью обобщенного n-мерного преобразования Лапласа медленно растущих обобщенных функций, носители которых содержатся в положительном n-мерном конусе, построено функциональное исчисление для коммутативных наборов инъективных генераторов n-параметрических аналитических полугрупп операторов, действующих в банаховом пространстве. We use the generalized n-dimensional Laplace transform of tempered distributions whose supports are located in a positive n-dimensional cone to construct functional calculus for the commutative collections of injective generators of n-parameter analytic semigroups of operators acting in a Banach space. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення Application of the Laplace Transform of Tempered Distributions to the Construction of Functional Calculus Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| spellingShingle |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення Лопушанський, А.О. Шарин, С.В. Статті |
| title_short |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| title_full |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| title_fullStr |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| title_full_unstemmed |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| title_sort |
застосування перетворення лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення |
| author |
Лопушанський, А.О. Шарин, С.В. |
| author_facet |
Лопушанський, А.О. Шарин, С.В. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Application of the Laplace Transform of Tempered Distributions to the Construction of Functional Calculus |
| description |
С помощью обобщенного n-мерного преобразования Лапласа медленно растущих обобщенных функций, носители которых содержатся в положительном n-мерном конусе, построено функциональное исчисление для коммутативных наборов инъективных генераторов n-параметрических аналитических полугрупп операторов, действующих в банаховом пространстве.
We use the generalized n-dimensional Laplace transform of tempered distributions whose supports are located in a positive n-dimensional cone to construct functional calculus for the commutative collections of injective generators of n-parameter analytic semigroups of operators acting in a Banach space.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165911 |
| citation_txt |
Застосування перетворення Лапласа узагальнених функцій повільного росту до побудови функціонального числення / А.О. Лопушанський, С.В. Шарин // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 11. — С. 1498–1511. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT lopušansʹkiiao zastosuvannâperetvorennâlaplasauzagalʹnenihfunkcíipovílʹnogorostudopobudovifunkcíonalʹnogočislennâ AT šarinsv zastosuvannâperetvorennâlaplasauzagalʹnenihfunkcíipovílʹnogorostudopobudovifunkcíonalʹnogočislennâ AT lopušansʹkiiao applicationofthelaplacetransformoftempereddistributionstotheconstructionoffunctionalcalculus AT šarinsv applicationofthelaplacetransformoftempereddistributionstotheconstructionoffunctionalcalculus |
| first_indexed |
2025-11-26T16:44:30Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:44:30Z |
| _version_ |
1850628810683187200 |
| fulltext |
УДК 517.98
О. В. Лопушанський (Жешув. ун-т, Польща),
С. В. Шарин (Прикарпат. нац. ун-т, Iвано-Франкiвськ)
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА
УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО РОСТУ
ДО ПОБУДОВИ ФУНКЦIОНАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ
We use the generalized n-dimensional Laplace transform of tempered distributions whose supports are located in a positive
n-dimensional cone to construct a functional calculus for the commutative collections of injective generators of n-parameter
analytic semigroups of operators acting in a Banach space.
С помощью обобщенного n-мерного преобразования Лапласа медленно растущих обобщенных функций, носители
которых содержатся в положительном n-мерном конусе, построено функциональное исчисление для коммутатив-
ных наборов инъективных генераторов n-параметрических аналитических полугрупп операторов, действующих в
банаховом пространстве.
1. Вступ. Нехай S′+ — згорткова алгебра узагальнених функцiй повiльного росту, носiї яких
мiстяться в додатному конусi Rn+. Узагальнене перетворення Лапласа f̂ розподiлу f ∈ S′+ є
аналiтичною функцiєю
f̂(z) =
〈
f(t), e−tz
〉
, f ∈ S′+, (1)
що визначена в трубчастiй областi
Cn+ :=
{
z = x+ iy ∈ Cn : x ∈ Rn, y ∈ Rn+
}
.
Вiдомо [19], що множина Ŝ′+ =
{
f̂ : f ∈ S′+
}
є алгеброю вiдносно поточкового множення
f̂(z) · ĝ(z) = f̂ ∗ g(z) для всiх z ∈ Cn+, де символом ∗ позначено звичайну згортку розподiлiв.
У цiй статтi ми використовуємо узагальнене перетворення Лапласа
L : S′+ 3 f 7−→ f̂ ∈ Ŝ′+
для побудови функцiонального числення для набору iн’єктивних генераторiв A = (A1, . . . , An)
n-параметричних аналiтичних напiвгруп
Rn+ 3 (t1, . . . , tn) = t 7−→ e−tA = e−(t1A1+...+tnAn)
обмежених операторiв, що дiють у комплексному банаховому просторi E. Як клас символiв
такого числення ми використовуємо мультиплiкативну алгебру Ŝ′+ аналiтичних функцiй (1).
Функцiональне числення Φ : f̂ 7−→ f̂(A) при фiксованому A визначено за формулою
f̂(A)x =
〈
f(t), e−tAx
〉
, x ∈ A, (2)
де A — щiльний в E пiдпростiр нескiнченно гладких векторiв, що визначається цiлими степеня-
ми генераторiв. Як результат лiнiйнi оператори f̂(A) визначенi на E як необмеженi оператори iз
спiльною областю визначення A. Бiльше того, вiдображення Φ є алгебраїчним гомоморфiзмом
мультиплiкативної алгебри Ŝ′+ на комутативну пiдалгебру L (A, E) (див. теорему 1).
Формула (2) є операторним аналогом формули (1). Зауважимо, що на вiдмiну вiд класичного
функцiонального числення [8, 13] або його узагальнень [6, 11] ми не використовуємо жодного
iнтегрального зображення функцiй iз класу символiв.
Диференцiальнi властивостi алгебраїчного гомоморфiзму Φ описано в теоремах 2 i 3.
З використанням теореми 1 у прикладi 1 визначено довiльний дiйсний степiнь оператора.
Застосування числення до n-параметричної напiвгрупи Гаусса – Вейєрштрасса розглянуто у
прикладах 2 i 3.
Iншi дослiдження, що стосуються тематики статтi, можна знайти у [7, 10 – 12].
c© О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН, 2015
1498 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1499
2. Попереднi вiдомостi та позначення. Нехай R+ := [0,∞), Z+ := R+∩Z, Zn+ := ×nj=1Z+,
Rn+ := ×nj=1R+, Nn := ×nj=1N, intRn+ — внутрiшнiсть конуса Rn+.
Введемо такi позначення: ts = t1s1 + . . .+ tnsn, |t| =
√
tt̄, tα = tα1
1 . . . tαnn , ∂α = ∂α1
1 . . . ∂αnn ,
∂
αj
j = ∂αj/∂t
αj
j , α! = α1! . . . αn!, |α| = α1 + . . .+ αn для довiльних t = (t1, . . . , tn), s =
= (s1, . . . , sn) з Rn або Cn i α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn+. Ми пишемо α 4 β, якщо αj ≤ βj для всiх
j = 1, . . . , n, де α, β ∈ Zn+.
Скрiзь у статтi L (X) позначає простiр неперервних лiнiйних операторiв над локально
опуклим простором X, а X ′ — спряжений до X простiр. Простори L (X) i X ′ ми надiляємо
топологiєю рiвномiрної збiжностi на обмежених пiдмножинах X.
Нехай задано функцiю Rn+ 3 t 7−→ U(t) ∈ L (E), де E :=
(
E, ‖ · ‖
)
— комплексний
банаховий простiр.
Сiм’ю {U(t) : t ∈ Rn+} обмежених лiнiйних операторiв на E називають (див. [3, 8]) n-
параметричною напiвгрупою, якщо U(t + s) = U(t) ◦ U(s) для всiх t, s ∈ Rn+ i U(0) = I —
тотожний оператор в L (E).
Напiвгрупу U := {U(t) : t ∈ Rn+} називають сильно неперервною (або C0-напiвгрупою),
якщо
lim
Rn+3t→0
‖U(t)x− x‖ = 0 для всiх x ∈ E.
Для кожної n-параметричної напiвгрупи U визначимо маргiнальнi однопараметричнi напiв-
групи Vj = {Vj(τ) : τ ∈ R+}, j = 1, . . . , n, де
Vj : R+ 3 τ 7−→ U( 0, . . . , 0, τ︸ ︷︷ ︸
j
, 0, . . . , 0) ∈ L (E).
Кожну n-параметричну напiвгрупу U можна подати як композицiю маргiнальних однопарамет-
ричних напiвгруп, що комутують одна з одною (див. [3, 8]), тобто
U(t1, . . . , tn) = V1(t1) ◦ . . . ◦ Vn(tn).
Генератор Aj маргiнальної напiвгрупи Vj = {Vj(τ) : τ ∈ R+} визначають за правилом
Ajx := lim
τ→+0
τ−1
(
Vj(τ)x− x
)
= ∂1
j Vj(τ)x
∣∣
τ=+0
для всiх x ∈ D(Aj), де D(Aj) складається з усiх x ∈ E, для яких наведена вище границя iснує.
Генератором n-параметричної напiвгрупи U = {U(t) : t ∈ Rn+} називають множину опера-
торiв A := (A1, . . . , An) iз спiльною областю визначення D(A) :=
⋂n
j=1 D(Aj).
Якщо U є C0-напiвгрупою, то кожен оператор Aj є замкненим i його звуження Aj
∣∣
D(A)
є
обмеженим. Бiльше того, справджуються вiдомi властивостi (див., наприклад, [3], тверджен-
ня 1.1.8 i 1.1.9):
(i) якщо x ∈ D(Aj), то U(t)x ∈ D(Aj) i AjU(t)x = U(t)Ajx для всiх t ∈ Rn+;
(ii) U(t)x ∈ D(A) для всiх x ∈ E, t ∈ intRn+ i D(A) є щiльним пiдпростором E; крiм того,
D(A) є банаховим простором вiдносно норми
‖x‖D(A) := ‖x‖+
n∑
j=1
‖Ajx‖;
(iii) для всiх x ∈ D(A) та i, j = 1, . . . , n виконується рiвнiсть AiAjx = AjAix.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1500 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
Нехай Σϕ позначає сектор
Σϕ := {z ∈ C : |z| > 0, | arg z| < ϕ}, 0 < ϕ ≤ π
2
.
Очевидно, що Σcl
ϕ := {z ∈ C : |z| > 0, | arg z| ≤ ϕ} ∪ {0} — його замикання. Однопараметрич-
ну C0-напiвгрупу {V (t) : t ∈ R+} називають (див. [20], розд. 7) обмеженою аналiтичною
напiвгрупою, якщо iснує такий кут 0 < ϕ ≤ π
2
, що {V (t) : t ∈ R+} можна розширити до такої
голоморфної сiм’ї обмежених операторiв {Ṽ (z) : z ∈ Σϕ}, що задовольняє наступнi власти-
востi:
(i) limz∈Σcl
ϕ ,z→0 Ṽ (z)x = x для всiх x ∈ E;
(ii) Ṽ (z + s) = Ṽ (z)Ṽ (s) для всiх z, s ∈ Σcl
ϕ ;
(iii) вiдображення z 7→ Ṽ (z) є обмеженим з Σcl
ψ в L (E) для всiх 0 < ψ < ϕ.
Деяку сильно неперервну n-параметричну напiвгрупу називають обмеженою аналiтичною
напiвгрупою, якщо кожна її маргiнальна напiвгрупа є обмеженою аналiтичною напiвгрупою [20].
У цьому випадку знайдеться такий набiр кутiв
ϑ = (ϑ1, . . . , ϑn), 0 < ϑj ≤ π/2,
що напiвгрупа має обмежене аналiтичне розширення у множину{
z ∈ Cn : | arg zj | ≤ ϑ′j , j = 1, . . . , n
}
для всiх 0 < ϑ′j < ϑj .
Генератор A = (A1, . . . , An) n-параметричної напiвгрупи називатимемо iн’єктивним, якщо
всi оператори Aj , j = 1, . . . , n, є iн’єктивними. В цьому випадку iснує набiр обернених опера-
торiв A−1 := (A−1
1 , . . . , A−1
n ) зi щiльною областю визначення D(A−1) =
⋂n
j=1 D(A−1
j ), яку ми
надiляємо нормою
‖x‖D(A−1) := ‖x‖+
n∑
j=1
‖A−1
j x‖.
Вiдомо (див. [2], теорема 3.7, або [4]), що якщо генератор A n-параметричної обмеженої
аналiтичної напiвгрупи є iн’єктивним, то A−1 теж генерує n-параметричну обмежену аналiтич-
ну напiвгрупу.
Нехай для всiх α, β ∈ Zn+ символ Sα,β позначає банаховий простiр комплексних функцiй ϕ
на Rn зi скiнченною нормою
‖ϕ‖Sα,β = max
µ4α
ν4β
sup
t∈Rn
|tµ∂νϕ(t)| , µ, ν ∈ Zn+.
Кожне включення Sα,β # Sη,γ при η 4 α, γ 4 β є компактним (див., наприклад, [19, 21]).
Розглянемо простiр Шварца S :=
⋂{
Sα,β : α, β ∈ Zn+
}
основних функцiй, надiлений то-
пологiєю проективної границi lim←−S
α,β вiдносно цих включень. Спряжений до S простiр S′
називають простором розподiлiв (узагальнених функцiй) повiльного росту. Вiдомо [14], що S
i S′ — монтелевi ядернi простори. Бiльше того, S є так званим FS-простором, а S′ — DFS-
простором у сенсi означення з [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1501
Значення розподiлу f ∈ S′ на основнiй функцiї ϕ ∈ S ми позначатимемо 〈f, ϕ〉 або
〈f(t), ϕ(t)〉. Зауважимо, що тут i скрiзь далi ми пишемо f(t), щоб видiлити змiнну, за якою
функцiонал f дiє на основну функцiю.
Нехай S′+ — замкнений пiдпростiр S′ тих розподiлiв, носiї яких мiстяться в Rn+. Вiдомо [19],
що S′+ є монтелевим ядерним DFS-простором i топологiчною алгеброю вiдносно згортки
〈f ∗ g, ϕ〉 = 〈f(t), 〈g(s), ϕ(t+ s)〉〉, f, g ∈ S′+, ϕ ∈ S.
Функцiонал Дiрака δt, зосереджений у точцi t ∈ Rn+, належить S′+, а δ := δ0 є одиничним
елементом у згортковiй алгебрi S′+.
Узагальнене перетворення Фур’є, яке визначають за формулою
〈F [f ], ϕ〉 = 〈f, F [ϕ]〉 , F [ϕ](s) =
∫
Rn
ϕ(t)e−itsdt, ϕ ∈ S, s ∈ Rn,
здiйснює топологiчний iзоморфiзм F : S′ 3 f 7−→ F [f ] ∈ S′. Образ F [S′+] є замкненим в S′
(див. [19]). Перетворення Лапласа розподiлу f ∈ S′+ визначають через перетворення Фур’є
таким чином:
L[f ](z) := F
[
f(t)e−tξ
]
(η) =
〈
f(t), e−tz
〉
, z = ξ + iη ∈ Cn+.
Зауважимо, що f̂(z) := L[f ](z) є аналiтичною функцiєю змiнної z ∈ Cn+. Зокрема,
f̂(z) =
∫
Rn+
f(t)e−tzdt
для довiльної обмеженої iнтегровної функцiї f на Rn+.
Зауважимо, що Ŝ′+ := L
[
S′+
]
є алгеброю (див. [19], II.9) вiдносно поточкового множення
f̂(z) · ĝ(z) = f̂ ∗ g(z), z ∈ Cn+. Простiр Ŝ′+ ми надiляємо топологiєю, iндукованою вiдображен-
ням L : S′+ −→ Ŝ′+.
3. Допомiжнi твердження. У цьому пунктi ми дослiджуємо простiрE-значних нескiнченно
гладких функцiй
x : Rn 3 t 7−→ x(t) ∈ E,
де E :=
(
E, ‖ · ‖
)
— комплексний банаховий простiр.
Нехай Sα,β(E) для довiльних α, β ∈ Zn+ позначає пiдпростiр таких функцiй зi скiнченною
нормою
‖x‖Sα,β(E) = max
µ4α
ν4β
sup
t∈Rn
∥∥tµ∂νx(t)
∥∥, µ, ν ∈ Zn+.
Розглянемо проективну границю цих просторiв
S(E) = lim←−S
α,β(E), S(E) :=
⋂{
Sα,β(E) : α, β ∈ Zn+
}
вiдносно включень Sα,β(E) # Sη,γ(E) при η 4 α i γ 4 β. Зауважимо, що якщо E = C, то
S(C) = S.
Позначимо через x+ := x
∣∣
Rn+
звуження функцiї x на додатний конус Rn+. Кожен простiр
таких функцiй
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1502 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
Sα,β+ (E) :=
{
x+ : x ∈ Sα,β(E)
}
, α, β ∈ Zn+,
надiлимо нормою
‖x+‖Sα,β+ (E)
=max
µ4α
ν4β
sup
t∈intRn+
∥∥tµ∂νx+(t)
∥∥, µ, ν ∈ Zn+.
Зауважимо, що всi похiднi ∂νx+ можна неперервно продовжити через границю конуса Rn+.
Розглянемо простiр
S+(E) :=
⋂{
Sα,β+ (E) : α, β ∈ Zn+
}
,
надiлений нормами ‖ · ‖
Sα,β+ (E)
. Якщо E = C, то для простоти позначимо S+ := S+(C) i
‖ · ‖
Sα,β+
:= ‖ · ‖
Sα,β+ (C)
.
Наступну лему, що є узагальненням вiдомої теореми про продовження функцiй iз пiдпрос-
тору на весь простiр (див. [16]), доведено в [9] (лема 1).
Лема 1. Iснує лiнiйний неперервний оператор продовження
Λ : S+(E) 3 x+ 7−→ Λx+ ∈ S(E)
такий, що Λx+(t) = x+(t) для всiх t ∈ Rn+.
Розглянемо поповненi проективнi тензорнi добутки E ⊗p S i E ⊗p S+, надiленi вiдповiдно
нормами
‖x‖E⊗pSα,β := inf
∑
j∈N
|λj |‖xj‖‖ϕj‖Sα,β , ‖x‖
E⊗pS
α,β
+
:= inf
∑
j∈N
|λj |‖xj‖‖ϕj‖Sα,β+
, α, β ∈ Z+,
де обидва iнфiмуми беруть по всiх зображеннях елемента x ∈ E⊗p S (вiдповiдно x ∈ E⊗p S+)
у виглядi абсолютно збiжного ряду
x =
∑
j∈N
λjxj ⊗ ϕj , λj ∈ C, xj ∈ E, ϕj ∈ S (вiдповiдно ϕj ∈ S+), (3)
такого, що
∑
j |λj | < ∞, а {ϕj}, {xj} — послiдовностi, що збiгаються до нуля у вiдповiдних
просторах.
Лема 2. Справджуються топологiчнi iзоморфiзми
S+(E) ' E ⊗p S+, S(E) ' E ⊗p S. (4)
Як наслiдок кожен елемент з S(E) чи S+(E) можна розкласти (не єдиним чином) в абсолютно
збiжний ряд вигляду (3).
Доведення. У роботi [15] доведено iзоморфiзм
S(E) ' E ⊗e S,
де ⊗e позначає повний iн’єктивний тензорний добуток. Тому мають мiсце топологiчнi iзомор-
фiзми
E ⊗e S ' E ⊗p S, S(E) ' E ⊗p S
завдяки ядерностi простору S [14] (IV.9.4, наслiдок 2). З вiдомої теореми [14] (III.6.4) про
вигляд елементiв проективного тензорного добутку випливає, що кожен x ∈ E ⊗p S можна
подати (не єдиним чином) у виглядi абсолютно збiжного ряду вигляду (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1503
З леми 1 випливає, що звуження S(E) 3 x 7−→ x+ ∈ S+(E) є сюр’єктивним та неперервним.
Тому кожен елемент x+ ∈ S+(E) також можна подати у виглядi абсолютно збiжного ряду
вигляду (3). Отже, x+ ∈ E ⊗p S+ i для всiх α, β ∈ Z+
‖x+‖Sα,β+ (E)
≤ inf
∑
j∈N
|λj |‖xj‖‖ϕj‖Sα,β+
= ‖x+‖E⊗pS
α,β
+
,
оскiльки x+ не залежить вiд подання у виглядi ряду вE⊗pS+. Як наслiдок останньої нерiвностi
i теореми про вiдкрите вiдображення отримуємо перший з iзоморфiзмiв (4).
Лему 2 доведено.
4. Операторне узагальнення перетворення Лапласа. Нехай U = {U(t) : t ∈ Rn+} — n-
параметрична обмежена аналiтична напiвгрупа на комплексному банаховому просторi (E, ‖ ·‖)
з генератором A = (A1, . . . , An). Скрiзь у статтi ми припускаємо, що виконується така умова:
всi генератори Aj маргiнальних аналiтичних напiвгруп iн’єктивнi та мають щiльнi областi
визначення та образи, тобто
D(Aj) = R(Aj) = E, j = 1, . . . , n.
Нехай D = D(A) ∩D(A−1) позначає щiльний пiдпростiр, надiлений нормою
‖x‖D := ‖x‖+
n∑
j=1
‖Ajx‖+
n∑
j=1
‖A−1
j x‖.
При наших припущеннях це — банаховий простiр.
Для того щоб вiдмiтити, що n-параметрична обмежена напiвгрупа U генерується A =
= (A1, . . . , An), будемо використовувати позначення
e−tA := e−t1A1 ◦ . . . ◦ e−tnAn ,
де e−tjAj позначає вiдповiдну маргiнальну обмежену напiвгрупу з генераторомAj , j = 1, . . . , n.
Iз зроблених припущень та попереднiх зауважень випливає, що:
1) iснує така стала M > 0, що ‖e−tA‖ ≤M для всiх t ∈ Rn+;
2) для всiх мультиiндексiв α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn+ коректно визначеними є степенi опера-
торiв iз вiдповiдними щiльними областями визначення
Aα := Aα1
1 ◦ . . . ◦A
αn
n , D(Aα) :=
n⋂
j=1
D(A
αj
j ),
A−α := A−α1
1 ◦ . . . ◦A−αnn , D(A−α) :=
n⋂
j=1
D(A
−αj
j ),
бiльше того, Aαii ◦A
αj
j = A
αj
j ◦A
αi
i на D(Aα) i A−αii ◦A−αjj = A
−αj
j ◦A−αii на D(A−α) для всiх
i, j = 1, . . . , n;
3) кожен простiр Dα = D(Aα) ∩D(A−α), α ∈ Zn+, надiлений нормою
‖x‖Dα =
∑
−α4µ4α
‖Aµx‖D,
є повним, оскiльки звуження на D всiх A
±αj
j є обмеженими операторами, що комутують мiж
собою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1504 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
Визначимо простiр A :=
⋂{
Dα : α ∈ Zn+
}
i надiлимо його топологiєю проективної границi
lim←−Dα вiдносно включень Dα # Dµ для всiх µ 4 α. Зауважимо, що при цьому A стає
простором Фреше.
Лема 3. Нехай U = {e−tA : t ∈ Rn+} — обмежена аналiтична напiвгрупа над комплексним
банаховим простором E. Пiдпростiр A є iнварiантним вiдносно дiї операторiв e−tA для до-
вiльного t ∈ Rn+, крiм того, вiн щiльний в E.
Доведення. Перетин образiв
⋂
t∈Rn+
R(e−tA) мiститься в A [17] (теорема X.53). Звiдси
маємо
A−αe−tAAαx = A−αAαe−tAx = e−tAx = e−tAA−αAαx.
Тому A−αe−tAx = e−tAA−αx для всiх елементiв x ∈ D(Aα) i α ∈ Zn+, t ∈ Rn+. Отже, A є
iнварiантним вiдносно дiї операторiв e−tA для кожного t ∈ Rn+.
Для спрощення доведення припустимо, що резольвентнi множини ρ(Aj) i ρ(A−1
j ) мiстять
(0,∞) та iснує така константа C > 0, що
sup
tj>0
∥∥tj(tj +A±1
j )−1
∥∥ ≤ C, j = 1, . . . , n. (5)
Зауважимо, що звiдси, зокрема, випливає, що маргiнальнi напiвгрупи, що генеруються опера-
торами Aj та A−1
j , є аналiтичними [4].
Перевiримо, що вкладення Dα # D є щiльним. Очевидною є рiвнiсть
tj(tj +Aj)
−1x+ 1/tj
[
tj(tj +Aj)
−1
]
Ajx = x.
Пiдставляючи її саму в себе багато разiв, отримуємо
[
tj(tj +Aj)
−1
]αjx+
1
tj
αj∑
m=1
[
tj(tj +Aj)
−1
]m
Ajx = x.
З припущення (5) та щiльностi вкладення D(Aj) # E випливає, що
lim
tj→∞
[
tj(tj +Aj)
−1
]αjx = x для всiх x ∈ E.
Отже, вкладення D(A
αj
j ) # E є щiльним для всiх αj ∈ N, j = 1, . . . , n. Беручи до уваги те, що
кожен обернений оператор A−1
j також генерує аналiтичну маргiнальну напiвгрупу (див. [4]),
аналогiчно отримуємо щiльне вкладення D(A
−αj
j ) # E. Як наслiдок всi вкладення Dα # E
є щiльними. Замiнивши в попереднiх мiркуваннях E на Dµ при µ 4 α, одержимо щiльне
вкладення Dα # Dµ.
Для продовження доведення нам знадобиться теорема Рiхтера (див. [6], теорема 1.1, або
[18]):
Нехай
{
Ek : k ∈ Z
}
— такi банаховi простори, що всi вкладення Ek+1 # Ek є неперерв-
ними та щiльними. Тодi вкладення
⋂{
Ek : k ∈ Z
}
# E0 є щiльним.
Застосовуючи цю теорему до послiдовностi
{
Ek = Dα : α = (k, . . . , k), k ∈ Z
}
, переконує-
мося, що вкладення A =
⋂{
Ek : k ∈ Z
}
# E0 = E є щiльним.
Лему 3 доведено.
Позначимо через L (A, E) простiр необмежених лiнiйних операторiв над E, що мають
спiльну область визначення A i дiють з A в E неперервно. Простiр L (A, E) надiлимо сильною
операторною топологiєю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1505
Оскiльки за лемою 3 правильним є включення e−tAA ⊂ A для кожного t ∈ Rn+, то ком-
позицiя B ◦ e−tA належить L (A, E) для довiльного оператора B ∈ L (A, E). Комутативну
пiдалгебру {
B ∈ L (A, E) : e−tA ◦B = B ◦ e−tA ∀t ∈ Rn+
}
називають комутантом напiвгрупи {e−tA : t ∈ Rn+}.
Теорема 1. Вiдображення
Φ : Ŝ′+ 3 f̂ 7−→ f̂(A) ∈ L (A, E), де f̂(A)x =
〈
f(t), e−tAx
〉
, x ∈ A, (6)
здiйснює неперервний гомоморфiзм iз мультиплiкативної алгебри аналiтичних функцiй Ŝ′+ у
комутант напiвгрупи {e−tA : t ∈ Rn+}. Оператори з образу Φ
[
Ŝ′+
]
задовольняють рiвнiсть
f̂ ∗ g(A) = f̂(A) ◦ ĝ(A), f, g ∈ S′+,
i δ̂0(A) = I — одиничний оператор.
Доведення. З [17] (теорема X.53) випливає, що для довiльної обмеженої аналiтичної напiв-
групи {e−tA : t ∈ Rn+} iснує така стала M0 > 0, що нерiвнiсть∥∥(tA)αe−tAx
∥∥ ≤M0‖x‖
справджується для всiх x ∈ E, t ∈ Rn+ та α ∈ Zn+.
Очевидно, що для довiльного γ ∈ Zn+ iснує така стала Kγ , що виконується нерiвнiсть
(1+ t)γ ≤ Kγ(1+ tγ) для всiх t ∈ Rn+. Зауважимо, що tµ/(1 + t)µ ≤ 1 для всiх t ∈ Rn+ i µ ∈ Zn+.
Перевiримо, що вiдображення (6) задано коректно. Для довiльного фiксованого x ∈ E
позначимо через ωx E-значну функцiю
ωx : Rn+ 3 t 7−→ e−tAx ∈ E.
З викладеного вище випливає, що нерiвностi∥∥ωx∥∥Sα,β+ (E)
= max
04µ4α
04ν4β
sup
t∈Rn+
∥∥tµ∂νe−tAx∥∥ ≤ max
04µ4α
04ν4β
sup
t∈Rn+
∥∥tµAνe−tAx∥∥
D
=
= max
04µ4α
04ν4β
sup
t∈Rn+
∥∥∥∥ tµ
(1 + t)µ
(1 + t)µAνe−tAx
∥∥∥∥
D
≤ max
04µ4α
04ν4β
sup
t∈Rn+
∥∥(1 + t)µAνe−tAx
∥∥
D
≤
≤ max
04ν4γ
sup
t∈Rn+
∥∥(1 + t)γAνe−tAx
∥∥
D
≤ Kγ max
04ν4γ
sup
t∈Rn+
∥∥(1 + tγ)Aνe−tAx
∥∥
D
=
= Kγ max
04ν4γ
sup
t∈Rn+
∥∥e−tAAνx+ (tA)γe−tAAν−γx
∥∥
D
≤
≤ KγM max
04ν4γ
‖Aνx‖D +KγM0 max
04ν4γ
‖Aν−γx‖D ≤ Kγ(M +M0)‖x‖Dγ (7)
справджуються для всiх x ∈ Dγ , де γ = (γ1, . . . , γn) i γj = max{αj , βj}, j = 1, . . . , n. Тому для
кожного x ∈ A =
⋂
Dγ функцiя ωx належить простору S+(E).
За лемою 2 iснує розклад
ωx =
∑
j∈N
λjxj ⊗ ϕj , (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1506 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
де xj ∈ E i ϕj ∈ S+. Iз абсолютної збiжностi цього ряду в S+(E) випливає, що
Λ ◦ ωx =
∑
j∈N
λjxj ⊗ Λϕj ,
де Λ — оператор розширення з леми 1 (тут Λ застосовано до скалярних функцiй). Таким чином,
дiю
〈f, Λ ◦ ωx〉 :=
∑
j∈N
λj〈f, Λϕj〉xj
визначено коректно. Вiдомо, що це означення не залежить вiд подання у виглядi ряду (8).
Оскiльки носiй розподiлу f ∈ S′+ мiститься в Rn+, а оператор
Λ : S+ 3 ϕj 7−→ Λϕj ∈ S
змiнює функцiю ϕj поза межами Rn+, то це означення не залежить вiд Λ. Тому писатимемо
〈f, ωx〉 = 〈f(t), e−tAx〉
замiсть 〈f, Λ ◦ ωx〉. Отже, вiдображення (6) однозначно визначає лiнiйний оператор f̂(A) ∈
∈ L (A, E).
Перевiримо його неперервнiсть. Вiдомо (див. [14], IV.9.4, наслiдок 1), що з ядерностi прос-
тору S+ випливає iзоморфiзм E⊗p S+ ' L (S′+, E). Таким чином, з леми 2 отримуємо iзомор-
фiзм
S+(E) ' L (S′+, E). (9)
Тому кожну функцiю ωx ∈ S+(E), x ∈ A, можна розумiти як лiнiйний неперервний оператор
Ωx : S′+ 3 f 7−→ 〈f, ωx〉 ∈ E, x ∈ A,
що належить простору L (S′+, E) згiдно з (9). Отже, для кожної пари α, β ∈ Zn+ iснує така
стала Cα,β, що ∥∥〈f, ωx〉∥∥ ≤ Cα,β‖f‖Sα,β+
‖ωx‖Sα,β+ (E)
, x ∈ A,
де ‖f‖
Sα,β+
— норма звуження f
∣∣
Sα,β+
. З нерiвностей (7) випливає, що f̂(A) ∈ L (A, E). Оста-
точно, неперервнiсть вiдображення Φ випливає з неперервностi перетворення Лапласа L :
S′+ −→ Ŝ′+.
Перевiримо, що Φ є алгебраїчним гомоморфiзмом. Спочатку припустимо, що розподiл g ∈
∈ S′+ є регулярним, тобто лiнiйну форму 〈g, ωx〉 можна подати у виглядi iнтеграла Бохнера.
Використовуючи вiдомi властивостi iнтеграла, отримуємо
f̂ ∗ g(A)x =
〈
f ∗ g, ωx
〉
=
〈
f(t),
〈
g(s), e−(s+t)Ax
〉〉
=
=
〈
f(t), e−tA
〈
g(s), e−sAx
〉〉
=
[
f̂(A) ◦ ĝ(A)
]
x
для всiх x ∈ A. Лема 3 гарантує, що пiдпростiр A є iнварiантним вiдносно дiї операторiв e−tA
для довiльного t ∈ Rn+. Отже, композицiю операторiв в останнiй формулi визначено коректно.
Оскiльки згортка є комутативною в алгебрi S′+, отримуємо
f̂(A) ◦ ĝ(A) = ĝ(A) ◦ f̂(A)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1507
для довiльного регулярного g. Наближаючи довiльний розподiл g ∈ S′+ регулярними та викори-
стовуючи неперервнiсть вiдображення Φ ◦ L з S′+ в L (A, E), одержуємо потрiбну властивiсть
для всiх f, g ∈ S′+.
Для функцiонала Дiрака δt ∈ S′+, зосередженого в точцi t ∈ Rn+, iз (6) отримаємо
δ̂t(A)x = e−tAx для всiх x ∈ A.
Таким чином, δ̂0(A) — одиничний оператор на E. Для довiльних f ∈ S′+ та t ∈ Rn+ маємо
f̂(A) ◦ e−tA = f̂(A) ◦ δ̂t(A) = f̂ ∗ δt(A) = δ̂t ∗ f(A) = δ̂t(A) ◦ f̂(A) = e−tA ◦ f̂(A).
Отже, оператори з образу Φ
[
Ŝ′+
]
належать комутанту напiвгрупи {e−tA : t ∈ Rn+}.
Теорему 1 доведено.
Гомоморфiзм Φ з теореми 1 ми розумiємо як функцiональне числення в алгебрi Ŝ′+ аналi-
тичних на Cn+ функцiй.
Приклад 1. Розглянемо випадок n = 1. Нехай A — деякий (iн’єктивний) генератор обме-
женої аналiтичної однопараметричної напiвгрупи на банаховому просторi E. Визначимо уза-
гальненi функцiї (див. [19], 4.8)
fσ(τ) =
θ(τ)τσ−1
Γ(σ)
, σ > 0,
f ′σ+1(τ), σ ≤ 0,
де θ — характеристична функцiя пiвосi R+. Якщо σ > 0, то
f̂σ(z) =
〈
fσ(τ), e−τz
〉
=
∞∫
0
τσ−1
Γ(σ)
e−τz dτ
∣∣∣∣∣
τz=v
=
1
zσΓ(α)
∞∫
0
vσ−1e−v dv =
Γ(σ)
zσΓ(σ)
= z−σ
для всiх z ∈ C+. Якщо σ < 0, то знайдеться таке натуральне число α ∈ N, що σ + α > 0. Тодi
f̂σ(z) = L
[
f
(α)
σ+α
]
(z) = zαL [fσ+α] (z) = zαz−(σ+α) = z−σ, z ∈ C+.
Якщо ж σ = 0, то f̂0(z) = δ̂0(z) ≡ 1 для всiх z ∈ C+.
Таким чином, застосовуючи числення (6), для довiльного σ ∈ R отримуємо
f̂σ(A)x =
〈
fσ(τ), e−τAx
〉
=: A−σx, x ∈ A.
Отже, використовуючи теорему 1, ми можемо визначити довiльний дiйсний степiнь оператора
над щiльним пiдпростором A.
Приклад 2. Нехай E = L2(Rn) — простiр квадратично iнтегровних комплексних функцiй
y : Rn 3 ξ 7−→ y(ξ) i
−A = D2
ξ :=
(
D2
ξ1 , . . . , D
2
ξn
)
, де D2
ξj
=
∂2
∂ξj
2 , j = 1, . . . , n.
Розглянемо щiльний пiдпростiрH2(Rn) ⊂ L2(Rn) квадратично iнтегровних функцiй, що мають
цiле аналiтичне продовження на Cn. Вiдомо (див. [5]), що операторD2
ξ є iн’єктивним наH2(Rn).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1508 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
Розглянемо ядро Гаусса
gt(ζ) =
n∏
j=1
1
2
√
πtj
e
−
ζ2j
4 tj , ζ ∈ Rn, t ∈ intRn+.
Використовуючи вiдому рiвнiсть для гамма-функцiї∫
Rn
gt(ζ)(−ζ)2α dζ =
2n(2α− 1)!
(α− 1)!
tα, α ∈ Nn,
переконуємося, що рiвностi
e−tAy(ξ) = e
t1D2
ξ1
+...+tnD2
ξny(ξ) =
∑
α∈Zn+
1
α1! . . . αn!
∂2|α|y(ξ)
∂ξ2α1
1 . . . ∂ξ2αn
n
tα1
1 . . . tαnn =
=
∑
α∈Zn+
1
(2α)!
∂2|α|y(ξ)
∂ξ2α
2n(2α− 1)!
(α− 1)!
tα =
∑
β∈Zn+
1
β!
∂|β|y(ξ)
∂ξβ
∫
Rn
gt(ζ)(−ζ)β dζ =
=
∫
Rn
gt(ζ)
∑
β∈Zn+
1
β!
∂|β|y(ξ)
∂ξβ
(−ζ)β dζ =
∫
Rn
gt(ζ)y(ξ − ζ) dζ = (gt ∗ y)(ξ) (10)
справджуються для всiх y ∈ H2(Rn). Оскiльки пiдпростiр H2(Rn) є щiльним в L2(Rn), то дiя
операторiв e−tA може бути записана у виглядi перетворення Вейєрштрасса
etD
2
ξy = (gt ∗ y)(ξ) для всiх y ∈ L2(Rn).
Остаточно формула функцiонального числення набере вигляду
f̂(−D2
ξ )y(ξ) =
〈
f(t), (gt ∗ y)(ξ)
〉
для всiх f ∈ S′+, y ∈W∞2 (Rn) ⊂ A, де
W∞2 (Rn) =
⋂{
W 2α
2 (Rn) : α ∈ Z
}
є простором Соболєва нескiнченного порядку (див. [5]).
5. Диференцiальнi властивостi. У цьому пунктi встановимо деякi диференцiальнi власти-
востi операторiв f̂(A), що характернi для скалярного перетворення Лапласа.
Нехай виконуються всi припущення iз п. 4. Позначимо через A⊗pS+ пiдпростiр в E⊗pS+ '
' S+(E) функцiй вигляду x : Rn+ 3 t 7−→ x(t) ∈ A. Визначимо пiдпростiр Â банахового
простору E
 :=
{
x̂A ∈ E : x ∈ A⊗p S+
}
, де x̂A :=
∫
Rn+
e−tAx(t) dt.
Якщо x = y⊗ϕ при y ∈ A i ϕ ∈ S+, то x̂A = ϕ̂(A)y, де ϕ̂(A) =
∫
Rn+
ϕ(t)e−tA dt. Зауважимо, що
ϕ̂(A) — обмежений лiнiйний оператор на E, визначений класичним функцiональним численням
Хiлле – Фiллiпса [8] як значення перетворення Лапласа ϕ̂ = L[ϕ] на генераторi A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1509
Лема 4. Пiдпростiр Â ⊂ A є щiльним в E.
Доведення. Розглянемо A-значну функцiю x = y ⊗ ϕ, де y ∈ A i ϕ ∈ S+, що належить
простору A⊗p S+. З iнтегрального зображення x̂A випливає
‖x̂A‖Dα ≤M‖y‖Dα‖ϕ‖L1(Rn+)
для всiх α ∈ Zn+. Отже, x̂A ∈ A для всiх x = y ⊗ ϕ, де y ∈ A i ϕ ∈ S+.
Припустимо, що Â не є щiльним в E. Тодi за теоремою Гана – Банаха знайдеться такий
ненульовий функцiонал x′ ∈ E′, що 〈x′, x̂A〉 = 0 для всiх x = y ⊗ ϕ, де y ∈ A i ϕ ∈ S+. З
вiдомих властивостей iнтеграла Бохнера (див. [8], 3.7) випливає, що
〈
x′, x̂A
〉
=
∫
Rn+
〈
x′, e−tAy
〉
ϕ(t) dt = 0
для всiх ϕ ∈ S+. Таким чином, для довiльного y ∈ A дiйсна аналiтична функцiя t 7−→
7−→
〈
x′, e−tAy
〉
повинна тотожно дорiвнювати нулевi на Rn+, в iншому випадку можна вибрати
таку функцiю ϕ ∈ S+, щоб величина
〈
x′, x̂A
〉
була вiдмiнною вiд нуля. Зокрема, для t = 0
рiвнiсть
〈
x′, y
〉
= 0 справджується для всiх y ∈ A. Пiдпростiр A є щiльним в E за лемою 3.
Звiдси випливає x′ = 0, що суперечить вибору функцiонала x′.
Лему 4 доведено.
Формула функцiонального числення з теореми 1 дозволяє встановити деякi новi диферен-
цiальнi властивостi операторiв f̂(A).
Теорема 2. Для довiльного α ∈ Zn+ справджується рiвнiсть
∂̂αf(A)x = Aαf̂(A)x, x ∈ A.
Доведення. З леми 3 випливає, що Aαe−tAx = e−tAAαx для всiх t ∈ Rn+, α ∈ Zn+ i x ∈ A.
Тому
∂̂αf(A)x =
〈
∂αf(t), e−tAx
〉
= (−1)|α|
〈
f(t), (−A)αe−tAx
〉
=
=
〈
f(t), e−tAAαx
〉
= f̂(A)Aαx = Aαf̂(A)x.
Теорему 2 доведено.
Для кожної функцiї x : Rn+ 3 t = (t1, . . . , tn) 7−→ x(t1, . . . , tn) ∈ A, що належить A ⊗p S+,
визначимо A-значнi функцiї x̃Aj : R+ 3 τ 7−→ x̃Aj (τ) ∈ A, j = 1, . . . , n, таким чином:
x̃Aj (τ) :=
∫
Rn−1
+
e−tAx(t) dťj ,
де dťj := dt1 . . . dtj−1 dtj+1 . . . dtn, j = 1, . . . , n. Зауважимо, що iнтеграл в останнiй формулi
ми розумiємо в такому сенсi:∫
Rn−1
+
e−tAx(t) dťj = e−τAj
∫
Rn−1
+
e−
∑j−1
k=1 tkAk−
∑n
k=j+1 tkAkx(t1, . . . , tj−1, τ, tj+1, . . . , tn) dťj .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
1510 О. В. ЛОПУШАНСЬКИЙ, С. В. ШАРИН
Теорема 3. Для довiльного α ∈ N i всiх j = 1, . . . , n справджуються рiвностi
f̂(A)∂̂αj xA = Aαj f̂(A)x̂A −
α−1∑
r=0
Aα−r−1
j f̂(A)∂̃rjΛxAj
(0), x̂A ∈ Â. (11)
Доведення. З леми 4 випливає, що оператор f̂(A) в рiвностях (11) є щiльно заданим.
Виберемо довiльний елемент x ∈ A ⊗p S+ ⊂ S+(E). Тодi з означення простору S+(E) для
довiльного α ∈ Z+ отримуємо
lim
tj↑∞
∂αj x(t1, . . . , tn) = 0, j = 1, . . . , n.
Бiльше того, з леми 1 маємо
lim
tj↓0
∂αj x(t1, . . . , tn) = (∂αj Λx)(t1, . . . , tj−1, 0, tj+1, . . . , tn).
З обмеженостi та неперервностi напiвгрупи {e−tA : t ∈ Rn+} випливає, що
lim
tj↑∞
e−tA∂αj x(t) = 0 i lim
tj↓0
e−tA∂αj x(t1, . . . , tn) = (∂αj Λx)(t1, . . . , tj−1, 0, tj+1, . . . , tn)
для всiх α ∈ Z+ i j = 1, . . . , n. Iнтегруючи частинами за змiнною tj i використовуючи останнi
рiвностi, отримуємо
∞∫
0
e−tjAj∂1
j x(t) dtj = Aj
∞∫
0
e−tjAjx(t) dtj + lim
tj↑∞
e−tjAjx(t)− lim
tj↓0
e−tjAjx(t) =
= Aj
∞∫
0
e−tjAjx(t) dtj − (Λx)(t1, . . . , tj−1, 0, tj+1, . . . , tn).
Продовжуючи рекурсивно та iнтегруючи за iншими змiнними, маємо
∂̂αj xA =
∫
Rn+
e−tA∂αj x(t) dt = Aαj x̂A −
α−1∑
r=0
Aα−r−1
j lim
tj↓0
∫
Rn−1
+
e−tA∂rjx(t) dťj =
= Aαj x̂A −
α−1∑
r=0
Aα−r−1
j ∂̃rjΛxAj
(0).
Залишилось подiяти розподiлом f ∈ S′+ на обидвi частини останньої рiвностi i застосувати
теорему 1. В результатi отримаємо
f̂(A)∂̂αj xA =
〈
f(t), e−tAAαj x̂A
〉
−
α−1∑
r=0
〈
f(s), e−sAAα−r−1
j lim
tj↓0
∫
Rn−1
+
e−tA∂rjx(t) dťj
〉
=
= Aαj f̂(A)x̂A −
α−1∑
r=0
Aα−r−1
j f̂(A)∂̃rjΛxAj
(0).
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
ЗАСТОСУВАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ ПОВIЛЬНОГО . . . 1511
Приклад 3. Розглянемо генератор A = −D2
ξ напiвгрупи (10), визначеної на просторi Со-
болєва W∞2 (Rn) (див. приклад 2).
Нехай x ∈ S+ i y ∈W∞2 (Rn) — довiльнi функцiї. Для кожної функцiї
w : R× Rn+ 3 (ξ, t) 7−→ w(x, t) := y(ξ)x(t) ∈ C,
що належить простору W∞2 (Rn)⊗p S+, маємо
∂̂1
jwA(ξ) = D2
ξj
ŵA(ξ)− w̃Aj (ξ), j = 1, . . . , n,
де функцiї ∂̂1
jwA, ŵA з простору Соболєва W∞2 (Rn) мають вигляд
∂̂1
jwA(ξ) =
∫
Rn+
(gt ∗ y)(ξ)∂1
j x(t) dt, ŵA(ξ) =
∫
Rn+
(gt ∗ y)(ξ)x(t) dt,
а функцiю w̃Aj ∈W∞2 (Rn) можна подати у виглядi
w̃Aj (ξ) =
∫
Rn−1
+
(gt ∗ y)(ξ)x̌j(t) dťj , де x̌j(t) := x(t1, . . . , tj−1, 0, tj+1, . . . , tn).
Застосувавши формулу (11), отримаємо
f̂(A)∂̂1
jwA(ξ) = D2
ξj
f̂(A)ŵA(ξ)−
〈
f(t), (gt ∗ w̃Aj )(ξ)
〉
, ξ ∈ Rn.
1. Arendt W., Batty Ch. J. K., Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems //
Monogr. Math. – Berlin: Birkhäser-Verlag, 2011. – Vol. 96. – 540 p.
2. Berg C., Boyadzhiev K., Delaubenfels R. Generation of generators of holomorphic semigroups // J. Austral. Math.
Soc. – 1993. – 55, № 2. – P. 246 – 269.
3. Butzer P. L., Berens H. Semi-groups of operators and approximation. – Berlin: Springer-Verlag, 1967.
4. Delaubenfels R. Inverses of generators // Proc. Amer. Math. Soc. – 1988. – 104. – P. 443 – 448.
5. Dubinskij J. A. Sobolev spaces of infinite order and differential equations. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1986.
6. Горбачук В. И., Князюк А. В. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений //
Успехи мат. наук. – 1989. – 4, № 3. – С. 55 – 91.
7. Haase M. The functional calculus for sectorial operators. – Berlin: Birkhäuser, 2006. – 391 p.
8. Hille E., Phillips R. Functional analysis and semi-groups. – New York: AMS Coll. Publ., 1957. – Vol. 31. – 808 p.
9. Лопушанский О. В., Шарин С. В. Обобщенное функциональное исчисление типа Хилле – Филлипса для мно-
гопараметрических полугрупп // Сиб. мат. журн. – 2014. – 55, № 1. – С. 131 – 146.
10. Lopushansky O., Sharyn S. Operators commuting with multi-parameter shift semigroups // Carpath. J. Math. – 2014. –
30, № 2. – P. 217 – 224.
11. Миротин А. Р. О некоторых свойствах многомерного функционального исчисления Бохнера – Филлипса //
Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 6. – С. 1300 – 1312.
12. Nelson E. A. Functional calculus using singular Laplace integrals // Trans. Amer. Math. Soc. – 1958. – 88. –
P. 400 – 413.
13. Phillips R. S. Spectral theory for semigroups of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. – 1951. – 71. – P. 393 – 415.
14. Schaefer H. Topological vector spaces. – Berlin: Springer-Verlag, 1971. – 294 p.
15. Schwartz L. Espaces de fonctions différentielles à valeurs vectorielles // J. Anal. Math. – 1954/55. – 4. – P. 88 – 148.
16. Seeley R. T. Extensions of C∞-functions defined in a half-space // Proc. Amer. Math. Soc. – 1964. – 15. – P. 625 – 626.
17. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. – New York: Acad. Press, 1975. – Vol. II. – 361 p.
18. Richter P. Unitary representations of countable inifinite dimensional Lie groups. – Leipzig Univ., 1977.
19. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
20. Vrabie I. I. C0-semigroup and applications. – New York; Amsterdam: Elsevier, 2003.
21. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук. – 1979. – 34. –
С. 97 – 131.
Одержано 23.12.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 11
|