Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления

Встановлено достатні умови експоненціальної стійкості програмного миоговиду систем непрямого керування, а також умови швидкодії регулятора, перерегулювання, монотонного згасання перехідного процесу в околі програмного миоговиду We establish sufficient conditions for the exponential stability of a pr...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний журнал
Дата:	2010
Автор:	Жуматов, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166163
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 784–790. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166163
record_format	dspace
spelling	Жуматов, С.С. 2020-02-18T06:33:59Z 2020-02-18T06:33:59Z 2010 Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 784–790. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166163 517.925:62.50 Встановлено достатні умови експоненціальної стійкості програмного миоговиду систем непрямого керування, а також умови швидкодії регулятора, перерегулювання, монотонного згасання перехідного процесу в околі програмного миоговиду We establish sufficient conditions for the exponential stability of a program manifold of indirect control systems and conditions for the fast operation of a regulator, overcontrol, and monotone damping of a transient process in the neighborhood of the program manifold. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления Exponential stability of a program manifold of indirect control systems Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
spellingShingle	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления Жуматов, С.С. Статті
title_short	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
title_full	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
title_fullStr	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
title_full_unstemmed	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
title_sort	экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления
author	Жуматов, С.С.
author_facet	Жуматов, С.С.
topic	Статті
topic_facet	Статті
publishDate	2010
language	Russian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Exponential stability of a program manifold of indirect control systems
description	Встановлено достатні умови експоненціальної стійкості програмного миоговиду систем непрямого керування, а також умови швидкодії регулятора, перерегулювання, монотонного згасання перехідного процесу в околі програмного миоговиду We establish sufficient conditions for the exponential stability of a program manifold of indirect control systems and conditions for the fast operation of a regulator, overcontrol, and monotone damping of a transient process in the neighborhood of the program manifold.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166163
citation_txt	Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 784–790. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT žumatovss éksponencialʹnaâustoičivostʹprogrammnogomnogoobraziâsistemneprâmogoupravleniâ AT žumatovss exponentialstabilityofaprogrammanifoldofindirectcontrolsystems
first_indexed	2025-11-27T00:46:34Z
last_indexed	2025-11-27T00:46:34Z
_version_	1850783993767657472
fulltext	UDK 517.925:62.50 S. S. Ûumatov (Yn-t matematyky M-va obrazovanyq y nauky Respublyky Kazaxstan, Almat¥) ∏KSPONENCYAL\|NAQ USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ SYSTEM NEPRQMOHO UPRAVLENYQ We obtain sufficient conditions of exponential stability of program manifold of indirect control systems. We establish conditions of regulator high speed, the reregulation, and of the monotonic attenuation of a transition process in the neighborhood of program manifold. Vstanovleno dostatni umovy eksponencial\no] stijkosti prohramnoho mnohovydu system neprq- moho keruvannq, a takoΩ umovy ßvydkodi] rehulqtora, pererehulgvannq, monotonnoho zhasannq perexidnoho procesu v okoli prohramnoho mnohovydu. Zadaça postroenyq vseho mnoΩestva system dyfferencyal\n¥x uravnenyj, ymegwyx zadannug yntehral\nug kryvug, b¥la sformulyrovana v rabote [1], hde pryveden y metod ee reßenyq. ∏ta zadaça poluçyla dal\nejßee razvytye kak zadaça postroenyq system dyfferencyal\n¥x uravnenyj po zadannomu yntehral\nomu mnohoobrazyg, reßenyq razlyçn¥x obratn¥x zadaç dynamyky, postroenyq system prohrammnoho dvyΩenyq. Sleduet otmetyt\, çto v processe reßenyq πtyx zadaç postroenye ustojçyv¥x system, qvlqqs\ odnoj yz osnovn¥x zadaç teoryy ustojçyvosty, prevratylos\ v samostoqtel\nug teoryg. Podrob- n¥j obzor πtyx rabot pryveden v [2]. Postroenyg system avtomatyçeskoho up- ravlenyq po zadannomu mnohoobrazyg posvqwen¥ rabot¥ [3 – 5]. V nyx system¥ upravlenyq b¥ly postroen¥ dlq sluçaq, kohda nelynejnaq funkcyq ϕ σ( ) qv- lqetsq skalqrnoj. Ustanovlen¥ dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj ustojçy- vosty. V [6, 7] reßen¥ zadaçy postroenyq system avtomatyçeskoho upravlenyq, kohda nelynejnaq funkcyq qvlqetsq vektornoj y udovletvorqet uslovyqm lokal\noj kvadratyçnoj svqzy. Yssledovanyg voprosov ob πksponencyal\noj ustojçyvosty tryvyal\noho reßenyq posvqwena rabota [8]. V [9, 10] ustanov- len¥ uslovyq πksponencyal\noj ustojçyvosty dlq system avtomatyçeskoho upravlenyq opredelennoho klassa. Zadaçy synteza asymptotyçesky ustojçyv¥x system, obladagwyx zadann¥m kaçestvom, sformulyrovan¥ v rabote [11], hde dan metod synteza zakonov obratnoj svqzy. V [12 – 14] ustanovlen¥ uslovyq pryvodymosty k kanonyçeskoj forme y uslovyq razreßymosty zadaçy Koßy, a takΩe yssledovan¥ vopros¥ suwestvovanyq peryodyçeskyx reßenyj dlq urav- nenyj, ne razreßenn¥x otnosytel\no starßej proyzvodnoj. V rabote [15] polu- çen¥ dostatoçn¥e uslovyq asymptotyçeskoj ustojçyvosty prohrammnoho mno- hoobrazyq v¥roΩdenn¥x system avtomatyçeskoho upravlenyq. V nastoqwej rabote reßagtsq zadaçy ustanovlenyq uslovyj πksponencyal\- noj ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq y synteza system, obladagwyx napered zadann¥my svojstvamy v vyde nekotoroho mnohoobrazyq. Postanovka zadaçy. Rassmotrym zadaçu postroenyq ustojçyvoj system¥ upravlenyq sledugwej struktur¥: �x = f t x B( , ) − ξ , �ξ = ϕ σ( ) , σ = P RTω ξ− 1 , (1) po zadannomu ( )n s− -mernomu hladkomu yntehral\nomu mnohoobrazyg Ω( )t , opredelqemomu vektorn¥m uravnenyem ω ( , )x t = 0, (2) hde ω — ( )s n≤ -mern¥j vektor, t I∈ = ∞[ , [0 , pry uslovyy R1 0> , f t x( , ) — nekotoraq n-mernaq vektor-funkcyq, B, P y R — postoqnn¥e matryc¥ raz- © S. S. ÛUMATOV, 2010 784 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 ∏KSPONENCYAL\|NAQ USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ … 785 mernostej n r× , s r× y r r× sootvetstvenno, x — n-mern¥j, a ξ , σ, ϕ — r- mern¥e vektor¥, nelynejnaq vektor-funkcyq upravlenyq ϕ σ( ) po otklone- nyg ot zadannoj prohramm¥ udovletvorqet uslovyqm ϕ ( )0 = 0, 0 < σ ϕ σT ( ) ≤ σ σT K ∀ ≠σ 0 . (3) V prostranstve Rn v¥delym oblast\ G R( ) : G R( ) = ( , ) : ( , )t x t t x≥ ∧ ≤ < ∞{ }0 ω ρ . (4) Uçyt¥vaq neobxodymoe y dostatoçnoe uslovye toho, çto mnohoobrazye Ω budet yntehral\n¥m dlq system¥ (1), ymeem �ω = F t x H B( , , )ω ξ− , �ξ = ϕ σ( ) , σ = P RTω ξ− 1 , H = ∂ ∂ ω x , (5) hde ∂ ∂ + ∂ ∂ ω ω t x f t x( , ) = F t x( , , )ω , F t x( , , )ω — funkcyq Eruhyna [2], udovlet- vorqgwaq uslovyg F t x( , , )0 ≡ 0. Pry F = F t t( , , ( , ))ω ξ ω systema (5) naz¥va- etsq zamknutoj; ξ = ξ ω( , )t — mnoΩestvo zakonov obratnoj svqzy [11]. Pola- haq F = –A ω , hde A — hurvyceva matryca razmernosty s s× , yz (5) poluçaem �ω = – A ω – H B ξ , �ξ = ϕ σ( ) , σ = P RTω ξ− 1 . (6) Sleduet otmetyt\, çto pry postroenyy ustojçyv¥x system avtomatyçeskoho upravlenyq na prohrammnoe mnohoobrazye (2) takΩe naklad¥vaetsq dopolny- tel\noe trebovanye ustojçyvosty. Opredelenye,1. Prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t naz¥vaetsq πksponen- cyal\no ustojçyv¥m pry t → ∞ otnosytel\no vektor-funkcyy ω , esly v oblasty (4) suwestvugt N > 0 , α > 0 takye, çto v¥polnqetsq z t( ) ≤ N z t t t( ) exp ( )[ ]0 0− −α , t ≥ t0 , (7) dlq lgboj funkcyy ω ( , )t x0 0 y ϕ σ( ) , udovletvorqgwej uslovyqm (3), z 2 = = ω ξ2 2+ . Zadaça,1. Ustanovym dostatoçn¥e uslovyq πksponencyal\noj ustojçyvos- ty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t system upravlenyq otnosytel\no vek- tor-funkcyy ω. Voz\mem dve sfer¥ ω0 = R , ω0 = ω ( )t0 , ω ( )t0 ∗ = ε , R >> ε . Ras- smotrym vse mnoΩestvo reßenyj uravnenyq (6), naçynagwyxsq na sfere R y naz¥vaem¥x R-reßenyqmy. Dlq asymptotyçesky ustojçyv¥x system dlq lgboho ω0 na sfere R suwestvuet t0 ∗ takoe, pry kotorom v¥polnqgtsq uslovyq ω ω( , , )t t0 0 0 ∗ = ε, ω ω( , , )t t0 0 < ε ∀ > ∗t t0 . (8) Pust\ t∗ = sup ω0 0t ∗ . Opredelenye,2. Ynterval t t∗ − 0 naz¥vaetsq vremenem rehulyrovanyq v ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 786 S. S. ÛUMATOV zamknutoj systeme, esly lgboe R-reßenye v¥xodyt na sferu ε pry t t0 ∗ ∗≤ y ostaetsq vnutry nee pry t t> ∗ . Zadaça,2. Dano mnoΩestvo M zakonov obratnoj svqzy. Trebuetsq opre- delyt\ eho podmnoΩestvo M1 , na kotorom v¥polnqetsq uslovye t R∗( , , )ε ξ ≤ ≤ t z ( t z — zadannoe vremq). Zadaça reßaetsq dlq system, asymptotyçesky ustojçyv¥x otnosytel\no vek- tor-funkcyy ω. ∏ksponencyal\naq ustojçyvost\ prohrammnoho mnohoobrazyq. Teorema,1. Pust\ ϕ σ( ) udovletvorqet uslovyqm (3) y suwestvuet po- loΩytel\no opredelennaq funkcyq V ( , )ω ξ > 0, proyzvodnaq kotoroj v sylu system¥ (6) qvlqetsq otrycatel\no opredelennoj – �V W= >( , )ω ξ 0 . Tohda prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t πksponencyal\no ustojçyvo otnosytel\no vektor-funkcyy ω. Dokazatel\stvo. Dlq system¥ (6) stroym poloΩytel\no opredelennug funkcyg Lqpunova V = ω ω ω ξ ξ ξ ϕ β σ σ T T T TL L L d0 1 2 0 2+ + + ∫ , L = LT > 0, (9) hde L = L L L LT 0 1 1 2 > 0, β = diag β β1, ,… r > 0. Proyzvodnaq funkcyy (9) po vremeny t v sylu system¥ (6) prymet vyd – �V ≡≡≡≡ W = ω ω ω ξ ξ ξ ω ϕ ξ ϕ ϕ ρϕT T T T T TG G g G G0 1 2 12 2 2+ + + + + > 0, (10) G0 = A L L AT 0 0+ , G1 = L B A LT 0 1+ , g = BL L BT 1 0+ , G2 = – L A PT 1 1 2 + β , G3 = – L B PT 2 + β , ρ = βR1 , G = G G G G g G G G T T T 0 1 2 1 3 2 3 ρ > 0. Na osnovanyy svojstva (3) y struktur¥ obratnoj svqzy σ spravedlyv¥ sledug- wye ocenky: 0 < ϕ σ β σ σ T d( ) 0 ∫ < β σ1 1 2 2 k , 0 < ϕ 2 < k1 2 2σ , (11) ρ ω ν ξ1 2 1 2+ ≤ σ 2 ≤ ρ ω ν ξ2 2 2 2+ , hde k1 = min ki{ } , β1 = βi{ } , i = 1, … , r, ki — sobstvenn¥e çysla matryc¥ K, a ρ1, ρ2 y ν1 , ν2 opredelqgtsq tak: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 ∏KSPONENCYAL\|NAQ USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ … 787 ρ1 = min ω ω ω ω ω≠0 T T T PP , ρ2 = max ω ω ω ω ω≠0 T T T PP , ν1 = min ξ ξ ξ ξ ξ≠0 1 1 T T T R R , ν2 = max ξ ξ ξ ξ ξ≠0 1 1 T T T R R . V sylu poloΩytel\noj opredelennosty funkcyy V (9) y ee proyzvodnoj – �V (10) s uçetom ocenok (11) ymegt mesto sootnoßenyq γ ω ξ1 2 2+( ) ≤ V ≤ γ ω ξ2 2 2+( ) , (12) g1 2 2ω ξ+( ) ≤ – �V ≤ g2 2 2ω ξ+( ) . (13) Zdes\ γ1 = min ;l k l k 1 1 1 1 1 1 1 12 2 + +       β ρ β ν , γ 2 = max ;l k l k 2 1 1 2 2 1 1 22 2 + +       β ρ β ν , g1 = min ;g k k0 1 2 1 1 2 11 1+ +{ }ρ ν , g2 = max ;g k ks 1 11 2 2 1 2 2+ +{ }ρ ν , l1, l2 , g0 , gs — naymen\ßye y naybol\ßye znaçenyq sobstvenn¥x çysel L y G. Pust\ z 2 = ω ξ2 2+ . Tohda, prynymaq vo vnymanye sootnoßenyq (12), (13), poluçaem ocenky γ α2 1 0 1 0 − −V t texp ( ) ≤ z 2 ≤ γ α1 1 0 2 0 − −V t texp ( ) , (14) hde V0 = z Lz dT T 0 0 0 0 + ∫ ϕ σ β σ σ ( ) , z0 = z t( )0 , σ0 = σ ( )t0 , α1 = – g2 1γ , α2 = – g1 2γ . Otsgda v sylu neravenstva (12) ymeem z t( ) 2 ≤ γ γ α2 1 1 0 2 02− −z t t t( ) exp ( ) , t t≥ 0 , α α = 2 2 . Takym obrazom, pry t t≥ 0 naxodym z t( ) ≤ N z t t t( ) exp ( )0 0α − , t t≥ 0 , hde N = −γ γ2 1 1 , a z t( )0 dostatoçno mala. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 788 S. S. ÛUMATOV Uslovye b¥strodejstvyq rehulqtora. Na osnovanyy ocenok (13), (14) na sfere R v¥polnqetsq neravenstvo z 2 ≤ γ γ α1 1 2 2 1 0 − −R t texp ( ) . (15) Pry t t= ∗ 0 yz (15) poluçaem γ γ α1 1 2 2 1 0 0 − ∗ −R t texp ( ) = ε2 , otkuda sleduet t t0 0 ∗ − = α ε γ γ 2 1 2 1 2 2 − ln R . Uslovyq b¥strodejstvyq rehulqtora ymegt vyd –α γ ε γ 2 1 2 2 2 1 − sup ln R R = t z , hde t z — zadannoe vremq. Zadaça pererehulyrovanyq. Rassmotrym lgboe R-reßenye zamknutoj sys- tem¥ (6), opredelennoe dlq kakoho-lybo zakona obratnoj svqzy ξ = ξ ω( , )t , y proyzvol\nug poloΩytel\nug funkcyg Φ( )ω . Otnoßenye Π = sup ( ) t S S Φ ω − , S > 0 , (16) naz¥vaetsq pererehulyrovanyem [11], S = ω ( )∞ — ustanovyvßeesq znaçenye rehulyruemoj velyçyn¥ posle zaverßenyq perexodnoho processa. Zadaça,3. Dano mnoΩestvo M zakonov obratnoj svqzy. Trebuetsq opre- delyt\ takoe eho podmnoΩestvo M2 , na kotorom v¥polnqetsq neravenstvo Π = Π( , , )R S ξ ≤ Π z ( Π z — zadannoe çyslo). Dlq reßenyq zadaçy pererehulyrovanyq poloΩym Φ( , )ω ξ = V , hde V opredelqetsq sootnoßenyem (9). Tohda na osnovanyy (15) pererehulyrovanye P budet ymet\ vyd Π = sup exp ( ) t t t s s γ γ α1 1 2 2 0 − − − , s = z( )∞ > 0. Otsgda, prynymaq vo vnymanye, çto α2 0< , s uçetom (14) naxodym Π = γ γ1 1 2 2− −R s s > 0 pry uslovyy R s> −γ γ2 1 1 . Esly Π z — zadannoe çyslo, to uslovye pererehulyrovanyq poluçym v vyde R2 ≤ s( )Π z + −1 1 2 1γ γ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 ∏KSPONENCYAL\|NAQ USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ … 789 Zadaça o monotonnom zatuxanyy. Perexodn¥j process v zamknutoj syste- me naz¥vaetsq monotonno zatuxagwym [11], esly suwestvuet takoj zakon obrat- noj svqzy ξ = ξ ω( , )t , çto lgboe R -reßenye uravnenyq (6) udovletvorqet uslovyg �ω ω( , , )t t0 0 ≤ C t texp ( )[ ]− −α 0 , C > 0 , α > 0 . (17) Zadaça,4. Dano mnoΩestvo M zakonov obratnoj svqzy. Trebuetsq opre- delyt\ takoe eho podmnoΩestvo M z , na kotorom lgboe R-reßenye uravne- nyq (6) zatuxaet monotonno. Dlq poluçenyq uslovyq monotonnoho zatuxanyq dopolnytel\no trebuetsq dyfferencyruemost\ vektor-funkcyy ϕ σ( ) po σ y çtob¥ çastnaq proyzvod- naq udovletvorqla uslovyg K1 ≤ ∂ ∂ ϕ σ ≤ K2 , K1 0> , K2 0> . Dyfferencyruq systemu (6) po vremeny t , naxodym ��ω = – A N� �ω ξ− , ��ξ = ∂ ∂ ϕ σ σ� , (18) �σ = P RT � �ω ξ− . Stroym funkcyg Lqpunova V = � � � �ω ω ξ ξT TL L0 1+ , L0 = LT 0 > 0, L1 = LT 1 > 0, (19) proyzvodnaq kotoroj v sylu system¥ (18) ymeet vyd – �V = � � � � � �ω ω ω ξ ξ ξT T TG G G0 1 22+ + . (20) Zdes\ G0 = A L L AT 0 0+ , G1 = L N P L T 0 1− ∂ ∂     ϕ σ , G2 = M L L MT 1 1+ , M = ∂ ∂ ϕ σ R , G = G G G GT 0 1 1 2 > 0. Yz sootnoßenyj (19), (20) ymeem l1 2 2 � �ω ξ+    ≤ V ≤ l2 2 2 � �ω ξ+    , (21) g t1 2 2 ( ) � �ω ξ+    ≤ – �V ≤ g t2 2 2 ( ) � �ω ξ+    , (22) hde l1 = min ,{ }( ) ( )l li i 0 1 , l2 = max ,{ }( ) ( )l li i 0 1 , g t1( ) = min ( ){ }g ti , g t2( ) = = max ( ){ }g ti ; li ( )0 , li ( )1 , g ti ( ) — sobstvenn¥e çysla matryc L0 , L1 , G. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6 790 S. S. ÛUMATOV Na osnovanyy ocenok (21), (22) poluçaem V t t0 1 0exp ( )α − ≤ V ≤ V t t0 2 0exp ( )α − , (23) α1 = – l g1 2/ , α2 = – l g2 1/ , g1 = inf ( ){ } t g t1 , g2 = sup ( ){ } t g t2 . Polahaq �z 2 = � �ω ξ2 2 + , v sylu (21), (23) ymeem �z 2 ≤ �R t t0 2 2 0exp ( )α − , �R0 2 = � �ω ξ( ) ( )t t0 2 0 2 + . Otsgda naxodym uslovye monotonnosty zatuxanyq perexodnoho processa syste- m¥ (18) �z ≤ �R t t0 0exp ( )α − , hde α = α2 2/ . 1. Eruhyn N. P. Postroenye vseho mnoΩestva system dyfferencyal\n¥x uravnenyj, ymegwyx zadannug yntehral\nug kryvug // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1952. – 16, v¥p.P6. – S.P653 – 670. 2. Halyullyn A. S., Muxametzqnov Y. A., Muxarlqmov R. H. Obzor yssledovanyj po analyty- çeskomu postroenyg system prohrammnoho dvyΩenyq // Vestn. Ros. un-ta druΩb¥ narodov. – 1994. – # 1. – S.P5 – 21. 3. Muxametzqnov Y. A. Ob ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq. I // Dyfferenc. urav- nenyq. – 1973. – # 5. – S.P846 – 856. 4. Muxametzqnov Y. A. Ob ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq. II // Tam Ωe. – # 6. – S.P1037 – 1048. 5. Muxametzqnov Y. A., Saakqn A. O. Nekotor¥e dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj ustojçy- vosty nelynejn¥x yntehral\n¥x mnohoobrazyj // Problem¥ mexanyky upravlqemoho dvyΩe- nyq. – Perm\, 1979. – S.P137 – 144. 6. Majharyn B. Û. Ustojçyvost\ y kaçestvo processov nelynejn¥x system avtomatyçeskoho upravlenyq. – Alma-Ata, 1980. – 316Ps. 7. Ûumatov S. S., Krementulo V. V., Majharyn B. Û. Vtoroj metod Lqpunova v zadaçax ustojçyvosty y upravlenyq dvyΩenyem. – Almat¥, 1999. – 228Ps. 8. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Fyzmathyz, 1967. – 472Ps. 9. Qkubovyç V. A. Metod¥ teoryy absolgtnoj ustojçyvosty // Metod¥ yssledovanyq nelynej- n¥x system avtomatyçeskoho upravlenyq. – M., 1975. – S.P74 – 180. 10. Voronov A. A. Ustojçyvost\, upravlqemost\, nablgdaemost\. – M.: Fyzmathyz, 1979. – 336Ps. 11. Letov A. M. Matematyçeskaq teoryq processov upravlenyq. – M., 1981. – 256Ps. 12. Samojlenko A. M., Qkovec V. P. O pryvodymosty v¥roΩdennoj lynejnoj system¥ k cen- tral\noj kanonyçeskoj forme // Dop. NAN Ukra]ny. – 1993. – # 4. – S.P10 – 15. 13. Qkovec\ V. P. Deqki vlastyvosti vyrodΩenyx linijnyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 1997. – 49, # 9. – S.P1278 – 1296. 14. Qkovec\ V. P. Pro strukturu zahal\noho rozv’qzku vyrodΩeno] linijno] systemy dyferencial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku // Tam Ωe. – 1998. – 50, # 2. – S.P292 – 298. 15. Ûumatov S. S. Ustojçyvost\ prohrammnoho mnohoobrazyq system upravlenyj s lokal\no- kvadratyçn¥my svqzqmy // Tam Ωe. – 2009. – 61, # 3. – S.P418 – 424. Poluçeno 02.09.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 6

Экспоненциальная устойчивость программного многообразия систем непрямого управления

Репозитарії

Схожі ресурси