О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби

Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені.

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Гончаров, С.В., Моторный, В.П., Нитиема, П.К.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут математики НАН України 2010
Series:	Український математичний журнал
Subjects:	Статті
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166170
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1661702025-02-09T09:55:50Z О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби On the mean convergence of Fourier–Jacobi series Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. Статті Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені. The convergence of Fourier–Jacobi series in the spaces L p,A,B is studied in the case where the Lebesgue constants are unbounded. 2010 Article О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби Український математичний журнал
description	Досліджується збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмежені.
format	Article
author	Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К.
author_facet	Гончаров, С.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К.
author_sort	Гончаров, С.В.
title	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
title_short	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
title_full	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
title_fullStr	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
title_full_unstemmed	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби
title_sort	о сходимости в среднем рядов фурье — якоби
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166170
citation_txt	О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби / С.В. Гончаров, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 6. — С. 814–828. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT gončarovsv oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT motornyjvp oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT nitiemapk oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT gončarovsv onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT motornyjvp onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT nitiemapk onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries
first_indexed	2025-11-25T14:42:45Z
last_indexed	2025-11-25T14:42:45Z
_version_	1849773817087393792
fulltext	УДК 517.5 В. П. Моторный, С. В. Гончаров (Днепропетр. нац. ун-т), П. К. Нитиема (Ун-т Буркина-Фасо, Уагадугу) О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ The convergence of the Fourier – Jacobi series in the spaces Lp,A,B is investigated in the case where the Lebesgue constants are unbounded. Дослiджується збiжнiсть рядiв Фур’є – Якобi у просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмеженi. Пусть Pα,βn (x) — многочлены Якоби, ортогональные на отрезке [−1, 1] с весом ρ(x) = (1 − x)α(1 + x)β , α > −1, β > −1. Через Lp,A,B oбозначим пространство измеримых на отрезке [−1, 1] функций f, для которых fw1/p ∈ Lp, где весовая функция w(x) = (1− x)A(1 + x)B , A,B > −1. Норма ‖f‖p,A,B = ‖fw1/p‖p. Если A = B = 0, то ‖f‖p,0,0 = ‖f‖p = {∫ 1 −1 \|f(x)\|dx }1/p . Через Sα,βn (f) будем обозначать частную сумму порядка n ряда Фурье – Якоби функции f ∈ Lp,α,β . Частные суммы Sα,βn (f) можно рассматривать как опера- тор, действующий в некотором подпространстве X пространства L1 ρ. Норма этого оператора ‖Sα,βn ‖X = sup ‖f‖X≤1 ‖Sα,βn (f)‖X называется константой Лебега. В силу неравенства Лебега∥∥f − Sα,βn (f) ∥∥ X ≤ ( 1 + ‖Sα,βn ‖X ) En(f)X , (1) где En(f)X — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочлена- ми степени не выше n в пространстве X. Ограниченность констант Лебега влечет сходимость ряда Фурье – Якоби для любой функции в пространстве X, если в пространстве X имеет место теорема Вейерштрасса, а также определяет порядок сходимости частных сумм ряда Фурье – Якоби Sα,βn (f) к f в пространстве X. В работах Х. Полларда [1, 2], Дж. Неймана и У. Рудина [3], Г. Винга [4] и Б. Маккенхо- упта [5] были выделены пространства интегрируемых с весом функций, в которых константы Лебега ограничены. Наиболее общий результат получен Б. Маккенхоуп- том и формулируется он следующим образом. Теорема 1. Пусть 1 < p < ∞. Тогда для того чтобы ‖Sα,βn ‖p,A,B были ограничены, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства∣∣(α+ 1)/2−A/p− 1/p ∣∣ < min(1/4, (α+ 1)/2), (2)∣∣(β + 1)/2−B/p− 1/p ∣∣ < min(1/4, (β + 1)/2). (3) В [6] показано, что для того чтобы каждая функция f ∈ Lp,A,B имела ряд Фурье – Якоби, соответствующий весу ρ, необходимо и достаточно, чтобы выпол- нялись условия (α+ 1)/2− (A+ 1)/p > −(α+ 1)/2, (β + 1)/2− (B + 1)/p > −(β + 1)/2, (4) c© В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА, 2010 814 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 815 если p > 1, a при p = 1 знак > в (4) следует заменить на ≥. Поскольку A+ 1 > 0, B + 1 > 0, то левые части неравенств (4) меньше соответственно (α + 1)/2 и (β +1)/2. Поэтому вопрос о сходимости рядов Фурье – Якоби в пространствах Lpw следует рассматривать в случаях∣∣(α+ 1)/2− (A+ 1)/p ∣∣ < (α+ 1)/2, ∣∣(β + 1)/2− (B + 1)/p ∣∣ < (β + 1)/2. (5) Отметим, что если α, β ∈ (−1;−1/2] и 1 < p <∞, то в силу (5) условия (2), (3) заведомо имеют место. Поэтому оценку роста констант Лебега сумм Фурье – Якоби следует находить при max{α, β} > −1/2. Первые работы, связанные с разложением функций по ортогональным на отрез- ке [−1; 1] алгебраическим многочленам, в основном посвящены многочленам Ле- жандра. Это прежде всего работы [1 – 4, 7, 8]. В работе [8] для оценки уклонения в пространстве C[−1;1] сумм Фурье – Лежандра от непрерывных или дифференци- руемых функций была использована теорема А. Ф. Тимана об усилении теоре- мы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами на отрезке. Поведение констант Лебега и функций Лебега сумм Фурье – Якоби в пространстве C[−1;1] было исследовано во многих работах (см., например, [9 – 15]). В этом случае точные по порядку оценки приближений сум- мами Фурье – Якоби непосредственно следуют из неравенства Лебега (1). Как ока- залось (см. [16 – 20]), в случае приближений суммами Фурье – Лежандра, когда 1 ≤ p ≤ 4/3 и p = 4, неравенство Лебега приводит к грубым оценкам. Это можно объяснить тем, что с улучшением дифференциально-разностных свойств функции рост констант Лебега, соответствующих многочленам Лежандра, меньше влияет на порядок стремления к нулю величины ‖f −S0,0 n (f)‖Lp . Для функций с достаточно хорошими дифференциально-разностными свойствами суммы Фурье – Лежандра осуществляют приближение в Lp при 1 < p ≤ 4/3 по порядку не хуже наилуч- шего. Этот результат был установлен с помощью обобщенных констант Лебега, которые введены в [16, 17] при 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 следующим образом: D (0,0) n,p,θ = sup ‖f/σ(n,θ)‖p≤1 ∥∥S(0,0) n (f) ∥∥ p , где σ(n, θ, x) = (√ 1− x2 + 1/n )θ , θ > 0. Оценки ‖Sα,βn ‖Lp для 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 были получены в работах [16, 17, 19]: ‖S0,0 n ‖Lp � Cp,r  n2/p−3/2, если 1 ≤ p < 4/3, ln(n+ 1), если p = 4/3 или p = 4, n1/p−2/p, если p > 4. (6) Позже в [19] в случаях 1 ≤ p ≤ 4/3 и p ≥ 4 исследовались обобщенные константы Лебега вида B (0,0) n,p,θ = sup ‖f‖p≤1 ‖S(0,0) n (f)σ(n, θ)‖q, где 1p+ 1/q = 1, θ > 0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 816 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА Известно, что поведение частных рядов Фурье – Якоби на отрезке [a; b]⊂(−1; 1) подобно поведению частных сумм рядов Фурье по тригонометрической системе. Например, ∫ b a ∣∣f(x) − S(α,β) n (f ;x) ∣∣pdx → 0 при n → ∞ для любого p ∈ (1;∞). Следовательно, особенности поведения частных рядов Фурье – Якоби на отрезке [−1, 1], такие как сходимость, неограниченный рост констант Лебега, определя- ются свойствами многочленов Якоби на концах отрезка [−1, 1]. Этим замечани- ем можно мотивировать введение обобщенных констант Лебега. Оказалось, что в случаях, когда обобщенные константы Лебега ограничены (а константы Лебега неограничены) частные суммы рядов Фурье – Лежандра функции f могут осущест- влять приближение функции f по порядку не хуже наилучшего. Это следует из неравенства Лебега и возможности приблизить [18] функцию в пространстве Lp алгебраическими многочленами с весом (√ 1− x2 + 1/n )−θ , по порядку не хуже наилучшего. Действительно, поскольку S0,0 n (Pn;x) = Pn(x) для любого многочле- на Pn(x) степени не выше n, а из определения констант D(0,0) n,p,θ для любой функции f ∈ Lp следует неравенство ‖S0,0 n (f)‖p ≤ D(0,0) n,p,θ‖f/σ(n, θ)‖p, то ∥∥f − S0,0 n (f) ∥∥ p ≤ ‖f − Pn‖p + ∥∥S0,0 n (f − Pn) ∥∥ p ≤ ≤ ‖f − Pn‖p +D (0,0) n,p,θ ∥∥∥∥f − Pnσ(n, θ) ∥∥∥∥ p . (7) Через Hr+γ p , r = 0, 1, . . . , 0 < γ ≤ 1, обозначим класс функций, заданных на отрезке [−1, 1] и имеющих там r-ю производную f (r)(x) ∈ Lp, для которой при любом 0 < h < 1 выполняется неравенство 1−h∫ −1 \|f (r)(x)− f (r)(x+ h)\|p dx  1/p ≤ Chγ . Известно следующее утверждение [18]. Предложение 1. Для любой функции f ∈ Hr+γ p существует последователь- ность алгебраических многочленов Pn(x) степени не выше n > 2 таких, что∥∥∥∥ f(x)− Pn(x) ( √ 1− x2 + 1/n)r+γ ∥∥∥∥ p ≤ C ln1/p n nr+γ . (8) При этом если под знаком нормы заменить r + γ на меньшее число, то в правой части неравенства lnn можно опустить. В работе [21] получен следующий результат. Предложение 2. Многочлены Pn(x) в предложении 1 можно выбрать так, что в знаменателе дроби, содержащейся в левой части неравенства (8), слагаемое 1/n можно опустить. С использованием неравенства (7) и предложения 1 в [16, 17] получен следую- щий результат. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 817 Теорема 2. Пусть 1 < p ≤ 4/3, f ∈ Hr+γ p , где γ > 1/p − 3/4, если r = 0. Тогда ‖f(x)− S(o,o) n ‖p ≤ ≤ Cp,r  ln(n+ 1) n2γ−2/p+3/2 , если 2/p− 3/2 ≥ γ > 1/p− 3/4, r = 0, n−r−µ, если r + γ > 2/p− 3/2. (9) В настоящей работе изучаются обобщенные константы Лебега для частных сумм Фурье – Якоби в пространствах Lp,A,B и оценки уклонений частных сумм Фурье – Якоби от функций в пространствахLp,A,B . Приведем примеры пространств и классы функций, имеющих достаточно высокую гладкость, для которых частные суммы Фурье – Якоби осуществляют приближение по порядку не хуже наилучшего. Заметим, что это возможно тогда, когда (α+1)/2− (A+1)/p ∈ (−(α+1)/2;−1/4] и (β+1)/2−(B+1)/p ∈ (−(β+1)/2;−1/4]. Если же (α+1)/2−(A+1)/p ∈ [1/4; (α+ 1)/2) или (β + 1)/2− (B + 1)/p ∈ [1/4; (β + 1)/2), то порядок приближения суммами Фурье – Якоби, как и для сумм Фурье – Лежандра, определяется ростом констант Лебега. Для любых n, p, θ, δ, α, β, A, B положим Dα,β,A,B n,p,θ,δ = sup ‖f/ρ(n,θ,δ)‖p,A,B≤1 ‖Sα,βn (f)‖p,A,B , где ρ(n, θ, δ, x) = (√ 1− x+ 1/n )θ(√ 1 + x+ 1/n )δ , θ, δ ∈ R1. Эти константы совпадают с классическими константами Лебега, если γ = δ = 0. Теорема 3. Пусть 1 < p < ∞, q = p/(p − 1), max{α, β} > −1/2, для чисел α, β, A, B выполняется условие (5) и θ ≥ µ = (2A + 2)/p − α − 3/2 ≥ 0, δ ≥ ν = (2B + 2)/p− β − 3/2 ≥ 0. Тогда имеют место неравенства Dα,β,A,B n,p,θ,δ ≤  Cθ,δ, если θ > µ, δ > ν, Cµ,ν ln 1/q n, если θ = µ или δ = ν и µ, ν > 0, C ln(n+ 1), если θ = µ = 0 или δ = ν = 0. (10) Чтобы доказать теорему 3, необходимы следующие вспомогательные утверж- дения. Для многочленов Pα,βn (x) справедливы равенства (см. [22, с. 71]) Pα,βn (x) = (−1)nP β,αn (−x), (11) а также неравенства (см. [22], теорема 7.32.2)∣∣Pα,βn (x) ∣∣ ≤ Cn−1/2(1− x+ n−2)−α/2−1/4, 0 < x < 1. (12) Положим lα,βk = ‖Pα,βn ‖2,α,β . Для любой функции f ∈ Lpρ ряд Фурье – Якоби будет иметь вид ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 818 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА ∞∑ k=0 cρkP α,β k (x), где cρk = 1/lα,βk ∫ 1 −1 f(x)Pα,βk (x)dx — коэффициенты Фурье функции f. Частную сумму Sα,βn (f) ряда Фурье – Якоби можно представить в виде Sα,βn (f ;x) = 1∫ −1 K(α,β) n (x, y)f(y)(1− y)α(1 + y)β dy, (13) а ядро K(α,β) n (x, y) — в виде [5] K(α,β) n (x, y) = αnh1(n, x, y) + βn(h2(n, x, y) + h3(n, x, y)), где h1(n, x, y) = (n+ 1)Pα,βn (x)Pα,βn (y), (14) h3(n, y, x) = h2(n, x, y) n(1− y2)Pα,βn (x)Pα+1,β+1 n−1 (y) x− y , (15) а αn, βn — ограниченные последовательности. Также будем использовать предложения 3 – 5, доказанные в [5]. Предложение 3. Если 1 < p < ∞, r, s < −1 и F (x) = ∫ x 0 \|f(t)\|dt, то существует постоянная C, не зависящая от f(x), такая, что ∞∫ 0 xr(1 + x)s−rF p(x)dx ≤ C ∞∫ 0 xp+r(1 + x)s−r\|f(x)\|pdx. Замечание 1. Всюду в дальнейшем через C будем обозначать абсолютные константы, а через Cp, Cθ, Cp,θ — величины, зависящие от указанных индексов, хотя их значения в разных местах могут быть разными. Предложение 4. Если 1 < p < ∞, r, s > −1 и F (x) = ∫ ∞ x \|f(t)\|dt, то существует постоянная C, не зависящая от f(x), такая, что ∞∫ 0 xr(1 + x)s−rF p(x)dx ≤ C ∞∫ 0 xp+r(1 + x)s−r\|f(x)\|pdx. Предложение 5. Пусть ω(x) — положительная функция, удовлетворяющая неравенству ω(2n) ≤ Bω(x) ≤ B2ω(2n), x ∈ [2n; 2n+1], n = 0,±1,±2, . . . , где B — некоторая постоянная, и f̃(x) = V.P. ∫ 3x/2 x/2 f(y) x− y dy. Тогда существует постоянная C, зависящая только от f(x) и такая, что ∞∫ 0 ∣∣f̃(x)∣∣pω(x)dx ≤ C ∞∫ 0 \|f(x)\|pω(x)dx, 1 < p <∞. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 819 В силу (11), чтобы доказать теорему 3, достаточно оценить интегралы Ik = 1∫ −1 ∣∣∣∣∣∣ 1∫ 0 f(y)hk(n, x, y)ρ(y)dy ∣∣∣∣∣∣ p w(x)dx, k = 1, 2, 3. Оценим интеграл I1, использовав представление (14) и оценку (12): I1 = 1∫ −1 ∣∣∣∣∣∣ 1∫ 0 f(y)h1(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdy ∣∣∣∣∣∣ p (1− x)A(1 + x)Bdx ≤ ≤ C  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y + 1/n2)−α/2−1/4(1− y)αdy p× × 1∫ −1 [ (1− x+ 1/n2)−α/2−1/4(1 + x+ 1/n2)−β/2−1/4 ]p (1− x)A(1 + x)Bdx. Первый сомножитель обозначим через I1,1, а второй — через I1,2. Поскольку −αp/2 ≥ 3p/4−A−1 и−βp/2 ≥ 3p/4−B−1, то−αp/2−p/4+A ≥ p/2−1 > −1/2, −βp/2 − p/4 + B ≥ p/2 − 1 > −1/2 и, следовательно, интеграл I1,2 ограничен абсолютной константой. Множитель I1,1 представим в виде I1,1 =  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y + 1/n2)−α/2−1/4+θ/2(1− y)α−A (1− y)A (1− y + 1/n2)θ/2 dy p , затем применим неравенство Гельдера I1,1 ≤ 1∫ 0 \|f(y)\|p(1− y)A (1− y + 1/n2)pθ/2 dy× ×  1∫ 0 (1− y + 1/n2)−αq/2−q/4+θq/2(1− y)(α−A)q+Ady p/q . Пусть сначала θ > −(α+1)+2(A+1)/p−1/2 ≥ 0. Тогда A+ q(θ/2−α/2−1/4+ + α−A) > −1. Следовательно, в этом случае I1,1 ≤ Cθ ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . Пусть теперь θ = −(α+1)+2(A+1)/p− 1/2 ≥ 0. Тогда A+ q(θ/2−α/2− 1/4+ + α−A) = −1. Следовательно, I1,1 ≤ C lnp/q n ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . Таким образом, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 820 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА I1 ≤  Cθ ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ > µ, C lnp/q n ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ = µ. (16) Интеграл I2 представим в виде суммы двух интегралов I2 =  −1/2∫ −1 + ∫ 1 −1/2  ∣∣∣∣∣∣ 1∫ 0 f(y)h2(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdu ∣∣∣∣∣∣ p w(x)dx := := I2,1 + I2,2 и сначала оценим I2,1, использовав неравенство (12) для многочленов Якоби, пред- ставление (15) для функции h2(n, x, y) и неравенство \|y − x\| > 1/2: I2,1 ≤ C −1/2∫ −1  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)α+1dy (1− y + 1/n2)α/2+3/4 p (1 + x)Bdx (1 + x+ 1/n2)(β/2+1/4)p = = C  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)α+1(1− y + 1/n2)−α/2−3/4dy p× × −1/2∫ −1 (1 + x+ 1/n2)(−β/2−1/4)p(1 + x)Bdx = K1 ×K2. Интеграл K2 оценивается точно так же, как интеграл I1,2, так как из условия (2B+2)/p−β−3/2 ≥ 0 следует неравенство −pβ/2−p/4+B ≥ p/2−1 > −1/2. Для оценки величины K1 применим неравенство Гельдера: K1 ≤ 1∫ 0 \|f(y)\|p(1− y)A (1− y + 1/n2)pθ/2 dy× ×  1∫ 0 (1− y + 1/n2)−αq/2+q/4+θq/2(1− y)(α−A)q+Ady p/q . Поскольку θ/2 ≥ (A+1)/p−(α+1)/2−1/2 ≥ 0, тоA+q(θ/2−α/2+1/4+α−A) ≥ ≥ −1+ q/2 > −1. Поэтому второй сомножитель ограничен константой, зависящей от p, и K1 ≤ Cp ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . Следовательно, I2,1 ≤ C ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . (17) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 821 В интеграле I2,2 выполним замену переменных интегрирования, положив u = = n2(1− x); v = n2(1− y). Тогда u ∈ [0; 3n2/2], v ∈ [0;n2] и I2,2 = n−2(1+A) 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣ n2∫ 0 f(y)v1+αφ(n; y)dv (v − u)(u+ 1)α/2+1/4(1 + v)α/2+3/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p uAdu = = n−2(1+A) 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣  u/2∫ 0 + 3u/2∫ u/2 + n2∫ 3u/2  f(y)v1+αφ(n; y)dv (v − u)(1 + v)α/2+3/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p uAdu (u+ 1)p(α/2+1/4) , где φ(n; y), в силу оценок (11), — ограниченная функция. Заменяя сумму вну- тренних интегралов на сумму их модулей и учитывая, что в первом интеграле u− v > u/2, а в третьем v − u > v/3, получаем I2,2 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0  u∫ 0 \|f(y)\|v1+αdv (1 + v)α/2+3/4 p uA−pdu (u+ 1)p(α/2+1/4) + + 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣ 3u/2∫ u/2 f(y)v1+αφ(n; y)dv (v − u)(1 + v)α/2+3/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p uAdu (u+ 1)p(α/2+1/4) + + 3n2/2∫ 0  n2∫ u \|f(y)\|vαdv (1 + v)α/2+3/4  p uAdu (u+ 1)p(α/2+1/4)  := := I12 + I22 + I32 . Оценим интеграл I12 , положив A ≤ 0. Тогда r = −p+ A < −1 и s− r = −αp/2− −p/4 ≤ 0, так как α > −1/2. Поэтому s = r−αp/2−p/4 = −p+A−αp/2−p/4 < < −1. Следовательно, можно применить предложение 3. Тогда I12 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(1+α)+Adv (v + 1)p(α+1) ≤ ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvAdv = Cp 1∫ −1/2 \|f(y)\|p(1− y)Ady. Если A > 0, то в силу неравенства (1 + u)θp/2 ≤ (1 + n2)θp/2, u ∈ [0;n2], θ ≥ ≥ (2A+ 2)/p− α− 3/2 ≥ 0, I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp 3n2/2∫ 0  u∫ 0 \|f(y)\|v1+αdv (1 + v)α/2+3/4 p u−pdu (1 + u)αp/2+p/4+θp/2−A . Покажем, что в этом случае также выполняются условия предложения 3. Дей- ствительно, r = −p < −1 и s − r = A − αp/2 − p/4 − θp/2 ≤ −1 + p/2, так ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 822 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА как α > −1/2. Следовательно, s ≤ r − 1 + p/2 = −p/2 − 1 < −1. Применяя предложение 3, получаем I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(1+α)dv (1 + v)p(α+1+θ/2)−A . Поскольку (α + 1)/2 − (A + 1)/p > −(α + 1)/2, то α + 1 − (A + 1)/p > 0, следовательно, α+ 1−A/p > 0 и поэтому I12 ≤ Cpn−2(1+A)+θp 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvAdv (1 + v)pθ/2 ≤ Cp ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . (18) Замечание 2. Если (α + 1)/2 − (A + 1)/p = −1/4, то можно не вводить множитель (1 + u)θp/2. Как и в предыдущем случае, положим s − r = −αp/2 − − p/4+A. Так как (α+1)/2− (A+1)/p = −1/4, то αp/2− p/4 = −A− 1+ p/2 и s− r = p/2− 1. Тогда s = r − 1 + p/2 = −p/2− 1 < −1 и, следовательно, можно применить предложение 3. Имеем I12 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(1+α)dv (1 + v)p(α+1)−A ≤ Cp‖f‖ p p,w. (19) Чтобы оценить интеграл I22 , заметим, что функция ω(x) = xA(1 + x)p(α/2+1/4) удовлетворяет условиям предложения 5. Следовательно, I22 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(1+α)+Adv (1 + v)p(α+1) ≤ Cp‖f‖pp,w. (20) Переходя к оценке интеграла I32 = 3n2/2∫ 0  n2∫ u \|f(y)\|vαdv (1 + v)α/2+3/4  p uAdu (u+ 1)p(α/2+1/4) , отметим, что выполняются условия предложения 4. Действительно, r = A > −1/2, s− r = −p(α/2+1/4) и так как −1/4 ≥ (α+1)/2− (A+1)/p, то s = A−p(α/2+ + 1/4) ≥ p/2− 1 > −1. В силу предложения 4 имеем I32 ≤ 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(α+1)+Adv (1 + v)p(α+1) ≤ Cp‖f‖pp,w. (21) Из неравенств (17) – (21) следует оценка I2 ≤ Cp ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w . (22) Интеграл I3 представим в виде суммы двух интегралов ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 823 I3 = −1/2∫ −1 + 1∫ −1/2  ∣∣∣∣∣∣ 1∫ 0 f(y)h3(n, x, y)(1− y)α(1 + y)βdu ∣∣∣∣∣∣ p w(x)dx := I3,1 + I3,2. Сначала оценим I3,1, использовав неравенство (12) для многочленов Якоби, пред- ставление (15) для функции h3(n, x, y) и неравенство y − x > 1/2 : I3,1 ≤ Cp −1/2∫ −1  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)αdy (1− y + 1/n2)α/2+1/4 p (1 + x)p+Bdx (1 + x+ 1/n2)(β/2+3/4)p = = Cp  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)αdy (1− y + 1/n2)α/2+1/4 p× × −1/2∫ −1 (1 + x)p+Bdx (1 + x+ 1/n2)(β/2+3/4)p = CpL1 × L2. Интеграл L2 оценивается точно так же, как интеграл I1,2, так как из условия (2B + 2)/p − β − 3/2 ≥ 0 следует неравенство p + B − pβ/2 − 3p/4 ≥ p − 1 > > 0. Следовательно, интеграл L2 ограничен абсолютной константой. Величина L1 совпадает с L1,1. Таким образом, L3,1 ≤  Cθ ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ > µ, C lnp/q n ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ = µ. (23) В интеграле I3,2 выполним замену переменных интегрирования, положив u = = n2(1− x); v = n2(1− y). Тогда u ∈ [0; 3n2/2], v ∈ [0;n2] и I3,2 = n−2(1+A) 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣ n2∫ 0 f(y)vαφ(n; y)dv (v − u)(u+ 1)α/2+3/4(1 + v)α/2+1/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p uA+pdu = = n−2(1+A) 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣  u/2∫ 0 + 3u/2∫ u/2 + n2∫ 3u/2  f(y)vαφ(n; y)dv (v − u)(1 + v)α/2+1/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p × × uA+pdu (u+ 1)p(α/2+3/4) , где φ(n; y), в силу оценок (12), — ограниченная функция. Заменяя сумму внут- ренних интегралов на сумму их модулей и учитывая, что в первом интеграле u− v > u/2, а в третьем v − u > u/2 и v − u > v/3, получаем I3,2 ≤ Cpn−2(1+A)  3n2/2∫ 0  u∫ 0 \|f(y)\|vαdv (1 + v)α/2+1/4 p uAdu (u+ 1)p(α/2+3/4) + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 824 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА + 3n2/2∫ 0 ∣∣∣∣∣∣∣ 3u/2∫ u/2 f(y)vαφ(n; y)dv (v − u)(1 + v)α/2+1/4 ∣∣∣∣∣∣∣ p uA+pdu (u+ 1)p(α/2+3/4) + + 3n2/2∫ 0  n2∫ u \|f(y)\|vα−1/2dv (1 + v)α/2+1/4  p uA+p/2du (u+ 1)p(α/2+3/4)  := I13 + I23 + I33 . Чтобы оценить интеграл I13 , сначала увеличим его, заменив интеграл по отрез- ку [0;u] на интеграл по отрезку [0;n2], а затем перейдем к старым переменным интегрирования. Тогда I13 ≤ Cp  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)αdy (1− y + 1/n2)α/2+1/4 p 1∫ −1/2 (1− x)Adx (1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4) . Далее рассмотрим три случая. 1. Пусть µ > 0. В этом случае A − αp/2 − 3p/4 > −1 и, следовательно, второй сомножитель не превышает константу Cµ, а первый совпадает с I1,1. Таким образом, L1 3 ≤  Cθ,µ,p ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ > µ, Cµ,p ln p/q n ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ = µ. (24) 2. Пусть µ = 0, θ > 0. В этом случае A− αp/2− 3p/4 = −1 и L1 3 ≤ Cpn−2(1+A)  3n2/2∫ 0  u∫ 0 \|f(y)\|vα(1 + v)θ/2dv (1 + v)α/2+1/4+θ/2 p uAdu (u+ 1)p(α/2+3/4)  ≤ ≤ Cpn−2(1+A)  3n2/2∫ 0  u∫ 0 \|f(y)\|vαdv (1 + v)α/2+1/4+θ/2 p uAdu (u+ 1)p(α/2+3/4−θ/2)  ≤ ≤ Cp  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)αdy (1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ/2 p 1∫ −1/2 (1− x)Adx (1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4−θ/2) = = CpT1 × T2. Поскольку A−αp/2− 3p/4+ θp/2 > −1, то T2 ≤ Cp,θ, а величину T1 оценим, использовав неравенство Гельдера: T1 =  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)α−A(1− y)Ady (1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ/2 p = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 825 =  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)α−A(1− y)A(1− y + 1/n2)θ/2dy (1− y + 1/n2)α/2+1/4+θ p ≤ ≤ 1∫ 0 \|f(y)\|p(1− y)Ady (1− y + 1/n2)pθ  1∫ 0 (1− y + 1/n2)q(θ/2−α/2−1/4)(1− y)A+q(α−A)dy p/q . Так как из условия µ = 0 следует αp/2 = A − 3p/4 + 1, то qθ/2 + A + q(−α/2 − − 1/4 + α−A) = qθ/2− 1 > −1. Следовательно, в этом случае L1 3 ≤ Cθ,p ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)2θ ∥∥∥∥p p,w . (25) 3. Пусть µ = 0, θ = 0. В этом случае A− αp/2− 3p/4 = −1 и L1 3 ≤ Cp  1∫ 0 \|f(y)\|(1− y)αdy (1− y + 1/n2)α/2+1/4 p× × 1∫ −1/2 (1− x)Adx (1− x+ 1/n2)p(α/2+3/4) = CpI1,1 × Z. Поскольку Z � ln(n+ 1), если A− αp/2− 3p/4 = −1, а I1,1 ≤ C lnp/q(n+ 1)‖f‖pp,w, если µ = 0, θ = 0, то L1 3 ≤ Cp ln p(n+ 1)‖f‖pp,w. (26) Из неравенств (24) – (26) следует оценка L1 3 ≤  Cθ,µ ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ > µ ≥ 0, Cp ln p/q n ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ = µ > 0, Cp ln p(n+ 1) ∥∥∥∥ f ( √ 1− y + 1/n)θ ∥∥∥∥p p,w , если θ = µ = 0. (27) Чтобы оценить интеграл I23 , заметим, что функция ω(x) = xA+p(1+x)p(α/2+3/4) удовлетворяет условиям предложения 5, поэтому I23 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(1+α)+Adv (1 + v)p(α+1) ≤ Cp‖f‖pp,w. (28) Переходя к оценке интеграла I33 = 3n2/2∫ 0  n2∫ u \|f(y)\|vα−1/2dv (1 + v)α/2+1/4  p uA+p/2du (u+ 1)p(α/2+3/4) , заметим, что r = A+ p/2 > −1, s− r = −p(α/2 + 3/4). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 826 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА Так как µ ≥ 0, то−pα/2 ≥ 3p/4−A−1 и, следовательно, s = r−p(α/2+3/4) ≥ ≥ p/2− 1 > −1, т. е. выполняются условия предложения 4, в силу которого I33 ≤ Cpn−2(1+A) 3n2/2∫ 0 \|f(y)\|pvp(α+1)+Adv (1 + v)p(α+1) = = 1∫ −1/2 \|f(y)\|p(1− y)Ady ≤ Cp‖f‖pp,w. (29) Из оценок (16), (22), (27) – (29) следует утверждение теоремы. Из теоремы 3 и предложения 2 вытекает следующее утверждение. Теорема 4. Пусть 1 < p < ∞, α = β, µ = ν = (2A + 2)/p − α − 3/2 ≥ 0, A = B ∈ (−1/2; 0), f ∈ Hr+γ p . Тогда имеют место неравенства ∥∥f(x)− S(α,β) n (f) ∥∥ p,A,A ≤  Cγ nr+γ , если γ > µ− 2A p , C ln1/p(n+ 1) n−µ+2A/p+2γ , если µ 2 − A p < γ ≤ µ− 2A p . (30) Чтобы сформулировать следующую теорему, приведем результат М. К. Пота- пова [23] о структурной характеристике классов функций с заданным порядком наилучших приближений. Для этого введем один из вариантов функции обобщен- ного сдвига. Пусть f ∈ Lp,A,B , положим f(x, t, A,B) = 1 φ(A,B) 1∫ 0 1∫ −1 f [ x cos t+ rz sin t √ 1− x2− −(1− r2)(1− x) sin2 t/2 ] (1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr, где φ(A,B) = 1∫ 0 1∫ −1 (1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr, A > B > −1 2 . Предложение 6. Пусть 1 < p < ∞, числа A, B, θ, δ, p и γ таковы, что 0 < γ < 2, θ, δ ≥ 0, γ/2 < 1+1/p+min{−θ/2+A/p,−δ/2+B/p}, A > B > −1/2. Для того чтобы функция f удовлетворяла условию∥∥∥∥ f(x)− f(x, t, A/p,B/p) (1− x+ sin2 t/2)θ/2(1 + x+ sin2 t/2)δ/2 ∥∥∥∥ p,A,B ≤ C1 ∣∣∣∣sin t2 ∣∣∣∣γ , (31) где f(x, t, A/p,B/p) — функция обобщенного сдвига, необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность алгебраических многочленов Pn(x) таких, что ∥∥∥∥ f(x)− Pn(x) ( √ 1− x+ 1/n)θ( √ 1 + x+ 1/n)δ ∥∥∥∥ p,A,B ≤ C2 nγ . (32) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ 827 Теорема 5. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, p и γ таковы, что 0 < γ < 2, θ ∈ (µ;µ+1/2), δ ∈ (ν; ν+1/2) и для функции f ∈ Lp,A,B выполняется условие (31). Тогда ‖f(x)− S(α,β) n (f)‖p,A,B ≤ C3 (n+ 1)γ . (33) Действительно, из условия теоремы вытекает условие предложения 6 и, следо- вательно, имеет место необходимость предложения 6, а тогда, в силу (10) и (32), выполняется (33). Теорема 6. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, γ, p и r таковы, что r — натуральное число, 0 < γ ≤ 1, θ ∈ (µ;µ+ 1/2), δ ∈ (ν; ν + 1/2), где µ = (2A+ 2)/p− α− 3/2 ≥ 0, ν = (2B + 2)/p− β − 3/2 ≥ 0. Функция f ∈ Lp,A,B имеет абсолютно непрерывную производную (r − 1)-го порядка на любом отрезке [a; b] ⊂ (−1; 1), f (r)(x, t, A,B) — функция обобщенного сдвига производной f (r)(x), для которой выполняется условие∥∥∥[f (r)(x)− f (r)(x, t, A/p+ r/2, B/p+ r/2) ] (1− x)r/2× ×(1 + x)r/2(1− x+ sin2 t/2)−θ/2(1 + x+ sin2 t/2)−δ/2 ∥∥∥ p,A,B ≤ C4 ∣∣∣∣sin t2 ∣∣∣∣γ . Тогда ∥∥f(x)− S(α,β) n (f) ∥∥ p,A,B ≤ C5 (n+ 1)r+γ . 1. Pollard H. The mean convergence of ortogonal series // Trans. Amer. Math. Soc. – 1947. – 62. – P. 387 – 403. 2. Pollard H. The mean convergence of ortogonal series // Duke Math. J. – 1949. – 16, № 1. – P. 189 – 191. 3. Neuman J., Rudin W. Mean convergence of ortogonal series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – 3. – P. 219 – 222. 4. Wing G. M. The mean convergence of ortogonal series // Amer. J. Math. – 1950. – 72. – P. 792 – 807. 5. Muckehoupt B. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 23, № 2. – P. 306 – 310. 6. Казакова Н. М. О порядках констант Лебега сумм Фурье – Якоби в пространствах. – Свердловск, 1981. – 54 с. – Деп. в ВИНИТИ. 7. Gronwall T. H. Uber die Laplacesche Reihe // Math. Ann. – 1913. – 74. – P. 213 – 270. 8. Суетин П. К. О представлении непрерывных и дифференцируемых функций по многочленам Лежандра // Докл. АН СССР. – 1964. – 158, № 6. – С. 1275 – 1277. 9. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Приближение функций суммами Фурье – Якоби // Там же. – 1966. – 161, № 1. – С. 9 – 10. 10. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функции Лебега сумм Фурье – Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат. – 1968. – 1, № 1. – С. 11 – 23. 11. Бадков В. М. О приближении функций суммами Фурье – Якоби // Докл. АН СССР. – 1966. – 167, № 4. – С. 731 – 734. 12. Бадков В. М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Мат. заметки. – 1968. – 3, № 6. – С. 671 – 682. 13. Бадков В. М. Оценки функций Лебега и остатка ряда Фурье – Якоби // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 6. – С. 285 – 295. 14. Беленький А. М. О разложении функций в ряд Фурье – Лежандра // Конструктивная теория функций и теория отображений. – Киев, 1981. – С. 35 – 48. 15. Рафальсон С. З. О частных суммах рядов Фурье по ортогональным многочленам // Докл. АН СССР. – 1977. – 237, № 6. – С. 1297 – 1300. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6 828 В. П. МОТОРНЫЙ, С. В. ГОНЧАРОВ, П. К. НИТИЕМА 16. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Там же. – 1972. – 204, № 4. – С. 788 – 790. 17. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1973. – 37, № 1. – С. 135 – 147. 18. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими многочленами в метрике Lp // Там же. – 1971. – 35, № 4. – С. 874 – 899. 19. Бадков В. М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 4. – С. 51 – 106. 20. Моторный В. П. Приближение функций суммами Фурье – Лежандра в среднем // Докл. АН СССР. – 1981. – 259, № 1. – С. 39 – 42. 21. Ходак Л. Б. Сходимость рядов Фурье по многочленам Якоби в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1982. – № 8. – С. 28 – 31. 22. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Физматгиз, 1962. – 500 с. 23. Потапов М. К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 134. – С. 260 – 277. Получено 28.12.09 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 6

О сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби

Institution

Similar Items