Некоторые нуль-филиформные алгебры
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності. We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities....
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166002 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166002 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Масутова, К.К. Омиров, Б.А. 2020-02-17T19:32:15Z 2020-02-17T19:32:15Z 2014 Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166002 512.5 Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності. We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Некоторые нуль-филиформные алгебры On some zero-filiform algebras Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| spellingShingle |
Некоторые нуль-филиформные алгебры Масутова, К.К. Омиров, Б.А. Статті |
| title_short |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_full |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_fullStr |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_full_unstemmed |
Некоторые нуль-филиформные алгебры |
| title_sort |
некоторые нуль-филиформные алгебры |
| author |
Масутова, К.К. Омиров, Б.А. |
| author_facet |
Масутова, К.К. Омиров, Б.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On some zero-filiform algebras |
| description |
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спеціальними тотожностями i мають максимальний індєкс нільпотентності.
We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166002 |
| citation_txt |
Некоторые нуль-филиформные алгебры / К.К. Масутова, Б.А. Омиров // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 4. — С. 482–492. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT masutovakk nekotoryenulʹfiliformnyealgebry AT omirovba nekotoryenulʹfiliformnyealgebry AT masutovakk onsomezerofiliformalgebras AT omirovba onsomezerofiliformalgebras |
| first_indexed |
2025-11-25T16:15:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T16:15:34Z |
| _version_ |
1850517769736421376 |
| fulltext |
УДК 512.5
К. К. Масутова, Б. А. Омиров (Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент)
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ
We present the description of algebras with the maximum nilpotency index given by certain special identities.
Наведено опис алгебр, що задаються деякими спецiальними тотожностями i мають максимальний iндекс нiльпо-
тентностi.
1. Введение. При изучении нильпотентных алгебр естественно возникает задача: описать
алгебры, имеющие максимальный нильиндекс. Однако, в силу большого разнообразия классов
алгебр, в каждом случае приходится отдельно описывать алгебры максимального нильиндекса
данного класса. Поэтому в данной статье предпринята попытка описать алгебры максимального
нильиндекса, удовлетворяющие обобщенным тождествам специальных видов.
Введем некоторые тождества и дадим определения алгебр, удовлетворяющих данным тож-
дествам.
Определение 1.1. Алгебра L над полем F называется обобщенной алгеброй Лейбница
(ОАЛ), если для любых элементов x, y, z ∈ L выполняется тождество
a(bc) = A1(ab)c+A2(ac)b, (1)
где A1, A2 — произвольные скаляры поля.
Определение 1.2. Алгебра L над полем F называется обобщенной алгеброй Зинбиеля
(ОАЗ), если для любых элементов x, y, z ∈ L выполняется тождество
(ab)c = A1a(bc) +A2a(cb), (2)
где A1, A2 — произвольные скаляры поля.
В данной работе мы описываем ОАЛ и ОАЗ максимального нильиндекса. Отметим, что
алгебры Лейбница являются примерами ОАЛ при A1 = 1, A2 = −1. Исследованиям алгебр
Лейбница посвящены многочисленные работы (см., например, [1, 4, 5, 7, 9]). В частности, клас-
сификация нуль-филиформных алгебр Лейбница, полученная в работе [1], является частным
случаем теоремы 2.1 (случай A1 +A2 = 0).
В монографии [8] с категорной точки зрения рассмотрена связь категории алгебр Лейбница
с другими категориями алгебр. В работе [8] также были рассмотрены алгебры Зинбиеля (кошу-
лево дуальные к алгебрам Лейбница). Изучению структуры конечномерных алгебр Зинбиеля
посвящены работы [2, 3, 6]. Отметим, в свою очередь, что алгебры Зинбиеля являются приме-
рами ОАЗ при A1 = A2 = 1. Классификация нуль-филиформных алгебр Зинбиеля, полученная
в статье [3], также является частным случаем теорем 3.1 и 3.2 (случай A1 = A2).
Если рассмотреть ОАЛ при A1 = 1, A2 = 0 (случай A1 + A2 = 1) или ОАЗ при A1 =
= 1, A2 = 0 (случай A1 + A2 = 1), то получим ассоциативные алгебры. Отметим, что нуль-
филиформные ассоциативные алгебры произвольной размерности, как алгебры максимального
c© К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ, 2014
482 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 483
индекса нильпотентности, ранее не выделялись. Поэтому результаты, полученные в данной
работе, восполняют данный пробел.
Таким образом, полученные классификации нуль-филиформных ОАЛ и ОАЗ обобщают
известные результаты для алгебр Лейбница, алгебр Зинбиеля и ассоциативных алгебр. Кроме
того, в связи с развитием современной абстрактной алгебры появляются новые многообразия
алгебр, и полученные классификации могут быть использованы для изучения алгебр, которые
будут частными случаями ОАЛ и ОАЗ.
Для произвольной алгебры A рассмотрим ряд
A1 = A, Ak+1 =
k∑
i=1
AiAk+1−i, k ≥ 1. (3)
Определение 1.3. n-Мерная алгебра A называется нуль-филиформной, если dimAi =
= (n+ 1)− i, 1 ≤ i ≤ n+ 1.
Нетрудно видеть, что алгебра имеет максимальный нильиндекс тогда и только тогда,
когда она является нуль-филиформной. Кроме того, для нильпотентной алгебры условие нуль-
филиформности равносильно однопорожденности алгебры.
В дальнейшем мы будем рассматривать алгебры над полем F характеристики нуль.
2. Алгебры, определенные тождеством a(bc) = A1(ab)c + A2(ac)b. ПустьA— произ-
вольная n-мерная ОАЛ. Нетрудно видеть, что для алгебры A ряд (3) сводится к последователь-
ности
A1 = A,Ak+1 = AkA1, k ≥ 1. (4)
Поэтому в дальнейшем вместо этого ряда мы будем использовать последовательность (4).
В следующей теореме представлена классификация нуль-филиформных ОАЛ.
Теорема 2.1. n-Мерная нуль-филиформная ОАЛ A существует только при A1 + A2 = 0
или A1 + A2 = 1. Более того, в каждом случае существует базис {e1, e2, . . . , en} алгебры A
такой, что умножение имеет вид
случай A1 +A2 = 0: eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1,
случай A1 +A2 = 1: eiej = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Доказательство. Пусть A — нуль-филиформная ОАЛ размерности n и {e1, e2, . . . , en} —
базис алгебры A такой, что ei ∈ Ai \Ai+1, 1 ≤ i ≤ n. Тогда имеем
e2 =
(
n∑
i=1
γiei
)(
n∑
i=1
δiei
)
= γ1δ1e1e1 + f,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
484 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
где f ∈ A3. Заметим, что γ1δ1 6= 0 и e1e1 ∈ A2\A3, в противном случае e2 ∈ A3. Переобозначая
e′2 =
1
γ1δ1
(e2 − f), можем полагать, что e2 = e1e1.
Пусть e2e1 = α1e3, e1e2 = β1e3, где (α1, β1) 6= (0, 0). Если α1 = 0, то e2e1 = 0, следова-
тельно,
e1e2 = e1(e1e1) = A1(e1e1)e1 +A2(e1e1)e1 = (A1 +A2)e2e1 = 0,
т. е. β1 = 0. Тогда алгебра не является нуль-филиформной.
Таким образом, α1 6= 0. Выполняя замену базисного элемента вида e′3 := α1e3, можно
полагать, что α1 = 1. Cледовательно, e2e1 = e3, e1e2 = β1e3, где β1 = A1 +A2.
Обозначим eie1 = αi−1ei+1, 2 ≤ i ≤ n− 1. Рассмотрим равенства
eie2 = ei(e1e1) = A1(eie1)e1 +A2(eie1)e1 = β1(eie1)e1 = β1αi−1ei+1e1 = β1αi−1αiei+2.
Индукцией по j для произвольного i доказывается равенство
eiej = αi−1αi . . . αi+j−2β
j−1
1 ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Если существует j0 (2 ≤ j0 ≤ n − 1) такой, что αj0−1 = 0, то ej0−i+1ei = 0 для любых
2 ≤ i ≤ j0. Следовательно, пришли к противоречию. Таким образом, αj0−1 6= 0 для любых
2 ≤ j0 ≤ n − 1. При замене базисных элементов e′j0+1 := αj0−1ej0+1 можно полагать, что
αj0−1 = 1 для любых 2 ≤ j0 ≤ n− 1. Поэтому имеем
eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1, eiej = βj−11 ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n.
Рассмотрение тождества (1) для элементов {e1, e1, e2} влечет β1e1e3 = β21e4, т. е. β1 ∈ {0, 1}.
Следовательно, получаем следующие алгебры:
I : eie1 = ei+1, 1 ≤ i ≤ n− 1 при β1 = 0;
II : eiej = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ n при β1 = 1.
Поскольку размерность правого аннулятора алгебры I равна n − 1, а размерность правого
аннулятора алгебры II – 1, алгебры I и II не изоморфны.
Теорема 2.1 доказана.
3. Алгебры, определенные тождеством (ab)c = A1a(bc) + A2a(cb). Пусть задана
ОАЗ A, тогда из тождества (2) видно, что в алгебре A вместо ряда (3) достаточно рассмотреть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 485
последовательность
A1 = A, Ak+1 = AAk, k ≥ 1.
Следующая теорема описывает нуль-филиформные ОАЗ.
Теорема 3.1. n-Мерная нуль-филиформная ОАЗ A существует только при A1 = A2, либо
A1 = −A2, либо A1+A2 = 1. Более того, в алгебре A существует базис {e1, e2, . . . , en} такой,
что умножение имеет вид
eiej = Bi,jei+j ,
где B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1 и Bi,j = A1Bi−1,j +A2Bj,i−1, 2 ≤ i ≤ n− j.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.1, существует базис {e1, e2, . . . , en}
алгебрыA такой, что ei ∈ Ai\Ai+1, 1 ≤ i ≤ n и e1e1 = e2. Положим e1e2 = α1e3, e2e1 = β1e3,
где (α1, β1) 6= (0, 0). Если α1 = 0, то e1e2 = 0. Из равенства
e2e1 = (e1e1)e1 = A1e1(e1e1) +A2e1(e1e1) = (A1 +A2)e1e2 = 0
следует β1 = 0. Пришли к противоречию. Таким образом, α1 6= 0. Выполняя замену базисного
элемента вида e′3 := α1e3, можно полагать, что α1 = 1, т. е. e1e2 = e3, e2e1 = β1e3, где
β1 = A1 +A2.
Пусть e1e3 = α2e4. Применяя тождество (2) к произведениям
(e1e1)e2, (e1e2)e1, (e2e1)e1,
получаем e2e2 = (A1 +A2β1)e1e3, e3e1 = (A1β1 +A2)e1e3.
Если α2 = 0, то e2e2 = e3e1 = 0 — противоречие. Поэтому α2 6= 0 и, выполняя замену
e′4 := α2e4, можно полагать, что α2 = 1 и e2e2 = (A1 +A2β1)e4, e3e1 = (A1β1 +A2)e4.
При рассмотрении тождества (2) для базисных элементов {e2, e1, e1} получаем три возмож-
ных случая для параметров A1 и A2:
1) A1 = A2 (β1 = 2 ·A1 6= 0); 2) A1 = −A2 (β1 = 0); 3) A1 +A2 = 1 (β1 = 1).
Действительно, β1e3e1 = (e2e1)e1 = A1e2e2 +A2e2e2 = β1e2e2, откуда имеем либо β1 = 0,
либо e3e1 = e2e2. Рассмотрев равенство e3e1 = e2e2, получим A1 = A2 или β1 = 1.
Обозначим e1ei+j−1 = αi+j−2ei+j . Покажем, что для некоторого фиксированного s, 1 ≤
≤ s ≤ n − 1, выполняется eiej = Bi,je1ei+j−1, 2 ≤ i + j ≤ s + 1, где Bi,j удовлетворяют
условиям из утверждения теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
486 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
Предположим, что для s = s0 эта зависимость справедлива. Тогда при условии e1ei+j−1 = 0
имеем eiej = 0 для любых 2 ≤ i+j ≤ s0+1, что противоречит существованию алгебры. Таким
образом, e1ei+j−1 6= 0 (т. е. αi+j−2 6= 0). Используя замену e′i+j := αi+j−2ei+j , можно полагать,
что αi+j−2 = 1. Следовательно, имеем
e1ei+j−1 = ei+j , 2 ≤ i+ j ≤ s0 + 1,
eiej = Bi,je1ei+j−1 = Bi,jei+j , 2 ≤ i+ j ≤ s0 + 1.
По индукции покажем, что eiej = Bi,je1ei+j−1 при i+ j = s0 + 2.
Пусть e1es0+1 = αs0es0+2.При i = 2 имеем e2es0 = (e1e1)es0 = A1e1(e1es0)+A2e1(es0e1) =
= (A1 +A2Bs0,1)e1es0+1. Положим A1 +A2Bs0,1 = B2,s0 , тогда e2es0 = B2,s0e1es0+1.
Пусть для i = i0, 1 ≤ i0 ≤ s0, выполняется ei0es0+2−i0 = Bi0,s0+2−i0e1es0+1, где Bi0,s0+2−i0
удовлетворяют свойствам из утверждения теоремы. Тогда рассмотрим
ei0+1es0+1−i0 = (e1ei0)es0+1−i0 = A1e1(ei0es0+1−i0) +A2e1(es0+1−i0ei0) =
= (A1Bi0,s0+1−i0 +A2Bs0+1−i0,i0)e1es0+1 = Bi0+1,s0+1−i0e1es0+1.
Таким образом, eiej = Bi,je1ei+j−1 для 2 ≤ i+ j ≤ s0 +2. Аналогично можно считать, что
αs0 = 1, т. е. e1es0+1 = es0+2. Следовательно,
eiej = Bi,jei+j ,
где B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1 и Bi,j = A1Bi−1,j +A2Bj,i−1, 2 ≤ i+ j ≤ n.
Теорема 3.1 доказана.
В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 3.1. Для любых натуральных чисел a, i, s ∈ N, i ≥ 2, s ≥ 3, справедливы следующие
равенства:
i∑
l=2
Ca−1
l+a−s = Ca
i+a−(s−1),
i∑
l=2
Cj−1
l−2 = Cj
i−1.
Доказательство проводится несложной индукцией.
Лемма 3.2. Для любых i, j ∈ N и любого x ∈ F справедливы следующие равенства:
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i =
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 487
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−j∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Доказательство. Первое равенство вытекает из следующей цепочки равенств:
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i =
i∑
l=2
j−2∑
k=2
(Ck−1
k+l−3 + Cj−1
k+l−3)x
k+i−1 =
=
j−2∑
k=2
i∑
l=2
(Ck−1
k+l−3 + Cj−1
k+l−3)x
k+i−1 =
j−2∑
k=2
xk+i−1
(
i∑
l=2
Ck−1
k+l−3 +
i∑
l=2
Cj−1
k+l−3
)
=
= (по лемме 3.1) =
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1.
Справедливость второго равенства следует из равенств
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i∑
l=2
[
l−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l + Cj−1
l−2 x
i
]
=
= (по лемме 3.1) = Cj
i−1x
i + xi+j
i∑
l=2
l−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−l =
= Cj
i−1x
i + xi+j
[
1−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−2 +
2−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−3 + . . .+
i−j−1∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k−i
]
=
= Cj
i−1x
i + xi+j
[
1−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2(x
k−2 + xk−3 + xk−4 + . . .+ xk−(i−1) + xk−i)+
+Cj−1
0 x−j−1 + (Cj−1
0 x−j−2 + Cj−1
1 x−j−1)+
+(Cj−1
0 x−j−3 + Cj−1
1 x−j−2 + Cj−1
2 x−j−1) +
3∑
k=0
Cj−1
k x−j−4+k + . . .
. . .+
i−5∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−4)+k +
i−4∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−3)+k +
i−3∑
k=0
Cj−1
k x−j−(i−2)+k
]
=
= Cj
i−1x
i + xi+j
x−j−1 i−3∑
k=1
Cj−1
k + x−j−2
i−4∑
k=1
Cj−1
k + x−j−3
i−5∑
k=1
Cj−1
k + . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
488 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
. . .+ x1−i
j−1∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−j−1)-е место
+x−i
j−2∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−j)-е место
+ . . .+ x−j−(i−4)
2∑
k=1
Cj−1
k︸ ︷︷ ︸
(i−4)-е место
+x−j−(i−3)Cj−1
1︸ ︷︷ ︸
(i−3)-е место
=
= (по лемме 3.1) = Cj
i−1x
i + xi+j
[
Cj
i−2x
−j−1 + Cj
i−3x
−j−2+
+Cj
i−4x
−j−3 + . . .+ Cj
j+1x
2−i + Cj
jx
1−i
]
=
= Cj
i−1x
i +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j =
i−j∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Лемма 3.2 доказана.
Лемма 3.3. Для любых i, j ∈ N и любого x ∈ F справедливо равенство
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l =
i−4∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−4 +
i−5∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−5 +
i−6∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
i+j−6 + . . .
. . .+
3∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
j+3 +
2∑
l=1
Cj−1
l+j−2x
j+2 + xj+1 = (по лемме 3.1) =
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Лемма 3.3 доказана.
Следующая теорема описывает параметры Bi,j из теоремы 3.1 в случае A1 = A2 = x.
Теорема 3.2. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 = A2 = x (случай I)
для произвольного i > 1 справедливы равенства
Bi,1 = 2xi−1 +
i−2∑
k=1
xk, Bi,2 = C1
i−1x
i−1(2x+ 1) +
i−3∑
k=1
C1
kx
k+1, (5)
Bi,j = Cj−1
i+j−3x
i+j−3(2x+ 1) + xi−1 +
i−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j−1 +
j−3∑
k=1
(Ck
k+i−2 + Cj−1
k+i−2)x
k+i−1,
j ≥ 3.
Доказательство. Из теоремы 3.1 следует, что eiej = Bi,jei+j , где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 489
B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, Bi,j = x(Bi−1,j +Bj,i−1), 2 ≤ i ≤ n− j.
Поскольку Bj+1,i−1 = x(Bj,i−1 + Bi−1,j), то Bi,j = Bj+1,i−1, i ≥ 2. Поэтому при j > 1
имеем
Bi,j = x(Bi−1,j +Bi,j−1), 2 ≤ i ≤ n− j. (6)
При j = 1 имеем рекуррентное соотношение Bi,1 = x(Bi−1,1+B1,i−1) = xBi−1,1+x, i > 1,
из которого вытекает Bi,1 = 2xi−1 +
∑i−2
k=1
xk.
С помощью равенства (6) при j = 2, используя полученное выражение для Bi,1, индукцией
доказываем соотношение
Bi,2 = C1
i−1x
i−1(2x+ 1) +
i−3∑
k=1
C1
kx
k+1. (7)
Доказательство равенства (5) при j ≥ 3 проведем индукцией по j при произвольном зна-
чении i.
Полагая в равенстве (6) j = 3, получaeм Bi,3 = x(Bi−1,3 + Bi,2). Используя соотношение
(7), нетрудно доказать справедливость равенства (5) при j = 3.
Пусть при фиксированном j > 3 формула (5) справедлива. Рассмотрим Bi,j+1 при произ-
вольном i:
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
k раз
(Bi−k,j+1 +Bi−k+1,j) +Bi−k+2,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
k раз
=
= x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
k раз
(x(Bi−k−1,j+1+Bi−k,j)+Bi−k+1,j)+Bi−k+2,j)+. . .+Bi−2,j)+Bi−1,j)+Bi,j)︸ ︷︷ ︸
k раз
=
= x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(k+1) раз
(Bi−k−1,j+1 +Bi−k,j) +Bi−k+1,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(k+1) раз
.
Таким образом, можно на (i− 1)-м шаге дойти до B1,j+1, которое равно единице, т. е.
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(1 +B2,j) +B3,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
=
xi−1 + xi−1B2,j + xi−2B3,j + xi−3B4,j + . . .+ x2Bi−1,j + xBi,j = xi−1 +
i∑
l=2
xi+1−lBl,j =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
490 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
=xi−1+
i∑
l=2
[
Cj−1
l+j−3x
i+j−2(2x+ 1) + xi+
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l+
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2+C
j−1
k+l−2)x
k+i
]
=
= xi−1 + xi+j−2(2x+ 1)
i∑
l=2
Cj−1
l+j−3 + (i− 1)xi +
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l+
+
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i = (по лемме 3.1) = xi−1 + Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1)+
+(i− 1)xi +
i∑
l=2
l−j∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j+i−l +
i∑
l=2
j−3∑
k=1
(Ck
k+l−2 + Cj−1
k+l−2)x
k+i.
Применяя лемму 3.2, получаем
Bi,j+1 = Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1) + xi−1 +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j + (i− 1)xi + Cj
i−1x
i+
+
j−2∑
k=2
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1 = Cj
i+j−2x
i+j−2(2x+ 1) + xi−1 +
i−j−1∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j+
+
j−2∑
k=1
(Ck
k+i−2 + Cj
k+i−2)x
k+i−1.
Теорема 3.2 доказана.
Приведем описание параметров Bi,j в случае A1 = −A2 = x.
Теорема 3.3. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 = −A2 = x (случай II)
для произвольного i > 1 справедливы равенства
Bi,1 = −
i−2∑
k=1
xk, B2,2 = x, Bi,2 = −C1
i−3x
i−2(x+ 1)−
i−4∑
k=1
C1
kx
k+1, (8)
Bi,j = −(Cj−1
i+j−5 − C
j−3
i+j−5)x
i+j−4(x+ 1) +
j−3∑
k=1
Ck−1
i+k−3x
i+k−2 −
i−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
k+j−1, j ≥ 3.
Доказательство. Из теоремы 3.1 имеем eiej = Bi,jei+j , где
B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, Bi,j = x(Bi−1,j −Bj,i−1), 2 ≤ i ≤ n− j.
Нетрудно видеть, что Bj+1,i−1 = x(Bj,i−1 −Bi−1,j). Следовательно,
Bi,j = −Bj+1,i−1, i ≥ 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
НЕКОТОРЫЕ НУЛЬ-ФИЛИФОРМНЫЕ АЛГЕБРЫ 491
При j = 1, 2, 3 имеем рекуррентные соотношения
Bi,1 = x(Bi−1,1 −B1,i−1) = x(Bi−1,1 − 1), i > 1,
Bi,2 = x(Bi−1,2 −B2,i−1) = x(Bi−1,2 +Bi,1), i > 1,
Bi,3 = x(Bi−1,3 −B3,i−1) = x(Bi−1,3 +Bi,2), i > 1,
соответственно. Используя данные соотношения, убеждаемся в справедливости первых двух
равенств и третьего равенства при j = 3 в (8).
Доказательство третьего равенства в (8) при j > 3 проведем индукцией.
Пусть при произвольном i и фиксированном j > 3 формула (8) справедлива. Рассмотрим
Bi,j+1 при произвольном i, тогда Bi,j+1 = x(Bi−1,j+1+Bi,j). Рассуждая, как и при доказатель-
стве теоремы 3.2, можно показать, что
Bi,j+1 = x(x(x(x . . . (x(x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(B1,j+1 +B2,j) +B3,j) +B4,j) + . . .+Bi−2,j) +Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
.
Таким образом,
Bi,j+1 = x(x(x . . . (x︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
(1 +B2,j) +B3,j) + . . .+Bi−1,j) +Bi,j)︸ ︷︷ ︸
(i−1) раз
= xi−1 +
i∑
l=2
xi+1−lBl,j =
= xi−1 −
i∑
l=2
(Cj−1
l+j−5 − C
j−3
l+j−5)x
i+j−3(x+ 1)+
+
i∑
l=2
j−3∑
k=1
Ck−1
l+k−3x
i+k−1 −
i∑
l=2
l−4∑
k=1
Cj−1
k+j−2x
i+k+j−l =
= (по лемме 3.3) = xi−1 − xi+j−3(x+ 1)
(
i∑
l=2
Cj−1
l+j−5 −
i∑
l=2
Cj−3
l+j−5
)
+
+
j−3∑
k=1
xi+k−1
i∑
l=2
Ck−1
l+k−3 −
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j = (по лемме 3.1) =
= −(Cj
i+j−4 − C
j−2
i+j−4)x
i+j−3(x+ 1) +
j−2∑
k=1
Ck−1
i+k−3x
i+k−2 −
i−4∑
k=1
Cj
k+j−1x
k+j .
Теорема 3.3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
492 К. К. МАСУТОВА, Б. А. ОМИРОВ
Следующая теорема завершает описание нуль-филиформных ОАЗ.
Теорема 3.4. Для любой n-мерной нуль-филиформной ОАЗ A при A1 + A2 = 1 (случай III)
справедливо соотношение
Bi,j = 1 для любых 1 ≤ i, j ≤ n− 1.
Доказательство. Пусть A1 = x, тогда A2 = 1 − x и Bi,j = xBi−1,j + (1 − x)Bj,i−1 =
= x(Bi−1,j−Bj,i−1)+Bj,i−1. Доказательство проведем индукцией по i при любом j. При i = 1
имеем B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1.
Рассмотрим Bi+1,j = xBi,j + (1− x)Bj,i = x+ (1− x)Bj,i. Поскольку
Bj,i = xBj−1,i + (1− x)Bi,j−1 = xBj−1,i + (1− x),
Bj−1,i = xBj−2,i + (1− x)Bi,j−2 = xBj−2,i + (1− x),
то Bj,i = xBj−1,i + (1− x) = x(xBj−2,i + (1− x)) + (1− x).
Аналогично можно показать, что
Bj,i = x(x(x(x . . . (x(x︸ ︷︷ ︸
(j−1) раз
B1,i + (1− x) ) + (1− x)) + . . .+ (1− x)) + (1− x)) + (1− x))︸ ︷︷ ︸
(j−1) раз
.
Поскольку B1,j = 1, 1 ≤ j ≤ n− 1, то Bj,i = 1. Таким образом, Bi+1,j = x+ (1− x) · 1 = 1.
Следовательно, Bi,j = 1 для любых 1 ≤ i, j ≤ n− 1.
Теорема 3.4 доказана.
1. Аюпов Ш. А., Омиров Б. А. О некоторых классах нильпотентных алгебр Лейбница // Сиб. мат. журн. – 2001. –
42. – C. 18 – 29.
2. Омиров Б. А. Классификация двумерных комплексных алгебр Зинбиеля // Узб. мат. журн. – 2002. – № 2. –
C. 55 – 59.
3. Adashev J. Q., Omirov B. A., Khudoyberdiyev A. Kh. Classifications of some classes of Zinbiel algebras // J. Gen.
Lie Theory and Appl. – 2010. – 3(4). – P. 1 – 10.
4. Ayupov Sh. A., Omirov B. A. On Leibniz algebras // Algebra and Operators Theory: Proc. Colloq. in Tashkent 1997.
– Kluwer Acad. Publ., 1998. – P. 1 – 13.
5. Camacho L. M., Gómez J. R., González A. J., Omirov B. A. Naturally graded quasi-filiform Leibniz algebras // J.
Symbol. Comput. – 2009. – 44, № 5. – P. 527 – 539.
6. Dzhumadil’daev A. S., Tulenbaev K. M. Nilpotency of Zinbiel algebras // J. Dynam. Control Syst. – 2005. – 11, № 2. –
P. 195 – 213.
7. Loday J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de Leibniz // Enseign. math. – 1993. –
39. – P. 269 – 293.
8. Loday J.-L., Frabetti A., Goichot F. Dialgebras and related operads // Lect. Notes Math. – 2001. – 1763. – 133 p.
9. Omirov B. A. Conjucasy of Cartan subalgebras of complex finite-dimensional Leibniz algebras // J. Algebra. – 2006. –
302. – P. 887 – 896.
Получено 24.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 4
|