О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166170 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1661702025-02-09T09:55:50Z О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби On the mean convergence of Fourier–Jacobi series Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. Статті Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені. The convergence of Fourier–Jacobi series in the spaces L p,A,B is studied in the case where the Lebesgue constants are unbounded. 2010 Article О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби Український математичний журнал |
| description |
Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені. |
| format |
Article |
| author |
Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. |
| author_facet |
Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. |
| author_sort |
Гончаров, С.В. |
| title |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби |
| title_short |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби |
| title_full |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби |
| title_fullStr |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби |
| title_full_unstemmed |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби |
| title_sort |
о сходимости в среднем рядов фурье — якоби |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170 |
| citation_txt |
О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gončarovsv oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT motornyjvp oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT nitiemapk oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT gončarovsv onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT motornyjvp onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT nitiemapk onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries |
| first_indexed |
2025-11-25T14:42:45Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:42:45Z |
| _version_ |
1849773817087393792 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. П. Моторный, С. В. Гончаров (Днепропетр. нац. ун-т),
П. К. Нитиема (Ун-т Буркина-Фасо, Уагадугу)
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ
The convergence of the Fourier – Jacobi series in the spaces Lp,A,B is investigated in the case where the
Lebesgue constants are unbounded.
Дослiджується збiжнiсть рядiв Фур’є – Якобi у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега
необмеженi.
Пусть Pα,βn (x) — многочлены Якоби, ортогональные на отрезке [−1, 1] с весом
ρ(x) = (1 − x)α(1 + x)β , α > −1, β > −1. Через Lp,A,B oбозначим пространство
измеримых на отрезке [−1, 1] функций f, для которых fw1/p ∈ Lp, где весовая
функция w(x) = (1− x)A(1 + x)B , A,B > −1. Норма ‖f‖p,A,B = ‖fw1/p‖p. Если
A = B = 0, то ‖f‖p,0,0 = ‖f‖p =
{∫ 1
−1
|f(x)|dx
}1/p
.
Через Sα,βn (f) будем обозначать частную сумму порядка n ряда Фурье – Якоби
функции f ∈ Lp,α,β . Частные суммы Sα,βn (f) можно рассматривать как опера-
тор, действующий в некотором подпространстве X пространства L1
ρ. Норма этого
оператора
‖Sα,βn ‖X = sup
‖f‖X≤1
‖Sα,βn (f)‖X
называется константой Лебега. В силу неравенства Лебега∥∥f − Sα,βn (f)
∥∥
X
≤
(
1 + ‖Sα,βn ‖X
)
En(f)X , (1)
где En(f)X — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочлена-
ми степени не выше n в пространстве X. Ограниченность констант Лебега влечет
сходимость ряда Фурье – Якоби для любой функции в пространстве X, если в
пространстве X имеет место теорема Вейерштрасса, а также определяет порядок
сходимости частных сумм ряда Фурье – Якоби Sα,βn (f) к f в пространстве X. В
работах Х. Полларда [1, 2], Дж. Неймана и У. Рудина [3], Г. Винга [4] и Б. Маккенхо-
упта [5] были выделены пространства интегрируемых с весом функций, в которых
константы Лебега ограничены. Наиболее общий результат получен Б. Маккенхоуп-
том и формулируется он следующим образом.
Теорема 1. Пусть 1 < p < ∞. Тогда для того чтобы ‖Sα,βn ‖p,A,B были
ограничены, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства∣∣(α+ 1)/2−A/p− 1/p
∣∣ < min(1/4, (α+ 1)/2), (2)∣∣(β + 1)/2−B/p− 1/p
∣∣ < min(1/4, (β + 1)/2). (3)
В [6] показано, что для того чтобы каждая функция f ∈ Lp,A,B имела ряд
Фурье – Якоби, соответствующий весу ρ, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись условия
(α+ 1)/2− (A+ 1)/p > −(α+ 1)/2, (β + 1)/2− (B + 1)/p > −(β + 1)/2,
(4)
c© В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА, 2010
814 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 815
если p > 1, a при p = 1 знак > в (4) следует заменить на ≥. Поскольку A+ 1 > 0,
B + 1 > 0, то левые части неравенств (4) меньше соответственно (α + 1)/2 и
(β +1)/2. Поэтому вопрос о сходимости рядов Фурье – Якоби в пространствах Lpw
следует рассматривать в случаях∣∣(α+ 1)/2− (A+ 1)/p
∣∣ < (α+ 1)/2,
∣∣(β + 1)/2− (B + 1)/p
∣∣ < (β + 1)/2.
(5)
Отметим, что если α, β ∈ (−1;−1/2] и 1 < p <∞, то в силу (5) условия (2), (3)
заведомо имеют место. Поэтому оценку роста констант Лебега сумм Фурье – Якоби
следует находить при max{α, β} > −1/2.
Первые работы, связанные с разложением функций по ортогональным на отрез-
ке [−1; 1] алгебраическим многочленам, в основном посвящены многочленам Ле-
жандра. Это прежде всего работы [1 – 4, 7, 8]. В работе [8] для оценки уклонения
в пространстве C[−1;1] сумм Фурье – Лежандра от непрерывных или дифференци-
руемых функций была использована теорема А. Ф. Тимана об усилении теоре-
мы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций алгебраическими
многочленами на отрезке. Поведение констант Лебега и функций Лебега сумм
Фурье – Якоби в пространстве C[−1;1] было исследовано во многих работах (см.,
например, [9 – 15]). В этом случае точные по порядку оценки приближений сум-
мами Фурье – Якоби непосредственно следуют из неравенства Лебега (1). Как ока-
залось (см. [16 – 20]), в случае приближений суммами Фурье – Лежандра, когда
1 ≤ p ≤ 4/3 и p = 4, неравенство Лебега приводит к грубым оценкам. Это можно
объяснить тем, что с улучшением дифференциально-разностных свойств функции
рост констант Лебега, соответствующих многочленам Лежандра, меньше влияет на
порядок стремления к нулю величины ‖f −S0,0
n (f)‖Lp
. Для функций с достаточно
хорошими дифференциально-разностными свойствами суммы Фурье – Лежандра
осуществляют приближение в Lp при 1 < p ≤ 4/3 по порядку не хуже наилуч-
шего. Этот результат был установлен с помощью обобщенных констант Лебега,
которые введены в [16, 17] при 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 следующим образом:
D
(0,0)
n,p,θ = sup
‖f/σ(n,θ)‖p≤1
∥∥S(0,0)
n (f)
∥∥
p
,
где
σ(n, θ, x) =
(√
1− x2 + 1/n
)θ
, θ > 0.
Оценки ‖Sα,βn ‖Lp
для 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 были получены в работах [16,
17, 19]:
‖S0,0
n ‖Lp
� Cp,r
n2/p−3/2, если 1 ≤ p < 4/3,
ln(n+ 1), если p = 4/3 или p = 4,
n1/p−2/p, если p > 4.
(6)
Позже в [19] в случаях 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 исследовались обобщенные
константы Лебега вида
B
(0,0)
n,p,θ = sup
‖f‖p≤1
‖S(0,0)
n (f)σ(n, θ)‖q, где 1p+ 1/q = 1, θ > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
816 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
Известно, что поведение частных рядов Фурье – Якоби на отрезке [a; b]⊂(−1; 1)
подобно поведению частных сумм рядов Фурье по тригонометрической системе.
Например,
∫ b
a
∣∣f(x) − S(α,β)
n (f ;x)
∣∣pdx → 0 при n → ∞ для любого p ∈ (1;∞).
Следовательно, особенности поведения частных рядов Фурье – Якоби на отрезке
[−1, 1], такие как сходимость, неограниченный рост констант Лебега, определя-
ются свойствами многочленов Якоби на концах отрезка [−1, 1]. Этим замечани-
ем можно мотивировать введение обобщенных констант Лебега. Оказалось, что
в случаях, когда обобщенные константы Лебега ограничены (а константы Лебега
неограничены) частные суммы рядов Фурье – Лежандра функции f могут осущест-
влять приближение функции f по порядку не хуже наилучшего. Это следует из
неравенства Лебега и возможности приблизить [18] функцию в пространстве Lp
алгебраическими многочленами с весом
(√
1− x2 + 1/n
)−θ
, по порядку не хуже
наилучшего. Действительно, поскольку S0,0
n (Pn;x) = Pn(x) для любого многочле-
на Pn(x) степени не выше n, а из определения констант D(0,0)
n,p,θ для любой функции
f ∈ Lp следует неравенство
‖S0,0
n (f)‖p ≤ D(0,0)
n,p,θ‖f/σ(n, θ)‖p,
то ∥∥f − S0,0
n (f)
∥∥
p
≤ ‖f − Pn‖p +
∥∥S0,0
n (f − Pn)
∥∥
p
≤
≤ ‖f − Pn‖p +D
(0,0)
n,p,θ
∥∥∥∥f − Pnσ(n, θ)
∥∥∥∥
p
. (7)
Через Hr+γ
p , r = 0, 1, . . . , 0 < γ ≤ 1, обозначим класс функций, заданных на
отрезке [−1, 1] и имеющих там r-ю производную f (r)(x) ∈ Lp, для которой при
любом 0 < h < 1 выполняется неравенство
1−h∫
−1
|f (r)(x)− f (r)(x+ h)|p dx
1/p
≤ Chγ .
Известно следующее утверждение [18].
Предложение 1. Для любой функции f ∈ Hr+γ
p существует последователь-
ность алгебраических многочленов Pn(x) степени не выше n > 2 таких, что∥∥∥∥ f(x)− Pn(x)
(
√
1− x2 + 1/n)r+γ
∥∥∥∥
p
≤ C ln1/p n
nr+γ
. (8)
При этом если под знаком нормы заменить r + γ на меньшее число, то в правой
части неравенства lnn можно опустить.
В работе [21] получен следующий результат.
Предложение 2. Многочлены Pn(x) в предложении 1 можно выбрать так,
что в знаменателе дроби, содержащейся в левой части неравенства (8), слагаемое
1/n можно опустить.
С использованием неравенства (7) и предложения 1 в [16, 17] получен следую-
щий результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 817
Теорема 2. Пусть 1 < p ≤ 4/3, f ∈ Hr+γ
p , где γ > 1/p − 3/4, если r = 0.
Тогда
‖f(x)− S(o,o)
n ‖p ≤
≤ Cp,r
ln(n+ 1)
n2γ−2/p+3/2
, если 2/p− 3/2 ≥ γ > 1/p− 3/4, r = 0,
n−r−µ, если r + γ > 2/p− 3/2.
(9)
В настоящей работе изучаются обобщенные константы Лебега для частных
сумм Фурье – Якоби в пространствах Lp,A,B и оценки уклонений частных сумм
Фурье – Якоби от функций в пространствахLp,A,B . Приведем примеры пространств
и классы функций, имеющих достаточно высокую гладкость, для которых частные
суммы Фурье – Якоби осуществляют приближение по порядку не хуже наилучшего.
Заметим, что это возможно тогда, когда (α+1)/2− (A+1)/p ∈ (−(α+1)/2;−1/4]
и (β+1)/2−(B+1)/p ∈ (−(β+1)/2;−1/4]. Если же (α+1)/2−(A+1)/p ∈ [1/4;
(α+ 1)/2) или (β + 1)/2− (B + 1)/p ∈ [1/4; (β + 1)/2), то порядок приближения
суммами Фурье – Якоби, как и для сумм Фурье – Лежандра, определяется ростом
констант Лебега.
Для любых n, p, θ, δ, α, β, A, B положим
Dα,β,A,B
n,p,θ,δ = sup
‖f/ρ(n,θ,δ)‖p,A,B≤1
‖Sα,βn (f)‖p,A,B ,
где ρ(n, θ, δ, x) =
(√
1− x+ 1/n
)θ(√
1 + x+ 1/n
)δ
, θ, δ ∈ R1. Эти константы
совпадают с классическими константами Лебега, если γ = δ = 0.
Теорема 3. Пусть 1 < p < ∞, q = p/(p − 1), max{α, β} > −1/2, для
чисел α, β, A, B выполняется условие (5) и θ ≥ µ = (2A + 2)/p − α − 3/2 ≥ 0,
δ ≥ ν = (2B + 2)/p− β − 3/2 ≥ 0. Тогда имеют место неравенства
Dα,β,A,B
n,p,θ,δ ≤
Cθ,δ, если θ > µ, δ > ν,
Cµ,ν ln
1/q n, если θ = µ или δ = ν и µ, ν > 0,
C ln(n+ 1), если θ = µ = 0 или δ = ν = 0.
(10)
Чтобы доказать теорему 3, необходимы следующие вспомогательные утверж-
дения.
Для многочленов Pα,βn (x) справедливы равенства (см. [22, с. 71])
Pα,βn (x) = (−1)nP β,αn (−x), (11)
а также неравенства (см. [22], теорема 7.32.2)∣∣Pα,βn (x)
∣∣ ≤ Cn−1/2(1− x+ n−2)−α/2−1/4, 0 < x < 1. (12)
Положим
lα,βk = ‖Pα,βn ‖2,α,β .
Для любой функции f ∈ Lpρ ряд Фурье – Якоби будет иметь вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
818 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
∞∑
k=0
cρkP
α,β
k (x),
где cρk = 1/lα,βk
∫ 1
−1
f(x)Pα,βk (x)dx — коэффициенты Фурье функции f. Частную
сумму Sα,βn (f) ряда Фурье – Якоби можно представить в виде
Sα,βn (f ;x) =
1∫
−1
K(α,β)
n (x, y)f(y)(1− y)α(1 + y)β dy, (13)
а ядро K(α,β)
n (x, y) — в виде [5]
K(α,β)
n (x, y) = αnh1(n, x, y) + βn(h2(n, x, y) + h3(n, x, y)),
где
h1(n, x, y) = (n+ 1)Pα,βn (x)Pα,βn (y), (14)
h3(n, y, x) = h2(n, x, y)
n(1− y2)Pα,βn (x)Pα+1,β+1
n−1 (y)
x− y
, (15)
а αn, βn — ограниченные последовательности.
Также будем использовать предложения 3 – 5, доказанные в [5].
Предложение 3. Если 1 < p < ∞, r, s < −1 и F (x) =
∫ x
0
|f(t)|dt, то
существует постоянная C, не зависящая от f(x), такая, что
∞∫
0
xr(1 + x)s−rF p(x)dx ≤ C
∞∫
0
xp+r(1 + x)s−r|f(x)|pdx.
Замечание 1. Всюду в дальнейшем через C будем обозначать абсолютные
константы, а через Cp, Cθ, Cp,θ — величины, зависящие от указанных индексов,
хотя их значения в разных местах могут быть разными.
Предложение 4. Если 1 < p < ∞, r, s > −1 и F (x) =
∫ ∞
x
|f(t)|dt, то
существует постоянная C, не зависящая от f(x), такая, что
∞∫
0
xr(1 + x)s−rF p(x)dx ≤ C
∞∫
0
xp+r(1 + x)s−r|f(x)|pdx.
Предложение 5. Пусть ω(x) — положительная функция, удовлетворяющая
неравенству
ω(2n) ≤ Bω(x) ≤ B2ω(2n), x ∈ [2n; 2n+1], n = 0,±1,±2, . . . ,
где B — некоторая постоянная, и f̃(x) = V.P.
∫ 3x/2
x/2
f(y)
x− y
dy. Тогда существует
постоянная C, зависящая только от f(x) и такая, что
∞∫
0
∣∣f̃(x)∣∣pω(x)dx ≤ C ∞∫
0
|f(x)|pω(x)dx, 1 < p <∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 819
В силу (11), чтобы доказать теорему 3, достаточно оценить интегралы
Ik =
1∫
−1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
f(y)hk(n, x, y)ρ(y)dy
∣∣∣∣∣∣
p
w(x)dx, k = 1, 2, 3.
Оценим интеграл I1, использовав представление (14) и оценку (12):
I1 =
1∫
−1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
f(y)h1(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdy
∣∣∣∣∣∣
p
(1− x)A(1 + x)Bdx ≤
≤ C
1∫
0
|f(y)|(1− y + 1/n2)−α/2−1/4(1− y)αdy
p×
×
1∫
−1
[
(1− x+ 1/n2)−α/2−1/4(1 + x+ 1/n2)−β/2−1/4
]p
(1− x)A(1 + x)Bdx.
Первый сомножитель обозначим через I1,1, а второй — через I1,2. Поскольку
−αp/2 ≥ 3p/4−A−1 и−βp/2 ≥ 3p/4−B−1, то−αp/2−p/4+A ≥ p/2−1 > −1/2,
−βp/2 − p/4 + B ≥ p/2 − 1 > −1/2 и, следовательно, интеграл I1,2 ограничен
абсолютной константой. Множитель I1,1 представим в виде
I1,1 =
1∫
0
|f(y)|(1− y + 1/n2)−α/2−1/4+θ/2(1− y)α−A (1− y)A
(1− y + 1/n2)θ/2
dy
p ,
затем применим неравенство Гельдера
I1,1 ≤
1∫
0
|f(y)|p(1− y)A
(1− y + 1/n2)pθ/2
dy×
×
1∫
0
(1− y + 1/n2)−αq/2−q/4+θq/2(1− y)(α−A)q+Ady
p/q .
Пусть сначала θ > −(α+1)+2(A+1)/p−1/2 ≥ 0. Тогда A+ q(θ/2−α/2−1/4+
+ α−A) > −1. Следовательно, в этом случае
I1,1 ≤ Cθ
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
.
Пусть теперь θ = −(α+1)+2(A+1)/p− 1/2 ≥ 0. Тогда A+ q(θ/2−α/2− 1/4+
+ α−A) = −1. Следовательно,
I1,1 ≤ C lnp/q n
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
.
Таким образом,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
820 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
I1 ≤
Cθ
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ > µ,
C lnp/q n
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ = µ.
(16)
Интеграл I2 представим в виде суммы двух интегралов
I2 =
−1/2∫
−1
+
∫ 1
−1/2
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
f(y)h2(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdu
∣∣∣∣∣∣
p
w(x)dx :=
:= I2,1 + I2,2
и сначала оценим I2,1, использовав неравенство (12) для многочленов Якоби, пред-
ставление (15) для функции h2(n, x, y) и неравенство |y − x| > 1/2:
I2,1 ≤ C
−1/2∫
−1
1∫
0
|f(y)|(1− y)α+1dy
(1− y + 1/n2)α/2+3/4
p (1 + x)Bdx
(1 + x+ 1/n2)(β/2+1/4)p
=
= C
1∫
0
|f(y)|(1− y)α+1(1− y + 1/n2)−α/2−3/4dy
p×
×
−1/2∫
−1
(1 + x+ 1/n2)(−β/2−1/4)p(1 + x)Bdx = K1 ×K2.
Интеграл K2 оценивается точно так же, как интеграл I1,2, так как из условия
(2B+2)/p−β−3/2 ≥ 0 следует неравенство −pβ/2−p/4+B ≥ p/2−1 > −1/2.
Для оценки величины K1 применим неравенство Гельдера:
K1 ≤
1∫
0
|f(y)|p(1− y)A
(1− y + 1/n2)pθ/2
dy×
×
1∫
0
(1− y + 1/n2)−αq/2+q/4+θq/2(1− y)(α−A)q+Ady
p/q .
Поскольку θ/2 ≥ (A+1)/p−(α+1)/2−1/2 ≥ 0, тоA+q(θ/2−α/2+1/4+α−A) ≥
≥ −1+ q/2 > −1. Поэтому второй сомножитель ограничен константой, зависящей
от p, и
K1 ≤ Cp
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
.
Следовательно,
I2,1 ≤ C
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 821
В интеграле I2,2 выполним замену переменных интегрирования, положив u =
= n2(1− x); v = n2(1− y). Тогда u ∈ [0; 3n2/2], v ∈ [0;n2] и
I2,2 = n−2(1+A)
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
n2∫
0
f(y)v1+αφ(n; y)dv
(v − u)(u+ 1)α/2+1/4(1 + v)α/2+3/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
uAdu =
= n−2(1+A)
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
u/2∫
0
+
3u/2∫
u/2
+
n2∫
3u/2
f(y)v1+αφ(n; y)dv
(v − u)(1 + v)α/2+3/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
uAdu
(u+ 1)p(α/2+1/4)
,
где φ(n; y), в силу оценок (11), — ограниченная функция. Заменяя сумму вну-
тренних интегралов на сумму их модулей и учитывая, что в первом интеграле
u− v > u/2, а в третьем v − u > v/3, получаем
I2,2 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
u∫
0
|f(y)|v1+αdv
(1 + v)α/2+3/4
p uA−pdu
(u+ 1)p(α/2+1/4)
+
+
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
3u/2∫
u/2
f(y)v1+αφ(n; y)dv
(v − u)(1 + v)α/2+3/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
uAdu
(u+ 1)p(α/2+1/4)
+
+
3n2/2∫
0
n2∫
u
|f(y)|vαdv
(1 + v)α/2+3/4
p
uAdu
(u+ 1)p(α/2+1/4)
:=
:= I12 + I22 + I32 .
Оценим интеграл I12 , положив A ≤ 0. Тогда r = −p+ A < −1 и s− r = −αp/2−
−p/4 ≤ 0, так как α > −1/2. Поэтому s = r−αp/2−p/4 = −p+A−αp/2−p/4 <
< −1. Следовательно, можно применить предложение 3. Тогда
I12 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(1+α)+Adv
(v + 1)p(α+1)
≤
≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvAdv = Cp
1∫
−1/2
|f(y)|p(1− y)Ady.
Если A > 0, то в силу неравенства (1 + u)θp/2 ≤ (1 + n2)θp/2, u ∈ [0;n2], θ ≥
≥ (2A+ 2)/p− α− 3/2 ≥ 0,
I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp
3n2/2∫
0
u∫
0
|f(y)|v1+αdv
(1 + v)α/2+3/4
p u−pdu
(1 + u)αp/2+p/4+θp/2−A
.
Покажем, что в этом случае также выполняются условия предложения 3. Дей-
ствительно, r = −p < −1 и s − r = A − αp/2 − p/4 − θp/2 ≤ −1 + p/2, так
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
822 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
как α > −1/2. Следовательно, s ≤ r − 1 + p/2 = −p/2 − 1 < −1. Применяя
предложение 3, получаем
I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(1+α)dv
(1 + v)p(α+1+θ/2)−A .
Поскольку (α + 1)/2 − (A + 1)/p > −(α + 1)/2, то α + 1 − (A + 1)/p > 0,
следовательно, α+ 1−A/p > 0 и поэтому
I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp
3n2/2∫
0
|f(y)|pvAdv
(1 + v)pθ/2
≤ Cp
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
. (18)
Замечание 2. Если (α + 1)/2 − (A + 1)/p = −1/4, то можно не вводить
множитель (1 + u)θp/2. Как и в предыдущем случае, положим s − r = −αp/2 −
− p/4+A. Так как (α+1)/2− (A+1)/p = −1/4, то αp/2− p/4 = −A− 1+ p/2 и
s− r = p/2− 1. Тогда s = r − 1 + p/2 = −p/2− 1 < −1 и, следовательно, можно
применить предложение 3. Имеем
I12 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(1+α)dv
(1 + v)p(α+1)−A ≤ Cp‖f‖
p
p,w. (19)
Чтобы оценить интеграл I22 , заметим, что функция ω(x) = xA(1 + x)p(α/2+1/4)
удовлетворяет условиям предложения 5. Следовательно,
I22 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(1+α)+Adv
(1 + v)p(α+1)
≤ Cp‖f‖pp,w. (20)
Переходя к оценке интеграла
I32 =
3n2/2∫
0
n2∫
u
|f(y)|vαdv
(1 + v)α/2+3/4
p
uAdu
(u+ 1)p(α/2+1/4)
,
отметим, что выполняются условия предложения 4. Действительно, r = A > −1/2,
s− r = −p(α/2+1/4) и так как −1/4 ≥ (α+1)/2− (A+1)/p, то s = A−p(α/2+
+ 1/4) ≥ p/2− 1 > −1. В силу предложения 4 имеем
I32 ≤
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(α+1)+Adv
(1 + v)p(α+1)
≤ Cp‖f‖pp,w. (21)
Из неравенств (17) – (21) следует оценка
I2 ≤ Cp
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
. (22)
Интеграл I3 представим в виде суммы двух интегралов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 823
I3 =
−1/2∫
−1
+
1∫
−1/2
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
f(y)h3(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdu
∣∣∣∣∣∣
p
w(x)dx := I3,1 + I3,2.
Сначала оценим I3,1, использовав неравенство (12) для многочленов Якоби, пред-
ставление (15) для функции h3(n, x, y) и неравенство y − x > 1/2 :
I3,1 ≤ Cp
−1/2∫
−1
1∫
0
|f(y)|(1− y)αdy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4
p (1 + x)p+Bdx
(1 + x+ 1/n2)(β/2+3/4)p
=
= Cp
1∫
0
|f(y)|(1− y)αdy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4
p×
×
−1/2∫
−1
(1 + x)p+Bdx
(1 + x+ 1/n2)(β/2+3/4)p
= CpL1 × L2.
Интеграл L2 оценивается точно так же, как интеграл I1,2, так как из условия
(2B + 2)/p − β − 3/2 ≥ 0 следует неравенство p + B − pβ/2 − 3p/4 ≥ p − 1 >
> 0. Следовательно, интеграл L2 ограничен абсолютной константой. Величина L1
совпадает с L1,1. Таким образом,
L3,1 ≤
Cθ
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ > µ,
C lnp/q n
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ = µ.
(23)
В интеграле I3,2 выполним замену переменных интегрирования, положив u =
= n2(1− x); v = n2(1− y). Тогда u ∈ [0; 3n2/2], v ∈ [0;n2] и
I3,2 = n−2(1+A)
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
n2∫
0
f(y)vαφ(n; y)dv
(v − u)(u+ 1)α/2+3/4(1 + v)α/2+1/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
uA+pdu =
= n−2(1+A)
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
u/2∫
0
+
3u/2∫
u/2
+
n2∫
3u/2
f(y)vαφ(n; y)dv
(v − u)(1 + v)α/2+1/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
×
× uA+pdu
(u+ 1)p(α/2+3/4)
,
где φ(n; y), в силу оценок (12), — ограниченная функция. Заменяя сумму внут-
ренних интегралов на сумму их модулей и учитывая, что в первом интеграле
u− v > u/2, а в третьем v − u > u/2 и v − u > v/3, получаем
I3,2 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
u∫
0
|f(y)|vαdv
(1 + v)α/2+1/4
p uAdu
(u+ 1)p(α/2+3/4)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
824 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
+
3n2/2∫
0
∣∣∣∣∣∣∣
3u/2∫
u/2
f(y)vαφ(n; y)dv
(v − u)(1 + v)α/2+1/4
∣∣∣∣∣∣∣
p
uA+pdu
(u+ 1)p(α/2+3/4)
+
+
3n2/2∫
0
n2∫
u
|f(y)|vα−1/2dv
(1 + v)α/2+1/4
p
uA+p/2du
(u+ 1)p(α/2+3/4)
:= I13 + I23 + I33 .
Чтобы оценить интеграл I13 , сначала увеличим его, заменив интеграл по отрез-
ку [0;u] на интеграл по отрезку [0;n2], а затем перейдем к старым переменным
интегрирования. Тогда
I13 ≤ Cp
1∫
0
|f(y)|(1− y)αdy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4
p 1∫
−1/2
(1− x)Adx
(1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4)
.
Далее рассмотрим три случая.
1. Пусть µ > 0. В этом случае A − αp/2 − 3p/4 > −1 и, следовательно,
второй сомножитель не превышает константу Cµ, а первый совпадает с I1,1. Таким
образом,
L1
3 ≤
Cθ,µ,p
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ > µ,
Cµ,p ln
p/q n
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ = µ.
(24)
2. Пусть µ = 0, θ > 0. В этом случае A− αp/2− 3p/4 = −1 и
L1
3 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
u∫
0
|f(y)|vα(1 + v)θ/2dv
(1 + v)α/2+1/4+θ/2
p uAdu
(u+ 1)p(α/2+3/4)
≤
≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
u∫
0
|f(y)|vαdv
(1 + v)α/2+1/4+θ/2
p uAdu
(u+ 1)p(α/2+3/4−θ/2)
≤
≤ Cp
1∫
0
|f(y)|(1− y)αdy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ/2
p 1∫
−1/2
(1− x)Adx
(1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4−θ/2) =
= CpT1 × T2.
Поскольку A−αp/2− 3p/4+ θp/2 > −1, то T2 ≤ Cp,θ, а величину T1 оценим,
использовав неравенство Гельдера:
T1 =
1∫
0
|f(y)|(1− y)α−A(1− y)Ady
(1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ/2
p =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 825
=
1∫
0
|f(y)|(1− y)α−A(1− y)A(1− y + 1/n2)θ/2dy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ
p ≤
≤
1∫
0
|f(y)|p(1− y)Ady
(1− y + 1/n2)pθ
1∫
0
(1− y + 1/n2)q(θ/2−α/2−1/4)(1− y)A+q(α−A)dy
p/q .
Так как из условия µ = 0 следует αp/2 = A − 3p/4 + 1, то qθ/2 + A + q(−α/2 −
− 1/4 + α−A) = qθ/2− 1 > −1. Следовательно, в этом случае
L1
3 ≤ Cθ,p
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)2θ
∥∥∥∥p
p,w
. (25)
3. Пусть µ = 0, θ = 0. В этом случае A− αp/2− 3p/4 = −1 и
L1
3 ≤ Cp
1∫
0
|f(y)|(1− y)αdy
(1− y + 1/n2)α/2+1/4
p×
×
1∫
−1/2
(1− x)Adx
(1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4)
= CpI1,1 × Z.
Поскольку Z � ln(n+ 1), если A− αp/2− 3p/4 = −1, а
I1,1 ≤ C lnp/q(n+ 1)‖f‖pp,w,
если µ = 0, θ = 0, то
L1
3 ≤ Cp ln
p(n+ 1)‖f‖pp,w. (26)
Из неравенств (24) – (26) следует оценка
L1
3 ≤
Cθ,µ
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ > µ ≥ 0,
Cp ln
p/q n
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ = µ > 0,
Cp ln
p(n+ 1)
∥∥∥∥ f
(
√
1− y + 1/n)θ
∥∥∥∥p
p,w
, если θ = µ = 0.
(27)
Чтобы оценить интеграл I23 , заметим, что функция ω(x) = xA+p(1+x)p(α/2+3/4)
удовлетворяет условиям предложения 5, поэтому
I23 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(1+α)+Adv
(1 + v)p(α+1)
≤ Cp‖f‖pp,w. (28)
Переходя к оценке интеграла
I33 =
3n2/2∫
0
n2∫
u
|f(y)|vα−1/2dv
(1 + v)α/2+1/4
p
uA+p/2du
(u+ 1)p(α/2+3/4)
,
заметим, что r = A+ p/2 > −1, s− r = −p(α/2 + 3/4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
826 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
Так как µ ≥ 0, то−pα/2 ≥ 3p/4−A−1 и, следовательно, s = r−p(α/2+3/4) ≥
≥ p/2− 1 > −1, т. е. выполняются условия предложения 4, в силу которого
I33 ≤ Cpn−2(1+A)
3n2/2∫
0
|f(y)|pvp(α+1)+Adv
(1 + v)p(α+1)
=
=
1∫
−1/2
|f(y)|p(1− y)Ady ≤ Cp‖f‖pp,w. (29)
Из оценок (16), (22), (27) – (29) следует утверждение теоремы.
Из теоремы 3 и предложения 2 вытекает следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть 1 < p < ∞, α = β, µ = ν = (2A + 2)/p − α − 3/2 ≥ 0,
A = B ∈ (−1/2; 0), f ∈ Hr+γ
p . Тогда имеют место неравенства
∥∥f(x)− S(α,β)
n (f)
∥∥
p,A,A
≤
Cγ
nr+γ
, если γ > µ− 2A
p
,
C
ln1/p(n+ 1)
n−µ+2A/p+2γ
, если
µ
2
− A
p
< γ ≤ µ− 2A
p
.
(30)
Чтобы сформулировать следующую теорему, приведем результат М. К. Пота-
пова [23] о структурной характеристике классов функций с заданным порядком
наилучших приближений. Для этого введем один из вариантов функции обобщен-
ного сдвига. Пусть f ∈ Lp,A,B , положим
f(x, t, A,B) =
1
φ(A,B)
1∫
0
1∫
−1
f
[
x cos t+ rz sin t
√
1− x2−
−(1− r2)(1− x) sin2 t/2
]
(1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr,
где
φ(A,B) =
1∫
0
1∫
−1
(1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr, A > B > −1
2
.
Предложение 6. Пусть 1 < p < ∞, числа A, B, θ, δ, p и γ таковы, что
0 < γ < 2, θ, δ ≥ 0, γ/2 < 1+1/p+min{−θ/2+A/p,−δ/2+B/p}, A > B > −1/2.
Для того чтобы функция f удовлетворяла условию∥∥∥∥ f(x)− f(x, t, A/p,B/p)
(1− x+ sin2 t/2)θ/2(1 + x+ sin2 t/2)δ/2
∥∥∥∥
p,A,B
≤ C1
∣∣∣∣sin t2
∣∣∣∣γ , (31)
где f(x, t, A/p,B/p) — функция обобщенного сдвига, необходимо и достаточно,
чтобы нашлась последовательность алгебраических многочленов Pn(x) таких,
что ∥∥∥∥ f(x)− Pn(x)
(
√
1− x+ 1/n)θ(
√
1 + x+ 1/n)δ
∥∥∥∥
p,A,B
≤ C2
nγ
. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 827
Теорема 5. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, p и γ
таковы, что 0 < γ < 2, θ ∈ (µ;µ+1/2), δ ∈ (ν; ν+1/2) и для функции f ∈ Lp,A,B
выполняется условие (31). Тогда
‖f(x)− S(α,β)
n (f)‖p,A,B ≤
C3
(n+ 1)γ
. (33)
Действительно, из условия теоремы вытекает условие предложения 6 и, следо-
вательно, имеет место необходимость предложения 6, а тогда, в силу (10) и (32),
выполняется (33).
Теорема 6. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, γ, p и r
таковы, что r — натуральное число, 0 < γ ≤ 1, θ ∈ (µ;µ+ 1/2), δ ∈ (ν; ν + 1/2),
где µ = (2A+ 2)/p− α− 3/2 ≥ 0, ν = (2B + 2)/p− β − 3/2 ≥ 0.
Функция f ∈ Lp,A,B имеет абсолютно непрерывную производную (r − 1)-го
порядка на любом отрезке [a; b] ⊂ (−1; 1), f (r)(x, t, A,B) — функция обобщенного
сдвига производной f (r)(x), для которой выполняется условие∥∥∥[f (r)(x)− f (r)(x, t, A/p+ r/2, B/p+ r/2)
]
(1− x)r/2×
×(1 + x)r/2(1− x+ sin2 t/2)−θ/2(1 + x+ sin2 t/2)−δ/2
∥∥∥
p,A,B
≤ C4
∣∣∣∣sin t2
∣∣∣∣γ .
Тогда ∥∥f(x)− S(α,β)
n (f)
∥∥
p,A,B
≤ C5
(n+ 1)r+γ
.
1. Pollard H. The mean convergence of ortogonal series // Trans. Amer. Math. Soc. – 1947. – 62. –
P. 387 – 403.
2. Pollard H. The mean convergence of ortogonal series // Duke Math. J. – 1949. – 16, № 1. – P. 189 – 191.
3. Neuman J., Rudin W. Mean convergence of ortogonal series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – 3. –
P. 219 – 222.
4. Wing G. M. The mean convergence of ortogonal series // Amer. J. Math. – 1950. – 72. – P. 792 – 807.
5. Muckehoupt B. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 23, № 2. –
P. 306 – 310.
6. Казакова Н. М. О порядках констант Лебега сумм Фурье – Якоби в пространствах. – Свердловск,
1981. – 54 с. – Деп. в ВИНИТИ.
7. Gronwall T. H. Uber die Laplacesche Reihe // Math. Ann. – 1913. – 74. – P. 213 – 270.
8. Суетин П. К. О представлении непрерывных и дифференцируемых функций по многочленам
Лежандра // Докл. АН СССР. – 1964. – 158, № 6. – С. 1275 – 1277.
9. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Приближение функций суммами Фурье – Якоби // Там же. – 1966.
– 161, № 1. – С. 9 – 10.
10. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функции Лебега сумм Фурье – Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та.
Сер. мат. – 1968. – 1, № 1. – С. 11 – 23.
11. Бадков В. М. О приближении функций суммами Фурье – Якоби // Докл. АН СССР. – 1966. – 167,
№ 4. – С. 731 – 734.
12. Бадков В. М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам
Якоби // Мат. заметки. – 1968. – 3, № 6. – С. 671 – 682.
13. Бадков В. М. Оценки функций Лебега и остатка ряда Фурье – Якоби // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9,
№ 6. – С. 285 – 295.
14. Беленький А. М. О разложении функций в ряд Фурье – Лежандра // Конструктивная теория функций
и теория отображений. – Киев, 1981. – С. 35 – 48.
15. Рафальсон С. З. О частных суммах рядов Фурье по ортогональным многочленам // Докл. АН
СССР. – 1977. – 237, № 6. – С. 1297 – 1300.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
828 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА
16. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Там же. –
1972. – 204, № 4. – С. 788 – 790.
17. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1973. – 37, № 1. – С. 135 – 147.
18. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими многочленами в метрике Lp // Там же.
– 1971. – 35, № 4. – С. 874 – 899.
19. Бадков В. М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи
мат. наук. – 1978. – 33, № 4. – С. 51 – 106.
20. Моторный В. П. Приближение функций суммами Фурье – Лежандра в среднем // Докл. АН СССР.
– 1981. – 259, № 1. – С. 39 – 42.
21. Ходак Л. Б. Сходимость рядов Фурье по многочленам Якоби в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А.
– 1982. – № 8. – С. 28 – 31.
22. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Физматгиз, 1962. – 500 с.
23. Потапов М. К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего
приближения // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 134. – С. 260 – 277.
Получено 28.12.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6
|