Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации
Знайдено оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору. We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functio...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166049 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации / В.Ф. Бабенко, М.С. Гунько, А.А. Руденко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 884–890. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613461632253952 |
|---|---|
| author | Бабенко, В.Ф. Гунько, М.С. Руденко, А.А. |
| author_facet | Бабенко, В.Ф. Гунько, М.С. Руденко, А.А. |
| citation_txt | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации / В.Ф. Бабенко, М.С. Гунько, А.А. Руденко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 884–890. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Знайдено оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору.
We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functionals on the sets of special form from a Hilbert space.
|
| first_indexed | 2025-11-28T16:13:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, М. С. Гунько, А. А. Руденко (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ПО ЛИНЕЙНОЙ ИНФОРМАЦИИ
We find the optimal linear information and the optimal method of its application for the recovery of n-linear functionals
on the sets of special form from a Hilbert space.
Знайденo оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод iї використання для вiдновлення n-лiнiйних функ-
цiоналiв на множинах спецiального вигляду з гiльбертового простору.
Будем изучать задачу оптимизации приближенного вычисления n-линейных функционалов по
линейной информации в следующей постановке. Пусть X — линейное нормированное про-
странство над полем C комплексных чисел, M1, . . . ,Mn ⊂ X — центрально-симметричные
множества. Предположим, что на прямом произведении линейных оболочек span(Mj) мно-
жеств Mj задан n-линейный функционал
Ω :
n∏
j=1
span(Mj)→ C
и для каждого j = 1, . . . , n на множестве span(Mj) задан набор Tj = (Tj,1, . . . , Tj,mj ) линейных
непрерывных функционалов
Tj,l : span(Mj)→ C, j = 1, . . . , n, l = 1, . . . ,mj .
Векторы
Tj(xj) = (Tj,1(xj), . . . , Tj,mj (xj)), xj ∈Mj , j = 1, . . . , n,
будем называть линейной информацией об x1, x2, . . . , xn типа (m1, . . . ,mn) (или (m1, . . . ,mn)-
информацией). Произвольную комплекснозначную функцию
F = F (x1,1, . . . , x1,m1 , x2,1, . . . , x2,m2 , . . . , xn,1, . . . , xn,mn)
от m1+ . . .+mn переменных будем называть методом восстановления функционала Ω( ·, . . . , · )
по (m1, . . . ,mn)-информации. Положим
R(x1, . . . , xn;T1, . . . , Tn;F ) = Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), . . . , Tn(xn)),
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) = sup
xj∈Mj ,
j=1,...,n
|R(x1, . . . , xn;T1, . . . , Tn;F )| , (1)
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn) = inf
F
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ), (2)
Rm1,...,mn(M1, . . . ,Mn) = inf
T1,...,Tn
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn) (3)
c© В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО, 2014
884 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 885
(inf
F
берется по всевозможным функциям от m1 + . . .+mn переменных, а inf
T1,...,Tn
— по всевоз-
можным наборам функционалов, дающим (m1, . . . ,mn)-информацию об (x1, . . . , xn)),
RN (M1, . . . ,Mn) = inf
m1+...+mn=N
Rm1,...,mn(M1, . . . ,Mn). (4)
Величину (1) назовем погрешностью метода F восстановления функционала Ω на мно-
жествах M1, . . . ,Mn по информации T1, . . . , Tn, величину (2) — оптимальной погрешностью
восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по заданной информации типа (m1, . . . ,mn), величину (3)
— оптимальной погрешностью восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по (m1, . . . ,mn)-информации
и, наконец, величину (4) — оптимальной погрешностью восстановления Ω на M1, . . . ,Mn по
информации суммарного объема N . Если при заданных T1, . . . , Tn cуществует F , реализую-
щий inf
F
в правой части (2), то будем называть F оптимальным методом использования данной
информации. Если существуют T1, . . . , Tn и F , реализующие нижние грани в правой части
(3), то будем называть их оптимальной (m1, . . . ,mn)-информацией и оптимальным методом ее
использования для восстановления Ω на M1, . . . ,Mn. Числа m0
1, . . . ,m
0
n, реализующие инфи-
мум в (4), будем называть оптимальными объемами информации об x1, . . . , xn, а оптимальную
(m0
1, . . . ,m
0
n)-информацию — оптимальной информацией объема N об x1, . . . , xn. Требуется
для заданных Ω, M1, . . . ,Mn и N или m1, . . . ,mn найти величины (4) (или (3)), а также оп-
тимальную информацию объема N (или (m1, . . . ,mn)-информацию) и оптимальный метод ее
использования.
Задача об оптимальном восстановлении билинейных функционалов по линейной информа-
ции была поставлена в [1]. Там же приведены первые результаты по ее решению. По поводу
дальнейших результатов в этом направлении см. [2 – 8].
Определим множества Mj(Tj) так:
Mj(Tj) = {xj ∈Mj : Tj(xj) = 0} , j = 1, . . . , n,
и пусть
M(Tj) := M1 × . . .×Mj−1 ×Mj(Tj)×Mj+1 × . . .×Mn, j = 1, . . . , n,
где × обозначает декартово произведение.
Оценку снизу для погрешности метода F восстановления функционала Ω по информации
T1, . . . , Tn дает следующая лемма.
Лемма 1. Для любых T1, . . . , Tn и метода восстановления F
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ max
{
sup
(x1,...,xn)∈M(T1)
|Ω(x1, . . . , xn)|, . . . , sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)|
}
.
Для билинейных функционалов эта лемма доказана в [1].
Доказательство. Покажем, что
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
886 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
Действительно,
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)| =
= sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
max {|Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)|,
| − Ω(x1, . . . , xn)− F (T1(x1), T2(x2), . . . , Tn−1(xn−1), 0)|} ≥
≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)|.
Аналогично доказывается, что для произвольного j = 1, . . . , n− 1
R(M1, . . . ,Mn;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
(x1,...,xn)∈M(Tj)
|Ω(x1, . . . , xn)|.
Отсюда и следует утверждение леммы.
ПустьH — сепарабельное гильбертово пространство над полем комплексных чисел, {ek}∞k=1
— ортонормированный базис в пространстве H , x̂k = (x, ek). С помощью последовательностей
gj , j = 1, . . . , n, комплексных чисел gj = {gjk}
∞
k=1 таких, что последовательности {|gjk|}
∞
k=1 не
убывают, определим классы элементов пространства H:
W gj
pj =
{
x ∈ H :
∞∑
k=1
|gjk| |x̂k|
pj ≤ 1
}
, pj ≥ 1.
Будем рассматривать n-линейные функционалы, имеющие следующее свойство:
Ω(ek1 , . . . , ekn) =
fk ∈ C, если k1 = . . . = kn = k, k ∈ N,
0 — в противном случае.
(5)
Ясно, что для подходящих классов W gj
pj элементов j = 1, . . . , n функционал Ω, имеющий
свойство (5), будет иметь вид
Ω(x1, x2, . . . , xn) =
∞∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k.
Примером функционала Ω, имеющего свойство (5), является заданный в L2[0, 1] функ-
ционал
Ω(x1, x2, . . . , xn) =
1∫
0
x1(t) . . . xn(t)dt,
если в качестве функций ek, составляющих ортонормированный базис, выбрать базисные функ-
ции Хаара (см., например, [9, с. 14]). Напомним, что первая функция системы Хаара постоянна:
χ0,0(t) = 1, t ∈ [0, 1], а вторая имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 887
χ0,1(t) =
1 при t ∈ [0, 1/2),
0 при t = 1/2,
−1 при t ∈ (1/2, 1].
Последующие функции χm,k системы Хаара с номерами m ∈ N, k = 1, . . . , 2m−1 определяются
равенством
χm,k(t) =
2
m−1
2 при t ∈
[
k − 1
2m−1
,
k − 1/2
2m−1
)
,
−2
m−1
2 при t ∈
(
k − 1/2
2m−1
,
k
2m−1
]
,
0 — в остальных точках [0,1] .
Вместо двойной нумерации можно пользоваться простой нумерацией, полагая χm,k = χj ,
где j = 2m−1 + k.
Теорема 1. Пусть заданы n-линейный функционал Ω, имеющий свойство (5), для которого
последовательность {|fk|}∞k=1 монотонно убывает, и числа m1, . . . ,mn. Пусть также pj ≥ 1
и
∑n
j=1
1
pj
= 1. Тогда
Rm1,...,mn
(
W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn
)
=
|fM+1|
|g1M+1|
1
p1 . . . |gnM+1|
1
p1
,
где M = min {m1, . . . ,mn}. При этом информация об элементах xj ∈W gj
pj , j = 1, . . . , n, вида
Tj(xj) = ((xj , e1), . . . , (xj , emj )) = (x̂j,1, . . . , x̂j,mj )
и метод
F̃ (x1,1, . . . , x1,m1 , . . . , xn,1, . . . , xn,mn) =
M∑
k=1
fk x1,k . . . xn,k
ее использования будут оптимальными.
Доказательство. Для произвольной информации T1, . . . , Tn типа (m1, . . . ,mn) получим
оценку снизу величины R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn). Пусть y = y1e1 +y2e2 + . . .+yM+1eM+1,
y1, y2, . . . , yM+1 ∈ C. Из условия Tn(y) = 0 получаем систему уравнений
y1Tn,1(e1) + . . .+ yM+1Tn,1(eM+1) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y1Tn,M (e1) + . . .+ yM+1Tn,M (eM+1) = 0.
Поскольку в системе из M уравнений M + 1 переменная, то она имеет ненулевое решение
y′ = (y′1, . . . , y
′
M+1). Определим z1, . . . , zn следующим образом:
zs = A−1s
M+1∑
k=1
|y′k|
pn
ps ek, s = 1, . . . , n− 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
888 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
zn−1 = A−1n−1
M+1∑
k=1
|y′k|
pn
pn−1 e−i(arg(y
′
k)+arg(fk))ek,
zn = A−1n
M+1∑
k=1
y′kek = A−1n
M+1∑
k=1
|y′k|eiarg(y
′
k)ek,
где для s = 1, . . . , n положено
As :=
M+1∑
j=1
|y′j |pn |gsj |
1
ps
.
Покажем, что элементы zk, k = 1, . . . , n, принадлежат соответственно классам W gk
pk . Имеем
∞∑
s=1
|gks | |ẑk,s|pk =
M+1∑
s=1
|gks | |ẑk,s|pk =
M+1∑
s=1
|gks |
(
A−1k |y
′
s|
pn
pk
)pk
=
=
M+1∑
s=1
|gks |A
−pk
k |y′s|pn = A−pkk
M+1∑
s=1
|gks ||y′s|pn = A−pkk Apkk = 1.
Ясно, что Tn(zn) = 0 и, следовательно, с учетом свойства (5) получaeм неравенство
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥
≥ sup
xj∈W gj
pj
, j=1,n
xn∈W gn
pn (Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| ≥ |Ω(z1, . . . , zn)| =
=
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn(1/p1+...+1/pn) =
=
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn . (6)
Каждый из сомножителей As, s = 1, . . . , n, в (6) с учетом неубывания последовательностей
{|gsj |}∞j=1 можно оценить так:
As =
M+1∑
j=1
|y′j |pn |gsj |
1
ps
≤ |gsM+1|
1
ps
M+1∑
j=1
|y′j |pn
1
ps
.
C учетом последних неравенств и невозрастания {|fk|}∞k=1 неравенство (6) можно продолжить:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥
(
n∏
s=1
As
)−1M+1∑
k=1
|fk||y′k|pn ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ n-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ . . . 889
≥
M+1∑
k=1
|fk|
|y′k|pn∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
(∑M+1
j=1
|y′j |pn
) 1
ps
≥
≥ |fM+1|
∑M+1
k=1
|y′k|pn(∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
)∏n
k=1
(∑M+1
j=1
|y′j |pn
) 1
pk
=
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
Для произвольного k = 1, . . . , n− 1 неравенство
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥ sup
xj∈W gj
pj
, j=1,n
xn∈W gn
pn (Tn)
|Ω(x1, . . . , xn)| ≥ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
доказывается аналогично. Таким образом, с учетом леммы 1 получена оценка снизу:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≥ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
Установим оценку сверху:
R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
pn ;T1, . . . , Tn;F ) ≤ R(W g1
p1 , . . . ,W
gn
p1 ;T1, . . . , Tn; F̃ ) =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k −
M∑
k=1
fk x̂1,k . . . x̂n,k
∣∣∣∣∣ =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∣∣∣∣∣
∞∑
k=M+1
fk x̂1,k . . . x̂n,k
∣∣∣∣∣ =
= sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
∞∑
k=M+1
|fk|∏n
s=1
|gsk|
1
ps
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k| ≤
≤ sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
∞∑
k=M+1
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k|.
В силу известного неравенства для суммы произведений степеней (см. [10, с. 29])∑
AαBβ . . . Lλ ≤
(∑
A
)α (∑
B
)β
. . .
(∑
L
)λ
,
где α+ β + . . .+ λ = 1, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
890 В. Ф. БАБЕНКО, М. С. ГУНЬКО, А. А. РУДЕНКО
sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
∞∑
k=M+1
n∏
s=1
|gsk|
1
ps |x̂s,k| ≤
≤ sup
xj∈W gj
pj
j=1,...,n
|fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
n∏
s=1
( ∞∑
k=M+1
|gsk||x̂s,k|ps
) 1
ps
≤ |fM+1|∏n
s=1
|gsM+1|
1
ps
.
1. Бабенко В. Ф. О наилучшем использовании линейных функционалов для аппроксимации билинейных //
Исслед. по совр. пробл. суммирования и приближения функций и их прил. – Днепропетровск, 1979. – C. 3 – 5.
2. Бабенко В. Ф. О приближенном вычислении скалярных произведений // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 1. –
C. 15 – 21.
3. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций из
различных классов // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – C. 1305 – 1310.
4. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении скалярных произведений функций из различных
классов // Теория функций и приближений. – Саратов, 1991. – C. 17 – 22.
5. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении скалярных произведений функций на классах
функций, задаваемых дифференциальными операторами // Приближение функций и суммирование рядов. –
Днепропетровск, 1992. – C. 8 – 13.
6. Бабенко В. Ф., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов в линейных норми-
рованных пространствах // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 6. – C. 828 – 831.
7. Бабенко В. Ф., Гунько M. C., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении билинейных функционалов по
линейной информации // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. Математика. – 2012. – Вип. 17. – C. 11 – 17.
8. Бабенко В. Ф., Гунько M. C., Руденко А. А. Об оптимальном восстановлении n-линейных функционалов по
линейной информации // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. Математика. – 2013. – Вип. 18. – C. 16 – 25.
9. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. – М., 1969.
10. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. – Cambridge, 1934.
Получено 28.09.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166049 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T16:13:27Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабенко, В.Ф. Гунько, М.С. Руденко, А.А. 2020-02-18T05:01:30Z 2020-02-18T05:01:30Z 2014 Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации / В.Ф. Бабенко, М.С. Гунько, А.А. Руденко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 7. — С. 884–890. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166049 517.5 Знайдено оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору. We determine the optimal linear information and the optimal procedure of its application for the recovery of n-linear functionals on the sets of special form from a Hilbert space. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации Optimal recovery of n-linear functionals according to linear information Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации Бабенко, В.Ф. Гунько, М.С. Руденко, А.А. Статті |
| title | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_alt | Optimal recovery of n-linear functionals according to linear information |
| title_full | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_fullStr | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_full_unstemmed | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_short | Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| title_sort | оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166049 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf optimalʹnoevosstanovlenienlineinyhfunkcionalovpolineinoiinformacii AT gunʹkoms optimalʹnoevosstanovlenienlineinyhfunkcionalovpolineinoiinformacii AT rudenkoaa optimalʹnoevosstanovlenienlineinyhfunkcionalovpolineinoiinformacii AT babenkovf optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT gunʹkoms optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation AT rudenkoaa optimalrecoveryofnlinearfunctionalsaccordingtolinearinformation |