Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту
Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводится к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования. A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical fo...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166144 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту / І.Г. Ключник // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 625–642. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859479933420568576 |
|---|---|
| author | Ключник, І.Г. |
| author_facet | Ключник, І.Г. |
| citation_txt | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту / І.Г. Ключник // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 625–642. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводится к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования.
A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical form and the properties of the transformation matrix are investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:45:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
I. Г. Ключник (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ
A system of linear differential equations with a small parameter of a part of derivatives is reduced to a
canonical form and properties of the transformation matrix are studied.
Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводит-
ся к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования.
У роботах [1, 2] розглянуто сингулярно збуренi системи з простою, кратною та дво-
ма точками звороту. В цих випадках в [1, 2] запропоновано асимптотичне зведення
сингулярно збуреної системи до деякого канонiчного вигляду, а також розглянуто
можливостi формальної блочної дiагоналiзацiї системи. При цьому використано
функцiї Ейрi, Вебера та Уiттекера. До основних методiв побудови асимптотичного
iнтегрування лiнiйних диференцiальних рiвнянь з точками звороту вiдносяться ме-
тоди Р. Лангера, В. Вазова, А. А. Дороднiцина, Цваана – Федорюка, метод зшивання
та узгодження асимптотик. Основнi iдеї цих методiв i огляд лiтератури з методiв
асимптотичного iнтегрування задач з точками звороту наведено в [1 – 4]. У роботi
[5] запропоновано явний вигляд функцiй Ai(x), якi є розв’язком диференцiального
рiвняння ym = xy (m > 2, m — парне), i через цi функцiї виражено фундаменталь-
ну матрицю системи рiвнянь Z ′ = B(x)Z, в якiй B(x) — (m×m)-вимiрна матриця,
яка має вигляд B(x) = xI1 + N, N — нiльпотентна матриця, I1 — матриця з єди-
ним ненульовим елементом {I1}m1 = 1. У роботi [6] викладено метод зведення
сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з простою точкою звороту
розмiрностi m, m > 2, вигляду
εy′ = A(x, ε)y
до системи з основною матрицею B0(x), яка визначається рiвнiстю B0(x) = xI2 +
+ N, в якiй I2 — (m×m)-вимiрна матриця, елементи якої визначаються з рiвностi
{I2}m1 = 1, {I2}mj = xaj(x), aj(0) 6= 0, j = 2,m.
У статтi [7] уперше розглянуто лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з
малим параметром при частинi похiдних вигляду
ỹ′ = Ã(x)ỹ + Ã1(x)y1,
εy′1 =
(
B(x) + εB1(x)
)
y1 + εB̃2(x)ỹ,
(1)
де ỹ ∈ Rp, y1 ∈ R2; Ã(x), Ã1(x), B1(x), B̃2(x) — матрицi, якi голоморфнi при
|x| ≤ x0; B(x) — матриця вигляду B̃(x) =
(
0 1
x 0
)
, ε — малий дiйсний параметр.
За допомогою перетворення
(
ỹ
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
система (1) зводиться до системи
вигляду
u′ = C(ε)v,
εv′ = B(x)v + εD(ε)u,
де C(ε), D(ε), Φ(x, ε) є формальними рядами
c© I. Г. КЛЮЧНИК, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5 625
626 I. Г. КЛЮЧНИК
C(ε) =
∞∑
n=0
εnCn, D(ε) =
∞∑
n=0
εnDn, Φ(x, ε) =
∞∑
n=0
εnΦn(x),
в яких Cn, Dn — сталi, а матрицi Φn(x) голоморфнi при |x| ≤ x0 i det Φ0(x) ≡ 1.
У данiй статтi розглядається лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим
параметром при частинi похiдних вигляду (1), для якої ỹ ∈ Rp, y1 ∈ Rm, m —
парне додатне число, а B(x) — (m×m)-вимiрна матриця рiвняння з [5]. Для роз-
глядуваної системи пропонується зведення системи диференцiальних рiвнянь (1)
з точкою звороту до деякої канонiчної форми. Доведено нескiнченну диференцi-
йовнiсть матриць, якi входять в одержану систему, по дiйсних значеннях малого
додатного параметра, а також нескiнченну диференцiйовнiсть матрицi перетворен-
ня за дiйсними незалежною змiнною та параметром.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь (1), в якiй ỹ ∈ Rp, y1 ∈ Rm;
Ã(x), Ã1(x), B1(x), B̃2(x) — голоморфнi матрицi при |x| ≤ x0; B(x) = xI1 +N ; ε
— малий дiйсний додатний параметр i 0 ≤ ε ≤ ε0. Будемо вважати, що
trB1(x) = tr Ã(x) ≡ 0, (2)
оскiльки цього завжди можна досягнути за допомогою перетворень
y = exp
1
p
x∫
0
tr Ã(x)dx
z, y1 = exp
1
m
x∫
0
trB1(x)dx
z1,
якi переводять матрицi Ã(x), B1(x) вiдповiдно в матрицi Ã(x) − 1
p
tr(Ã(x))I,
B1(x)− 1
m
tr(B1(x))I.
Виконуючи в (1) замiну за формулою ỹ = Ωx0(Ã(x))y i позначаючи A1(x) =
=
(
Ωx0(Ã(x))
)−1
Ã1(x), B2(x) = B̃2(x)Ωx0(Ã(x)), маємо
y′ = A1(x)y1, (3)
εy′1 =
(
B(x) + εB1(x)
)
y1 + εB2(x)y.
У роботi буде показано, як за допомогою перетворення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
cu
v
)
сис-
тему (3) можна звести до вигляду
u′ = C1(ε)v, (4)
εv′ = B(x)v + εD1(ε)u, (5)
де Φ(x, ε) — блочна матриця вигляду
Φ(x, ε) =
(
U(x, ε) V1(x, ε)
U1(x, ε) V (x, ε)
)
, (6)
а матрицi U(x, ε), V1(x, ε), U1(x, ε), V (x, ε) мають розвинення за степенями ε :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 627
U(x, ε) = U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x), U1(x, ε) =
∞∑
n=1
εnUn1(x),
V (x, ε) = V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x), V1(x, ε) =
∞∑
n=1
εnVn1(x).
(7)
Матрицi C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, за аналогiєю з [8] за коефiцiєнтами фор-
мальних рядiв
∑∞
n=0
Cnε
n,
∑∞
n=0
Dnε
n та (7), якi будуть визначенi у п. 1, побу-
дуємо у виглядi збiжних рядiв
C1(ε) = C0 +
∞∑
n=1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
, D1(ε) = D0 +
∞∑
n=1
Ãnε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
, (8)
Φ1(x, ε) = U(x) +
∞∑
n=1
F1n(x)εn
‖F1n(x)‖0ε+ p1n∆̃n1
,
Φj(x, ε) =
∞∑
n=1
Fjn(x)εn
‖Fjn(x)‖0ε+ pjn∆̃nj
, j = 2, 3, (9)
Φ4(x, ε) = V (x) +
∞∑
n=1
F4n(x)εn
‖F4n(x)‖0ε+ p4n∆̃n4
,
де
B̃n = Cn +K1n, Ãn = Dn +K2n, F1n(x) = Un(x) +Kn1(x),
F2n(x) = Vn1(x) +Kn2(x), F3n(x) = Un1(x) +Kn3(x),
F4n(x) = Vn(x) +Kn4(x), n ≥ 1, (10)
∆n =
‖B̃n‖, якщо B̃n 6= 0,
1, якщо B̃n = 0,
∆n1 =
‖Ãn‖, якщо Ãn 6= 0,
1, якщо Ãn = 0,
∆̃nj =
‖Fjn(x)‖0, якщо ‖Fjn(x)‖0 6= 0,
1, якщо ‖Fjn(x)‖0 = 0,
j = 1, 4, n ≥ 1;
K1n, K2n, Knj(x), j = 1, 4, — коефiцiєнти при εn у розвиненнi вiдповiдно рацiо-
нальних функцiй
n−1∑
i=1
B̃iε
i
‖B̃i‖ε+ p5i∆i
,
n−1∑
i=1
Ãiε
i
‖Ãi‖ε+ p6n∆i1
,
n−1∑
i=1
Fji(x)εi
‖Fji(x)‖0ε+ pji∆̃ij
(11)
за зростаючими степенями ε, K11 = K21 = K1j(x) ≡ 0, j = 1, 4; ‖Fjn(x)‖0 =
= max
x
∥∥Fjn(x)
∥∥;
pjn =
1
‖Fjn(x)‖0
, якщо ‖Fjn(x)‖0 6= 0,
1, якщо ‖Fjn(x)‖0 = 0,
j = 1, 4,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
628 I. Г. КЛЮЧНИК
p5n =
1
‖B̃n‖0
, якщо B̃n 6= 0,
1, якщо B̃n = 0,
p6n =
1
‖Ãn‖0
, якщо Ãn 6= 0,
1, якщо Ãn = 0.
(12)
У випадку B̃n 6= 0 оцiнимо n-й член одного iз рядiв (8) таким чином:∥∥∥∥∥ B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
∥∥∥∥∥ ≤ εn−1
0 .
Отже, ряди (8) рiвномiрно збiжнi при 0 ≤ ε ≤ ε0. Ряд, одержаний почленним
диференцiюванням ряду з (8) k разiв, має вигляд
∞∑
n=1
′ B̃n
‖B̃n‖
k−1∑
j=0
(−1)jCjkj!n(n− 1) . . . (n− k + j + 1)εn−k+j
(ε+ p5n)j+1
+
(−1)kk!εn
(ε+ p5n)k+1
,
(13)
де Cjk — число сполук з k елементiв по j;
∑′
— сума ненульових елементiв. Кожен
член ряду (13) при n ≥ k + 1 мажорується так:∥∥∥∥∥∥
(
B̃nε
n
‖B̃n‖(ε+ p5n)
)(k)
∥∥∥∥∥∥ ≤ fknεn−k−1
0 ,
де
fkn = k! +
k−1∑
j=0
Cjkj!n(n− 1) . . . (n− k + j + 1).
Таким чином, матричнi функцiї C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, є нескiнченно
диференцiйовними при |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0. Використовуючи (11), знаходимо
явний вигляд матрицi K1n:
K1n =
n−1∑
j=1
(−1)n−j+1B̃j
‖B̃j‖pn+1−j
5j
, n ≥ 2. (14)
Враховуючи (14), записуємо матрицю C1(ε) у виглядi
C1(ε) = C0 +
m∑
n=1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
=
= C0 +
B̃1ε
‖B̃1‖p51
+
m∑
n=2
′
εn
(
B̃n
‖B̃n‖p5n
−K1n
)
+
+
m∑
n=1
′ B̃nε
n
‖B̃n‖
∞∑
r=m−n+1
(−1)rεr
pr+1
5n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
=
=
m∑
n=0
Cnε
n +
m∑
n=1
′ B̃nε
n
‖B̃n‖
∞∑
r=m−n+1
(−1)rεr
pr+1
5n
+
∞∑
n=m+1
B̃nε
n
‖B̃n‖ε+ p5n∆n
. (15)
З (15) та аналогiчного зображення функцiй (9) випливає, що матричнi функцiї
C1(ε), D1(ε), Φj(x, ε), j = 1, 4, мають асимптотичнi розвинення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 629
C1(ε) ∼
∞∑
n=0
Cnε
n, D1(ε) ∼
∞∑
n=0
Dnε
n,
Φ1(x, ε) ∼ U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x), Φ2(x, ε) ∼
∞∑
n=1
εnVn1(x), (16)
Φ3(x, ε) ∼
∞∑
n=1
εnUn1(x), Φ4(x, ε) ∼ V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
при ε→ 0 на множинi |x| ≤ x0.
1. Формальне зведення системи (3) до системи (4), (5). Згiдно з виглядом
рiвнянь (3) – (5) матриця Φ(x, ε) задовольняє матричне диференцiальне рiвняння
εΦ′ + Φ
(
0 εC1(ε)
εD1(ε) B(x)
)
=
(
0 εA1(x)
εB2(x) B(x) + εB1(x)
)
Φ. (17)
Пiдставляючи (7), (15) в (17) i зрiвнюючи коефiцiєнти при нульовому степенi ε,
одержуємо рiвняння
U ′(x) = 0, (18)
U(x)C0 + V11(x)B(x) = A1(x)V (x), (19)
V (x)D0 = B2(x)U(x) +B(x)U11(x), (20)
V (x)B(x) = B(x)V (x). (21)
З рiвнянь (18) i (21) знаходимо
U(x) ≡ Ĩ , V (x) = q0m(x)I +
m−1∑
r=1
q0r(x)Bm−r(x), (22)
де q0i(x), i = 1,m, — довiльнi голоморфнi функцiї в областi |x| ≤ x0, Ĩ, I —
одиничнi матрицi. Для визначення q0i(x), i = 1,m, використаємо рiвняння, якi
одержують, зрiвнюючи в (17) з урахуванням (7), (15) коефiцiєнти при першому
степенi параметра ε :
U ′1(x) + V11(x)D0 = A1(x)U11(x), (23)
V ′11(x) + U(x)C1 + U1(x)C0 + V21(x)B(x) = A1(x)V1(x), (24)
U ′11(x) + V (x)D1 + V1(x)D0 = B2(x)U1(x) +B1(x)U11(x) +B(x)U21(x), (25)
V ′(x) + V1(x)B(x) = B(x)V1(x) +B1(x)V (x). (26)
Згiдно з лемами з [6] для iснування розв’язку рiвнянь (26) необхiдно i достатньо
виконання наступних умов:
tr
(
(V ′(x)−B1(x)V (x))Bk(x)
)
= 0, k = 0,m− 1, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
630 I. Г. КЛЮЧНИК
а також можна довести спiввiдношення
tr
(
Bj(x)
)
=
0, 1 ≤ j ≤ m− 1,
0, j > m,
mx, j = m,
tr
(
Bj(x)B′(x)
)
=
0, 1 ≤ j < m− 1,
0, j ≥ m,
1, j = m− 1,
j = 1, 2m− 2.
(28)
Пiдставляючи (22) в рiвняння (26) i використовуючи умови iснування (27) для одер-
жаних рiвнянь, а також спiввiдношення tr
(
B1(x)Bm+i(x)
)
= x tr
(
B1(x)Bi(x)
)
,
i = 0,m− 2, i (28), отримуємо рiвняння для знаходження функцiй q0i(x), i = 1,m :
mq′0m(x) =
m−1∑
r=0
bm−r−1(x)q0,r+1(x),
(29)
mxq′0,j−1(x) =
j−2∑
r=1
xbj−r−1(x)q0r(x)+
+
m−j∑
r=0
bm−r−1(x)q0,j+r(x) + xb0(x)q0,j−1(x)− (m− j + 1)q0,j−1(x), j = 2,m,
де b0(x) = trB1(x), bi(x) = tr (B1(x)Bi(x)), i = 1,m− 1. Записуючи (29) у
матричному виглядi i домножаючи обидвi частини одержаного рiвняння злiва на
матрицю B(x), маємо
xq′0(x) = H(x)q0(x), (30)
де H(x) = T1 +
1
m
B(x)T2(x); T1 — стала дiагональна матриця з дiагональними
елементами {T1}rr = −m− r
m
, r = 1,m, а матриця T2(x) визначається таким
чином: {T2}kr = tr(B1(x)Bm−1+k−r(x)), k = 1,m, r = 1,m. З явного вигляду
матрицi H(x) випливає, що матриця H(0) має власнi значення λi = −m− i
m
,
i = 1,m, тому згiдно з теорiєю диференцiальних рiвнянь з регулярною особливiстю
з [1] випливає, що система (30) має ненульовий голоморфний в областi |x| ≤ x0
розв’язок q0(x) такий, що q0m(0) = 1, q0i(0) = 0, i = 1,m− 1. Пiдставивши
знайденi функцiї U(x), V (x) у виглядi (22) в рiвняння (19), (20), одержимо рiвняння
для визначення C0, D0, U11(x), V11(x). Помноживши (19) справа на матрицю
Bm−1(x), а (20) злiва на Bm−1(x) i поклавши в одержаних рiвняннях x = 0,
визначимо елементи матриць C0, D0 за формулами
{C0}i1 =
{
A1(0)V (0)
}
i1
, {C0}ij = 0, {D0}mi =
{
B2(0)Ĩ
}
mi
,
{D0}si = 0, i = 1, p, j = 2,m, s = 1,m− 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 631
Вигляд матриць C0, D0 дає можливiсть записати формули для V11(x), U11(x)
V11(x) =
1∫
0
F ′(tx)dt, U11(x) =
1∫
0
G′(tx)dt,
якi визначають голоморфнi функцiї в областi |x| ≤ x0, де
F (x) = A1(x)V (x)Bm−1(x)− ĨC0B
m−1(x),
G(x) = Bm−1(x)V (x)D0 −Bm−1(x)B2(x)Ĩ .
Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (7) при ε у першому степенi маємо
систему рiвнянь (23) – (26). Покладаючи U1(0) = 0, з рiвняння (23) однозначно
знаходимо U1(x), а загальний розв’язок рiвняння (26) визначається за формулою
V1(x) = q1m(x)I +
m−1∑
r=1
q1r(x)Bm−r(x) +W1(x), (31)
де W1(x) — частинний розв’язок рiвняння (26). Зрiвнюючи коефiцiєнти при ε у
другому степенi в (7), (17), маємо рiвняння
V ′1(x) + U11(x)C0 + V2(x)B(x) = B(x)V2 +B2(x)V11 +B1(x)V1(x). (32)
Пiдставивши (31) в умову iснування розв’язку рiвняння (32) i помноживши знайде-
нi спiввiдношення злiва на матрицю B(x), одержимо неоднорiдну диференцiальну
систему рiвнянь з регулярною особливiстю вигляду
xq′1(x) = H(x)q1(x) + F (1)(x), (33)
де
F (1)(x) =
1
m
B(x)f (1)(x),
{
f (1)(x)
}
i
= tr
((
B1(x)W1(x) +B2(x)V11(x)−
−U11(x)C0 −W ′1(x)
)
Bi−1(x)
)
, i = 1,m,
q1(x) — вектор з компонентами q1i(x), i = 1,m. Система рiвнянь (33) має голоморф-
ний в областi |x| ≤ x0 розв’язок q1(x) i q1m(0) = 0. Матрицi V21(x), U21(x), C1,
D1 однозначно знаходяться з рiвнянь (24), (25). Можна довести, що за вказаним
алгоритмом однозначно знаходяться довiльнi коефiцiєнти розвинень (7) i вони є
голоморфними функцiями в областi |x| ≤ x0.
Матриця (6) при ε = 0 має вигляд Φ(x, 0) =
(
U(x) 0
0 V (x)
)
, де U(x), V (x)
визначаються за формулами (22). Використовуючи явний вигляд (22) матрицi V (x),
знаходимо похiдну вiд визначника матрицi V (x) i в одержаних визначниках Ij ,
j = 1,m, виконуємо наступнi перетворення при x 6= 0. А саме, у визначнику Ij ,
j = 1,m− 1, j-й рядок помножимо на mx i скористаємося (29). В одержаному
визначнику i-й рядок при i = 1, j − 1 помножимо на −xbj−i(x), а i-й рядок при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
632 I. Г. КЛЮЧНИК
i = j + 1,m — на −bj+m−i(x) i додамо до j-го рядка, а потiм запишемо цей ви-
значник у виглядi суми двох визначникiв. У визначнику Im m-й рядок помножимо
на m i скористаємося (29). В одержаному визначнику j-й рядок помножимо на
−bm−j(x), j = 1,m− 1, i додамо до m-го рядка. В результатi отримаємо
Ij =
b0(x)
m
detV (x) +
1
mx
detLj ,
Im =
b0(x)
m
detV (x) +
1
m
detLm, j = 1,m− 1,
(34)
де
{Lj}ji =
(j − i)xq0,j−i(x), i = 1, j,
(j − i)q0,j+m−i, i = j + 1,m,
mx, j = m,
{Lm}mi = (m− i)q0,m−i(x),
{Lj}ki = {V (x)}ki, k = 1,m, k 6= j, i = 1,m.
Далi визначник detLj , j = 1,m, розкладемо по j-му рядку i одержаний вираз
згрупуємо при q01(x), q02(x), . . . , q0,m−1(x). При q01(x) маємо вираз
q01(x)
mx
((m− 1) detL11 − detL21 − . . .− detLm1),
де {L11}k1i = {L1}ki, k = 2,m, k1 = k − 1, i = 1,m− 1; {L21}k2i2 = {L2}ki,
i2 = i − 1, i = 2,m, k2 = k = 1, k2 = k − 1 при k = 3,m {Lm1}kim = {Lm}ki,
k = 1,m− 1, im = i, i = 1,m− 2, im = i− 1 при i = m.
За допомогою перестановок рядкiв i стовпцiв, використовуючи iдею з [9],
визначники матриць detLi1(x), i = 2,m, зводимо до detL11, звiдки одержуємо∑m
j=1
detLj = 0. Пiдставляючи (34) в (detV (x))′ i враховуючи останню рiвнiсть,
маємо (
detV (x)
)′
=
(
trB1(x)
)
detV (x), x 6= 0.
Оскiльки q0i(0) = 0, q0m(0) = 1, i = 1,m− 1, то iз формули (34) випливає, що
Ij(0) = q′0m(0), а також при x = 0 знаходимо q′0m(0) =
trB1(0)
m
. З останнiх двох
рiвностей маємо (detV (x))′|x=0 = trB1(0), що означає справедливiсть рiвностi
(detV (x))′ = (trB1(x)) detV (x) для кожного x з областi |x| ≤ x0.
За допомогою замiни u = Ṽ (ε)ω система (4), (5) зводиться до вигляду
ω′1 = c1(ε)v1, ω′i = 0, i = 2, p,
εv′ = B(x)v + εD2(ε)ω,
(35)
де v — m-вимiрний вектор з компонентами vi; cs(ε) = {C1(ε)}s1, s = 1, p, iншi
елементи матрицi C1(ε) дорiвнюють нулю; Ṽ (ε) — (p×p)-матриця з дiагональними
елементами, що дорiвнюють одиницi, в якої {Ṽ (ε)}i1 = γi(ε), а всi iншi елементи
дорiвнюють нулю, γi(ε) =
ci(ε)
c1(ε)
, i = 2, p, γ1(ε) ≡ 1 при умовi, що c1(ε) 6= 0;
D2(ε) = D1(ε)Ṽ (ε), D2(ε) — (m× p)-матриця, до того ж
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 633
d1j(ε) =
{
D2(ε)
}
pj
, d1j(ε) = d0j(ε) +
∞∑
n=1
anjε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
, j = 2, p,
d11(ε) =
p∑
r=1
γr(ε)
(
d0r +
∞∑
n=1
anrε
n
‖Ãn‖ε+ p6n∆n1
)
,
iншi елементи матрицi D2(ε) дорiвнюють нулю; dnj = {Dn}pj , anj = {Ãn}pj ,
j = 1, p, iншi елементи матрицi Ãn дорiвнюють нулю.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай матрицi системи рiвнянь (1) голоморфнi в областi |x| ≤
≤ x0. Тодi система рiвнянь (1) зводиться до системи (35) за допомогою пере-
творення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
. Матриця Φ(x, ε) задовольняє систему диференцi-
альних рiвнянь (17) i є голоморфною за змiнною x в областi |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0,
а також det Φ(x, 0) ≡ 1. Коефiцiєнти C1(ε), D1(ε) системи (17) зображають-
ся у виглядi рiвномiрно збiжних при 0 ≤ ε ≤ ε0 рядiв (8), в яких числа Cn, Dn,
n = 0, 1, . . . , визначаються з алгебраїчних рiвнянь (18) – (21), (23) – (26), (32). Мат-
рицi C1(ε), D1(ε) є нескiнченно диференцiйовними при 0 ≤ ε ≤ ε0 i мають асимп-
тотичнi розвинення (16).
2. Нескiнченна диференцiйовнiсть матрицi перетворення. Розглянемо блоч-
ну матрицю Φ∗(x, ε) вигляду
Φ∗(x, ε) =
Φ1(x, ε) Φ2(x, ε)
Φ3(x, ε) Φ4(x, ε)
, (36)
де Φj(x, ε), j = 1, 4, визначено в (9).
Виконаємо в системi (17) замiну
Φ(x, ε) = Z(x, ε) + Φ∗(x, ε),
де Z(x, ε) — блочна матриця з елементами Zj(x, ε), j = 1, 4. Тодi одержимо дифе-
ренцiальнi рiвняння
Z ′1 = A1(x)Z3 − Z2D1(ε) + F1(x, ε),
εZ ′2 = −Z2B(x)− εZ1C1(ε) + εA1(x)Z4 + F2(x, ε),
εZ ′3 = (B(x) + εB1(x))Z3 − εZ4D1(ε) + εB2(x)Z1 + F3(x, ε),
εZ ′4 = −Z4B(x) + (B(x) + εB1(x))Z4 − εZ3C1(ε) + εB2(x)Z2 + F4(x, ε),
(37)
де
F1(x, ε) = −Φ′1(x, ε)− Φ2(x, ε)D1(ε) +A1(x)Φ3(x, ε),
F2(x, ε) = −εΦ′2(x, ε)− εΦ1(x, ε)C1(ε)− Φ2(x, ε)B(x) + εA1(x)Φ4(x, ε),
F3(x, ε) = −εΦ′3(x, ε)− εΦ4(x, ε)D1(ε) + εB2(x)Φ1(x, ε)+
+εB1(x)Φ3(x, ε) +B(x)Φ3(x, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
634 I. Г. КЛЮЧНИК
F4(x, ε) = −εΦ′4(x, ε)− εΦ3(x, ε)C1(ε)− Φ4(x, ε)B(x)+
+εB2(x)Φ2(x, ε) + εB1(x)Φ4(x, ε) +B(x)Φ4(x, ε).
Пiдставивши у вирази для Fi(x, ε), i = 1, 4, матрицi Φj , j = 1, 4, C1(ε), D1(ε)
вигляду (9), (15), одержимо, що Fi(x, ε) ∼ 0, i = 1, 4. При ε 6= 0 запишемо
еквiвалентнi до (37) iнтегральнi рiвняння
Z1(x, ε) =
∫
Γ(x)
(A1(t)Z3 − Z2D1(ε))dt+H1(x, ε),
Z2(x, ε) =
∫
Γ(x)
(A1(t)Z4 − Z1C1(ε))(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) +H2(x, ε),
(38)
Z3(x, ε) = Ũ(x, ε)
∫
Γ(x)
Ũ−1(t, ε)(B1(t)Z3 − Z4D1(ε)+
+B2(t)Z1)dt+H3(x, ε),
Z4(x, ε) = Ũ(x, ε)
∫
Γ(x)
Ũ−1(t, ε)(B1(t)Z4 − Z3C1(ε)+
+B2(t)Z2)(Ṽ T (t, ε))−1dtṼ T (x, ε) +H4(x, ε),
де Hi(x, ε), i = 1, 4, — вiдомi матрицi, до того ж Hi(x, ε) ∼ 0 при ε → 0; Ũ(x, ε),
Ṽ (x, ε) — фундаментальнi матрицi вiдповiдних диференцiальних рiвнянь εŨ ′ =
= B(x)Ũ , εṼ ′ = −BT (x)Ṽ ; Ṽ T (x, ε) — матриця, транспонована до Ṽ (x, ε); Γ(x)
— набiр шляхiв iнтегрування, кiнцi яких збiгаються з точкою x.
Згiдно з лемою з [5] у секторi
π(m− 1)
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
(39)
матрицi Ũ(x, ε), Ṽ (x, ε) можна записати у виглядi
Ũ(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1))Ξ(x(m+1)/m, ε),
Ṽ (x, ε) = ΠŨ(x, ε),Ξ(x, ε) =
= diag
(
Ξ1(x, ε), . . . ,Ξm(x, ε)
)
= exp
(
m
m+ 1
xε−1Ωm+1
1
)
,
а в секторi
− 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
(40)
— у виглядi
Ũ(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1))Ξ(x(m+1)/m, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 635
Ṽ (x, ε) = ΠŨ(x, ε),Ξ(x, ε) = diag
(
Ξ1(x, ε), . . . ,Ξm(x, ε)
)
=
= exp
(
m
m+ 1
xε−1Ω
m/2
1
)
,
де σ(x, ε) =
0, якщо |xε−m/(m+1)| ≤ z0,
1, якщо |xε−m/(m+1)| > z0,
Λ1(ε), Ω0, Ωm+1
1 , Ω
m/2
1 — дiаго-
нальнi (m × m)-матрицi з дiагональними елементами {Λ1(ε)}jj = ε(j−1)/(m+1),
{Ω0}jj =
2j −m− 1
2m
, {Ωm+1
1 }jj = −ω−m+j−1
m , {Ωm/21 }jj = −ω−m/2+j
m , ωm =
= e2πi/m, j = 1,m; ненульовi елементи матрицi Π визначаються рiвностями
{Π}j,m+1−j = (−1)j ; матрицi Û(xε−m/(m+1)), Û−1(xε−m/(m+1)) рiвномiрно обме-
женi в областях (39), (40).
Виконавши в (38) замiну за формулами
W1(x, ε) = ε−(m−1)/(m+1)Z1(x, ε),
W2(x, ε) = Z2(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1ε−(m−1)/(m+1),
(41)
W3(x, ε) = Ũ∗
−1
(x, ε)Z3(x, ε)ε−(m−1)/(m+1),
W4(x, ε) = Ũ∗
−1
(x, ε)Z4(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1,
Ũ∗(x, ε) = Λ1(ε)(xε−m/(m+1))σ(x,ε)Ω0Û(xε−m/(m+1)),
Ṽ ∗(x, ε) = ΠŨ∗(x, ε),
одержимо iнтегральнi рiвняння вiдносно W (x, ε) вигляду
W (x, ε) = £(W (x, ε)) +H(x, ε), (42)
де
W (x, ε) =
W1(x, ε)
W2(x, ε)
W3(x, ε)
W4(x, ε)
, H(x, ε) =
H1(x, ε)
H2(x, ε)
H3(x, ε)
H4(x, ε)
,
£(W (x, ε)) =
L̃1(x, ε)
L̃2(x, ε)
L̃3(x, ε)
L̃4(x, ε)
,
L̃1(x, ε) = −
∫
Γ(x)
W2(t, ε)Ṽ ∗
T
(t, ε)D1(ε)dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
636 I. Г. КЛЮЧНИК
+
∫
Γ(x)
A1(t)Ũ∗(t, ε)W3(t, ε)dt+ ε−(m−1)/(m+1)H1(x, ε),
L̃2(x, ε) = −
∫
Γ(x)
W1(t, ε)C1(ε)
(
Ṽ ∗
T
(t, ε)
)−1
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+ε−(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
A1(t)Ũ∗(t, ε)W4(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+H2(x, ε)(Ṽ ∗
T
(x, ε))−1ε−(m−1)/(m+1),
L̃3(x, ε) =
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B1(t)Ũ∗(t, ε)W3(t, ε)dt−
−ε−(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)W4(t, ε)Ṽ ∗
T
(t, ε)D1(ε)dt+
+
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B2(t)W1(t, ε)dt+
+ε−(m−1)/(m+1)Ũ∗
−1
(x, ε)H3(x, ε),
L̃4(x, ε) =
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B1(t)×
×Ũ∗(t, ε)W4(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt−
−ε(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)W3(t, ε)C1(ε)×
×
(
Ṽ ∗
T
(t, ε)
)−1
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+ε(m−1)/(m+1)
∫
Γ(x)
Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)Ũ∗
−1
(t, ε)B2(t)×
×W2(t, ε)Ξ(x(m+1)/m − t(m+1)/m, ε)dt+
+Ũ∗
−1
(x, ε)H4(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1
.
Розв’язок рiвняння (42) будуємо методом послiдовних наближень, беручи за
нульове наближення W (0)(x, ε) ≡ 0,
W (l+1)(x, ε) = £(W (l)(x, ε)) +H(x, ε).
Основна мета подальших викладок полягає в тому, щоб встановити нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 637∥∥W (l+1)(x0, ε)−W (l)(x0, ε)
∥∥
0
≤
∥∥P (x0, ε)
∥∥∥∥W (l)(x0, ε)−W (l−1)(x0, ε)
∥∥
0
,
в якiй ‖P (x0, ε)‖ < 1. Використавши (42), оцiнимо норми ‖W (l+1)
j (x, ε)‖0, j =
= 1, 4 :
∥∥W (l+1)
1 (x, ε)
∥∥
0
≤ m
(∥∥W (l)
2 (x, ε)
∥∥
0
‖ÛT (xε−m/(m+1))‖0‖D1(ε)‖×
×
∫
j(x)
‖(tε−m/(m+1))σ(t,ε)Ω0Λ1(ε)‖|dt|+
+‖A1(x)‖0
∥∥W (l)
3 (x, ε)
∥∥
0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∫
j(x)
‖Λ1(ε)(tε−m/(m+1))σ(t,ε)Ω0‖|dt|
)
+ ε−(m−1)/(m+1)‖H1(x, ε)‖0,
∥∥W (l+1)
2 (x, ε)
∥∥
0
≤ m
(∥∥C1(ε)
∥∥∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
1 (x, ε)
∥∥
0
+ ‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
∥∥W (l)
4 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
s=1
∫
js(x)
ε
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |t|
(1−m)σ(t,ε)
2m Ξs(x
(m+1)/m − t(m+1)/m)||dt|
+
+ ε−(m−1)/(m+1)
∥∥H2(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1∥∥
0
, (43)
∥∥W (l+1)
3 (x, ε)
∥∥
0
≤ m2
(
m
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
∥∥B1(x)
∥∥
0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
3 (x, ε)
∥∥
0
m∑
s=1
∫
js(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m ε
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 ×
×
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣|dt|+
+
(∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1‖‖W (l)
4 (x, ε)‖0+
+
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0
∥∥W (l)
1 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
s=1
∫
js(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
2m ε
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1)
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m
)∣∣|dt|)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
638 I. Г. КЛЮЧНИК
+ε−(m−1)/(m+1)
∥∥(Ũ∗(x, ε))−1H3(x, ε)
∥∥
0
,
∥∥W (l+1)
4 (x, ε)
∥∥
0
≤ m2
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
×
×
∥∥W (l)
4 (x, ε)
∥∥
0
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m ε
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 ×
×
∣∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m)Ξk(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣∣|dt|
+
+
(
‖C1(ε)‖
∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖W (l)
3 (x, ε)‖0+
+
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0
∥∥W (l)
2 (x, ε)
∥∥
0
)
×
×
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
2m ε
(m−1)σ(t,ε)
2(m+1) ×
×
∣∣Ξs(x(m+1)/m − t(m+1)/m) Ξk(x(m+1)/m − t(m+1)/m)
∣∣|dt|
+
+
∥∥(Ũ∗(x, ε))−1
H4(x, ε)
(
Ṽ ∗
T
(x, ε)
)−1∥∥,
де j(x) — вiдрiзок, який з’єднує точки 0 i x, а js(x), jks(x), k, s = 1,m, — набiр
шляхiв, кiнцi яких збiгаються з точкою x.
Будемо вибирати шляхи iнтегрування таким чином, щоб iнтеграли, якi мiстяться
в (43), були обмеженими при ε→ 0. Виконаємо замiну змiнних за формулами
τ = t(m+1)/m, ξ = x(m+1)/m. (44)
Область, яка визначена нерiвностями |x| ≤ x0, (39), при замiнi (44) переходить в
область δ +
π(m− 1)
m
≤ arg ξ ≤ π(m+ 3)
m
− δ, |ξ| ≤ x
(m+1)/m
0 . Тодi в облас-
тi
π(m− 1)
m
+ δ ≤ arg τ ≤ π(m+ 3)
m
− δ, |τ | ≤ x
(m+1)/m
0 , можна побудува-
ти вiдрiзки δs(ξ), s = 1,m, визначенi рiвняннями τ = ξ − ρeiϕs , в яких ρ =
= |ξ− τ |, ϕs — направляючий кут вiдрiзка δs(ξ), i на яких виконуються нерiвностi
Re
(
(ξ − τ)e2πi/m(s−1)
)
> 0, i кривi λks(ξ), k, s = 1,m, на яких виконуються не-
рiвностi Re
(
(ξ − τ)
(
e2πi(k−1)/m + e2πi(s−1)/m)
)
> 0. За js(x), jks(x), k, s = 1,m,
вiзьмемо шляхи, що є прообразами шляхiв δs(ξ), λks(ξ) при вiдображеннi (44).
Тодi експоненти в (43) будуть обмеженi вздовж вiдповiдних шляхiв iнтегрування.
Вкажемо методи оцiнювання iнтегралiв, якi мiстяться в (43), при цьому бу-
демо окремо розглядати випадки, коли величина |xε−m/(m+1)| обмежена, тобто
|xε−m/(m+1)| ≤ z0, i коли |xε−m/(m+1)| > z0. Увiвши позначення es =
2πi(s− 1)
m
,
оцiнимо iнтеграл
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 639
I =
m∑
s=1
∫
js(x)
|ε|
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |t|
(1−m)σ(t,ε)
2m
∣∣e−m(x(m+1)/m−t(m+1)/m)es
ε(m+1)
∣∣|dt| =
=
m
m+ 1
m∑
s=1
∫
δs(ξ)
|ε|
(m−1)(σ(t,ε)−2)
2(m+1) |τ |−
2+(m−1)σ(t,ε)
2(m+1) |e
−m(ξ−τ)es
|ε|(m+1) ||dτ |. (45)
При |xε−m/(m+1)| ≤ z0 iнтеграл I1 вигляду (45) має оцiнку
I1 =
m|ε|
1−m
m+1
m+ 1
m∑
s=1
∫
δ1s(ξ)
|τ |−
1
m+1 e
−mRe((ξ−τ)es)
|ε|(m+1) |dτ | ≤
≤ 2m2|ε|
1−m
m+1
m+ 1
z
(m+1)/m
0 |ε|∫
0
|τ |−
1
m+1 |dτ | = 2mz0|ε|
1
m+1 .
При |xε−m/(m+1)| > z0 iнтеграл I2 вигляду (45) має оцiнку
I2 =
m|ε|
1−m
2(m+1)
m+ 1
m∑
s=1
∫
δ2s(ξ)
|τ |− 1
2
∣∣e−m(ξ−τ)es
|ε|(m+1)
∣∣ |dτ | ≤
≤ 2m|ε|−
m
m+1 z
− 1+m
2m
0
m+ 1
m∑
s=1
x
(m+1)/m
0 ∫
0
e
−mρ| cos(ϕs+(2π(s−1))/m)|
|ε|(m+1) dρ =
= 2z
− 1+m
2m
0 |ε|
1
m+1
m∑
s=1
(
1− e
−mx(m+1)/m
0 | cos(ϕs+(2π(s−1))/m)|
|ε|(m+1)
)
| cos(ϕs + (2π(s− 1))/m)|
,
де δjs(ξ), j = 1, 2,— частини шляху, що лежать вiдповiдно в областях |tε−m/(m+1)| ≤
≤ z0 i |tε−m/(m+1)| > z0.
Аналогiчно оцiнюється iнтеграл
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
jks(x)
|t|
(1−m)σ(t,ε)
m |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 e
−mRe((x(m+1)/m−t(m+1)/m)(ek+es))
ε(m+1) |dt| =
=
m
m+ 1
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
λks(ξ)
|τ |−
(m−1)σ(t,ε)+1
m+1 |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 e
−mRe((ξ−τ)(ek+es))
(m+1)|ε| |dτ | ≤
≤ m
m+ 1
m∑
k=1
m∑
s=1
∫
λks(ξ)
|τ |−
(m−1)σ(t,ε)+1
m+1 |ε|
(m−1)(σ(t,ε)−1)
m+1 |dτ | ≤
≤ 2m3x
1
m
0 + 2m2z0|ε|
1
m+1 . (46)
З (45), (46), врахувавши, що Hj(x, ε) ∼ 0, j = 1, 4, при ε → 0 отримаємо оцiнки
для норм ‖W (l+1)
j (x, ε)‖0 у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
640 I. Г. КЛЮЧНИК
∥∥W (l+1)
j (x, ε)
∥∥
0
≤
4∑
k=1
Ljk(x0, ε)
∥∥W (l)
k (x, ε)
∥∥
0
+ cjε
mj , (47)
де mj — невiд’ємнi цiлi числа, cj — сталi, l = 0, 1, 2, . . . ,
L14 = L23 = L32 = L41 = L11 = L22 = 0,
L12(x0, ε) = 2mε
m−1
2(m+1)
(
z0
√
ε+
2mx
(m+1)/2m
0
m+ 1
)∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1(ε)‖,
L13(x0, ε) = 2mε
m−1
2(m+1)
(
z0
√
ε+
2mx
(m+1)/2m
0
m+ 1
)
‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L21(x0, ε) = 2mε1/(m+1)L1(x0, ε)‖C1(ε)‖
∥∥(ÛT (xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
,
L24(x0, ε) = 2mε1/(m+1)L1(x0, ε)‖A1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L34(x0, ε) = 2m2ε1/(m+1)L1(x0, ε)
∥∥ÛT (xε−m/(m+1))
∥∥
0
‖D1(ε)‖,
L33(x0, ε) = 2m4
(
z0ε
1/(m+1) +mx
1/m
0
)∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
×
×‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L31(x0, ε) = 2m2ε1/(m+1)L1(x0, ε)
∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
‖B2(x)‖0,
L44(x0, ε) = 2m5
(
mx
1/m
0 + z0ε
1/(m+1)
)
×
×
∥∥(Û(xε−m/(m+1)))−1
∥∥
0
‖B1(x)‖0
∥∥Û(xε−m/(m+1))
∥∥
0
,
L43(x0, ε) = 2m4ε
m−1
2(m+1)
(
z0ε
1/2 +
2m
m+ 1
x
(m+1)/2m
0
)
×
×‖C1(ε)‖
∥∥(ÛT (xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
,
L42(x0, ε) = 2m4ε
m−1
2(m+1)
(
z0ε
1/2 +
2m
m+ 1
x
(m+1)/2m
0
)
×
×
∥∥(Û(xε−m/(m+1))
)−1∥∥
0
‖B2(x)‖0,
в яких для сектора (39) функцiя L1(x0, ε) має вигляд
L1(x0, ε) = mz0 + z
−(1+m)/2m
0
m∑
s=1
1− e−
mx
(m+1)/m
0 | cos(ϕs+2π(s−1)/m)|
ε(m+1)
| cos(ϕs + 2π(s− 1)/m)|
,
а для сектора (40) — вигляд
L1(x0, ε) = mz0 + z
−(1+m)/2m
0
m∑
s=1
1− e−
mx
(m+1)/m
0 | cos(ϕs+π(2s−m)/m)|
ε(m+1)
| cos(ϕs + π(2s−m)/m)|
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 641
Склавши рiзницi W (l+1)(x, ε)−W (l)(x, ε), j = 1, 4, у рiвняннi (42), одержимо
оцiнки у виглядi∥∥W (l+1)(x0, ε)−W (l)(x0, ε)
∥∥
0
≤ ‖P (x0, ε)‖
∥∥W (l)(x0, ε)−W (l−1)(x0, ε)
∥∥
0
, (48)
в яких (4× 4)-матриця має вигляд P (x0, ε) = (Ljk(x0, ε)), j, k = 1, 4. Числа x0 i ε
вибираємо так, щоб виконувалась нерiвнiсть∥∥P (x0, ε)
∥∥ < 1, (49)
що забезпечить рiвномiрну збiжнiсть послiдовностей W
(l)
j (x, ε), j = 1, 4, l =
= 0, 1, 2, . . . , до функцiй Wj(x, ε) при |x| ≤ x0, 0 < ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
<
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
. Мож-
на довести нескiнченну диференцiйовнiсть по x, ε iтерацiй W
(l)
j (x, ε), j = 1, 4,
l = 0, 1, . . . , а потiм, застосувавши теорему Арцела, одержати нескiнченну дифе-
ренцiйовнiсть функцiй Wj(x, ε) по x, ε при |x| ≤ x0, 0 < ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
<
< arg(xε−m/(m+1)) <
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
. Дови-
значимо функцiї Wj(x, ε), j = 1, 4, в точцi ε = 0 i |x| ≤ x0 таким чином:
W̃j(x, ε) =
Wj(x, ε), якщо 0 < ε ≤ ε0,
0, якщо ε = 0.
Тодi
∂W̃j(x, ε)
∂ε
∣∣∣∣
ε=0
= lim
ε→0
W̃j(x, ε)
ε
= lim
ε→
εmj−1C̃j(x, ε),
де C̃j(x, ε) = lim
l→∞
C̃
(l)
j (x, ε), C̃
(l)
j (x, ε) =
W
(l)
j (x, ε)
εmj
, j = 1, 4. Математичною
iндукцiєю можна довести нескiнченну диференцiйовнiсть по x i ε функцiї W̃j(x, ε)
при |x| ≤ x0 i ε = 0, до того ж
∂kW̃j(x, ε)
∂εk
∣∣∣∣
ε=0
=
(
εmj−k
∂kC̃j(x, ε)
∂εk
)∣∣∣∣∣
ε=0
= 0.
Тодi iз спiввiдношень (41) випливає нескiнченна диференцiйовнiсть розв’язкiв рiв-
нянь (37) по x i ε при |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0,
π(m− 1)
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
<
π(m+ 3)
m+ 1
, − 3π
m+ 1
< arg(xε−m/(m+1)) <
π
m+ 1
.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 2. Якщо справджуються теорема 1 i нерiвнiсть (49), то матриця
U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x) V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
642 I. Г. КЛЮЧНИК
є асимптотичним розвиненням при ε → 0 матрицi Φ(x, ε) у крузi |x| ≤ x0, яка є
розв’язком рiвняння (17). Матриця Φ(x, ε) є нескiнченно диференцiйовною по x, ε
в областi |x| ≤ x0, 0 ≤ ε ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε.
Висновки. У данiй статтi за допомогою замiни змiнних з матрицею перетво-
рення Φ(x, ε), яка є нескiнченно диференцiйовною по x i ε в областi |x| ≤ x0,
0 ≤ ε ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε, систему рiвнянь (1) зведено до системи (4), (5),
яка мiстить нескiнченно диференцiйовнi матрицi C1(ε), D1(ε) при 0 ≤ ε ≤ ε0.
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. –
М.: Мир, 1968. – 464 с.
2. Wasow W. Linear turning point theary. – New York Ins.: Springer, 1985. – 243 p.
3. Найфэ А. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 456 с.
4. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных урав-
нений. – М.: Наука, 1983. – 352 с.
5. Kohno M., Ohkohchi S., Kohmoto T. On full uniform simplification of even order linear differential
equations with a parameter // Hiroshima Math. J. – 1979. – 9. – P. 747 – 767.
6. Wasow W. Simplification of turning point problems for systems of linear differential // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1963. – 106. – P. 100 – 114.
7. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегровании одной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 11.
– С. 1505 – 1516.
8. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. – М.: Наука, 1990. – 528 с.
9. Ключник I. Г. Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних
// Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 1. – С. 30 – 38.
Одержано 02.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166144 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:45:44Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ключник, І.Г. 2020-02-18T06:21:26Z 2020-02-18T06:21:26Z 2010 Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту / І.Г. Ключник // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 625–642. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166144 517.928 Система линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных сводится к каноничной форме, а также изучаются свойства матрицы преобразования. A system of linear differential equations with small parameter as a coefficient of a part of derivatives is reduced to the canonical form and the properties of the transformation matrix are investigated. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту Linear system of differential equations with turning point Article published earlier |
| spellingShingle | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту Ключник, І.Г. Статті |
| title | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_alt | Linear system of differential equations with turning point |
| title_full | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_fullStr | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_full_unstemmed | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_short | Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| title_sort | лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166144 |
| work_keys_str_mv | AT klûčnikíg líníinasistemadiferencíalʹnihrívnânʹztočkoûzvorotu AT klûčnikíg linearsystemofdifferentialequationswithturningpoint |