О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой
У просторі типу Соболєва з експоненціальною вагою встановлено достатні умови коректної й однозначної розв'язності на всій осі операторно-диференціального рівняння четвертого порядку, головна частина якого має кратну характеристику. Знайдено оцінки норм операторів проміжних похідних, пов'яз...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166074 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой / А.Р. Алиев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 699–707. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166074 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1660742025-02-09T14:21:26Z О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой On the solvability of a fourth-order operator-differential equation with multiple characteristic Алиев, А.Р. Короткі повідомлення У просторі типу Соболєва з експоненціальною вагою встановлено достатні умови коректної й однозначної розв'язності на всій осі операторно-диференціального рівняння четвертого порядку, головна частина якого має кратну характеристику. Знайдено оцінки норм операторів проміжних похідних, пов'язаних з умовами розв'язності. Крім того, встановлено зв'язок між показником ваги i нижньою межею спектра основного оператора, що входить до головної частини рівняння. Отримані результати проілюстровано на прикладі задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними. In the Sobolev-type space with exponential weight, we obtain sufficient conditions for the well-posed and unique solvability on the entire axis of a fourth-order operator-differential equation whose main part has a multiple characteristic. We establish estimates for the norms of the operators of intermediate derivatives related to the conditions of solvability. In addition, we deduce the relationship between the exponent of the weight and the lower bound of the spectrum of the main operator appearing in the principal part of the equation. The obtained results are illustrated by an example of a problem for partial differential equations. 2014 Article О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой / А.Р. Алиев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 699–707. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166074 517.95 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Алиев, А.Р. О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой Український математичний журнал |
| description |
У просторі типу Соболєва з експоненціальною вагою встановлено достатні умови коректної й однозначної розв'язності на всій осі операторно-диференціального рівняння четвертого порядку, головна частина якого має кратну характеристику. Знайдено оцінки норм операторів проміжних похідних, пов'язаних з умовами розв'язності. Крім того, встановлено зв'язок між показником ваги i нижньою межею спектра основного оператора, що входить до головної частини рівняння. Отримані результати проілюстровано на прикладі задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними. |
| format |
Article |
| author |
Алиев, А.Р. |
| author_facet |
Алиев, А.Р. |
| author_sort |
Алиев, А.Р. |
| title |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| title_short |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| title_full |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| title_fullStr |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| title_full_unstemmed |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| title_sort |
о разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166074 |
| citation_txt |
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка с кратной характеристикой / А.Р. Алиев // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 5. — С. 699–707. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT alievar orazrešimostioperatornodifferencialʹnogouravneniâčetvertogoporâdkaskratnojharakteristikoj AT alievar onthesolvabilityofafourthorderoperatordifferentialequationwithmultiplecharacteristic |
| first_indexed |
2025-11-26T19:20:56Z |
| last_indexed |
2025-11-26T19:20:56Z |
| _version_ |
1849881905829249024 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.95
А. Р. Алиев (Бакин. гос. ун-т, Ин-т математики и механики НАН Азербайджана)
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С КРАТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
In the Sobolev-type space with exponential weight, we obtain sufficient conditions for the well-posed and unique solvability
on the entire axis of a fourth-order operator-differential equations whose main part has multiple characteristics. We establish
estimates for the norms of the operators of intermediate derivatives related to the conditions of solvability. In addition,
we deduce relationships between the exponent of the weight and the lower bound of the spectrum of the main operator
appearing in the main part of the equation. The obtained results are illustrated by an example of a problem for partial
differential equations.
У просторi типу Соболєва з експоненцiальною вагою встановлено достатнi умови коректної й однозначної розв’яз-
ностi на всiй осi операторно-диференцiального рiвняння четвертого порядку, головна частина якого має кратну
характеристику. Знайдено оцiнки норм операторiв промiжних похiдних, пов’язаних з умовами розв’язностi. Крiм
того, встановлено зв’язок мiж показником ваги i нижньою межею спектра основного оператора, що входить до
головної частини рiвняння. Отриманi результати проiлюстровано на прикладi задачi для диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними.
Как известно, теории рождаются при рассмотрении конкретных модельных задач. В этом смыс-
ле теория операторно-дифференциальных уравнений также не является исключением. В ра-
ботах [1 – 3] широко отражены результаты по операторно-дифференциальным уравнениям, в
основном, первого и второго порядков. С точки зрения приложения к ряду задач механики сле-
дует отметить работы, посвященные операторно-дифференциальным уравнениям четвертого
порядка (см. [4] и приведенную там библиографию).
В сепарабельном гильбертовом пространствеH рассмотрим операторно-дифференциальное
уравнение четвертого порядка вида(
− d
dx
+A
)(
d
dx
+A
)3
u(x) +
4∑
j=1
Aj
d4−ju(x)
dx4−j
= f(x), x ∈ R = (−∞,+∞), (1)
где f(x), u(x) — H-значные функции, A — самосопряженный положительно определенный
оператор с нижней границей спектра λ0 (A = A∗ ≥ λ0E (λ0 > 0), E — единичный оператор),
Aj , j = 1, 2, 3, 4, — линейные, вообще говоря, неограниченные операторы. Очевидно, что
главная часть уравнения (1) имеет кратную характеристику.
Отметим, что уравнения вида (1) появляются в приложениях, в частности в задачах устой-
чивости пластинок из пластического материала.
Введем следующие гильбертовы пространства с весом e−κx/2, κ ∈ R :
L2,κ(R;H) =
u(x) : ‖u‖L2,κ(R;H) =
+∞∫
−∞
∥∥u(x)∥∥2
H
e−κxdx
1/2
< +∞
,
c© А. Р. АЛИЕВ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5 699
700 А. Р. АЛИЕВ
Wn
2,κ(R;H) =
u(x) : ‖u‖Wn
2,κ(R;H) =
=
+∞∫
−∞
(∥∥∥∥dnu (x)dxn
∥∥∥∥2
H
+
∥∥Anu(x)∥∥2
H
)
e−κxdx
1/2
< +∞
, n ≥ 1.
В настоящей работе с определенными алгебраическими условиями на операторные коэф-
фициенты доказывается, что при любом f(x) ∈ L2,κ(R;H) уравнение (1) имеет единственное
решение u(x) ∈W 4
2,κ(R;H).
Отметим, что корректная и однозначная разрешимость краевой задачи на полуоси для
уравнения (1) изучена в работе [4], а вопросы фредгольмовости краевых задач на полуоси и на
конечном интервале для такого рода уравнений рассмотрены в работе [5].
Определение. Если при любом f(x) ∈ L2,κ(R;H) существует вектор-функция u(x) ∈
∈W 4
2,κ(R;H), удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду, причем имеет место неравенство
‖u‖W 4
2,κ(R;H) ≤ const ‖f‖L2,κ(R;H) ,
то будем называть ее регулярным решением уравнения (1), а само уравнение (1) — регулярно
разрешимым.
Сначала исследуем уравнение (1) в случае, когда Aj = 0, j = 1, 2, 3, 4.
Рассмотрим полиномиальный операторный пучок
P0 (µ;A) = (−µE +A) (µE +A)3 .
Обозначим через P0 оператор, действующий из пространства W 4
2,κ(R;H) в пространство
L2,κ(R;H) следующим образом: P0u(x) ≡ P0
(
d
dx
;A
)
u(x), u(x) ∈W 4
2,κ(R;H).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть |κ| < 2λ0. Тогда оператор P0 осуществляет изоморфизм из простран-
ства W 4
2,κ (R;H) на пространство L2,κ(R;H).
Доказательство. Приняв во внимание обозначения, запишем уравнение (1) в случае Aj =
= 0, j = 1, 2, 3, 4, в виде
P0
(
d
dx
;A
)
u (x) = f(x), (2)
где f(x) ∈ L2,κ(R;H), u(x) ∈W 4
2,κ(R;H).
Теперь положим u(x) = v(x)eκx/2. Тогда уравнение (2) примет вид
P0
(
d
dx
+
κ
2
;A
)
v (x) = g (x) , (3)
где v(x) ∈ W 4
2 (R;H), g(x) = f(x)e−κx/2 ∈ L2(R;H), а W 4
2 (R;H) = W 4
2,0(R;H), L2(R;H) =
= L2,0(R;H) (подробнее о пространствах L2(R;H), W 4
2 (R;H) см. в [6]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 701
Поскольку отображение v(x) → u(x)e−κx/2 является изоморфизмом между пространства-
ми W 4
2 (R;H) и W 4
2,κ (R;H) , для завершения доказательства теоремы достаточно показать
изоморфизм P0,κ : W
4
2 (R;H)→ L2(R;H), где P0,κ ≡
(
−
(
d
dx
+
κ
2
)
+A
)(
d
dx
+
κ
2
+A
)3
.
Обозначим через σ(A) спектр оператора A. Пусть λ ∈ σ(A), λ ≥ λ0. Поскольку в случае
|κ| < 2λ0 ∣∣∣P0
(
iξ +
κ
2
;λ
)∣∣∣ = ∣∣∣∣(−(iξ + κ
2
)
+ λ
)(
iξ +
κ
2
+ λ
)3∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣(−(iξ + κ
2
)2
+ λ2
)(
iξ +
κ
2
+ λ
)2∣∣∣∣ =
((
ξ2 − κ2
4
+ λ2
)2
+ ξ2κ2
)1/2
×
×
((
λ+
κ
2
)2
+ ξ2
)
≥
(
λ2 − κ2
4
)(
λ+
κ
2
)2
≥
(
λ20 −
κ2
4
)(
λ0 +
κ
2
)2
> 0, ξ ∈ R,
из спектрального разложения оператора A следует, что при |κ| < 2λ0 операторный пучок
P0
(
iξ +
κ
2
;A
)
обратим. Очевидно, что однородное уравнение
P0
(
d
dx
+
κ
2
;A
)
v (x) = 0
имеет лишь тривиальное решение из пространства W 4
2 (R;H). Применяя же прямое и обратное
преобразования Фурье, убеждаемся, что при любом g (x) ∈ L2(R;H) уравнение (3) имеет
решение из пространства W 4
2 (R;H), представимое в виде
v(x) =
+∞∫
−∞
G(x− s)g(s)ds ≡ P−10,κg,
где
G(x− s) = 1
8
(
E + 2(x− s)A+ 2(x− s)2A2
)
e−(x−s)(A+
κ
2E)A−3, x− s > 0,
e(x−s)(A−
κ
2E)A−3, x− s < 0.
Действительно, такое решение v(x) удовлетворяет уравнению (3) почти всюду. А поскольку,
оценивая нормы
∥∥∥A4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥ и
∥∥∥ξ4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥ для ξ ∈ R, имеем∥∥∥A4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥ = sup
λ∈σ(A)
∣∣∣∣λ4 (iξ + κ
2
+ λ
)−3 (
−
(
iξ +
κ
2
)
+ λ
)−1∣∣∣∣ =
= sup
λ∈σ(A)
∣∣∣∣∣λ4 (iξ + κ
2
+ λ
)−2(
−
(
iξ +
κ
2
)2
+ λ2
)−1∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
λ∈σ(A)
λ4((
λ+
κ
2
)2
+ ξ2
)(
ξ2 + λ2 − κ2
4
) ≤ sup
λ∈σ(A)
λ4(
λ+
κ
2
)2(
λ2 − κ2
4
) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
702 А. Р. АЛИЕВ
≤ max
λ40(
λ20 −
κ2
4
)(
λ0 +
κ
2
)2 , 1
,
∥∥∥ξ4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥ = sup
λ∈σ(A)
∣∣∣∣ξ4 (iξ + κ
2
+ λ
)−3 (
−
(
iξ +
κ
2
)
+ λ
)−1∣∣∣∣ ≤
≤ sup
λ∈σ(A)
ξ4((
λ+
κ
2
)2
+ ξ2
)(
ξ2 + λ2 − κ2
4
) ≤ ξ4((
λ0 +
κ
2
)2
+ ξ2
)(
ξ2 + λ20 −
κ2
4
) ≤ 1,
то с учетом теоремы Планшереля
∥∥v∥∥2
W 4
2 (R;H)
=
∥∥A4v
∥∥2
L2(R;H)
+
∥∥d4v
dx4
∥∥2
L2(R;H)
=
=
∥∥A4v̂(ξ)
∥∥2
L2(R;H)
+
∥∥ξ4v̂ (ξ)∥∥2
L2(R;H)
≤
≤ sup
ξ∈R
∥∥∥A4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥2
H→H
∥∥ĝ(ξ)∥∥2
L2(R;H)
+
+sup
ξ∈R
∥∥∥ξ4P−10
(
iξ +
κ
2
;A
)∥∥∥2
H→H
∥∥ĝ(ξ)∥∥2
L2(R;H)
≤
≤ const
∥∥ĝ(ξ)∥∥2
L2(R;H)
= const
∥∥g(x)∥∥2
L2(R;H)
,
где v̂ (ξ) и ĝ (ξ) — преобразования Фурье функций v (x) и g (x) соответственно. Следовательно,
v(x) ∈W 4
2 (R;H).
Покажем ограниченность оператора P0,κ : W 4
2 (R;H) → L2(R;H). Используя неравенства
из анализа, имеем
‖P0,κv‖2L2(R;H) =
∥∥∥∥∥
(
−
(
d
dx
+
κ
2
)
+A
)(
d
dx
+
κ
2
+A
)3
v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
=
=
∥∥∥∥∥−
(
d
dx
+
κ
2
)4
v − 2A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v + 2A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v +A4v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
=
=
∥∥A4v
∥∥2
L2(R;H)
+
∥∥∥∥∥
(
d
dx
+
κ
2
)4
v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
+ 4
∥∥∥∥∥A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
+
+4
∥∥∥∥A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v
∥∥∥∥2
L2(R;H)
+ 4Re
((
d
dx
+
κ
2
)4
v,A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v
)
L2(R;H)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 703
−4Re
((
d
dx
+
κ
2
)4
v,A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v
)
L2(R;H)
−
−2Re
((
d
dx
+
κ
2
)4
v,A4v
)
L2(R;H)
− 8Re
(
A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v,A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v
)
L2(R;H)
−
−4Re
(
A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v,A4v
)
L2(R;H)
+ 4Re
(
A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v,A4v
)
L2(R;H)
≤
≤ 6
∥∥∥∥∥
(
d
dx
+
κ
2
)4
v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
+ 12
∥∥∥∥∥A
(
d
dx
+
κ
2
)3
v
∥∥∥∥∥
2
L2(R;H)
+
+12
∥∥∥∥A3
(
d
dx
+
κ
2
)
v
∥∥∥∥2
L2(R;H)
+ 6
∥∥A4v
∥∥2
L2(R;H)
.
Далее, используя теорему о промежуточных производных [6] (гл. 1), получаем
‖P0,κv‖2L2(R;H) ≤ const ‖v‖2W 4
2 (R;H) .
Таким образом, оператор P0,κ ограничен, взаимно однозначно действует из пространства
W 4
2 (R;H) на пространство L2(R;H) и по теореме Банаха об обратном операторе является
изоморфизмом между этими пространствами.
Теорема доказана.
Замечание. При κ = ±2λ0 оператор P0 не обратим. Более того, в этом случае оператор P0
не фредгольмов. Доказательство этого факта можно провести, как в [5] в случае положительной
полуоси R+.
Как известно, операторы промежуточных производных
Aj
d4−j
dx4−j
: W 4
2,κ(R;H)→ L2,κ(R;H), j = 1, 2, 3, 4, (4)
непрерывны, а поскольку из теоремы 1 следует, что норма ‖P0u‖L2,κ(R;H) эквивалентна исход-
ной норме ‖u‖W 4
2,κ(R;H) в пространстве W 4
2,κ(R;H), то нормы операторов (4) можно оценить
и относительно ‖P0u‖L2,κ(R;H) .
Теорема 2. Пусть |κ| < 2λ0. Тогда для любого u(x) ∈ W 4
2,κ(R;H) имеют место следую-
щие неравенства: ∥∥∥∥Aj d4−judx4−j
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤ cj ‖P0u‖L2,κ(R;H) , j = 1, 2, 3, 4, (5)
где c1 = c3 =
1
2
(
1− κ2
4λ20
)−1/2
, c2 =
1
2
√
2
(
1− κ2
4λ20
)−1/2
, c4 =
(
1− κ2
4λ20
)−1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
704 А. Р. АЛИЕВ
Доказательство. Обозначим z(x) =
(
d
dx
+A
)2
u(x). Тогда из (2) относительно z(x)
имеем уравнение
−d
2z(x)
dx2
+A2z(x) = f(x), x ∈ R. (6)
После замены v (x) = z(x)e−κx/2 из уравнения (6) получаем
−
(
d
dx
+
κ
2
)2
v(x) +A2v(x) = g(x), x ∈ R, (7)
где v(x) ∈W 2
2 (R;H), g(x) = f(x)e−κx/2 ∈ L2(R;H), а W 2
2 (R;H) =W 2
2,0(R;H).
Умножая обе части уравнения (7) скалярно на A2v в пространстве L2(R;H), имеем(
−d
2v
dx2
, A2v
)
L2(R;H)
+
(
−κdv
dx
,A2v
)
L2(R;H)
+
(
−κ
2
4
v,A2v
)
L2(R;H)
+
+
(
A2v,A2v
)
L2(R;H)
=
(
g,A2v
)
L2(R;H)
.
Далее, интегрируя по частям, получаем
Re
(
g,A2v
)
L2(R;H)
=
∥∥∥∥Advdx
∥∥∥∥2
L2(R;H)
+
∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
− κ2
4
‖Av‖2L2(R;H) ≥
≥
∥∥∥∥Advdx
∥∥∥∥2
L2(R;H)
+
(
1− κ2
4λ20
)∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
≥
(
1− κ2
4λ20
)∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
. (8)
Таким образом, (
1− κ2
4λ20
)∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
≤ ‖g‖L2(R;H)
∥∥A2v
∥∥
L2(R;H)
,
т. е. ∥∥A2v
∥∥
L2(R;H)
≤
(
1− κ2
4λ20
)−1
‖g‖L2(R;H) . (9)
С другой стороны, из неравенства (8) следует, что для любого ε > 0∥∥∥∥Advdx
∥∥∥∥2
L2(R;H)
+
(
1− κ2
4λ20
)∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
≤ ‖g‖L2(R;H)
∥∥A2v
∥∥
L2(R;H)
≤
≤ ε
2
‖g‖2L2(R;H) +
1
2ε
∥∥A2v
∥∥2
L2(R;H)
.
Полагая в последнем неравенстве ε =
1
2
(
1− κ2
4λ20
)−1
, находим
∥∥∥∥Advdx
∥∥∥∥2
L2(R;H)
≤ 1
4
(
1− κ2
4λ20
)−1
‖g‖2L2(R;H) . (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 705
Поскольку g(x) = f(x)e−κx/2, v(x) = z(x)e−κx/2, принимая во внимание, что z(x) ∈W 2
2,κ(R;H),
из (9) и (10) имеем
∥∥A2z
∥∥2
L2,κ(R;H)
≤
(
1− κ2
4λ20
)−2
‖f‖2L2,κ(R;H) , (11)
∥∥∥∥Adzdx
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
+
κ2
4
‖Az‖2L2,κ(R;H) ≤
1
4
(
1− κ2
4λ20
)−1
‖f‖2L2,κ(R;H) . (12)
Из неравенств (11) и (12), учитывая, что z(x) =
(
d
dx
+A
)2
u(x), а u(x) ∈ W 4
2,κ(R;H),
получаем∥∥∥∥A2d
2u
dx2
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
+ 2
∥∥∥∥A3du
dx
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
+
∥∥A4u
∥∥2
L2,κ(R;H)
≤
(
1− κ2
4λ20
)−2
‖f‖2L2,κ(R;H) , (13)
∥∥∥∥Ad3udx3
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
+ 2
∥∥∥∥A2d
2u
dx2
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
+
∥∥∥∥A3du
dx
∥∥∥∥2
L2,κ(R;H)
≤ 1
4
(
1− κ2
4λ20
)−1
‖f‖2L2,κ(R;H) .
(14)
В результате из неравенств (13) и (14) следуют оценки∥∥∥∥Ad3udx3
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤ 1
2
(
1− κ2
4λ20
)−1/2
‖P0u‖L2,κ(R;H) ,
∥∥∥∥A2d
2u
dx2
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤ 1
2
√
2
(
1− κ2
4λ20
)−1/2
‖P0u‖L2,κ(R;H) ,
∥∥∥∥A3du
dx
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤ 1
2
(
1− κ2
4λ20
)−1/2
‖P0u‖L2,κ(R;H) ,
∥∥A4u
∥∥
L2,κ(R;H)
≤
(
1− κ2
4λ20
)−1
‖P0u‖L2,κ(R;H) .
Теорема доказана.
Теперь исследуем полное уравнение (1).
Лемма. Пусть операторы AjA
−j , j = 1, 2, 3, 4, ограничены в H. Тогда оператор P1,
действующий из пространства W 4
2,κ(R;H) в пространство L2,κ(R;H) следующим образом:
P1u(x) ≡
4∑
j=1
Aj
d4−ju(x)
dx4−j
, u(x) ∈W 4
2,κ(R;H),
также ограничен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
706 А. Р. АЛИЕВ
Доказательство. Для любого u(x) ∈W 4
2,κ(R;H)
‖P1u‖L2,κ(R;H) =
∥∥∥∥∥∥
4∑
j=1
Aj
d4−ju
dx4−j
∥∥∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤
4∑
j=1
∥∥AjA−j∥∥H→H ∥∥∥∥Aj d4−judx4−j
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
.
Учитывая теорему о промежуточных производных [6] (гл.1), из последнего неравенства имеем
‖P1u‖L2,κ(R;H) ≤ const ‖u‖W 4
2,κ(R;H) .
Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть A = A∗ ≥ λ0E (λ0 > 0), |κ| < 2λ0 и операторы AjA
−j , j = 1, 2, 3, 4,
ограничены в H, причем выполняется неравенство
4∑
j=1
cj
∥∥AjA−j∥∥H→H < 1,
где числа cj , j = 1, 2, 3, 4, определяются в теореме 2. Тогда уравнение (1) регулярно разрешимо.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде операторного уравнения
P0u(x) + P1u(x) = f(x),
где f(x) ∈ L2,κ(R;H), u(x) ∈W 4
2,κ(R;H).
Из теоремы 1 следует, что оператор P0 имеет ограниченный обратный оператор P−10 ,
действующий из пространства L2,κ(R;H) в пространство W 4
2,κ(R;H). Тогда после замены
u(x) = P−10 w(x), где w(x) ∈ L2,κ (R;H) , получаем следующее уравнение в L2,κ(R;H) :(
E + P1P
−1
0
)
w(x) = f(x).
Покажем, что при выполнении условий теоремы норма оператора P1P
−1
0 меньше единицы.
Действительно,
∥∥P1P
−1
0 w
∥∥
L2,κ(R;H)
= ‖P1u‖L2,κ(R;H) ≤
4∑
j=1
∥∥∥∥Aj d4−judx4−j
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
≤
≤
4∑
j=1
∥∥AjA−j∥∥H→H ∥∥∥∥Aj d4−judx4−j
∥∥∥∥
L2,κ(R;H)
. (15)
Принимая во внимание оценки (5) в неравенстве (15), имеем
∥∥P1P
−1
0 w
∥∥
L2,κ(R;H)
≤
4∑
j=1
cj
∥∥AjA−j∥∥H→H ‖w‖L2,κ(R;H) .
Значит,
∥∥P1P
−1
0
∥∥
L2,κ(R;H)→L2,κ(R;H)
≤
4∑
j=1
cj
∥∥AjA−j∥∥H→H < 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
О РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 707
и поэтому оператор E+P1P
−1
0 обратим в пространстве L2,κ(R;H). Следовательно, u(x) можно
определить формулой
u(x) = P−10
(
E + P1P
−1
0
)−1
f(x),
причем
‖u‖W 4
2,κ(R;H) ≤
∥∥P−10
∥∥
L2,κ(R;H)→W 4
2,κ(R;H)
∥∥∥(E + P1P
−1
0
)−1∥∥∥
L2,κ(R;H)→L2,κ(R;H)
‖f‖L2,κ(R;H) ≤
≤ const ‖f‖L2,κ(R;H) .
Теорема доказана.
Полученные результаты проиллюстрируем на примере задач для уравнений в частных про-
изводных. Рассмотрим на полосе R× [0, π] задачу(
− ∂
∂x
− ∂2
∂y2
)(
∂
∂x
− ∂2
∂y2
)3
u (x, y) + p1 (y)
∂5u (x, y)
∂y2∂x3
+
+p2 (y)
∂6u (x, y)
∂y4∂x2
+ p3 (y)
∂7u (x, y)
∂y6∂x
+ p4 (y)
∂8u (x, y)
∂y8
= f (x, y) , (16)
∂2iu (x, 0)
∂y2i
=
∂2iu (x, π)
∂y2i
= 0, i = 0, 1, 2, 3, (17)
где pj(y), j = 1, 2, 3, 4, — ограниченные на отрезке [0, π] функции, f(x, y) ∈ L2,κ
(
R;L2[0, π]
)
.
Задачу (16), (17) можно свести к операторно-дифференциальному уравнению (1). Здесь H =
= L2 [0, π] , A1 = p1(y)
∂2
∂y2
, A2 = p2(y)
∂4
∂y4
, A3 = p3(y)
∂6
∂y6
, A4 = p4(y)
∂8
∂y8
. Оператор A
определен в L2 [0, π] равенством Au = −d
2u
dy2
с условиями u (0) = u (π) = 0. Ясно, что в этом
случае λ0 = 1. Применяя теорему 3, убеждаемся, что если |κ| < 2, то при условии
1
2
(
1− κ2
4
)−1/2(
sup
y∈[0,π]
|p1(y)|+
1√
2
sup
y∈[0,π]
|p2(y)|+ sup
y∈[0,π]
|p3(y)|
)
+
+
(
1− κ2
4
)−1
sup
y∈[0,π]
|p4(y)| < 1
задача (16), (17) имеет единственное решение из пространства W 4,8
x,y,2,κ
(
R;L2[0, π]
)
.
1. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1967. – 464 с.
2. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
3. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. – Баку: Элм, 1985. –
220 с.
4. Aliev A. R. On a boundary-value problem for one class of differential equations of the fourth order with operator
coefficients // Azerb. J. Math. – 2011. – 1, № 1. – P. 145 – 156.
5. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с
ними // Труды семинара им. И. Г. Петровского. – 1989. – 14. – С. 140 – 224.
6. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 371 с.
Получено 08.01.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 5
|