Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко
Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изломом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не являются C1+γ-гладко сопряженными ни для какого γ>0. Тем самым показано, что полученный ранее результат относительно...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166193 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1092–1105. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244250108624896 |
|---|---|
| author | Теплінський, О.Ю. |
| author_facet | Теплінський, О.Ю. |
| citation_txt | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1092–1105. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изломом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не являются C1+γ-гладко сопряженными ни для какого γ>0. Тем самым показано, что полученный ранее результат относительно C1-гладкости сопряжения таких отображений является точной оценкой на гладкость этого сопряжения.
We prove the existence of two real-analytic diffeomorphisms of the circle with break of the same size and an irrational rotation number of semibounded type that are not C1+γ-smoothly conjugate for any γ > 0. In this way, we show that the previous result concerning the C1-smoothness of conjugacy for these mappings is the exact estimate of smoothness for this conjugacy.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:34:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Ю. Теплiнський (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ,
ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО, АЛЕ НЕ C1+γ -ГЛАДКО
We prove the existence of two real-analytic circle diffeomorphisms with breaks of the same size and an
irrational rotation number of half-bounded type that are not C1+γ -smoothly conjugate for any γ > 0. In this
way we show that the previous result concerning the C1 -smoothness of the conjugacy for such mappings is
a sharp estimate for the smoothness of this conjugacy.
Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изло-
мом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не
являются C1+γ -гладко сопряженными ни для какого γ > 0. Тем самым показано, что полученный
ранее результат относительно C1 -гладкости сопряжения таких отображений является точной оценкой
на гладкость этого сопряжения.
1. Вступ. Вiдповiдно до класичної теореми Данжуа [1], два достатньо гладких
зберiгаючих орiєнтацiю дифеоморфiзми кола, якi мають одне i те ж саме iррацiо-
нальне число обертання, є топологiчно еквiвалентними, тобто iснує неперервна
замiна координат (яка в свою чергу є гомеоморфiзмом цього кола), що переводить
один iз цих дифеоморфiзмiв у другий. Питання щодо гладкостi цього спряження,
як називають зазначену замiну координат (а вона є єдиною з точнiстю до жорсткого
повороту кола на певний кут), було предметом розгляду теорiї КАМ [2] в локальнiй
постановцi (тобто за умови близькостi даного дифеоморфiзму до жорсткого пово-
роту кола) та теорiї Ермана [3] у глобальнiй (без такого обмеження). Вже Арнольд
виявив, що для забезпечення хоча б мiнiмальної гладкостi спряження необхiдно
накладати певнi обмеження на iррацiональне число обертання (так званi дiофанто-
вi умови). Власне, вiн побудував [2] приклади дiйсно-аналiтичних дифеоморфiзмiв
кола з одним i тим самим iррацiональним числом обертання, спряження мiж якими
не є навiть абсолютно неперервним.
Оскiльки теорема Данжуа є вiрною не лише для „чистих” дифеоморфiзмiв кола,
а й у випадку наявностi в них iзольованих особливостей деяких типiв, природним
є прагнення розширити теорiю жорсткостi для дифеоморфiзмiв кола (так нази-
вають дослiдження питань щодо гладкостi їхнього спряження) на випадок дифео-
морфiзмiв з особливостями. Iдеї та методи теорiї жорсткостi для дифеоморфiзмiв
з особливостями викладено в оглядовiй статтi [4], в нiй також анонсовано резуль-
тати, про якi йтиметься трохи нижче, та висловлено деякi гiпотези. Власне, є два
природних типи iзольованих особливостей, для яких виконуються аналоги теореми
Данжуа: критична точка (в якiй похiдна перетворюється на нуль) та точка зламу (в
якiй однобiчнi похiднi злiва та справа вiдмiннi мiж собою), i вiдповiднi двi теоре-
ми анонсовано в [4]. В обох випадках результат полягає в доведеннi C1 -гладкостi
спряження за певних умов. Для критичних поворотiв кола (так називають дифео-
морфiзми кола з критичною точкою) анонсовану в [4] теорему доведено в [5], а
для дифеоморфiзмiв зi зламом — у [6]. Ми не будемо зупинятися тут на дета-
лях одержаних результатiв щодо критичних поворотiв кола; зауважимо лише, що
точнiсть доведеної в [5] оцiнки на гладкiсть спряження пiдтверджують приклади
дiйсно-аналiтичних критичних поворотiв кола, що не є C1+γ -гладко спряженими
c© О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ, 2010
1092 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1093
для жодного γ > 0, якi побудовано Авiлою в [7] (що, до речi, заперечує одну з
висловлених в [4] гiпотез).
Дифеоморфiзми кола зi зламом уперше було розглянуто у повiдомленнi [8]. У
статтi [9] означено ренормалiзацiї таких дифеоморфiзмiв та доведено їхню експо-
ненцiально швидку збiжнiсть до певної дробово-лiнiйної сiм’ї. У важливiй про-
мiжнiй роботi [10] дослiджено деякi аспекти поведiнки ренормалiзацiй всерединi
цiєї граничної сiм’ї та доведено C1+γ -гладкiсть спряження у спецiальному ви-
падку, коли ланцюговий дрiб числа обертання є перiодичним (тобто це число є
квадратичною iррацiональнiстю). В роботi [11] детально описано поведiнку ренор-
малiзацiй дифеоморфiзмiв кола зi зламом у граничнiй дробово-лiнiйнiй сiм’ї, а в [6]
на основi цього доведено C1 -гладкiсть спряження за досить загальних умов (див.
ненумеровану теорему в наступному пунктi).
2. Означення та формулювання результатiв. Домовимося одразу, що скрiзь
у цiй статтi для заданого натурального k та вiдображення F запис F k позначає
його k -ту iтерацiю F ◦F ◦ . . .◦F (k разiв), запис F−k — k -ту iтерацiю оберненого
вiдображення (F−1)k, запис F 0 — тотожне вiдображення Id. Натомiсть запис F (k)
скрiзь позначає k -ту похiдну вiд F.
Для строгого формулювання результатiв нам знадобляться деякi загальнi озна-
чення. Одиничним колом назвемо фактор-простiр T1 = R/Z iз зрозумiлим чином
заданими орiєнтацiєю, метрикою, мiрою Лебега та операцiєю додавання. Позна-
чимо через µ : R → T1 вiдповiдне факторизацiйне вiдображення, яке „намотує”
пряму на коло. Довiльний зберiгаючий орiєнтацiю гомеоморфiзм T одиничного
кола T1 може бути, вiдповiдно, „пiднято” на пряму R у виглядi гомеоморфiзму
L : R→ R, що має властивiсть L(x+1) ≡ L(x)+1 i пов’язаний iз T спiввiдношен-
ням µ ◦L = T ◦ µ. Такий гомеоморфiзм L носить назву пiдняття гомеоморфiзму
T i є визначеним з точнiстю до цiлого доданка. Оскiльки гомеоморфiзм кола за
своїм пiдняттям визначається однозначно, будемо використовувати позначення TL
для гомеоморфiзму кола з даним пiдняттям L. Найважливiшою арифметичною
характеристикою зберiгаючого орiєнтацiю гомеоморфiзму T = TL одиничного
кола T1 є число обертання ρ(T ) = µρ(L) ∈ T1, де число обертання пiдняття
ρ(L) = lim
j→∞
Ljx
j
∈ R, x ∈ R, iснує i не залежить вiд вибору початкової точки x.
Це класичний результат теорiї Пуанкаре (див. [12]), з якої також легко випливає,
що число обертання є неперервним функцiоналом на просторi усiх гомеоморфiзмiв
кола (або на просторi пiднять) з неперервною топологiєю.
Хоча число обертання гомеоморфiзму одиничного кола є елементом цього кола,
зазвичай його ототожнюють з вiдповiдним дiйсним числом з промiжку [0, 1), i
ми також це робитимемо. Серед усiх пiднять даного гомеоморфiзму T можна
видiлити його нормалiзоване пiдняття LT , для якого ρ(LT ) = ρ(T ) ∈ [0, 1). (Отже,
для нормалiзованого пiдняття L маємо еквiвалентнiсть позначень: T = TL ⇔
⇔ L = LT .) Легко зрозумiти, що нормалiзоване пiдняття або має властивiсть Id <
< LT < Id+1, i при цьому ρ(T ) ∈ (0, 1), або має нерухому точку LTx∗ = x∗, x∗ ∈
∈ R, i при цьому ρ(T ) = 0. Також легко перевiрити, що якщо ρ(T ) ∈
[
p
q
,
p+ 1
q
)
,
то LT q = LqT − p (тут i далi, розглядаючи рацiональне число у поданнi вигляду
p
q
,
вважаємо, що p ≥ 0 та q ≥ 1 — взаємно простi цiлi числа).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1094 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
У випадку iррацiонального числа обертання ρ = ρ(T ) (що є еквiвалентним вiд-
сутностi в T перiодичних точок) будемо використовувати його розклад у нескiн-
ченний ланцюговий дрiб [13]
ρ = 1/
(
k1 + 1/(k2 + 1/(. . . /(kn + . . .)))
)
=: [k1, k2, . . . , kn, . . .]. (1)
Значенням записаного „злiченно-поверхового” дробу вважається границя послiдов-
ностi рацiональних наближень — скiнченних ланцюгових дробiв pn/qn = [k1, k2, . . .
. . . , kn], n ≥ 0 (де порожнiй ланцюговий дрiб [ ] вважається розкладом числа 0).
При цьому встановлена формулою (1) вiдповiднiсть мiж усiма числами ρ ∈ (0, 1)\Q
та усiма послiдовностями неповних часток [k1, k2, . . . , kn, . . .] ∈ NN, є взаємно
однозначною. Натомiсть кожне рацiональне число
p
q
∈ (0, 1) можна записати у
виглядi (скiнченного) ланцюгового дробу рiвно двома способами внаслiдок вла-
стивостi [k1, k2, . . . , kn, 1] = [k1, k2, . . . , kn + 1]. Отже, можна зауважити (ми ско-
ристаємося цим фактом згодом), що кожне рацiональне число обертання може бути
єдиним чином подано у виглядi ланцюгового дробу парної довжини.
Зберiгаючий орiєнтацiю гомеоморфiзм кола T називається дифеоморфiзмом
гладкостi Cr, r ∈ [2,+∞] ∪ {ω} ∪ {E} (пiд гладкiстю Cω ми розумiємо аналiтич-
нiсть, а пiд гладкiстю CE — цiлу голоморфнiсть), зi зламом у точцi ξ0, якщо
виконуються наступнi умови, якi простiше формулювати в термiнах обмеження
L̄T пiдняття LT на вiдрiзок [x0, x0 + 1], де µx0 = ξ0 :
1) L̄T ∈ Cr([x0, x0 + 1]) (у випадку r = „ω” мається на увазi, що функцiя
L̄T аналiтично продовжується на певний окiл вiдрiзка [x0, x0 + 1] у комплекснiй
площинi C, а у випадку r = „E” — на всю C) ;
2) L̄′T > 0;
3) L̄′T (x0) 6= L̄′T (x0 + 1).
Розмiром зламу дифеоморфiзму кола зi зламом ми називаємо додатне, вiдмiнне
вiд одиницi дiйсне число
c = c(T ) =
√
L̄′T (x0 + 1)
L̄′T (x0)
=
√
T ′(ξ0−)
T ′(ξ0+)
.
Легко переконатися, що розмiр зламу є iнварiантним вiдносно C1 -гладких замiн
координат на колi, а отже, два дифеоморфiзми кола зi зламами рiзного розмiру
нiколи не можуть бути гладко спряженими, i якщо вони є гладко спряженими, то
їхнє спряження переводить точку зламу одного в точку зламу iншого. Оскiльки для
дифеоморфiзмiв кола зi зламом виконується теорема Данжуа, то для пари таких
дифеоморфiзмiв T, T̃ , що мають одне й те ж саме iррацiональне число обертання
та один i той самий розмiр зламу, однозначно визначається гомеоморфiзм кола
ϕ = ϕ(T, T̃ ), який спрягає T i T̃ мiж собою в сенсi ϕ ◦ T ◦ ϕ−1 = T̃ i є єдиним
можливим кандидатом на гладкiсть серед їхнiх спряжень.
Якщо для дифеоморфiзму зi зламом T додатково виконується умова L̄′′T > 0
(L̄′′T < 0) , то вiн називається опуклим донизу (догори); очевидно, при цьому розмiр
зламу c > 1 (c < 1).
Позначимо через Mo та Me два класи iррацiональних чисел ρ = [k1, k2, . . . , kn,
. . .] ∈ (0, 1), для яких пiдпослiдовностi неповних часток з непарними та з парними
iндексами вiдповiдно є обмеженими:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1095
Mo =
{
ρ : (∃K > 0) (∀m ∈ N) k2m−1 ≤ K
}
,
Me =
{
ρ : (∃K > 0) (∀m ∈ N) k2m ≤ K
}
.
В роботi [4] було анонсовано (з наступною помилкою: умови ρ ∈ Me та ρ ∈ Mo
там було спiвставлено умовам c > 1 та c < 1 з точнiстю до навпаки), а в роботi [6]
— доведено наступний результат.
Теорема. Нехай T i T̃ — два дифеоморфiзми кола гладкостi C2+α, α ∈
∈ (0, 1), зi зламом одного й того самого розмiру c > 1 (c < 1) з одним i тим
самим iррацiональним числом обертання ρ ∈ Me (ρ ∈ Mo). Тодi їхнє спряження
ϕ = ϕ(T, T̃ ), яке переводить точку зламу T в точку зламу T̃ , є дифеоморфiзмом
кола гладкостi C1.
Зауваження 1. Умова щодо обмеженостi послiдовностей неповних часток з
парними (непарними) iндексами є природною, тому що дозволяє обiйти склад-
ний для аналiзу випадок, коли вiдношення довжин сусiднiх вiдрiзкiв динамiчного
розбиття кола траєкторiєю точки зламу (див. будь-яку зi статей [4 – 6]) є необме-
женим.
Мета цiєї статтi — довести, що оцiнка на гладкiсть спряження ϕ = ϕ(T, T̃ ), яка
фiгурує в данiй теоремi (тобто C1), є непокращуваною: її не можна пiдвищити
до C1+γ , γ > 0, навiть якщо дозволити показнику γ залежати вiд T i T̃ , навiть
у випадку максимальної гладкостi дифеоморфiзмiв зi зламом T i T̃ , якою є CE
(тобто продовжуванiсть до цiлих голоморфних функцiй). Основним результатом є
наступна теорема.
Теорема 1. Iснує така пара T i T̃ дифеоморфiзмiв кола гладкостi CE зi
зламом одного й того самого розмiру c > 1 (c < 1) з одним i тим самим iр-
рацiональним числом обертання, розклад якого в ланцюговий дрiб має вигляд ρ =
= [k1, 1, k2, 1, k3, 1, . . .] ∈Me (ρ = [1, k1, 1, k2, 1, k3, . . .] ∈Mo) , що їхнє спряження
ϕ = ϕ(T, T̃ ), яке переводить точку зламу T в точку зламу T̃ , не є C1+γ -гладким
для жодного γ > 0.
Зауваження 2. Важливою особливiстю обох теорем є вiдсутнiсть будь-якого
обмеження на швидкiсть росту послiдовностi неповних часток, якi стоять на непар-
них (парних) мiсцях в ланцюговому дробi для числа обертання. У першiй теоремi це
означає, що число обертання не зобов’язане бути дiофантовим, як це вимагається
для „чистих” дифеоморфiзмiв у зв’язку зi згаданими вище прикладами Арноль-
да. У другiй теоремi ця послiдовнiсть повинна зростати до нескiнченностi досить
швидко, але ми тут не дослiджуємо цю швидкiсть. В роботi [10] доведено, що у
випадку, коли послiдовнiсть неповних часток є перiодичною, гладкiсть спряження
є саме C1+γ для певного γ > 0. Тобто оцiнка першої теореми є непокращува-
ною лише якщо не дозволяється накладати додатковi умови на число обертання.
Питання про залежнiсть мiнiмальної можливої гладкостi спряження для двох ди-
феоморфiзмiв з однаковим розмiром зламу вiд їхнього спiльного числа обертання
залишається вiдкритим.
Легко переконатися, що якщо ρ(T ) = [k1, k2, k3, . . . , kn, . . .] iз k1 ≥ 2, то
ρ(T−1) = [1, k1−1, k2, . . . , kn−1, . . .], i навпаки, а розмiр зламу c(T−1) = (c(T ))−1.
Тому досить довести теорему 1 в одному з двох включених до неї випадкiв, а iнший
випливатиме з доведеного шляхом обертання побудованої пари дифеоморфiзмiв зi
зламом T, T̃ . Ми побудуємо необхiднi приклади з c > 1, ρ = [k1, 1, k2, 1, k3, 1, . . .],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1096 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
k1 ≥ 2, причому в класi опуклих донизу дифеоморфiзмiв зi зламом в точцi 0. Отже,
скрiзь нижче вважаємо c > 1.
Для доведення теореми 1 нами буде адаптовано пiдхiд Авiли до доведення ана-
логiчного результату щодо критичних поворотiв кола [7]. Ми почнемо з опису в
п. 3 властивостей опуклих дифеоморфiзмiв кола зi зламом та їхнiх сiмей, що моно-
тонно залежать вiд параметра. У пп. 4 та 5 наведемо iнструментарiй параболiчної
ренормалiзацiї для таких дифеоморфiзмiв, який у п. 6 використаємо для побудови
шуканих прикладiв. Звернемо увагу, що побудови п. 3 вимагають вiд розглядуваних
об’єктiв гладкiсть принаймнi C2, п. 4 — принаймнi C3, п. 5 — принаймнi C4, i,
зрештою, в п. 6 ми розглядатимемо цiлi голоморфнi функцiї.
3. Iтерацiї опуклих дифеоморфiзмiв зi зламом. Розглянемо клас Lrc , c > 1,
r ∈ [2,+∞] ∪ {ω} ∪ {E}, усiх функцiй L : R → R, для яких виконується закон
L(x + 1) ≡ L(x) + 1 та включення L(0) ∈ [0, 1) i обмеження яких L̄ на вiдрiзок
[0, 1] задовольняють наступнi умови: L̄ ∈ Cr([0, 1]), L̄′′ > 0, L̄′(1) = c2L̄′(0) (з
цих умов також випливає, що L̄′ > 0). Легко бачити, що кожен елемент L ∈ Lrc є
нормалiзованим пiдняттям певного дифеоморфiзму кола T = TL гладкостi Cr зi
зламом розмiру c > 1 в точцi 0.
Очевидно, що для кожного j ≥ 1 iтерацiя Lj вiдповiдно до формули для
похiдної композицiї функцiй також має властивостi (Lj)′ > 0 та (Lj)′′ > 0 (в
точках зламу тут мова йде окремо про похiдну злiва та похiдну справа).
Нехай L ∈ Lrc , ρ(TL) =
p
q
. Тодi iтерацiя T qL має в точностi q точок зламу
T−jL (0), 0 ≤ j < q. Вiдповiдно, функцiя f = Lq − p = LT q
L
має в точностi
q точок зламу на кожному промiжку [A,A + 1). Якщо ми впорядкуємо їх як
y0 = 0 < y1 < . . . < yq−1 < yq = 1, {µyj , 0 ≤ j < q} = {T−j(0), 0 ≤ j < q},
то отримаємо, що f є строго опуклою донизу на кожному з вiдрiзкiв [yj , yj+1],
0 ≤ j < q. У гомеоморфiзму кола TL є хоча б одна перiодична траєкторiя, що
складається з q рiзних точок, яким вiдповiдають нерухомi точки функцiї f. Якщо
точка зламу 0 є перiодичною для TL, то всi точки yj , 0 ≤ j ≤ q, є нерухомими
для f, i внаслiдок опуклостi на кожному з вiдрiзкiв [yj , yj+1], 0 ≤ j < q, маємо
f ≤ Id, iнших нерухомих точок, окрiм точок зламу, ця функцiя не має, причому в
кожнiй iз цих точок зламу її похiдна злiва є бiльшою за одиницю, а похiдна справа
— меншою. Припустимо тепер, що точка зламу не є перiодичною. Перiодична
траєкторiя розбиває коло на q дуг, якi гомеоморфiзм TL певним чином циклiчно
переставляє. З цього випливає, що точки цiєї перiодичної траєкторiї чергуються на
колi iз точками µyj , 0 ≤ j < q, тобто на кожнiй дузi кола (µyj , µyj+1), 0 ≤ j < q,
лежить рiвно одна з точок даної перiодичної траєкторiї TL. Вiдповiдно, на кожному
iнтервалi прямої (yj , yj+1), 0 ≤ j < q, лежить рiвно одна нерухома точка f,
образ якої на колi належить до даної перiодичної траєкторiї. З цього випливає,
що на кожному зi згаданих iнтервалiв лежить однакова кiлькiсть нерухомих точок
функцiї f, а внаслiдок опуклостi ця кiлькiсть дорiвнює одиницi або двом (графiк
опуклої функцiї f не може перетинати графiк лiнiйної функцiї Id бiльш нiж у
двох точках). Неважко переконатися, що одиницi ця кiлькiсть дорiвнює тодi i лише
тодi, коли на кожному з указаних iнтервалiв графiк f дотикається до графiка
тотожного вiдображення, при цьому f ≥ Id. Справдi, якщо припустити, що дана
кiлькiсть дорiвнює одиницi, але хоча б на одному з iнтервалiв (yj , yj+1), 0 ≤ j < q,
графiк f перетинає графiк Id таким чином, що рiзниця f − Id змiнює знак,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1097
то на якомусь iншому з цих iнтервалiв внаслiдок неперервностi графiки повиннi
перетнутися „у зворотний бiк”, отже, з вiдповiдних двох нерухомих точок одна
буде вiдштовхуючою, а iнша притягуючою, що неможливо, бо вони вiдповiдають
однiй i тiй самiй перiодичнiй траєкторiї TL.
Позначимо через Lrc,p/q множину пiднять L ∈ Lrc таких, що ρ(TL) =
p
q
, i
f = Lq − p ≥ Id. Ми тiльки що довели, що за таких умов гомеоморфiзм кола
TL має єдину перiодичну траєкторiю, i графiк функцiї f = LT q
L
дотикається до
графiка тотожного вiдображення Id в точках, якi вiдповiдають цiй траєкторiї (на
[0, 1] їх рiвно q) та чергуються з точками зламу цiєї функцiї.
Тепер розглянемо, яким чином змiнюється число обертання гомеоморфiзму ко-
ла зi зламом, коли його пiдняття монотонно зростає. Нехай Ls ∈ Lrc , s ∈ (A,B),
— однопараметрична сiм’я пiднять, що строго неперервно зростає за параметром
s, тобто Ls1 < Ls2 при s1 < s2 i Ls → Ls0 при s → s0 рiвномiрно на R.
Нехай Ts = TLs , s ∈ (A,B). Легко бачити, що число обертання ρ(s) = ρ(Ts) =
= limj→+∞
Ljsx
j
є неспадною неперервною функцiєю параметра s. Можна по-
казати, що даного iррацiонального значення ця функцiя може набувати лише при
одному значеннi параметра, тодi як даного рацiонального значення
p
q
вона набу-
ватиме для всiх s з певного невиродженого замкненого промiжку [s∗p/q, s
∗∗
p/q]. При
цьому для s = s∗p/q має мiсце описана вище ситуацiя, коли єдиною перiодичною
траєкторiєю Ts є траєкторiя точки зламу i fs = Lqs − p ≤ Id; для s∗p/q < s < s∗∗p/q
є рiвно двi перiодичнi траєкторiї (одна вiдштовхуюча, а iнша притягуюча), а для
s = s∗∗p/q маємо саме випадок Ls ∈ Lrc,p/q (fs ≥ Id, дотикаючись в q точках на
[0, 1]).Важливою для нас є поведiнка числа обертання ρ(s) для значень параметра
s, якi наближаються до s∗∗p/q з правого боку, тобто для s∗∗p/q < s < s∗∗p/q+δ iз малим
δ > 0.
Твердження 1. Нехай Ls ∈ L2
c , s ∈ (A,B), — однопараметрична сiм’я
пiднять, що строго неперервно зростає за параметром s, i для певного s∗∗ ∈
(A,B) маємо Ls∗∗ ∈ L2
c,[k1,k2,...,k2n]
. Тодi iснує така строго спадна послiдовнiсть
значень параметра sk, k ≥ k0, яка прямує до s∗∗, що Lsk ∈ L2
c,[k1,k2,...,k2n,k]
, i
число обертання ρ(s) може бути подано у виглядi [k1, k2, . . . , k2n, k, . . .] тодi i
лише тодi, коли s ∈ [sk+1, sk].
Доведення. Твердження випливає з упорядкування для кожного k ≥ 1 ланцю-
гових дробiв
[k1, k2, . . . , k2n, k] ≥ [k1, k2, . . . , k2n, k, . . .] ≥
≥ [k1, k2, . . . , k2n, k, 1] = [k1, k2, . . . , k2n, k + 1]
та очевидного прямування [k1, k2, . . . , k2n, k] → [k1, k2, . . . , k2n] при k → +∞, з
урахуванням неперервностi ρ(s) i означення класiв L2
c,p/q.
Зауваження 3. Кожне рацiональне число
p
q
∈ [0, 1) можна подати єдиним
чином у виглядi ланцюгового дробу парної довжини.
Ми описали клас пiднять Lrc,p/q, r ≥ 2, таких, що дифеоморфiзм кола глад-
костi Cr зi зламом з пiдняттям у цьому класi має єдину q -перiодичну траєкторiю
параболiчного типу, тобто таку, яка з одного боку (лiвого) притягує траєкторiї, а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1098 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
з iншого (правого) — вiдштовхує, при цьому перша похiдна вiд його iтерацiї T q в
точках цiєї траєкторiї дорiвнює одиницi, а друга є додатною. Для бiльш глибоко-
го вивчення динамiки iтерацiй таких вiдображень нам знадобиться iнструментарiй
параболiчної ренормалiзацiї.
4. Параболiчна ренормалiзацiя. Прикладна важливiсть вивчення одновимiр-
них динамiчних систем iз дискретним часом у випадку, коли графiк вiдповiдно-
го вiдображення майже дотикається до графiка тотожного вiдображення, вперше
обґрунтовано в теорiї так званого перемежовування Помо й Манневiлля [14]. Цi
автори зауважили, що в багатьох дисипативних системах (наприклад, в системi
Лоренца) перехiд вiд притягуючого циклу до хаотичного атрактора типово вiдбу-
вається через характерну промiжну поведiнку, в якiй майже перiодичний рух (ре-
гулярнi осциляцiї) перемежовується „спалахами” хаотичного руху. Пояснити це їм
вдалося, коли виявилося, що певне вiдображення Пуанкаре в цьому випадку пово-
диться саме як гладка функцiя, графiк якої при бiфуркацiйному значеннi параметра
дотикається до графiка тотожного вiдображення (параболiчна нерухома точка), при
менших значеннях перетинає його — при цьому система має притягуючий цикл,
а при бiльших майже дотикається, утворюючи вузеньку „воронку” повз нього —
при цьому регулярнi осциляцiї вiдповiдають руху траєкторiї через цю воронку, а
хаотичнi спостерiгаються вiд одного потрапляння в неї до iншого. Виявилося, що
в голоморфному випадку iснує класичний iнструмент дослiдження такої ситуацiї,
який має назву „координати Фату” (див. [15]) i по сутi визначає ренормалiзацiю
iтерацiї нескiнченного порядку даного вiдображення в околi параболiчної нерухо-
мої точки. На дiйсний випадок цей пiдхiд було узагальнено О. Ланфордом (але
не опублiковано) i використано, наприклад, у [16]. Отже, за неможливiстю вказа-
ти посилання ми змушенi будемо означити в цьому пунктi „фольклорне” поняття
параболiчної ренормалiзацiї для дiйсних вiдображень скiнченної гладкостi.
Асимптотику траєкторiї одновимiрного вiдображення в околi точки дотику або
майже дотику до тотожного вивчено досить непогано методами класичного мате-
матичного аналiзу. У випадку вiдображення низької гладкостi асимптотику таких
його iтерацiй пораховано в [5] (леми 5 та 6; їх же сформульовано в [4] як леми 4
та 5 вiдповiдно). Але для необхiдної тут конструкцiї параболiчних ренормалiзацiй
достатньо наступного бiльш простого твердження.
Лема 1. Нехай функцiя F : [0, B]→ R строго зростає i задовольняє асимп-
тотичну оцiнку вигляду F (x) = x−ax2+O(x3), причому F (x) < x для всiх x 6= 0.
Тодi для кожного 0 < A < B рiвномiрно по x ∈ [A,B] та n ≥ 2 виконуються
оцiнки
Fn(x) = a−1n−1 +O(n−2 lnn), (2)
Fn+1(x)− Fn(x) = −a−1n−2 +O(n−3 lnn). (3)
Доведення. Оцiнку (2) легко вивести, наприклад, з побудов роздiлу 8.5 кни-
ги [17]. Оцiнка (3) є безпосереднiм наслiдком (2) та оцiнки F (x)−x = −ax2+O(x3)
з умови.
Для дiйсної функцiї F, яка строго зростає на вiдрiзку [A,B], означимо її афiнну
нормалiзацiю NF,[A,B] : [0, 1]→ [0, 1] згiдно з формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1099
NF,[A,B](t) =
F (A+ t(B −A))− F (A)
F (B)− F (A)
.
Очевидно, що афiнна нормалiзацiя композицiї двох функцiй є композицiєю їхнiх
афiнних нормалiзацiй: NG◦F,[A,B] = NG,[F (A),F (B)] ◦NF,[A,B].
Нехай L ∈ L3
c,p/q. Позначимо через d+ > 0 та d− < 0 найближчi до нуля неру-
хомi точки функцiї f = Lq − p (вони ж є точками дотику графiкiв f та Id). Роз-
глянемо двi послiдовностi функцiй ΦL,+,n = Nfn,[0,f(0)], ΦL,−,n = Nf−n,[0,f(0)],
n ≥ 0.
Лема 2. Послiдовностi ΦL,+,n, ΦL,−,n, n ≥ 1, у просторi C1([0, 1]) збiга-
ються до певних граничних функцiй ΦL,+ та ΦL,− вiдповiдно. Для цих функцiй
виконуються нерiвностi Φ′L,+,Φ
′
L,− > 0 та рiвностi ΦL,+(0) = ΦL,−(0) = 0,
ΦL,+(1) = ΦL,−(1) = 1.
Доведення. Очевидно, що
Φ′L,+,n(t) =
f(0)
fn+1(0)− fn(0)
n−1∏
j=0
(f ′(f j(f(0)t))) > 0
для всiх n ≥ 0, оскiльки f ′ > 0 (в точцi нуль похiдну вiд f беремо справа). Легко
бачити, що при замiнi координат x 7→ d+ − x лема 1 стає застосовною до функцiї
f. З оцiнок (2), (3) та формули Ейлера
∑n−1
j=1
j−1 = lnn+ const +αn, де αn → 0
при n→ +∞, випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1] оцiнка
ln Φ′L,+,n(t)− ln Φ′L,+,n+k(t) =
= ln
fn+k+1(0)− fn+k(0)
fn+1(0)− fn(0)
−
n+k−1∑
j=n
ln f ′(f j(f(0)t)) =
= ln
2(f ′′(d+))−1(n+ k)−2 +O((n+ k)−3 ln(n+ k))
2(f ′′(d+))−1n−2 +O(n−3 lnn)
−
−
n+k−1∑
j=n
ln f ′(d+ − 2(f ′′(d+))−1j−1 +O(j−2 ln j)) =
= 2 lnn− 2 ln(n+ k) +O(n−1 lnn)+
+
n+k−1∑
j=n
(
(ln f ′)
′
(d+) · 2(f ′′(d+))−1j−1 +O(j−2 ln j)
)
=
= 2 lnn− 2 ln(n+ k) + 2
n+k−1∑
j=n
j−1 +O(n−1 lnn)+
+O
+∞∑
j=n
j−2 ln j
= O(βn),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1100 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
де βn → 0 при n → +∞. Отже, послiдовнiсть неперервних функцiй ln Φ′L,+,n,
n ≥ 0, є фундаментальною за неперервною нормою, а тому рiвномiрно обмеже-
ною i рiвномiрно збiгається до певної неперервної функцiї. З цього випливає, що
послiдовнiсть Φ′L,+,n, n ≥ 0, рiвномiрно збiгається до певної вiдокремленої вiд
нуля додатної неперервної функцiї. А оскiльки для всiх n ≥ 0 має мiсце рiвнiсть
ΦL,+,n(0) = 0 (i так само ΦL,+,n(1) = 1) , то збiжнiсть послiдовностi похiдних за
неперервною нормою обумовлює збiжнiсть послiдовностi власне функцiй ΦL,+,n,
n ≥ 0, за C1 -нормою.
Для послiдовностi ΦL,−,n доведення є повнiстю аналогiчним, якщо зауважити,
що замiна x 7→ x− d− дозволяє застосувати лему 1 до оберненої функцiї f−1.
Лему 2 доведено.
Функцiю RL = ΦL,+◦Φ−1L,− ∈ C1([0, 1]) назвемо параболiчною ренормалiзацiєю
пiдняття L ∈ L3
c,p/q (чи то вiдповiдного дифеоморфiзму кола зi зламом TL).
Твердження 2. Нехай два дифеоморфiзми кола зi зламом T, T̃ з пiдняттями
L = LT , L̃ = LT̃ з класу L3
c,p/q є C1 -гладко спряженими, тобто ϕ ◦T ◦ϕ−1 = T̃
для певного C1 -гладкого дифеоморфiзму кола ϕ. Тодi RL = RL̃.
Доведення. З динамiчних мiркувань очевидно, що спряження ϕ переводить
точку зламу T в точку зламу T̃ i (єдину) перiодичну траєкторiю T в перiодичну
траєкторiю T̃ . Вiдповiдно, пiдняття ψ = Lϕ є C1 -гладким дифеоморфiзмом дiйс-
ної прямої, що, зокрема, має наступнi властивостi: ψ◦L◦ψ−1 = L̃, ψ◦f ◦ψ−1 = f̃ ,
ψ(0) = 0, ψ(dσ) = d̃σ, де σ ∈ {+,−}, а d̃σ позначає найближчу до нуля з вiдпо-
вiдного боку нерухому точку функцiї f̃ = L̃q − p.
Зрозумiло, що Nf2n,[f−n(0),f−n+1(0)] = Φn,+ ◦ Φ−1n,− → RL та
Nf̃2n,[f̃−n(0),f̃−n+1(0)] → RL̃ при n → +∞ за C1 -нормою. Оскiльки [f̃−n(0),
f̃−n+1(0)] = ψ[f−n(0), f−n+1(0)], [f̃n(0), f̃n+1(0)] = ψ[fn(0), fn+1(0)] i ψ◦f2n =
= f̃2n ◦ ψ, то маємо рiвнiсть Nψ,[fn(0),fn+1(0)] ◦ Nf2n,[f−n(0),f−n+1(0)] =
= Nf̃2n,[f̃−n(0),f̃−n+1(0)] ◦ Nψ,[f−n(0),f−n+1(0)]. Для завершення доведення досить
зауважити, що Nψ,[fn(0),fn+1(0)], Nψ,[f−n(0),f−n+1(0)] → Id за C1 -нормою хоча б
тому, що ψ′ неперервна й додатна в околi точок d+ та d−, до яких у границi
стягуються вiдрiзки [fn(0), fn+1(0)] та [f−n(0), f−n+1(0)] вiдповiдно.
Твердження доведено.
5. Збурення, що змiнюють параболiчну ренормалiзацiю. Наша наступна
мета — показати, що як завгодно малi збурення пiдняття L, якi мають вигляд
певних 1-перiодичних тригонометричних полiномiв (тобто сум вигляду a0 +
+
∑m
k=1
(ak cos 2πkx+ bk sin 2πkx)) , змiнюють його параболiчну ренормалiзацiю.
Отже, нехай пiдняття L ∈ L4
c,p/q зафiксовано. Неважко побудувати 1-перiодич-
ний iнтерполяцiйний тригонометричний полiном PL(x), який задовольняє на-
ступнi рiвностi: PL(Lj(0)) = 0, 0 ≤ j < 2q; PL(Lj(d+)) = P ′L(Lj(d+)) = 0,
0 ≤ j < q; PL
(
1
2
f(0)
)
= 1. З iншого боку, розглянемо 1-перiодичну функцiю
∆L класу C∞, яка дорiвнює нулевi зовнi iнтервалiв (0, f(0)) + Z, додатна на
цих iнтервалах, i ∆L
(
1
2
f(0)
)
= 1 є її максимальним значенням на (0, f(0)).
Для кожного η > 0 знайдеться 1-перiодичний апроксимуючий тригонометричний
полiном Pη(x) такий, що maxx
∣∣P (k)
η (x) − ∆
(k)
L (x)
∣∣ ≤ η, 0 ≤ k ≤ 3. Позна-
чимо v(x) = (PL(x))2Pη(x). Збурення v(x) є 1-перiодичним тригонометричним
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1101
полiномом, що має наступний ряд властивостей: v(Lj(0)) = 0, 0 ≤ j < 2q;
v(k)(Lj(d+)) = 0, 0 ≤ k ≤ 2, 0 ≤ j < q; |v(x)| ≤ (1 + η)P 2
L(x), x ∈ R;
v(k)(x) = O(η), 0 ≤ k ≤ 3, рiвномiрно по x 6∈ (0, f(0))+Z;
∣∣∣∣v(1
2
f(0)
)
− 1
∣∣∣∣ ≤ η.
Очевидно, що при достатньо малих ε > 0 та η > 0 збурене вiдображення
L + εv належить до класу пiднять Lrc,p/q, причому вiдрiзок траєкторiї точки зла-
му довжини 2q та перiодична траєкторiя у дифеоморфiзмiв кола зi зламом TL
та TL+εv однi й тi самi, до того ж значення першої та другої похiдної в точках
перiодичної траєкторiї також є тими самими для TL i TL+εv. Вiдповiдно, для
функцiї g = (L + εv)q − p виконуються рiвностi g(0) = f(0), g2(0) = f2(0),
g(dσ) = f(dσ) = dσ, g
′(dσ) = f ′(dσ) = 1, g′′(dσ) = f ′′(dσ) > 0, де σ ∈ {+,−}.
Твердження 3. Якщо η i ε достатньо малi, то RL 6= RL+εv.
Доведення. Властивостi полiнома v(x) обумовлюють рiвномiрну по x 6∈ (0,
f(0)) + Z оцiнку ∣∣g(k)(x)− f (k)(x)
∣∣ = O(εη), 0 ≤ k ≤ 3. (4)
Справдi, цю оцiнку легко довести у виглядi
(
(L+εv)j
)(k)
(x)−(Lj)(k)(x) = O(εη),
x 6∈ (0, f(0)) + Z, скiнченною iндукцiєю по 1 ≤ j ≤ q. (Це, до речi, єдине мiсце
в доведеннi, де використовується четверта похiдна вiд L : вона необхiдна для того,
щоб вивести з оцiнки (L+ εv)j(x)− Lj(x) = O(εη) оцiнку L(3)((L+ εv)j(x))−
− L(3)(Lj(x)) = O(εη).)
Для досить малих η0 > 0, ε0 > 0 мають мiсце рiвномiрнi по x ∈ [f(0), f2(0)],
ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2 оцiнки
gn(x) = d+ − 2(f ′′(d+))−1n−1 +O(n−2 lnn), (5)
gn+1(x)− gn(x) = 2(f ′′(d+))−1n−2 +O(n−3 lnn). (6)
Вони є наслiдками рiвномiрних обмежень g∗ ≤ g ≤ g∗∗, де g∗ = (L− 2ε0P
2
L)q− p,
g∗∗ = (L+ 2ε0P
2
L)q − p, i застосування леми 1 до цих g∗ та g∗∗.
Нехай ΨL,+,n = Nfn−1,[f(0),f2(0)], n ≥ 1. Очевидно, ΦL,+,n = ΨL,+,n ◦NL, де
NL = Nf,[0,f(0)], i iснує границя ΨL,+ = limn→+∞ΨL,+,n ∈ C1([0, 1]), при цьому
ΦL,+ = ΨL,+ ◦ NL, а отже параболiчна ренормалiзацiя RL = ΨL,+ ◦ NL ◦ Φ−1L,−;
також маємо ΨL,+(0) = 0, ΨL,+(1) = 1 та Ψ′ > 0. Ми покажемо, що вiдмiннiсть
мiж функцiями ΨL,+ та ΨL+εv,+, а також мiж ΦL,− та ΦL+εv,− має порядок
εη, тодi як функцiї NL та NL+εv вiдрiзняються на величину порядку ε, з чого
випливатиме неможливiсть рiвностi RL та RL+εv.
Спочатку оцiнимо рiзницю gn − fn на вiдрiзку [f(0), f2(0)]. По-перше, з (5)
випливає рiвномiрна оцiнка f ′(gn(x)) = f ′(d+−2(f ′′(d+))−1n−1+O(n−2 lnn)) =
= 1 − 2n−1 + O(n−2 lnn), n ≥ 2. По-друге, внаслiдок (5) та (4) з урахуванням
(g−f)(k)(d+) = 0, 0 ≤ k ≤ 2, маємо g(gn(x))−f(gn(x)) = (g−f)(d++O(n−1)) =
= O(εηn−3), n ≥ 2. Складаючи цi двi оцiнки, одержуємо, що iснує таке C > 0,
що ∣∣gn+1(x)− fn+1(x)
∣∣ ≤ Cεηn−3 + (1− 2n−1 + Cn−2 lnn)|gn(x)− fn(x)|
для всiх n ≥ 2, x ∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0]. Телескопуючи останню
нерiвнiсть, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1102 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
|gn+1(x)− fn+1(x)| ≤
≤ Cεη
(
n−3 +
n∑
k=n0+1
Pnk (k − 1)−3
)
+ Pnn0
|gn0(x)− fn0(x)| (7)
для всiх n ≥ n0 ≥ 2, де Pnk =
∏n
j=k
(1− 2j−1 + Cj−2 ln j). Вважатимемо n0 на-
стiльки великим, що ln(1− 2j−1 +Cj−2 ln j) = −2j−1 +Cj−2 ln j +O((−2j−1 +
+ Cj−2 ln j)2) ≤ −2j−1 + 2Cj−2 ln j при j ≥ n0. Тодi для n0 ≤ k ≤ n має-
мо lnPnk ≤
∑n
j=k
(−2j−1 + 2Cj−2 ln j) = 2(ln(k − 1) − lnn + αk−1 − αn +
+ C
∑n
j=k
j−2 ln j) за формулою Ейлера, а отже, Pnk ≤ C1(k − 1)2n−2, де C1 =
= exp
(
4 maxj≥n0−1 |αj |+ 2C
∑+∞
j=n0
j−2 ln j
)
. З одержаної нерiвностi виводимо
оцiнку на суму у великих дужках в (7): n−3 +
∑n
k=n0+1
Pnk (k − 1)−3 ≤ n−3 +
+ C1
∑n
k=n0+1
(k − 1)−1n−2 ≤ C1n
−2
∑n
j=n0
j−1 = C1n
−2(lnn − ln(n0 − 1) +
+ αn − αn0−1) = O(n−2 lnn). У пiдсумку з (7) отримуємо рiвномiрну по x ∈
∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2 оцiнку
gn(x)− fn(x) = O(εηn−2 lnn). (8)
Наступним кроком оцiнимо рiзницю ln Ψ′L+εv,+ − ln Ψ′L,+. Нехай x = f(0) +
+ t(f2(0) − f(0)), t ∈ [0, 1]. За означенням функцiй ΨL,+,n та ΨL+εv,+,n має-
мо ln Ψ′L,+,n(t) = ln
(
f2(0) − f(0)
)
− ln
(
fn+1(0) − fn(0)
)
+
∑n−2
j=0
ln f ′(f j(x)),
ln Ψ′L+εv,+,n(t) = ln
(
g2(0)− g(0)
)
− ln
(
gn+1(0)− gn(0)
)
+
∑n−2
j=0
ln g′(gj(x)), а
отже, з урахуванням g(0) = f(0), g2(0) = f2(0) дiстаємо
ln Ψ′L+εv,+,n(t)− ln Ψ′L,+,n(t) = ln
fn+1(0)− fn(0)
gn+1(0)− gn(0)
+
+
n−2∑
j=1
(
ln f ′(gj(x))− ln f ′(f j(x))
)
+
n−2∑
j=0
(
ln g′(gj(x))− ln f ′(gj(x))
)
. (9)
Оцiнимо кожен iз трьох доданкiв у правiй частинi (9) окремо. Внаслiдок (6) пер-
ший iз них є O(n−1 lnn). Другий є O(εη), оскiльки ln f ′(gj(x))− ln f ′(f j(x)) =
= O(εηj−2 ln j), 2 ≤ j ≤ n − 2, згiдно з (8), а ряд
∑+∞
j=2
j−2 ln j збiгаєть-
ся, тодi як при j = 1 досить використати (4). Третiй доданок також є O(εη),
тому що g′(gj(x)) − f ′(gj(x)) = O(εηj−2) внаслiдок (4) та (5) з урахуванням
(g − f)′(d+) = 0, (g − f)′′(d+) = 0, а ряд
∑+∞
j=2
j−2 збiгається. Всi записанi тут
оцiнки є рiвномiрними по x ∈ [f(0), f2(0)], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] та n ≥ 2. Отже,
спрямувавши n→ +∞, з (9) дiстанемо ln Ψ′L+εv,+(t)− ln Ψ′L,+(t) = O(εη), з чого
одразу випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] оцiнка
ΨL+εv,+(t)−ΨL,+(t) = O(εη). (10)
Аналогiчним чином доводиться, що ln Φ′L+εv,−(t)− ln Φ′L,−(t) = O(εη), з чого
випливає рiвномiрна по t ∈ [0, 1], ε ∈ [0, ε0], η ∈ (0, η0] оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1103
Φ−1L+εv,−(t)− Φ−1L,−(t) = O(εη). (11)
З iншого боку,
g
(
f(0)
2
)
− f
(
f(0)
2
)
= (L+ εv)q
(
f(0)
2
)
− Lq
(
f(0)
2
)
=
= Lq−1
(
(L+ εv)
(
f(0)
2
))
− Lq−1
(
L
(
f(0)
2
))
+O(εη) =
= (Lq−1)′
(
L
(
f(0)
2
))
ε+O(ε2) +O(εη)
(тут ми використали оцiнку ((L+εv)q−1)(x)−Lq−1(x) = O(εη) для x 6∈ (0, f(0))+
+ Z, див. доведення оцiнки (4) вище). Вiдповiдно, має мiсце рiвномiрна по ε ∈
∈ (0, ε0] та η ∈ (0, η0] оцiнка
NL+εv (1/2)−NL (1/2) = Kε+O(ε2) +O(εη), (12)
де K =
(
(f2(0)− f(0))
)−1
(Lq−1)′
(
L
(
f(0)
2
))
> 0.
Збираючи разом оцiнки (10), (11) та (12), в точцi t∗ = ΦL,−(1/2) отримуємо
RL+εv(t∗) − RL(t∗) = Ψ′L,+(θ)Kε + O(ε2) + O(εη), де θ — певна точка мiж
NL+εv(Φ
−1
L+εv(t∗)) та NL(1/2). Очевидно, що при досить малих η та ε з останньої
оцiнки випливає, що RL+εv(t∗)−RL(t∗) ≥ K1ε iз K1 =
1
2
KΨ′L,+(NL(1/2)) > 0,
отже, RL+εv 6= RL.
Твердження доведено.
6. Побудова прикладу. Нам знадобляться деякi нескладнi конструкцiї з областi
функцiонального аналiзу (див., наприклад, [18]).
По-перше, клас H1+(T1) усiх зберiгаючих орiєнтацiю дифеоморфiзмiв кола,
якi переводять нуль в нуль i мають гладкiсть C1+γ хоча б для якогось γ > 0,
можна подати як об’єднання злiченної кiлькостi класiв Kn, n ≥ 0, що є компакт-
ними за C1 -топологiєю. Наприклад, за Kn можна взяти множину усiх C1 -гладких
дифеоморфiзмiв, що задовольняють нерiвнiсть |ϕ′(ξ1) − ϕ′(ξ2)| ≤ Mn|ξ1 − ξ2|γn
(тут |ξ1 − ξ2| — довжина меншої з двох дуг кола з кiнцями ξ1 i ξ2) , де Mn, γn —
довiльнi монотоннi послiдовностi додатних чисел, перша з яких прямує до нескiн-
ченностi, а друга — до нуля. Очевидно, що Kn ⊂ Kn+1 i H1+(T1) =
⋃+∞
n=0Kn, а
компактами за C1 -топологiєю кожен iз класiв Kn є внаслiдок теореми Арцела.
По-друге, неважко переконатися, що функцiя
dist(f, g) = D(f − g),
де
D(f) =
+∞∑
m=1
2−m
max|z|≤m |f(z)|
max|z|≤m |f(z)|+ 1
,
задає скiнченну метрику на просторi всiх цiлих голоморфних функцiй, причому в
iндукованiй нею топологiї цей простiр є повним, i збiжнiсть послiдовностi функцiй
за цiєю метрикою обумовлює рiвномiрну збiжнiсть їхнiх похiдних усiх порядкiв на
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
1104 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
усiх компактних пiдмножинах C. Такий самий запис dist(L, L̃) для функцiй L, L̃ ∈
∈ LEc позначатиме означену вище вiдстань мiж цiлими голоморфними функцiями,
до яких продовжуються обмеження L, L̃ на вiдрiзок [0, 1].
Необхiдним для доведення теореми 1 прикладом стане границя послiдовностi
пар пiднять Ln, L̃n ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1], n ≥ 0, RLn 6= RL̃n
, для побудови яких
буде використано наступну iндуктивну процедуру. В якостi бази виберемо довiльне
пiдняття L0 ∈ LEc,0 i L̃0 = L0 + ε0v0 — його збурення, побудоване вiдповiдно до
п. 5 таким чином, що RL0
6= RL̃0
.
Для кожної вже побудованої пари Ln, L̃n ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1], n ≥ 0, RLn 6=
6= RL̃n
, знайдеться таке δ∗n > 0, що жоднi два дифеоморфiзми кола зi зламом,
чиї пiдняття L, L̃ ∈ LEc лежать в замкнених δ∗n -околах (за метрикою dist) пiднять
Ln, L̃n вiдповiдно, не можуть бути спряженими за допомогою дифеоморфiзму з
множини Kn. Справдi, якби це було не так, то iснувала б послiдовнiсть дифео-
морфiзмiв ϕn,j ∈ Kn, j ≥ 1, i пiднять Ln,j , L̃n,j ∈ LEc таких, що Ln,j → Ln,
L̃n,j → L̃n при j → +∞ за метрикою dist, i ψn,j ◦ Ln,j ◦ ψ−1n,j = L̃n,j , де
ψn,j = Lϕn,j . Оскiльки множина Kn компактна за C1 -топологiєю, то з цього ви-
пливала б рiвнiсть ψn ◦ Ln ◦ ψ−1n = L̃n, а отже й ϕn ◦ TLn
◦ ϕ−1n = TL̃n
з певним
ψn = Lϕn , ϕn ∈ Kn, тому за твердженням 2 мала б мiсце рiвнiсть RLn = RL̃n
,
що суперечить припущенню щодо пари Ln, L̃n.
Покладемо δ0 = δ∗0 , δn = min
{
2−n, δ∗n, δn−1 − dist(Ln, Ln−1), δn−1 −
−dist(L̃n, L̃n−1)
}
при n ≥ 1. Вiдповiдно до твердження 1 (та зауваження до
нього), знайдуться такi досить малi un > 0 та ũn > 0, що ρ(Ln + un) =
= ρ(L̃n + ũn) = [k1, 1, k2, 1, . . . , 1, kn, 1, kn+1, 1] з певним досить великим kn+1,
i при цьому D(un) < δn, D(ũn) < δn/2. Якщо RLn+1
6= RL̃n+ũn
, то по-
кладаємо Ln+1 = Ln + un, L̃n+1 = L̃n + ũn, в протилежному випадку бере-
мо L̃n+1 = L̃n + ũn + εnvn, де збурення εnvn побудовано вiдповiдно до п. 5
таким чином, що RL̃n+ũn
6= RL̃n+1+ũn+εnvn
, причому εn настiльки мале, що
D(εnvn) < δn/2 i εn|v′′n| < 2−n infx∈(0,1) L̃
′′
0(x). В результатi одержуємо пiдняття
Ln+1, L̃n+1 ∈ LEc,[k1,1,k2,1,...,1,kn,1,kn+1,1]
, RLn+1
6= RL̃n+1
, dist(Ln+1, Ln) < δn,
dist(L̃n+1, L̃n) < δn.
Побудованi описаним чином послiдовностi Ln, L̃n, n ≥ 0, задовольняють
нерiвностi dist(Ln+m, Ln) < δn ≤ δ∗n, dist(L̃n+m, L̃n) < δn ≤ δ∗n для всiх
n,m ≥ 0, причому δn → 0, n → +∞. Внаслiдок повноти цi послiдовностi збi-
гаються у просторi цiлих голоморфних функцiй, граничнi цiлi голоморфнi функцiї
породжують певнi пiдняття L, L̃ ∈ LEc вiдповiдно
(
рiвностi L(1) = L(0) + 1,
L′(1−) = c2L′(0+) та L̃(1) = L̃(0) + 1, L̃′(1−) = c2L̃′(0+) виконуються внаслi-
док граничного переходу; L′′ = L′′0 > 0, L̃′′ = L′′0 −
∑
n
εnv
′′
n > 0 за побудовою;
L(0), L̃(0) ∈ (0, 1), оскiльки їхнє число обертання iррацiональне
)
, i число обер-
тання ρ(L) = ρ(L̃) = [k1, 1, k2, 1, . . . , 1, kn, 1, . . .] внаслiдок його неперервностi як
функцiї пiдняття. З iншого боку, L та L̃ належать δ∗n -околам Ln та L̃n вiдповiдно
для кожного n ≥ 0, а тому вони не можуть бути спряженi жодним дифеоморфiзмом
з
⋃+∞
n=0Kn = H1+(T1), що й потрiбно було довести.
Автор висловлює подяку С. Колядi, I. Мiтельману, В. Савчуку, К. Ханiну,
М. Якобсону та М. Ямпольському за допомогу у з’ясуваннi окремих питань.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
ПРИКЛАДИ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ, ЯКI СПРЯЖЕНI C1 -ГЛАДКО . . . 1105
1. Denjoy A. Sur les courbes definies par les equation differentielles a la surface du tore // J. math. pures
et appl. – 1932. – 11. – P. 333 – 375.
2. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР. –
1961. – 25, № 1. – С. 21 – 86.
3. Herman M.-R. Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations //
I. H. E. S.Publ.Math. – 1979. – 49. – P. 5 – 233.
4. Теплинский А. Ю., Ханин К. М. Жесткость для диффеоморфизмов окружности с особенностями //
Успехи мат. наук. – 2004. – 59, № 2. – С. 137 – 160.
5. Khanin K., Teplinsky A. Robust rigidity for circle diffeomorphisms with singularities // Invent. math. –
2007. – 169, № 1. – P. 193 – 218.
6. Теплiнський О. Ю., Ханiн К. М. Гладке спряження дифеоморфiзмiв кола зi зламом // Нелiнiйнi
коливання. – 2010. – 13, № 1. – С. 100 – 114.
7. Avila A. On rigidity of critical circle maps. – Paris, 2005. – 5 p. – Preprint / Univ. Paris 6. (Available
from http://www.impa.br/∼avila/circle.pdf).
8. Вул Е. Б., Ханин К. М. Гомеоморфизмы окружности с особенностью типа излома // Успехи мат.
наук. – 1990. – 45, № 3. – С. 189 – 190.
9. Khanin K. M., Vul E. B. Circle homeomorphisms with weak discontinuities // Proc. Int. Conf. “Dynamical
systems and statistical mechanics” (Moscow, 1991). – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. –
P. 57 – 98.
10. Khanin K., Khmelev D. Renormalizations and rigidity theory for circle homeomorphisms with
singularities of break type // Communs Math. Phys. – 2003. – 235, № 1. – P. 69 – 124.
11. Теплiнський О. Ю. Гiперболiчна пiдкова для дифеоморфiзмiв кола зi зламом // Нелiнiйнi коливання.
– 2008. – 11, № 1. – С. 112 – 127.
12. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
13. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Физматгиз, 1960. – 112 с.
14. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems //
Communs Math. Phys. – 1980. – 74, № 2. – P. 189 – 197.
15. Milnor J. Dynamics in one complex variable. – 3 rd ed. // Ann. Math. Stud. – Princeton, NJ: Princeton
Univ. Press, 2006. – 160. – 310 p.
16. Bleher P. M., Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for some maps of the circle //
Statistical Physics and Dinamical Systems. Progress in Physics. – 1985. – 10. – P. 303 – 315.
17. де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 247 с.
18. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 443 с.
Одержано 12.01.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166193 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:34:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Теплінський, О.Ю. 2020-02-18T07:02:05Z 2020-02-18T07:02:05Z 2010 Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко / О.Ю. Теплінський // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 8. — С. 1092–1105. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166193 517.9 Доказано существование двух действительно-аналитических диффеоморфизмов окружности с изломом одинакового размера и иррациональным числом вращения полуограниченного типа, которые не являются C1+γ-гладко сопряженными ни для какого γ>0. Тем самым показано, что полученный ранее результат относительно C1-гладкости сопряжения таких отображений является точной оценкой на гладкость этого сопряжения. We prove the existence of two real-analytic diffeomorphisms of the circle with break of the same size and an irrational rotation number of semibounded type that are not C1+γ-smoothly conjugate for any γ > 0. In this way, we show that the previous result concerning the C1-smoothness of conjugacy for these mappings is the exact estimate of smoothness for this conjugacy. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко Examples of C1-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not C1+γ-smoothly conjugate Article published earlier |
| spellingShingle | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко Теплінський, О.Ю. Статті |
| title | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко |
| title_alt | Examples of C1-smoothly conjugate diffeomorphisms of the circle with break that are not C1+γ-smoothly conjugate |
| title_full | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко |
| title_fullStr | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко |
| title_full_unstemmed | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко |
| title_short | Приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені C1-гладко, але не C1+γ-гладко |
| title_sort | приклади дифеоморфізмів кола зі зламом, які спряжені c1-гладко, але не c1+γ-гладко |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166193 |
| work_keys_str_mv | AT teplínsʹkiioû prikladidifeomorfízmívkolazízlamomâkísprâženíc1gladkoalenec1γgladko AT teplínsʹkiioû examplesofc1smoothlyconjugatediffeomorphismsofthecirclewithbreakthatarenotc1γsmoothlyconjugate |