Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами
Охарактеризовано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое m-фазовое солитоноподобное решение. Предложено понятие многообразия начальных значений для задачи Коши, при которых такое...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166128 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.I. Самойленко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1640–1657. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166128 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.I. 2020-02-18T05:38:37Z 2020-02-18T05:38:37Z 2014 Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.I. Самойленко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1640–1657. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166128 517.9 Охарактеризовано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое m-фазовое солитоноподобное решение. Предложено понятие многообразия начальных значений для задачи Коши, при которых такое решение существует. Доказаны теоремы об оценке разности между точным и построенным асимптотическим решением упомянутой выше задачи We describe the set of initial conditions under which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients has an asymptotic multiphase solitonlike solution. The notion of manifold of initial values for which the above-mentioned solution exists is proposed for the analyzed Cauchy problem. The statements on the estimation of the difference between the exact and constructed asymptotic solutions are proved for the Cauchy problem. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами Asymptotic multiphase solitonlike solutions of the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| spellingShingle |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.I. Статті |
| title_short |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort |
асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі коші для сингулярно збуреного рівняння kортевега – де фріза зі змінними коефіцієнтами |
| author |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.I. |
| author_facet |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Ю.I. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Asymptotic multiphase solitonlike solutions of the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients |
| description |
Охарактеризовано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кортевега-де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое m-фазовое солитоноподобное решение. Предложено понятие многообразия начальных значений для задачи Коши, при которых такое решение существует. Доказаны теоремы об оценке разности между точным и построенным асимптотическим решением упомянутой выше задачи
We describe the set of initial conditions under which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients has an asymptotic multiphase solitonlike solution. The notion of manifold of initial values for which the above-mentioned solution exists is proposed for the analyzed Cauchy problem. The statements on the estimation of the difference between the exact and constructed asymptotic solutions are proved for the Cauchy problem.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166128 |
| citation_txt |
Асимптотичні багатофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Kортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Ю.I. Самойленко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 12. — С. 1640–1657. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT samoilenkovg asimptotičníbagatofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoûi asimptotičníbagatofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkovg asymptoticmultiphasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoûi asymptoticmultiphasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients |
| first_indexed |
2025-11-26T10:24:44Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:24:44Z |
| _version_ |
1850618661379768320 |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI
КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We describe the set of initial conditions under which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg – de Vries
equation with variable coefficients has an asymptotic multiphase soliton-like solution. The notion of manifold of initial
values for which the above-mentioned solution exists is proposed for the analyzed Cauchy problem. Statements on the
estimation of the difference between the exact and constructed asymptotic solutions are proved for the Cauchy problem.
Охарактеризовано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного урав-
нения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое m-фазовое солитоноподобное
решение. Предложено понятие многообразия начальных значений для задачи Коши, при которых такое решение
существует. Доказаны теоремы об оценке разности между точным и построенным асимптотическим решением
упомянутой выше задачи.
1. Вступ. Дослiдження сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза бере свiй початок
iз класичних праць [1 – 3], де для рiвняння
ut − 6uux + ε2uxxx = 0 (1)
з початковою умовою
u(x, 0, ε) = f(x) (2)
вивчалася границя розв’язку задачi Кошi (1), (2) при ε→ 0.
Для знаходження цiєї границi в [1 – 3] використано iдею Коула – Хопфа, яку вперше [4, 5]
було застосовано при дослiдженнi границi розв’язку сингулярно збуреного рiвняння Бюргерса
ut + uux = εuxx,
коли малий параметр ε прямує до нуля.
Якщо у випадку рiвняння Бюргерса використовувалася замiна змiнних, яка згодом дiстала
назву пiдстановки Коула – Хопфа, при якiй рiвняння Бюргерса зводиться до (лiнiйного) рiвняння
теплопровiдностi, то у випадку рiвняння Кортевега – де Фрiза це рiвняння лiнеаризовувалось
(у певному сенсi) за допомогою схеми оберненої задачi розсiювання. При цьому в рамках цiєї
схеми вiдповiдний оператор Шредiнгера мiстив малий параметр при другiй похiднiй i вiдповiднi
данi розсiювання записувалися за допомогою ВКБ-зображень. За певних початкових умов, коли
потенцiал згаданого вище оператора Шредiнгера є безвiдбивним i точний розв’язок задачi Кошi
(1), (2) можна записати у явному виглядi (див. формулу (1.20) в [1]), знаходження (слабкої)
границi розв’язку задачi Кошi (1), (2) зводилося до розв’язання певної задачi про мiнiмiзацiю
деякого квадратичного функцiонала, яка в свою чергу редукувалася до задачi Рiмана – Гiльберта.
За допомогою чисельних експериментiв було встановлено [1 – 3] iснування такого значення
часу t∗, яке не залежить вiд малого параметра ε, що при всiх t > t∗ розв’язок задачi (1), (2) є
осциляцiйним при ε → 0. Оскiльки довжина хвилi такого розв’язку має порядок O(ε) i його
c© В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО, 2014
1640 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1641
амплiтуда не залежить вiд ε, то при ε → 0 iснує лише слабка границя розв’язку задачi Кошi
(1), (2).
Слабка границя розв’язку задачi Кошi (1), (2) при ε → 0 дослiджувалася чисельними
методами. Зокрема, в [6] на основi методу скiнченних елементiв Релея – Рiтца запропоновано
чисельний метод, за допомогою якого знайдено слабку границю розв’язку задачi Кошi (1), (2)
(при ε→ 0) i розглянуто низку частинних випадкiв, зокрема, коли початкова функцiя в (2) має
вигляд u(x) = min (x2 − 1, 0). Зауважимо, що ця функцiя, як i у випадку розглянутої в [1 – 3]
задачi Кошi (1), (2), є недодатною, має лише одну точку мiнiмуму i при |x| → ∞ прямує до нуля
швидше нiж будь-який степiнь |x|, тобто задовольняє всi припущення [1 – 3] щодо початкової
функцiї в (2), крiм умови диференцiйовностi.
Не менш важливим є дослiдження задачi Кошi для сингулярно збуреного рiвняння Корте-
вега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами, оскiльки саме такi рiвняння використовуються при
вивченнi динамiки рiдини змiнної глибини. З цього приводу варто згадати пiонерську статтю
[7], де розглянуто одне сингулярно збурене рiвняння гiдродинамiки зi змiнними коефiцiєнтами.
Проте якщо при дослiдженнi рiвняння (1) ефективно використовувався метод оберненої задачi
розсiювання, то у випадку диференцiальних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами чи не єдиним
пiдходом при їх вивченнi є методи асимптотичного аналiзу.
Вiдомо, що при спецiальному виборi початкових умов задача Кошi для рiвняння Корте-
вега – де Фрiза має так званi солiтоннi розв’язки [8, 9]. Постає природне питання: при яких
початкових умовах задача Кошi для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi
змiнними коефiцiєнтами має асимптотичнi розв’язки, якi за своєю структурою є подiбними до
солiтонних? Саме вивченню цього питання i присвячено дану статтю.
У статтi розглядається задача Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцi-
єнтами вигляду
ε2vxxx = a(x, t, ε)vt + b(x, t, ε)vvx, (3)
v(x, 0, ε) = f(x, ε), (4)
де
a(x, t, ε) =
∞∑
k=0
ak(x, t)ε
k, b(x, t, ε) =
∞∑
k=0
bk(x, t)ε
k, (5)
функцiї ak(x, t), bk(x, t) ∈ C∞(R × [0;T ]), k ≥ 0, причому a0(x, t) 6= 0, b0(x, t) 6= 0 при всiх
(x, t) ∈ R× [0;T ].
Зауважимо, що дослiдженню задачi Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза i його узагаль-
нень присвячено значну кiлькiсть праць [10 – 21], огляд яких наведено у [22]. Зокрема, питання
про iснування розв’язку задачi Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєн-
тами вивчалося в [19 – 21], де отримано умови iснування узагальнених розв’язкiв задачi Кошi
для рiвняння Кортевега – де Фрiза i умови, при яких ця задача має розв’язок у просторi швидко
спадних функцiй.
У данiй статтi, використовуючи iдеї нелiнiйного методу ВКБ [23], наведено опис множини
початкових умов, за яких згадана вище задача Кошi (3), (4) має асимптотичний багатофазовий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1642 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
солiтоноподiбний розв’язок [24], та доведено теорему про оцiнку мiж точним i побудованим
асимптотичним розв’язком згаданої вище задачi. Цi результати доповнюють i узагальнюють
аналогiчнi результати для задач про побудову асимптотичних одно- та двофазового солiтоно-
подiбного розв’язкiв задачi Кошi (3), (4), якi отримано у [22, 25].
2. Основнi припущення i позначення. У подальшому використовується простiр швидко
спадних функцiй S = S(R), тобто простiр таких нескiнченно диференцiйовних на множинi R
функцiй, що для довiльних цiлих чисел m, n ≥ 0 виконується умова [26]
sup
x∈R
∣∣∣∣xm d n
dx n
u(x)
∣∣∣∣ < +∞.
Через C∞(0, T ;S) позначимо простiр нескiнченно диференцiйовних на множинi R × [0;T ]
функцiй u(x, t), для яких при довiльних цiлих m, k > 0 виконується умова
+∞∫
−∞
(
Dm
x D
k
t u
)2
dx+
+∞∫
−∞
(
1 + x2
)m (
Dk
t u
)2
dx <∞.
Аналогiчно [7, 27] позначимо черезG1 = G1(R×[0;T ]×R) лiнiйний простiр таких нескiнченно
диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ), (x, t, τ) ∈ R×[0;T ]×R, що для довiльних невiд’ємних
цiлих чисел n, p, q, r рiвномiрно щодо (x, t) на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ R × [0;T ]
виконуються двi умови:
10) справджується спiввiдношення
lim
τ→+∞
τn
∂ p
∂ xp
∂ q
∂ t q
∂ r
∂τ r
f(x, t, τ) = 0, (x, t) ∈ K;
20) iснує така нескiнченно диференцiйовна функцiя f−(x, t), що
lim
τ→−∞
τn
∂ p
∂xp
∂ q
∂tq
∂ r
∂τ r
(
f(x, t, τ)− f−(x, t)
)
= 0, (x, t) ∈ K.
Нехай G0
1 = G0
1(R × [0;T ] × R) ⊂ G1 — простiр таких нескiнченно диференцiйовних
функцiй f = f(x, t, τ) ∈ G1, (x, t, τ) ∈ R × [0;T ] ×R, що рiвномiрно щодо змiнних (x, t) на
кожному компактi K ⊂ R× [0;T ] виконується умова
lim
τ→−∞
f(x, t, τ) = 0.
Позначимо також при кожному натуральному n ≥ 2 через G0
n = G0
n(R × [0;T ] × Rn)
лiнiйний простiр таких нескiнченно диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ1, τ2, . . . , τn), де
(x, t, τ1, τ2, . . . , τn) ∈ R× [0;T ]×Rn, якi задовольняють умову: при кожному k = 1, n iснують
такi функцiї f±k = f±k (x, t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τn) ∈ G0
n−1(R × [0;T ] × Rn−1), що для
довiльних невiд’ємних цiлих чисел α, β, σ та мультиiндексу γ = (γ1, γ2, . . . , γn) має мiсце
спiввiдношення
lim
τk→±∞
ταk
∂β
∂xβ
∂σ
∂tσ
∂γ
∂τγ
(f − f±k ) = 0.
Цю рiвнiсть i аналогiчнi їй рiвностi далi слiд розумiти як два спiввiдношення: окремо для
функцiй f+
k i окремо для функцiй f−k , при цьому змiнна τk, за якою обчислюється границя,
прямує вiдповiдно до +∞ або −∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1643
Означення 1 [24, 27]. Функцiя v(x, t, ε) називається асимптотичною m-фазовою солiто-
ноподiбною, якщо для довiльного цiлого числаN ≥ 0 для функцiї v(x, t, ε) має мiсце зображення
вигляду
v(x, t, ε) = YN
(
x, t,
S1(x, t)
ε
,
S2(x, t)
ε
, . . . ,
Sm(x, t)
ε
, ε
)
+O(εN+1), (6)
де
YN (x, t, τ1, τ2, . . . , τm, ε) =
N∑
j=0
εj [vj(x, t) + Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm)] , (7)
τ1 =
S1(x, t)
ε
, τ2 =
S2(x, t)
ε
, . . . , τm =
Sm(x, t)
ε
,
Sk = Sk(x, t), k = 1,m, — деякi нескiнченно диференцiйовнi функцiї змiнних (x, t) ∈ R× [0;T ],
причому
∂Sk
∂x
∣∣∣∣∣
Γk
6= 0, Γk = {(x, t) ∈ R × [0;T ], Sk(x, t) = 0}, k = 1,m; uj(x, t), (x, t) ∈
∈ R × [0;T ], j = 1, N, — нескiнченно диференцiйовнi функцiї; Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m,
j = 0, N. При цьому змiннi τ1, τ2, . . . , τm в (7) вважаються незалежними.
Кривi Γk, k = 1,m, називаються кривими розриву.
У подальшому використовується стандартне для асимптотичного аналiзу позначення: запис
Ψ(x, t, ε) = O
(
εN
)
при ε → 0 означає, що iснують такi величина ε0 > 0 i стала C > 0, яка
залежить вiд числа N i вiд компакта K ⊂ R× [0;T ], що |Ψ(x, t, ε)| ≤ C εN для всiх ε ∈ (0; ε0)
i всiх (x, t) ∈ K.
3. Побудова асимптотичного розв’язку задачi Кошi (3), (4). Асимптотичний багатофа-
зовий солiтоноподiбний розв’язок задачi Кошi (3), (4) шукається у виглядi (6). Його регулярна
частина визначається за допомогою алгоритму, який описано у статтях [25, 28], а сингулярна
частина — iз деякої системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними третього по-
рядку зi змiнними коефiцiєнтами. На вiдмiну вiд попереднiх дослiджень [24] у данiй статтi
при побудовi сингулярної частини асимптотики не вимагається виконання умов про рiвнiсть
коефiцiєнтiв a0(x, t), b0(x, t) та головного члена регулярної частини асимптотики v0(x, t) на
кривих розриву Γk, k = 1,m. Цих обмежень вдається уникнути за рахунок того, що рiвнян-
ня (3) замiною v(x, t, ε) = u(x, t, ε)/b(x, t, ε) зводиться до диференцiального рiвняння, в якому
коефiцiєнт при нелiнiйному доданку uux є сталим.
Пiсля виконання зазначеної вище замiни рiвняння (3) набирає вигляду
ε2uxxx = a(x, t, ε)ut + uux − 3 ε2b(x, t, ε)
∂
∂ x
(
1
b(x, t, ε)
)
uxx−
−3 ε2b(x, t, ε)
∂ 2
∂ x2
(
1
b(x, t, ε)
)
ux − ε2b(x, t, ε)
∂ 3
∂ x3
(
1
b(x, t, ε)
)
u+
+b(x, t, ε)
∂
∂ x
(
1
b(x, t, ε)
)
u2 + a(x, t, ε)b(x, t, ε)
∂
∂ t
(
1
b(x, t, ε)
)
u. (8)
Асимптотичний m-фазовий солiтоноподiбний розв’язок рiвняння (8) шукається у виглядi
u(x, t, ε) = YN (x, t, ε) +O(εN+1), (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1644 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
де
YN (x, t, ε) =
N∑
j=0
εj (uj(x, t) + Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm)) , τk =
x− ϕk(t)
ε
, k = 1,m.
Щодо функцiй ϕk(t), t ∈ [0;T ], k = 1,m, припускається, що цi функцiї є нескiнченно дифе-
ренцiйовними i задовольняють умову ϕk(0) = 0, k = 1,m.
Функцiя
UN (x, t, ε) =
N∑
j=0
εjuj(x, t)
називається регулярною частиною асимптотики (9), а функцiя
VN (t, τ1, τ2, . . . , τm, ε) =
N∑
j=0
εjVj(t, τ1, τ2, . . . , τm)
— сингулярною частиною асимптотики (9). Очевидно, що при цьому виконується рiвнiсть
YN (x, t, ε) = UN (x, t, ε) + VN (t, τ1, τ2, . . . , τm, ε).
Регулярна частина UN (x, t, ε) =
∑N
j=0
εjuj(x, t) асимптотики (9) визначається iз системи
диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними першого порядку вигляду
a0(x, t)
∂u0
∂t
+ u0
∂u0
∂x
+
+a0(x, t)b0(x, t)
∂
∂ t
(
1
b0(x, t)
)
u0 + b0(x, t)
∂
∂ x
(
1
b0(x, t)
)
u2
0 = 0, (10)
a0(x, t)
∂uj
∂t
+ u0
∂uj
∂ x
+ uj
∂u0
∂ x
+
+b0(x, t)
(
a0(x, t)
∂
∂ t
(
1
b0(x, t)
)
+ 2
∂
∂ x
(
1
b0(x, t)
)
u0
)
uj = Fj(x, t), j = 1, N, (11)
де функцiї Fj(x, t), j = 1, N , знаходяться рекурентним чином за функцiями u0(x, t), u1(x, t), . . .
. . . , uj−1(x, t).
Розв’язок квазiлiнiйного рiвняння (10) i лiнiйних рiвнянь (11) можна знайти методом харак-
теристик [28].
Сингулярна частина VN (t, τ1, τ2, . . . , τm, ε) =
∑N
j=0
εjVj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) асимптотики
(9) визначається з системи диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними вигляду
m∑
p,q,r=1
∂3V0
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
p=1
(
−a0(x, t)ϕ′p(t) + u0(x, t)
) ∂V0
∂τp
+ V0
m∑
p=1
∂V0
∂τp
, (12)
m∑
p,q,r=1
∂3Vj
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
p=1
(
−a0(x, t)ϕ′p(t) + u0(x, t)
) ∂Vj
∂τp
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1645
+
V0
m∑
p=1
∂Vj
∂τp
+ Vj
m∑
p=1
∂V0
∂τp
+ Fj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, (13)
де функцiї Fj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N , визначаються рекурентним чином пiсля знаходжен-
ня функцiй V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), V1(t, τ1, τ2, . . . , τm), . . . , Vj−1(t, τ1, τ2, . . . , τm).
Рiвняння (12) є квазiлiнiйним однорiдним диференцiальним рiвнянням iз частинними похiд-
ними третього порядку щодо змiнних τ1, τ2, . . . , τm, а рiвняння (13) — лiнiйними неоднорiдними
диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними щодо цих же змiнних, причому згаданi
рiвняння мiстять t в якостi параметра.
Враховуючи, що функцiї Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 0,m, як елементи простору G0
m мають на
нескiнченностi певну асимптотику по τk, k = 1,m, коефiцiєнти сингулярної частини асимпто-
тики можна будувати як розв’язки системи диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними
вигляду
m∑
p,q,r=1
∂3V0
∂τp∂τq∂τr
= −a0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
ϕ′k(t)
∂V0
∂τk
+
+u0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
∂V0
∂τk
+
m∑
k=1
V0
∂V0
∂τk
, s = 1,m, (14)
m∑
p,q,r=1
∂3Vj
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
k=1
(
u0(ϕs(t), t)− a0(ϕs(t), t)ϕ
′
k(t)
) ∂Vj
∂τk
+
+
m∑
k=1
(
V0
∂Vj
∂τk
+ Vj
∂V0
∂τk
)
+ Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1,m. (15)
Iншими словами, рiвняння (12), (13) для Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 0,m, можна розглядати в
околi кожної з кривих x = ϕs(t), s = 1,m.
Значення функцiй Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N , при кожному s = 1,m у (15) знаходяться
рекурентним чином пiсля вiдповiдного визначення функцiй
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), V1(t, τ1, τ2, . . . , τm), . . . , Vj−1(t, τ1, τ2, . . . , τm)
iз рiвнянь (14), (15).
У подальшому розглядається питання про побудову головного члена сингулярної части-
ни асимптотики i доводиться оцiнка для рiзницi мiж точним i побудованим асимптотичним
розв’язком задачi (3), (4).
З цiєю метою розглянемо допомiжне рiвняння для визначення головного члена сингулярної
частини асимптотики вигляду
m∑
p,q,r=1
∂3V̄0
∂τp∂τq∂τr
= −
m∑
k=1
a0(ϕk(t), t)ϕ
′
k(t)
∂V̄0
∂τk
+
+
m∑
k=1
u0(ϕk(t), t)
∂V̄0
∂τk
+
m∑
k=1
V̄0
∂V̄0
∂τk
, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1646 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
де u0(x, t) — головний член регулярної частини асимптотики (9), а змiнна t розглядається як
параметр.
Для знаходження розв’язку рiвняння (16) скористаємося формулами для солiтонних розв’яз-
кiв рiвняння Кортевега – де Фрiза зi сталими коефiцiєнтами. Для цього проведемо в (16) редук-
цiю згiдно з формулами
τk = ξ − γk(t)η, k = 1,m, (17)
де
γk(t) = −a0(ϕk(t), t)ϕ
′
k(t) + u0(ϕk(t), t), (18)
ξ, η — новi незалежнi змiннi.
Очевидно, що у випадку, коли функцiя
V̄0(ξ, η) = V̄0(ξ − γ1(t)η, ξ − γ2(t)η, . . . , ξ − γm(t)η) (19)
є розв’язком рiвняння
∂3V̄0
∂ξ3
− V̄0
∂V̄0
∂ξ
+
∂V̄0
∂η
= 0, (20)
функцiя V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm), яку отримано з (19) з урахуванням (17), задовольняє рiвняння (16).
Рiвняння (20) за допомогою масштабних перетворень ξ =
√
6 x, η = 6
√
6 τ зводиться до
класичного рiвняння Кортевега – де Фрiза
∂3V̄0
∂x3
− 6V̄0
∂V̄0
∂x
+
∂V̄0
∂τ
= 0, (21)
m-солiтонний розв’язок якого записується у виглядi [8, 9]
V̄0(x, τ) = −2
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, τ)). (22)
Тут E — одинична (m ×m)-матриця, коефiцiєнти (m ×m)-матрицi G = (gij)i,j=1,m мають
вигляд
gij = gij(x, τ) = ci(τ) cj(τ)
e−(κi+κj)x
κi + κj
, (23)
де cj(τ) = cj(0) exp (4κ3
jτ); κj > 0, j = 1,m, — власнi значення задачi Штурма – Лiувiлля, що
асоцiйована з рiвнянням (21), cj(0), j = 1,m, — довiльнi дiйснi сталi.
Враховуючи структуру матрицi G(x, τ) в (22), можна знайти функцiю V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm),
яка є розв’язком допомiжного рiвняння (16).
Значення κj , j = 1,m, в (23) визначено спiввiдношеннями
κ2
j =
3
2
γj(t), (24)
де величини γj(t), j = 1,m, заданi формулами (18) i задовольняють умову γj(t) > 0, j = 1,m,
при всiх t ∈ [0;T ].
Таким чином,m-солiтонний розв’язок рiвняння (16) можна записати за допомогою формули
V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) = −2
(
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, τ))
) ∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjτ, j=1,m
. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1647
У подальшому буде показано, що в якостi головного члена сингулярної частини асимптотич-
ного розв’язку (9) рiвняння (8) можна взяти функцiю V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm)/b0(x, t), де функцiя
V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) має вигляд (25) i належить простору G0
m за побудовою.
Використовуючи явний вигляд функцiї V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) з (25), можна описати умови для
початкової функцiї f(x, ε) у (4) задачi Кошi (3), (4). Дiйсно, поклавши t = 0, τk = x/ε, k = 1,m,
в (25), отримаємо, що функцiя u(x, 0, ε) = f(x, ε) повинна належати множинi
M0
ϕ1,ϕ2,...,ϕm
(ε) =
= − 2
b0(x, 0)
( ∂2
∂x2
ln det (E +G(x, τ))
) ∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjτ, j=1,m
∣∣∣∣∣
τj :=x
ε
,j=1,m
, (26)
де функцiї x = ϕj(t), j = 1,m, t ∈ [0;T ], такi, що мають мiсце умови γj(t) > 0, t ∈ [0;T ],
j = 1,m.
Множина M0
ϕ1,ϕ2,...,ϕm
(ε) називається [22] многовидом початкових умов для задачi про
побудову головного члена асимптотичного m-фазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Ко-
шi (3), (4).
Таким чином, має мiсце теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) функцiї a0(x, t), b0(x, t) належать C∞(R × [0;T ]) i такi, що a0(x, t) 6= 0, b0(x, t) 6= 0
для всiх (x, t) ∈ R× [0;T ];
2) iснують такi функцiї x = ϕj(t) ∈ C∞([0;T ]), j = 1,m, що ϕj(0) = 0, j = 1,m, i для
них виконуються умови
γj(t) = −a0(ϕj(t), t)ϕ
′
j(t) + u0(ϕj(t), t) > 0, t ∈ [0;T ];
3) задача Кошi для квазiлiнiйного рiвняння (10) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x),
x ∈ R, де функцiя g0(x) належить C∞(R), має розв’язок u0(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]);
4) в умовi (4) початкова функцiя має вигляд f(x, ε) = g0(x) + f0(x, ε), де f0(x, ε) ∈
∈M0
ϕ1,ϕ2,...,ϕm
(ε).
Тодi функцiя
Y0(x, t, ε) =
u0(x, t)
b0(x, t)
+
1
b0(x, t)
V̄0
(
t,
x− ϕ1(t)
ε
,
x− ϕ2(t)
ε
, . . . ,
x− ϕm(t)
ε
)
(27)
є головним членом асимптотичного m-фазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Кошi (3),
(4) i задовольняє (при ε→ 0) задачу Кошi (3), (4) з точнiстю O(1).
Доведення. Пiдставимо функцiю Y0(x, t, ε) iз (27) у рiвняння (3) i домножимо отриманий
вираз на ε. Тодi, враховуючи рiвняння (10) i (16) для головних членiв регулярної та сингулярної
частин асимптотики (9), бачимо, що для доведення теореми 1 потрiбно оцiнити вираз
g0(x, t, ε) = ε3 ∂
3
∂x3
(
u0(x, t)
b0(x, t)
)
+ 3ε
∂
∂x
(
1
b0(x, t)
) m∑
p,k=1
∂2V̄0
∂τp∂τk
+
+3ε2 ∂
2
∂x2
(
1
b0(x, t)
) m∑
k=1
∂V̄0
∂τk
+ ε3 ∂
3
∂x3
(
1
b0(x, t)
)
V̄0−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1648 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
−εā(x, t, ε)
∂
∂t
(
u0(x, t)
b0(x, t)
)
+
ā(x, t, ε)
b0(x, t)
m∑
k=1
ϕ′k(t)
∂V̄0
∂τk
+
+
m∑
k=1
ϕ′k(t)
a0(x, t)− a0(ϕk(t), t)
b0(x, t)
∂V̄0
∂τk
−
−εa(x, t, ε) V̄0
∂
∂t
(
1
b0(x, t)
)
− ε b̄(x, t, ε)
b0(x, t)
u2
0
∂
∂x
(
1
b0(x, t)
)
−
−ε b̄(x, t, ε)
b0(x, t)
u0
∂u0
∂x
− εb(x, t, ε)
b0(x, t)
1
b0(x, t)
u0V̄0−
−ε b̄(x, t, ε)
b0(x, t)
∂u0
∂x
V̄0 −
1
b0(x, t)
m∑
k=1
(u0(x, t)− u0(ϕk(t), t))
∂V̄0
∂τk
−
− b̄(x, t, ε)
b20(x, t)
m∑
k=1
u0(x, t)
∂V̄0
∂τk
− b̄(x, t, ε)
b20(x, t)
V̄0
m∑
k=1
∂V̄0
∂τk
−
− b̄(x, t, ε)
b20(x, t)
u0(x, t)
∂
∂x
(
1
b0(x, t)
)
V̄0 −
b̄(x, t, ε)
b20(x, t)
∂
∂x
(
1
b0(x, t)
)
V̄ 2
0 , (28)
де
ā(x, t, ε) = a(x, t, ε)− a0(x, t), b̄(x, t, ε) = b(x, t, ε)− b0(x, t),
функцiю V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) та її частиннi похiднi за змiнними t, τk, k = 1,m, обчислено при
τk = (x− ϕk(t))/ε, k = 1,m.
Покажемо, що в (28) g0(x, t, ε) = O(ε) при ε → 0, де (x, t) ∈ R × [0;T ]. Оскiльки функцiї
a(x, t, ε), b(x, t, ε) належaть C∞(R× [0;T ]× (0; ε0]), ā(x, t, ε) = O(ε), b̄(x, t, ε) = O(ε), (x, t) ∈
∈ R× [0;T ], при ε→ 0, V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить G0
m, то для знаходження асимптотичної
оцiнки для функцiї g0(x, t, ε), ε→ 0, досить розглянути лише вирази
1
b0(x, t)
m∑
k=1
ϕ′k(t) (a0(x, t)− a0(ϕs(t), t))
∂V̄0
∂τk
,
1
b0(x, t)
m∑
k=1
(u0(x, t)− u0(ϕk(t), t))
∂V̄0
∂τk
.
(29)
Оцiнимо перший вираз у (29). Для цього розглянемо довiльний компакт K ⊂ R × [0;T ],
який мiстить кривi Γk = {(x, t) ∈ R × [0;T ] : x = ϕk(t), t ∈ [0;T ]}, k = 1,m, з деяким їх
δ-околом. Тодi, оскiльки a0(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]), для всiх (x, t) ∈ K має мiсце нерiвнiсть
|a0(x, t)− a0(ϕk(t), t)| ≤ C|x− ϕk|,
де стала C залежить лише вiд компакта K.
Отже, для всiх (x, t) ∈ K маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1649∣∣∣∣∣ 1
b0(x, t)
m∑
k=1
(a0(x, t)− a0(ϕk(t), t))ϕ
′
k(t)
∂V̄0
∂τk
∣∣∣∣∣ ≤ εC
∣∣∣∣∣ 1
b0(x, t)
m∑
k=1
τkϕ
′
k(t)
∂V̄0
∂τk
∣∣∣∣∣ . (30)
Вираз у правiй частинi (30) пiд знаком модуля є обмеженим для всiх t ∈ [0;T ], τ1, τ2, . . .
. . . , τm ∈ R, оскiльки виконуються умови:
10) b0(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]) i b0(x, t) 6= 0 для всiх (x, t) ∈ R× [0;T ];
20) ϕk(t) ∈ C∞([0;T ]), k = 1,m, а тому функцiї ϕ ′k(t), k = 1,m, є обмеженими
для всiх t ∈ [0;T ];
30) функцiя ∂V̄0/∂τk належить простору швидко спадних щодо змiнної τk функцiй при
кожному τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm ∈ R.
Таким чином, перший вираз у (29) має порядок ε.
Аналогiчно показується, що й iнший вираз у (29) має порядок ε.
Отже, g0(x, t, ε) = O(ε), (x, t) ∈ R × [0;T ], ε → 0, тобто функцiя Y0(x, t, ε) задовольняє
рiвняння (3) з точнiстю O(1). Крiм того, згiдно з умовою 4 теореми 1 функцiя Y0(x, t, ε)
задовольняє початкову умову (4) з точнiстю O(1), ε→ 0.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай виконуються такi умови:
1) справджуються умови 1, 2, 4 теореми 1;
2) функцiя a(x, t, ε), має вигляд a(x, t, ε) = a(x, ε), ε ∈ [0; ε0], i задовольняє умову c1 ≤
≤ a(x, ε) ≤ c2, x ∈ R, де сталi c1 та c2 такi, що c1c2 > 0;
3) iснує розв’язок u = u(x, t, ε) задачi Кошi (3), (4), що належить простору C∞(0, T ;S),
для якого має мiсце нерiвнiсть
|||u(x, t, ε)− Y0(x, t, ε)|||
∣∣∣∣∣
t=0
≤ Cε,
де C — деяка стала, що не залежить вiд ε, норму ||| · ||| визначено згiдно з формулою [19]
|||f ||| =
√
‖f‖2 + ε4‖fxx‖2,
де
‖f‖ =
∫
R
f2(x, t, ε)dx
1/2
;
4) розв’язок задачi Кошi для рiвняння (10) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x), x ∈ R,
де функцiя g0(x) ∈ S(R), належить простору C∞(0, T ;S).
Тодi для точного та наближеного розв’язкiв задачi Кошi (3), (4) має мiсце оцiнка вигляду
|||u(x, t, ε)− Y0(x, t, ε)|||2 ≤ C0ε
3/2, t ∈ [0; ε2T ], (31)
де C0 — деяка стала, що не залежить вiд ε, T — деяке додатне число.
При доведеннi теореми 2 необхiдно оцiнити певнi iнтеграли по промiжку R вiд виразiв, що
мiстять функцiю iз простору швидко спадних функцiй та її похiднi. Тому встановимо спочатку
допомiжнi твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1650 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Лема 1. Нехай функцiя f(x) належить S(R). Тодi мають мiсце нерiвностi∫
R
∣∣f2(x)f ′(x)
∣∣ dx ≤ ‖f‖2 sup
x∈R
(1 + |f ′
(x)|2), (32)
∫
R
∣∣ f(x)(f ′′(x))2
∣∣ dx ≤ ‖f ′′‖2 sup
x∈R
(1 + |f(x)|2), (33)
∫
R
∣∣ f ′(x)(f ′′(x))2
∣∣ dx ≤ ‖f ′′‖2 sup
x∈R
(1 + |f ′
(x)|2), (34)
∫
R
∣∣∣ f(x)f ′(x)f
′′
(x)
∣∣∣ dx ≤ ‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
(1 + |f ′
(x)|2), (35)
∫
R
∣∣∣ (f ′(x))2f
′′
(x)
∣∣∣ dx ≤ ‖f ′‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
(1 + |f ′
(x)|2). (36)
При доведеннi спiввiдношень (32) – (36) використовуються нерiвнiсть Буняковського [29,
с. 566, 914] i загальнi властивостi функцiй iз простору S(R).
Лема 2. Нехай функцiя b(x) належить C2(R) i задовольняє для всiх x ∈ R та деякої
сталої C > 0 умову max(|b(x)|, |b′(x)|, |b′′(x)|) < C. Тодi для довiльної функцiї f(x) ∈ S(R)
справджуються оцiнки∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x)f2(x)f ′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ C‖f‖2
(
1 + 2 ‖f ′′‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖
)
, (37)
∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x)f(x)f ′(x)f (IV )(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C‖f‖
[
‖f‖+ 4‖f ′′‖+ 4‖f‖ ‖f ′′‖2 +
(
2 + 5‖f‖ ‖f ′′‖+ 5‖f ′′‖2
)√
‖f‖ ‖f ′′‖
]
. (38)
Доведення. Оскiльки для будь-якої функцiї f(x) iз простору швидко спадних функцiй
S(R) виконуються рiвностi
|f(x)|2 = 2
x∫
−∞
f(x)f ′(x)dx,
∫
R
|f ′(x)|2dx =
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f(x)f ′′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ , (39)
то на пiдставi нерiвностi Буняковського звiдси знаходимо
|f(x)|2 ≤ 2‖f‖ ‖f ′‖, ‖f ′‖2 ≤ ‖f‖‖f ′′‖, (40)
тобто
|f(x)|2 ≤ 2 ‖f‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖. (41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1651
З огляду на те, що для всiх f(x) ∈ S(R) виконується тотожнiсть
|f ′(x)|2 = 2
x∫
−∞
f ′(x) f ′′(x)dx,
на пiдставi нерiвностi Буняковського, враховуючи (40), аналогiчно (41) отримуємо
|f ′(x)|2 ≤ 2 ‖f ′′‖
√
‖f ′‖ ‖f ′′‖. (42)
Тодi з (32) i (42) випливає нерiвнiсть (37).
Тепер покажемо, що має мiсце нерiвнiсть (38). Розглянемо вираз у лiвiй частинi цiєї нерiв-
ностi. Враховуючи, що f(x) ∈ S(R), iнтегруванням за частинами знаходимо∫
R
b(x)f(x)f ′(x)f (IV )(x)dx =
5
2
∫
R
b(x)f ′(x)(f ′′(x))2dx+
+
3
2
∫
R
b′(x)f(x)(f ′′(x))2dx+ 2
∫
R
b′(x)(f ′(x))2f ′′(x)dx+
∫
R
b′′(x)f(x)f ′(x)f ′′(x)dx. (43)
Оцiнимо кожен iз доданкiв правої частини рiвностi (43). Враховуючи умови леми 2, нерiв-
нiсть (42) та спiввiдношення (34), (33), (36), (35) вiдповiдно, маємо∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x)f ′(x)(f ′′(x))2dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ C‖f ′′‖2
(
1 + 2‖f ′′‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖
)
,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
b′(x)f(x)(f ′′(x))2dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ C ‖f ′′‖2
(
1 + 2‖f‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖
)
,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
b′(x)(f ′(x))2f ′′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ C ‖f ′′‖√‖f‖ ‖f ′′‖
(
1 + 2 ‖f ′′‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖
)
,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
b′′(x)f(x)f ′(x)f ′′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ C‖f‖ ‖f ′′‖
(
1 + 2‖f ′′‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖
)
,
звiдки випливає нерiвнiсть (38).
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай функцiя b(x) задовольняє умови леми 2. Тодi для всiх функцiй f(x), g(x) ∈
∈ S(R) виконуються нерiвностi∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x) f(x) ( f(x) g(x) )′ dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖√‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
|b(x)g(x)|, (44)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1652 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x) (f(x)g(x))′ f (IV )(x) dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
|h′1(x)|+
+‖f ′′‖
√
‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
|h′2(x)|+ ‖f ′′‖2 sup
x∈R
|h′3(x)|, (45)
де
h1(x) = b′(x)g′(x) + b(x)g′′(x),
h2(x) = b′(x)g(x) + 3b(x)g′(x), h3(x) =
3
2
b(x)g(x).
(46)
Доведення. Встановимо спочатку нерiвнiсть (44). Оскiльки f(x), g(x) належать S(R), то
має мiсце рiвнiсть ∫
R
b(x)f(x)(f(x)g(x))′ dx =
= −
∫
R
b′(x)f2(x)g(x) dx−
∫
R
b(x)f(x)f ′(x)g(x) dx. (47)
Оцiнюючи кожен iз доданкiв правої частини рiвностi (47), знаходимо∣∣∣∣∣∣
∫
R
b′(x)f2(x)g(x) dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2 sup
x∈R
|b′(x)g(x)|,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
b(x)f(x)f ′(x)g(x) dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖√‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
|b(x)g(x)|,
звiдки випливає нерiвнiсть (44).
Доведемо нерiвнiсть (45). Iнтегруючи двiчi частинами i враховуючи, що f(x), g(x) ∈ S(R),
лiву частину (45) можна записати таким чином:∫
R
b(x) (f(x)g(x))′ f (IV )(x)dx =
∫
R
h′1(x)f(x)f ′′(x)dx+
+
∫
R
h′2(x)f ′(x)f ′′(x)dx+
∫
R
h′3(x)(f ′′(x))2dx. (48)
Тодi, враховуючи умови леми 3 i використовуючи нерiвнiсть Буняковського, для кожного з
iнтегралiв у правiй частинi (48) отримуємо∣∣∣∣∣∣
∫
R
h′1(x)f(x)f ′′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f‖ ‖f ′′‖ sup
x∈R
|h′1(x)|,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1653∣∣∣∣∣∣
∫
R
h′2(x)f ′(x)f ′′(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f ′′‖√‖f‖‖f ′′‖ sup
x∈R
|h′2(x)|,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
h′3(x)(f ′′(x))2dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖f ′′‖2 sup
x∈R
|h′3(x)|,
звiдки випливає твердження леми 3.
Доведення теореми 2. Для отримання оцiнки (31) зведемо рiвняння (3) за допомогою
замiни τ = t/a(x, ε) до рiвняння вигляду
ε2uxxx = uτ + b(x, a(x, ε)τ, ε)uux.
Далi будемо використовувати позначення b1(x, τ, ε) = b(x, a(x, ε)τ, ε), тобто розглядати рiвнян-
ня вигляду
ε2uxxx = uτ + b1(x, τ, ε)uux, (49)
яке еквiвалентне рiвнянню (3) згiдно з умовою 2 теореми 2.
Розглянемо рiзницю ω(x, τ, ε) = u(x, τ, ε) − Ỹ0(x, τ, ε), де u(x, t, ε) — розв’язок рiвняння
(49), Ỹ0(x, τ, ε) = Y0(x, a(x, ε)τ, ε). Нагадаємо, що функцiю Y0(x, a(x, t, ε), ε) визначено фор-
мулою (27).
Враховуючи рiвнiсть u(x, τ, ε) = ω(x, τ, ε)+Ỹ0(x, τ, ε), для функцiї ω = ω(x, τ, ε) знаходимо
рiвняння
ε2∂
3ω
∂x3
=
∂ω
∂τ
+ b1(x, τ, ε)ω
∂ω
∂x
+ b1(x, τ, ε)
∂
∂x
(
ω Ỹ0(x, τ, ε)
)
+ h0(x, τ, ε), (50)
де
h0(x, τ, ε) =
∂Ỹ0(x, τ, ε)
∂τ
+ b1(x, τ, ε) Ỹ0(x, τ, ε)
∂Ỹ0(x, τ, ε)
∂x
− ε2 ∂
3Ỹ0(x, τ, ε)
∂x3
.
Зауважимо, що з побудови асимптотичного розв’язку Y0(x, t, ε) випливає асимптотичне
спiввiдношення h0(x, τ, ε) = O(1), ε→ 0.
Домножимо рiвняння (50) на вираз ω + ε4ωxxxx та зiнтегруємо отримане спiввiдношення
за змiнною x в межах вiд −∞ до +∞. Враховуючи, що ω(x, τ, ε) ∈ C∞(0, T ;S), отриману
рiвнiсть можна записати таким чином:
0 =
∫
R
(
ω + ε4ωxxxx
)
ωτ dx+
∫
R
b1(x, τ, ε)
(
ω + ε4ωxxxx
)
ωωx dx+
+
∫
R
b1(x, τ, ε)
∂
∂x
(
ωỸ0(x, τ, ε)
) (
ω + ε4ωxxxx
)
dx+
∫
R
h0(x, τ, ε)
(
ω + ε4ωxxxx
)
dx. (51)
Оцiнимо кожен iз доданкiв у (51). Оскiльки ω(x, τ, ε) ∈ C∞(0, T ;S), то маємо рiвностi∫
R
ω ωτ dx =
1
2
d
dτ
||ω||2,
∫
R
ωτ ωxxxx dx =
1
2
d
dτ
||ωxx||2 ,
а отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1654 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО∫
R
(
ω + ε4ωxxxx
)
ωτdx =
1
2
d
dτ
|||ω|||2.
З леми 2 випливає нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣
∫
R
b1(x, τ, ε)
(
ω + ε4ωxxxx
)
ω ωx dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2C‖ω‖2
(
1 + ‖ω′′‖
√
‖ω‖ ‖ω′′‖
)
+
+ε4C‖ω‖
[
4‖ω′′‖+ 4‖ω‖ ‖ω′′‖2 + (2 + 5‖ω‖ ‖ω′′‖+ 5‖ω′′‖2 )
√
‖ω‖ ‖ω′′‖
]
. (52)
З леми 3 (див. (44), (45)) випливає нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣
∫
R
b1(x, τ, ε)
d
dx
(
ωỸ0(x, τ, ε)
) (
ω + ε4ωxxxx
)
ω ωx dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ε4‖ω‖ ‖ω′′‖ sup
x∈R
|A1(x, τ, ε)|+ ε4‖ω′′‖2 sup
x∈R
|A2(x, τ, ε)|+
+
√
‖ω‖ ‖ω′′‖
(
‖ω‖ sup
x∈R
|A3(x, τ, ε)|+ ε4‖ω′′‖ sup
x∈R
|A4(x, τ, ε)|
)
, (53)
де
A1(x, τ, ε) =
∂
∂x
(
∂b1(x, τ, ε)
∂x
∂Ỹ0(x, τ, ε)
∂x
+ b1(x, τ, ε)
∂2Ỹ0(x, τ, ε)
∂x2
)
,
A2(x, τ, ε) =
3
2
∂
∂x
(
b1(x, τ, ε)Ỹ0(x, τ, ε)
)
, A3(x, τ, ε) = b1(x, τ, ε)Ỹ0(x, τ, ε),
A4(x, τ, ε) =
∂
∂x
(
∂b1(x, τ, ε)
∂x
Ỹ0(x, τ, ε) + 3 b1(x, τ, ε)
∂Ỹ0(x, τ, ε)
∂x
)
.
(54)
Враховуючи, що функцiї h0(x, τ, ε), ω(x, τ, ε) належать простору швидко спадних щодо
змiнної x функцiй, маємо∣∣∣∣∣∣
∫
R
h0 ω dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖h0‖ ‖ω‖,
∣∣∣∣∣∣
∫
R
h0 ωxxxx dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖h0xx‖ ‖ωxx‖, (55)
звiдки отримуємо ∣∣∣∣∣∣
∫
R
h0
(
ω + ε4ωxxxx
)
ω dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖h0‖ ‖ω‖+ ε4‖h0xx‖ ‖ωxx‖.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1655
Тодi, враховуючи (52) – (55), з (51) знаходимо
1
2
d
dτ
|||ω|||2 ≤ 2C‖ω‖2
(
1 + ‖ω′′‖
√
‖ω‖ ‖ω′′‖
)
+
+ε4C‖ω‖
[
4‖ω′′‖+ 4‖ω‖ ‖ω′′‖2 +
(
2 + 5‖ω‖ ‖ω′′‖+ 5‖ω′′‖2
)√
‖ω‖ ‖ω′′‖
]
+
+ε4‖ω‖ ‖ω′′‖ sup
x∈R
|A1(x, τ, ε)|+ ε4‖ω′′‖2 sup
x∈R
|A2(x, τ, ε)|+
+
√
‖ω‖ ‖ω′′‖
(
‖ω‖ sup
x∈R
|A3(x, τ, ε)|+ ε4‖ω′′‖ sup
x∈R
|A4(x, τ, ε)|
)
+
+‖h0‖ ‖ω‖+ ‖ε2h0xx‖ ‖ε2ωxx‖, (56)
де функцiї Ak(x, τ, ε), k = 1, 4, визначено згiдно з формулами (54).
Зауважимо, що функцiї Ak(x, τ, ε), k = 1, 4, при ε → 0 задовольняють асимптотичнi спiв-
вiдношення
A1(x, τ, ε) = O(ε−3), A2(x, τ, ε) = O(ε−1),
A3(x, τ, ε) = O(ε−1), A4(x, τ, ε) = O(ε−2).
Перетворимо праву частину нерiвностi (56) таким чином, щоб отримати функцiю вiд
|||ω|||2 = ‖ω‖2 + ε4‖ωxxxx‖2. З цiєю метою розглянемо такi випадки:
a) ||ω|| ≥ 1, ||ε2ωxx|| ≥ 1;
b) ||ω|| ≤ 1, ||ε2ωxx|| ≤ 1;
c) ||ω|| ≤ 1, ||ε2ωxx|| ≥ 1;
d) ||ω|| ≥ 1, ||ε2ωxx|| ≤ 1.
Позначимо y = y(τ) = |||ω|||2. Тодi у випадку a) з нерiвностi (56) отримуємо спiввiдношен-
ня
1
2
dy
dτ
≤ C1ε
−3y4 + C2, (57)
де C1, C2 — деякi сталi, що не залежать вiд малого параметра ε. Звiдси, видiливши повний
квадрат та iнтегруючи, врахувавши умову 3 теореми 2, знаходимо
y(τ) ≤ C3ε
3/2, τ ∈ [0; ε3/2T ],
де C3 — деяка стала.
У випадку b) з нерiвностi (56) одеpжуємо спiввiдношення
1
2
dy
dτ
≤ C4ε
−3y3/2 + C5, (58)
де C4, C5 — деякi сталi, що не залежать вiд малого параметра ε. Звiдси, iнтегруючи та врахо-
вуючи умову 3 теореми 2, знаходимо
y(τ) ≤ C6ε
2, τ ∈ [0; ε2T ],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
1656 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
де C6 > 0 — деяка стала.
У випадках c), d) з нерiвностi (56) отримуємо спiввiдношення
1
2
dy
dτ
≤ C7ε
−3y4 + C8, (59)
де C7, C8 — деякi сталi, що не залежать вiд малого параметра ε. Звiдси, як i у випадку a),
знаходимо нерiвнiсть
y(τ) ≤ C9ε
3/2, τ ∈ [0; ε3/2T ],
де C9 > 0 — деяка стала.
Враховуючи умову 2 теореми 2, з (57) – (59) отримуємо нерiвнiсть (31).
Теорему 2 доведено.
Висновки. У цiй статтi описано множину початкових умов, для яких задача Кошi для сингу-
лярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами має асимптотичний
m-фазовий солiтоноподiбний розв’язок. Запропоновано поняття многовиду початкових значень
для задачi Кошi, при яких такий розв’язок iснує. Доведено теорему про оцiнку мiж точним i
побудованим асимптотичним розв’язком згаданої вище задачi.
1. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. I // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 3. – P. 253 – 290.
2. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. II // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 5. – P. 571 – 593.
3. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. III // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 6. – P. 809 – 829.
4. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = µuxx // Communs Pure and Appl. Math. – 1950. – 3. –
P. 201 – 230.
5. Cole J. D. On a quasi-linear parabolic equation occuring in aerodynamics // Quart. Appl. Math. – 1951. – 9. – P. 225 –
236.
6. McLaughlin D. W., Strain J. A. Computing the weak limit of KdV // Communs Pure and Appl. Math. – 1994. – 47,
№ 10. – P. 1319 – 1364.
7. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией //
Успехи мат. наук. – 1981. – 36, вып. 3 (219). – С. 63 – 124.
8. Gardner C. S., Greene J. M., Kruscal M. D., Miura R. M. Korteweg – de Vries equation and generalizations. VI.
Methods for exact solutions // Communs Pure and Appl. Math. – 1974. – 27. – P. 97 – 133.
9. Hirota R. Exact solutions of the Korteweg – de Vries equation for multiple collisions of solutions // Phys. Rev. Lett. –
1971. – 27. – P. 1192 – 1194.
10. Sjoberg A. On the Korteweg – de Vries equation: existence and uniqueness // J. Math. Anal. and Appl. – 1970. – 29,
№ 3. – P. 569 – 579.
11. Хруслов Е. Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза с начальными данными
типа ступеньки // Мат. сб. – 1976. – 99 (141), № 2. – C. 261 – 281.
12. Egorova I., Grunert K., Teschl G. On Cauchy problem for the Korteweg – de Vries equation with step-like finite gap
initial data I. Schwartz-type perturbations // Nonlinearity. – 2009. – 22. – P. 1431 – 1457.
13. Баранецкий В. Б., Котляров В. П. Асимптотическое поведение в области заднего фронта решения уравнения
КдФ с начальным условием “типа ступеньки” // Теор. и мат. физика. – 2001. – 126, № 2. – C. 214 – 227.
14. Kato T. On the Korteweg – de Vries equation // Manuscr. math. – 1979. – 28. – P. 89 – 99.
15. Якупов В. М. О задаче Коши для уравнения Кортевега – де Фриса // Дифференц. уравнения. – 1976. – 11, № 3. –
С. 556 – 561.
16. Аркадьев В. А., Погребков А. К., Поливанов М. К. Сингулярные решения уравнения КдВ и метод обратной
задачи // Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. IV: Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1984. – 133. –
С. 17 – 37.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
АСИМПТОТИЧНI БАГАТОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI . . . 1657
17. Похожаев С. И. О сингулярных решениях уравения Кортевега – де Фриза // Мат. заметки. – 2010. – 88, вып. 5. –
C. 770 – 777.
18. Похожаев С. И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Кортевега – де Фриза // Совр. математика.
Фундам. направления. – 2011. – 39. – С. 141 – 150.
19. Фаминский А. В. Задача Коши для уравнения Кортевега – де Фриза и его обобщений // Тр. сем. им. И. Г. Пет-
ровского. – 1988. – Вып. 13. – С. 56 – 105.
20. Кружков С. Н., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза //
Мат. сб. – 1983. – 120, № 3. – C. 396 – 425.
21. Faminskii A. V., Bashlykova I. Yu. Weak solutions to one initial-boundary value problem with three boundary
conditions for quasilinear evolution equations of the third order // Ukr. Math. Bull. – 2008. – 5, № 1. – P. 83 – 98.
22. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Двофазовi солiтоноподiбнi розв’язки задачi Кошi для сингулярно збуреного
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 11. – C. 1515 – 1530.
23. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
24. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Асимптотичнi m-фазовi солiтоноподiбнi розв’язки сингулярно збуреного
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 7. – C. 970 – 987.
25. Самойленко Ю. I. Однофазовi солiтоноподiбнi розв’язки задачi Кошi для сингулярно збуреного рiвняння
Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами (випадок спецiальних початкових умов) // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2012. – 9, № 2. – C. 327 – 340.
26. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. – М.: Наука, 1978. – 280 с.
27. Maslov V. P., Omel’yanov G. A. Geometric asymptotics for PDE. I. – Providence: Amer. Math. Soc., 2001. – 243 p.
28. Самойленко Ю. I. Iснування в просторi швидко спадних функцiй та властивостi розв’язку рiвняння з частин-
ними похiдними першого порядку з квадратичною нелiнiйнiстю // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2014. – 11, № 1. – C. 316 – 325.
29. Математическая энциклопедия: В 5 т. – М.: Сов. энцикл., 1977. – Т. 1. – 1151 с.
Одержано 26.02.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 12
|