Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов

Вивчаються нерівномірні ергодичні усереднення типу Козлова - Трещева для операторних пів-груп. Отримано оцінки для відповідних максимальних функцій. We study nonuniform ergodic averages of the Kozlov – Treshchev type for operator semigroups and obtain estimates for the corresponding maximal function...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний журнал
Дата:	2010
Автор:	Королев, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166156
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов / А.В. Королев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 702–707. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860131926331883520
author	Королев, А.В.
author_facet	Королев, А.В.
citation_txt	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов / А.В. Королев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 702–707. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Український математичний журнал
description	Вивчаються нерівномірні ергодичні усереднення типу Козлова - Трещева для операторних пів-груп. Отримано оцінки для відповідних максимальних функцій. We study nonuniform ergodic averages of the Kozlov – Treshchev type for operator semigroups and obtain estimates for the corresponding maximal functions.
first_indexed	2025-12-07T17:44:56Z
format	Article
fulltext	UDK 519.21 A. V. Korolev (Mosk. un-t ym. M. V. Lomonosova, Rossyq) OB ∏RHODYÇESKOJ TEOREME V FORME KOZLOVA – TREWEVA DLQ POLUHRUPPÁ OPERATOROV * We study nonuniform ergodic averagings of the Kozlov – Treshchev type for operator semigroups. We obtain estimates for the corresponding maximal functions. Vyvçagt\sq nerivnomirni erhodyçni userednennq typu Kozlova – Treweva dlq operatornyx piv- hrup. Otrymano ocinky dlq vidpovidnyx maksymal\nyx funkcij. V rabotax [1, 2] naçato rassmotrenye neravnomern¥x usrednenyj obweho vyda F f x f T x dst t s( ) ( ) ( )= ∞ ∫ ν 0 dlq polupotokov Tt{ } s ynvaryantnoj meroj µ . Dlq absolgtno neprer¥vn¥x veroqtnostn¥x mer ν na poluosy y ohranyçenn¥x funkcyj f b¥lo dokazano, çto pry t → + ∞ velyçyn¥ F f xt ( ) pry µ-poçty vsex x ymegt tot Ωe predel, çto y v sluçae klassyçeskoho ravnomernoho usrednenyq v teoreme Byrkhofa – Xynçyna. ∏to yssledovanye b¥lo prodolΩeno v rabote [3] (sm. takΩe [ 4 ], hl.610), hde b¥lo v¥qsneno, çto dlq neohranyçenn¥x funkcyj f πto utverΩde- nye terqet sylu, odnako pry nekotor¥x sootnoßenyqx meΩdu xarakteramy yn- tehryruemosty f y plotnosty mer¥ ν ymegtsq poloΩytel\n¥e rezul\tat¥. V dannoj rabote prodolΩaetsq yssledovanye srednyx F f xt ( ) . V çastnosty, oka- z¥vaetsq, çto dlq sxodymosty ukazann¥x srednyx v Lp na okruΩnosty s meroj Lebeha moΩno otkazat\sq ot absolgtnoj neprer¥vnosty mer¥ ν. Krome toho, nekotor¥e rezul\tat¥, poluçenn¥e v [3], obobwagtsq na operatorn¥j sluçaj, kohda poluhruppa dejstvuet v L1( )µ . Teorema 1. Pust\ ( , )X λ — proyzvedenye n okruΩnostej s normyrovan- noj meroj Lebeha, a Ts s, ,…{ } — n-parametryçeskaq poluhruppa sdvyhov na X, t.6e. Ts s, ,… x : = ( , , )T x T xs s n1 … , hde Ts — povorot i-j okruΩnosty na uhol −si . Pust\ ν — proyzvol\naq veroqtnostnaq mera na R+ n , ymegwaq preobrazovanye Fur\e ν̂ . Ravenstvo lim ( ) ( ) ( ) ( min ( , , ) , , t t ts tsf T x d s f x d … → +∞ …( ) −ν λ xx X L p ) ( ) ∫∫ = R λ 0 (1) v¥polneno dlq lgboj funkcyy f Lp∈ ( )λ pry p ∈ +∞[ ]1, v toçnosty tohda, kohda pry t → +∞ v¥polneno sootnoßenye ˆ( )ν t → 0. Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto ˆ( )ν t → 0 pry t → +∞ . Polo- Ωym Tts : = Tts ts, ,… pry t = ( , , )t tn1 … y s = ( , , )s sn1 … . Tohda dlq lgboj funkcyy g C X∈ ( ) dlq kaΩdoho x X∈ v¥polneno ravenstvo lim ( ) ( ) min ( , , )t t tsg T x ds … → +∞ ( )∫ ν R = g x dx X ( ) ( )λ∫ . * V¥polnena pry podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj (proekt¥ 07- 01-00536, 08-01-90431-Ukr.). © A. V. KOROLEV, 2010 702 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5 OB ∏RHODYÇESKOJ TEOREME V FORME KOZLOVA – TREWEVA … 703 Yz teorem¥ Lebeha sleduet, çto πtot predel suwestvuet y v Lp ( )λ . Pust\ te- per\ f Lp∈ ( )λ . Voz\mem posledovatel\nost\ neprer¥vn¥x funkcyj gk na X takyx, çto f gk L− ( )λ → 0 pry k → + ∞. Pust\ ε > 0. V¥berem takoe N > 0, çto pry vsex k > N v¥polneno neravenstvo f gk L− ( )λ < ε. Najdetsq t0 0≥ takoe, çto ukazannaq v (1) norma v¥raΩenyq dlq gk vmesto f budet men\ße ε pry vsex t = ( , , )t tn1 … , dlq kotor¥x t ti > 0 , i = 1, … , n. Tohda dlq takyx k, t ymeem f T x d s f x dx ts X L p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ∫∫ ν λ λR ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) f g T x d sk ts L p − ( )∫ ν λR + + g T x d s g x dxk ts k X L p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ∫∫ ν λ λR + g x f x dxk X L p ( ) ( ) ( ) ( ) −( )∫ λ λ ≤ 3ε, tak kak ( ) ( ) ( ) ( ) f g T x d sk ts L p − ( )∫ ν λR ≤ ( ) ( ) ( ) ( )f g T x dx dsk ts p X − ( )∫∫ λ ν R = = f x g x dx dsk p X ( ) ( ) ( ) ( )−∫∫ λ ν R ≤ ε. PredpoloΩym teper\, çto ˆ( )ν t ne stremytsq k 0 pry t → +∞ . Tohda dlq funkcyy f x xn( , , )1 … : = exp (ix1 + … + ixn ) ymeem f T x d s f x dx ts X L p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ∫∫ ν λ λR = ˆ ( )ν t p , no poslednee v¥raΩenye ne stremytsq k 0 pry min ( , , )t tn1 … → + ∞. Teorema dokazana. Pust\ ( , )X λ — edynyçnaq okruΩnost\ s meroj Lebeha, Tt — povorot ok- ruΩnosty na uhol −t . Yzvestno, çto suwestvuet takaq bezatomyçeskaq synhu- lqrnaq borelevskaq veroqtnostnaq mera ν na 0 1,[ ] , çto ee preobrazovanye Fur\e ν̂ stremytsq k nulg na beskoneçnosty (sm. [5, s. 35]). Tohda dlq lgboj funkcyy f Lp∈ ( )λ srednye F f xt ( ) sxodqtsq v Lp ( )λ . Odnako ostaetsq ot- kr¥t¥m vopros o suwestvovanyy synhulqrn¥x mer, dlq kotor¥x ymeetsq sxody- most\ srednyx poçty vsgdu. Rassmotrym teper\ bolee obwug sytuacyg, kohda Tt{ } — poluhruppa polo- Ωytel\n¥x operatorov na L1( )µ , hde µ — veroqtnostnaq mera na yzmerymom prostranstve ( , )X A . Sluçaj klassyçeskyx ravnomern¥x usrednenyj b¥l ras- smotren v [6, 7]. Pust\ Tt{ } — syl\no yzmerymaq poluhruppa. V stat\e [7] po- kazano, çto yz uslovyj Tt 1 ≤ 1 y Tt ∞ ≤ 1 sleduet neravenstvo T f x s dss ( ) ( ) ( )β 0 ∞ ∫ ≤ f x s ds∗ ∞ ∫( ) ( )β 0 , hde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5 704 A. V. KOROLEV f x t T f x ds t s t ∗ = ∫( ) : sup ( ) ( ) 1 0 dlq lgboj funkcyy f Lp∈ ( )µ y lgboj poloΩytel\noj y nevozrastagwej funkcyy β na R+ . Zameçanye 1. Pust\ ν = ρ ds — veroqtnostnaq mera na 0, +∞[ ) , pryçem suwestvuet takaq nevozrastagwaq funkcyq β ∈ L1( , )R+ λ , çto ρ ≤ β na 0, +∞[ ) . Tohda ( ) ( ) ( )T f x s dsts ρ 0 ∞ ∫ ≤ f x s ds∗ ∞ ∫( ) ( )β 0 . Esly p > 1, to suwestvuet postoqnnaq C, ne zavysqwaq ot f, takaq, çto sup ( ) ( ) ( ) ( ) t s L T f x s ds p β µ0 ∞ ∫ ≤ C f L p( )µ . Çtob¥ proveryt\ pervoe neravenstvo, dostatoçno v¥polnyt\ zamenu u : = t s. Vtoroe neravenstvo neposredstvenno sleduet yz teorem¥ ob ocenke norm¥ f ∗ (sm. [6, s. 735], teorema 7). Sledugwee utverΩdenye rasprostranqet ocenku, poluçennug v [6, s. 735] (teorema 7), na sluçaj usrednenyj s plotnost\g. Teorema 2. Pust\ Tt — syl\no yzmerymaq poluhruppa poloΩytel\n¥x ope- ratorov na L1( )µ , pryçem Tt 1 ≤ 1 y Tt ∞ ≤ 1. Pust\ ρ λ∈ Lq ( ) , hde λ — mera Lebeha na R+ , ρ ≥ 0 y suwestvuet nevozrastagwaq funkcyq β ∈ ∈ L1( , )R+ λ takaq, çto dlq nekotoroho t0 0≥ ymeem ρ( )s ≤ β( )s pry s ∈ ∈ t0, +∞[ ) . Tohda dlq lgboj funkcyy f Lp∈ ( )µ , p−1 + q−1 < 1, p, q ∈ 1, +∞( ] , v¥polneno neravenstvo sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p ( ) +∞ ∫ ρ µ0 ≤ C p t fq q L t L Lq p( ) ( ) , , ( ) ( )0 1 0 −  ( ) +   ρ βλ λ µ , hde C p( ) : = 2 1 1 p p p −     / . Dokazatel\stvo. Sluçaj p = + ∞ sleduet yz neravenstva T ∞ ≤ 1. Pust\ p < + ∞. Najdetsq ε > 0 takoe, çto ( )p − −ε 1 + q−1 = 1. PoloΩym σ : = : = ρI t0,[ ] y τ : = ρI t , +∞[ ) . Tohda v¥polneno neravenstvo sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p ( ) +∞ ∫ ρ µ0 ≤ sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p ( ) +∞ ∫ σ µ0 + + sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p ( ) +∞ ∫ τ µ0 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5 OB ∏RHODYÇESKOJ TEOREME V FORME KOZLOVA – TREWEVA … 705 Snaçala ocenym pervoe slahaemoe. Po uslovyg Tt 1 ≤ 1 y Tt ∞ ≤ 1, otkuda pry kaΩdom t ymeem T f x T f xt p t p( ) ( )− −≤ε ε dlq µ-poçty vsex x . Yz teorem¥ Fubyny sleduet, çto dlq µ-poçty vsex x su- westvugt takye mnoΩestva Bx ⊂ +R , çto λ( \ )R+ Bx = 0 y pry t Bx∈ v¥pol- neno ukazannoe neravenstvo. Poluçaem T f x s dsts ( ) ( )σ 0 +∞ ∫ ≤ σ λ ε ε L ts p t p q T f x ds ( ) ( ) ( ) − − ∫       − 0 1 ≤ ≤ σ λ ε ε L s p t p q t T f x ds ( ) ( ) ( ) 1 0 1 − − ∫       − ≤ ≤ t t t T f x dsq q L s p t p q0 1 0 0 1( ) ( ) ( ( )− − − ∫       σ λ ε εε)−1 dlq µ-poçty vsex x X∈ , pryçem suwestvovanye yntehralov v prav¥x çastqx neravenstv sleduet yz πrhodyçeskoj teorem¥, prymenennoj k poslednemu ynteh- ralu. Tohda sup ( ) ( ) t tsT f x s dsσ 0 +∞ ∫ ≤ t t T f x dsq q L t s p t q0 1 0 1( ) ( ) ( sup ( )− −∫       σ λ ε pp − ε) dlq µ-poçty vsex x X∈ . Poskol\ku f Lp∈ ( )µ , to f p − ε ∈ Lp p/( )( )− ε µ y, sohlasno teoreme 7 [6, s. 735], v¥polneno neravenstvo sup ( ) ( ) ( ) ( ) t s p t p L t T f x ds p 1 0 1 − − ∫       − ε ε µ ≤ C p f p L p p p ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) − − − − ε µ ε ε 1 = C p f Lp( ) ( )µ . Prymenqq poslednee neravenstvo k ocenkam, poluçenn¥m v¥ße, okonçatel\no poluçaem sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p σ µ0 +∞ ∫ ≤ ≤ t t T f x dsq q L t s p t q0 1 0 1( ) ( ) ( sup ( )− −∫       σ λ ε pp L p − −ε µ ) ( ) 1 ≤ ≤ t C p fq q L Lq p0 1( ) ( ) ( ) ( )− σ λ µ . Teper\ ocenym yntehral s plotnost\g τ. MoΩno sçytat\, çto β ≥ 0. Ymeem T f x s dsts ( ) ( )τ 0 +∞ ∫ ≤ T f x s dsts ( ) ( )β 0 +∞ ∫ ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5 706 A. V. KOROLEV ≤ β µL t s t t T f x ds1 1 0 ( ) sup ( )∫ dlq µ-poçty vsex x X∈ , çto sleduet yz zameçanyq 1. Snova prymenqq teoremu yz [6, s. 735], naxodym sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p τ µ0 +∞ ∫ ≤ C p f L L p( ) ( ) ( ) β λ µ1 . Okonçatel\no sup ( ) ( ) ( ) t ts L T f x s ds p ( ) +∞ ∫ ρ µ0 ≤ C p f t L q q L t Lp q( ) ( ) ( ) , , ( )µ λ λρ β0 1 0 1 −  ( ) +    . Teorema dokazana. Rassmotrym sxodymost\ srednyx Ft dlq operatornoho sluçaq. Teorema 3. Pust\ Tt — syl\no yzmerymaq poluhruppa poloΩytel\n¥x ope- ratorov na L1( )µ , pryçem T 1 ≤ 1 y T ∞ ≤ 1. Pust\ f Lp∈ ( )µ y ρ ∈ ∈ Lq ( )λ — veroqtnostnaq plotnost\, hde λ — mera Lebeha na R+ , p−1 + + q−1 = 1 y p, q ∈ +∞[ ]1, . PredpoloΩym, çto v¥polneno odno yz uslovyj: i) plotnost\ ρ ymeet ohranyçenn¥j nosytel\ v otrezke a b,[ ] ; ii) p > 1 y suwestvuet nevozrastagwaq funkcyq β na 0, +∞[ ) , dlq ko- toroj β ≥ 0, β ∈6 Lq 0, +∞[ ) y ρ( )t ≤ β( )t na t0, ∞[ ) dlq nekotoroho t0 . Tohda dlq µ-poçty vsex x X∈ v¥polneno ravenstvo lim ( ) ( ) t tsT f x s ds → +∞ +∞ ∫ ρ 0 = ET f x( ) , (2) hde ET f — uslovnoe matematyçeskoe oΩydanye f otnosytel\no T — σ - alhebr¥ Tt -ynvaryantn¥x mnoΩestv. Dokazatel\stvo. MoΩno sçytat\, çto f ≥ 0. Pust\ nosytel\ ρ leΩyt v a b,[ ] . PoloΩym fN = min ( , )f N , gN = f – fN . Dlq ohranyçenn¥x funkcyj fN dokaz¥vaemoe utverΩdenye verno, poπtomu dlq µ-poçty vsex x pry vsex N spravedlyvo ravenstvo (2) dlq fN vmesto f. Pust\ t ≥ 0 y h st x N, , ( ) = = T g xts N ( )( ) . Po neravenstvu Hel\dera T g x s dsts N a b ( ) ( )( )∫ ρ ≤ ht x N L Lp q, , ( ) ( )λ λρ . V sylu µ-yntehryruemosty funkcyy x � T g xts N p( )( ) yz πrhodyçeskoj teore- m¥ sleduet, çto lim ( ) t ts N p a b T g x ds → ∞ ( )∫ = ( ) ( )b a g xN p− ET ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5 OB ∏RHODYÇESKOJ TEOREME V FORME KOZLOVA – TREWEVA … 707 dlq µ-poçty vsex x . Pust\ ε > 0 fyksyrovano. Poskol\ku µ-poçty vsgdu v¥- polneno ravenstvo lim ( ) N N pg x → ∞ ET = 0, suwestvugt N0 y E ∈A s µ( )E > > 1 – ε takye, çto pry N > N0 spravedlyva ocenka ( ) ( )b a g xN p− ET < ε, x E∈ . Dlq µ-poçty lgboho x E∈ suwestvuet takoe çyslo T x( , )ε , çto pry vsex t ≥ ≥ T x( , )ε y N > N0 v¥polnen¥ neravenstva T g x dsts N p a b ( )( ) ≤∫ ε , T f x s ds f xts N a b N( ) ( ) ( )( ) − <∫ ρ εET . Yz neravenstv Tt 1 ≤ 1 y Tt ∞ ≤ 1 sleduet, çto dlq µ-poçty vsex x X∈ pry vsex t ≥ 0 ymeet mesto neravenstvo T f x dsts p a b ( )∫ ≤ T f x dsts p a b ( )∫ . Tohda dlq µ-poçty vsex x E∈ pry t ≥ T x( , )ε y N > N0 ymeem T g x s dsts N a b ( ) ( )( )∫ ρ ≤ ε ρ λLq ( ) . Okonçatel\no poluçaem T f x s ds f xts a b ( ) ( ) ( )( ) −∫ ρ ET < 2ε ε ρ λ+ Lq ( ) . Teper\ dostatoçno rassmotret\ sluçaj, kohda ρ — ohranyçennaq funkcyq y p > 1. MoΩno sçytat\, çto t0 0= . Ostalos\ prymenyt\ pred¥duwug teoremu y vospol\zovat\sq tem, çto dokaz¥vaemoe ravenstvo v¥polneno dlq vsex ohrany- çenn¥x yntehryruem¥x funkcyj f. 1. Kozlov V. V., Treshchev D. V. On new forms of the ergodic theorem // J. Dynam. Control Syst. – 2003. – 9, # 3. – P. 449 – 453. 2. Kozlov V. V., Trewev D. V. ∏volgcyq mer v fazovom prostranstve nelynejn¥x hamyl\tono- v¥x system // Teor. y mat. fyzyka. – 2003. – 136, # 3. – S. 496 – 506. 3. Bohaçev V. Y., Korolev A. V. Ob πrhodyçeskoj teoreme v forme Kozlova – Treweva // Dokl. RAN. – 2007. – 412, # 3. – S. 295 – 301. 5. Lukaç E. Xarakterystyçeskye funkcyy. – M.: Nauka, 1979. 6. Danford N., Ívarc DΩ. Lynejn¥e operator¥. I. Obwaq teoryq. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. 7. Dunford N., Schwartz J. T. Convergence almost everywhere of operator averages // J. Ration. Mech. and Anal. – 1956. – # 1. – P. 129 – 178. Poluçeno 30.11.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 5
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166156
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1027-3190
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T17:44:56Z
publishDate	2010
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	dspace
spelling	Королев, А.В. 2020-02-18T06:31:04Z 2020-02-18T06:31:04Z 2010 Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов / А.В. Королев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 5. — С. 702–707. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166156 519.21 Вивчаються нерівномірні ергодичні усереднення типу Козлова - Трещева для операторних пів-груп. Отримано оцінки для відповідних максимальних функцій. We study nonuniform ergodic averages of the Kozlov – Treshchev type for operator semigroups and obtain estimates for the corresponding maximal functions. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов On the ergodic theorem in the Kozlov–Treshchev form for an operator semigroup Article published earlier
spellingShingle	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов Королев, А.В. Короткі повідомлення
title	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов
title_alt	On the ergodic theorem in the Kozlov–Treshchev form for an operator semigroup
title_full	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов
title_fullStr	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов
title_full_unstemmed	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов
title_short	Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов
title_sort	об эргодической теореме в форме козлова - трещева для полугруппы операторов
topic	Короткі повідомлення
topic_facet	Короткі повідомлення
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166156
work_keys_str_mv	AT korolevav obérgodičeskoiteoremevformekozlovatreŝevadlâpolugruppyoperatorov AT korolevav ontheergodictheoreminthekozlovtreshchevformforanoperatorsemigroup

Об эргодической теореме в форме Козлова - Трещева для полугруппы операторов

Репозитарії

Схожі ресурси