Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp
Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства Lp некоторым линейным методом Un* классов интегралов Пуассона функций из Hωp при 1≤p<∞. Доказано, что полученная оценка при р=1 является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотические равенства для...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166185 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp / А.С. Сердюк, І.В. Соколенко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 979–996. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860215936334692352 |
|---|---|
| author | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. |
| author_facet | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. |
| citation_txt | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp / А.С. Сердюк, І.В. Соколенко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 979–996. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства Lp некоторым линейным методом Un* классов интегралов Пуассона функций из Hωp при 1≤p<∞. Доказано, что полученная оценка при р=1 является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотические равенства для наилучших приближений в метрике пространства L1 классов интегралов Пуассона функций из Hω1 и показано, что метод Un* для этих классов является наилучшим в смысле сильной асимптотики полиномиальным методом приближения.
We obtain upper estimates for the least upper bounds of approximations of the classes of Poisson integrals of functions from Hωp for 1 ≤ p < ∞ by a certain linear method Un* in the metric of the space Lp . It is shown that the obtained estimates are asymptotically exact for p = 1. In addition, we determine the asymptotic equalities for the best approximations of the classes of Poisson integrals of functions from Hω1 in the metric of the space L1 and show that, for these classes, the method Un* is the best polynomial approximation method in a sense of strong asymptotic behavior.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:16:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк, I. В. Соколенко* (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ
ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ
ПУАССОНА ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Hωp
У МЕТРИКАХ ПРОСТОРIВ Lp
We obtain an estimate from above for least upper bounds of approximations in metric of the space Lp by some
linear method U∗
n of classes of the Poisson integrals of functions from Hωp provided that 1 ≤ p < ∞. We
prove that the obtained estimate is asymptotically exact for p = 1. In addition, we find asymptotic equalities
for the best approximations in metric of the space L1 of classes of the Poisson integrals of functions from
Hω1 and show that the method U∗
n for these classes is the best polynomial method of approximations in the
sense of strong asymptotic behavior.
Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства Lp некото-
рым линейным методом U∗
n классов интегралов Пуассона функций из Hωp при 1 ≤ p <∞. Доказано,
что полученная оценка при p = 1 является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотиче-
ские равенства для наилучших приближений в метрике пространства L1 классов интегралов Пуассона
функций из Hω1 и показано, что метод U∗
n для этих классов является наилучшим в смысле сильной
асимптотики полиномиальным методом приближения.
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ з нормою ‖ϕ‖C =
= max
t
|ϕ(t)|; Lp, 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних на (−π, π)
у p-му степенi функцiй iз нормою ‖ϕ‖Lp
=
(∫ π
−π
|ϕ(t)|pdt
)1/p
; L∞ — простiр
2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй ϕ з нормою ‖ϕ‖L∞ =
= ess sup
t
|ϕ(t)|.
Розглянемо множини
Up :=
{
ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖Lp
≤ 1
}
, 1 ≤ p ≤ ∞,
Hω :=
{
ϕ ∈ C : ω(ϕ; t) ≤ ω(t), t ≥ 0
}
,
Hωp
:=
{
ϕ ∈ Lp : ωp(ϕ; t) ≤ ω(t), t ≥ 0
}
, 1 ≤ p <∞,
де
ω(ϕ; t) = sup
|h|≤t
∥∥ϕ(·+ h)− ϕ(·)
∥∥
C
, ϕ ∈ C, t ≥ 0,
ωp(ϕ; t) = sup
|h|≤t
∥∥ϕ(·+ h)− ϕ(·)
∥∥
Lp
, ϕ ∈ Lp, t ≥ 0,
а ω(t) — фiксований модуль неперервностi, тобто неперервна неспадна напiвади-
тивна при всiх t ≥ 0 функцiя, що в нулi дорiвнює нулю.
Нехай, далi, Cqβ,∞ — множина неперервних 2π-перiодичних функцiй f(·), якi
задаються згортками
f(x) =
a0(f)
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)P qβ (t)dt (1)
*Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект
GP/F27/0103).
c© А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7 979
980 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
з ядром Пуассона
P qβ (t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, (2)
де ϕ ∈ U∞, а CqβHω — множина неперервних 2π-перiодичних функцiй f(·) вигля-
ду (1), де ϕ ∈ Hω.
Через Lqβ,p i LqβHωp
, 1 ≤ p < ∞, будемо позначати класи 2π-перiодичних
сумовних функцiй, що еквiвалентнi вiдносно мiри Лебега iнтегралам Пуассона (1),
в яких ϕ ∈ Up i, вiдповiдно, ϕ ∈ Hωp
.
Розглянемо величину
E(N;Un)X = sup
f∈N
∥∥f(·)− Un(f ; ·)
∥∥
X
, (3)
де N — деякий клас у просторi X ⊆ L1 з нормою ‖ · ‖X , Un — лiнiйний метод
наближення, який кожнiй функцiї f з N ставить у вiдповiднiсть тригонометричний
полiном Un(f ;x) порядку не бiльшого нiж n. Якщо для величини (3) в явному
виглядi знайдено таку функцiю ϕ(n) = ϕ(N;Un;X), що
E(N;Un)X = ϕ(n) + o(ϕ(n)), n→∞,
то кажуть, що розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для класу N i методу
Un у просторi X. Ознайомитись з iсторiєю даного питання можна, наприклад, у
монографiях [1 – 5].
У 1946 р. С. М. Нiкольський [6] встановив асимптотичнi рiвностi для величин
E(Cqβ,∞;Sn)C i E(Lqβ,1;Sn)L1 , де Sn — частиннi суми ряду Фур’є.
У 2001 р. О. I. Степанець [7] (див. також [4], § 5.18) розв’язав задачу Колмо-
горова – Нiкольського для класу CqβHω i сум Фур’є у рiвномiрнiй метрицi, а також
отримав оцiнки зверху для величин E(LqβHωp
;Sn)Lp
при 1 ≤ p <∞.
У роботi [8] розв’язано задачу Колмогорова – Нiкольського для деякого лiнiйно-
го методу U∗n i класу CqβHω у рiвномiрнiй метрицi i показано, що точнi верхнi межi
вiдхилень полiномiв U∗n−1(f) вiд функцiй f з класу CqβHω, породженого опуклим
модулем неперервностi ω(t), асимптотично збiгаються з величинами найкращих
наближень цих класiв.
У данiй роботi отримано аналоги результатiв роботи [8] у випадку наближення
лiнiйним методом U∗n класу LqβHω1
в iнтегральнiй метрицi i одержано оцiнки зверху
для величин E(LqβHωp
;U∗n)Lp
, 1 < p <∞.
Перейдемо до точних формулювань. Кожнiй функцiї f iз класу LqβHωp по-
ставимо у вiдповiднiсть тригонометричний полiном U∗n−1(f ;x) = U∗n−1(q;β; f ;x)
вигляду
U∗n−1(f ;x) =
=
a0(f)
2
+
n−1∑
k=1
{
λ
(n)
k (ak cos kx+ bk sin kx) + ν
(n)
k (ak sin kx− bk cos kx)
}
, (4)
де ak = ak(ϕ), bk = bk(ϕ), k = 1, 2, . . . , — коефiцiєнти Фур’є функцiї ϕ, що
пов’язана з f рiвнiстю (1), а числа λ
(n)
k = λ
(n)
k (q;β) i ν(n)
k = ν
(n)
k (q;β), k =
= 1, . . . , n− 1, означаються за допомогою рiвностей
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 981
λ
(n)
k = (qk − q2n−k) cos
βπ
2
, k = 1, . . . , n− 1, (5)
ν
(n)
k = (qk − q2n−k) sin
βπ
2
, k = 1, . . . , n− 1. (6)
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ p < ∞ i ω(t) — довiльний модуль
неперервностi. Тодi при n→∞ виконується нерiвнiсть
E(LqβHωp
;U∗n−1)Lp
≤ 2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (7)
i, крiм того, при p = 1 справджується рiвнiсть
E(LqβHω1 ;U∗n−1)L1 =
2θωq
n
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (8)
де
1
2
≤ θω ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi,
O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно параметрiв n, q, β i p.
Зауваження 1. Для схожого за побудовою до U∗n лiнiйного методу наближення
задачу Колмогорова – Нiкольського в рiвномiрнiй метрицi для класiв Cqβ,p, 1 ≤ p ≤
≤ ∞, розв’язано в роботi [9]. Там же розв’язано аналогiчну задачу для класiв Lqβ,1
у метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
Зауваження 2. Як зазначалось вище, для величин E(CqβHω;U∗n−1)C асимпто-
тичнi формули було отримано у [8]. З формули (8) даної роботи i теореми 1 роботи
[8] випливає, що величини E(CqβHω;U∗n−1)C i E(LqβHω1
;U∗n−1)L1
асимптотично
рiвнi у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi.
Ефективнiсть полiномiального методу Un на класi N оцiнюється тим, наскiльки
близькi значення E(N;Un−1)X до величин
En(N)X = sup
f∈N
En(f)X = sup
f∈N
inf
Tn−1
‖f(·)− Tn−1(·)‖X , n ∈ N,
Tn−1(x) =
n−1∑
k=0
(αk cos kx+ βk sin kx), αk, βk ∈ R,
якi називають найкращими наближеннями класу N у метрицi простору X.
Точнi значення величинEn(Cqβ,∞)C при цiлих β обчислив М. Г. Крейн [10], а ве-
личин En(Lqβ,1)L1
— С. М. Нiкольський [6]. При довiльних β величини En(Cqβ,∞)C
i En(Lqβ,1)L1
знайденi А. В. Бушанським [11].
Для функцiональних класiв, якi задаються за допомогою згорток з функцiями
з класiв Hω або Hω1 , iснує вiдносно невелика кiлькiсть робiт, в яких отримано
точнi значення найкращих наближень таких класiв у рiвномiрнiй або iнтегральнiй
метрицi. У зв’язку з цим вiдмiтимо роботу М. П. Корнєйчука [12] (див. також [13]),
у якiй обчислено точнi значення величин En(W rHω)C i En(W rHω)L1
, n ∈ N, для
опуклих модулiв неперервностi ω(t). Згодом цi результати узагальнив В. Ф. Бабенко
на класи згорток, якi породжуються CVD-ядрами (див., наприклад, [14]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
982 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Для класiв CqβHω i LqβHω1
точнi значення найкращих наближень у рiвномiрнiй
та iнтегральнiй метриках до цього часу невiдомi. Тому, на нашу думку, актуальною
є задача отримання сильної асимптотики для величин En(LqβHω1
)L1
при n→∞ i
знаходження асимптотично найкращого лiнiйного методу наближення.
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R i ω(t) — довiльний модуль неперервностi.
Тодi при n→∞
En(LqβHω1
)L1
=
2θωq
n
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (9)
де
1
2
≤ θ ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi, O(1)
— величина, рiвномiрно обмежена вiдносно параметрiв n, q i β.
Зауваження 3. З рiвностей (8) i (9) випливає, що розглянутий у роботi лi-
нiйний метод наближення U∗n є асимптотично найкращим на класах LqβHω1 в
L1-метрицi у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi. Аналогiчну
властивiсть методу U∗n на класах CqβHω в рiвномiрнiй метрицi встановлено в робо-
тi [8].
Доведення теореми 1. Знайдемо iнтегральне зображення вiдхилень f(x) −
−U∗n−1(f ;x) для функцiй f ∈ LqβHωp
. Внаслiдок (4) i теореми 2.1.5 з [15, c. 64 – 65]
для довiльної функцiї f ∈ LqβHωp
виконується рiвнiсть
U∗n−1(f ;x) =
a0(f)
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Qn−1(t)dt, (10)
де
Qn−1(t) = Qn−1(q;β; t) =
n−1∑
k=1
(
λ
(n)
k cos kt+ ν
(n)
k sin kt
)
, (11)
а коефiцiєнти λ(n)
k i ν(n)
k визначенo формулами (5) i (6).
З рiвностей (1) i (10) отримуємо, що майже скрiзь
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)(P qβ (t)−Qn−1(t))dt.
Функцiя P qβ (t)−Qn−1(t) ортогональна до будь-якої константи, тому
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
(ϕ(x− t)− ϕ(x))(P qβ (t)−Qn−1(t))dt. (12)
Запишемо рiзницю P qβ (t) − Qn−1(t) у зручному для подальших дослiджень
виглядi. Згiдно з (2), (5), (6) i (11) маємо
P qβ (t)−Qn−1(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
−
−
n−1∑
k=1
(
qk − q2n−k) cos
βπ
2
cos kt−
n−1∑
k=1
(
qk − q2n−k) sin
βπ
2
sin kt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 983
=
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
−
n−1∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
=
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
. (13)
На основi очевидних рiвностей
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+
2n−1∑
k=n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
+q2n cos
(
2nt− βπ
2
)
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
,
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
2n−1∑
k=n+1
qk cos
(
(2n− k)t− βπ
2
)
формулу (13) можемо продовжити:
∞∑
k=n
qk cos
(
kt− βπ
2
)
+
n−1∑
k=1
q2n−k cos
(
kt− βπ
2
)
=
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+
2n−1∑
k=n+1
qk
(
cos
(
kt− βπ
2
)
+ cos
(
(2n− k)t− βπ
2
))
+
+q2n
(
cos
(
2nt− βπ
2
)
+ cos
βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
=
= qn cos
(
nt− βπ
2
)
+ 2 cos
(
nt− βπ
2
)
×
×
(
2n−1∑
k=n+1
qk cos(k − n)t+ q2n cosnt
)
+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2 cos
(
nt− βπ
2
)(
qn
2
+
2n∑
k=n+1
qk cos(k − n)t
)
+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2 cos
(
nt− βπ
2
)(
qn
2
+
∞∑
k=n+1
qk cos(k − n)t
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
984 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
−2 cos
(
nt− βπ
2
) ∞∑
k=2n+1
qk cos(k − n)t+
+
∞∑
k=2n+1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
− q2n cos
βπ
2
=
= 2qn cos
(
nt− βπ
2
)(
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt
)
− q2n
∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
. (14)
Об’єднуючи рiвностi (13) i (14), отримуємо
P qβ (t)−Qn−1(t) = 2qn cos
(
nt− βπ
2
)(
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt
)
−
− q2n
∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
. (15)
Згiдно з (12) i (15), оскiльки
1
2
+
∞∑
k=1
qk cos kt =
1− q2
2(1− 2q cos t+ q2)
, (16)
при f ∈ LqβHωp
майже в кожнiй точцi x виконується рiвнiсть
f(x)− U∗n−1(f ;x) =
qn(1− q2)
π
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt−
−q
2n
π
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) ∞∑
k=0
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
dt. (17)
Розглядаючи точну верхню межу по функцiях f ∈ LqβHωp
у рiвностi (17), маємо
E(LqβHωp
;U∗n−1)Lp
= In(ω, q, β)Lp
+O(1)an(ω, q, β)Lp
, (18)
де
In(ω, q, β)Lp
=
qn(1− q2)
π
sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
(19)
i
an(ω, q, β)Lp = q2n sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) ∞∑
k=0
qk cos(kt+ βπ/2) dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
.
(20)
Застосовуючи до правої частини рiвностi (20) узагальнену нерiвнiсть Мiнковського
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 985
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
d∫
c
f(x, y)dy
∣∣∣∣∣∣
p
dx
1/p
≤
d∫
c
b∫
a
|f(x, y)|pdx
1/p
dy, 1 ≤ p ≤ ∞, (21)
одержуємо
an(ω, q, β)Lp ≤ 2πω(π) q2n
∞∑
k=0
qk =
O(1)q2n
1− q
. (22)
Отже, згiдно з (18) i (22)
E(LqβHωp ;U∗n−1)Lp = In(ω, q, β)Lp +
O(1)q2n
1− q
. (23)
Знайдемо асимптотичну оцiнку величини In(ω, q, β)Lp
. Права частина у (19) є
4-перiодичною функцiєю вiдносно параметра β. Тому далi достатньо вважати, що
β ∈ [0, 4).
Подамо праву частину рiвностi (19) у зручному для подальших дослiджень
виглядi. Для цього використаємо прийом, запропонований О. I. Cтепанцем при
доведеннi теореми 1 з [7]. Покладемо
xk =
(1 + β)π
2n
+
kπ
n
, k ∈ Z, (24)
tk = xk −
π
2n
=
βπ
2n
+
kπ
n
, k ∈ Z, (25)
i
ln(t) = xk при t ∈ [tk, tk+1), k ∈ Z. (26)
У прийнятих позначеннях має мiсце така лема.
Лема 1. Нехай ϕ ∈ Hωp , тодi
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt =
=
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt+
O(1)qω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (27)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по ϕ, n, q, β i p.
Доведення. Для доведення спiввiдношення (27) розглянемо рiзницю
Rn(ϕ) =
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos (nt− βπ/2)
1− 2q cos t+ q2
dt−
−
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt=
=
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt, (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
986 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
де
rn(t) =
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
. (29)
Подамо iнтеграл, що стоїть у правiй частинi (28), у виглядi
2π∫
0
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
π∫
0
+
2π∫
π
(ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt :=
:= I(1)
n (ϕ;x) + I(2)
n (ϕ;x) (30)
i оцiнимо величини
∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
та
∥∥I(2)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
. Для цього будемо користуватися
наступними вiдомими твердженнями.
Лема A ([4], лема 5.18.2). Нехай на вiдрiзку [a, a + 2h], h > 0, задано двiчi
неперервно диференцiйовну функцiю g(t) i
F (t) =
∣∣g(t)− g(a+ h/2)
∣∣− ∣∣g(t+ h)− g(a+ 3h/2)
∣∣, t ∈ [a, a+ h]. (31)
Тодi якщо g(t) не зростає на [a, a+ 2h] i g′′(t) ≥ 0 при всiх t ∈ [a, a+ 2h], то
F (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a, a+ h]. (32)
Якщо ж при цьому g′′(t) ≤ 0 при всiх t ∈ [a, a+ 2h], то
F (t) ≤ 0 ∀t ∈ [a, a+ h]. (33)
У випадку, коли g(t) не спадає, з умови g′′(t) ≥ 0 випливає спiввiдношення (33), а з
умови g′′(t) ≤ 0 — спiввiдношення (32).
Лема Б ([4], лема 5.18.4). Нехай y(t) — сумовна на [a, b] функцiя i ξk, k = 1, n,
a ≤ ξ1 < ξ2 < . . . < ξn ≤ b, — деякий набiр точок такий, що на кожному промiжку
[ξk, ξk+1] iснує точка ck така, що на промiжках [ξk, ck] i [ck, ξk+1] функцiя y(t)
майже скрiзь зберiгає протилежнi знаки та
ξk+1∫
ξk
y(t)dt = 0, k = 1, n− 1. (34)
Тодi якщо ϕ ∈ Hωp , p ∈ [1,∞), то∥∥∥∥∥∥
b∫
a
(ϕ(x− t)− ϕ(x))y(t)dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ sup
a≤t≤ξ1
∥∥ϕ(· − t)− ϕ(·)
∥∥
Lp
ξ1∫
a
|y(t)|dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 987
+ω(∆)
ξn∫
ξ1
|y(t)|dt+ sup
ξn≤t≤b
∥∥ϕ(· − t)− ϕ(·)
∥∥
Lp
b∫
ξn
|y(t)|dt, (35)
де ∆ = sup
k
(ξk+1 − ξk).
Знайдемо спочатку потрiбну оцiнку величини
∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
. На промiжку [0, π)
функцiя g(t) = (1−2q cos t+q2)−1 має єдину точку перегину, яку позначимо через
τ∗, i на (0, τ∗) спадає i опукла догори, а на (τ∗, π) спадає i опукла донизу. Нехай,
далi, числа k1 i k2 такi, що точка tk1 є найближчою злiва до точки τ∗ серед точок
tk, а точка tk2 — найближчою справа. Покладемо
αk =
tk+1∫
tk
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (36)
При k = 0, 1, . . . , k1 − 1
signαk = (−1)k. (37)
Покажемо, що числа |αk| не спадають. Дiйсно, згiдно з (26) i (36)
|αk| − |αk+1| =
=
∣∣∣∣∣∣
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣−
−
∣∣∣∣∣∣∣
tk+2∫
tk+1
(
1
1− 2q cos t+ q2
− 1
1− 2q cos ln(t) + q2
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
tk+1∫
tk
|g(t)− g(xk)|
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt−
−
tk+2∫
tk+1
|g(t)− g(xk+1)|
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt =
=
tk+1∫
tk
(
|g(t)− g(xk)| −
∣∣∣g (t+
π
n
)
− g
(
xk +
π
n
)∣∣∣) ∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt. (38)
На iнтервалi [0, tk1 ] функцiя g(t) спадає i g′′(t) ≤ 0. Тому, застосовуючи лему A
при a = tk i h =
π
2n
, переконуємося, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
988 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
|αk| ≤ |αk+1|, k = 0, 1, . . . , k1 − 1. (39)
Аналогiчно встановлюємо, що при k = k2, k2 + 1, . . . , n− 2
signαk = (−1)k (40)
i
|αk| ≥ |αk+1|. (41)
Покладемо
Φ1(x) =
x∫
t0
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt i Φ2(x) =
tn−2∫
x
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (42)
З твердження 5.1.1 монографiї [4] та спiввiдношень (37) – (41) випливає, що функ-
цiя Φ1(x) на кожному промiжку [tk, tk+1] має єдиний простий нуль x̄k, k =
= 0, 1, . . . , k1 − 1, а функцiя Φ2(x) такий же нуль x̄k має на кожному промiжку
[tk, tk+1], k = k2, k2 + 1, . . . , n− 3.
Враховуючи цю iнформацiю, зображуємо I(1)
n (ϕ;x) у виглядi
I(1)
n (ϕ;x) =
=
t0∫
0
+
x̄k1−1∫
t0
+
x̄k2∫
x̄k1−1
+
tn−2∫
x̄k2
+
π∫
tn−2
(ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt :=
:=
5∑
j=1
ij(ϕ;x), (43)
при цьому
0 ≤ t0 < tk1−1 < x̄k1−1 < tk1 < τ∗ < tk2 < x̄k2 < tn−2 < π. (44)
Беручи до уваги (26), (29) i очевиднi спiввiдношення
1− 2q cos t+ q2 ≥ (1− q)2, max
t
2q| sin t|
1− 2q cos t+ q2
=
2q
1− q2
,
маємо
|rn(t)| =
∣∣∣∣∣∣∣
t∫
ln(t)
(
1
1− 2q cos τ + q2
)′
dτ
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣t− ln(t)
∣∣max
t
2q| sin t|
(1− 2q cos t+ q2)2
≤
≤ π
2(1− q)2n
max
t
2q| sin t|
1− 2q cos t+ q2
=
πq
(1− q2)(1− q)2n
. (45)
Використовуючи узагальнену нерiвнiсть Мiнковського (21) i нерiвнiсть (45), для
довiльної функцiї ϕ ∈ Hωp отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 989
‖i1(ϕ; ·)‖Lp =
∥∥∥∥∥∥
t0∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ βπ2q ω(βπ/2n)
2(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
. (46)
Застосовуючи лему Б до функцiї y(t) = rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
спочатку при
[a, b] = [t0, x̄k1−1] та використовуючи в якостi наборiв ξk нулi x̄k, k = 0, 1, . . .
. . . , k1 − 1, функцiї Φ1(x), а потiм при [a, b] =
[
x̄k2 , tn−2
]
i беручи нулi x̄k,
k = k2, k2 + 1, . . . , n− 3, функцiї Φ2(x), знаходимо∥∥i2(ϕ; ·)
∥∥
Lp
+
∥∥i4(ϕ; ·)
∥∥
Lp
≤
≤ ω
(
4π
n
) x̄k1−1∫
t0
∣∣rn(t)
∣∣dt+ ω
(
4π
n
) tn−2∫
x̄k2
∣∣rn(t)
∣∣dt ≤
≤ ω
(
4π
n
) tn−2∫
t0
∣∣rn(t)
∣∣dt. (47)
Iз (45) випливає
tn−2∫
t0
|rn(t)|dt ≤
π∫
0
|rn(t)|dt ≤ π2q
(1− q2)(1− q)2n
. (48)
Об’єднуючи спiввiдношення (47) i (48), одержуємо
∥∥i2(ϕ; ·)
∥∥
Lp
+
∥∥i4(ϕ; ·)
∥∥
Lp
≤ O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
. (49)
Внаслiдок (45)
∥∥i3(ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
∥∥∥∥∥∥∥
x̄k2∫
x̄k1−1
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ 4π2qω(x̄k2)
(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n2
(50)
i
∥∥i5(ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
∥∥∥∥∥∥
π∫
tn−2
(
ϕ(x− t)− ϕ(x)
)
rn(t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤ 2π2qω(π)
(1− q2)(1− q)2n2
=
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n2
. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
990 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Таким чином, зi спiввiдношень (43), (46) i (49) – (51) отримуємо∥∥I(1)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
=
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
∀ϕ ∈ Hωp . (52)
Зрозумiло, що така сама оцiнка буде виконуватись i для величини
∥∥I(2)
n (ϕ; ·)
∥∥
Lp
.
Отже, згiдно з (30) має мiсце спiввiдношення (27).
Лему 1 доведено.
Продовжимо доведення теореми 1. Враховуючи (19) i (27), записуємо
In(ω, q, β)Lp
=
=
qn(1− q2)
π
sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
+
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (53)
де функцiя ln(t) визначається рiвнiстю (26).
Для завершення доведення теореми 1 нам потрiбна наступна лема, доведення
якої наведемо пiзнiше.
Лема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ [0, 4), 1 ≤ p < ∞ i ω(t) — довiльний модуль
неперервностi. Тодi для величини
Jn(ω, q, β)Lp := sup
ϕ∈Hωp
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
при n→∞ має мiсце нерiвнiсть
Jn(ω, q, β)Lp
≤ 2
1− q2
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (54)
i, крiм того, при p = 1 справджується рiвнiсть
Jn(ω, q, β)L1
=
2θω
1− q2
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt+
O(1)q ω(1/n)
(1− q2)(1− q)2n
, (55)
де
1
2
≤ θ ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi, O(1)
— величини, рiвномiрно обмеженi по параметрах n, q, β i p.
Спiвставляючи рiвностi (23), (53) i лему 2, отримуємо спiввiдношення (7) i (9).
Теорему 1 доведено.
Доведення леми 2. Враховуючи (24) – (26), для довiльної функцiї ϕ ∈ Hωp
маємо
Jn(ϕ)Lp
:=
∥∥∥∥∥∥
2π∫
0
(ϕ(x− t)− ϕ(x))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 991
=
∥∥∥∥∥∥
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
ϕ(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤
2n−1∑
k=0
ek(ϕ, n)
1− 2q cosxk + q2
, (56)
де
ek(ϕ, n)Lp =
∥∥∥∥∥∥
tk+1∫
tk
ϕ(x− t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
. (57)
Застосовуючи нерiвнiсть Мiнковського (21), одержуємо
ek(ϕ, n)Lp
=
∥∥∥∥∥∥
xk∫
tk
(
ϕ(x− t)− ϕ(x− 2xk + t)
)
cos (nt− βπ/2) dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
≤
≤
xk∫
tk
ω(2(xk − t))
∣∣∣∣cos
(
nt− βπ
2
)∣∣∣∣ dt =
=
π/2n∫
0
ω(2t) sinntdt =
1
n
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt. (58)
Об’єднуючи (56) – (58), при 1 ≤ p <∞ отримуємо
Jn(ω, q, β)Lp ≤
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (59)
Покажемо, що у випадку, коли ω(t) — опуклий модуль неперервностi i p = 1, у
спiввiдношеннi (59) можна поставити знак рiвностi. Для цього достатньо показати,
що у класi Hω1
знайдеться функцiя ϕ∗(t) = ϕ∗ω(t) така, що
Jn(ϕ∗)L1
=
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (60)
Покладемо
ϕ1(t) =
1
4
ω(2t), t ∈
[
0,
π
2n
)
,
−1
4
ω(−2t), t ∈
(
− π
2n
, 0
]
,
0,
π
2n
≤ |t| ≤ π,
(61)
i через ϕ2(t) позначимо 2π-перiодичне продовження функцiї ϕ1(t).Шукана функцiя
ϕ∗(t) = ϕ∗ω(t) зображується у виглядi рiвностi
ϕ∗(t) = ϕ′2(t). (62)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
992 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Функцiя ϕ∗(t) належить до класу Hω1
(див., наприклад, [4, с. 258], п. 5.8.5).
Величину Jn(ϕ∗)L1
знайдемо за допомогою стандартних у таких випадках мiр-
кувань. Згiдно з (56)
Jn(ϕ∗)L1
=
∥∥∥∥∥∥
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt
∥∥∥∥∥∥
L1
. (63)
Функцiя
Φ∗n(x) =
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt (64)
в точках xi =
(1 + β)π
2n
+
iπ
n
, i ∈ Z, дорiвнює нулю:
Φ∗n(xi) =
t2n∫
t0
ϕ∗(xi − t)
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt =
=
1
1− 2q cosxi + q2
ti+1∫
ti
ϕ∗(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
=
(−1)i
1− 2q cosxi + q2
π/2n∫
−π/2n
ϕ∗(t) sinntdt = 0 (65)
i iнших нулiв не має. При цьому
sign Φ∗n(x) = (−1)i, x ∈ (xi, xi+1), i ∈ Z. (66)
Отже,
Jn(ϕ∗)L1
=
π∫
−π
|Φ∗n(x)|dx =
=
2n−1∑
i=0
(−1)i
xi+1∫
xi
t2n∫
t0
ϕ∗(x− t) cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dtdx =
=
2n−1∑
i=0
(−1)i
t2n∫
t0
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
xi+1∫
xi
ϕ∗(x− t)dxdt. (67)
Оскiльки
xi+1∫
xi
ϕ∗(x− t)dx = ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t),
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 993
Jn(ϕ∗)L1 =
2n−1∑
i=0
(−1)i
t2n∫
t0
(ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t))
cos(nt− βπ/2)
1− 2q cos ln(t) + q2
dt =
=
2n−1∑
k=0
1
1− 2q cosxk + q2
×
×
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)i
(
ϕ2(xi+1 − t)− ϕ2(xi − t)
)
cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (68)
Враховуючи, що
tk+1∫
tk
ϕ2(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt = 0, i 6= k, (69)
маємо
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)iϕ2(xi+1 − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= (−1)k−1
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt (70)
i
−
tk+1∫
tk
2n−1∑
i=0
(−1)iϕ2(xi − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= (−1)k−1
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt. (71)
Пiдставляючи цi вирази в (68), знаходимо
Jn(ϕ∗)L1 = 2
2n−1∑
k=0
(−1)k−1
1− 2q cosxk + q2
tk+1∫
tk
ϕ2(xk − t) cos
(
nt− βπ
2
)
dt =
= 2
π/2n∫
−π/2n
ϕ2(t) sinntdt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
=
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (72)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
994 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
Нехай ω(t) — довiльний модуль неперервностi. Для побудови функцiї ϕ∗(t)
використаємо результат С. Б. Стєчкiна (див., наприклад, [4], лема 3.1.1), згiдно з
яким для довiльного модуля неперервностi ω(t) iснує опуклий модуль неперерв-
ностi ω∗(t) такий, що
ω(t) ≤ ω∗(t) < 2ω(t) ∀t > 0.
Оскiльки ω̄(t) =
1
2
ω∗(t) — опукла функцiя, то побудувавши за наведеною вище
схемою функцiю ϕ∗(t) = ϕ∗ω̄(t), отримаємо, що вона належить до Hω1 i, крiм того,
внаслiдок (72)
Jn(ϕ∗ω̄)L1 =
π/2∫
0
ω̄
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
. (73)
Зi спiввiдношень (59), (72) i (73) одержуємо формулу
Jn(ω, q, β)L1 = θω
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
, (74)
в якiй
1
2
≤ θω ≤ 1, до того ж θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi.
Для завершення доведення леми 2 покажемо, що
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
2
1− q2
+
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n
. (75)
Дiйсно, враховуючи (26), (29) i (45), маємо
2n−1∑
k=0
1
n(1− 2q cosxk + q2)
=
2n−1∑
k=0
1
π
tk+1∫
tk
dt
1− 2q cos ln(t) + q2
=
=
1
π
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
dt
1− 2q cos t+ q2
+
+
2n−1∑
k=0
tk+1∫
tk
(
1
1− 2q cos ln(t) + q2
− 1
1− 2q cos t+ q2
)
dt =
=
1
π
2π∫
0
dt
1− 2q cos t+ q2
+O(1)
2π∫
0
∣∣rn(t)
∣∣dt =
=
2
1− q2
+
O(1)q
(1− q2)(1− q)2n
.
Об’єднуючи спiввiдношення (59), (74) i (75), одержуємо формули (54) i (55).
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТА НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 995
Доведення теореми 2. Оцiнку зверху величини En(LqβHω1
)L1
отримуємо з
теореми 1 i очевидної нерiвностi
En(LqβHω1
)L1
≤ E(LqβHω1
;U∗n−1)L1
. (76)
Знайдемо необхiдну оцiнку знизу. Нехай спочатку ω(t) — опуклий модуль непе-
рервностi. Розглянемо функцiю f∗ ∈ LqβHω1
, яка пов’язана рiвнiстю (1) з функцiєю
ϕ∗(t), заданою формулою (62). Згiдно з (17), (20), (22), (27) i (55) має мiсце
∥∥f∗ − U∗n−1(f∗)
∥∥
L1
= ‖Φ∗n‖L1
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
,
де функцiя Φ∗n(x) означена рiвнiстю (64).
Оскiльки для функцiї Φ∗n(x) виконується (66), то, як випливає з теореми 3.3.2
монографiї [13], En(Φ∗n)L1 = ‖Φ∗n‖L1 . На пiдставi (72) i (75)
‖Φ∗n‖L1 =
2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (77)
Отже,
En(LqβHω1
)L1
≥ En(f∗)L1
=
= En
(
f∗ − U∗n−1(f∗)
)
L1
≥ En(Φ∗n)L1 +
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
=
= ‖Φ∗n‖L1
+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
=
=
2qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (78)
Якщо ж ω(t) — довiльний модуль неперервностi, то, розглядаючи функцiю
f∗(x), яка пов’язана рiвнiстю (1) з функцiєю ϕ∗ω̄(t), побудованою в ходi доведення
леми 2, переконуємося, що f∗(x) належить до класу LqβHω1
i з урахуванням (17),
(20), (22), (27), (55), (73) i (77)
En(LqβHω1
)L1
≥ En(f∗)L1
= En(f∗ − U∗n−1(f∗))L1
≥
≥ qn
π
π/2∫
0
ω
(
2t
n
)
sin t dt+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
. (79)
Об’єднуючи спiввiдношення (8) i (76) – (79), отримуємо рiвнiсть (9) у випадку
довiльного модуля неперервностi ω(t).
Теорему 2 доведено.
1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960.
– 624 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
996 А. С. СЕРДЮК, I. В. СОКОЛЕНКО
2. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций. – М.: Наука, 1977. – 510 c.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
4. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. 1. – 427 c.
5. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. 2. – 468 c.
6. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
7. Степанец А. И. Решение задачи Колмогорова – Никольского для интегралов Пуассона непрерыв-
ных функций // Мат. сб. – 2001. – 192, № 1. – С. 113 – 138.
8. Сердюк А. С. Соколенко I. В. Найкраще наближення iнтегралiв Пуассона функцiй з класу Hω //
Доп. НАН України. – 2010. – № 2. – С. 33 – 37.
9. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона одним лiнiйним методом наближення в рiвномiрнiй
та iнтегральнiй метриках // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – С. 976 – 982.
10. Крейн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. –
1938. – 18, № 4 – 5. – С. 245 – 249.
11. Бушанский А. В. О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций //
Исследования по теории приближения функций и их приложения. – Киев: Ин-т математики АН
Украины, 1978. – С. 29 – 37.
12. Корнейчук Н. П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых функций
в метриках C и L // Докл. АН СССР. – 1970. – 190. – C. 269 – 271.
13. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
14. Бабенко В. Ф. Наилучшие приближения классов функций, задаваемых с помощью модуля непре-
рывности // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 5. – С. 572 – 588.
15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
Одержано 04.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166185 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:16:32Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. 2020-02-18T06:54:25Z 2020-02-18T06:54:25Z 2010 Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp / А.С. Сердюк, І.В. Соколенко // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 7. — С. 979–996. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166185 517.5 Получена оценка сверху для точных верхних граней приближений в метрике пространства Lp некоторым линейным методом Un* классов интегралов Пуассона функций из Hωp при 1≤p<∞. Доказано, что полученная оценка при р=1 является асимптотически точной. Кроме того, найдены асимптотические равенства для наилучших приближений в метрике пространства L1 классов интегралов Пуассона функций из Hω1 и показано, что метод Un* для этих классов является наилучшим в смысле сильной асимптотики полиномиальным методом приближения. We obtain upper estimates for the least upper bounds of approximations of the classes of Poisson integrals of functions from Hωp for 1 ≤ p < ∞ by a certain linear method Un* in the metric of the space Lp . It is shown that the obtained estimates are asymptotically exact for p = 1. In addition, we determine the asymptotic equalities for the best approximations of the classes of Poisson integrals of functions from Hω1 in the metric of the space L1 and show that, for these classes, the method Un* is the best polynomial approximation method in a sense of strong asymptotic behavior. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes Hωp in the metrics of the spaces Lp Article published earlier |
| spellingShingle | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. Статті |
| title | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp |
| title_alt | Linear approximation methods and the best approximations of the Poisson integrals of functions from the classes Hωp in the metrics of the spaces Lp |
| title_full | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp |
| title_fullStr | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp |
| title_full_unstemmed | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp |
| title_short | Лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів Пуассона функцій із класів Hωp у метриках просторів Lp |
| title_sort | лінійні методи наближення та найкращі наближення інтегралів пуассона функцій із класів hωp у метриках просторів lp |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166185 |
| work_keys_str_mv | AT serdûkas líníinímetodinabližennâtanaikraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíiízklasívhωpumetrikahprostorívlp AT sokolenkoív líníinímetodinabližennâtanaikraŝínabližennâíntegralívpuassonafunkcíiízklasívhωpumetrikahprostorívlp AT serdûkas linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshωpinthemetricsofthespaceslp AT sokolenkoív linearapproximationmethodsandthebestapproximationsofthepoissonintegralsoffunctionsfromtheclasseshωpinthemetricsofthespaceslp |