Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов

Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов

Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня ≤σ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості Ω1(f,t),t>0, знайдено точні значення колмогоровського, лінійног...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Український математичний журнал
Date:2010
Main Authors: Вакарчук, С.Б., Доронин, В.Г.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2010
Subjects:
Статті
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166189
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов / С.Б. Вакарчук, В.Г. Доронин // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1032–1043. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166189
record_format dspace
spelling Вакарчук, С.Б.
Доронин, В.Г.
2020-02-18T06:56:10Z
2020-02-18T06:56:10Z
2010
Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов / С.Б. Вакарчук, В.Г. Доронин // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1032–1043. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166189
517.5
Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня ≤σ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості Ω1(f,t),t>0, знайдено точні значення колмогоровського, лінійного та бернштейнівського середніх ν-поперечпиків, ν>0.
We obtain exact Jackson-type inequalities in the case of the best mean square approximation by entire functions of finite degree ≤ σ on a straight line. For classes of functions defined via majorants of averaged smoothness characteristics Ω1(f, t ), t > 0, we determine the exact values of the Kolmogorov mean ν-width, linear mean ν-width, and Bernstein mean ν-width, ν > 0.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
spellingShingle Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
Вакарчук, С.Б.
Доронин, В.Г.
Статті
title_short Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
title_full Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
title_fullStr Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
title_full_unstemmed Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
title_sort наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов
author Вакарчук, С.Б.
Доронин, В.Г.
author_facet Вакарчук, С.Б.
Доронин, В.Г.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2010
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight line and exact values of mean widths of functional classes
description Одержано точні нерівності типу Джексона у випадку найкращого середпьоквадратичного наближення цілими функціями скінченного степеня ≤σ на прямій. Для класів функцій, означених за допомогою мажорант усереднених характерис тик гладкості Ω1(f,t),t>0, знайдено точні значення колмогоровського, лінійного та бернштейнівського середніх ν-поперечпиків, ν>0. We obtain exact Jackson-type inequalities in the case of the best mean square approximation by entire functions of finite degree ≤ σ on a straight line. For classes of functions defined via majorants of averaged smoothness characteristics Ω1(f, t ), t > 0, we determine the exact values of the Kolmogorov mean ν-width, linear mean ν-width, and Bernstein mean ν-width, ν > 0.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166189
citation_txt Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов / С.Б. Вакарчук, В.Г. Доронин // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1032–1043. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT vakarčuksb nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnoistepeninaprâmoiitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov
AT doroninvg nailučšiesrednekvadratičeskiepribliženiâcelymifunkciâmikonečnoistepeninaprâmoiitočnyeznačeniâsrednihpoperečnikovfunkcionalʹnyhklassov
AT vakarčuksb bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses
AT doroninvg bestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoffinitedegreeonastraightlineandexactvaluesofmeanwidthsoffunctionalclasses
first_indexed 2025-11-25T22:57:35Z
last_indexed 2025-11-25T22:57:35Z
_version_ 1850576505292193792
fulltext UDK 517.5 S. B. Vakarçuk (Dnepropetr. un-t πkonomyky y prava), V. H. Doronyn (Dnepropetr. nac. un-t ym.�O.�Honçara) NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ CELÁMY FUNKCYQMY KONEÇNOJ STEPENY NA PRQMOJ Y TOÇNÁE ZNAÇENYQ SREDNYX POPEREÇNYKOV FUNKCYONAL|NÁX KLASSOV We obtain exact inequalities of the Jackson type in the case of the best mean square approximation by entire functions of exponential type of degree ≤ σ on a line. For classes of functions determined by means of majorants of averaged smoothness characteristics Ω1( , )f t , t > 0 , we find exact values of the Kolmogorov mean ν-width, a linear mean ν-width, and the Bernstein mean ν-width, ν > 0 . OderΩano toçni nerivnosti typu DΩeksona u vypadku najkrawoho seredn\okvadratyçnoho na- blyΩennq cilymy funkciqmy skinçennoho stepenq ≤ σ na prqmij. Dlq klasiv funkcij, oznaçe- nyx za dopomohog maΩorant userednenyx xarakterystyk hladkosti Ω1( , )f t , t > 0 , znajdeno toçni znaçennq kolmohorovs\koho, linijnoho ta bernßtejnivs\koho serednix ν-popereçnykiv, ν > 0 . 1. Pust\ L2( )R , R = { : }x x− ∞ < < ∞ , est\ prostranstvo vewestvenn¥x funkcyj f, opredelenn¥x y yzmerym¥x na R, kotor¥e udovletvorqgt uslo- vyg f = f x dx( ) / 2 1 2 − ∞ ∞ ∫         < ∞ . Çerez Bσ,2 oboznaçym podprostranstvo cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny ≤ σ , kotor¥e prynadleΩat L2( )R , a çerez Aσ ( )f df= inf : ,f g g B− ∈{ }σ σ σ 2 — nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f L∈ 2( )R πlementamy podprostranstva Bσ,2 . Napomnym, çto vperv¥e vopros¥ approksymacyy funkcyj na prqmoj R na- çal yzuçat\ S.�N.�Bernßtejn, yspol\zovavßyj dlq πtoho v kaçestve apparata pryblyΩenyq podprostranstva cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny. Razlyçn¥e aspekt¥ dannoj problem¥ v posledugwem naßly svoe otraΩenye v rabotax N.�Y. Axyezera, S. M. Nykol\skoho, A. F. Tymana, Y. Y. Ybrahymova y druhyx (sm.,�naprymer, [1 – 12]). Dlq reßenyq rqda zadaç konstruktyvnoj teoryy funkcyj v prostranstve 2 π -peryodyçeskyx funkcyj Lp([ , ])0 2π , 0 < p < 1 , K.�V. Runovskyj yspol\zo- val vmesto modulq neprer¥vnosty k-ho porqdka xarakterystyku [13] Ωk pf t( , ) df= 1 0 0 2 1 0 1 t f dh dh k t h k L p k t p ∫ ∫ …         … ∆ ([ , ])π // p , hde t > 0, h df= ( ), ,h hk1 … , ∆ h k df= ∆ ∆h hk1 1 1� �… , ∆hj f x1 ( ) df= f x h f xj( ) ( )+ − , j = 1, k , kotoraq slabo πkvyvalentna velyçyne ωk pf t( , ) . Otmetym, çto ranee xarakterystyka Ω1( , )f t p b¥la yspol\zovana ∏. A. StoroΩenko, V. H. Kroto- v¥m y P. Osval\dom [14] dlq yzuçenyq povedenyq nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy po systeme Xaara. © S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN, 2010 1032 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1033 2. Ysxodq yz yzloΩennoho, pry reßenyy rqda zada teoryy approksymacyy funkcyj opredelenn¥j ynteres predstavlqet yspol\zovanye narqdu s modulem neprer¥vnosty k-ho porqdka usrednennoj xarakterystyky hladkosty Ωk pf t( , ) . Tak, v sluçae polynomyal\noj approksymacyy 2 π -peryodyçeskyx funkcyj v prostranstve L2 0 2([ , ])π v rabotax [15, 16] b¥ly poluçen¥ sootvetstvenno sledugwye rezul\tat¥: sup ( ) ( , ) : ([ , ]),( ) / n E f f t n f L f r n k r r− ∈ ≡1 2 2 2 0 2 Ω π cconst         = = 2 1 2 −          −sin /t t k , 0 < t ≤ π 2 , (1) sup ( ) ( , ) : ( / ( )/ n E f f u du f L r n k rt n r − − ∫ ∈ 1 2 1 2 2 20 2 Ω [[ , ]),0 2π f ≡           const = = 2 1 0 1 2 k kt u u du−            ∫ − sin / , 0 < t ≤ π 2 , (2) hde r ∈ +Z ; Lr 2 0 2([ , ])π { }([ , ]) ([ , ])L L2 0 20 2 0 2π π≡ — mnoΩestvo funkcyj f ∈ ∈ L2 0 2([ , ])π , proyzvodn¥e ( )r − 1 -ho, r ∈N , porqdka kotor¥x absolgtno ne- prer¥vn¥, a proyzvodn¥e r-ho porqdka prynadleΩat prostranstvu L2 0 2([ , ])π ; E fn−1 2( ) — nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f L∈ 2 0 2([ , ])π podprostranst- vom tryhonometryçeskyx polynomov porqdka n – 1 v metryke prostranstva L2 0 2([ , ])π . Otmetym, çto otnoßenye 0 0/ polahaem ravn¥m nulg. 3. Oboznaçym çerez Lr 2( )R , r ∈N , mnoΩestvo funkcyj f L∈ 2( )R , u ko- tor¥x proyzvodn¥e ( )r − 1 -ho porqdka f r( )−1 lokal\no absolgtno neprer¥v- n¥, a f Lr( ) ( )∈ 2 R . Otmetym, çto Lr 2( )R qvlqetsq banaxov¥m prostranstvom s normoj f f r+ ( ) . Pry πtom polahaem L2 0 ( )R ≡ L2( )R . Podobno sluçag 2 π -peryodyçeskyx funkcyj, v [10] v kaçestve usrednennoj xarakterystyky hladkosty proyzvol\noho πlementa f L∈ 2( )R b¥la rassmotrena velyçyna Ωk f t( , ) df= 1 0 2 1 0 1 2 t f dh dh k t h k k t ∫ ∫… …         ∆ / , t > 0. Tam Ωe b¥lo pokazano, çto dlq proyzvol\n¥x çysel r ∈ +Z , 0 < σ < ∞ y 0 < < t ≤ π / 2 ymeet mesto ravenstvo sup ( ) ( , ) : ( )( ) / σ σ σ r k r rf f t f L A Ω ∈         2 R = 2 1 2 −          −sin /t t k . (3) Otmetym, çto pry r = 0 dlq v¥çyslenyq πkstremal\noj xarakterystyky (3) rassmatryvagtsq funkcyy f L∈ 2( )R , kotor¥e ne πkvyvalentn¥ nulg. Oçe- vydno, çto sootnoßenye (3) qvlqetsq svoeobrazn¥m rasprostranenyem rezul\ta- ta (1) na sluçaj nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyj f L∈ 2( )R πlementamy podprostranstva Bσ,2 . Cel\g dannoj stat\y qvlqetsq prodolΩenye ukazannoj ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1034 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN tematyky, a ymenno rasprostranenye y obobwenye rezul\tata (2) na sluçaj ap- proksymacyy cel¥my funkcyqmy koneçnoj stepeny ≤ σ na prqmoj. Dlq πtoho v naßyx rassuΩdenyqx, v çastnosty, poluçyly dal\nejßee razvytye nekotor¥e ydey, yzloΩenn¥e v rabotax [10, 11, 17]. 4. Polahaem θ ψσ, , , ( )r k h df= sup ( ) ( , ) ( ) : ( ) ( ) Aσ ψ 2 2 0 2 f f t t dt f L k rh r Ω∫ ∈     R     , (4) hde toçnaq verxnqq hran\ pry r = 0 v¥çyslqetsq na tom Ωe mnoΩestve funk- cyj, na kotorom v analohyçnom sluçae opredelqetsq πkstremal\naq xaraktery- styka (3). Oboznaçym Dt r k h, , , ( )ψ df= 2 12 0 k r kh t t t d−   ∫ sin ( ) τ τ ψ τ τ . Odnym yz osnovn¥x rezul\tatov dannoj rabot¥ qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema-1. Pust\ k ∈N , r ∈ +Z , σ ∈ ∞( , )0 , h ∈( , )/0 π σ y ψ — neko- toraq neotrycatel\naq yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 h funkcyq, toΩdestvenno ne ravnaq nulg. Tohda v¥polnqgtsq sledugwye neravenstva: { }, , , ( )D r k hσ ψ −1 ≤ θ ψσ, , , ( )r k h ≤ { }inf ( ), , ,σ ψ ≤ < ∞ − t t r k hD 1 . (5) Dokazatel\stvo. Ustanovym vnaçale ocenku sverxu velyçyn¥ θ ψσ, , , ( )r k h . V rabote [10] b¥lo pokazano, çto dlq proyzvol\noj funkcyy f L∈ 2( )R spra- vedlyvo sootnoßenye Ωk rf2( , )( ) τ = 2 11 0 2 2k r k f t t t t dt+ ∞ ∫ −   F ( , ) sin τ τ , (6) hde F ( )f — preobrazovanye Fur\e funkcyy f, τ > 0. Yzvestno [4, 5], çto dlq proyzvol\noho πlementa f L∈ 2( )R suwestvuet edynstvennaq celaq funkcyq Λσ σ ∗ ∈( ) ,f B 2 , kotoraq naymenee uklonqetsq ot f v metryke prostranstva L2( )R y ymeet vyd Λσ ∗ ( , )f t df= 1 2π χ τ τ ττ σe f dit ( ) ( , )F − ∞ ∞ ∫ = 1 2π τ ττ σ σ e f dit F ( , ) − ∫ . Zdes\ χσ — xarakterystyçeskaq funkcyq mnoΩestva ( , )− σ σ . Ysxodq yz πtoho dlq funkcyy f L∈ 2( )R velyçyna ee nayluçßeho pryblyΩenyq πlemen- tamy podprostranstva Bσ,2 v metryke prostranstva L2( )R ravna [4 – 6] Aσ 2( )f = f f− ∗Λσ ( ) 2 = F ( , )f t dt t 2 ≥ ∫ σ . Poskol\ku vsledstvye vewestvennosty funkcyy f funkcyq F ( )f qvlqetsq çetnoj, to Aσ 2( )f = 2 2F ( , )f t dt σ ∞ ∫ . (7) Tohda s uçetom (6), (7) ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1035 Aσ 2( )f = 2 2 1 2 2 0 F ( , ) sin ( ) , , f t t t t d D k r kh t r −   ∫ τ τ ψ τ τ kk h dt , ( )ψσ ∞ ∫ ≤ ≤ 2 11 2 2k r k f t t t t dt+ ∞ −          ∫ F ( , ) sin τ τσ  ∫ ≤ < ∞ ψ τ τ ψ σ ( ) inf ( ), , , d D h t t r k h 0 ≤ ≤ Ωk rh t t r k h f d D 2 0 ( , ) ( ) inf ( ) ( ) , , , τ ψ τ τ ψ σ ∫ ≤ < ∞ . Otsgda sleduet trebuemaq ocenka sverxu θ ψσ, , , ( )r k h ≤ { }inf ( ), , ,σ ψ ≤ < ∞ − t t r k hD 1 . (8) Perejdem k ustanovlenyg ocenky snyzu πkstremal\noj xarakterystyky (4). Dlq πtoho, podobno [10], rassmotrym celug funkcyg q tε ( ) df= 2 π σ ε σsin ( ) sint t t t + −    πksponencyal\noho typa σ + ε, hde 0 < ε < σ π( )/t∗ − 1 . Zdes\ çerez t∗ obo- znaçena toçka yz yntervala ( , )0 ∞ , v kotoroj çetnaq funkcyq x x−1 sin pry- nymaet naymen\ßee znaçenye. Oçevydno, çto t∗ ( , , )4 49 4 51< <∗t qvlqetsq naymen\ßym poloΩytel\n¥m kornem uravnenyq x x− tg = 0 [15, 16]. Po- skol\ku preobrazovanye Fur\e funkcyy γ a t( ) df= t at−1 sin , a > 0, ymeet vyd F ( , )γ a t = π π 2 1 2 2 0, ; , ; ,esly esly eslyt a t a t a< = >       , dlq funkcyy q tε ( ) = 2 π γ γσ ε σ( )( ) ( )+ −t t ymeem F ( , )q tε = 1 1 2 0 , , , , esly esly = + yly = , esly + σ σ ε σ ε σ σ < < + > t t t t εε σyly .t <         Poskol\ku q Lr ε ∈ 2( )R , v sylu sootnoßenyq (7) poluçaem Aσ ε 2( )q = 2 ε . (9) S uçetom (6) dlq funkcyy qε zapyßem Ωk rq2( , )( ) ε τ = 2 11 2k r k t t t dt+ + −   ∫ sin τ τσ σ ε ≤ 2 11 2k r k + + − + +     ε σ ε τ σ ε τ σ ε ( ) sin ( ) ( ) . (10) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1036 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN Yspol\zuq formul¥ (4), (9), (10) y opredelenye toçnoj verxnej hrany, naxodym θ ψσ, , , ( )r k h ≥ sup ( ) ( , ) ( )( / ) ( )0 1 2 2 0 < < −∗ε σ π σ ε ε τ ψ τ τt k rh q q d A Ω∫∫ ≥ 1 D r k hσ ψ, , , ( ) . (11) Sopostavlqq sootnoßenyq (8) y (11), poluçaem trebuem¥e neravenstva (5), çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥�1. 5. Yz poluçennoj teorem¥ v¥tekagt takye sledstvyq. Sledstvye-1. Pust\ 0 < h ≤ 3 4π σ/( ) y v¥polnen¥ vse ostal\n¥e tre- bovanyq teorem¥�1. Tohda spravedlyvo ravenstvo θ ψσ, , , ( )r k h = { }, , , ( )D r k hσ ψ −1 . (12) Dokazatel\stvo. Uçyt¥vaq povedenye funkcyy γ1( )t = t t−1 sin (sm., na- prymer, [18, c. 129, 132]), dlq proyzvol\n¥x x ≥ 1 y 0 < y ≤ 3 4π / ymeem γ1( )y ≥ γ1( )xy . Poπtomu v¥polnqetsq neravenstvo x xyν αγ1 1−( )( ) ≥ 1 1−( )γ α( )y , (13) hde ν y α — proyzvol\n¥e poloΩytel\n¥e çysla. Pust\ y = σ τ , 0 < τ ≤ h; x = t /σ , t ≥ σ, ν = 2r; α = k . Tohda yz (13) ymeem t t t r k 2 1 −    sin τ τ ≥ σ στ στ 2 1r k −    sin . (14) UmnoΩaq obe çasty neravenstva (14) na funkcyg 2k ψ τ( ) y yntehryruq po- luçennoe sootnoßenye po τ v predelax ot 0 do h, poluçaem Dt r k h, , , ( )ψ ≥ D r k hσ ψ, , , ( ) ∀ ∈ ∞t [ , )σ . (15) S uçetom (15) yz (5) sleduet trebuemoe ravenstvo (12), çto zaverßaet dokaza- tel\stvo sledstvyq�1. Pust\ h = β σ/ , hde 0 < β < π, y ψ τ( ) = g ( )στ . Tohda Dt r k h, , , ( )ψ = 2 12 0 k r k t t t g d−    ∫ sin ( ) / τ τ στ τ β σ = = 2 12 1 2 k r r k t t t gσ σ τ σ τ σ τ−     −     sin ( ) ( ) / / ddτ β 0 ∫ , σ ≤ t < ∞ . Sledovatel\no, inf ( ), , ,σ ψ ≤ < ∞t t r k hD ≥ 2 2 1 1 k r x x r kG gσ β − ≤ < ∞ inf ( ), , , , hde G gx r k, , , ( )β df= x x x g dr k 2 0 1 −   ∫ sin ( ) τ τ τ τ β . Sledstvye-2. Pust\ k ∈N , r ∈ +Z , g — nekotoraq neotrycatel\naq yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 β funkcyq, hde 0 < β < π . Tohda v¥polnqgtsq neravenstva ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1037 G gr k1 1 , , , ( )β{ }− ≤ inf ( ) ( , ) ( )( ) ( ) /f L k r k rr f f g d∈ 2 2 2 2 2 0 R n σ τ σ τ τ σA Ω ββ ∫ ≤ inf ( ), , , 1 1 ≤ < ∞ −{ }x x r kG gβ . Pry πtom esly funkcyq g takova, çto inf ( ), , , 1≤ < ∞x x r kG gβ = G gr k1, , , ( )β , to spravedlyvo ravenstvo sup ( ) ( , ) ( )( ) ( ) /f L k r k rr f f g d∈ 2 2 2 2 2 0 R n σ τ σ τ τ σA Ω ββ ∫ = G gr k1 1 , , , ( )β{ }− . Pry r = 0 toçnaq verxnqq hran\ v¥çyslqetsq na tom Ωe mnoΩestve funkcyj, na kotorom v analohyçnom sluçae opredelqetsq πkstremal\naq xarakterys- tyka (3). Sledstvye-3. Pust\ g t∗( ) df= t g tr2 1 1 − ( ) , r ∈N , — neotrycatel\naq yz- merymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 β , 0 < β < π , funkcyq, g1 — nevoz- rastagwaq na [ , ]0 β funkcyq. Tohda ymeet mesto ravenstvo inf ( ), , , 1≤ < ∞ ∗ x x r kG gβ = G gr k1, , , ( )β ∗ (16) y spravedlyva formula sup ( ) ( , )( ) ( ) /f L k r k r rr f f g∈ − 2 2 2 2 2 2 1 1R n σ τ σ τ σA Ω (( )τ τ β d 0∫ = G gr k1 1 , , , ( )β ∗ −{ } . (17) Dejstvytel\no, dostatoçno pokazat\ spravedlyvost\ ravenstva (16), po- skol\ku tohda ravenstvo (17) budet srazu Ωe poluçeno yz vtoroj çasty sledst- vyq�2. Polahaem g t1 ∗( ) df= g t t g t1 10( ), ; ( ),esly esly≤ ≤ ≤ < ∞{ }β β β . Pry lgbom 1 ≤ x < ∞ poluçaem G gx r k, , , ( )β ∗ = x x x g dr k r2 0 2 1 11 −   ∫ −sin ( ) τ τ τ τ τ β = = 1 0 2 1 1−   ∫ − ∗sin ( )/ τ τ τ τ τ βx k r g x d ≥ 1 0 2 1 1−   ∫ − ∗sin ( ) τ τ τ τ τ βx k r g d ≥ ≥ 1 0 2 1 1−   ∫ −sin ( ) τ τ τ τ τ β k r g d = G gr k1, , , ( )β ∗ , t. e. formula (16) ymeet mesto. 6. Poskol\ku vse promeΩutoçn¥e proyzvodn¥e funkcyy f Lr∈ 2( )R takΩe prynadleΩat prostranstvu L2( )R , opredelenn¥j ynteres predstavlqet v¥çy- slenye πkstremal\n¥x xarakterystyk, soderΩawyx velyçyn¥ nayluçßyx pry- blyΩenyj promeΩutoçn¥x proyzvodn¥x f r( )−ν , ν = … −1 1, , r , πlementamy podprostranstva Bσ,2 v metryke L2( )R . Osnov¥vaqs\ na rezul\tatax pred¥- duweho punkta, dokaΩem sledugwug teoremu. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1038 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN Teorema-2. Pust\ r k, ∈N , σ ∈ ∞( , )0 , 0 < h ≤ 3 4π σ/( ) , ψ — nekoto- raq neotrycatel\naq yzmerymaq summyruemaq na otrezke [ , ]0 h funkcyq, toΩdestvenno ne ravnaq nulg. Tohda ymegt mesto ravenstva sup ( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )f L r k rr f f d∈ − 2 2 2 2R n σ τ ψ τ τ µ σ µA Ω 00 h ∫ = 2 1 0 1 k kh d−            ∫ − sin ( ) στ στ ψ τ τ , (18) hde µ = 0, 1, … , r. Dokazatel\stvo. Pry µ = 0 yly µ = r sootnoßenye (18) moΩno poluçyt\ neposredstvenno yz formul¥ (12). Poπtomu rassmotrym sluçaj µ ∈( , )0 r ∩ N . Zapyßem Aσ µ2( )( )f r− = 2 2 1 2 2F F( , ) ( , )( / ) ( ) /f t t f t dtr r r− − ∞ ∫ µ µ µ σ . (19) Prymenqq k pravoj çasty ravenstva (19) neravenstvo Hel\dera, ymeem Aσ µ2( )( )f r− ≤ 2 22 2 1 2F F( , ) ( , ) / f t t dt f t dtr r σ µ σ ∞ − ∞ ∫         ∫∫         µ/r = = A Aσ µ σ µ2 1 2( / ) ( ) /( ) ( )− r r rf f . (20) Poskol\ku v sylu (12) v¥polnqgtsq neravenstva Aσ 2( )( )f r ≤ 2 1 0 1 2k kh kd−            ∫ − sin ( ) ( στ στ ψ τ τ Ω ff dr h ( ), ) ( )τ ψ τ τ 0 ∫ , Aσ 2( )f ≤ 2 12 0 1 k r kh dσ στ στ ψ τ τ−            ∫ − sin ( ) Ωkk r h f d2 0 ( , ) ( )( ) τ ψ τ τ∫ , yspol\zuq neravenstvo (20), poluçaem ocenku sverxu n σ τ ψ τ τ µ σ µ2 2 2 0 A ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) f f d r k rh − ∫ Ω ≤ 2 1 0 1 k kh d−            ∫ − sin ( ) στ στ ψ τ τ (21) dlq proyzvol\noj funkcyy f L∈ 2( )R . Dlq poluçenyq ocenky snyzu rassmotrym funkcyg q Lr ε ∈ 2( )R , yspol\zo- vannug pry dokazatel\stve teorem¥�1. Uçyt¥vaq, çto Aσ ε µ2( )( )q r− = 2 2 2F ( , ) ( )q t t dtr ε µ σ − ∞ ∫ = = 2 2t dtr( )− + ∫ µ σ σ ε ≥ 2 2εσ µ( )r− , y yspol\zuq poluçennoe na osnovanyy (10) neravenstvo Ωk r h q d2 0 ( , ) ( )( ) ε τ ψ τ τ∫ ≤ 2 11 2 0 k r kh d+ + − + +    ∫ε σ ε τ σ ε τ σ ε τ( ) sin ( ) ( ) , ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1039 sup ( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )f L r k rr f f d∈ − 2 2 2 2R n σ τ ψ τ τ µ σ µA Ω 00 h ∫ ≥ ≥ sup ( ) ( , )( / ) ( ) ( )0 1 2 2 2< < − − ∗ε σ π µ σ µ ε σ τt r k r f q n A Ω ψψ τ τ( )d h 0∫ ≥ 2 1 0 1 k kh d−            ∫ − sin ( ) στ στ ψ τ τ . (22) Yz sootnoßenyj (21), (22) poluçaem (18). Teorema�2 dokazana. 7. Sleduet osobo otmetyt\, çto podprostranstvo Bσ,2 do nedavneho vreme- ny b¥lo yzolyrovann¥m y v nekotorom sm¥sle unykal\n¥m apparatom prybly- Ωenyq v prostranstve L2( )R . Vvedenye H. H. Maharyl-Yl\qev¥m [19] oprede- lenyq srednej razmernosty, qvyvßehosq opredelennoj modyfykacyej sootvet- stvugweho ponqtyq, dannoho ranee V. M. Tyxomyrov¥m, pozvolylo opredelyt\ asymptotyçeskug strukturu podprostranstv, podobnug popereçnykam, kohda srednqq razmernost\ yhraet rol\ razmernosty. V rezul\tate πtoho okazalos\ vozmoΩn¥m sravnyvat\ approksymatyvn¥e svojstva podprostranstva Bσ,2 s ana- lohyçn¥my xarakterystykamy druhyx podprostranstv yz L2( )R toj Ωe sred- nej razmernosty y reßat\ πkstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq, ymeg- wye optymyzacyonnoe soderΩanye. Pryvedem rqd neobxodym¥x ponqtyj yz rabot [19, 21, 22]. Pust\ B RL2( ) — edynyçn¥j ßar v L2( )R ; Lin( ( ))L2 R — sovokupnost\ vsex lynejn¥x podpro- stranstv v L2( )R ; Lin n L( ( ))2 R = L L∈ ≤{ }Lin( ( )) : dimL n2 R , n ∈ +Z ; E A C L( , , ( ))2 R = sup inf : :x y y A x C− ∈{ } ∈{ } — nayluçßee pryblyΩenye mnoΩestva C L⊂ 2( )R mnoΩestvom A L⊂ 2( )R . Pod AT , 0 < T < ∞ , ponymaem mnoΩestvo suΩenn¥x na otrezok [ , ]−T T funkcyj yz A L⊂ 2( )R , a çerez LinC L( ( ))2 R oboznaçym sovokupnost\ takyx podprostranstv L ∈Lin( ( ))L2 R , dlq kotor¥x mnoΩestvo ( ( ))L ∩ B RL T2 pred- kompaktno v L T T2([ , ])− pry lgbom 0 < T < ∞. Esly L ∈LinC L( ( ))2 R y 0 < T , ε < ∞ , to suwestvugt takye n ∈ +Z y M ∈ −Lin n L T T( ([ , ]))2 , dlq kotor¥x E L L T TT(( )( )) , , ([ , ])L M∩ B R2 2 − < ε . Pust\ D Lε ( , , ( ))T L2 R = min : ( ([ , ]))n L T Tn∈ ∃ ∈ −{ +Z M Lin 2 , E L L T TT(( )( )) , , ([ , ])L M∩ B R2 2 − < }ε . ∏ta velyçyna ne ub¥vaet po T y ne vozrastaet po ε [22]. Velyçynu dim ( , ( ))L L2 R = lim lim inf ( , , ( )) ε ε → → ∞0 2 2T T L T D L R , hde L ∈LinC L( ( ))2 R , naz¥vagt srednej razmernost\g podprostranstva L v L2( )R . V rabotax [19, 21, 22] otmeçalos\, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1040 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN dim ( ; ( )),B Lσ 2 2 R = σ π . (23) Pust\ Q — central\no-symmetryçnoe podmnoΩestvo yz L2( )R y 0 < ν < < ∞ — proyzvol\noe çyslo. Tohda pod srednym ν-popereçnykom po Kolmoho- rovu mnoΩestva Q v L2( )R ponymaem velyçynu d Q Lν( ), ( )2 R = inf sup inf : : :f f Q− ∈{ } ∈{ }{ ϕ ϕ L L L∈ ≤ }LinC L L( ( )), dim ( , ( ))2 2R R ν . Podprostranstvo, na kotorom dostyhaetsq vneßnqq toçnaq nyΩnqq hran\, na- z¥vaetsq πkstremal\n¥m. Srednym lynejn¥m ν-popereçnykom mnoΩestva Q v L2( )R naz¥vagt ve- lyçynu δν( ), ( )Q L2 R = inf sup : : ( , )f f f Q X− ∈{ }{ }Λ Λ , v kotoroj toçnaq nyΩnqq hran\ beretsq po vsem param ( , )X Λ takym, çto X est\ normyrovannoe prostranstvo, neprer¥vno vloΩennoe v L2( )R ; Q X⊂ ; Λ : ( )X L→ 2 R — neprer¥vn¥j lynejn¥j operator, dlq kotoroho Im Λ ∈ ∈ Lin C L( ( ))2 R y dim (Im , ( ))Λ L2 R ≤ ν . Napomnym, çto podprostranstvo vyda Λ f, f X∈ , qvlqgweesq obrazom operatora Λ , oboznaçaetsq symvolom Im Λ (sm., naprymer, [23]). Paru ( , )X∗ ∗Λ , na kotoroj dostyhaetsq toçnaq nyΩnqq hran\, naz¥vagt πkstremal\noj. Velyçynu b Q Lν( ), ( )2 R = sup sup : ( ) :ρ ρ> ⊂{ }{ 0 2L ∩ B RL Q L L L∈ >LinC L L d L L( ( )), dim ( , ( )) , ( ),(2 2 2 2R R B Rν ν ∩ (( ))R = }1 naz¥vagt srednym ν -popereçnykom po Bernßtejnu mnoΩestva Q v L2( )R . Poslednee uslovye, nalahaemoe na podprostranstvo L pry v¥çyslenyy toçnoj verxnej hrany, oznaçaet, çto rassmatryvagtsq tol\ko te podprostranstva, dlq kotor¥x spravedlyv analoh teorem¥ V. M. Tyxomyrova o popereçnyke ßara. ∏tomu trebovanyg udovletvorqet, naprymer, podprostranstvo Bσ,2 , esly σ νπ> [21]. MeΩdu pereçyslenn¥my πkstremal\n¥my xarakterystykamy mnoΩestva Q v¥polnqgtsq neravenstva b Q Lν( ), ( )2 R ≤ d Q Lν( ), ( )2 R ≤ δν( ), ( )Q L2 R . (24) Toçn¥e znaçenyq, toçn¥e porqdkov¥e ocenky lybo asymptotyçesky toçn¥e znaçenyq srednyx popereçnykov nekotor¥x klassov funkcyj v raznoe vremq b¥ly v¥çyslen¥, naprymer, v rabotax [19, 21, 22, 24, 10]. 8. Pust\ Φ( )t , t ≥ 0 , — proyzvol\naq neprer¥vnaq vozrastagwaq funkcyq takaq, çto Φ( )0 0= . Çerez W r ( , )Ω Φ1 , r ∈N , oboznaçym klass funkcyj f Lr∈ 2( )R , proyzvodn¥e r-ho porqdka kotor¥x f r( ) udovletvorqgt uslovyg Ω1 2 0 ( )( ),f dr t τ τ∫ ≤ Φ2( )t , 0 < t < ∞ . Oçevydno, çto klass funkcyj W r ( , )Ω Φ1 prynadleΩyt prostranstvu Lr 2( )R . Oboznaçym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1041 Aσ ( )( , )W r Ω Φ1 df= sup ( ) : ( , )Aσ f f W r∈{ }Ω Φ1 , 1 −    ∗ sin t t df= 1 0 1− < ≤ − ≥     ∗ ∗ ∗ ∗sin , ; sin , t t t t t t t tesly esly     , hde znaçenye toçky t ∗ opredeleno v xode dokazatel\stva teorem¥�1. Dlq par¥ ( ( ), )Lr 2 R Λ , hde Λ : ( ) ( )L Lr 2 2R R→ — neprer¥vn¥j lynejn¥j operator, dlq kotoroho Im ( ( ))Λ ∈LinC L2 R , dim (Im , ( ))Λ L2 R ≤ ν , polahaem Eν( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R df= sup : ( , )f f f W r− ∈{ }Λ Ω Φ1 . Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema-3. Pust\ dlq lgboho σ νπ> , hde ν — proyzvol\noe poloΩytel\- noe çyslo, maΩoryrugwaq funkcyq Φ udovletvorqet ohranyçenyg Φ Φ 2 2 2 ( ) ( )( / ) t π σ ≥ ( sin ) / ( / ) 1 2 2 1 0 − − − ∗∫ τ τ τ π π σ d Si t , 0 < t < ∞ . (25) Zdes\ Si t( ) = τ τ τ−∫ 1 0 sin d t — yntehral\n¥j synus. Tohda spravedlyv¥ raven- stva b W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R = d W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R = δν( )( , ); ( )W Lr Ω Φ1 2 R = = Aνπ( )( , )W r Ω Φ1 = Eν νπ( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R ∗ = = ν π π π ν 1 2 1 21 2 2 1 2 / /( ( / )/ ) − −     r r Si Φ . (26) Pry πtom para ( ( ), )Lr 2 R Λνπ ∗ , hde Λνπ ∗ opredelqetsq yz uslovyq F ( ),Λνπ ∗ ⋅f = χνπ ( ) ( , )⋅ ⋅F f ( F — preobrazovanye Fur\e v L2( )R , χνπ — xarakterystyçeskaq funkcyq mnoΩestva ( , )− νπ νπ ) , budet πkstremal\noj dlq lynejnoho ν-popereçnyka δν( )( , ); ( )W Lr Ω Φ1 2 R , a podprostranstvo Bνπ, 2 qvlqetsq πkstremal\n¥m dlq sredneho ν-popereçnyka po Kolmohorovu d W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R . Mno- Ωestvo maΩorant, udovletvorqgwyx ohranyçenyg (25), ne pusto. Dokazatel\stvo. Polahaq v formule (18) ψ ≡ 1, k = 1, µ = r , r ∈N , h = π σ/( )2 , dlq lgboj funkcyy f Lr∈ 2( )R poluçaem Aσ 2 ( )f ≤ 1 2 12 0 2 1 σ στ στ τ π σ r d−             ∫ − sin /( ) Ω11 2 0 2 ( )( ) /( ) ,f t dtr π σ ∫ . (27) Yz [21] sleduet, çto srednqq razmernost\ prostranstva Bνπ,2 dim ; ( )( ),B Lνπ 2 2 R = ν . Tohda yz (27), hde σ = ν π , s uçetom opredelenyq klassa W r ( , )Ω Φ1 ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1042 S. B. VAKARÇUK, V. H. DORONYN Eν νπ( )( , ); ( ( ), )W Lr rΩ Φ Λ1 2 R ∗ = Aνπ( )( , )W r Ω Φ1 ≤ ≤ ν π π π ν 1 2 1 21 2 2 1 2 / /( ( / )/ ) − −     r r Si Φ . (28) Yz opredelenyj srednyx ν-popereçnykov, pryvedenn¥x v p.�7, neravenstv (24) y sootnoßenyq (28) sledugt ocenky sverxu Π Ω Φν( )( , ); ( )W Lr 1 2 R ≤ ν π π π ν 1 2 1 21 2 2 1 2 / /( ( / )/ ) − −     r r Si Φ , (29) hde Πν( )⋅ — lgboj yz rassmotrenn¥x v¥ße srednyx ν-popereçnykov. Ustanovym ocenky snyzu rassmatryvaem¥x πkstremal\n¥x xarakterystyk, yspol\zovav formulu (24) y ocenyv snyzu velyçynu b W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R . Dlq πtoho, poloΩyv σ̂ df= νπ ε( )1 + , hde ε — proyzvol\noe poloΩytel\noe çyslo, rassmotrym ßar Bˆ ( ( ))σ ρ ε∗ df= B Lˆ , ( ) ( )σ ρ ε2 2∩ ∗ B R = g B gˆ ˆ , ˆ: ( )σ σ σ ρ ε∈ ≤{ }∗2 radyusa ρ ε∗( ) df= ( ˆ ) ˆ / /( ( / )) σ π π π σ 1 2 1 22 2 2 − −     r Si Φ . V sylu (23) y rezul\tatov [21] ymeem d B L Lν σ( )ˆ , ( ), ( )2 2 2∩ B R R = 1. Rassmotrym proyzvol\n¥j πlement g ˆ ˆ ( ( ))σ σ ρ ε∈ ∗B . V sylu (6) poluçaem Ω1 2( )ˆ ( ),g r σ τ = 4 12 2 0 F ( , ) sin ˆ ˆ g t t t t dtr σ σ τ τ −    ∫ ≤ 2 1 2 2−    ∗ sin ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ στ στ σ σ r g . Otsgda s uçetom uslovyq (25) dlq lgboho t ∈ ∞( , )0 ymeem Ω1 2 0 ( )ˆ ( ),g dr t σ τ τ∫ ≤ 2 12 2 0 ( ˆ ) sin ˆ ˆˆσ στ στ τσ r t g d−    ∗ ∫ ≤ ≤ ( sin ) ˆ ˆ / ( / ) 1 2 2 2 1 0 2 − −     − ∗∫ τ τ τ π π π σ σ d Si t Φ ≤ Φ2( )t . Sledovatel\no, spravedlyvo vklgçenye Bˆ ( ( ))σ ρ ε∗ ⊂ W r ( , )Ω Φ1 , hde ε > 0 — lgboe koneçnoe çyslo. Vospol\zovavßys\ opredelenyem sredneho ν-pope- reçnyka po Bernßtejnu, zapyßem b W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R ≥ b Lν σ ρ ε( )ˆ ( ( )); ( )B ∗ 2 R ≥ ρ ε∗( ) . (30) Yz (30) ymeem b W Lr ν( )( , ); ( )Ω Φ1 2 R ≥ sup ( ) :{ }ρ ε ε∗ > 0 = ν π π π ν 1 2 1 21 2 2 1 2 / /( ( / )/ ) − −     r r Si Φ . (31) Sopostavlqq sootnoßenyq (24), (28) y (31), poluçaem trebuem¥e ravenstva (26). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 NAYLUÇÍYE SREDNEKVADRATYÇESKYE PRYBLYÛENYQ … 1043 V zaklgçenye otmetym, çto, kak sleduet yz rezul\tatov rabot¥ [16], funkcyq Φ∗( )t df= tβ/2 , hde β df= π π π − − 2 2 2Si( / ) , udovletvorqet uslovyg (25) pry lgbom σ > ν π . Teorema��3��dokazana. 1. Tyman A. F. Teoryq pryblyΩenyq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Fyzmat- hyz, 1960. – 624 s. 2. Axyezer N. Y. Lekcyy po teoryy approksymacyy. – M.: Nauka, 1965. – 408 s. 3. Ybrahymov Y. Y. Teoryq pryblyΩenyq cel¥my funkcyqmy. – Baku: ∏lm, 1979. – 468 s. 4. Ybrahymov Y. Y., Nasybov F. H. Ob ocenke nayluçßeho pryblyΩenyq summyruemoj funkcyy na vewestvennoj osy posredstvom cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny // Dokl. AN�SSSR. – 1970. – 194, # 5. – S.�1013 – 1016. 5. Nasybov F. H. O pryblyΩenyy v L2 cel¥my funkcyqmy // Dokl. AN AzSSR. – 1986. – 42, # 4. – S.�3 – 6. 6. Popov V. G. O nayluçßyx srednekvadratyçeskyx pryblyΩenyqx cel¥my funkcyqmy πks- ponencyal\noho typa // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1972. – # 6. – S.�65 – 73. 7. Dzqdyk V. K. Pro toçni verxni hrani najkrawyx nablyΩen\ na deqkyx klasax neperervnyx funkcij, vyznaçenyx na dijsnij osi // Dop. AN URSR. Ser.�A. – 1975. – # 7. – S.�589 – 592. 8. Hromov A. G. O toçn¥x konstantax pryblyΩenyq cel¥my funkcyqmy dyfferencyruem¥x funkcyj // Yssledovanyq po sovrem. probl. summyrovanyq y pryblyΩenyq funkcyj y yx pryl. – 1976. – V¥p.�7. – S.�17 – 21. 9. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.: Nauka, 1969. – 480 s. 10. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2-approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, # 1-2. – P. 27 – 39. 11. Doronyn V. H., Lyhun A. A. O toçn¥x neravenstvax typa DΩeksona dlq cel¥x funkcyj v L2 // Visn. Dnipropetr. un-tu. Ser.�mat. – 2007. – # 8. – S.�89 – 93. 12. Vakarçuk S. B., Vakarçuk M. B. O nayluçßem srednekvadratyçeskom pryblyΩenyy cel¥my funkcyqmy koneçnoj stepeny na prqmoj // Tam Ωe. – 2009. – 17, # 6/1. – S.�36 – 41. 13. Runovskyj K. V. O pryblyΩenyy semejstvamy lynejn¥x polynomyal\n¥x operatorov v prostranstve Lp , 0 < p < 1 // Mat. sb. – 1994. – 185, # 8. – S.�81 – 102. 14. StoroΩenko ∏. A., Krotov V. H., Osval\d P. Prqm¥e y obratn¥e teorem¥ typa DΩeksona v prostranstve Lp , 0 < p < 1 // Tam Ωe. – 1975. – 98, # 3. – S.�395 – 415. 15. Vakarçuk S. B. Toçn¥e konstant¥ v neravenstvax typa DΩeksona y toçn¥e znaçenyq popereçnykov funkcyonal\n¥x klassov yz L 2 // Mat. zametky. – 2005. – 78 , # 5. – S.�792 – 796. 16. Vakarchuk S. B., Zabutna V. I. Widths of functional classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East J. Approxim. – 2008. – 14, # 4. – P. 411 – 421. 17. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva meΩdu nayluçßymy pryblyΩenyqmy y modulqmy ne- prer¥vnosty v prostranstve L2 // Mat. zametky. – 1978. – 24, # 6. – S.�785 – 792. 18. R¥basenko V. D., R¥basenko Y. D. ∏lementarn¥e funkcyy. Formul¥, tablyc¥, hrafyky. – M.: Nauka, 1987. – 416 s. 19. Maharyl-Yl\qev H. H. ϕ -Srednye popereçnyky klassov funkcyj na prqmoj // Uspexy mat. nauk. – 1990. – 45, # 2. – S.�211 – 212. 20. Tyxomyrov V. M. Ob approksymatyvn¥x xarakterystykax hladkyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Teoryq kubaturn¥x formul y v¥çyslytel\naq matematyka / Tr. konf. po dyfferenc. uravnenyqm y v¥çyslyt. matematyke (Novosybyrsk, 1978). – Novosybyrsk, 1980. – S.�183 – 188. 21. Maharyl-Yl\qev H. H. Srednqq razmernost\, popereçnyky y optymal\noe vosstanovlenye sobolevskyx klassov funkcyj na prqmoj // Mat. sb. – 1991. – 182, # 11. – S.�1635 – 1656. 22. Maharyl-Yl\qev H. H. Srednqq razmernost\ y popereçnyky klassov funkcyj na prqmoj // Dokl. AN SSSR. – 1991. – 318, # 1. – S.�35 – 38. 23. Hlazman Y. M., Lgbyç G. Y. Koneçnomern¥j lynejn¥j analyz. – M.: Nauka, 1968. – 476�s. 24. Vakarçuk S. B. O syl\noj asymptotyke srednyx N-popereçnykov klassov funkcyj, analy- tyçeskyx na vewestvennoj prqmoj // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1996. – # 1. – S.�1 – 4. Poluçeno 28.01.10 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8

Similar Items