Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных
Встановлено точні за порядком оцінки величин найкращих M-членних тригонометричних наближень класів Бесова Br∞,θ у просторі Lq. Знайдено також точні порядки найкращих білінійних наближень класів функцій 2d змінних, що породжені функціями d змінних із класів Br∞,θ за допомогою зсувів аргументу. We obt...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165961 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных / А.С. Романюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 536–551. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165961 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Романюк, А.С. Романюк, В.С. 2020-02-17T14:09:45Z 2020-02-17T14:09:45Z 2010 Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных / А.С. Романюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 536–551. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165961 517.5 Встановлено точні за порядком оцінки величин найкращих M-членних тригонометричних наближень класів Бесова Br∞,θ у просторі Lq. Знайдено також точні порядки найкращих білінійних наближень класів функцій 2d змінних, що породжені функціями d змінних із класів Br∞,θ за допомогою зсувів аргументу. We obtain exact order estimates for the best M-term trigonometric approximations of the Besov classes B ∞,θ r in the space L q . We also determine the exact orders of the best bilinear approximations of the classes of functions of 2d variables generated by functions of d variables from the classes B p,θ r with the use of translation of arguments. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных Asymptotic estimates for the best trigonometric and bilinear approximations of classes of functions of several variables Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| spellingShingle |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных Романюк, А.С. Романюк, В.С. Статті |
| title_short |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| title_full |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| title_fullStr |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| title_sort |
асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных |
| author |
Романюк, А.С. Романюк, В.С. |
| author_facet |
Романюк, А.С. Романюк, В.С. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Asymptotic estimates for the best trigonometric and bilinear approximations of classes of functions of several variables |
| description |
Встановлено точні за порядком оцінки величин найкращих M-членних тригонометричних наближень класів Бесова Br∞,θ у просторі Lq. Знайдено також точні порядки найкращих білінійних наближень класів функцій 2d змінних, що породжені функціями d змінних із класів Br∞,θ за допомогою зсувів аргументу.
We obtain exact order estimates for the best M-term trigonometric approximations of the Besov classes B ∞,θ r in the space L q . We also determine the exact orders of the best bilinear approximations of the classes of functions of 2d variables generated by functions of d variables from the classes B p,θ r with the use of translation of arguments.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165961 |
| citation_txt |
Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных приближений классов функций нескольких переменных / А.С. Романюк // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 4. — С. 536–551. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romanûkas asimptotičeskieocenkinailučšihtrigonometričeskihibilineinyhpribliženiiklassovfunkciineskolʹkihperemennyh AT romanûkvs asimptotičeskieocenkinailučšihtrigonometričeskihibilineinyhpribliženiiklassovfunkciineskolʹkihperemennyh AT romanûkas asymptoticestimatesforthebesttrigonometricandbilinearapproximationsofclassesoffunctionsofseveralvariables AT romanûkvs asymptoticestimatesforthebesttrigonometricandbilinearapproximationsofclassesoffunctionsofseveralvariables |
| first_indexed |
2025-11-25T22:45:13Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:45:13Z |
| _version_ |
1850570818202894336 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We obtain exact-order estimates for quantities of the best M -term trigonometric approximations of the Besov
classes Br∞,θ in the space Lq . We also find exact orders of the best bilinear approximations of classes
of 2d-variable functions formed by d-variable functions from the classes Brp,θ with the use of shift of an
argument.
Встановлено точнi за порядком оцiнки величин найкращих M -членних тригонометричних наближень
класiв Бєсова B r
∞, θ у просторi Lq . Знайдено також точнi порядки найкращих бiлiнiйних наближень
класiв функцiй 2d змiнних, що породженi функцiями d змiнних iз класiв B r
p, θ за допомогою зсувiв
аргументу.
Введение. В работе исследуются наилучшиеM-членные тригонометрические при-
ближения функций из классов Brp,θ в пространстве Lq для соотношений между
параметрами r, p и q, которые оставались неисследованными. Полученные в этом
направлении результаты применяются затем для установления оценок сверху наи-
лучших билинейных приближений функций 2d переменных вида g(x, y) = f(x−y),
x, y ∈ πd, порождающихся из функций f(x) ∈ Brp,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, сдвигами аргу-
мента x ∈ πd на всевозможные векторы y ∈ πd. Билинейные приближения такого
рода функций тесно связаны с колмогоровскими поперечниками соответствующих
функциональных классов, о чем более конкретно будет идти речь в комментари-
ях к полученным результатам. Определения исследуемых аппроксимативных ха-
рактеристик будут даны в соответствующих частях работы, а сначала приведем
необходимые обозначения и определения изучаемых классов функций.
Пусть Rd — d-мерное пространство с элементами x = (x1, . . . , xd), y = (y1, . . .
. . . , yd), (x, y) = x1y1 + . . .+ xdyd, и Lp(πd), πd =
∏d
j=1
[−π;π], — пространство
2π-периодических по каждой переменной функций f(x), для которых
‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)| <∞, p =∞.
Всюду ниже будем предполагать, что для функций f ∈ Lp(πd) выполнено
дополнительное условие
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
и множество таких функций будем обозначать Lop(πd).
В последующем изложении нам будет удобно пользоваться определением клас-
сов Brp,θ, базирующимся на так называемой декомпозиционной нормировке (см.,
например, [1]).
c© А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2010
536 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 537
Для векторов k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z, и s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
положим
ρ(s) =
{
k : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d
}
и для f ∈ Lop(πd) обозначим
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k) ei(k,x),
где f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t) e−i(k, t) dt — коэффициенты Фурье f(x).
Пусть 1 < p < ∞, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тогда в принятых
обозначениях классы Brp,θ определяются следующим образом:
Brp,θ =
f(x)
∣∣∣∣∣ ‖f‖Brp,θ =
(∑
s
2(s,r)θ ‖δs(f, x)‖θp
)1/θ
≤ 1
при 1 ≤ θ <∞ и
Brp,∞ =
{
f(x)
∣∣∣∣ ‖f‖Brp,∞ = sup
s
2(s,r)
∥∥δs(f, x)
∥∥
p
≤ 1
}
.
Напомним, что классы Brp,θ являются аналогами классов функций, введенных
О. В. Бесовым в [ 2 ], и Brp,∞ ≡ Hr
p , гдеHr
p — аналоги классов, введенных С. М. Ни-
кольским (см., например, [3], гл. 4, § 4.3).
Приведенное определение классов Brp,θ можно распространить и на крайние
значения p = 1 и p =∞, видоизменив „блоки” δs(f, x).
Пусть Vl(t), l ∈ N, — ядро Валле Пуссена порядка 2 l:
Vl(t) = 1 + 2
l∑
k=1
cos kt+ 2
2l−1∑
k=l+1
(
1− k − l
l
)
cos kt.
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, полином
As(x) =
d∏
j=1
(
V 2sj (xj)− V 2sj−1 (xj)
)
и для f ∈ Lop(πd) обозначим
As(f, x) = f(·) ∗As(·),
где ∗ — операция свертки. Тогда при каждом 1 ≤ p ≤ ∞, r = (r1, . . . , rd), rj > 0,
j = 1, d, классы Brp,θ определяются следующим образом:
Brp,θ =
f(x)
∣∣∣∣ ‖f‖Brp,θ =
(∑
s
2(s,r)θ ‖As(f, x)‖θp
)1/θ
≤ 1
при 1 ≤ θ <∞ и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
538 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Brp,∞ =
{
f(x)
∣∣∣ ‖f‖Brp,∞ = sup
s
2(s,r)
∥∥As(f, x)
∥∥
p
≤ 1
}
.
Поскольку в комментариях к полученным результатам речь будет идти о соответ-
ствующих результатах на классах W r
p, α, то для удобства напомним определение и
этих классов функций.
Пусть Fr(x, α), r = (r1, . . . , rd), — многомерные аналоги ядер Бернулли, т. е.
Fr(x, α) = 2d
∑
k
d∏
j=1
k
−rj
j cos
(
kjxj −
αjπ
2
)
, rj > 0, αj ∈ R,
и в сумме содержатся только те векторы k = (k1, . . . , kd), для которых kj ∈ N,
j = 1, d. Обозначим через W r
p, α (см., например, [4, с. 31]) класс функций f(x),
представимых в виде
f(x) = ϕ(x) ∗ Fr(x, α) = (2π)−d
∫
πd
ϕ(y)Fr(x− y, α)dy,
где ϕ ∈ Lp(πd), ‖ϕ‖p ≤ 1.
Ниже будем предполагать, что координаты векторов r = (r1, . . . , rd), содер-
жащихся в приведенных определениях классов, упорядочены в виде 0 < r1 =
= r2 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd и γ = (γ1, . . . , γd) — вектор с координатами
γj =
rj
r1
, j = 1, d.
Полученные результаты будем формулировать в терминах порядковых соотно-
шений. При этом для функций µ1(n) и µ2(n) запись µ1 � µ2 означает, что су-
ществует постоянная C1 > 0 такая, что µ1(n) ≤ C1µ2(n). Соотношение µ1 � µ2
равносильно тому, что выполнены порядковые неравенства µ1 � µ2 и µ1 � µ2.
Отметим, что постоянные Ci, i = 1, 2, . . . , которые будут содержаться в определе-
ниях функций и в порядковых соотношениях, могут зависеть только от тех пара-
метров, которые содержатся в определениях классов, от метрики и от размерности
пространства Rd. Если A — конечное множество, то через |A| будем обозначать
количество его элементов.
1. Наилучшие тригонометрические приближения. Установим точные по по-
рядку оценки наилучших M -членных тригонометрических и ортогональных три-
гонометрических приближений функций из классов Brp,θ. Полученные результаты,
с одной стороны, дополняют оценки соответствующих величин, которые установ-
лены в [5, 6], а с другой — используются для получения оценок сверху наилучших
билинейных приближений функций из классов Brp,θ.
Приведем определения соответствующих аппроксимативных характеристик.
Для f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, положим
eM (f)q = inf
kj , cj
∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q
, (1)
где {kj}Mj=1 — система векторов kj = (kj1, . . . , k
j
d) с целочисленными координатами,
cj — произвольные комплексные числа. Величину eM (f)q называют наилучшимM -
членным тригонометрическим приближением функции f в пространстве Lq. Если
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 539
F ⊂ Lq(πd) — некоторый функциональный класс, то полагаем
eM (F )q = sup
f∈F
eM (f)q. (2)
Величина eM (f)2 для функций одной переменной введена С. Б. Стечкиным [ 7 ]
при формулировке критерия сходимости ортогональных рядов. Несколько позже
величины (1) и (2) начали исследовать уже с точки зрения аппроксимации функций
и классов функций соответственно. С соответствующей библиографией по данному
вопросу можно ознакомиться, например, в [5, 6].
Пусть ΩM — произвольный набор из M d-мерных векторов k1, . . . , kM , kj =
= (kj1, . . . , k
j
d), j = 1,M, с целочисленными координатами.
Для f ∈ Loq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, положим
SM (f, x) =
M∑
j=1
f̂(kj)ei(k
j ,x)
и рассмотрим величину
e⊥M (f)q = inf
ΩM
∥∥f(x)− SM (f, x)
∥∥
q
.
Для функционального класса F ⊂ Lq(πd) полагаем
e⊥M (F )q = sup
f∈F
e⊥M (f)q.
Величину e⊥M (F )q называют наилучшим ортогональным тригонометрическим при-
ближением класса F в пространстве Lq. Легко видеть, что между величинами
e⊥M (F )q и eM (F )q имеет место соотношение
eM (F )q ≤ e⊥M (F )q. (3)
Величины e⊥M (F )q в тех случаях, когда F = W r
p,α, H
r
p либо F = Brp,θ, изучались в
работах [8, 9], в которых можно ознакомиться с соответствующей библиографией.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть 1 < q < ∞, r1 > 0. Тогда при 1 ≤ θ ≤ ∞ имеют место
соотношения
eM (Br∞,θ)q � e⊥M (Br∞,θ)q �M−r1(logν−1M)(r1+1/2−1/θ)+ , (4)
где a+ = max{a; 0}.
Доказательство. Согласно (3) оценки сверху в (4) достаточно получить для
величины e⊥M (Br∞,θ)q, а снизу — для eM (Br∞,θ)q.
Оценка сверху для e⊥M (Br∞,θ)q следует из оценки величины e⊥M (Brp,θ)q, 1 <
< q < p <∞, p ≥ 2 [8] (теорема 2) в силу вложения Br∞,θ ⊂ Brp,θ.
Переходя к установлению в (4) оценки снизу, заметим, что ее достаточно полу-
чить в случае ν = d. При этом будем использовать результат, полученный Б. С. Ка-
шиным и В. Н. Темляковым [10], для формулировки которого приведем соответ-
ствующие обозначения.
Для вектора s = (s1, . . . , sd), sj — четные числа, sj > 0, j = 1, d, обозначим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
540 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
ρ+(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : kj ∈ N, 2sj−1 ≤ kj < 2sj
}
и для n ∈ N, n ≥ 2d, положим
Sn =
{
s : (s, 1) = 2
[
n
2
]}
, Qn =
⋃
s∈Sn
ρ+(s),
где [ a ] — целая часть числа a.
Отметим, что для введенных множеств имеют место соотношения (см., напри-
мер, [10])
|Sn| � nd−1 и |Qn| � 2n nd−1.
Понятно, что необходимую оценку снизу величины eM (Br∞,θ)q достаточно полу-
чить для M, удовлетворяющих неравенствам C1(d)|Qn| < M ≤ C2(d)|Qn|, где
0 < C1(d) < C2(d) — постоянные, которые могут зависеть только от параметра d.
Пусть T (Qn) обозначает множество полиномов t(x) вида
t(x) =
∑
|k|∈Qn
cke
i(k, x),
где |k| = (|k1|, . . . , |kd|).
Следуя авторам работы [10], сформулируем полученное ими утверждение в
виде следствия более общего утверждения, установленного там же.
Следствие 1. Пусть r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd, r1 > 0 и 1 < q ≤ ∞. Тогда
справедлива оценка
eM (Hr
∞ ∩ T (Qn))q ≥ C(q, d, r)M−r1(logd−1M)r1+1/2. (5)
Покажем, что из (5) легко получить искомую оценку снизу величины eM (Br∞,θ)q.
Поскольку для f ∈ Hr
∞ ∩ T (Qn) выполнено соотношение∥∥As(f, x)
∥∥
∞ � 2−(s,r), s ∈ Sn,
при любом 1 ≤ θ ≤ ∞, то
‖f‖Br∞,θ =
(∑
s∈Sn
2(s,r)θ‖As(f, x)‖θ∞
)1/θ
�
(∑
s∈Sn
1
)1/θ
� n(d−1)/θ.
Следовательно, если f ∈ Hr
∞ ∩ T (Qn), то функция g(x) = C1 n
−(d−1)/θf(x) с
некоторой постоянной C1 > 0 принадлежит классу Br∞,θ ∩ T (Qn). Учитывая это
обстоятельство и используя (5), получаем
eM (Br∞,θ)q ≥ eM (Br∞,θ ∩ T (Qn))q �
� n−(d−1)/θeM (Hr
∞ ∩ T (Qn))q �M−r1(logd−1M)r1+1/2−1/θ.
Установленная оценка совпадает по порядку с оценкой сверху величины eM (Br∞,θ)q
в случае r1 >
1
θ
− 1
2
. Если же имеет место случай 0 < r1 <
1
θ
− 1
2
, то отметим
следующее.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 541
С одной стороны, поскольку в этом случае оценка сверху величины eM (Br∞,θ)q
не зависит от размерности пространства Rd, соответствующую оценку снизу до-
статочно доказать в одномерном случае, т. е. при d = 1. С другой стороны, в
одномерном случае проведенные выше рассуждения позволяют получить искомую
оценку снизу величины eM (Br∞,θ)q для любого r1 > 0.
Теорема доказана.
Замечание 1. В случае θ =∞, т. е. для классов Hr
∞, оценка снизу величины
eM (Hr
∞)q и, следовательно, величины e⊥M (Hr
∞)q получена в [10].
В следующем утверждении теорема 1 распространяется на случай q = 1, но с
определенным ограничением на параметр r1.
Теорема 2. Пусть 1 ≤ θ < 2, 0 < r1 <
1
θ
− 1
2
. Тогда справедливо соотноше-
ние
eM (Br∞,θ)1 � e⊥M (Br∞,θ)1 �M−r1 .
Доказательство. Оценки сверху величин eM (Br∞,θ)1 и e⊥M (Br∞,θ)1 следуют
из (4) в силу неравенства ‖ ·‖1 < ‖ ·‖q, q > 1. Поскольку полученная оценка сверху
величины eM (Br∞,θ)1 не зависит от размерности пространства Rd, соответствую-
щую ей оценку снизу достаточно установить в одномерном случае. Но, с другой
стороны, в одномерном случае оценка снизу для eM (Br1∞,θ)1 является следствием
результата, полученного в [11].
Теорема доказана.
Замечание 2. Порядки величин eM (F )1 и e⊥M (F )1, где F — классы W r
∞,α
либо Hr
∞, в многомерном случае, т. е. при d ≥ 2, по-видимому, неизвестны.
2. Наилучшие билинейные приближения. Пусть Lq(π2d), q = (q1, q2), —
множество функций f(x, y), x, y ∈ πd, с конечной смешанной нормой
‖f(x, y)‖q1,q2 =
∥∥‖f(·, y)‖q1
∥∥
q2
,
причем норма вычисляется сначала в пространстве Lq1(πd) по переменной x ∈ πd,
а затем от результата по переменной y ∈ πd в пространстве Lq2(πd). Для f ∈
∈ Lq(π2d) определим наилучшее билинейное приближение порядка M :
τM (f)q1,q2 = inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
i=1
ui(x) vi(y)
∥∥∥∥∥
q1,q2
, (6)
где ui ∈ Lq1(πd), vi ∈ Lq2(πd).
Классический результат по исследованию билинейных приближений принадле-
жит Шмидту [ 12 ]. Несколько позже билинейные приближения как индивидуаль-
ных функций (величина (6)), так и классов функций изучались во многих работах.
Если F ⊂ L1(πd) — некоторый класс функций d переменных, то полагаем
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM
(
f(x− y)
)
q1,q2
, (7)
где f(x − y) =: f(x; y) — функция 2d переменных. Исследованию величин (7) в
случаях, когда F = W r
p, α либо F = Hr
p , посвящены работы В. Н. Темлякова [13 –
15] (см. также [4]), а в [9] установлена слабая асимптотика величин τM (F )q1,q2
в случае F = Brp,θ при значениях параметров p, θ, q1, q2, отличных от рассмат-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
542 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
риваемых в настоящей работе. В упомянутых работах содержится библиография,
относящаяся к этому направлению исследований.
Нами решена задача о порядковых оценках величин τM (Brp, θ)q1,q2 при опреде-
ленных значениях параметров p, θ, r и q1, q2.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть 1 < q1 ≤ 2, 1 ≤ q2 ≤ ∞ и 1 ≤ θ < q1, 1− 1
q1
< r1 ≤
≤ 1− 2
q1
+
1
θ
. Тогда
τM (Br1,θ)q1,q2 �M−r1+1−1/q1 . (8)
Доказательство. Оценка сверху в (8) следует из оценки наилучшихM -членных
тригонометрических приближений классов Br1,θ в метрике пространства Lq1 , 1 <
< q1 ≤ 2. В [5] (теорема 3.1), в частности, при p = 1 получено соотношение
eM (Br1,θ)q1 �M−r1+1−1/q1(logν−1M)(r1−1+2/q1−1/θ)+ ,
которое при выполнении условий теоремы 3 принимает вид
eM (Br1,θ)q1 �M−r1+1−1/q1 . (9)
Таким образом, с одной стороны, согласно (9) для произвольной функции f(x) из
класса Br1,θ найдется множество векторов k1, . . . , kM , kj = (kj1, . . . , k
j
d), k
j
i ∈ Z,
i = 1, d, и чисел c1, . . . , cM таких, что∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
�M−r1+1−1/q1 . (10)
С другой стороны, для левой части (10) можно записать∥∥∥∥∥∥f(x)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,x)
∥∥∥∥∥∥
q1
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,(x−y))
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
=
=
∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
. (11)
Сопоставляя (10) и (11), имеем∥∥∥∥∥∥f(x− y)−
M∑
j=1
cj e
i(kj ,x)e−i(k
j ,y)
∥∥∥∥∥∥
q1,∞
�M−r1+1−1/q1 . (12)
Наконец, полагая в (12) cjei(k
j , x) = uj(x) и e−i(k
j , y) = vj(y), приходим к искомой
оценке сверху величины τM (Br1,θ)q1,q2 .
Переходя к доказательству в (8) оценки снизу, заметим следующее.
Поскольку полученная оценка сверху величины τM (Br1,θ)q1,q2 не зависит от
размерности пространства Rd, искомую оценку снизу достаточно установить в
одномерном случае, т. е. при d = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 543
Кроме того, так как Br1,1 ⊂ Br1,θ, 1 < θ ≤ ∞, при этом достаточно ограничиться
рассмотрением случая θ = 1.
Нам понадобится вспомогательное утверждение.
Пусть C(N) обозначает множество целых чисел, удовлетворяющих условию
|k| ≤ N.
Имеет место следующая лемма.
Лемма A [4, c. 107]. Пусть задана функция
g(x) =
∑
k∈C(2N)
ĝ(k)eikx
такая, что |ĝ(k)| ≤ 1 и |ĝ(k)| = 1 при k ∈ C(N). Тогда выполнено соотношение
τM
(
g(x− y)
)
2,1
�M1/2.
Итак, по числу M подберем n ∈ N из соотношения 2n−1 ≤M < 2n и рассмот-
рим билинейное приближение функции V2n+2(x− y).
Пусть системы функций {ui(x)}Mi=1 и {vi(y)}Mi=1, x, y ∈ T = [−π, π], таковы,
что ∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
q1,1
≤ 2τM (V2n+2(x− y))q1,1 .
Если Vl — оператор Валле Пуссена, Vl[ f ] := f ∗ Vl, то, поскольку∥∥∥∥∥V2n+3
[
V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
]∥∥∥∥∥
q1,1
=
=
∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
V2n+3 [ui(x)vi(y)]
∥∥∥∥∥
q1,1
и для f ∈ Lq(T ), 1 ≤ q ≤ ∞, выполнено неравенство∥∥Vl[f ]
∥∥
q
≤ 3‖f‖q,
не умаляя общности можно считать, что функции ui(x) и vi(y) являются триго-
нометрическими полиномами с номерами гармоник из множества C(2n+3) и при
этом справедлива оценка∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
q1,1
� τM
(
V2n+2(x− y)
)
q1,1
. (13)
В последующих рассуждениях будем использовать неравенство разных метрик, по-
лученное С.М.Никольским, которое сформулируем, в частности, для одномерного
случая.
Пусть T (C(2n)) обозначает множество тригонометрических полиномов с но-
мерами гармоник из C(2n).
Теорема A [16]. Пусть t ∈ T (C(2n)). Тогда при 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ имеет место
неравенство
‖t‖p ≤ 2 · 2n(1/p−1/q)‖t‖q. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
544 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Таким образом, согласно (13) и (14) можем записать∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,1
�
� 2n(1/q1−1/2)
∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
q1,1
�
� 2n(1/q1−1/2)τM
(
V2n+2(x− y)
)
q1,1
. (15)
Далее, принимая во внимание соотношение между числами M и n и используя
лемму А из (15), находим
τM
(
V2n+2(x− y)
)
q1,1
� 2−n(1/q1−1/2)
∥∥∥∥∥V2n+2(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,1
�
� 2−n(1/q1−1/2)M1/2 � 2−n(1/q1−1). (16)
Теперь рассмотрим функцию
f1(x) = C22−nr1V2n+2(x), C2 > 0.
Нетрудно убедиться, что при надлежащем выборе постоянной C2 > 0 эта функция
принадлежит классу Br11,1. Действительно, поскольку в силу свойства ядра Валле
Пуссена ∥∥V2n+2
∥∥
1
≤ C3, C3 > 0,
согласно определению ‖V2n+2‖Br11,1 можем записать
∥∥V2n+2
∥∥
B
r1
1,1
=
∑
s
2sr1‖As(V2n+2 , x)‖1 ≤
≤
n+3∑
s=0
2sr1‖As(V2n+2 , x)‖1 � 2(n+3)r1 � 2nr1 .
Следовательно, f1 ∈ Br11,1.
Таким образом, используя оценку (16), приходим к соотношению
τM (Br11,1)q1, q2 ≥ τM (f1(x− y))q1, q2 � 2−nr1τM (V2n+2(x− y))q1,1 �
� 2−nr12−n(1/q1−1) = 2−n(r1−1+1/q1) �M−r1+1−1/q1 .
Оценка снизу, а вместе с ней и теорема доказаны.
Замечание 3. Порядки величин τM (F )q1,q2 , 1 < q1 ≤ 2, 1 ≤ q2 ≤ ∞, r1 >
> 1− 1
q1
, в случаях, когда F = W r
1, α либо F = Hr
1 , по-видимому, неизвестны.
Теорема 4. Пусть 2 ≤ q1 <∞, 1 ≤ q2 ≤ ∞ и 1 ≤ θ ≤ ∞, r1 > 0. Тогда
τM (Br∞,θ)q1,q2 �M−r1(logν−1M)(r1+1/2−1/θ)+ . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 545
Доказательство. Оценка сверху в (17) следует из теоремы 1 аналогично до-
казательству оценки сверху в предыдущей теореме.
Переходя к доказательству в (17) оценки снизу, заметим, что при этом достаточ-
но рассмотреть случай ν = d.
Пусть M — произвольное натуральное число, а число n ∈ N таково, что для
количества элементов множества Qn =
⋃
(s,1)=n
ρ(s) выполнено соотношение
|Qn| > 4M (18)
(известно, что |Qn| � 2nnd−1).
Рассмотрим функцию
f2(x) = C42−n(r1+1/2)n−(d−1)/θ
∑
(s,1)=n
d∏
j=1
Rsj (xj), C4 > 0,
где
Rsj (xj) =
2sj−1∑
l=2sj−1
εle
ilxj , εl = ±1, j = 1, d,
— полиномы Рудина – Шапиро (см., например, [17, c. 155]). Для этих полиномов
выполняется неравенство ‖Rsj‖∞ � 2sj/2.
Заметим, что в случае θ = ∞ множитель n−(d−1)/θ в определении функции
f2(x) заменяется единицей.
Покажем, что при определенном выборе постоянной C4 > 0 функция f2(x)
принадлежит классу Br∞, θ, 1 ≤ θ ≤ ∞.
Положим
Fn(x) =
∑
(s,1)=n
d∏
j=1
Rsj (xj)
и заметим, что для векторов s таких, что (s, 1) = n, имеет место соотношение
δs(Fn, x) =
d∏
j=1
Rsj (xj).
Пусть θ ∈ [ 1,∞), тогда
‖Fn‖Br∞, θ =
(∑
s
2(s,r)θ‖As(Fn, x)‖θ∞
)1/θ
=
=
∑
s
2(s,r)θ
∥∥∥∥∥∥As(x) ∗
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
≤
≤
∑
s
2(s,r)θ‖As‖θ1
∥∥∥∥∥∥
∑
‖s−s′‖∞≤1
δs′(Fn, x)
∥∥∥∥∥∥
θ
∞
1/θ
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
546 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
�
∑
s
2(s,r)θ
∑
‖s−s′‖∞≤1
‖δs′(Fn, x)‖∞
θ
1/θ
=
=
∑
s
2(s,r)θ
∑
‖s−s′‖∞≤1
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
Rs′j (xj)
∥∥∥∥∥∥
∞
θ
1/θ
�
�
∑
(s,1)≤n
2(s,r)θ
∑
‖s−s′‖∞≤1
2(s′,1)/2
θ
1/θ
�
�
∑
(s,1)≤n+d
2(s,r)θ2(s,1) θ2
1/θ
=
∑
(s,1)≤n+d
2(s,1)(r1+ 1
2 )θ
1/θ
. (19)
Далее, поскольку
∑
(s,1)≤l
2(s,1)α =
l∑
m=d
∑
(s,1)=m
2(s,1)α =
=
l∑
m=d
2mα
∑
(s,1)=m
1 �
l∑
m=d
2mαmd−1 � 2αlld−1, α > 0,
из (19) находим
‖Fn‖Br∞, θ � 2n(r1+1/2)n(d−1)/θ.
Аналогично при θ =∞
‖Fn‖Br∞,∞ � 2n(r1+1/2).
Таким образом, на основании полученных соотношений можно сделать заключе-
ние, что функция f2(x) с некоторой постоянной C4 > 0 принадлежит классу Br∞, θ,
1 ≤ θ ≤ ∞.
Далее нам понадобится вспомогательное утверждение.
Лемма Б [4, c. 98]. Пусть задано число M, а число n ∈ N таково, что для
количества элементов множества Qn =
⋃
(s,1)=n
ρ(s) выполнено условие (18). Тогда
для любой функции g(x) вида
g(x) =
∑
k∈Qn
ĝ(k)ei(k, x), |ĝ(k)| = 1,
справедлива оценка
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥∥g(x− y)−
M∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥∥
2,1
�M1/2.
Следовательно, поскольку функция Fn(x) удовлетворяет условиям леммы Б,
для τM (f2(x− y))2,1 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 547
τM (f2(x− y))2,1 �M1/22−n(r1+1/2)n−(d−1)/θ �M−r1(logd−1M)r1+1/2−1/θ.
Отсюда следует искомая оценка снизу величины τM
(
Br∞, θ
)
q1,q2
в случае r1 ≥
≥ 1
θ
− 1
2
. Если же имеет место случай 0 < r1 <
1
θ
− 1
2
, то заметим следующее.
Поскольку в этом случае оценка сверху величины τM
(
Br∞,θ
)
q1,q2
не зависит от ра-
змерности пространства Rd, соответствующую оценку снизу достаточно доказать
при d = 1.Но с другой стороны, в одномерном случае проведенные выше рассужде-
ния дают возможность получить искомую оценку снизу величины τM
(
Br∞,θ
)
q1,q2
для всех r1 > 0.
Теорема доказана.
Положив в (17) θ =∞, можем сформулировать следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть 2 ≤ q1 <∞, 1 ≤ q2 ≤ ∞ и r1 > 0. Тогда
τM (Hr
∞)q1,q2 �M−r1(logν−1M)r1+1/2. (20)
Отметим, что этот результат дополняет оценки билинейных приближений клас-
сов Hr
p , полученные В. Н. Темляковым (см. [4, c. 100]). Что касается точных по-
рядков величин τM
(
W r
∞, α
)
q1,q2
, то они, по-видимому, неизвестны.
Прокомментируем полученные результаты, сопоставив их с оценками колмого-
ровских поперечников рассматриваемых классов функций. Приведем необходимые
обозначения и определения.
Пусть Φ — некоторое (центрально-симметричное) множество банахова про-
странства X. Тогда M -мерным колмогоровским поперечником множества Φ на-
зывается величина
dM (Φ,X) = inf
LM
sup
f∈Φ
inf
u∈LM
‖f − u‖X,
где внешний инфимум берется по всевозможным подпространствам LM ⊂ X раз-
мерности M.
Пусть F — некоторый функциональный класс и f — фиксированная функция из
F. Обозначим через Ff множество функций вида f(x− y), получающихся из f(x)
сдвигами ее аргумента x ∈ πd на произвольный вектор y ∈ πd. Тогда имеет место
равенство (см., например, [4, c. 85])
τM
(
f(x− y)
)
q1,∞
= dM (Ff , Lq1). (21)
Таким образом, если класс F инвариантен относительно сдвига аргумента содер-
жащихся в нем функций, то в силу (21) значение величины τM
(
f(x− y)
)
q1,∞
может служить оценкой снизу для колмогоровского поперечника dM (F,Lq1).
Замечание 4. Сопоставляя теорему 3 с оценкой колмогоровского поперечника
dM
(
Br1, θ, Lq1
)
[18] (теорема 1.1), видим, что при 1 < q1 ≤ 2 и 1 − 1
q1
< r1 ≤
≤ 1− 2
q1
+
1
θ
τM (Br1, θ)q1,∞ � dM (Br1, θ, Lq1)(logν−1M)−r1+1−1/q1 .
Замечание 5. Сопоставляя оценку (20) при q2 =∞ с соответствующей оцен-
кой колмогоровского поперечника dM
(
Hr
∞, Lq1
)
[14], видим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
548 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
τM (Hr
∞)q1,∞ � dM (Hr
∞, Lq1).
На классахBr∞, θ, 1 ≤ θ <∞, ситуация иная. Так, сопоставляя оценку поперечника
dM (Br∞, θ, Lq1) [18] с теоремой 4, при q2 =∞ находим, что если 2 ≤ θ <∞, то
τM (Br∞, θ)q1,∞ � dM (Br∞, θ, Lq1).
Если же 1 ≤ θ < 2, то
τM (Br∞, θ)q1,∞ � dM (Br∞, θ, Lq1)(logν−1M)1/2−1/θ
при r1 >
1
θ
− 1
2
и
τM (Br∞, θ)q1,∞ � dM (Br∞, θ, Lq1)(logν−1M)−r1
при 0 < r1 ≤
1
θ
− 1
2
.
В следующем утверждении получим порядки наилучших билинейных прибли-
жений функций двух переменных из классов Brp, θ, 1 ≤ p ≤ ∞, r = (r1, r1), r1 > 0,
в пространстве Lq, q(π2), 1 ≤ q ≤ ∞, которое, очевидно, в таком случае совпадает
с пространством Lq(π2).
Положим τM (F )q := sup
f(x,y)∈F
τM (f)q,q, где F ⊂ Lq(π2d) — класс функций 2d
переменных (x1, . . . , xd, y1, . . . , yd).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть d = 1. Тогда при 1 ≤ θ <∞ имеют место соотношения
τM (Brp,θ)q �
M−2r1+1/p−1/q, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, r1 >
1
p
− 1
q
,
M−2r1 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, r1 >
1
2
,
M−2r1+1/p−1/2, 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞, r1 >
1
p
.
(22)
Доказательство. Оценки сверху следуют из соответствующих оценок били-
нейных приближений классов Hr
p , полученных в [4, с. 101] (теорема 4.2). Пере-
йдем к получению в (22) оценок снизу, которые в силу вложения Brp, 1 ⊂ Brp, θ,
1 < θ <∞, достаточно установить для классов Brp, 1.
Итак, пусть сначала имеет место случай 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. Поставим в соответ-
ствие натуральному числу M число n ∈ N согласно неравенствам 2n−1 ≤M < 2n
и рассмотрим билинейное приближение функции двух переменных вида
f1(x, y) = C52−(2r1+1−1/p)nV2n+2(x− y), C5 > 0.
Покажем сначала, что при соответствующем выборе постоянной C5 эта функция
принадлежит классу Brp, 1.
Имеем
‖f1‖Brp, 1 = C52−(2r1+1−1/p)n
∑
s1,s2>0
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)
(
V2n+2(x− y)
)∥∥
p
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 549
� 2−(2r1+1−1/p)n
n+3∑
s1=1
n+3∑
s2=1
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)
(
V2n+2(x− y)
)∥∥
p
�
2−(2r1+1−1/p)n
n+3∑
s1=1
n+3∑
s2=1
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)(x, y)
∥∥
1
∥∥V2n+2(x− y)
∥∥
p
�
� 2−(2r1+1−1/p)n · 2(2n+6)r1 · 2(n+2)(1−1/p) ≤ C(r1, p).
Отсюда заключаем, что f(x, y) ∈ Brp, 1.
Теперь, используя соотношение
τM (V2n+2(x− y))q,1 � 2−n(1/q−1),
полученное при доказательстве теоремы 3 (см. (16)), можем записать
τM (f)q,1 � 2−(2r1+1−1/p)nτM
(
V2n+2(x− y)
)
q,1
�
� 2−(2r1+1−1/p)n · 2−n(1/q−1) = 2−(2r1−1/p+1/q)n �M−2r1+1/p−1/q. (23)
Отсюда следует оценка снизу величины τM (Brp,θ)q в случае 1 ≤ p ≤ q ≤ 2.
Искомая оценка снизу в третьем соотношении (22), т. е. при 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞,
следует из (23) при q = 2 в силу неравенства ‖ · ‖2 ≤ ‖ · ‖q, q ≥ 2. Таким образом,
для завершения доказательства теоремы осталось получить в (22) оценку снизу
величины τM (Brp,1)q в случае 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, r1 >
1
2
.
Пусть числа M и n связаны неравенствами 2n−2 < M ≤ 2n−1 и
Rn(t) =
2n−1∑
k=2n−1
εke
ikt, εk = ±1,
— полином Рудина – Шапиро, для которого ‖Rn‖∞ � 2n/2.
Рассмотрим функцию двух переменных вида
f2(x, y) = C62−(2r1+1/2)nRn(x− y), C6 > 0,
и покажем, что при соответствующем выборе постоянной C6 > 0 она принадлежит
классу Brp, 1.
Имеем∥∥Rn(x− y)
∥∥
Brp, 1
=
∞∑
s1=1
∞∑
s2=1
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)(Rn(x− y))
∥∥
p
�
�
n+2∑
s1=1
n+2∑
s2=1
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)(x, y) ∗Rn(x− y)
∥∥
∞ �
�
n+2∑
s1=1
n+2∑
s2=1
2(s1+s2)r1
∥∥A(s1,s2)(x; y)
∥∥
1
·
∥∥Rn(x− y)
∥∥
∞ �
� 22nr1 · 2n/2 = 2(2r1+1/2)n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
550 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Отсюда следует, что функция f2(x, y) принадлежит классу Brp, 1.
Теперь, принимая во внимание, что функция Rn(x−y) удовлетворяет условиям
леммы A и для нее выполнена оценка
τM (Rn(x− y))2,1 �M1/2, (24)
используя (24), получаем
τM (f2(x− y))2,1 � 2−(2r1+ 1
2 )nτM (Rn(x− y))2,1 �
� 2−(2r1+ 1
2 )nM1/2 �M−2r1− 1
2 ·M1/2 = M−2r1 .
Оценки снизу, а вместе с ними теорема доказаны.
В завершение работы установим точные по порядку оценки наилучших били-
нейных приближений функций из классов Brp, θ в анизотропном случае.
Пусть p, q и r — двумерные векторы, p = (p1, p2), q = (q1, q2) и r = (r1, r2), на
координаты которых ниже будут наложены определенные ограничения.
Обозначим через Brp, θ, r = (r1, r2), rj > 0, p = (p1, p2), 1 ≤ pj ≤ ∞, s =
= (s1, s2), sj ∈ N, j = 1, 2, множество функций f ∈ Lp(π2), для которых(∑
s
2(s,r)θ
∥∥As(f, x)
∥∥θ
p
)1/θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞,
и
sup
s
2(s,r)
∥∥As(f, x)
∥∥
p
≤ 1, θ =∞.
Введем еще некоторые обозначения, в терминах которых сформулируем полу-
ченный результат.
Пусть для компонент векторов p = (p1, p2) и q = (q1, q2) выполнены соотно-
шения 1 ≤ p1 ≤ q1 ≤ ∞ и 1 ≤ p2, q2 ≤ ∞.
Положим
β(p, q) =
1
p1
− 1
q1
, 1 ≤ p1 ≤ q1 ≤ 2,
0, 2 ≤ p1 ≤ q1 ≤ ∞,
1
p1
− 1
2
, 1 ≤ p1 < 2 < q1 ≤ ∞,
r(p, q) =
(
1
p1
− 1
q1
,
(
1
p2
− 1
q2
)
+
)
, 1 ≤ p1 ≤ q1 ≤ 2,(
1
p1
,
1
p2
)
, 2 ≤ p1 ≤ q1 ≤ ∞, q1 > 2,(
1
p1
,max
(
1
2
,
1
p2
))
, 1 ≤ p1 < 2 < q1 ≤ ∞.
В приведенном ниже утверждении векторное неравенство понимаем покомпо-
нентно.
Теорема 6. Пусть 1 ≤ θ <∞, 1 ≤ p1 ≤ q1 ≤ ∞, 1 ≤ p2, q2 ≤ ∞.
Тогда при r > r(p, q) справедлива оценка
τM (Brp, θ)q �M−r1−r2+β(p,q). (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И БИЛИНЕЙНЫХ . . . 551
Доказательство. Оценка сверху в (25) следует из соответствующей оценки
сверху величины τM (Hr
p)q, полученной в [15]. Оценки снизу величин τM (Brp,θ)q
доказываются совершенно аналогично доказательству оценок снизу в предыдущей
теореме.
Теорема доказана.
1. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозици-
онной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
2. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продол-
жения // Докл. АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука,
1969. – 480 с.
4. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1986. – 178. – С. 1 – 112.
5. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова перио-
дических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
6. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций
многих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки. – 2007. – 82, № 2. – С. 247 – 261.
7. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – С. 37 – 40.
8. Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки.
– 2002. – 71, № 1. – С. 109 – 121.
9. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,θ периодиче-
ских функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
10. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в
пространстве L1 // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
11. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal. Appl.
– 1995. – 2, № 1. – P. 29 – 48.
12. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. –
63. – S. 433 – 476.
13. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. –
187. – С. 194 – 215.
14. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной сме-
шанной производной или разностью // Там же. – 1989. – 189. – С. 138 – 168.
15. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и неко-
торые их приложения // Мат. сб. – 1987. – 176, № 1. – С. 93 – 107.
16. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории
дифференцируемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. –
C. 244 – 278.
17. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 c.
18. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Brp,θ перио-
дических функций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
Получено 04.11.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 4
|