Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації
We prove that, for any convex, Lipschitz, and lsc function f defined on a weakly compact convex set X in a Banach space E and for any ε > 0, there is x* E* with ||x*||E* < ε such that f + x* attains its supremum on X.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1661 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації / В.В. Семенов, М.В. Кацев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 51-58. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860095910068879360 |
|---|---|
| author | Кацев, М.В. Семенов, В.В. |
| author_facet | Кацев, М.В. Семенов, В.В. |
| citation_txt | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації / В.В. Семенов, М.В. Кацев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 51-58. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We prove that, for any convex, Lipschitz, and lsc function f defined on a weakly compact convex set X in a Banach space E and for any ε > 0, there is x* E* with ||x*||E* < ε such that f + x* attains its supremum on X.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:26:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Замечание 2. Пусть m := 1, A0 := A, ⊃ ∈ L′ и ⊥ ∈ L′
0, где ⊃, A и D заданы приме-
ром 3 работы [1] при n > 4, а ⊥ := 0. Определяя производную унарную связку ¬, положив
¬p := p ⊃ ⊥, мы имеем ¬a = 1 − a для всех a ∈ A. Тогда, в соответствии с примером 3
работы [1], существует такой определитель равенства ℑ для M, что ¬p, 2⊗p ∈ ℑ. Отметим,
что 2 ⊗ p 6� ¬p. Поэтому �′ := �
⋃
{〈ν, ν ′〉 ∈ ℑ2 | ν � ¬p, 2 ⊗ p � ν ′} — частичное упорядо-
чение на ℑ. Тогда существует последовательность ~ℑ, неубывающая относительно �′ и, тем
самым, относительно � ⊆ �′. При этом ¬p ≺′ 2 ⊗ p и, поэтому, ¬p = ~ℑi и 2 ⊗ p = ~ℑj, где i,
j ∈ |ℑ| и i < j. Поскольку ⊢ 2 ⊗ p1 ∈ Cn
(0,l)
M ( ⊢ ¬(p1 ⊃ p2)), учитывая сноску 1, существует
такая L′-секвенциальная ℑ-таблица T ранга (k, l) для M, что ⊢ 2 ⊗ p1 ∈ ρT (¬(⊃)). Тогда
выполнение запроса seq([], [], [2 ⊗ ⊥], [], [], G) в Пролог-программе P ′, полученной из P уда-
лением правила (3) или факта (9), приводит к тому же самому производному запросу, что
влечет незавершаемость Пролог-программы P ′ на данном запросе.
Таким образом, наличие правила (3) и факта (9) в Пролог-программе P является су-
щественным для истинности теоремы 1.
1. Пынько А.П. Секвенциальные исчисления для конечнозначных логик с определителем равенства //
Доп. НАН України. – 2003. – № 8. – С. 69–75.
Поступило в редакцию 30.08.2006Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
УДК 517.9
© 2007
В.В. Семенов, М. В. Кацев
Лiнiйний варiацiйний принцип в опуклiй максимiзацiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
We prove that, for any convex, Lipschitz, and lsc function f defined on a weakly compact convex
set X in a Banach space E and for any ε > 0, there is x∗ ∈ E∗ with ‖x∗‖E∗ < ε such that
f + x∗ attains its supremum on X.
Вiдомо, що у рефлексивному банаховому просторi опуклий напiвнеперервний знизу функ-
цiонал1 досягає мiнiмуму на довiльнiй опуклiй замкненiй та обмеженiй множинi [1]. Але для
задачi максимiзацiї напiвнеперервного знизу опуклого функцiоналу немає такої елегантної
теореми iснування. Вже у нескiнченновимiрному гiльбертовому просторi iснують опуклi
замкненi та обмеженi множини, якi не мiстять елемента з максимальною нормою. А зав-
дяки теоремi Джозефсона–Нiссенцвейга [2] у довiльному нескiнченновимiрному лiнiйному
нормованому просторi можна побудувати неперервний опуклий функцiонал, не обмежений
зверху на замкненiй одиничнiй кулi2.
1Усi функцiонали вважаємо власними.
2Це спостереження було зроблено у бакалаврськiй роботi студентом Куриленком Юрiєм (факультет
кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iм. Тараса Шевченка).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 51
У недавнiй роботi [3] розв’язано задачу описання класу заданих у рефлексивному ба-
наховому просторi E напiвнеперервних знизу опуклих функцiоналiв f , що досягають свого
супремуму на довiльнiй обмеженiй замкненiй й опуклiй пiдмножинi ефективної областi
dom(f). Виявляється, це лише тi функцiонали f , для яких звуження f |dom(f) секвенцiально
неперервне в топологiї σ(E,E∗). Нажаль, це дуже вузький клас функцiоналiв i в приклад-
них задачах оптимального керування вони, як правило, не зустрiчаються.
Виникає природне питання: якщо задача опуклої максимiзацiї нерозв’язна, то чи можна
цiльовий функцiонал як завгодно мало адитивно збурити лiнiйним неперервним функцiо-
налом так, що збурення досягає максимуму? Позитивну вiдповiдь на питання такого типу
називатимемо лiнiйним варiацiйним принципом.
1. Класичнi лiнiйнi варiацiйнi принципи опуклої оптимiзацiї. У нелiнiйному
аналiзi варiацiйними принципами називають групу результатiв про те, що напiвнеперервну
знизу i обмежену знизу функцiю на повному метричному просторi можна як завгодно мало
збурити так, що збурена функцiя буде мати мiнiмум. Це перш за все теореми Екланда [1, 4],
Борвейна–Прайса [5] та Девiлля [6].
Але першим результатом такого типу була теорема Бiшопа–Фелпса [7, 8] вiд 1963 року.
Теорема 1 (Бiшоп–Фелпс). Нехай X — непорожня опукла замкнена та обмежена
множина в банаховому просторi E, тодi множина лiнiйних неперервних функцiоналiв,
якi досягають максимуму на X, є щiльною в E∗.
Iншими словами, якщо y∗ ∈ E∗ i ε > 0, то iснує такий x∗ ∈ E∗ з ‖x∗‖E∗ < ε, що
функцiонал y∗ + x∗ досягає максимуму на X.
Широко вiдоме таке переформулювання теореми 1, що належить Брондстеду i Рока-
феллару [9].
Теорема 2 (Брондстед–Рокафеллар). Нехай X — непорожня опукла замкнена та обме-
жена множина в банаховому просторi E, f : E → R — опуклий напiвнеперервний знизу
функцiонал, обмежений знизу. Тодi для довiльного ε > 0 iснує такий x∗ ∈ E∗ з ‖x∗‖E∗ < ε,
що функцiонал f + x∗ досягає мiнiмуму у деякiй точцi x0 ∈ X.
Якщо банахiв простiр E має властiвисть Радона–Нiкодима [8], то результат теореми 2
справедливий для довiльного напiвнеперервного знизу та обмеженого знизу функцiоналу
f : E → R — це вiдомий варiацийний принцип Стегла [10].
Питання отримання результату типу теореми 2 для задачi максимiзацiї опуклого напiв-
неперервного знизу функцiоналу нетривiальне. Технiка доведення згаданих теорем суттєво
пов’язана саме з мiнiмiзацiйним характером задачi.
Однiєю з класичних нескiнченновимiрних задач опуклої максимизацiї є проблема обчис-
лення норми лiнiйного неперервного оператора. Вiдомо, що коли банахiв простiр E реф-
лексивний, то довiльний компактний оператор E → F (F — банахiв простiр) досягає норми
на замкненiй одиничнiй кулi простору E. Але, звичайно, iснують лiнiйнi неперервнi опера-
тори, що не досягають норми.
У роботi [11] Лiнденштраусс почав вивчати питання про щiльнiсть множини операто-
рiв E → F , що досягають норми, у просторi L(E,F ). Йому належить такий результат
(див. також [8]).
Теорема 3 (Лiнденштраусс). Для довiльних банахових просторiв E, F множина не-
перервних лiнiйних операторiв A : E → E, для яких другi спряженi A∗∗ : E∗∗ → F ∗∗ дося-
гають своєї норми на {x ∈ E∗∗ : ‖x‖E∗∗ 6 1}, є щiльною в просторi лiнiйних неперервних
операторiв, якi дiють з E в F .
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Звичайно у випадку рефлексивностi простору E результат справедливий без переходу
до других спряжених операторiв. Деякi узагальнення теореми наведено у роботах [10, 12].
Основний момент доведення теореми 3 — побудова для заданого ε > 0 такого ядерного
оператора B : E → F з нормою, меншою за ε, що A+B досягає норми. Запропонований для
цього Лiнденштрауссом iтерацiйний процес можна узагальнити так, щоб отримати бажаний
лiнiйний варiацiйний принцип для опуклої максимiзацiї.
2. Основний результат. Cформулюємо та доведемо основний результат роботи.
Теорема 4. Нехай E — банахiв простiр, f : E → R
⋃
{+∞} — власний опуклий напiвне-
перервний знизу функцiонал, що задовольняє умову Лiпшица на слабко компактнiй опуклiй
множинi X ⊆ dom(f). Тодi для довiльного ε > 0 iснує такий x∗ ∈ E∗ з ‖x∗‖E∗ < ε, що
задача
f + x∗ → sup
X
має розв’язок, причому функцiонал f + x∗ досягає супремума на X в крайнiй точцi мно-
жини X.
Доведення. Скористаємось лемою, яка є узагальненням леми Лiнденштраусса про
досяжнiсть лiнiйним неперервним оператором своєї норми на замкненiй одиничнiй кулi.
Лема 1 [3]. Нехай X — компактна опукла множина локально опуклого простору E,
f : E → R
⋃
{+∞} — напiвнеперервний знизу опуклий функцiонал (X ⊆ dom(f)).
Тодi якщо iснують такi послiдовностi точок xn ∈ X, неперервних афiнних функцiо-
налiв φn : E → R та нескiнченно мала послiдовнiсть додатних чисел εn, що виконуються
умови3
∀n ∈ N : f > φn на X, (1)
∀n 6 k : φn(xk) > sup
x∈X
f(x) − εn, (2)
то функцiонал f досягає свого супремуму на множинi X.
Без обмеження загальностi вважатимемо, що
∀x ∈ X : f(x) ∈ [1 + 2d(X),m],
де d(X) = sup
x1,x2∈X
‖x1 − x2‖E , m ∈ R та функцiонал f задовольняє умову Лiпшица з кон-
стантою 1:
|f(x) − f(y)| 6 ‖x − y‖E .
Нехай ε < 1/2. Оберемо послiдовнiсть εk таким чином, щоб виконувалось
2
∞∑
i=1
εi < ε,
∞∑
i=k+1
εi < ε2
k ∀k ∈ N.
Будемо iндуктивно будувати послiдовнiсть опуклих напiвнеперервних знизу функцiона-
лiв fk таким чином. Нехай f1 = f .
3Взагалi цi умови є не тiльки достатними, а ще й необхiдними для того, щоб функцiонал f досягав свого
супремуму на множинi X.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 53
На k-му кроцi оберемо таку точку xk ∈ X, щоб виконувалось
fk(xk) > sup
x∈X
fk(x) − ε2
k
та такий неперервний афiнний функцiонал Φk, який задовольняє умову
∀x ∈ X : fk(x) > Φk(x) > fk(xk) − ε2
k − 2‖x − xk‖E .
Тодi нехай
fk+1(x) = fk(x) +
εk
M
Φk(x)fk(xk), де M = (m + 1)2.
Доведемо за iндукцiєю, що потрiбнi Φk iснують, причому iстиннi такi твердження:
1) ∀x ∈ X : Φk(x) > 0;
2) ∀x ∈ X : fk(x) ∈
[
1 + 2d(X),m +
k−1∑
i=1
εi
]
;
3) fk задовольняє умову Лiпшица з константою 1 +
k−1∑
i=1
εi.
Розглянемо двi опуклi множини в просторi E ⊕ R:
A = {(x, t) : x ∈ X, t > fn(x)},
B = {(x, t) : x ∈ X
⋃
S̄(xn, 1), t 6 fn(xn) − ε2
n − 2‖x − xn‖E},
де S̄(xn, 1) = {x ∈ E : ‖x − xn‖E 6 1}. Оскiльки за припущенням iндукцiї fn задовольняє
умову Лiпшица з константою
C = 1 +
n−1∑
i=1
εi 6 1 +
∞∑
i=1
εi < 1 +
ε
2
< 2,
то данi множини не перетинаються i за теоремою про вiддiльнiсть опуклих множин [1]
(тут ми використали напiвнеперервнiсть знизу f) iснують лiнiйний неперервний функцiонал
l̃ ∈ (E ⊕ R)∗ та β ∈ R такi, що
∀(x, t) ∈ A : l̃(x, t) > β, (3)
∀(x, t) ∈ B : l̃(x, t) 6 β. (4)
Подамо l̃ у виглядi l̃(x, t) = l(x) + αt, де l ∈ E∗, α ∈ R.
З (3) при t = fn(x) та з (4) при t = fn(xn) − ε2
n − 2‖x − xn‖E отримаємо
l(x) + αfn(x) > β > l(x) + α(fn(xn) − ε2
n − 2‖x − xn‖E).
Отже,
fn(x) >
β − l(x)
α
> fn(xn) − ε2
n − 2‖x − xn‖E ,
тобто можна обрати
Φn(x) =
β − l(x)
α
.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Тодi ∀x ∈ X буде виконуватись
Φn(x) > fn(xn) − ε2
n − 2‖x − xn‖E > 1 + 2d(X) − ε2
n − 2‖x − xn‖E > 0.
В подальшому нехай Φn(x) = βn + ln(x), де βn ∈ R, ln ∈ E∗. Тодi
sup
‖x−xn‖E=1
ln(x − xn) = sup
‖x−xn‖E=1
(Φn(x) − Φn(xn)) > −Φn(xn) > −fn(xn) > −(m + 1),
тобто ‖ln‖E∗ 6 m + 1.
Маємо
fn+1(x) = fn(x) +
εn
M
Φn(x)fn(xn) < m +
n−1∑
i=1
εi + εn
(
m +
n−1∑
i=1
εi
)2
M
< m +
n∑
i=1
εi,
fn+1(x) = fn(x) +
εn
M
Φn(x)fn(xn) > fn(x) > 1 + 2d(X).
Вiдзначимо, що
|Φn(x) − Φn(y)| = |ln(x − y)| 6 ‖ln‖E∗‖x − y‖E < (m + 1)‖x − y‖E .
Звiдси
|fn+1(x) − fn+1(y)| 6 |fn(x) − fn(y)| +
εn
M
fn(xn)|Φn(x) − Φn(y)| <
<
(
1 +
n−1∑
i=1
εi + εn
(m + 1)2
M
)
‖x − y‖E =
(
1 +
n∑
i=1
εi
)
‖x − y‖E .
Таким чином, ми довели коректнiсть побудови та певнi її властивостi.
Для побудованої послiдовностi отримуємо
sup
x∈X
|fn+1(x) − fn(x)| 6
εn
M
(
sup
x∈X
fn(x)
)2
< εn.
Отже, для n < k:
sup
x∈X
|fk(x) − fn(x)| <
k−1∑
i=n
εi < ε2
n−1. (5)
Крiм того, для n < k одержимо
fn+1(xk) > fk(xk) − sup
x∈X
|fk(x) − fn+1(x)| > sup
x∈X
fk(x) − ε2
k −
k−1∑
i=n+1
εi > sup
x∈X
fk(x) − ε2
n.
З невiд’ємностi Φn випливає монотоннiсть послiдовностi fn, зокрема:
∀n 6 k : sup
x∈X
fn(x) 6 sup
x∈X
fk(x).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 55
Звiдси, при n < k:
fn+1(xk) > sup
x∈X
fk(x) − ε2
n > sup
x∈X
fn+1(x) − ε2
n > fn+1(xn) − ε2
n =
= fn(xn) +
εn
M
Φn(xn)fn(xn) − ε2
n.
З iншого боку,
fn+1(xk) = fn(xk) +
εn
M
Φn(xk)fn(xn) 6 sup
x∈X
fn(x) +
εn
M
Φn(xk)fn(xn) 6
6 fn(xn) + ε2
n +
εn
M
Φn(xk)fn(xn).
Шляхом нескладних перетворень одержимо
Φn(xn) − Φn(xk) 6
2Mεn
fn(xn)
< 2Mεn,
тобто для довiльних n < k виконується
Φn(xk) > Φn(xn) − 2Mεn > fn(xn) − ε2
n − 2Mεn > sup
x∈X
fn(x) − 2ε2
n − 2Mεn. (6)
З (5) випливає рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi fn. Нехай f0 — її границя. Тодi
sup
x∈X
|f0(x) − fn(x)| 6 lim
k→∞
sup
x∈X
|fk(x) − fn(x)| 6 ε2
n−1,
звiдси
sup
x∈X
fn(x) > sup
x∈X
f0(x) − ε2
n−1.
Враховуючи (6) ∀n < k, отримаємо:
Φn(xk) > sup
x∈X
fn(x) − 2ε2
n − 2Mεn > sup
x∈X
f0(x) − ε2
n−1 − 2ε2
n − 2Mεn.
Крiм того,
∀x ∈ X, n ∈ N : f0(x) > fn(x) > Φn(x).
Таким чином, функцiонал f0 задовольняє умови (1), (2) леми 1, тобто вiн досягає су-
премуму на множинi X.
За побудовою f0 має вигляд
f0(x) = f(x) +
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)Φi(x) = f(x) +
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)(βi + li(x)) =
= f(x) +
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)li(x) +
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)βi.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Останнiй доданок є константою, вiн не впливає на досяжнiсть супремуму. Тому функцiонал
f ′
0(x) = f(x) +
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)li(x)
також досягає супремуму на X (звичайно у крайнiй точцi).
Маємо
‖f ′
0 − f‖E∗ =
∥∥∥∥∥
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)li
∥∥∥∥∥
E∗
6
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)‖li‖E∗ 6
∞∑
i=1
εi(m + 1)2
M
<
ε
2
.
Отже, за x∗ можна обрати
∞∑
i=1
εi
M
fi(xi)li.
3. Зауваження та висновки. Сформулюємо один корисний варiант варiацiйного прин-
ципу.
Теорема 5. Нехай E — банахiв простiр, f : E∗ → R
⋃
{+∞} — власний опуклий на-
пiвнеперервний знизу функцiонал, що задовольняє умову Лiпшица на σ(E∗, E)-компактнiй
опуклiй множинi X ⊆ dom(f). Тодi для довiльного ε > 0 iснує такий x ∈ E з ‖x‖E < ε,
що функцiонал f + x досягає супремуму на X у крайнiй точцi множини X.
Мiркування доведення повнiстю аналогiчнi використаним при доведеннi теореми 4. Єди-
на вiдмiннiсть — це, звичайно, робота з двоїстою парою (E∗, E) замiсть (E,E∗).
Теорема 4 знайшла застосування для дослiдження операторiв, якi досягають норми.
У роботi [13] полiпшено “рефлексивний” варiант теореми Лiнденштраусса про щiльнiсть
множини досягаючих норми операторiв — показано, що ядерне збурення можна взяти
з одновимiрною областю значень. Також для рефлексивних банахових просторiв доведе-
но щiльнiсть множини бiлiнiйних неперервних вiдображень, якi досягають норми.
Сформулюємо декiлька проблем, пов’язаних з узагальненням теореми 4.
Задача 1. Нехай задано множину X та злiченну сiм’ю функцiоналiв {fn}, якi задо-
вольняють умовам з теореми 4. Чи можна для довiльного ε > 0 обрати такий x∗ ∈ E∗
з ‖x∗‖E∗ < ε, що задачi
fn + x∗ → sup
X
мають розв’язки?
Задача 2. Аналогiчне питання для злiченної сiм’ї множин {Xn}.
Задача 3. Цiкаво було б одержати результат типу теореми 4 для задачi векторної макси-
мiзацiї. З деякими результатами для задачi векторної мiнiмiзацiї можна ознайомитися в [14].
Нехай E, F — банаховi простори, причому F — напiвупорядкований замкненим опуклим
гострим конусом K, f : E → F — K-опуклий K-напiвнеперервний знизу оператор, X ⊆ E.
Припустимо, що задача пошуку K-максимальних точок множини f(X) = {f(x) : x ∈ X}
не має розв’язкiв.
Коли можна стверджувати, що для довiльного ε > 0 iснує такий оператор A ∈ L(E,F )
з ‖A‖L(E,F ) < ε, що задача векторної максимiзацiї
f + A → K − sup
X
має розв’язок?
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 57
1. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. – Москва: Мир, 1979. – 399 с.
2. Behrends E. New proofs of Rosenthal’s l
1 theorem and the Josefson-Nissenzweig theorem // Bulletin of
the Polish Academy of Sciences. – 1995. – 43. – P. 283–295.
3. Семенов В.В., Ляшко С.И., Кацев М.В. Замечания о достижимости супремума выпуклым функ-
ционалом // Пробл. управления и информатики. – 2006. – № 1–2. – С. 81–86.
4. Ekeland I. On the variational principle // J. Math. Anal. Appl. – 1974. – 47. – P. 324–353.
5. Borwein J., Preiss D. Smooth variational principle with applications to subdifferentiability of convex
functions // Trans. Amer. Math. Soc. – 1987. – 303. – P. 517–527.
6. Deville R. Nouveaux principes variationnelles. Sem. Init. ’a l’Analyse (ed. G. Choquet, G. Godefroy,
M. Rogalsky, J. Saint-Raymond). 30-e Anne’s. – 1990. – 91, No 21.
7. Bishop E., Phelps R.R. The support functional of a convex set. In: Convexity. Proc. Sym. Pure Math.
(V. Klee, Ed.) // Amer. Math. Soc. – 1963. – 7. – P. 27–35.
8. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. – Киев: Выща шк., 1980. – 215 с.
9. Brondsted A., Rockafellar R. T. On the subdifferentiability of convex functions // Proc. AMS. – 1965. –
16. – P. 605–611.
10. Stegall C. Optimization of functions on certain subsets of Banach spaces // Math. Ann. – 1978. – 236. –
P. 171–176.
11. Lindenstrauss J. On operators which attain their norm // Israel J. Math. – 1963. – 3. – P. 139–148.
12. Zizler V. On some extremal problems in Banach spaces // Math. Scand. – 1973. – 32. – P. 214–224.
13. Семенов В.В. Про щiльнiсть множин лiнiйних операторiв та бiлiнiйних форм, що досягяють норми //
Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 2006. – Вип. 3. – С. 294–296.
14. Finet C. Perturbed minimization principles in partially ordered Banach spaces. – Institut de Mathematique
et d’Informatique. Universite de Mons-Hainaut. Preprint 2, 2000. – С. 1–16.
Надiйшло до редакцiї 07.09.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1661 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:26:26Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кацев, М.В. Семенов, В.В. 2008-09-01T14:32:12Z 2008-09-01T14:32:12Z 2007 Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації / В.В. Семенов, М.В. Кацев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 51-58. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1661 517.9 We prove that, for any convex, Lipschitz, and lsc function f defined on a weakly compact convex set X in a Banach space E and for any ε > 0, there is x* E* with ||x*||E* < ε such that f + x* attains its supremum on X. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації Article published earlier |
| spellingShingle | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації Кацев, М.В. Семенов, В.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| title_full | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| title_fullStr | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| title_full_unstemmed | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| title_short | Лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| title_sort | лінійний варіаційний принцип в опуклій максимізації |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1661 |
| work_keys_str_mv | AT kacevmv líníiniivaríacíiniiprincipvopuklíimaksimízacíí AT semenovvv líníiniivaríacíiniiprincipvopuklíimaksimízacíí |