Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння
В области со свободной границей рассматривается обратная задача определения коэффициента при первой производной неизвестной функции в параболическом уравнении со слабым степенным вырождением. В качестве условий переопределения в задаче использованы условие Стефана и интегральное условие. Установлены...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166039 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння / Н.М. Гринців // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 640–653. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166039 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гринців, Н.М. 2020-02-18T04:48:23Z 2020-02-18T04:48:23Z 2011 Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння / Н.М. Гринців // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 640–653. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166039 517.95 В области со свободной границей рассматривается обратная задача определения коэффициента при первой производной неизвестной функции в параболическом уравнении со слабым степенным вырождением. В качестве условий переопределения в задаче использованы условие Стефана и интегральное условие. Установлены условия существования и единственности классического решения указанной задачи. In a domain with free boundary, we consider the inverse problem for the determination of time dependent coefficient of the first derivative of unknown fonction in a parabolic equation with weak power degeneration. As overdetermination conditions, the Stefan condition and the integral condition are given. Conditions for the existence and uniqueness of the classical solution of considered problem are established. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння Stefan problem for a weakly degenerate parabolic equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| spellingShingle |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння Гринців, Н.М. Статті |
| title_short |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| title_full |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| title_fullStr |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| title_full_unstemmed |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| title_sort |
задача стефана для слабковиродженого параболічного рівняння |
| author |
Гринців, Н.М. |
| author_facet |
Гринців, Н.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stefan problem for a weakly degenerate parabolic equation |
| description |
В области со свободной границей рассматривается обратная задача определения коэффициента при первой производной неизвестной функции в параболическом уравнении со слабым степенным вырождением. В качестве условий переопределения в задаче использованы условие Стефана и интегральное условие. Установлены условия существования и единственности классического решения указанной задачи.
In a domain with free boundary, we consider the inverse problem for the determination of time dependent coefficient of the first derivative of unknown fonction in a parabolic equation with weak power degeneration. As overdetermination conditions, the Stefan condition and the integral condition are given. Conditions for the existence and uniqueness of the classical solution of considered problem are established.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166039 |
| citation_txt |
Задача Стефана для слабковиродженого параболічного рівняння / Н.М. Гринців // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 5. — С. 640–653. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT grincívnm zadačastefanadlâslabkovirodženogoparabolíčnogorívnânnâ AT grincívnm stefanproblemforaweaklydegenerateparabolicequation |
| first_indexed |
2025-11-25T20:41:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:41:34Z |
| _version_ |
1850526901372715008 |
| fulltext |
УДК 517.95
Н. М. Гринцiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО
ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
In a domain with free boundary, we consider the inverse problem for the determination of time dependent
coefficient of the first derivative of unknown function in a parabolic equation with weak power degeneration.
As overdetermination conditions, the Stefan condition and the integral condition are given. Conditions for the
existence and uniqueness of the classical solution of considered problem are established.
В области со свободной границей рассматривается обратная задача определения коэффициента при
первой производной неизвестной функции в параболическом уравнении со слабым степенным вы-
рождением. В качестве условий переопределения в задаче использованы условие Стефана и интеграль-
ное условие. Установлены условия существования и единственности классического решения указанной
задачи.
Вступ. У зв’язку з потребами практики в останнi десятилiття активно розвивається
теорiя задач для рiвнянь з частинними похiдними з виродженням, коефiцiєнтних
обернених задач та задач з вiльними межами. Окремо кожен iз цих типiв задач
дослiджувався ранiше, проте їх поєднання в однiй задачi залишається недостатньо
вивченим i вiдкритим питанням. У данiй роботi в областi з вiльною межею розгля-
дається обернена задача визначення залежного вiд часу коефiцiєнта перед першою
похiдною в одновимiрному параболiчному рiвняннi з виродженням.
Коефiцiєнтнi оберненi задачi з невiдомим залежним вiд часу коефiцiєнтом рiв-
няння дослiджено достатньо повно. Однiєю з перших робiт у цьому напрямку вва-
жається робота B. F. Jones [1], у якiй визначено коефiцiєнт температуропровiдностi
в напiвобмеженому стержнi при заданому значеннi теплового потоку. Дослiдженню
обернених задач визначення залежних вiд часу молодших коефiцiєнтiв параболiч-
ного рiвняння присвячено роботи [2 – 5]. Умови коректної розв’язностi обернених
задач визначення молодших коефiцiєнтiв рiвняння, що залежать вiд просторової
змiнної, знайдено в [6], в той час як в [7] вивчено питання розв’язностi оберненої
задачi для параболiчного рiвняння, де невiдомий молодший коефiцiєнт залежить
вiд частини просторових змiнних i часу. Всi вказанi вище роботи розглядались в
областях з фiксованими межами з старшими коефiцiєнтами рiвняння, що дорiвню-
ють одиницi.
Поєднанню оберненої задачi та задачi з вiльною межею присвячено роботу [8],
в якiй крiм функцiї, що задає невiдому частину межi, потрiбно визначити залежне
вiд часу ядро iнтегро-диференцiального рiвняння з простору Гельдера. Шляхом
зведення задач iз вiльними межами до коефiцiєнтних обернених задач в областях з
фiксованими межами в [9, 10] встановлено умови iснування та єдиностi класичних
розв’язкiв обернених задач визначення залежних вiд часу старшого коефiцiєнта у
двовимiрному рiвняннi теплопровiдностi та коефiцiєнта перед першою похiдною
в одновимiрному параболiчному рiвняннi вiдповiдно. Як умови перевизначення у
роботах використано iнтегральнi умови та умову Стефана.
Оберненi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням дослiдженi мало.
Достатнi умови iснування та єдиностi розв’язкiв обернених задач визначення за-
лежного вiд часу старшого коефiцiєнта параболiчного рiвняння з виродженням в
областi з фiксованими межами знайдено в [11, 12], а в областi з вiльними межами
c© Н. М. ГРИНЦIВ, 2011
640 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 641
— у [13, 14]. Дослiджено випадки слабкого та сильного степеневого вироджен-
ня. Умови iдентифiкацiї залежного вiд часу молодшого коефiцiєнта параболiчного
рiвняння зi слабким степеневим виродженням в областi з фiксованими межами
встановлено у [15]. У цiй роботi старший коефiцiєнт рiвняння залежить лише вiд
часу, що дає змогу використати явний вигляд функцiї Грiна для рiвняння теплопро-
вiдностi при її дослiдженнi. Оберненi задачi визначення коефiцiєнта перед першою
похiдною одновимiрного параболiчного рiвняння без виродження в областi з вiль-
ною межею вивчено в [16, 17]. На вiдмiну вiд [10, 15] старший коефiцiєнт рiвняння,
що розглядається в цих роботах, залежить i вiд просторової змiнної, i вiд часу.
Мета цiєї роботи — в областi з вiльною межею встановити умови однозначного
визначення залежного вiд часу коефiцiєнта перед першою похiдною одновимiрного
параболiчного рiвняння. Вiдомо, що старший коефiцiєнт цього рiвняння є добутком
степеневої функцiї i функцiї, що залежить вiд часової i просторової змiнних. Як
умови перевизначення в роботi використовуються iнтегральна умова та умова Сте-
фана. Дослiдження проведено у випадку слабкого степеневого виродження.
1. Формулювання задачi та основнi результати. В областi ΩT = {(x, t) : 0 <
< x < h(t), 0 < t < T}, де h = h(t), h(t) > 0, t ∈ [0, T ], — невiдома функцiя,
розглянемо обернену задачу визначення залежного вiд часу коефiцiєнта b = b(t)
перед першою похiдною у параболiчному рiвняннi
ut = a(x, t)tβuxx + b(t)ux + c(x, t)u+ f(x, t) (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, h(0)], (2)
крайовими умовами
u(0, t) = µ1(t), u(h(t), t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (3)
та умовами перевизначення
h(t)∫
0
u(x, t)dx = µ3(t), t ∈ [0, T ], (4)
h′(t) = −ux(h(t), t) + µ4(t), t ∈ [0, T ], (5)
0 < β < 1 — задане число.
Означення 1. Пiд розв’язком задачi (1) – (5) розумiємо трiйку функцiй (b, h, u),
h(t) > 0, t ∈ [0, T ], з класу C[0, T ]×C1[0, T ]×C2,1(ΩT )∩C1,0(ΩT ),що задовольняє
умови (1) – (5).
Замiною змiнних
y =
x
h(t)
, t = t
задачу (1) – (5) зведемо до коефiцiєнтної оберненої задачi вiдносно невiдомих
(b, h, v), v(y, t) ≡ u(xh(t), t) в областi з фiксованими межами QT = {(y, t) : 0 <
< y < 1, 0 < t < T}:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
642 Н. М. ГРИНЦIВ
vt =
a(yh(t), t)tβ
h2(t)
vyy +
b(t) + yh′(t)
h(t)
vy + c(yh(t), t)v + f(yh(t), t), (6)
v(y, 0) = ϕ(yh(0)), y ∈ [0, 1], (7)
v(0, t) = µ1(t), v(1, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (8)
h(t)
1∫
0
v(y, t)dy = µ3(t), t ∈ [0, T ], (9)
h′(t) = −vy(1, t)
h(t)
+ µ4(t), t ∈ [0, T ]. (10)
Припустимо, що виконуються умови:
(A1) a, c, f ∈ C([0,∞)× [0, T ]), ϕ ∈ C[0,∞), µi ∈ C1[0, T ], i ∈ {1, 2, 3};
(A2) a(x, t) > 0, f(x, t) ≥ 0, c(x, t) ≤ 0, (x, t) ∈ [0,∞) × [0, T ], ϕ(x) ≥ ϕ0 >
> 0, x ∈ [0,∞), µi(t) > 0, t ∈ [0, T ], i ∈ {1, 2, 3}.
Тодi, згiдно з умовою (4), iснує єдине значення h0 ≡ h(0), що є розв’язком
рiвняння
h0∫
0
ϕ(x)dx = µ3(0).
Застосовуючи принцип максимуму до задачi (6) – (8) та враховуючи умови (A1),
(A2), приходимо до оцiнки
v(y, t) ≥ C1 min
{
min
y∈[0,1]
ϕ(yh0), min
t∈[0,T ]
µ1(t), min
t∈[0,T ]
µ2(t)
}
≡M0 > 0, (y, t) ∈ QT .
(11)
Виходячи з рiвняння (9), знаходимо оцiнку функцiї h = h(t) зверху:
h(t) ≤
max
t∈[0,T ]
µ3(t)
M0
≡ H1 <∞, t ∈ [0, T ]. (12)
Отримана оцiнка функцiї h = h(t) дозволяє знову застосувати принцип максимуму
до задачi (6) – (8) та одержати оцiнку функцiї v = v(y, t) зверху
v(y, t) ≤ C2 max
{
max
y∈[0,1]
ϕ(yh0), max
t∈[0,T ]
µ1(t), max
t∈[0,T ]
µ2(t),
max
(y, t)∈[0,1]×[0,T ]
f(yh(t), t)
}
≡M1 <∞, (y, t) ∈ QT (13)
i, згiдно з (9), оцiнку h = h(t) знизу
h(t) ≥
min
t∈[0,T ]
µ3(t)
M1
≡ H0 > 0, t ∈ [0, T ]. (14)
Умови iснування та єдиностi розв’язку задачi (1) – (5) мiстяться в такiй теоремi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 643
Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови (A1), (A2) та умови:
1) a ∈ C2,0([0, H1] × [0, T ]), c, f ∈ C1,0([0, H1] × [0, T ]), µ4 ∈ C[0, T ], ϕ ∈
∈ C2[0, h0];
2) µ2(t)− µ1(t) 6= 0, t ∈ [0, T ];
3) ϕ(0) = µ1(0), ϕ(h0) = µ2(0).
Тодi єдиний розв’язок задачi (1) – (5) iснує при x ∈ [0, h(T0)], t ∈ [0, T0], де число
T0, 0 < T0 ≤ T, визначається вихiдними даними цiєї задачi.
Доведення теореми проведемо в декiлька етапiв. Спочатку задачу (6) – (10)
зведемо до еквiвалентної системи рiвнянь, далi за допомогою теореми Шаудера
про нерухому точку цiлком неперервного оператора доведемо iснування розв’язку
цiєї системи та на основi властивостей розв’язкiв однорiдних iнтегральних рiвнянь
Вольтерра другого роду покажемо єдинiсть розв’язку.
2. Зведення задачi (6) – (10) до системи рiвнянь. Припустивши тимчасово,
що функцiї b = b(t), h = h(t) вiдомi, розглянемо пряму задачу (6) – (8). Замiною
змiнних
v(y, t) = ṽ(y, t) + ϕ(yh0)− ϕ(0) + µ1(t) + y(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)) (15)
зведемо її до задачi вiдносно функцiї ṽ = ṽ(y, t) з однорiдними початковою та
крайовими умовами:
ṽt =
a(yh(t), t)tβ
h2(t)
ṽyy +
b(t) + yh′(t)
h(t)
ṽy + c(yh(t), t)ṽ + f(yh(t), t)−
−µ′1(t)− y(µ′2(t)− µ′1(t)) +
h20a(yh(t), t)tβ
h2(t)
ϕ′′(yh0)+
+
b(t) + yh′(t)
h(t)
(
h0ϕ
′(yh0) + µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)
)
+ c(yh(t), t)×
× (ϕ(yh0)− ϕ(0) + µ1(t) + y(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))) , (y, t) ∈ QT ,
(16)
ṽ(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1], (17)
ṽ(0, t) = 0, ṽ(1, t) = 0, t ∈ [0, T ]. (18)
За допомогою функцiї Грiна G(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiвняння
ṽt =
a(yh(t), t)tβ
h2(t)
ṽyy + c(yh(t), t)ṽ (19)
задача (16) – (18) зводиться до iнтегро-диференцiального рiвняння
ṽ(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)
(
b(τ) + ηh′(τ)
h(τ)
ṽη + f(ηh(τ), τ)− µ′1(τ)−
−η
(
µ′2(τ)− µ′1(τ)
)
+
h20a(ηh(τ), τ)τβ
h2(τ)
ϕ′′(ηh0)+
+
b(τ) + ηh′(τ)
h(τ)
(
h0ϕ
′(ηh0) + µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
644 Н. М. ГРИНЦIВ
+ c(ηh(τ), τ)
(
ϕ(ηh0)− ϕ(0) + µ1(τ) + η(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
)
dηdτ.
(20)
Позначимо w(y, t) ≡ vy(y, t). З умови (10) отримуємо
h′(t) = −w(1, t)
h(t)
+ µ4(t), t ∈ [0, T ]. (21)
Взявши до уваги (15), (20), (21), пряму задачу (6) – (8) замiнимо системою iнтег-
ральних рiвнянь
v(y, t) = ϕ(yh0)− ϕ(0) + µ1(t) + y(µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0))+
+
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)
((
b(τ) + η
(
µ4(τ)− w(1, τ)
h(τ)
))
w(η, τ)
h(τ)
+ f(ηh(τ), τ)−
−µ′1(τ)− η(µ′2(τ)− µ′1(τ)) +
h20a(ηh(τ), τ)τβ
h2(τ)
ϕ′′(ηh0)+
+c(ηh(τ), τ)
(
ϕ(ηh0)− ϕ(0) + µ1(τ) + η(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
))
dηdτ,
(22)
w(y, t) = h0ϕ
′(yh0) + µ2(t)− µ1(t)− µ2(0) + µ1(0)+
+
t∫
0
1∫
0
Gy(y, t, η, τ)
((
b(τ) + η
(
µ4(τ)− w(1, τ)
h(τ)
))
w(η, τ)
h(τ)
+ f(ηh(τ), τ)−
−µ′1(τ)− η(µ′2(τ)− µ′1(τ)) +
h20a(ηh(τ), τ)τβ
h2(τ)
ϕ′′(ηh0)+
+c(ηh(τ), τ)
(
ϕ(ηh0)− ϕ(0) + µ1(τ) + η(µ2(τ)−
−µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
))
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (23)
Зауважимо, що рiвняння (23) отримано з рiвняння (22) шляхом диференцiювання
за просторовою змiнною.
Враховуючи (11), з рiвностi (9) знаходимо
h(t) =
µ3(t)∫ 1
0
v(y, t)dy
, t ∈ [0, T ]. (24)
Для того щоб одержати рiвняння вiдносно b = b(t), здиференцiюємо (9) за часом.
Беручи до уваги (6) – (9), (21), приходимо до рiвняння
b(t) =
µ′3(t)− tβ
h(t)
(a(h(t), t)w(1, t)− a(0, t)w(0, t))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 645
+
1∫
0
tβax(yh(t), t)w(y, t)dy − µ2(t)
(
µ4(t)− w(1, t)
h(t)
)
−
−h(t)
1∫
0
(c(yh(t), t)v(y, t) + f(yh(t), t))dy
(µ2(t)− µ1(t)
)−1
, t ∈ [0, T ]. (25)
Таким чином, задачу (6) – (10) зведено до системи рiвнянь (22) – (25) з невiдомими
v = v(y, t), w = w(y, t), h = h(t), b = b(t).
Задача (6) – (10) та система рiвнянь (22) – (25) еквiвалентнi. Зi способу отрима-
ння системи рiвнянь (22) – (25) випливає, що якщо (b, h, v) є класичним розв’язком
задачi (6) – (10), то (v, w, h, b) ∈ (C(QT ))2×(C[0, T ])2 є розв’язком системи рiвнянь
(22) – (25). Покажемо, що правильним є i зворотне твердження: якщо (v, w, h, b)
— неперервний розв’язок системи рiвнянь (22) – (25), то (b, h, v) належать класу
C[0, T ]× C1[0, T ]× C2,1(QT ) ∩ C1,0(QT ) та задовольняють (6) – (10).
Отже, нехай (v, w, b, h) є неперервним розв’язком системи рiвнянь (22) – (25).
Припущення теореми дозволяють здиференцiювати рiвняння (22) по y. Правi час-
тини отриманої рiвностi та рiвностi (23) збiгаються. Як наслiдок, отримуємо
w(y, t) ≡ vy(y, t).
Враховуючи цей факт в (22) та беручи до уваги (15), робимо висновок, що функцiя
v = v(y, t) має потрiбну гладкiсть, задовольняє рiвняння
vt =
a(yh(t), t)tβ
h2(t)
vyy +
(
b(t) +
(
µ4(t)− vy(1, t)
h(t)
))
h−1(t)vy+
+c(yh(t), t)v + f(yh(t), t) (26)
та умови (7), (8).
Здиференцiюємо рiвнiсть (24) по t. Використовуючи рiвняння (26) та умови (8),
приходимо до рiвностi
b(t) =
µ′3(t)− tβ
h(t)
(a(h(t), t)vy(1, t)− a(0, t)vy(0, t))+
+
1∫
0
tβax(yh(t), t)vy(y, t)dy − µ2(t)
(
µ4(t)− vy(1, t)
h(t)
)
−
−µ3(t)
h(t)
(
h′(t)− µ4(t) +
vy(1, t)
h(t)
)
− h(t)
1∫
0
(c(yh(t), t)v(y, t)+
+f(yh(t), t))dy
(µ2(t)− µ1(t)
)−1
, t ∈ [0, T ]. (27)
Вiднiмемо рiвностi (25), (27). Враховуючи умови теореми та той факт, що w(y, t) ≡
≡ vy(y, t), знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
646 Н. М. ГРИНЦIВ
h′(t)− µ4(t) +
vy(1, t)
h(t)
= 0, t ∈ [0, T ].
З отриманої рiвностi випливає, що h ∈ C1[0, T ] i виконується умова (10). Використо-
вуючи це в рiвняннi (26), приходимо до рiвняння (6), що й завершує доведення
еквiвалентностi задачi (6) – (10) та системи рiвнянь (22) – (25).
3. Доведення iснування розв’язку задачi (6) – (10). Для того щоб довести iсну-
вання розв’язку задачi (6) – (10), доведемо, що iснує неперервний розв’язок системи
рiвнянь (22) – (25). Для цього використаємо теорему Шаудера про нерухому точку
цiлком неперервного оператора. Встановимо спочатку апрiорнi оцiнки розв’язкiв
системи рiвнянь (22) – (25).
Для функцiй h = h(t), v = v(y, t) мають мiсце оцiнки (11) – (14), тому залиши-
лось оцiнити функцiї b = b(t) та w = w(y, t). Позначимо W (t) = max
y∈[0,1]
|w(y, t)|. З
рiвностi (25) знаходимо
|b(t)| ≤ C3 + C4W (t), t ∈ [0, T ]. (28)
Виходячи з рiвняння (23), оцiнимо W = W (t). Використовуючи (12), (14), (28) та
вiдомi оцiнки функцiй Грiна [18, с. 469]
|Dr
tD
s
yG(y, t, η, τ)| ≤
≤ C5(tβ+1 − τβ+1)−
1+2r+s
2 exp
(
−C6
(y − η)2
tβ+1 − τβ+1
)
, r ∈ {0, 1}, s ∈ {0, 1, 2},
(29)
приходимо до нерiвностi
W (t) ≤ C7 + C8
t∫
0
W (τ) +W 2(τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ,
або, позначаючи W1(t) ≡W (t) +
1
2
,
W1(t) ≤ C9 + C8
t∫
0
W 2
1 (τ)√
tβ+1 − τβ+1
dτ, t ∈ [0, T ].
Останню нерiвнiсть запишемо у виглядi
W1(t) ≤ C9 +
C8
tβ/2
t∫
0
W 2
1 (τ)√
t− τ
(
τ
t
)β dτ ≤ C9 +
C8
tβ/2
t∫
0
W 2
1 (τ)√
t− τ
dτ. (30)
Обидвi частини (30) пiднесемо до квадрату, використавши при цьому нерiвностi
Кошi та Кошi – Буняковського. В результатi отримаємо
W 2
1 (t) ≤ C10 +
C11
tβ−1/2
t∫
0
W 4
1 (τ)√
t− τ
dτ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 647
В одержанiй нерiвностi змiнимо t на σ i, домноживши на
1√
t− σ
, зiнтегруємо її
по σ вiд 0 до t. Беручи до уваги рiвнiсть
t∫
τ
dσ√
(t− σ)(σ − τ)
= π,
знаходимо
t∫
0
W 2
1 (σ)√
t− σ
dσ ≤ C10t
1/2 + C11t
1/2
t∫
0
W 4
1 (τ)
τβ
dτ.
Отриману нерiвнiсть використаємо в (30). Враховуючи той факт, що дослiджується
випадок слабкого степеневого виродження, одержуємо
W1(t) ≤ C12 + C13
t∫
0
W 4
1 (τ)
τβ
dτ, t ∈ [0, T ]. (31)
Розв’язуючи (31), як у [15], знаходимо
W1(t) ≤M2, t ∈ [0, T0],
де число T0, 0 < T0 ≤ T визначається з нерiвностi
1− β − 3C3
12C13T
1−β
0 > 0.
Як наслiдок, маємо
|w(y, t)| ≤M2, y ∈ [0, 1], t ∈ [0, T0], (32)
|b(t)| ≤M3, t ∈ [0, T0]. (33)
Таким чином, апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (22) – (25) встановлено.
Запишемо систему рiвнянь (22) – (25) у виглядi операторного рiвняння
ω = Pω,
де ω = (v, w, h, b), а оператор P визначається правими частинами рiвнянь (22) –
(25). У банаховому просторi B = (C(QT0
))2×(C[0, T0])2 визначимо множину N =
= {(v, w, h, b) ∈ B : M0 ≤ v(y, t) ≤ M1, |w(y, t)| ≤ M2, H0 ≤ h(t) ≤ H1, |b(t)| ≤
≤M3}. Зрозумiло, що множина N замкнена i опукла, а оператор P переводить її в
себе. Покажемо, що оператор P цiлком неперервний на N. Виходячи з (22) – (25),
для цього достатньо довести компактнiсть iнтегральних операторiв
P1 : ω(y, t)→
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)ω(η, τ)dηdτ,
P2 : ω(y, t)→
t∫
0
1∫
0
Gy(y, t, η, τ)ω(η, τ)dηdτ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
648 Н. М. ГРИНЦIВ
Оскiльки неперервнiсть операторiв P1, P2 очевидна, покажемо, що множини P1N,
P2N компактнi на N , або, згiдно з теоремою Арцела – Асколi, рiвномiрно обмеженi
та одностайно неперервнi.
Розглянемо
(P1ω)(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)ω(η, τ)dηdτ.
З оцiнки |P1ω(x, t)| ≤ T max
N
|ω(η, τ)| випливає, що множина P1N рiвномiрно
обмежена.
Встановимо одностайну неперервнiсть множини P1N. Для цього задамо до-
вiльне ε > 0 i розглянемо рiзницю
∆ = |(P1ω)(y2, t2)− (P1ω)(y1, t1)|
з довiльними точками (yi, ti) ∈ QT , i = 1, 2, (y1, t1) 6= (y2, t2). Очевидно, що
∆ ≤ |(P1ω)(y2, t2)− (P1ω)(y2, t1)|+ |(P1ω)(y2, t1)− (P1ω)(y1, t1)| ≡ ∆1 + ∆2.
Оскiльки
lim
t→0
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)ω(η, τ)dηdτ = 0,
то для вказаного ε iснує таке t̃1, 0 < t̃1 ≤ T, що для будь-якого ω ∈ N∣∣∣∣∣∣
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣ < ε
8
, 0 ≤ t ≤ t̃1, y ∈ [0, 1]. (34)
Якщо t1, t2 < t̃1, то, враховуючи (34), маємо
∆1 ≤
∣∣∣∣∣∣
t2∫
0
1∫
0
G(y2, t2, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
t1∫
0
1∫
0
G(y2, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣ < ε
2
.
Припустимо для визначеностi, що t2 > t1, t1, t2 > t̃1. Тодi для ∆1 справджується
оцiнка
∆1 ≤
∣∣∣∣∣∣
t2∫
t1
1∫
0
G(y2, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
t2∫
0
1∫
0
(G(y2, t2, η, τ)−G(y2, t1, η, τ))ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣ ≡ ∆1,1 + ∆1,2.
Для оцiнки ∆1,1 використаємо (29). Отримаємо
∆1,1 ≤ C14
t2∫
t1
1∫
0
(tβ+1
1 − τβ+1)−1/2 exp
(
−C6
(y2 − η)2
tβ+1
1 − τβ+1
)
dηdτ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 649
≤ C15|t2 − t1| <
ε
4
при |t2 − t1| <
ε
4C15
.
Використавши оцiнки функцiї Грiна, доданок ∆1,2 записуємо у виглядi
∆1,2 ≤ C16
∣∣∣∣∣∣
t2∫
0
1∫
0
1√
tβ+1
2 − τβ+1
exp
(
−C6
(y2 − η)2
tβ+1
2 − τβ+1
)
−
− 1√
tβ+1
1 − τβ+1
exp
(
−C6
(y2 − η)2
tβ+1
1 − τβ+1
) dηdτ
∣∣∣∣∣∣ .
Пiсля замiни змiнних tβ+1
2 − τβ+1 = z одержимо нерiвнiсть
∆1,2 ≤ C17
tβ+1
2∫
0
1∫
0
∣∣∣∣∣∣ 1√
z
exp
(
−C6
(y2 − η)2
z
)
− 1√
tβ+1
2 − tβ+1
1 + z
×
× exp
(
−C6
(y2 − η)2
tβ+1
2 − tβ+1
1 + z
)∣∣∣∣∣ 1
(tβ+1
2 − z)
β
β+1
dηdz.
Беручи до уваги рiвнiсть
lim
t→0
tβ+1∫
0
1
(tβ+1 − z)
β
β+1
dz = 0,
робимо висновок, що для вказаного ε можна вказати таке число t̃2, 0 ≤ t̃2 ≤ T , що∣∣∣∣∣∣∣
tβ+1∫
0
1∫
0
1√
z
exp
(
−C6
(y2 − η)2
z
)
1
(tβ+1 − z)
β
β+1
dηdz
∣∣∣∣∣∣∣ <
ε
12C17
(35)
для 0 ≤ t ≤ t̃2, y2 ∈ [0, 1]. Враховуючи (35), для ∆1,2 знаходимо
∆1,2 ≤ C17
t̃β+1
2∫
0
1∫
0
1√
z
exp
(
−C6
(y2 − η)2
z
)
1
(t̃β+1
2 − z)
β
β+1
dηdz+
+C17
t̃β+1
2∫
0
1∫
0
1√
t̃β+1
2 − tβ+1
1 + z
exp
(
−C6
(y2 − η)2
t̃β+1
2 − tβ+1
1 + z
)
1
(t̃β+1
2 − z)
β
β+1
dηdz+
+C17
tβ+1
2∫
t̃β+1
2
1∫
0
tβ+1
2 −tβ+1
1 +z∫
z
d
ds
(
1√
s
exp
(
−C6
(y2 − η)2
s
))
ds
dηdz ≤
≤ ε
6
+ C18|tβ+1
2 − tβ+1
1 | < ε
4
,
якщо |t2 − t1| <
ε
12C18
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
650 Н. М. ГРИНЦIВ
Пiдсумовуючи отриманi оцiнки, одержуємо
∆1 <
ε
2
, якщо |t2 − t1| < min
{
ε
4C15
,
ε
12C18
}
.
У випадку t2 > t̃1, t1 < t̃1 вираз ∆1 записуємо у виглядi
∆1 ≤
∣∣∣∣∣∣∣
t2∫
0
1∫
0
G(y2, t2, η, τ)ω(η, τ)dηdτ −
t̃1∫
0
1∫
0
G(y2, t̃1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣
t̃1∫
0
1∫
0
G(y2, t̃1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ −
t1∫
0
1∫
0
G(y2, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣∣ ,
звiдки, об’єднуючи наведенi вище мiркування, отримуємо
∆1 <
ε
2
.
При оцiнюваннi ∆2 знову видiлимо випадок малого часу. Якщо t1 < t̃1, то
∆2 ≤
∣∣∣∣∣∣
t1∫
0
1∫
0
G(y2, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
t1∫
0
1∫
0
G(y1, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣ < ε
2
.
У випадку t1 > t̃1, знаходимо
∆2 ≤
∣∣∣∣∣∣∣
t̃1∫
0
1∫
0
G(y2, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣
t̃1∫
0
1∫
0
G(y1, t1, η, τ)ω(η, τ)dηdτ
∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣
t1∫
t̃1
1∫
0
y2∫
y1
Gy(y, t1, η, τ)ω(η, τ)dydηdτ
∣∣∣∣∣∣∣ <
ε
4
+ ∆2,1.
Беручи до уваги (29), оцiнюємо ∆2,1 :
∆2,1 ≤ C19
t1∫
t̃1
y2∫
y1
1∫
0
(tβ+1
1 − τβ+1)−1 exp
(
−C6
(y − η)2
tβ+1
1 − τβ+1
)
dηdydτ ≤
≤ C20|y2 − y1| <
ε
4
, якщо |y2 − y1| <
ε
4C20
.
Таким чином,
∆2 <
ε
2
при |y2 − y1| <
ε
4C20
i, як наслiдок,
∆ < ε, якщо |t2 − t1| < min
{
ε
4C15
,
ε
12C18
}
, |y2 − y1| <
ε
4C20
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 651
Одностайну неперервнiсть множини P1N встановлено.
Проведенi мiркування повнiстю переносяться на оператор P2. Це означає, що
оператор P цiлком неперервний на N. Далi застосуємо теорему Шаудера про не-
рухому точку цiлком неперервного оператора. В результатi отримаємо iснування
розв’язку системи рiвнянь (22) – (25) при y ∈ [0, 1], t ∈ [0, T0]. Виходячи з еквiва-
лентностi системи рiвнянь (22) – (25) та задачi (6) – (10), робимо висновок, що iснує
розв’язок задачi (6) – (10), а отже, i розв’язок задачi (1) – (5), якщо x ∈ [0, h(T0)],
t ∈ [0, T0], де число T0, 0 < T0 ≤ T визначається вихiдними даними цiєї задачi.
4. Доведення єдиностi розв’язку задачi (6) – (10). Врахувавши еквiвалентнiсть
задачi (6) – (10) та системи рiвнянь (22) – (25), доведемо, що розв’язок системи
єдиний. Для цього припустимо, що згадана система має два розв’язки (vi, wi, hi, bi),
i ∈ {1, 2}, i покажемо, що вони збiгаються. Позначимо рiзницi цих розв’язкiв
v(y, t) = v1(y, t) − v2(y, t), w(y, t) = w1(y, t) − w2(y, t), h(t) = h1(t) − h2(t),
b(t) = b1(t) − b2(t). Виходячи з рiвнянь (22) – (25), бачимо, що зазначенi рiзницi
задовольняють систему
v(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G(y, t, η, τ)
(
f(ηh1(τ), τ)− f(ηh2(τ), τ) + (c(ηh1(τ), τ)−
−c(ηh2(τ), τ))
(
ϕ(ηh0) + µ1(τ)− µ1(0) + η(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
)
+
+τβh20ϕ
′′(ηh0)
(
a(ηh2(τ), τ)
(
1
h21(τ)
− 1
h22(τ)
)
+
a(ηh1(τ), τ)− a(ηh2(τ), τ)
h21(τ)
)
+
+
(
b1(τ) + η
(
µ4(τ)− w1(η, τ)
h1(τ)
))
w(η, τ)
h1(τ)
+
+w2(η, τ)
((
b1(τ) + η
(
µ4(τ)− w1(η, τ)
h1(τ)
))(
1
h1(τ)
− 1
h2(τ)
)
+
+
(
b(τ)− η
(
w(η, τ)
h1(τ)
+ w2(η, τ)
(
1
h1(τ)
− 1
h2(τ)
)))
h−12 (τ)
))
dηdτ, (y, t) ∈ QT ,
(36)
w(y, t) =
t∫
0
1∫
0
Gy(y, t, η, τ)
(
f(ηh1(τ), τ)− f(ηh2(τ), τ) + (c(ηh1(τ), τ)−
−c(ηh2(τ), τ))
(
ϕ(ηh0) + µ1(τ)− µ1(0) + η(µ2(τ)− µ1(τ)− µ2(0) + µ1(0))
)
+
+τβh20ϕ
′′(ηh0)
(
a(ηh2(τ), τ)
(
1
h21(τ)
− 1
h22(τ)
)
+
a(ηh1(τ), τ)− a(ηh2(τ), τ)
h21(τ)
)
+
+
(
b1(τ) + η
(
µ4(τ)− w1(η, τ)
h1(τ)
))
w(η, τ)
h1(τ)
+
+w2(η, τ)
((
b1(τ) + η
(
µ4(τ)− w1(η, τ)
h1(τ)
))(
1
h1(τ)
− 1
h2(τ)
)
+
+
(
b(τ)− η
(
w(η, τ)
h1(τ)
+ w2(η, τ)
(
1
h1(τ)
− 1
h2(τ)
)))
h−12 (τ)
))
dηdτ, (y, t) ∈ QT ,
(37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
652 Н. М. ГРИНЦIВ
h(t) = −h1(t)h2(t)
µ3(t)
1∫
0
v(y, t)dy, t ∈ [0, T ], (38)
b(t) =
(
tβ(a(h1(t), t)w1(1, t)− a(0, t)w1(0, t))
(
1
h1(t)
− 1
h2(t)
)
+
+
tβ
h2(t)
(
a(h1(t), t)w(1, t) + (a(h1(t), t)− a(h2(t), t))w2(y, t)− a(0, t)w(0, t)
)
+
+
1∫
0
tβ
(
ay(yh1(t), t)w(y, t) + (ay(yh1(t), t)− ay(yh2(t), t))w2(y, t)
)
dy+
+µ2(t)
(
w(1, t)
h1(t)
+ w2(y, t)
(
1
h1(t)
− 1
h2(t)
))
−
−h(t)
1∫
0
(c(yh1(t), t)v1(y, t) + f(yh1(t), t))dy−
−h2(t)
1∫
0
(
c(yh2(t), t)v(y, t) + (c(yh1(t), t)− c(yh2(t), t))v1(y, t)+
+f(yh1(t), t)− f(yh2(t), t)
)
dy
)(
µ2(t)− µ1(t)
)−1
, t ∈ [0, T ]. (39)
Беручи до уваги теорему Лагранжа про середнє та припущення теореми, маємо
f(yh1(y), t)− f(yh2(t), t) = yh(t)
1∫
0
fx(y(h2(t) + σ(h1(t)− h2(t))), t)dσ. (40)
Аналогiчнi рiвностi виконуються також для функцiй a(yh(t), t), ay(yh(t), t),
c(yh(t), t). Крiм того, справедливими є формули
1
h1(t)
− 1
h2(t)
= − 1
h1(t)h2(t)
h(t), (41)
1
h21(t)
− 1
h22(t)
= −h1(t) + h2(t)
h21(t)h22(t)
h(t). (42)
Пiдставляючи (38) – (42) в (36), (37), отримуємо систему однорiдних iнтегральних
рiвнянь Вольтерра другого роду вiдносно функцiй v = v(y, t), w = w(y, t). Згiдно
з оцiнками (29), ядра цiєї системи мають iнтегровнi особливостi. Це означає, що
система рiвнянь (36), (37) має лише тривiальний розв’язок
v(y, t) ≡ 0, w(y, t) ≡ 0, (y, t) ∈ QT . (43)
Використовуючи це в (38), (39), знаходимо
h(t) ≡ 0, b(t) ≡ 0, t ∈ [0, T ], (44)
що й завершує доведення єдиностi розв’язку системи рiвнянь (22) – (25) i вiдповiд-
но задачi (1) – (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ СЛАБКОВИРОДЖЕНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ 653
Зауважимо, що для доведення iснування розв’язку задачi (1) – (5) достатньо ви-
магати, щоб коефiцiєнти рiвняння належали класу a, c, f ∈ C([0,∞)× [0, T ]), a ∈
C1,0([0, H1]× [0, T ]). Умови на гладкiсть функцiй a, c, f , що наведенi в умовах те-
ореми, використовуються при доведеннi єдиностi розв’язку. Крiм того, припущен-
ня на вихiднi данi насправдi забезпечують належнiсть функцiї u = u(x, t) класу
C1([0, h(T0)]×[0, T0])∩C2,0([0, h(T0)]×(0, T0]). Використовуючи властивостi функ-
цiї Грiна [19, с. 55], можна показати, що друга похiдна за просторовою змiнною
функцiї u = u(x, t) поводить себе як t−β , 0 < β < 1, при t→ +0.
1. Jones B. F. The determination of a coefficient in a parabolic equation. Part I. Existence and uniqueness
// J. Math. and Mech. – 1962. – 11, № 6. – P. 907 – 918.
2. Cannon J. R., Lin Y. An inverse problem of finding a paramiter in a semilinear heat equation // J. Math.
Anal. and Appl. – 1990. – 145. – P. 470 – 484.
3. Пабирiвська Н., Вареник О. Визначення молодшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 181 – 189.
4. Cannon J. R., Peres-Esteva S. Determination of the coefficient of ux in a linear parabolic equation //
Inverse Problems. – 1993. – 10, № 3. – P. 521 – 531.
5. Trong D. D., Ang D. D. Coefficient identification for a parabolic equation // Inverse Problems. – 1994.
– 10, № 3. – P. 733 – 752.
6. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом
уравнении. II // Сиб. мат. журн. – 1993. – 34, № 5. – С. 147 – 162.
7. Безнощенко Н. Я. Некоторые задачи определения коэффициентов при младших членах параболи-
ческих уравнений // Сиб. мат. журн. – 1975. – 16, № 6. – С. 1135 – 1147.
8. Lorenzi L. An identification problem for a one-phase Stefan problem // J. Inv. Ill-Posed Problems. –
2001. – 9, № 6. – P. 1 – 27.
9. Баранська I., Iванчов М. Обернена задача для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi в областi
з вiльними межами // Укр. мат. вiсн. – 2007. – 4, № 4. – С. 457 – 484.
10. Гринцiв Н. М., Снiтко Г. А. Оберненi задачi визначення коефiцiєнта при першiй похiднiй в
параболiчному рiвняннi в областi з вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. –
Вип. 64. – С. 77 – 88.
11. Салдiна Н. В. Обернена задача для параболiчного рiвняння зi слабким виродженням // Мат. методи
та фiз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 3. – С. 7 – 17.
12. Iванчов М. I., Салдiна Н. В. Обернена задача для параболiчного рiвняння з сильним степеневим
виродженням // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1487 – 1500.
13. Гринцiв Н. М. Розв’язнiсть оберненої задачi для виродженого параболiчного рiвняння в областi з
вiльною межею // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика – 2006. – Вип. 314 – 315. – С. 40 – 49.
14. Гринцiв Н. М., Iванчов М. I. Обернена задача для сильновиродженого рiвняння теплопровiдностi
в областi з вiльною межею // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 28 – 43.
15. Гринцiв Н. Визначення коефiцiєнта перед першою похiдною у параболiчному рiвняннi з вирод-
женням // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2009. – Вип. 71. – С. 78 – 87.
16. Снiтко Г. А. Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 4. – С. 7 – 18.
17. Снiтко Г. А. Визначення невiдомого множника в коефiцiєнтi при першiй похiднiй в параболiч-
ному рiвняннi в областi з вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.- мат. – 2007. – Вип. 67. –
С. 233 – 247.
18. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 c.
19. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publ., 2003. – 240 p.
Одержано 24.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 5
|