Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер
Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну, так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу. The Boltzmann equation...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166038 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер / В.Д. Гордевский, А.А. Гукалов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 629–639. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859474184141275136 |
|---|---|
| author | Гордевский, В.Д. Гукалов, А.А. |
| author_facet | Гордевский, В.Д. Гукалов, А.А. |
| citation_txt | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер / В.Д. Гордевский, А.А. Гукалов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 629–639. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну, так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу.
The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:16:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 533.72
В. Д. Гордевский, А. А. Гукалов (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР
The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-
onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The
main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed.
Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну,
так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї
моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу.
1. Введение. В данной статье рассматривается модель шероховатых сфер [1], ко-
торая впервые была введена в 1894 г. Брианом [2]. Методы, развитые Чепменом
и Энскогом для общих невращающихся сферических молекул, в 1922 г. были рас-
пространены на модель Бриана Пиддаком [3]. Преимущество этой модели перед
всеми другими моделями, допускающими изменение состояния вращения моле-
кул, состоит в том, что здесь не требуется никаких переменных, определяющих
ориентацию молекулы в пространстве.
Указанные молекулы являются абсолютно упругими и абсолютно шерохова-
тыми, что означает следующее. При столкновении двух молекул приходящие в
соприкосновение точки не имеют в общем случае одинаковой скорости. Предпола-
гается, что две сферы зацепляют одна другую без скольжения. В начальный момент
сферы деформируют одна другую, а затем энергия деформации возвращается об-
ратно в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения без
каких-либо потерь. В результате относительная скорость сфер в точке их сопри-
косновения изменяется при ударе на обратную.
Уравнение Больцмана для модели шероховатых сфер имеет вид [1 – 6]
D(f) = Q(f, f), (1)
D(f) =
∂f
∂t
+
(
V,
∂f
∂x
)
, (2)
Q(f, f) =
d2
2
∫
R3
dV1
∫
R3
dω1
∫
Σ
dαB(V − V1, α)×
×
[
f(t, V ∗1 , x, ω
∗
1)f(t, V ∗, x, ω∗)− f(t, V, x, ω)f(t, V1, x, ω1)
]
. (3)
Здесь d — диаметр молекулы, который связан с моментом инерции I соотношением
I =
bd2
4
, (4)
где b — параметр, b ∈
(
0,
2
3
]
, характеризующий изотропное распределение ве-
щества внутри молекулы; t — время; x = (x1, x2, x3) ∈ R3 — пространственная
координата; V = (V 1, V 2, V 3) и w = (w1, w2, w3) ∈ R3 — линейная и угловая ско-
рости молекулы соответственно;
∂f
∂x
— градиент функции f по переменной x; Σ —
c© В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5 629
630 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
единичная сфера в пространстве R3; α — единичный вектор из R3, соединяющий
центры сталкивающихся молекул;
B (V − V1, α) = |(V − V1, α)| − (V − V1, α) (5)
— ядро интеграла столкновений.
Линейные (V ∗, V ∗1 ) и угловые (w∗, w∗1) скорости молекул после столкновения
выражаются через соответствующие скорости до столкновения следующим обра-
зом:
V ∗ = V − 1
b+ 1
(
b(V1 − V )− bd
2
α× (ω + ω1) + α(α, V1 − V )
)
,
V ∗1 = V1 +
1
b+ 1
(
b(V1 − V )− bd
2
α× (ω + ω1) + α(α, V1 − V )
)
,
ω∗ = ω +
2
d(b+ 1)
{
α× (V − V1) +
d
2
[α(ω + ω1, α)− ω − ω1]
}
,
ω∗1 = ω1 +
2
d(b+ 1)
{
α× (V − V1) +
d
2
[α(ω + ω1, α)− ω − ω1]
}
,
(6)
знаком × обозначено векторное произведение.
2. Постановка задачи и основные результаты. Единственным точным ре-
шением уравнения Больцмана (1), которое известно в явном виде до настоящего
времени, является выражение, аналогичное полученному Максвеллом в 1899 г. для
случая модели твердых сфер, т. е. удовлетворяющее системе
D(f) = 0,
Q(f, f) = 0.
(7)
Для рассматриваемой нами модели такое выражение тоже использовалось в
монографии [1], где утверждалось, что логарифм этого выражения имеет вид
ln f = α(1) + α(2)V − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(4)(Iω + [x× V ]). (8)
В общем случае коэффициенты α(i), i = 1, . . . , 4, зависят и от времени, и от
пространственной координаты. В монографии [1] исследованы только два частных
случая: так называемый глобальный максвеллиан (когда рассматриваемое выраже-
ние зависит только от линейной и угловой скоростей молекулы) и один из локаль-
ных (так называемый винт или спираль, у которого в отличие от глобального есть
еще зависимость и от пространственной координаты).
Однако при непосредственной подстановке выражения (8) в выражения (2) и
(3) оказывается, что в общем случае оно не удовлетворяет системе (7), что по-
казано в приложении. Именно, нетрудно убедиться в том, что выражение (8) не
должно содержать слагаемое α(4)Iω. Это объясняется тем, что авторы посчитали
равными среднюю угловую скорость по всем молекулам и угловую скорость га-
за в целом (как твердого тела), что в действительности не всегда верно. Однако,
даже исправляя эту неточность, мы не получим наиболее общего выражения, опи-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 631
сывающего максвеллиан в газе из шероховатых молекул, так как возможный вид
коэффициентов α(i), i = 1, . . . , 4, нигде не исследовался.
Поэтому целью данной работы является поиск такого выражения, а также иссле-
дование его физического смысла и выделение особо интересных частных случаев
подобно тому, как это было сделано для модели твердых сфер в [7 – 10] (некоторые
результаты в этом направлении можна найти также в [11, 12]).
Итак, исправляя обнаруженную неточность, имеем
ln f = α(1) + α(2)V − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(4)[x× V ]. (9)
Предполагая теперь, что коэффициенты α(i) зависят от t и x, преобразуем выраже-
ние (9):
ln f = α(1) − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ α(2) · V − (V, [x× α(4)]) =
= α(1) − α(3)
(
1
2
V 2 +
1
2
Iω2
)
+ (V, α(2) − [x× α(4)]). (10)
Введем следущие обозначения:
α(1) = a(t, x), a(t, x) : R4 → R1,
α(3) = −2b(t, x), b(t, x) : R4 → R1,
α(2) + [α(4) × x] = c(t, x), c(t, x) : R4 → R3.
Перепишем равенство (10) в новых обозначениях:
ln f = a(t, x) + b(t, x)(V 2 + Iω2) + c(t, x) · V =
= a(t, x) + b(t, x)(V 1)2 + b(t, x)(V 2)2+
+b(t, x)(V 3)2 + Ib(t, x)(ω1)2 + Ib(t, x)(ω2)2 + Ib(t, x)(ω3)2+
+c1(t, x)V 1 + c2(t, x) · V 2 + c3(t, x) · V 3.
Потребуем, чтобы выражение (2) тождественно было равно нулю в соответ-
ствии с (7)
(
вместо функции f будем подставлять выражение ln f, ибо (ln f)′ =
1
f
f ′
и
1
f
6= 0
)
:
∂a
∂t
+ (V 1)2 ∂b
∂t
+ (V 2)2 ∂b
∂t
+
+(V 3)2 ∂b
∂t
+ I(ω1)2 ∂b
∂t
+ I(ω2)2 ∂b
∂t
+ I(ω3)2 ∂b
∂t
+ V 1 ∂c1
∂t
+
+V 2 ∂c2
∂t
+ V 3 ∂c3
∂t
+ V 1 ∂a
∂x1
+ (V 1)3 ∂b
∂x1
+ V 1(V 2)2 ∂b
∂x1
+ V 1(V 3)2 ∂b
∂x1
+
+IV 1(ω1)2 ∂b
∂x1
+ IV 1(ω2)2 ∂b
∂x1
+ IV 1(ω3)2 ∂b
∂x1
+ (V 1)2 ∂c1
∂x1
+ V 1V 2 ∂c2
∂x1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
632 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
+V 1V 3 ∂c3
∂x1
+ V 2 ∂a
∂x2
+ (V 1)2V 2 ∂b
∂x2
+ (V 2)3 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω1)2 ∂b
∂x2
+
+V 2(V 3)2 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω2)2 ∂b
∂x2
+ IV 2(ω3)2 ∂b
∂x2
+ V 1V 2 ∂c1
∂x2
+ (V 2)2 ∂c2
∂x2
+
+V 2V 3 ∂c3
∂x2
+ V 3 ∂a
∂x3
+ (V 1)2V 3 ∂b
∂x3
+ (V 2)2V 3 ∂b
∂x3
+
+(V 3)3 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω1)2 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω2)2 ∂b
∂x3
+ IV 3(ω3)2 ∂b
∂x3
+
+V 1V 3 ∂c1
∂x3
+ V 2V 3 ∂c2
∂x3
+ (V 3)2 ∂c3
∂x3
≡ 0.
Приравнивая коэффициенты при компонентах векторов V и ω и их различных
степенях, а также произведениях, имеем:
1)
∂a
∂t
= 0, а значит, a = a(x);
2) для любого i = 1, 2, 3 при (ωi)2 ∂b
∂t
= 0, тогда b = b(x); при (V i)3 ∂b
∂xi
=
= 0, т. е. b = b(t).
Итак, b = const ∈ R1.
Учитывая найденный вид функций a и b, из остальных соотношений получаем
следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных:
∂c1
∂x1
= 0, (11.1)
∂c2
∂x2
= 0, (11.2)
∂c3
∂x3
= 0, (11.3)
∂c1
∂t
+
∂a
∂x1
= 0, (11.4)
∂c2
∂t
+
∂a
∂x2
= 0, (11.5)
∂c3
∂t
+
∂a
∂x3
= 0, (11.6)
∂c2
∂x1
+
∂c1
∂x2
= 0, (11.7)
∂c3
∂x1
+
∂c1
∂x3
= 0, (11.8)
∂c3
∂x2
+
∂c2
∂x3
= 0. (11.9)
Из уравнений (11.1) – (11.3) имеем
c1 = c1(t, x2, x3),
c2 = c2(t, x1, x3),
c3 = c3(t, x1, x2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 633
Определим вид функции c1.
Из уравнения (11.1) следует, что
∂2c1
∂x2∂x1
= 0 и
∂2c1
∂x3∂x1
= 0.
Продифференцируем уравнение (11.7) по x3, а уравнение (11.8) по x2:
∂2c2
∂x3∂x1
+
∂2c1
∂x3∂x2
= 0,
∂2c3
∂x2∂x1
+
∂2c1
∂x2∂x3
= 0.
Складывая почленно полученные равенства, получаем
∂2c2
∂x3∂x1
+
∂2c3
∂x2∂x1
+ 2
∂2c1
∂x3∂x2
= 0.
Поскольку производная по x1 уравнения (11.9) такова:
∂2c3
∂x1∂x2
+
∂2c2
∂x1∂x3
= 0,
получаем
∂2c1
∂x3∂x2
= 0.
Очевидно, что
∂2c1
∂(x1)2
= 0, а с учетом полученных выше выражений для c1, c2,
c3 из уравнения (11.7) следует
∂2c1
∂(x2)2
= 0, а из (11.8) вытекает
∂2c1
∂(x3)2
= 0.
Значит, c1 — линейная функция от x2 и x3, но коэффициенты при данных
компонентах пространственной координаты могут зависеть и от t.
Аналогично, можно показать, что c2 — линейная функция от x1 и x3, но коэф-
фициенты могут зависеть от t, а c3 — линейная функция от x1 и x2 и коэффициенты
тоже могут зависеть от t.
Таким образом, функции c1, c2 и c3 имеют вид
c1(t, x2, x3) = c11(t) + c12(t) · x2 + c13(t) · x3,
c2(t, x1, x3) = c21(t) + c22(t) · x1 + c23(t) · x3,
c3(t, x1, x2) = c31(t) + c32(t) · x1 + c33(t) · x2.
Теперь, использовав уравнения (11.7) – (11.9), определим зависимость между неко-
торыми cij .
Из (11.7) следует, что c22(t) + c12(t) = 0, т. е. c22(t) = −c12(t). Аналогично
c32(t)+c13(t) = 0, т. е. c32(t) = −c13(t), и c33(t)+c23(t) = 0, т. е. c33(t) = −c23(t).
Далее, из (11.4) получаем
c′11(t) + c′12(t)x2 + c′13(t)x3 = − ∂a
∂x1
.
Нам известно, что a = a(x), значит, c′11(t) = C, c′12(t) = C1, c
′
13(t) = C2,
C, C1, C2 ∈ R1. Отсюда
c11(t) = C · t+ C3,
c12(t) = C1 · t+ C4,
c13(t) = C2 · t+ C5,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
634 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
c22(t) = −C1 · t− C4,
c32(t) = −C2 · t− C5, C3, C4, C5 ∈ R1.
Итак,
∂a
∂x1
= −C − C1 · x2 − C2 · x3, т. е.
a = −Cx1 − C1x
1x2 − C2x
1x3 + ϕ(x2, x3). (12)
Из (11.5) имеем c′21(t) − C1x
1 + c′23(t)x3 = − ∂a
∂x2
. Но a = a(x), значит, c′21(t) =
= C6, c
′
23(t) = C7, C6, C7 ∈ R1, т. е.
c21(t) = C6 · t+ C8,
c23(t) = C7 · t+ C9,
c33(t) = −C7 · t− C9, C8, C9 ∈ R1.
Следовательно,
∂a
∂x2
= −C6 + C1x
1 − C7x
3,
или
a = −C6x
2 + C1x
1x2 − C7x
2x3 + ϕ1(x1, x3). (13)
Из (11.6) имеем c′31(t)− C2 · x1 − C7 · x2 = − ∂a
∂x3
.
Как было отмечено, c′31(t) = C10, откуда c31(t) = C10 · t+ C11, C10, C11 ∈ R1.
Наконец,
∂a
∂x3
= −C10 + C2 · x1 + C7 · x2,
значит,
a = −C10x
3 + C2x
1x3 + C7x
2x3 + ϕ2(x1, x2). (14)
Итак, получены выражения (12) – (14), которые описывают искомую функцию
a = a(x), но в них содержатся неизвестные функции ϕ(x2, x3), ϕ1(x1, x3) и
ϕ2(x1, x2). С целью уточнения вида функций ϕ,ϕ1 и ϕ2, а также окончательного
представления функции a(x) подставим выражения (12) – (14) в уравнения (11.4),
(11.5) и (11.6).
При подстановке (12) в (11.4) получаем тождество, так как (12) получено из
(11.4), а при подстановке в (11.5) C6−C1x
1 +C7x
3−C1x
1 +
∂ϕ(x2, x3)
∂x2
= 0. Тогда
ϕ = −C7x
2x3 − C6x
2 + ψ(x3), а из (11.6) имеем C10 − C2x
1 − C7x
2 − C2x
1 +
+
∂ϕ(x2, x3)
∂x3
= 0, C10 − 2C2x
1 − 2C7x
2 +
∂ψ
∂x3
= 0, т. е. C2 ≡ 0 и C7 ≡ 0,
ψ = −C10 · x3 +D. Значит, (12) преобразуется следующим образом:
a(x) = −Cx1 − C1x
1x2 − C6x
2 − C10x
3 +D, D ∈ R1.
Подставляя (13) в уравнения (11.4), (11.6), получаем C + 2C1x
2 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x1
=
= 0. Поскольку здесь последнее слагаемое не зависит от x2, то C1 ≡ 0, и тогда
ϕ1(x1, x3) = −C · x1 + ξ(x3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 635
Далее, при подстановке (13) в (11.5) и (11.6) имеем
C6 − C6 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x2
= 0,
C10 +
∂ϕ1(x1, x3)
∂x3
= 0,
откуда C10 +
∂ξ
∂x3
= 0, значит, ξ(x3) = −C10 · x3 +D1, D1 ∈ R1.
Итак, (13) преобразуется в
a(x) = −C6x
2 − Cx1 − C10x
3 +D1.
Аналогично, подставляя (14) в уравнения (11.4) – (11.6), получаем
a(x) = −C10x
3 − Cx1 − C6x
2 +D2,
где D2 ∈ R1.
Таким образом, мы показали, что
a(x) = −Cx1 − C6x
2 − C10x
3 +D = (−C,−C6,−C10)x+D.
Так же преобразовались функции cik, i = 1, . . . , 3, k = 1, . . . , 3 :
c11(t) = C · t+ C3, c12(t) = C4, c23(t) = C9,
c21(t) = C6 · t+ C8, c13(t) = C5, c32(t) = −C5,
c31(t) = C10 · t+ C11, c22(t) = −C4, c33(t) = −C9,
C, C3, C4, C5, C6, C8, C9, C10, C11 ∈ R1.
Окончательно имеем
a(x) = (−C,−C6,−C10)(x1, x2, x3) +D,
c(t, x) =
C
C6
C10
t+
C4x
2 + C5x
3 + C3
−C4x
1 + C9x
3 + C8
−C5x
1 − C9x
2 + C11
.
Итак, получено следующее решение системы (11.1) – (11.9) (здесь за вновь вве-
денными векторными и скалярными константами сохранены обозначения, исполь-
зованные выше для иных величин):
a(x) = Cx+ C1, C ∈ R3, C1 ∈ R1,
b(x) = C2, C2 ∈ R1,
c(t, x) = −Ct+ C3 + [C4 × x], C3, C4 ∈ R3.
Возвращаясь к начальным обозначениям, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
636 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
α(1) = Cx+ C1,
α(2) = −Ct+ C3,
α(3) = −2C2,
α(4) = C4.
(15)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Общий вид максвеллианов для модели шероховатых молекул за-
дается формулами (9), (15), где C, C1, C2, C3, C4 — произвольные числовые и
векторные константы.
3. Физический смысл найденного решения. Основные частные случаи.
Подставим найденные коэффициенты (15) в выражение (10) и преобразуем:
ln f = Cx+ C1 + C2(V 2 + Iω2) + V (−Ct+ C3 + [C4 × x]) =
= Cx+ C1 + C2
(
V − Ct− C3 + [x× C4]
2C2
)2
−
− (Ct− C3 + [x× C4])2
4C2
+ IC2ω
2 =
= Cx+ C1 −
(Ct− C3 + [x× C4])2
4C2
+
+C2
((
V − Ct− C3 + [x× C4]
2C2
)2
+ Iω2
)
.
Сначала рассмотрим случай, когда C4 6= 0.
Выразив отсюда функцию f и подобрав константы C, Ci следующим образом
(подобно тому, как это было сделано в [10] в случае модели твердых сфер):
C = 2β[ω × u0]− 2βṼ , C1 = ln
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
)
,
C2 = −β, C3 = −2β[ω × x0] + 2βṼ , C4 = 2βω,
получим
f(t, V, x, ω) = ρ0I
3/2eβ([ω×(x−x0−u0t)]
2−2W̃||x)
(
β
π
)3
×
×e−β
(
(V−V̂||(t)−[ω×(x−x0−u0t)])
2
+Iω2
)
, (16)
где ω — угловая скорость потока газа в целом; V (t, x) = V̂||(t)+ [ω× (x−x0−u0t)]
— массовая скорость; x0, x0 — оси скоростей и плотностей соответственно:
x0 =
1
ω2
[
ω × Ṽ
]
, x0 =
1
ω2
[
ω × (Ṽ − u0)
]
;
u0 — произвольный вектор, перпендикулярный к ω (поступательная скорость этих
осей); β =
1
2T
— обратная температура газа; V̂||(t) = Ṽ|| + W̃||t — составляю-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 637
щая вектора V̂ (t) = Ṽ + W̃ t, параллельная ω, где Ṽ , W̃ ∈ R3 — произвольные
постоянные векторы.
Следует отметить, что, во-первых, температура газа из шероховатых сфер не
зависит от времени, а в работе [10] показано, что для модели твердых сфер такая
зависимость существует и имеет вполне конкретный вид.
Во-вторых, показатель экспоненты в выражении для плотности квадратично за-
висит от перпендикулярной по отношению к ω составляющей вектора x и лишь ли-
нейно от параллельной его составляющей (в отличие от модели твердых сфер [10],
где содержится еще слагаемое, пропорциональное x2). Далее, массовая скорость
не содержит члена, пропорционального tx, т. е. теперь невозможны движения типа
разогрев – остывание и расширение – сжатие (подробнее такие движения в случае
модели твердых сфер также описаны в [10]).
Отметим, что выражение (16) при W̃ = 0 является аналогом смерча (в справед-
ливости этого утверждения можно убедиться и непосредственно, подставив его в
систему (7)).
Теперь исследуем случай C4 ≡ 0. Имеем
ln f = Cx+ C1 −
(Ct− C3)2
4C2
+ C2
((
V − Ct− C3
2C2
)2
+ Iω2
)
.
Подберем коэффициенты Ci, i = 1, . . . , 4, следующим образом:
C = 2uβ,
C1 = ln
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
)
,
C2 = −β,
C3 = 2βV̂ .
Тогда получаем
f(t, V, x, ω) = ρ0I
3/2eβ((V̂−ut)2+2ux])
(
β
π
)3
e−β((V−V̂+ut)2+Iω2). (17)
Выражение (17) описывает движение типа ускорение – уплотнение, т. е. ω =
= 0, а u 6= 0 (подробнее о таком движении в случае модели твердых сфер см. в
работе [13]).
Также следует отметить, что „винт” (т. е. „стационарный смерч” или “спираль”
— терминология [14]) в газе из шероховатых сфер теперь имеет вид
f = ρ0I
3/2eβ[ω×(x−x0)]2
(
β
π
)3
e−β((V−Ṽ−[ω×(x−x0)])2+Iω2).
4. Приложение. Выражение (8) можно преобразовать к виду
f = ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β((V−V̂||−[ω×(x−x0)])2+I(ω−ω)2). (18)
Поскольку V̂||||ω, правую часть выражения (18) можно записать так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
638 В. Д. ГОРДЕВСКИЙ, А. А. ГУКАЛОВ
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β((V−V̂||−[ω×(x−x0)])2+I(ω−ω)2) =
= ρ0I
3/2
(
β
π
)3
eβ[ω×(x−x0)]2e−β(V−V̂||)
2
×
×e2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−β[ω×(x−x0)]2−βI(ω−ω)2 =
= ρ0I
3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 . (19)
Подставим теперь представление (19) в уравнения (1) – (3). Производная по t равна
0, а градиент по x имеет вид
ρ0I
3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 · 2β[V × ω],
т. е.
ρ0 · 2βI3/2
(
β
π
)3
e−β(V−V̂||)
2
+2β(V−V̂||,[ω×(x−x0)])−βI(ω−ω)2 · (V, [V × ω]) = 0,
значит, D(f) = 0.
Для того чтобы Q(f, f) также было равно нулю, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось равенство [1] (см. также [11, 12])
f(V ∗1 , x, ω
∗
1)f(V ∗, x, ω∗)− f(V, x, ω)f(V1, x, ω1) = 0. (20)
Проверим выполнение равенства (20). Разделив его на
(
ρ0I
3/2
(
β
π
)3)2
6= 0 и
приравняв соответствующие аргументы экспонент, получим соотношение
−β(V ∗ − V̂||)2 − Iβ(ω∗ − ω)2 + 2β(V ∗, [ω × (x− x0)])− β(V ∗1 − V̂||)2−
−Iβ(ω∗1 − ω)2 + 2β(V ∗1 , [ω × (x− x0)]) + β(V − V̂||)2 + Iβ(ω − ω)2−
−2β(V, [ω × (x− x0)]) + β(V1 − V̂||)2 + Iβ(ω1 − ω)2−
−2β(V1, [ω × (x− x0)]) = 0.
Сократим его на (−β) 6= 0 и далее упростим, использовав следующие законы:
закон сохранения импульса:
V + V1 = V ∗ + V ∗1 ,
закон сохранения суммарной энергии:
V 2 + Iω2 + V 2
1 + Iω2
1 = (V ∗)2 + I(ω∗)2 + (V ∗1 )2 + I(ω∗1)2
(их справедливость ясна как из физических соображений, так и соотношений (6),
из которых они могут быть проверены формально).
Именно,
(V ∗ − V̂||)2 + I(ω∗ − ω)2 − 2(V ∗, [ω × (x− x0)]) + (V ∗1 − V̂||)2 + I(ω∗1 − ω)2−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
МАКСВЕЛЛОВСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МОДЕЛИ ШЕРОХОВАТЫХ СФЕР 639
−2(V ∗1 , [ω × (x− x0)])− (V − V̂||)2 − I(ω − ω)2 + 2(V, [ω × (x− x0)])−
−(V1 − V̂||)2 − I(ω1 − ω)2 + 2(V1, [ω × (x− x0)]) =
= (V ∗)2 − 2V ∗V̂||+ 6 V̂ 2
|| + I(ω∗)2 − 2I(ω∗, ω)+ 6 Iω2+
+(V ∗1 )2 − 2V ∗1 V̂||+ 6 V̂ 2
|| + I(ω∗1)2 − 2I(ω∗1 , ω)+ 6 Iω2−
−V 2 + 2V V̂||− 6 V̂ 2
|| − Iω
2− 6 Iω2 + 2I(ω, ω)− V 2
1 + 2V1V̂||− 6 V̂ 2
|| − Iω
2
1+
+2I(ω1, ω)− 6 Iω2 + 2(V + V1 − V ∗ − V ∗1 , [ω × (x− x0)]) =
= (V ∗)2 + I(ω∗)2 + (V ∗1 )2 + I(ω∗1)2 − (V 2 + Iω2 + V 2
1 + Iω2
1)+
+2(V + V1 − V ∗ − V ∗1 , [ω × (x− x0)]) + 2I(ω + ω1 − ω∗ − ω∗1 , ω) =
= 2I(ω + ω1 − ω∗ − ω∗1 , ω) = 0.
Из формул (6) видно, что ω − ω∗ = ω1 − ω∗1 , значит, последнее равенство еще
упрощается: 4I(ω − ω∗, ω) = 0.
Однако, принимая во внимание, что ω — произвольный вектор из пространства
R3, убеждаемся, что в общем случае это неверно. Отсюда Q(f, f) 6= 0.
Следовательно, выражение (8) не является решением системы (7).
1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1960.
2. Bryan G. H. On the application of the determinantal relation to the kinetic theory of polyatomic gases
// Rept Brit. Assoc. Adv. Sci. – 1894. – 64. – P. 102 – 106.
3. Pidduck F. B. The kinetic theory of a special type of rigid molecule // Proc. Roy. Soc. – 1922. – A101.
– P. 101 – 110.
4. Cercignani C., Lampis M. On the kinetic theory of a dense gas of rough spheres // J. Statist. Phys. –
1988. – 53. – P. 655 – 672.
5. Gordevsky V. D. Explicit approximate solutions of the Boltzmann equation for the model of rough
spheres // Dop. NAN Ukrainy. – 2000. – № 4. – P. 10 – 13 (in Ukrainian).
6. Gordevskyy V. D. Approximate billow solutions of the kinetic Вrуаn – Pidduck equation // Math. Meth.
Appl. Sci. – 2000. – 23. – P. 1121 – 1137.
7. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
– 118 с.
8. Grad H. On the kinetic theory of racefied gases // Communs Pure and Appl. Math. – 1949. – 2, № 4. –
P. 331 – 407.
9. Фридлендер О. Г. Локально-максвелловские решения уравнения Больцмана // Прикл. математика
и механика. – 1965. – 29, № 5. – С. 973 – 977.
10. Gordevskyy V. D. On the non-stationary Maxwellians // Math. Meth. Appl. Sci. – 2004. – 27. – P. 231 –
247.
11. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – М.: Мир, 1978. – 495 с.
12. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967. – 440 с.
13. Gordevskyy V. D., Andriyasheva N. V. Interaction between “accebtaling-packing” flows in low-
temperature gas // Math. Phys., Anal., Geom. – 2009. – 5, № 1. – P. 38 – 53.
14. Gordevskyy V. D., Sysoyeva Yu. A. Interaction between non-uniform flows in a gas of rough spheres //
Mat. Fiz., Anal., Gom. – 2002. – 9, № 2. – P. 285 – 293.
Получено 28.12.09,
после доработки — 30.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166038 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:16:57Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гордевский, В.Д. Гукалов, А.А. 2020-02-18T04:48:13Z 2020-02-18T04:48:13Z 2011 Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер / В.Д. Гордевский, А.А. Гукалов // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 629–639. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166038 533.72 Розглянуто рiвняння Больцмана для моделi шорсткуватих сферичних молекул, якi мають як поступальну, так i обертальну енергiю. Отримано загальний вигляд локальних максвеллiвських розподiлiв для цiєї моделi. Видiлено i проаналiзовано основнi можливi типи вiдповiдних потокiв газу. The Boltzmann equation is considered for the model of rough spherical molecules which possess both translati-onal and rotational energies. The general form of local Maxwell distributions for this model is obtained. The main possible types of corresponding flows of a gas are selected and analysed. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер Maxwell distributions in a model of rough spheres Article published earlier |
| spellingShingle | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер Гордевский, В.Д. Гукалов, А.А. Статті |
| title | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_alt | Maxwell distributions in a model of rough spheres |
| title_full | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_fullStr | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_full_unstemmed | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_short | Максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| title_sort | максвелловские распределения в модели шероховатых сфер |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166038 |
| work_keys_str_mv | AT gordevskiivd maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gukalovaa maksvellovskieraspredeleniâvmodelišerohovatyhsfer AT gordevskiivd maxwelldistributionsinamodelofroughspheres AT gukalovaa maxwelldistributionsinamodelofroughspheres |