Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга

Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга

Наведено конструктивний опис моногенпих функцій, що набувають значень у комутативній гармонічній алгебрі третього рангу над полем комплексних чисел, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлено ізоморфізм між алгебрами моногенпих функцій при переході від одного гармонічного бази...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2010
Hauptverfasser: Плакса, С.А., Шпаковский, В.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2010
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166192
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1078–1091. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166192
record_format dspace
spelling Плакса, С.А.
Шпаковский, В.С.
2020-02-18T07:01:11Z
2020-02-18T07:01:11Z
2010
Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1078–1091. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166192
517.96
Наведено конструктивний опис моногенпих функцій, що набувають значень у комутативній гармонічній алгебрі третього рангу над полем комплексних чисел, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлено ізоморфізм між алгебрами моногенпих функцій при переході від одного гармонічного базису до іншого.
By using analytic functions of a complex variable, we give a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of transition from one harmonic basis to another.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
spellingShingle Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
Плакса, С.А.
Шпаковский, В.С.
Статті
title_short Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
title_full Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
title_fullStr Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
title_full_unstemmed Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
title_sort конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга
author Плакса, С.А.
Шпаковский, В.С.
author_facet Плакса, С.А.
Шпаковский, В.С.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2010
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Constructive description of monogenic functions in a harmonic algebra of the third rank
description Наведено конструктивний опис моногенпих функцій, що набувають значень у комутативній гармонічній алгебрі третього рангу над полем комплексних чисел, за допомогою аналітичних функцій комплексної змінної. Встановлено ізоморфізм між алгебрами моногенпих функцій при переході від одного гармонічного базису до іншого. By using analytic functions of a complex variable, we give a constructive description of monogenic functions that take values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish an isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of transition from one harmonic basis to another.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166192
citation_txt Конструктивное описание моногенных функций в гармонической алгебре третьего ранга / С.А. Плакса, В.С. Шпаковский // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1078–1091. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkciivgarmoničeskoialgebretretʹegoranga
AT špakovskiivs konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkciivgarmoničeskoialgebretretʹegoranga
AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank
AT špakovskiivs constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinaharmonicalgebraofthethirdrank
first_indexed 2025-11-27T00:46:41Z
last_indexed 2025-11-27T00:46:41Z
_version_ 1850789302788685824
fulltext UDK 517.96 S. A. Plaksa, V. S. Ípakovskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ V HARMONYÇESKOJ ALHEBRE TRET|EHO RANHA ∗∗∗∗ By using analytic functions of a complex variable, we present the constructive description of monogenic functions taking values in a commutative harmonic algebra of the third rank over the field of complex numbers. We establish the isomorphism between algebras of monogenic functions in the case of transition from one harmonic basis to another. Navedeno konstruktyvnyj opys monohennyx funkcij, wo nabuvagt\ znaçen\ u komutatyvnij harmoniçnij alhebri tret\oho ranhu nad polem kompleksnyx çysel, za dopomohog analityçnyx funkcij kompleksno] zminno]. Vstanovleno izomorfizm miΩ alhebramy monohennyx funkcij pry perexodi vid odnoho harmoniçnoho bazysu do inßoho. ∏ffektyvnost\ prymenenyq metodov teoryy analytyçeskyx funkcyj komp- leksnoj peremennoj k yssledovanyg ploskyx potencyal\n¥x polej pobuΩdaet matematykov k razvytyg analohyçn¥x metodov dlq prostranstvenn¥x polej. Takye metod¥ mohut osnov¥vat\sq na otobraΩenyqx banaxov¥x alhebr. V rabotax [1 – 3] postroen¥ kommutatyvn¥e assocyatyvn¥e banaxov¥ al- hebr¥ takye, çto dvaΩd¥ dyfferencyruem¥e po Hato funkcyy so znaçenyqmy v πtyx alhebrax ymegt komponent¥, udovletvorqgwye trexmernomu uravnenyg Laplasa. Pust\ A — kommutatyvnaq assocyatyvnaq banaxova alhebra (nad polem dej- stvytel\n¥x çysel R yly polem kompleksn¥x çysel C ) s bazysom { }ek k n =1, 3 ≤ n ≤ ∞ . V sylu ravenstva ∆ Φ3 : = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 Φ Φ Φ x y z = ′′ + +( )Φ ( )ζ e e e1 2 2 2 3 2 kaΩdaq dvaΩd¥ dyfferencyruemaq po Hato funkcyq Φ( )ζ peremennoj ζ = = xe ye ze1 2 3+ + , hde x, y, z ∈ R , prynymagwaq znaçenyq v alhebre A, pry v¥polnenyy sootnoßenyq e e e1 2 2 2 3 2+ + = 0 (1) dlq bazysn¥x πlementov e1 , e2 , e3 udovletvorqet trexmernomu uravnenyg Laplasa ∆ Φ3 = 0, t. e. qvlqetsq monohenn¥m potencyalom [3, c. 30]. Sleduq [1 – 3], nazovem trojku vektorov e1 , e2 , e3 udovletvorqgwug soot- noßenyg (1), harmonyçeskoj y alhebru A, soderΩawug harmonyçeskug troj- ku, harmonyçeskoj. V rabotax [1 – 3] opysan¥ vse harmonyçeskye bazys¥ v alhebrax tret\eho ran- ha nad polem C y dokazano, çto harmonyçeskyx trexmern¥x alhebr nad polem R ne suwestvuet. V rabote [4] postroen¥ nekotor¥e çet¥rexmern¥e harmony- çeskye alhebr¥ nad polem R . Beskoneçnomernaq harmonyçeskaq alhebra nad polem R postroena v [3, 5]. ∗ V¥polnena pry çastyçnoj podderΩke Hosudarstvennoho fonda fundamental\n¥x yssledova- nyj Ukrayn¥ (proekt #=25.1/084) y Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥ #=0107U002027. © S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ, 2010 1078 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1079 NyΩe rassmatryvaetsq harmonyçeskaq alhebra A3 [2, 3], bazys kotoroj (zametym, çto on ne qvlqetsq harmonyçeskym) sostoyt yz edynyc¥ alhebr¥==1==y πlementov ρ1 , ρ2 , dlq kotor¥x v¥polnqgtsq pravyla umnoΩenyq ρ1 2 = ρ2 , ρ ρ1 2 = ρ2 2 = 0. (2) V sylu toho, çto monohenn¥e potencyal¥ tak Ωe, kak y kompleksn¥e poten- cyal¥ ploskyx polej, obrazugt funkcyonal\nug alhebru v oblasty opredele- nyq, v alhebre A3 ymeetsq ne men\ßyj, çem mnoΩestvo holomorfn¥x funk- cyj v alhebre C, nabor monohenn¥x potencyalov y stol\ Ωe ßyrokyj nabor sredstv dlq yx postroenyq. V teoreme=1.7 yz [3] postroen¥ v qvnom vyde mono- henn¥e potencyal¥ v forme hlavn¥x prodolΩenyj holomorfn¥x funkcyj kompleksnoj peremennoj v alhebru A3 . NyΩe pryvedeno konstruktyvnoe opysanye vsex monohenn¥x potencyalov v alhebre A3 s pomow\g analytyçeskyx funkcyj kompleksnoj peremennoj. Krome toho, ustanavlyvaetsq yzomorfyzm meΩdu alhebramy monohenn¥x poten- cyalov Φ( )ζ peremennoj ζ = xe ye ze1 2 3+ + , hde x, y, z ∈ R , pry yzmenenyy harmonyçeskoho bazysa { }, ,e e e1 2 3 v alhebre A3 . 1. Konstruktyvnoe opysanye monohenn¥x funkcyj v alhebre A3 . V te- oreme=1.6 yz [3] pokazano, çto harmonyçeskymy bazysamy v alhebre A3 qvlqgt- sq bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , razloΩenyq kotor¥x po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ ymegt vyd e1 = 1, e2 = n n n1 2 1 3 2+ +ρ ρ , (3) e3 = m m m1 2 1 3 2+ +ρ ρ , hde nk , mk , k = 1, 2, 3, — kompleksn¥e çysla, udovletvorqgwye systeme uravnenyj 1 1 2 1 2+ +n m = 0, n n m m1 2 1 2+ = 0, (4) n m n n m m2 2 2 2 1 3 1 32+ + +( ) = 0, n m n m2 3 3 2− ≠ 0, y xotq b¥ odno yz çysel v kaΩdoj yz par ( , )n n1 2 , ( , )m m1 2 otlyçno ot nulq. Pry πtom umnoΩenyem πlementov harmonyçeskyx bazysov vyda (3) na proyzvol\- n¥e obratym¥e πlement¥ alhebr¥ mohut b¥t\ poluçen¥ vse harmonyçeskye ba- zys¥ v alhebre A3 [3, c. 29]. V¥delym v alhebre A3 lynejnug oboloçku E3 : = { :ζ = + +xe ye ze1 2 3 x y z, , }∈R , poroΩdennug vektoramy e1 = 1, e2 , e3 . PodmnoΩestvu S trex- mernoho prostranstva R3 postavym v sootvetstvye mnoΩestvo Sζ = ζ = + + ∈{ }xe ye ze x y z S1 2 3 : ( , , ) v E3 . Neprer¥vnaq funkcyq Φ Ω: ζ → A3 naz¥vaetsq monohennoj v oblasty Ωζ ⊂ E3 , esly Φ dyfferencyruema po Hato v kaΩdoj toçke πtoj oblasty, t. e. esly dlq kaΩdoho ζ ζ∈Ω suwestvuet πlement ′Φ ( )ζ alhebr¥ A3 takoj, çto v¥polnqetsq ravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1080 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ lim ( )) ( ) ε ζ ε ζ ε → + −+ −( ) 0 0 1Φ Φh = h ′Φ ( )ζ ∀ ∈h E3 . ′Φ ( )ζ naz¥vaetsq proyzvodnoj Hato funkcyy Φ v toçke ζ . V teoreme=1.3 yz [3] ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq mono- hennosty funkcyy Φ (uslovyq Koßy – Rymana), kotor¥e zapyßem zdes\ v sver- nutom vyde ∂ ∂ Φ y = ∂ ∂ Φ x e2 , ∂ ∂ Φ z = ∂ ∂ Φ x e3 . (5) Monohennost\ kompleksnoznaçnoj funkcyy F( )ξ kompleksnoj peremen- noj ξ ponymaetsq kak holomorfnost\ v sluçae, kohda ξ = τ η+ i , yly antyholomorfnost\ v sluçae, kohda ξ = τ η− i , τ, η ∈ R . Pust\ f — lynejn¥j neprer¥vn¥j funkcyonal, opredelenn¥j na A3 , qd- rom kotoroho qvlqetsq maksymal\n¥j ydeal I : = λ ρ λ ρ λ λ1 1 2 2 1 2+ ∈{ }: , C , pry πtom f ( )1 = 1. Yzvestno [6, c. 147], çto f qvlqetsq takΩe mul\typlyka- tyvn¥m funkcyonalom, t. e. v¥polnqetsq ravenstvo f ab( ) = f a f b( ) ( ) pry vsex a, b ∈ A3 . Yz razloΩenyq rezol\vent¥ ( )t − −ζ 1 = 1 1 1 2 2 1 1 2 1 t x n y m z n y m z t x n y m z− − − + + − − −( ) ρ + + n y m z t x n y m z n y m z t x n y m 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 + − − − + + − − −( ) ( ) ( zz)3 2     ρ ∀ ∈ ≠ + +t t x n y m zC : 1 1 (sm.=[3, c. 30]) sleduet, çto toçky ( , , )x y z ∈R3 , sootvetstvugwye neobratym¥m πlementam ζ = xe ye ze1 2 3+ + alhebr¥ A3 , obrazugt prqmug L : x y n z m y n z m + + = + =     Re Re , Im Im 1 1 1 1 0 0 v trexmernom prostranstve R3 . Oblast\ Ω ⊂ R3 naz¥vagt v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , esly ona soderΩyt kaΩd¥j otrezok, soedynqgwyj dve ee toçky y parallel\n¥j prq- moj==L . Lemma21. Pust\ oblast\ Ω ⊂ R3 qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L y Φ Ω: ζ → A3 — monohennaq funkcyq v oblasty Ωζ . Esly toçky ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takye, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L , to Φ Φ( ) ( )ζ ζ1 2− ∈ I . (6) Dokazatel\stvo. Pust\ ( , , )x y z1 1 1 , ( , , )x y z2 2 2 — toçky oblasty Ω ta- kye, çto otrezok, soedynqgwyj yx, parallelen prqmoj L . V oblasty Ω postroym dve poverxnosty s obwym kraem: poverxnost\ Q, so- derΩawug toçku ( , , )x y z1 1 1 , y poverxnost\ Σ, soderΩawug toçku ( , , )x y z2 2 2 , takye, çto suΩenyq funkcyonala f na sootvetstvugwye ym podmnoΩestva Qζ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1081 Σζ oblasty Ωζ qvlqgtsq vzaymno odnoznaçn¥my otobraΩenyqmy πtyx podmno- Ωestv na odnu y tu Ωe oblast\ G kompleksnoj ploskosty y, krome toho, v kaΩdoj toçke ζ ζ0 ∈Q (yly ζ ζ0 ∈Σ ) v¥polnqetsq ravenstvo lim ( )( ) ( ) ε ζ ε ζ ζ ζ ε → + −+ − −( ) 0 0 0 0 0 1Φ Φ = ′ −Φ ( )( )ζ ζ ζ0 0 (7) pry vsex ζ ζ∈Q takyx, çto ζ ε ζ ζ ζ0 0+ − ∈( ) Q dlq lgboho ε ∈( , )0 1 ( yly, sootvetstvenno, pry vsex ζ ζ∈Σ takyx, çto ζ ε ζ ζ ζ0 0+ − ∈( ) Σ dlq lgboho ε ∈( , )0 1 ) . V kaçestve poverxnosty Q rassmotrym v oblasty Ω fyksyrovann¥j ravnostoronnyj treuhol\nyk s verßynamy A A A1 2 3, , y centrom v toçke ( , , )x y z1 1 1 , ploskost\ kotoroho perpendykulqrna prqmoj L, y prodolΩym postroenye poverxnosty Σ . Rassmotrym treuhol\nyk s verßynamy ′ ′ ′A A A1 2 3, , y centrom v toçke ( , , )x y z2 2 2 , leΩawyj v oblasty Ω, takoj, çto eho storon¥ ′ ′A A1 2 , ′ ′A A2 3 , ′ ′A A1 3 parallel\n¥ sootvetstvenno otrezkam A A1 2 , A A2 3 , A A1 3 y ymegt men\ßug dlynu, çem storon¥ treuhol\nyka A A A1 2 3 . Poskol\ku oblast\ Ω qvlqetsq v¥- pukloj v napravlenyy prqmoj L , pryzma s verßynamy ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′A A A A A A1 2 3 1 2 3, , , , , ta- kaq, çto toçky ′′ ′′ ′′A A A1 2 3, , leΩat v ploskosty treuhol\nyka A A A1 2 3 y ee rebra ′ ′′A Am m pry m = 1 3, parallel\n¥ prqmoj L , polnost\g soderΩytsq v Ω. Zafyksyruem teper\ treuhol\nyk s verßynamy B1 , B2 , B3 takoj, çto toç- ka Bm leΩyt na otrezke ′ ′′A Am m pry m = 1 3, y useçennaq pyramyda s verßynamy A A A B B B1 2 3 1 2 3, , , , , y bokov¥my rebramy A Bm m , m = 1 3, , polnost\g soderΩytsq v oblasty Ω . Nakonec, v ploskosty treuhol\nyka ′ ′ ′A A A1 2 3 zafyksyruem treuhol\nyk T s verßynamy C C C1 2 3, , takoj, çto eho storon¥ C C C C C C1 2 2 3 1 3, , parallel\n¥ sootvetstvenno otrezkam ′ ′A A1 2 , ′ ′A A2 3 , ′ ′A A1 3 y ymegt men\ßug dlynu, çem storon¥ treuhol\nyka ′ ′ ′A A A1 2 3 . Po postroenyg useçennaq pyramyda s verßynamy B B B C C C1 2 3 1 2 3, , , , , y bokov¥my rebramy B Cm m , m = 1 3, , polnost\g soderΩytsq v oblasty Ω . Oboznaçym çerez Σ poverxnost\, obrazovannug treuhol\nykom T y bokov¥- my poverxnostqmy useçenn¥x pyramyd A A A B B B1 2 3 1 2 3 y B B B C C C1 2 3 1 2 3 . Poskol\ku poverxnosty Q y Σ ymegt obwyj kraj, mnoΩestva Qζ y Σζ otobraΩagtsq funkcyonalom f na odnu y tu Ωe oblast\ G kompleksnoj ploskosty. V oblasty G opredelym dve kompleksnoznaçn¥e funkcyy H1 y H2 tak, çto pry kaΩdom ξ ∈G H1( )ξ = f ( ( ))Φ ζ , hde ξ ζ= f ( ) y ζ ζ∈Q , H2( )ξ = f ( ( ))Φ ζ , hde ξ ζ= f ( ) y ζ ζ∈Σ . PokaΩem, çto H1 y H2 qvlqgtsq monohenn¥my v G funkcyqmy komp- leksnoj peremennoj ξ . S πtoj cel\g zametym, çto, dejstvuq na ravenstvo (7) funkcyonalom f, s uçetom eho lynejnosty, neprer¥vnosty y mul\typlykatyv- nosty poluçaem ravenstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1082 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ lim ( )( ( )) ( ( )) ε ζ ε ζ ζ ξ ε → + −+ − −( ) 0 0 0 0 1f fΦ Φ = f f f( ( ))( ( ) ( ))′ −Φ ζ ζ ζ0 0 , yz kotoroho dlq funkcyj H1 , H2 sleduet suwestvovanye proyzvodn¥x v toçke f G( )ζ0 ∈ po vsem napravlenyqm, pryçem dlq kaΩdoj yz funkcyj H1 , H2 ukazann¥e proyzvodn¥e ravn¥. Sledovatel\no, po teoreme=21 yz [7] funkcyy H1 , H2 qvlqgtsq monohenn¥my v oblasty G. Poskol\ku yz opredelenyq funkcyj H1 y H2 sleduet, çto H H1 2( ) ( )ξ ξ≡ na hranyce oblasty G, v sylu monohennosty funkcyj H1 y H2 v oblasty G toΩdestvo H H1 2( ) ( )ξ ξ≡ v¥polnqetsq vsgdu v G . Sledovatel\no, pry ζ1 1 1 1 2 1 3:= + +x e y e z e y ζ2 2 1 2 2 2 3:= + +x e y e z e spravedlyv¥ ravenstva f ( ( ) ( ))Φ Φζ ζ2 1− = f f( ( )) ( ( ))Φ Φζ ζ2 1− = 0, t. e. Φ Φ( ) ( )ζ ζ2 1− prynadleΩyt qdru I funkcyonala f. Lemma dokazana. Zametym, çto uslovye v¥puklosty oblasty Ω v napravlenyy prqmoj L v lemme=1 qvlqetsq suwestvenn¥m. NyΩe postroen prymer oblasty Ω, ne qvlq- gwejsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , y monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 , dlq kotoroj sootnoßenye (6) ne v¥polnqetsq pry nekotor¥x ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takyx, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L . Oboznaçym çerez D oblast\ v C, na kotorug oblast\ Ωζ otobraΩaetsq funkcyonalom f. Vvedem v rassmotrenye lynejn¥j operator A , kotor¥j kaΩ- doj monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 stavyt v sootvetstvye funkcyg F D: → C po formule F f( ) ( ( )):ξ ζ= Φ , hde ζ = xe ye ze1 2 3+ + y ξ := := f ( )ζ = x n y m z+ +1 1 . Yz lemm¥=1 sleduet, çto znaçenye F ( )ξ ne zavysyt ot v¥bora toçky ζ , dlq kotoroj f ( )ζ = ξ . Teper\ analohyçno teoreme=2.4 yz [3] dokaz¥vaetsq sledugwee utverΩdenye. Teorema21. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L . Tohda kaΩdaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq Φ Ω: ζ → A3 predsta- vyma v vyde Φ( )ζ = 1 2 1 0π ζ ζ ζ i A t t dt( ) ( )( )( )Φ Φ Γ − +−∫ ∀ ∈ζ ζΩ , (8) hde zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq Γζ leΩyt v oblasty D y oxvat¥vaet toçku f ( )ζ , a Φ Ω0 : ζ → I — nekotoraq monohennaq v oblas- ty Ωζ funkcyq, prynymagwaq znaçenyq v ydeale I. Zametym, çto kompleksnoe çyslo ξ = f ( )ζ qvlqetsq spektrom πlementa ζ alhebr¥ A3 y yntehral v ravenstve (8) qvlqetsq hlavn¥m prodolΩenyem mono- hennoj funkcyy F ( )ξ = ( )( )AΦ ξ kompleksnoj peremennoj ξ v oblast\ Ωζ . Yz teorem¥=1 sleduet, çto alhebra monohenn¥x v oblasty Ωζ funkcyj raz- lahaetsq v prqmug summu alhebr¥ hlavn¥x prodolΩenyj v Ωζ monohenn¥x funkcyj kompleksnoj peremennoj y alhebr¥ monohenn¥x v Ωζ funkcyj, pry- nymagwyx znaçenyq v ydeale I. V teoreme=1.7 yz [3] postroeno v qvnom vyde hlavnoe prodolΩenye monohen- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1083 noj funkcyy kompleksnoj peremennoj F D: → C v oblast\ Πζ : = { :ζ ∈E3 f D( ) }ζ ∈ , razloΩenye kotoroho po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ ymeet vyd 1 2 1 π ζ ζ i F t t dt( )( )− −∫ Γ = F x n y m z( )+ +1 1 + + ( ) ( )n y m z F x n y m z2 2 1 1 1+ ′ + + ρ + + ( ) ( ) ( ) (n y m z F x n y m z n y m z F x n y3 3 1 1 2 2 2 1 2 + ′ + + + + ′′ + ++     m z1 2) ρ (9) ∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Π . Oçevydno, çto konhruπntnaq oblasty Πζ oblast\ P prostranstva R3 qvlq- etsq beskoneçn¥m cylyndrom, obrazugwye kotoroho parallel\n¥ prqmoj L . V sledugwej teoreme opysan¥ vse monohenn¥e funkcyy, opredelenn¥e v ob- lasty Ωζ y prynymagwye znaçenyq v ydeale I, s pomow\g monohenn¥x funkcyj sootvetstvugwej kompleksnoj peremennoj. Teorema22. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L. Tohda kaΩdaq monohennaq funkcyq Φ Ω0 : ζ → I , prynymagwaq znaçenyq v maksymal\nom ydeale I, predstavyma v vyde Φ0( )ζ = F F n y m z F1 1 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )( )ξ ρ ξ ξ ρ+ + + ′( ) (10) ∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Ω , hde F1 y F2 — proyzvol\n¥e monohenn¥e v oblasty D funkcyy y ξ = = x n y m z+ +1 1 . Dokazatel\stvo. Tak kak Φ0 prynymaet znaçenyq v maksymal\nom ydea- le, spravedlyvo ravenstvo Φ0( )ζ = V x y z V x y z1 1 2 2( , , ) ( , , )ρ ρ+ , (11) hde Vk : Ω → C pry k = 1, 2. Dlq funkcyy Φ0( )ζ v¥polnqgtsq uslovyq mo- nohennosty (5) pry Φ Φ= 0 , yz kotor¥x posle podstanovky v nyx v¥raΩenyj (3), (11) s uçetom odnoznaçnosty razloΩenyq πlementov alhebr¥ A3 po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ poluçym systemu uravnenyj dlq naxoΩdenyq funkcyj V1 , V2 : ∂ ∂ V y 1 = n V x 1 1∂ ∂ , ∂ ∂ V y 2 = n V x n V x 2 1 1 2∂ ∂ + ∂ ∂ , (12) ∂ ∂ V z 1 = m V x 1 1∂ ∂ , ∂ ∂ V z 2 = m V x m V x 2 1 1 2∂ ∂ + ∂ ∂ . Yz pervoho y tret\eho uravnenyj system¥ (12) najdem funkcyg V1 . S πtoj cel\g v¥delym snaçala dejstvytel\nug y mnymug çasty v¥raΩenyq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1084 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ ξ = ( Re Re ) ( Im Im )x y n z m i y n z m+ + + +1 1 1 1 = : τ η+ i (13) y zametym, çto sledstvyem ukazann¥x uravnenyj qvlqgtsq ravenstva ∂ ∂ V n1 1η Im = i V n ∂ ∂ 1 1τ Im , ∂ ∂ V m1 1η Im = i V m ∂ ∂ 1 1τ Im . (14) Poskol\ku yz pervoho uravnenyq system¥ (4) sleduet, çto xotq b¥ odno yz çysel Im n1 yly Im m1 otlyçno ot nulq, yz (14) poluçaem ravenstvo ∂ ∂ V1 η = i V∂ ∂ 1 τ . (15) DokaΩem, çto V x y z1 1 1 1( , , ) = V x y z1 2 2 2( , , ) dlq toçek ( , , )x y z1 1 1 , ( , , )x y z2 2 2 ∈Ω takyx, çto otrezok, soedynqgwyj πty toçky, parallelen prqmoj L. S πtoj cel\g rassmotrym v oblasty Ω poverxnosty Q, Σ y oblast\ G v C , opredelenn¥e v dokazatel\stve lemm¥=1, y opredelym v G dve kom- pleksnoznaçn¥e funkcyy H1 , H2 ravenstvamy H1( )ξ = V x y z1( , , ) pry ( , , )x y z Q∈ , H2( )ξ = V x y z1( , , ) pry ( , , )x y z ∈Σ , v kotor¥x sootvetstvye meΩdu toçkamy ( , , )x y z y ξ ∈G ustanavlyvaetsq so- otnoßenyem (13). Vsledstvye ravenstva (15) y teorem¥=6 yz [8] funkcyy H1 , H2 qvlqgtsq monohenn¥my v oblasty G. Dalee toΩdestvo H H1 2( ) ( )ξ ξ≡ v G dokaz¥vaet- sq tak Ωe, kak pry dokazatel\stve lemm¥=1. Sledovatel\no, ravenstvo V x y z1 1 1 1( , , ) = V x y z1 2 2 2( , , ) dokazano. Takym obrazom, funkcyq V1 vyda V x y z F1 1( , , ) : ( )= ξ , hde F1( )ξ — proyz- vol\naq monohennaq v oblasty D funkcyq, qvlqetsq obwym reßenyem system¥ ∂ ∂ V y 1 = n V x 1 1∂ ∂ , (16) ∂ ∂ V z 1 = m V x 1 1∂ ∂ , sostoqwej yz pervoho y tret\eho uravnenyj system¥ (12). Teper\ yz vtoroho y çetvertoho uravnenyj system¥ (12) dlq naxoΩdenyq funkcyy V x y z2( , , ) poluçaem systemu uravnenyj ∂ ∂ − ∂ ∂ V y n V x 2 1 2 = n F x 2 1∂ ∂ , (17) ∂ ∂ − ∂ ∂ V z m V x 2 1 2 = m F x 2 1∂ ∂ . Ee çastn¥m reßenyem qvlqetsq funkcyq v2( , , )x y z : = ( ) ( )n y m z F2 2 1+ ′ ξ . Dejstvytel\no, podstavlqq v2 v pervoe uravnenye system¥ (17), poluçaem ra- venstvo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1085 n F n y F y m z F y 2 1 2 1 2 1′ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ ( ) ( ) ( ) ξ ξ ξ = = n F x n n y F x n m z F x 2 1 1 2 1 1 2 1∂ ∂ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ ( ) ( ) ( )ξ ξ ξ , spravedlyvoe vsledstvye toΩdestv ′F1( )ξ ≡ ∂ ∂ F x 1( )ξ , ∂ ∂ F y 1( )ξ ≡ n F x 1 1∂ ∂ ( )ξ . Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto funkcyq v2 udovletvorqet vtoromu uravne- nyg system¥ (17). Sledovatel\no, obwee reßenye system¥ (17) predstavlqetsq kak summa ee çastnoho reßenyq y obweho reßenyq sootvetstvugwej odnorodnoj system¥ (analohyçnoj systeme (16)) v vyde V x y z2( , , ) = F n y m z F2 2 2 1( ) ( )( )ξ ξ+ + ′ , hde F2 — proyzvol\naq monohennaq v oblasty D funkcyq. Teorema dokazana. V sylu ravenstv (8), (10) vse monohenn¥e funkcyy Φ Ω: ζ → A3 v sluçae, kohda oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L , mohut b¥t\ po- stroen¥ s pomow\g trex proyzvol\n¥x kompleksnoznaçn¥x monohenn¥x funk- cyj F ( )ξ , F1( )ξ , F2( )ξ kompleksnoj peremennoj ξ ∈ D v vyde Φ( )ζ = 1 2 1 1 1 1 1π ζ ρ ζ i F t t dt F x n y m z( )( ) ( )− + + +−∫ Γ + + ρ2 2 1 1 2 2 1 1 1F x n y m z n y m z F x n y m z( ) ( ) ( )+ + + + ′ + +( ) (18) ∀ = + + ∈ζ ζxe ye ze1 2 3 Ω , pry πtom spravedlyvo takΩe razloΩenye (9) hlavnoho prodolΩenyq funkcyy F po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ . Teorema23. Pust\ oblast\ Ω qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L, a funkcyq Φ Ω: ζ → A3 — monohennoj v oblasty Ωζ . Tohda Φ prodol- Ωaetsq do funkcyy, monohennoj v oblasty Πζ . UtverΩdenye teorem¥ sleduet neposredstvenno yz ravenstva (18), pravaq çast\ kotoroho qvlqetsq monohennoj funkcyej v oblasty Πζ . Postroym prymer oblasty Ω, ne qvlqgwejsq v¥pukloj v napravlenyy prq- moj L, y monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 , dlq kotoroj sootnoßenye (6) ne v¥polnqetsq pry nekotor¥x ζ ζ ζ1 2, ∈Ω takyx, çto ζ ζ ζ2 1− ∈L . Rassmotrym harmonyçeskyj bazys e1 = 1, e2 = i i+ 1 2 2ρ , (19) e3 = − −ρ ρ1 2 3 2 i ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1086 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ (t. e. v razloΩenyqx (3) n1 = i, n2 = i /2 , n3 = m1 = 0, m2 = – 1, m3 = = – 3 2i / ), pry= πtom prqmaq L sovpadaet s os\g Oz . Rassmotrym oblast\ Ωζ , kotoraq qvlqetsq obæedynenyem trex mnoΩestv Ωζ ( )1 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 0 2 4+ + ∈ + < < < − < + <: , , arg ( )/π 33 2π /{ } , Ωζ ( )2 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 2 4 2 3+ + ∈ + < ≤ ≤ < + <: , , arg ( )/π ππ /2{ } , Ωζ ( )3 : = xe ye ze E x iy z x iy1 2 3 3 2 4 6 2 9+ + ∈ + < < < < + <: , , arg ( )/π ππ / 4{ } . Oçevydno, çto konhruπntnaq ej oblast\ Ω prostranstva R3 ne qvlqetsq v¥- pukloj v napravlenyy prqmoj L . Rassmotrym v oblasty ξ ξ π ξ π∈ < − < <{ }C : , arg/ /2 4 3 2 kompleksnoj ploskosty holomorfnug vetv\ H i1( ) : ln argξ ξ ξ= + analytyçeskoj funk- cyy Ln ξ , dlq kotoroj H1 1( ) = 0, a takΩe holomorfnug vetv\ H2( )ξ : = : = ln argξ ξ+ i funkcyy Ln ξ v oblasty ξ ξ π ξ π∈ < < <{ }C : , arg/ /2 2 9 4 , dlq kotoroj H2 1( ) = 2πi . Postroym hlavnoe prodolΩenye Φ1 funkcyy H1 na mnoΩestvo Ω Ωζ ζ ( ) ( )1 2∪ y hlavnoe prodolΩenye Φ2 funkcyy H2 na mnoΩestvo Ω Ωζ ζ ( ) ( )2 3∪ po for- mulam vyda (9): Φ1( )ζ = H x iy z iy x iy iz x iy z iy 1 1 22 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − + − + + − ρ 88 2 2 ( )x iy+     ρ , Φ2( )ζ = H x iy z iy x iy iz x iy z iy 2 1 22 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + − − + − + + − ρ 88 2 2 ( )x iy+     ρ , hde ζ = xe ye ze1 2 3+ + . Poskol\ku Φ1( )ζ ≡ Φ2( )ζ na mnoΩestve Ωζ ( )2 , funkcyq Φ( )ζ = Φ Ω Ω Φ Ω 1 1 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ pry pry ∈ ∈     ∪ qvlqetsq monohennoj v oblasty Ωζ . Pry πtom dlq toçek ζ1 = e e1 3+ y ζ2 = = e e1 35+ ymeem ζ ζ ζ2 1− ∈L , no Φ Φ( ) ( )ζ ζ2 1− = 2 4 12 2 31 2π ρ ρi i− − +( ) ∉ I, t. e. sootnoßenye (6) ne v¥polnqetsq. Sledugwee utverΩdenye spravedlyvo dlq monohenn¥x funkcyj v proyz- vol\noj oblasty Ωζ . Teorema24. Pust\ funkcyq Φ Ω: ζ → A3 qvlqetsq monohennoj v oblasty Ωζ . Tohda proyzvodn¥e Hato vsex porqdkov funkcyy Φ qvlqgtsq monohenn¥- my funkcyqmy v oblasty Ωζ . Dokazatel\stvo. Poskol\ku ßar � s centrom v proyzvol\noj toçke ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1087 ( , , )x y z0 0 0 ∈Ω , celykom soderΩawyjsq v oblasty Ω, qvlqetsq v¥pukloj v napravlenyy prqmoj L oblast\g, v okrestnosty �ζ toçky ζ0 = x e0 1 + + y e0 2 + z e0 3 spravedlyvo ravenstvo (8), v kotorom yntehral ymeet proyzvod- n¥e Hato vsex porqdkov v �ζ . Krome toho, dlq funkcyy Φ0 v �ζ spraved- lyvo predstavlenye (10), v sylu kotoroho Φ0 qvlqetsq beskoneçno dyfferen- cyruemoj po peremenn¥m x, y, z funkcyej. Poπtomu proyzvodnaq Hato ′Φ0 udovletvorqet v �ζ uslovyqm vyda (5), t. e. qvlqetsq monohennoj funkcyej. Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto proyzvodn¥e Hato vsex porqdkov funkcyy Φ0 qvlqgtsq monohenn¥my funkcyqmy v �ζ . Teorema dokazana. V sylu teorem¥=4 kaΩdaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq Φ Ω: ζ → A3 qvlqetsq monohenn¥m potencyalom v πtoj oblasty. 2. Ob yzomorfyzme alhebr monohenn¥x funkcyj v razlyçn¥x harmony- çeskyx bazysax. Oboznaçym çerez M( ),E3 Ωζ alhebru monohenn¥x funkcyj v oblasty Ωζ ⊂ E3 , prynymagwyx znaçenyq v alhebre A3 . Narqdu s harmonyçeskym bazysom { }, ,e e e1 2 3 budem rassmatryvat\ ewe odyn harmonyçeskyj bazys { }, ,� � �e e e1 2 3 . Oboznaçym çerez �E3 : = � � � � � � � � � �ζ = + + ∈{ }xe ye ze x y z1 2 3 : , , R lynejnug oboloçku, poroΩdennug vektoramy � � �e e e1 2 3, , , y çerez � �Ωζ oblast\ v �E3 . UkaΩem takoe sootvetstvye meΩdu oblastqmy Ωζ , � �Ωζ pry perexode ot ba- zysa { }, ,e e e1 2 3 k bazysu { }, ,� � �e e e1 2 3 , pry kotorom alhebr¥ monohenn¥x funk- cyj M( ),E3 Ωζ , M( ),� � �E3 Ωζ yzomorfn¥. Rassmotrym vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. Lemma22. Pust\ harmonyçeskye bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , { }, ,� � �e e e1 2 3 svqzan¥ so- otnoßenyqmy �e1 = e1 = 1, �e2 = α α ρ ρ1 1 2 2 21 1 22 2e e r r+ + + , (20) �e3 = β β ρ ρ1 1 2 2 3 31 1 32 2e e e r r+ + + + , hde α α β β1 2 1 2, , , ∈ R , pryçem α2 ≠ 0, r r r r21 22 31 32, , , ∈ C . Esly funkcyq Φ Ω: ζ → A3 monohenna v oblasty Ωζ , to funkcyq � �Φ( )ζ = Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ+ ′ +( r y r z21 31 1� � + + ( ) ( ) ( )r y r z r y r z22 32 2 21 31 2 2 1 2 � � � �+ ) + ′′ +ρ ζ ρΦ (21) qvlqetsq monohennoj v oblasty � �Ωζ takoj, çto koordynat¥ sootvetstvug- wyx toçek �ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 + = ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥ sootnoßenyqmy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1088 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ x = � � �x y z+ +α β1 1 , y = α β2 2� �y z+ , (22) z = �z . Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto dlq funkcyy (21) v¥polnqgtsq neobxo- dym¥e y dostatoçn¥e uslovyq monohennosty ∂ ∂ � � Φ y = ∂ ∂ � � � Φ x e2 , ∂ ∂ � � Φ z = ∂ ∂ � � � Φ x e3 . (23) Sledstvyem sootnoßenyj (22) qvlqgtsq operatorn¥e ravenstva ∂ ∂�x = ∂ ∂x , ∂ ∂�y = α α1 2 ∂ ∂ + ∂ ∂x y , ∂ ∂�z = β β1 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂x y z , s uçetom kotor¥x poluçaem v¥raΩenyq çastn¥x proyzvodn¥x funkcyy (21): ∂ ∂ � � Φ x = ∂ ∂ + ∂ ′ ∂ + + +( )Φ Φ x x r y r z r y r z( ) ( )21 31 1 22 32 2� � � �ρ ρ ++ ∂ ′′ ∂ + 1 2 21 31 2 2 Φ x r y r z( )� � ρ , ∂ ∂ � � Φ y = α α α α1 2 1 2 21 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂     +Φ Φ Φ Φ x y x y r y r( � 331 1�z)ρ( + + ( ) ( )r y r z x r r22 32 2 21 1 22 2� �+ ) + ∂ ∂ +ρ ρ ρ Φ + + 1 2 1 2 21 31 2 2α α ρ ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂     + + ∂Φ Φ x y r y r z( )� � 22 2 21 31 21 2 Φ ∂ + x r y r z r( )� � ρ , ∂ ∂ � � Φ z = β β ρ ρ1 2 31 1 32 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + Φ Φ Φ Φ x y z x r r( ) + + β β ρ1 2 21 31 1 ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ∂     + + Φ Φ Φ x y z r y r z( )� � (( )r y r z22 32 2� �+( )ρ + + 1 2 1 2 21 31β β ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂ + ∂ ′′ ∂     + Φ Φ Φ x y z r y r( � �zz x r y r z r) ( )2 2 2 2 21 31 31 2ρ ρ+ ∂ ∂ + Φ � � . Podstavlqq poluçenn¥e v¥raΩenyq çastn¥x proyzvodn¥x funkcyy (21) y v¥raΩenyq (20) πlementov �e2 , �e3 v ravenstva (23) y uçyt¥vaq pry πtom pravy- la umnoΩenyq (2) y uslovyq (5), ubeΩdaemsq v v¥polnymosty uslovyj (23). Lemma dokazana. Lemma23. Pust\ harmonyçeskye bazys¥ { }, ,e e e1 2 3 , { }, ,� � �e e e1 2 3 svqzan¥ sootnoßenyqmy (20) y funkcyq � � �Φ Ω: ζ → A3 qvlqetsq monohennoj v oblas- ty � �Ωζ . Tohda suwestvuet edynstvennaq monohennaq v oblasty Ωζ funkcyq Φ( )ζ takaq, çto spravedlyvo ravenstvo (21), hde koordynat¥ sootvetstvug- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1089 wyx toçek �ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 + = ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥ so- otnoßenyqmy (22). Dokazatel\stvo. Rassmotrym funkcyg Φ( )ζ = � � � � � �Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ− ′ +( r y r z21 31 1 + + ( ) ( )( )r y r z r y r z22 32 2 21 31 2 2 1 2 � � � � � �+ ) + ′′ +ρ ζ ρΦ , (24) monohennost\ kotoroj dokaz¥vaetsq analohyçno dokazatel\stvu monohennosty funkcyy (21). PokaΩem, çto funkcyq (24) udovletvorqet sootnoßenyg (21). S πtoj cel\g posle umnoΩenyq obeyx çastej ravenstva (24) na ρ2 poluçym ravenstvo ρ ζ2 � �Φ( ) = ρ ζ2 Φ( ) , sledstvyem kotoroho qvlqgtsq ravenstva ρ ζ2 � �′Φ ( ) = ρ ζ2 ′Φ ( ) , ρ ζ2 � �′′Φ ( ) = ρ ζ2 ′′Φ ( ) . (25) Analohyçno posle umnoΩenyq obeyx çastej ravenstva (24) na ρ1 poluçym ra- venstva ρ ζ1Φ( ) = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31 � � � � � �Φ Φ( ) ( ) ( )− ′ +r y r z = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31 � � � �Φ Φ( ) ( ) ( )− ′ +r y r z , sledstvyem kotor¥x qvlqetsq ravenstvo ρ ζ1 � �′Φ ( ) = ρ ζ ρ ζ1 2 21 31′ + ′′ +Φ Φ( ) ( ) ( )r y r z� � . (26) Podstavlqq ravenstva (25), (26) v ravenstvo (24), ubeΩdaemsq v spravedlyvosty sootnoßenyq (21). DokaΩem teper\ edynstvennost\ monohennoj funkcyy Φ Ω: ζ → A3 , udov- letvorqgwej ravenstvu (21). Dlq πtoho dostatoçno pokazat\, çto funkcyy �Φ ≡ 0 v � �Ωζ sootvetstvuet lyß\ funkcyq Φ ≡ 0 v Ωζ . Tak, pry �Φ ≡ 0 ra- venstvo (21) prynymaet vyd Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ζ ρ+ ′ +r y r z21 31 1� � + + ′ + + ′′ +Φ Φ( ) ( )( ) ( )ζ ρ ζr y r z r y r z22 32 2 21 31 21 2 � � � � ρρ2 ≡ 0. (27) Posle umnoΩenyq obeyx çastej toΩdestva (27) na ρ2 s uçetom pravyl umnoΩe- nyq (2) poluçym toΩdestvo Φ( )ζ ρ2 0≡ , sledstvyem kotoroho qvlqgtsq soot- noßenyq ′Φ ( )ζ ρ2 ≡ 0, ′′Φ ( )ζ ρ2 ≡ 0. (28) Analohyçno posle umnoΩenyq obeyx çastej toΩdestva (27) na ρ1 poluçym so- otnoßenye Φ Φ( ) ( ) ( )ζ ρ ζ ρ1 21 31 2+ ′ +r y r z� � ≡ 0, kotoroe s uçetom pervoho yz sootnoßenyj (28) prevrawaetsq v toΩdestvo Φ( )ζ ρ1 ≡ 0. Sledovatel\no, ′Φ ( )ζ ρ1 ≡ 0. (29) Nakonec, yz sootnoßenyj (27) – (29) sleduet toΩdestvo Φ ≡ 0 . Lemma dokazana. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 1090 S. A. PLAKSA, V. S. ÍPAKOVSKYJ Pust\ teper\ { }, ,e e e1 2 3 — harmonyçeskyj bazys, πlement¥ kotoroho opre- delen¥ ravenstvamy (19), a { }, ,� � �e e e1 2 3 — proyzvol\n¥j harmonyçeskyj bazys v==A3 . ∏lement¥ bazysa { }, ,� � �e e e1 2 3 predstavym¥ v vyde �e1 = ae�1 1( ) , �e2 = ae�2 1( ) , �e3 = ae�3 1( ) , (30) hde a — obratym¥j πlement alhebr¥ A3 y dlq πlementov bazysa { }( ) ( ) ( ), ,� � �e e e1 1 2 1 3 1 spravedlyv¥ razloΩenyq vyda (3) po bazysu { }, ,1 1 2ρ ρ , v koto- r¥x v sylu ravenstva 1 1 2 1 2+ +n m = 0 bez narußenyq obwnosty moΩno sçytat\, çto Im n1 ≠ 0. Tohda πlement¥ bazysa { }( ) ( ) ( ), ,� � �e e e1 1 2 1 3 1 predstavym¥ takΩe v vyde �e1 1( ) = e1 , �e2 1( ) = α α ρ ρ1 1 2 2 21 1 22 2e e r r+ + + , �e3 1( ) = β β ρ ρ1 1 2 2 3 31 1 32 2e e e r r+ + + + . Zdes\ y dalee α1 1: Re= n , α2 1: Im= n , β1 1: Re= m , β2 1: Im= m , r n21 2:= , r n i n22 3 1 1 2 : Im= − , r m31 2 1:= + , r m i i m32 3 1 3 2 1 2 : Im= + − . Teorema25. Pust\ { }, ,e e e1 2 3 — harmonyçeskyj bazys, πlement¥ kotoroho opredelen¥ ravenstvamy (19), a { }, ,� � �e e e1 2 3 — proyzvol\n¥j harmonyçeskyj bazys v A3 , πlement¥ kotoroho predstavlen¥ v vyde (30). Pust\, krome to- ho, Ωζ — proyzvol\naq oblast\ v E3 y � �Ωζ — oblast\ v �E3 takaq, çto koordynat¥ sootvetstvugwyx toçek �ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ y ζ = xe1 + += ye ze2 3+ ∈Ωζ svqzan¥ sootnoßenyqmy (22). Tohda alhebr¥ M( ),E3 Ωζ , M( ),� � �E3 Ωζ yzomorfn¥, pry πtom sootvetstvye meΩdu funkcyqmy Φ ∈ ∈ M( ),E3 Ωζ y � � � �Φ Ω∈M( ),E3 ζ ustanavlyvaetsq ravenstvom (21). Dokazatel\stvo. Opredelym oblast\ � �Ω ζ( ) ( ) 1 1 v �E3 1( ) : = � � � � � � � � � �ζ( ) ( ) ( ) ( ) : , ,1 1 1 2 1 3 1= + + ∈xe ye ze x y z R{{ } , koordynat¥ toçek �ζ( )1 kotoroj svqzan¥ s koordynatamy sootvetstvugwyx to- çek ζ ζ∈Ω sootnoßenyqmy (22), y kaΩdoj funkcyy Φ Ω∈M( ),E3 ζ posta- vym v sootvetstvye funkcyg � � � �Φ Ω( ) ( ) ( )( ), ( ) 1 3 1 1 1∈M E ζ po formule vyda (21). V sy- lu lemm=2,==3 takoe sootvetstvye meΩdu alhebramy M( ),E3 Ωζ , M( )( ) ( ), ( ) � � �E3 1 1 1Ω ζ qvlqetsq vzaymno odnoznaçn¥m. Pry πtom yz ravenstva ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8 KONSTRUKTYVNOE OPYSANYE MONOHENNÁX FUNKCYJ … 1091 � � � �Φ Φ1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ζ ζ = Φ Φ1 2( ) ( )ζ ζ + + Φ Φ Φ Φ1 2 2 1 21 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ζ ζ ζ ζ ρ′ + ′( ) + +r y r z r� � 222 32 2� �y r z+( ))ρ + + 1 2 21 2 1 2 1 2′′ + ′ ′ + ′′( )Φ Φ Φ Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ζ ζ ζ ζ ζ ζ (( )r y r z21 31 2 2� �+ ρ sleduet, çto proyzvedenye funkcyj �Φ1 1( ) , � � � �Φ Ω2 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ), ( )∈M E ζ sootvetstvuet proyzvedenyg funkcyj Φ1 , Φ Ω2 3∈M( ),E ζ , t. e. alhebr¥ M( ),E3 Ωζ , M( )( ) ( ), ( ) � � �E3 1 1 1Ω ζ yzomorfn¥. Nakonec, yzomorfyzm meΩdu alhebramy M( )( ) ( ), ( ) � �E3 1 1 1Ω ζ , M( ),� � �E3 Ωζ usta- navlyvaetsq s pomow\g ravenstva � �Φ( )ζ : = � �Φ( ) ( )( )1 1ζ , hde �ζ = � � � � � � � �xe ye ze1 2 3+ + ∈Ωζ , �ζ( )1 = � � � � � � � �xe ye ze1 1 2 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + ∈Ω ζ , pry πtom mo- nohennost\ funkcyy �Φ v oblasty � �Ωζ qvlqetsq oçevydn¥m sledstvyem uslo- vyj monohennosty vyda (5 ) dlq funkcyy �Φ( )1 y obratymosty πlementa a ∈A3 . Teorema dokazana. V sylu teorem¥=5 predstavlqetsq oçevydn¥m tot fakt, çto v dal\nejßyx yssledovanyqx dostatoçno ohranyçyt\sq yzuçenyem monohenn¥x funkcyj Φ Ω∈M( ),E3 ζ , hde lynejnaq oboloçka E3 poroΩdena harmonyçeskym bazy- som, πlement¥ kotoroho opredelen¥ ravenstvamy (19). 1. Mel\nyçenko Y. P. O predstavlenyy monohenn¥my funkcyqmy harmonyçeskyx otobraΩe- nyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1975. – 27, # 5. – S.=606 – 613. 2. Mel\nyçenko Y. P. Alhebr¥ funkcyonal\no-ynvaryantn¥x reßenyj trexmernoho uravne- nyq Laplasa // Tam Ωe. – 2003. – 55, # 9. – S.=1284 – 1290. 3. Mel\nyçenko Y. P., Plaksa S. A. Kommutatyvn¥e alhebr¥ y prostranstvenn¥e potencyal\- n¥e polq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2008. – 230=s. 4. Ketchum P. W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30, # 4. – P. 641 – 667. 5. Plaksa S. A. Uslovyq Koßy – Rymana dlq prostranstvenn¥x harmonyçeskyx funkcyj // Kompleksnyj analiz i teçi] z vil\nymy hranycqmy: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2006. – 3, # 4. – S.=396 – 403. 6. Xylle ∏., Fyllyps R. Funkcyonal\n¥j analyz y poluhrupp¥. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. – 829=s. 7. Troxymçuk G. G. Neprer¥vn¥e otobraΩenyq y uslovyq monohennosty. – M.: Fyzmathyz, 1963. – 212=s. 8. Tolstov H. P. O kryvolynejnom y povtornom yntehrale // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1950. – 35. – S.=3 – 101. Poluçeno 31.03.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 8

Ähnliche Einträge