Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем
Вивчаються існування та єдиність багатоперіодичного розв'язку першої крайової задачi для системи рівнянь пара-6олічного типу з багатовимірним часом.
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166072 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем / К.К. Кенжебаев, Г.А. Абдикаликова, А.Б. Бержанов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 645–655. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166072 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1660722025-02-09T12:26:04Z Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем Multiperiodic solution of a boundary-value problem for one class of parabolic equations with multidimensional time Кенжебаев, К.К. Абдикаликова, Г.А. Бержанов, А.Б. Статті Вивчаються існування та єдиність багатоперіодичного розв'язку першої крайової задачi для системи рівнянь пара-6олічного типу з багатовимірним часом. We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of parabolic equations with multidimensional time. 2014 Article Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем / К.К. Кенжебаев, Г.А. Абдикаликова, А.Б. Бержанов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 645–655. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166072 517.956 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кенжебаев, К.К. Абдикаликова, Г.А. Бержанов, А.Б. Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються існування та єдиність багатоперіодичного розв'язку першої крайової задачi для системи рівнянь пара-6олічного типу з багатовимірним часом. |
| format |
Article |
| author |
Кенжебаев, К.К. Абдикаликова, Г.А. Бержанов, А.Б. |
| author_facet |
Кенжебаев, К.К. Абдикаликова, Г.А. Бержанов, А.Б. |
| author_sort |
Кенжебаев, К.К. |
| title |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_short |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_full |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_fullStr |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_full_unstemmed |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| title_sort |
многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166072 |
| citation_txt |
Многопериодическое решение краевой задачи для одного класса уравнений параболического типа с многомерным временем / К.К. Кенжебаев, Г.А. Абдикаликова, А.Б. Бержанов // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 645–655. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kenžebaevkk mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT abdikalikovaga mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT beržanovab mnogoperiodičeskoerešeniekraevojzadačidlâodnogoklassauravnenijparaboličeskogotipasmnogomernymvremenem AT kenžebaevkk multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT abdikalikovaga multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime AT beržanovab multiperiodicsolutionofaboundaryvalueproblemforoneclassofparabolicequationswithmultidimensionaltime |
| first_indexed |
2025-11-25T23:47:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:47:42Z |
| _version_ |
1849808089293783040 |
| fulltext |
УДК 517.956
К. К. Кенжебаев, Г. А. Абдикаликова, А. Б. Бержанов (Актюб. гос. ун-т им. К. Жубанова, Казахстан)
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ
We study the existence and uniqueness of the multiperiodic solution of the first boundary-value problem for a system of
parabolic equations with multidimensonal time.
Вивчаються iснування та єдинiсть багатоперiодичного розв’язку першої крайової задачi для системи рiвнянь пара-
болiчного типу з багатовимiрним часом.
Вопросу существования, единственности решения краевых задач для уравнений и систем па-
раболического типа, в которых условия связывают искомое решение и его производные в
различных точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области, посвящены
многочисленные работы (см., например, [1, 2] и приведенную в них библиографию). Среди
краевых задач, заданных во всем пространстве, значительный интерес представляют полупро-
странственные краевые задачи, к которым, в свою очередь, приводит изучение периодических
и почти периодических решений по временной и пространственным переменным систем урав-
нений параболического типа [3].
В настоящей работе изучаются существование и единственность многопериодического ре-
шения первой краевой задачи для системы уравнений параболического типа с многомерным
временем.
Будем рассматривать линейное уравнение параболического типа с многомерным временем
Lu ≡ ∂u
∂τ
+
m∑
j=1
∂u
∂tj
−∆u− ∂2u
∂y2
+ γu = f(τ, t, x, y), (1)
где (τ, t) ∈ E1+m — пространство временных переменных, y ∈ E+
1 = [0,+∞), En — n-мерное
вещественное евклидово пространство векторов x = (x1, x2, ..., xn); ∆ =
∂2
∂x21
+
∂2
∂x22
+. . .+
∂2
∂x2n
— оператор Лапласа; γ = const > 0; f(τ, t, x, y) — заданная функция.
Будем полагать, что функция f(τ, t, x, y):
1) (θ, ω, σ)-периодична по τ, t, x равномерно относительно y
f (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) = f(τ, t, x, y), k ∈ Zm, p ∈ Zn,
где θ, ω1, . . . , ωm, σ1, . . . , σn — периоды, kω = (k1ω1, k2ω2, . . . , kmωm) — m-вектор, pσ =
= (p1σ1, p2σ2, . . . , pnσn) — n-вектор;
2) удовлетворяет по временным τ, t и пространственным x, y переменным условию Гель-
дера с показателем
α
2
и α соответственно∥∥f (τ , t, x, y)− f(τ, t, x, y)
∥∥ ≤
≤ Γ1
(
‖τ − τ‖α/2 +
∥∥t− t∥∥α/2 + ‖x− x‖α + ‖y − y‖α
)
,
где Γ1 — const; α ∈ (0, 1).
c© К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5 645
646 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
Задача 1. Найти достаточные условия существования и единственности многопериодиче-
ского по τ, t и x решения уравнения параболического типа (1), удовлетворяющего граничному
условию
u (τ, t, x, 0) = Ψ (τ, t, x) . (2)
Предположим, что функция Ψ (τ, t, x) (θ, ω, σ)-периодична по τ, t, x:
Ψ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ) = Ψ (τ, t, x) , k ∈ Zm, p ∈ Zn,
и удовлетворяет по временным переменным τ, t и x условию Гельдера с показателем
α
2
и
α ∈ (0, 1) соответственно ∥∥Ψ
(
τ , t, x,
)
−Ψ (τ, t, x)
∥∥ ≤
≤ Γ2
(
‖τ − τ‖α/2 +
∥∥t− t∥∥α/2 + ‖x− x‖α
)
,
где θ, ω1, . . . , ωm, σ1, . . . , σn — периоды, kω = (k1ω1, k2ω2, . . . , kmωm) — m-вектор, pσ = (p1σ1,
p2σ2, . . . , pnσn) — n-вектор; Γ2 — const.
Развивая идеи работ [4 – 6] для нахождения достаточного условия существования и един-
ственности многопериодического по τ, t и x решения первой краевой задачи (1), (2) уравнения
параболического типа с многомерным временем, дополним задачу 1 начальным условием
u (τ0, t, x, y) = ϕ(t, x, y) ∈ CB
(
E+
m+n+1
)
, (3)
где CB
(
E+
m+n+1
)
— банахово пространство непрерывных и ограниченных наE+
m+n+1 функций
ϕ(t, x, y) с нормой
‖ϕ(t, x, y)‖CB(E+
m+n+1)
= sup
E+
m+n+1
‖ϕ(t, x, y)‖+
+ sup
x,x∈En
‖ϕ (t, x, y)− ϕ (t, x, y)‖
‖x− x‖α
, α ∈ (0, 1) .
Предположим, что выполнено условие согласования
ϕ (t, x, 0) = Ψ (τ0, t, x) .
Для решения краевой задачи (1) – (3), а также для нахождения многопериодического реше-
ния краевой задачи (1), (2) путем специального выбора начальной функции ϕ(t, x, y) вначале
ищется решение предварительной вспомогательной задачи.
Задача 2. Найти единственное (θ, ω, σ)-периодическое решение уравнения
Lu = f(τ, t, x, y), (4)
удовлетворяющего условиям
u (τ0, t, x, y) = ϕ(t, x, y), (5)
u (τ, t, x, 0) = Ψ (τ, t, x) , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 647
где
f(τ, t, x, y) =
f(τ, t, x, y) для y ≥ 0,
−f (τ, t, x,−y) для y < 0,
ϕ(t, x, y) =
ϕ(t, x, y) для y ≥ 0,
−ϕ (t, x,−y) для y < 0.
Решение вспомогательной задачи (4) – (6) ищем в виде
u(τ, t, x, y) = e−γ(τ−τ0)
∫
En
V (τ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0)×
×ϕ (t− eτ + eτ0, ξ, η) dηdξ+
+
τ∫
τ0
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)
+∞∫
−∞
U (τ − s, y − η)×
×U0 (τ − s, t− eτ + es) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ∫
τ0
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ) ∂U
∂η
(τ − s, y − η)×
×U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (7)
Отметим, что при изучении поставленной задачи важную роль играет фундаментальное
решение оператора L. Известно, что функция V (τ − τ0, x− ξ) = [4π (τ − τ0)]−
n
2 e
− |x−ξ|
2
4(τ−τ0)
является фундаментальным решением уравнения
∂u
∂τ
− ∆u = 0 при τ > τ0, для τ ≤ τ0 фун-
даментальное решение V (τ − τ0, x− ξ) продолжено нулем. Уравнение
∂u
∂τ
− ∂2u
∂y2
= 0 имеет
фундаментальное решение
U (τ − τ0, y − η) = [4π (τ − τ0)]−
1
2 e
− |y−η|
2
4(τ−τ0)
для τ > τ0, для τ ≤ τ0 фундаментальное решение продолжено нулем. При всех t, s ∈ Em,
x, ξ ∈ En, y, η ∈ E1 функция
V (τ − τ0, x− ξ)U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0) e
−γ(τ−τ0) (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
648 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
является фундаментальным решением оператора L при τ > τ0, при τ ≤ τ0 фундаменталь-
ное решение продолжено нулем, t− eτ + es — характеристикa дифференциального оператора
∂
∂τ
+
∑m
j=1
∂
∂tj
, e = (1, 1, . . . , 1) — m-вектор.
Полагая, что функция ϕ(t, x, y) в (7) не является фиксированной, а любая из CB (Em+n+1),
выделяем с помощью необходимого и достаточного условия периодичности относительно вре-
менной переменной τ
u (τ0, t, x, y) = u (τ0 + θ, t, x, y)
среди решений (7) многопериодическое решение
ϕ(t, x, y) = e−γ(τ0+θ−τ0)
∫
En
V (τ0 + θ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 + θ − τ0, y − η)U0 (τ0 + θ − τ0, t− eτ0 + θ + eτ0)×
×ϕ (t− eτ0 + θ − τ0, ξ, η) dηdξ +
τ0+θ∫
τ0
e−γ(τ0+θ−s)
∫
En
V (τ0 + θ − s, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 + θ − s, y − η)U0 (τ0 + θ − s, t− eτ0 + θ + es)×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξ +
τ0+θ∫
τ0
e−γ(τ0+θ−s)
∫
En
V (τ0 + θ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 + θ − s, y − η)U0 (τ0 + θ − s, t− eτ0 + θ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds.
Предполагая, что функция f(τ, t, x, y) периодична по τ с положительным периодом θ, и при
этом сохраняя периодичность по t и x равномерно относительно y, учитывая диагональную
периодичность V (τ − τ0, x− ξ), U (τ − τ0, y − η), U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0), используя формулу
типа свертки, а также применяя метод последовательных приближений, получаем ряд
ϕ(t, x, y) =
∞∑
m=0
ϕm(t, x, y), (9)
члены которого определяются из рекуррентных соотношений
ϕ0(t, x, y) =
τ0∫
τ0−θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 649
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0∫
τ0−θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds,
ϕ1(t, x, y) =
τ0−θ∫
τ0−2θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0−θ∫
τ0−2θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)
ϕm(t, x, y) = e−γθ
∫
En
V (θ, x− ξ)
+∞∫
−∞
U (θ, y − η)U0 (θ, t− eτ0 + θ + eτ0)×
×ϕm−1 (t− eτ0 + θ + eτ0, ξ, η) dηdξ =
=
τ0−mθ∫
τ0−(m+1)θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0−mθ∫
τ0−(m+1)θ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
650 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds.
Можно установить, что ряд (9) сходится равномерно и абсолютно. Для доказательства
сходимости ряда (9) представим его в виде
ϕ0(t, x, y) +
∞∑
m=1
[
ϕm(t, x, y)− ϕm−1(t, x, y)
]
. (10′)
Исходя из (10), имеем ∣∣ϕm(t, x, y)− ϕm−1(t, x, y)
∣∣ ≤
≤
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η)
∣∣f (s, t− eτ + es, ξ, η)
∣∣ dηdξds+
+
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) |Ψ (s, t− eτ + es, ξ)| dξds ≤
≤
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)M0f0ds+
τ0−(m−1)θ∫
τ0−mθ
e−γ(τ0−s)M1Ψ0ds =
= M0f0γ
−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
+M1Ψ0γ
−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
=
= γ−1
[
e−γ(m−1)θ − e−γmθ
]
(M0f0 +M1Ψ0) =
= γ−1e−γmθ
[
eγθ − 1
]
(M0f0 +M1Ψ0) , m = 1, 2, . . . ,
где
|U0 (τ0 − τ, t− eτ0 + es)| ≤M0,
∣∣∣∣∂U∂y (τ0 − τ, y − η)
∣∣∣∣ ≤M1,
∣∣f (τ, t− eτ + es, x, y)
∣∣ ≤ f0, |Ψ (τ, t− eτ + es, x)| ≤ Ψ0.
Отметим, что при оценивании использованы известные оценки из общей теории (см., на-
пример, [3, с. 115]):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 651
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ) dξ ≤ 1,
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) dη ≤ 1.
Поскольку e−γθ < 1, ряд (10
′
) мажорируется сходящимся числовым рядом для любых t, x,
y ∈ Em+n+1 : ϕ̃0 +
∑∞
m=0
ϕ̃0
2m−1
, ϕ̃0 — const.
Таким образом, ряд (9) сходится равномерно и абсолютно.
Тогда имеем равномерную сходимость последовательных приближений (10) к предельной
вектор-функции:
ϕ∗(t, x, y) = lim
m→∞
ϕm(t, x, y) =
τ0∫
−∞
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es)×
×
+∞∫
−∞
U (τ0 − s, y − η) f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ0∫
−∞
e−γ(τ0−s)
∫
En
V (τ0 − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ0 − s, y − η)U0 (τ0 − s, t− eτ0 + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (10′′)
Нетрудно показать, что ϕ∗(t, x, y) принадлежитCB (Em+n+1). За начальную вектор-функцию
задачи примем вектор-функцию ϕ∗(t, x, y) и подставим в (7).
С учетом нечетного продолжения f(τ, t, x, y) искомое решение задачи (1), (2) определяется
так:
u∗(τ, t, x, y) =
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds. (11)
Сходимость интеграла (11) обеспечивается соотношением (8) и ограниченностью функций
f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x). Из построения следует, что функция u∗(τ, t, x, y) является решением
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
652 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
задачи (1), (2), причем u∗(τ, t, x, y) принадлежит C(1,1,2,2)
τ,t,x,y
(
E+
1+m+n+1
)
. Здесь решающую роль
играют условия на функции f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x), в том числе равномерное условие Гельдера.
Непосредственно можно установить следующие свойства функции u∗(τ, t, x, y):
1) она является (θ, ω, σ)-периодической по τ, t и x равномерно относительно y.
Действительно, рассмотрим
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
=
τ+θ∫
−∞
e−γ(τ+θ−s)
∫
En
V (τ + θ − s, x+ pσ − ξ)U0 (τ + θ − s, t+ kω − e(τ + θ) + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ + θ − s, y − η)− U (τ + θ − s, y + η)]×
×f (s, t+ kω − e(τ + θ) + es, ξ, η) dηdξds+
+
τ+θ∫
−∞
e−γ(τ+θ−s)
∫
En
V (τ + θ − s, x+ pσ − ξ) ∂U
∂η
(τ + θ − s, y − η)×
×U0 (τ + θ − s, t+ kω − e(τ + θ) + es) Ψ (s, t+ kω − e(τ + θ) + es, ξ) dξds.
В правой части выполним замену s = s1 + θ и ξ = ξ1 + pσ, затем в полученном интеграле s1 и
ξ1 снова заменим на s и ξ. В результате придем к выражению
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
=
τ∫
−∞
e−γ(τ+θ−(s+θ))
∫
En
V (τ + θ − (s+ θ), x+ pσ − (ξ + pσ))×
×U0 (τ + θ − (s+ θ), t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ))×
×
+∞∫
0
[U (τ + θ − (s+ θ), y − η)− U (τ + θ − (s+ θ), y + η)]×
×f (s+ θ, t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ), ξ + pσ, η) dηdξds+
+
τ∫
−∞
e−γ(τ+θ−(s+θ))
∫
En
V (τ + θ − (s+ θ), x+ pσ − (ξ + pσ))
∂U
∂η
(τ + θ − (s+ θ), y − η)×
×U0 (τ + θ − (s+ θ), t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ))×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 653
×Ψ (s+ θ, t+ kω − e(τ + θ) + e(s+ θ), ξ + pσ) dξds.
На основании (θ, ω, σ)-периодичности функций f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x) по τ, t и x, а
также в силу (θ, σ)-, θ- и (θ, ω)-периодичности функций V (τ − τ0, x− ξ), U (τ − τ0, y − η),
U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0) соответственно имеем
u∗ (τ + θ, t+ kω, x+ pσ, y) =
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×f (s, t− eτ + es, ξ, η) dηdξds+
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) Ψ (s, t− eτ + es, ξ) dξds = u∗(τ, t, x, y).
2) Аналогично [3, с. 130] из самого построения ясно, что функция u∗(τ, t, x, y) удовлетво-
ряет уравнению (1) с граничным условием (2).
3) Покажем, что решение (11) ограничено для всех τ, t, x, y ∈ E+
1+m+n+1. Сначала оценим
первое слагаемое в правой части (11):
‖I1‖ ≤
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)U0 (τ − s, t− eτ + es)×
×
+∞∫
0
[U (τ − s, y − η)− U (τ − s, y + η)]×
×‖f (s, t− eτ + es, ξ, η)‖ dηdξds ≤M0f0
2√
π
τ∫
−∞
y/2
√
τ−s∫
0
e−z
2
dz
e−γ(τ−s)ds,
где
y − η
2
√
τ − s
= z, − dη
2
√
τ − s
= dz,
y + η
2
√
τ − s
= z,
dη
2
√
τ − s
= dz.
При этом используем замену τ − s = λ, ds = −dλ. Тогда
‖I1‖ ≤
2M0f0√
π
+∞∫
0
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz
e−γλdλ.
Далее, используя формулу интегрирования по частям и полагая
u =
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz, du = e−(y/2
√
λ)2 y (−dλ)
2λ · 2
√
λ
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
654 К. К. КЕНЖЕБАЕВ, Г. А. АБДИКАЛИКОВА, А. Б. БЕРЖАНОВ
dv = e−γλdλ, v = −1
γ
e−γλ,
получаем
‖I1‖ ≤
2M0f0√
π
y/2
√
λ∫
0
e−z
2
dz
(
−1
γ
)
e−γλ −
+∞∫
0
1
γ
e−γλe
−
(
y
2
√
λ
)2
y
4λ3/2
dλ
≤
≤ M0f0
γ
− 2M0f0√
π
y
4γ
+∞∫
0
e−(γλ+y
2/4λ) 1
λ3/2
dλ.
Теперь, используя сначала замену
√
λ =
1
s1
, ds1 =
dλ
2λ3/2
, а затем
y
2
s1 = s2, ds1 =
2ds2
y
,
имеем
‖I1‖ ≤
M0f0
γ
− 2M0f0√
π
y
4γ
4
y
+∞∫
0
e
−
(
s22+
γy2
4s22
)
ds2 ≤
M0f0
γ
(
1− e−
√
γy
)
.
Перейдем к оценке второго слагаемого в правой части (11):
‖I2‖ ≤
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
∫
En
V (τ − s, x− ξ)×
×∂U
∂η
(τ − s, y − η)U0 (τ − s, t− eτ + es) ‖Ψ (s, t− eτ + es, ξ)‖ dξds ≤
≤M0Ψ0
τ∫
−∞
e−γ(τ−s)
ye
− y2
4(τ−s)
2
√
π (τ − s)3/2
ds.
В последнем неравенстве положим
y
2
√
τ − s
= r, ds =
2 (τ − s)
r
dr. Тогда
‖I2‖ ≤M0Ψ0
+∞∫
0
e−γ
y2
4r2
2e−r
2
√
π
dr =
2M0Ψ0√
π
+∞∫
0
e
−
(
r2+
γy2
4r2
)
dr = M0Ψ0e
−√γy.
Таким образом, используя полученные оценки I1, I2 для u∗(τ, t, x, y), получаем
‖u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ M0f0
γ
(
1− e−
√
γy
)
+M0Ψ0e
−√γy = Mγ−1 +Ne−
√
γy, (12)
где M = M0f0, N = M0Ψ0 −
M0f0
γ
.
4) Решение u∗(τ, t, x, y) единственно. Допустим, что задача имеет и другое многоперио-
дическое решение. Пусть u∗∗(τ, t, x, y) — решение задачи, соответствующее произвольной на-
чальной функции ϕ∗∗(t, x, y), т. е.
u∗∗ (τ0, t, x, y) = ϕ∗∗(t, x, y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ . . . 655
Для такого решения справедлива формула (7). Определенное выше формулой (11) мно-
гопериодическое решение u∗(τ, t, x, y) при τ = τ0 обращается в начальную функцию (10
′′
).
Имеем
u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y) = e−γ(τ−τ0)
∫
En
V (τ − τ0, x− ξ)×
×
+∞∫
−∞
U (τ − τ0, y − η)U0 (τ − τ0, t− eτ + eτ0)×
× [ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)− ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)] dηdξ.
Оценивая, получaeм
‖u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ e−γ(τ−τ0)M0C1, (13)
где
‖ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)− ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ ≤
≤ ‖ϕ∗∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ − ‖ϕ∗ (t− eτ + eτ0, ξ, η)‖ < C1 = const.
Поскольку многопериодическое решение не зависит от выбора τ0, τ0 можно считать произ-
вольным в (13). В (13), фиксируя τ и переходя к пределу при τ0 → −∞, получаем
‖u∗∗(τ, t, x, y)− u∗(τ, t, x, y)‖ ≤ 0 ∀τ, t, x, y ∈ E1+m+n+1.
Отсюда следует u∗∗(τ, t, x, y) = u∗(τ, t, x, y).
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если функции f(τ, t, x, y) и Ψ (τ, t, x) удовлетворяют приведенным условиям, то
уравнение (1) при граничном условии (2) и γ = const > 0 имеет единственное многопериоди-
ческое решение u∗(τ, t, x, y) по τ, t, x равномерно относительно y, представимое в виде (11) и
удовлетворяющее условию (12).
1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
2. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 444 с.
3. Умбетжанов Д. У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. – Алма-Ата: Наука, 1990. –
184 с.
4. Асанова А. Т. Ограниченное решение нелинейного параболического уравнения // Изв. МН-АН РК. Сер. физ.-
мат. – 1997. – № 1. – С. 33 – 39.
5. Абдикаликова Г. А. Многопериодическое решение одной краевой задачи для уравнения параболического типа
с многомерным временем // „Ломоносов-2012”: Междунар. науч. конф. студентов, магистрантов и молодых
ученых: Тез. докл. – Астана: Казахстан. филиал МГУ им. М. В. Ломоносова, 2012. – Ч. I. – С. 7 – 9.
6. Abdikalikova Gulshat A. On boundary value problem for the system of parabolic equations // Proc. VI Int. Sci. Conf. –
Aktobe, 2012. – Pt I. – Р. 178 – 180.
Получено 25.07.13,
после доработки — 13.01.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|