Об отображении проективного пространства в сферу
Отримано точну оцінку мінімальної кратності неперервного скінченнократного відображення проективного простору в сферу для всіх розмірностей. Для скіпченнократних відображень проективного простору в евклідів знайдено точну оцінку такої кратності при n=2,3. Для n≥4 доведено, що ця оцінка не перевищує...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166182 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об отображении проективного пространства в сферу / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 937–944. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166182 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зелинский, Ю.Б. 2020-02-18T06:45:32Z 2020-02-18T06:45:32Z 2010 Об отображении проективного пространства в сферу / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 937–944. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166182 513.835 Отримано точну оцінку мінімальної кратності неперервного скінченнократного відображення проективного простору в сферу для всіх розмірностей. Для скіпченнократних відображень проективного простору в евклідів знайдено точну оцінку такої кратності при n=2,3. Для n≥4 доведено, що ця оцінка не перевищує 4. Сформульовано ряд відкритих питань. We obtain an exact estimate for the minimum multiplicity of a continuous finite-to-one mapping of a projective space into a sphere for all dimensions. For finite-to-one mappings of a projective space into a Euclidean space, we obtain an exact estimate for this multiplicity for n = 2, 3. For n ≥ 4, we prove that this estimate does not exceed 4. Several open questions are formulated. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Об отображении проективного пространства в сферу On a mapping of a projective space into a sphere Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об отображении проективного пространства в сферу |
| spellingShingle |
Об отображении проективного пространства в сферу Зелинский, Ю.Б. Статті |
| title_short |
Об отображении проективного пространства в сферу |
| title_full |
Об отображении проективного пространства в сферу |
| title_fullStr |
Об отображении проективного пространства в сферу |
| title_full_unstemmed |
Об отображении проективного пространства в сферу |
| title_sort |
об отображении проективного пространства в сферу |
| author |
Зелинский, Ю.Б. |
| author_facet |
Зелинский, Ю.Б. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On a mapping of a projective space into a sphere |
| description |
Отримано точну оцінку мінімальної кратності неперервного скінченнократного відображення проективного простору в сферу для всіх розмірностей. Для скіпченнократних відображень проективного простору в евклідів знайдено точну оцінку такої кратності при n=2,3. Для n≥4 доведено, що ця оцінка не перевищує 4. Сформульовано ряд відкритих питань.
We obtain an exact estimate for the minimum multiplicity of a continuous finite-to-one mapping of a projective space into a sphere for all dimensions. For finite-to-one mappings of a projective space into a Euclidean space, we obtain an exact estimate for this multiplicity for n = 2, 3. For n ≥ 4, we prove that this estimate does not exceed 4. Several open questions are formulated.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166182 |
| citation_txt |
Об отображении проективного пространства в сферу / Ю.Б. Зелинский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 937–944. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zelinskiiûb obotobraženiiproektivnogoprostranstvavsferu AT zelinskiiûb onamappingofaprojectivespaceintoasphere |
| first_indexed |
2025-11-26T23:01:30Z |
| last_indexed |
2025-11-26T23:01:30Z |
| _version_ |
1850779467696308224 |
| fulltext |
UDK 513. 835
G. B. Zelynskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB OTOBRAÛENYY PROEKTYVNOHO PROSTRANSTVA
V SFERU
An exact estimate is obtained for minimum multiplicity of a continuous finite-to-one mapping of
projective space into a sphere for all dimensions. For finite-to-one mappings of the projective space into
the Euclidean space, an exact estimate for the considered multiplicity is found for n = 2, 3. For the case
of n ≥ 4, it is proved that this estimate does not exceed 4. A number of questions for the discussion are
formulated.
Otrymano toçnu ocinku minimal\no] kratnosti neperervnoho skinçennokratnoho vidobraΩennq
proektyvnoho prostoru v sferu dlq vsix rozmirnostej. Dlq skinçennokratnyx vidobraΩen\
proektyvnoho prostoru v evklidiv znajdeno toçnu ocinku tako] kratnosti pry n = 2, 3. Dlq n ≥
≥ 4 dovedeno, wo cq ocinka ne perevywu[ 4. Sformul\ovano rqd vidkrytyx pytan\.
Hlavn¥j vopros, yzuçaem¥j v πtoj rabote, svqzan s Ωelanyem ustanovyt\, kakym
mynymal\n¥m çyslom moΩno ohranyçyt\ kolyçestvo proobrazov proyzvol\noj
toçky obraza, esly apryory yzvestna hlobal\naq stepen\ zadannoho otobraΩe-
nyq dvux oblastej. Dopolnytel\no predpolahaem, çto dannoe otobraΩenye rea-
lyzuet πtot mynymum. Ocenky v odnu storonu, a ymenno ustanovlenye nyΩneho
vozmoΩnoho znaçenyq πtoho mynymuma, poluçeno v rabotax avtora [1, 2].
Budem hovoryt\, çto otobraΩenye f : X → Y topolohyçeskyx prostranstv ko-
neçnokratno, esly proobraz f y−1
proyzvol\noj toçky y Y∈ soderΩyt ko-
neçnoe yly pustoe mnoΩestvo toçek. Dalee predpolahaem, çto na rassmatryvae-
m¥x topolohyçeskyx prostranstvax zadana struktura mnohoobrazyq y ymegtsq
neprer¥vn¥e otobraΩenyq πtyx mnohoobrazyj yly yx podoblastej. TakΩe
budem predpolahat\, çto opredelena topolohyçeskaq stepen\ otobraΩenyq
deg f [3].
Teorema 1 [1]. Pust\ f D D: → 1 — neprer¥vnoe otobraΩenye (D y D1
— otkr¥t¥e podoblasty mnohoobrazyj M n
y N n
sootvetstvenno) takoe,
çto:
1) f D( )∂ ∩ f D( ) = ∅,
2) hruppa kohomolohyj hranyc¥ H Dc
n− ∂1
2( ; )Z ≠ 0 y otobraΩenye hrupp ko-
homolohyj f ∗
: H f Dc
n− ∂1
2( ; )Z → H Dc
n− ∂1
2( ; )Z , ynducyrovannoe ohranyçeny-
em f D∂ , qvlqetsq πpymorfyzmom.
Tohda yly f D qvlqetsq homeomorfyzmom, yly suwestvuet toçka y ∈ Int D1,
ymegwaq ne menee trex proobrazov v D. Esly Ωe otobraΩenye f nul\-
merno, to v poslednem sluçae mnoΩestvo A = y f −{ 1
sostoyt ne menee çem
yz trex toçek} ymeet razmernost\ n.
Teorema;1, v çastnosty, daet otvet na odnu yz problem, postavlenn¥x A.;Ko-
synskym [4], ob otobraΩenyy n-mernoho lysta Mebyusa.
Otmetym, çto uslovye 1 teorem¥ πkvyvalentno sobstvennosty otobraΩenyq
na Int D (otobraΩenye sobstvenno, esly proobraz proyzvol\noho kompakta —
kompakt).
OtobraΩenye oblasty naz¥vaetsq vnutrennym, esly obraz kaΩdoho otkr¥to-
© G. B.ZELYNSKYJ, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7 937
938 G. B. ZELYNSKYJ
ho mnoΩestva otkr¥t y proobraz proyzvol\noj toçky sostoyt yz yzolyrovann¥x
toçek.
Teorema 2 [2]. Pust\ f D D: → 1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej
stepeny k takoe, çto f D( )∂ ∩ f D( ) = ∅. Tohda yly f — vnutrennee oto-
braΩenye, yly suwestvuet toçka, ymegwaq ne men\ße çem k + 2 proobra-
za. Esly Ωe yzvestno, çto f — nul\mernoe otobraΩenye, to vo vtorom slu-
çae mnoΩestvo toçek, ymegwyx ne menee çem k + 2 proobraza, ymeet pol-
nug razmernost\.
Budem hovoryt\, çto otobraΩenye prynadleΩyt klassu Km , esly proobraz
kaΩdoj toçky soderΩyt ne bolee m toçek. V sluçae, kohda xotym fyksyro-
vat\ otobraΩaem¥e prostranstva, yspol\zuem oboznaçenye K X Ym ( , ) .
Pust\ X M n= — zamknutoe n-mernoe mnohoobrazye, a Y Bn= — ßar v n-
mernom evklydovom prostranstve Rn
.
V [5] ustanovleno, çto dlq otobraΩenyj proyzvol\n¥x zamknut¥x dvumer-
n¥x mnohoobrazyj v kruh klass K M B2
2 2( , ) ne pust v klasse neprer¥vn¥x
otobraΩenyj.
Dalee budem yzuçat\ otobraΩenyq proektyvnoho prostranstva RPn
v sfe-
ru Sn
y, v çastnosty, v ßar Bn
. Dlq poluçenyq neobxodym¥x ocenok krat-
nosty budem stroyt\ konkretnoe otobraΩenye. Çtob¥ uprostyt\ postroenye,
razob\em proektyvnoe prostranstvo RPn
na dve çasty: v¥reΩem yz neho ßar
Bn
. Ostavßaqsq çast\ naz¥vaetsq n-mern¥m lystom Mebyusa. Po druhomu ee
moΩno predstavlqt\ sebe kak sferyçeskoe kol\co S In− ×1
, hde I — edynyç-
n¥j otrezok, s otoΩdestvlenn¥my antypodal\n¥my toçkamy odnoj yz hranyç-
n¥x sfer. Naßa blyΩajßaq zadaça — postroyt\ otobraΩenye n-mernoho lys-
ta Mebyusa v ßar Bn
, kotoroe budet homeomorfyzmom na hranyce, a kaΩdaq
vnutrennqq toçka ßara budet ymet\ ne bolee trex proobrazov v lyste Mebyusa.
SvqΩem πtu zadaçu s druhoj zadaçej, yzuçennoj A.;Kosynskym [4] y avtorom [6]
v obwem sluçae. Zdes\ m¥ rassmotrym ee uprowenn¥j varyant, kotor¥j pryve-
det k reßenyg postavlennoj zadaçy. Zadadymsq cel\g postroyt\ vnutry ßara
Bn
semejstvo Ωordanov¥x kryv¥x, kaΩdaq yz kotor¥x soedynqet paru antypo-
dal\n¥x toçek hranyçnoj sfer¥ Sn−1
, pryçem predpolahaem, çto πty kryv¥e
neprer¥vno zavysqt ot koncov. OtoΩdestvlenye antypodal\n¥x toçek sfer¥
Sn−1
prevrawaet ee v proektyvnoe prostranstvo RPn−1
. Poπtomu esly m¥ po-
stroym takoe semejstvo kryv¥x, to moΩem rassmatryvat\ eho kak neprer¥vnoe
mnohoznaçnoe acyklyçnoe otobraΩenye F proektyvnoho prostranstva RPn−1
v ßar Bn
. Hrafyk πtoho otobraΩenyq Γ( )F vsehda homeomorfen n-mernomu
lystu Mebyusa, ved\ cytyruemoe v¥ße predstavlenye lysta Mebyusa est\
skleyvanye dvux radyusov sferyçeskoho kol\ca, kotor¥e soedynqgt antypo-
dal\n¥e toçky hranyçnoj sfer¥, v odnu duhu
Γ( )F B
F
q n
n
→
↓
−
↗
RP 1
. (1)
Proekcyq q hrafyka qvlqetsq neprer¥vn¥m otobraΩenyem lysta Mebyusa
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
OB OTOBRAÛENYY PROEKTYVNOHO PROSTRANSTVA V SFERU 939
v ßar. Sledovatel\no, esly m¥ sumeem postroyt\ soedynenye kryv¥my tak,
çtob¥ v kaΩdoj toçke peresekalos\ ne bolee trex kryv¥x, to tem sam¥m kaΩdaq
toçka obraza pry otobraΩenyy q budet ymet\ ne bolee trex proobrazov. Po-
stroenye provedem po yndukcyy. Pust\ s = 2. Na ploskosty rassmotrym kruh s
centrom v naçale koordynat. Toçku hranyçnoj okruΩnosty s koordynatamy
(x, y), hde x ≥ 0, soedynym s ee antypodal\noj toçkoj (– x, – y) kryvoj, sostoq-
wej yz par¥ otrezkov ( , ); ( , )−[ ]x y x y ∪ ( , ); ( , )− − −[ ]x y x y (rys. 1).
Rys. 1
Lehko vydet\, çto vnutry kruha toçky, çerez kotor¥e proxodqt rovno try
kryv¥e, zapolnqgt vnutrenngg çast\ levoj polovyn¥ kruha. Çerez vnutrennye
toçky pravoj polovyn¥ kruha proxodyt po odnoj kryvoj. Vtoroj ßah postroe-
nyq prymera: preobrazuem poluçennoe soedynenye tak, çtob¥ kryv¥e pereseka-
ly okruΩnost\ tol\ko v koncev¥x toçkax. ∏to lehko sdelat\, pohruzyv pervo-
naçal\n¥j kruh v kruh bol\ßeho radyusa koncentryçno y prodolΩyv kaΩdug
kryvug dvumq kusoçkamy radyusov (rys. 2).
Rys. 2
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
940 G. B. ZELYNSKYJ
Tretyj ßah, neobxodym¥j pry n bol\ße dvux: esly toçky, çerez kotor¥e
proxodyt bol\ße odnoj kryvoj, ne leΩat v odnom polußaryy, to homeomor-
fyzmom moΩno deformyrovat\ ßar tak, çtob¥ ony vse leΩaly, ne narußaq
obwnosty, v levom polußaryy.
Dal\nejßye rassuΩdenyq budem provodyt\ po yndukcyy. Pust\ dlq nekoto-
roho n ≥ 2 m¥ uΩe postroyly otobraΩenye lysta Mebyusa v ßar, kotoroe
prynadleΩyt klassu K M Bn n
3( , ) . Dlq uprowenyq v¥kladok budem sçytat\,
çto ßar Bn+1
predstavlqet soboj nadstrojku nad ßarom Bn
y koordynat¥
eho toçek y = ( , ,y y y1 2 3 , … , y yn n, )+1 moΩno predstavyt\ v vyde yi =
= x ti 1 −( ) pry i = 1, n , – 1 ≤ t ≤ 1, çerez toçky x = ( , ,x x x1 2 3 , … , xn ) ßara
Bn
y y tn+ =1 . PredpoloΩym takΩe, çto pry t = 0 zadano postroennoe po
predpoloΩenyg yndukcyy soedynenye antypodal\n¥x toçek sfer¥ kryv¥my,
dlq kotoroho proveden¥ try ßaha, analohyçn¥e ßaham, v¥polnenn¥m v¥ße.
Sledovatel\no, y pry kaΩdom – 1 ≤ t ≤ 1 suwestvuet soedynenye par toçek ′y =
= ( , ,y y y1 2 3 , … , y yn n, )+1 y ′′y = ( , ,− − −y y y1 2 3 , … , − +y yn n, )1 kryvoj
C y y( , )′ ′′ takoe, çto u toçek, çerez kotor¥e proxodqt neskol\ko kryv¥x, pervaq
koordynata otrycatel\na. ∏to soedynenye poluçym kak rasprostranenye soe-
dynenyq v πkvatoryal\nom ßare (pry yn+ =1 0 ) na nadstrojku. Opredelym te-
per\ kryvug, kotoraq soedynyt toçky ′y = ( , ,y y y1 2 3 , … , y yn n, )+1 y y∗ =
= ( , ,− − −y y y1 2 3 , … , − − +y yn n, )1 , hde y1 0≤ , kak obæedynenye kryvoj
C y y( , )′ ′′ y otrezka ′′
∗y y, . Lehko ubedyt\sq, çto pry takom soedynenyy
çerez kaΩdug vnutrenngg toçku pravoho polußaryq (otnosytel\no pervoj
koordynat¥) proxodyt rovno try kryv¥e. Takym obrazom, m¥ postroyly
otobraΩenye lysta Mebyusa v ßar klassa K M Bn n
3( , ) , çto y zaverßaet
dokazatel\stvo po yndukcyy. Takym obrazom, m¥ dokazaly sledugwee
utverΩdenye.
Teorema 3. Suwestvuet neprer¥vnoe otobraΩenye n-mernoho lysta Meby-
usa v ßar Bn
, kotoroe qvlqetsq homeomorfyzmom na hranyce, a kaΩdaq
vnutrennqq toçka ßara ymeet ne bolee trex proobrazov v lyste Mebyusa.
Sledstvye 1. Suwestvuet neprer¥vnoe otobraΩenye n-mernoho proek-
tyvnoho prostranstva RPn v sferu Sn
, dlq kotoroho kaΩdaq toçka obra-
za ymeet ne bolee trex proobrazov.
Dokazatel\stvo. Predstavym proektyvnoe prostranstvo kak obæedynenye
lysta Mebyusa y ßara RPn = M n ∪ Bn
, skleenn¥x po hranyçnoj sfere Sn−1
.
Sfera topolohyçesky predstavlqet soboj sklejku po hranyçnoj sfere Sn−1
dvux ßarov Sn = Bn
1 ∪ Bn
2 . Kak ustanovleno v¥ße, suwestvuet otobraΩenye f
lysta Mebyusa M n
v ßar Bn
1 , ymegwee neobxodym¥e v dannom sluçae uslo-
vyq vnutry ßara Bn
1 y qvlqgweesq homeomorfyzmom na hranyçnoj sfere.
ProdolΩym otobraΩenye f so sfer¥ Sn−1
do homeomorfnoho otobraΩenyq
f B Bn n
1 2: → ßarov, çto vsehda vozmoΩno. Oçevydno, çto postroennoe otobra-
Ωenye proektyvnoho prostranstva udovletvorqet utverΩdenyg sledstvyq.
Sledstvye 2. Klass otobraΩenyj K Sn n
3( , )RP ne pust pry lgbom n v
klasse neprer¥vn¥x otobraΩenyj.
Zametym, çto postroennoe v sledstvyy 1 otobraΩenye f klassa
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
OB OTOBRAÛENYY PROEKTYVNOHO PROSTRANSTVA V SFERU 941
K n
3(RP , Sn ) v sferu moΩno lehko preobrazovat\ nekotor¥m homeomorfyzmom
sfer¥ g S Sn n: → na sebq tak, çtob¥ toçky, ymegwye bol\ße odnoho
proobraza, leΩaly v sferyçeskom sektore, kotor¥j v ploskosty dvux perv¥x
koordynat x1 , x2 sfer¥ zanymaet uhol rastvora men\ße çem 2π/k .
Prymenym k obrazu g Sn( ) otobraΩenye h , kotoroe po perv¥m dvum
koordynatam moΩno zapysat\ v kompleksnoj forme kak ( )x ix k
1 2+ , ostal\n¥e
koordynat¥ otobraΩagtsq toΩdestvenno. Superpozycyq otobraΩenyj hg f
obladaet tem svojstvom, çto suwestvugt toçky, ymegwye rovno k + 2
proobraza, y net toçek, ymegwyx bol\ße proobrazov. Ytak, m¥ poluçyly
sledugwee utverΩdenye.
Teorema 4. Klass otobraΩenyj K Sr
n n( , )RP ne pust pry lgbom r ≥ 3 v
klasse neprer¥vn¥x otobraΩenyj, pryçem suwestvugt otobraΩenyq πtoho
klassa, kotor¥e ne prynadleΩat nykakomu klassu K Sm
n n( , )RP , hde m < r.
Teorema;4, v çastnosty, pokaz¥vaet, çto ocenka, poluçennaq v teoreme;2, ne-
uluçßaema.
Pust\ zadan¥ dve par¥ topolohyçeskyx prostranstv ( , )X A y ( , )Y B . Bu-
dem hovoryt\, çto otobraΩenye par prostranstv f prynadleΩyt klassu
K X Am ( , )[ , ( , )Y B ] yly sohlasovano, esly otobraΩenye f : X → Y prynadleΩyt
klassu K X Ym ( , ) , a eho suΩenye f A : A → B — klassu K A Bm ( , ) .
Analyzyruq postroennoe v teoreme;3 otobraΩenye, vydym, çto otobraΩenye
lysta Mebyusa sohlasovano, esly v kaçestve lysta Mebyusa men\ßej razmernos-
ty M n−1
rassmatryvaetsq lyst, poluçaem¥j pry t = 0 kak podmnoΩestvo
lysta M n
.
Sledstvye 3. Klass sohlasovann¥x otobraΩenyj K M Mn n
3
1, −( ) ,
(Bn , Bn− ]1) ne pust pry lgbom n ≥ 3 v klasse neprer¥vn¥x otobraΩenyj.
Sledstvye 4. Klass sohlasovann¥x otobraΩenyj K
n n
3
1R RP P, −( )[ ,
(Sn
,; Sn− ]1) ne pust pry lgbom n ≥ 3 v klasse neprer¥vn¥x otobraΩenyj.
Dokazatel\stvo lehko poluçaetsq yz sledstvyq;1, ved\ homeomorfyzm ßarov
f B Bn n
1 2: → nesloΩno v¥brat\ sohlasovann¥m.
Ohranyçenye n ≥ 3 v dvux poslednyx sledstvyqx estestvenno, tak kak pry
n = 1 lyst Mebyusa y proektyvnoe prostranstvo v¥roΩdagtsq sootvetstvenno
v otrezok y okruΩnost\.
V svqzy so sledstvyqmy 3 y 4 voznykagt estestvenn¥e vopros¥.
Vopros 1. Kohda otobraΩenye topolohyçeskyx prostranstv yz klassa
K A Bm ( , ) moΩno prodolΩyt\ do sohlasovannoho K X Am ( , )[ , ( , )Y B ] otobra-
Ωenyq bolee ßyrokyx prostranstv?
Vopros 2. Kohda otobraΩenye topolohyçeskyx prostranstv yz klassa
K A Bm ( , ) moΩno prodolΩyt\ do sohlasovannoho K X Ar ( , )[ , ( , )Y B ] otobra-
Ωenyq bolee ßyrokyx prostranstv, hde r > m fyksyrovano?
Vopros 3. Suwestvuet ly otobraΩenye topolohyçeskyx prostranstv yz
klassa K A Bm ( , ) , kotoroe nel\zq prodolΩyt\ do sohlasovannoho koneçno-
kratnoho otobraΩenyq bolee ßyrokyx prostranstv?
Postavlenn¥e vopros¥ kaΩutsq avtoru dovol\no sloΩn¥my zadaçamy v ob-
wem sluçae y otvet¥ na nyx, krome çastn¥x prymerov prostranstv, rassmotren-
n¥x v¥ße y v [5], neyzvestn¥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
942 G. B. ZELYNSKYJ
Yzmenym pred¥duwug zadaçu. Budem yzuçat\ otobraΩenyq proektyvnoho
prostranstva RPn
v sferu Sn
s v¥kolotoj toçkoj yly, çto to Ωe, v
evklydovo prostranstvo Rn
. Opqt\ razob\em proektyvnoe prostranstvo RPn
na dve çasty: lyst Mebyusa y ßar. Kak y v teoreme;3, svedem otobraΩenye lysta
Mebyusa v ßar k soedynenyg antypodal\n¥x toçek sfer¥ neprer¥vn¥m
semejstvom Ωordanov¥x kryv¥x, no v otlyçye ot toj zadaçy razreßym kryv¥m
ne tol\ko proxodyt\ vnutry ßara, a y v¥xodyt\ za eho predel¥. Poluçym
analohyçnug (1) treuhol\nug dyahrammu otobraΩenyj, v kotoroj otobraΩenye
q otobraΩaet hrafyk mnohoznaçnoho otobraΩenyq Γ( )F v evklydovo pro-
stranstvo
Γ( )F
F
q n
n
→
↓
−
R
↗
RP 1
. (2)
Pry n = 2 neobxodymoe soedynenye postroyl A.;Kosynskyj [4]. Dlq ßara
B3
edynyçnoho radyusa zadadym soedynenye antypodal\n¥x toçek y = ( ,y y1 2 ,
y3) , y = ( , , )y y y1 2 3 hranyçnoj sfer¥ kryvoj
K y y( ; )− = ( , , )y y y1 2 3[ ; ( , , )y y1 31− ] ∪
∪ arc( , , ) ( , , )0 1 1 33
1− −(y y y ; ( , , )− − )y y1 31 ∪ ( , , )− −[ y y1 31 ; ( ,−y1 1, y3)] ∪
∪ arc( , , ) ( , , )− −(y y y
1 1 0 1 31 ; ( , , )− − )y y1 31 ,
sostoqwej yz trex otrezkov [(y1 , y y2 3, ); ( , , )y y1 31− ] , ( , , )− −[ y y1 31 ;
( , , )− ]y y1 31 , ( , , )− −[ y y1 31 ; ( , , )− − − ]y y y1 2 3 , y dvux duh okruΩnostej
arc
( , , )
( , , )
0 1
1 3
3
1
−
−(
y
y y ; ( , , )− − − )y y1 31 , arc
( , , )
( , , )
−
−(
y
y y
1 1 0
1 31 ; ( , , )− − )y y1 31 s centramy
v toçkax (0 , – 1, y3) , ( , , )−y1 1 0 sootvetstvenno, kotor¥e soedynqgt za prede-
lamy ßara ukazann¥e v skobkax par¥ toçek : pervaq okruΩnost\ leΩyt v plos-
kosty y3 = const , vtoraq — v ploskosty −y1 = = const. Ne narußaq obwnosty,
predpolahaem y2 0≤ . Zametym, çto pry y3 0= m¥ poluçym prymer A.;Ko-
synskoho. Neposredstvennoj proverkoj lehko ubedyt\sq, çto obrazom pod
dejstvyem takoho mnohoznaçnoho otobraΩenyq (yly, çto to Ωe, neprer¥vnoho
otobraΩenyq lysta Mebyusa) budet zamknutaq oblast\ evklydova prostranstva,
kotorug moΩno poluçyt\ kak obæedynenye vsex ßarov edynyçnoho radyusa s
centramy na otrezke −[ ]1 1; osy y2 .
Na rys. 3 yzobraΩen¥ çet¥re kryv¥e, soedynqgwye çet¥re par¥ antypo-
dal\n¥x toçek, kotor¥e poluçagtsq yz fyksyrovannoj toçky sfer¥ çeredova-
nyem znakov koordynat. KaΩdaq kryvaq sostoyt yz horyzontal\noho kuska
vneßnej k ßaru kryvoj, prqmolynejnoho otrezka vnutry ßara y vertykal\noho
kuska vneßnej kryvoj. Çasty, kotor¥e budut obwymy dlq dvux razlyçn¥x kry-
v¥x, v¥delen¥ utolwennoj lynyej. Pry πtom çerez kaΩdug vnutrenngg toçku
ßara s centrom v naçale koordynat proxodyt edynstvennaq kryvaq, a çerez os-
tal\n¥e vnutrennye toçky poluçennoj fyhur¥ proxodqt rovno dve kryv¥e.
Kak y v pred¥duwem sluçae, otsgda sleduet takoe utverΩdenye.
Teorema 5. Suwestvuet neprer¥vnoe otobraΩenye n -mernoho lysta Me-
byusa v evklydovo prostranstvo Rn
takoe, çto kaΩdaq toçka Rn
ymeet
ne bolee dvux proobrazov v lyste Mebyusa pry n = 2, 3.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
OB OTOBRAÛENYY PROEKTYVNOHO PROSTRANSTVA V SFERU 943
Postroennoe v¥ße otobraΩenye pry n = 3 obladaet svojstvom sohlasovan-
nosty dlq n = 2, esly v nem ohranyçyt\sq soedynenyem antypodal\n¥x toçek v
πkvatoryal\noj ploskosty ßara. K soΩalenyg, postroennaq konstrukcyq ne
obobwaetsq po yndukcyy na v¥sßye razmernosty, y vopros mynymal\noj krat-
nosty podobnoho otobraΩenyq ostaetsq otkr¥t¥m.
Rys. 3
Sledstvye 5. Suwestvuet neprer¥vnoe otobraΩenye n -mernoho proek-
tyvnoho prostranstva RPn
v evklydovo prostranstvo Rn
takoe, çto
kaΩdaq toçka Rn
budet ymet\ ne bolee dvux proobrazov pry n = 2, 3.
∏tot fakt dokaz¥vaetsq analohyçno dokazatel\stvu sledstvyq;1 razbyenyem
proektyvnoho prostranstva RPn = M n ∪ Bn na lyst Mebyusa y ßar, tol\ko v
πtom sluçae ßar Bn
otobraΩaem homeomorfno na ßar edynyçnoho radyusa,
kotor¥j otobraΩenyem lysta Mebyusa v teoreme;5 nakr¥t odnokratno.
Vopros 4. Budet ly nepust¥m klass K n n
2( , )RP R pry n > 3?
Kak y v pred¥duwem sledstvyy, razbyvaq proektyvnoe prostranstvo na dve
çasty, no yspol\zuq pry otobraΩenyy lysta Mebyusa postroennoe v teoreme;3
otobraΩenye klassa K M Bn n
3( , ) , lyst Mebyusa y homeomorfyzm ßara, polu-
çaem sledugwug, bolee hrubug, çem v voprose 4, ocenku.
Sledstvye 6. Klass K n n
4 ( , )RP R otobraΩenyj n-mernoho proektyvno-
ho prostranstva RPn
v evklydovo prostranstvo Rn
ne pust pry lgbom n
v klasse neprer¥vn¥x otobraΩenyj.
Sledugwye dva otkr¥t¥x voprosa tesno svqzan¥ s rassmotrenn¥my zada-
çamy.
Vopros 5. Pust\ f D D: → 1 — neprer¥vnoe otobraΩenye oblastej n-
mern¥x mnohoobrazyj stepeny k takoe, çto f D( )∂ ∩ f D( ) = ∅. Vsehda ly su-
westvuet sobstvennoe otobraΩenye g, homotopnoe f y takoe, çto kaΩdaq toçka
yz obraza oblasty g(D) ymeet ne bolee çem deg f + 2 proobraza?
Pust\ f — neprer¥vnoe otobraΩenye, zadannoe na hranyce oblasty D v ob-
last\ D1 n-mernoho mnohoobrazyq. PredpoloΩym takΩe, çto f prynadleΩyt
klassu K D Dk ( , )∂ 1 .
Vopros 6. Kohda suwestvuet neprer¥vnoe prodolΩenye f na vsg oblast\,
kotoroe na Int D budet vnutrennym otobraΩenyem?
1. Zelynskyj G. B. O nekotor¥x problemax Kosynskoho // Ukr. mat. Ωurn. – 1975. – 27, #4. –
S. 510 – 516.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
944 G. B. ZELYNSKYJ
2. Zelynskyj G. B. O kratnosty neprer¥vn¥x otobraΩenyj oblastej // Tam Ωe. – 2005. – 57,
# 4. – S. 554 – 558.
3. Baxtyn A. K., Baxtyna H. P., Zelynskyj G. B. Topoloho-alhebrayçeskye struktur¥ y
heometryçeskye metod¥ v kompleksnom analyze // Tr. Yn-ta matematyky NAN Ukrayn¥. –
2008. – 73. – 308 s.
4. Kosinski A. On a problem of Steinhaus // Fund. math. – 1958. – 46. – P. 47 – 59.
5. Zelynskyj G. B. Ob otobraΩenyy oblastej na mnohoobrazyqx // 3b. prac\ In-tu matematyky
NAN Ukra]ny. – 2008. – 5, # 1. – S. 149 – 152.
6. Zelynskyj G. B. Ob n-dopustym¥x mnohoznaçn¥x otobraΩenyqx // Metryçeskye vopros¥
teoryy funkcyj y otobraΩenyj. – V¥p. 7. – S. 61 – 83.
7. Spen\er ∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. – M.: Myr, 1971. – 680 s.
8. Troxymçuk G. G., Bondar\ A. V. O lokal\noj stepeny nul\mernoho otobraΩenyq // Metry-
çeskye vopros¥ teoryy funkcyj y otobraΩenyj. – 1969. – V¥p. 1. – S.;221 – 241.
Poluçeno 26.01.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 7
|