Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений

Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений

Доведено, що відкрите дискретне Q-відображення f:D→Rn має неперервне продовження в ізольовану межову точку, якщо функція Q(x) має скінченне середнє коливання, або логарифмічні сингулярності порядку не вище, ніж n - 1 у цій точці. Більш того, продовжене відображення також є відкритим, дискретним і Q-...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2009
1. Verfasser: Севостьянов, Е.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2009
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166204
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений / Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 116-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166204
record_format dspace
spelling Севостьянов, Е.А.
2020-02-18T07:21:58Z
2020-02-18T07:21:58Z
2009
Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений / Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 116-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166204
517.5
Доведено, що відкрите дискретне Q-відображення f:D→Rn має неперервне продовження в ізольовану межову точку, якщо функція Q(x) має скінченне середнє коливання, або логарифмічні сингулярності порядку не вище, ніж n - 1 у цій точці. Більш того, продовжене відображення також є відкритим, дискретним і Q-відображенням. Як наслідок, отримано аналог добре відомої теореми Сохоцького - Вейєрштрасса щодо Q-відображень. Зокрема, доведено, що в околі суттєвої особливої точки відкрите дискретне Q-відображення набуває будь-якого значення нескінченно багато разів, крім, можливо, деякої множини, що має ємність нуль.
We prove that an open discrete Q-mapping f:D→Rn has a continuous extension to an isolated boundary point if the function Q(x) has finite mean oscillation or logarithmic singularities of order at most n – 1 at this point. Moreover, the extended mapping is open and discrete and is a Q-mapping. As a corollary, we obtain an analog of the well-known Sokhotskii–Weierstrass theorem on Q-mappings. In particular, we prove that an open discrete Q-mapping takes any value infinitely many times in the neighborhood of an essential singularity, except, possibly, for a certain set of capacity zero.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
Removal of singularities and analogs of the Sokhotskii–Weierstrass theorem for Q-mappings
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
spellingShingle Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
Севостьянов, Е.А.
Статті
title_short Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
title_full Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
title_fullStr Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
title_full_unstemmed Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений
title_sort устранение особенностей и аналоги теоремы сохоцкого - вейерштрасса для q-отображений
author Севостьянов, Е.А.
author_facet Севостьянов, Е.А.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2009
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Removal of singularities and analogs of the Sokhotskii–Weierstrass theorem for Q-mappings
description Доведено, що відкрите дискретне Q-відображення f:D→Rn має неперервне продовження в ізольовану межову точку, якщо функція Q(x) має скінченне середнє коливання, або логарифмічні сингулярності порядку не вище, ніж n - 1 у цій точці. Більш того, продовжене відображення також є відкритим, дискретним і Q-відображенням. Як наслідок, отримано аналог добре відомої теореми Сохоцького - Вейєрштрасса щодо Q-відображень. Зокрема, доведено, що в околі суттєвої особливої точки відкрите дискретне Q-відображення набуває будь-якого значення нескінченно багато разів, крім, можливо, деякої множини, що має ємність нуль. We prove that an open discrete Q-mapping f:D→Rn has a continuous extension to an isolated boundary point if the function Q(x) has finite mean oscillation or logarithmic singularities of order at most n – 1 at this point. Moreover, the extended mapping is open and discrete and is a Q-mapping. As a corollary, we obtain an analog of the well-known Sokhotskii–Weierstrass theorem on Q-mappings. In particular, we prove that an open discrete Q-mapping takes any value infinitely many times in the neighborhood of an essential singularity, except, possibly, for a certain set of capacity zero.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166204
citation_txt Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого - Вейерштрасса для Q-отображений / Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 1. — С. 116-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT sevostʹânovea ustranenieosobennosteiianalogiteoremysohockogoveierštrassadlâqotobraženii
AT sevostʹânovea removalofsingularitiesandanalogsofthesokhotskiiweierstrasstheoremforqmappings
first_indexed 2025-11-27T01:43:17Z
last_indexed 2025-11-27T01:43:17Z
_version_ 1850791635979337728
fulltext UDK 517.5 E. A. Sevost\qnov (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck) USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ SOXOCKOHO � VEJERÍTRASSA DLQ Q-OTOBRAÛENYJ It is proved that an open discrete Q-mapping f D n: → R is removable at the isolated boundary point provided that the function Q x( ) has a finite mean oscillation or logarithmic singularities of order at most n – 1 at this point. Moreover, the extended mapping is open, discrete, and is a Q-mapping. As corollaries, an analog of the well-known Sokhotskii – Weierstrass theorem on Q-mappings are obtained. In particular, it is proved that the open discrete Q-mapping takes any value infinitely many times in the neighborhood of the essential singular point except for, possibly, some set of capacity zero. Dovedeno, wo vidkryte dyskretne Q-vidobraΩennq f D n: → R ma[ neperervne prodovΩennq v izol\ovanu meΩovu toçku, qkwo funkciq Q x( ) ma[ skinçenne seredn[ kolyvannq, abo loha- ryfmiçni synhulqrnosti porqdku ne vywe, niΩ n – 1 u cij toçci. Bil\ß toho, prodovΩene vidobraΩennq takoΩ [ vidkrytym, dyskretnym i Q-vidobraΩennqm. Qk naslidok, otrymano analoh dobre vidomo] teoremy Soxoc\koho � Vej[rßtrassa wodo Q-vidobraΩen\. Zokrema, dovedeno, wo v okoli sutt[vo] osoblyvo] toçky vidkryte dyskretne Q-vidobraΩennq nabuva[ bud\-qkoho znaçennq neskinçenno bahato raziv, krim, moΩlyvo, deqko] mnoΩyny, wo ma[ [mnist\ nul\. 1. Vvedenye. Kak yzvestno, v osnovu opredelenyq kvazykonformn¥x otobra- Ωenyj, zadann¥x v oblasty D yz Rn, n ≥ 2, poloΩeno neravenstvo M f( )Γ ≤ K M( )Γ (1) dlq proyzvol\noho semejstva Γ kryv¥x γ v oblasty D, hde M � modul\ se- mejstva kryv¥x ( vneßnqq mera, opredelennaq na semejstvax kryv¥x v R n ) , a K ≥ 1 � nekotoraq postoqnnaq. Druhymy slovamy, modul\ lgboho semejstva kryv¥x yskaΩaetsq ne bolee, çem v K raz. Na qz¥ke emkostej sootnoßenye (1) oznaçaet, çto otobraΩenye f yskaΩaet emkost\ lgboho kondensatora v D ne bolee, çem v K raz. PredpoloΩym teper\, çto v osnove opredelenyq rassmatry- vaemoho klassa otobraΩenyj, vmesto sootnoßenyq (1) leΩyt neravenstvo vyda M f( )Γ ≤ Q x x dm xn D ( ) ( ) ( )ρ∫ , (2) hde m x( ) � n -mernaq mera Lebeha, ρ � proyzvol\naq neotrycatel\naq bore- levskaq funkcyq, takaq, çto proyzvol\naq kryvaq γ semejstva Γ ymeet dlynu, ne men\ßug  1 v metryke ρ, a Q D: [ , ]→ ∞1 � fyksyrovannaq vewestvenno- znaçnaq funkcyq. V sluçae, kohda Q ( x ) ≤ K poçty vsgdu, snova pryxodym k neravenstvu (1). V obwem sluçae, poslednee neravenstvo oznaçaet, çto yska- Ωenye modulq ysxodnoho semejstva Γ proysxodyt s nekotor¥m vesom Q ( x ) (sm. [1]) M f( )Γ ≤ MQ x( )( )Γ . V dannoj stat\e rassmatryvaetsq zadaça naxoΩdenyq uslovyj na funkcyg Q ( x ) , vxodqwug v opredelenye otobraΩenyq f (sm. sootnoßenye (2)), pry kotor¥x f prodolΩaetsq po neprer¥vnosty v yzolyrovannug hranyçnug toçku. OtobraΩenye f predpolahaetsq zdes\ tol\ko otkr¥t¥m y dyskretn¥m; dlq ho- meomorfyzmov analohyçn¥e teorem¥ b¥ly poluçen¥ v [2]. Texnyka yssledova- nyq otobraΩenyj s vetvlenyem vo mnohom otlyçaetsq ot yssledovanyq homeomorfyzmov. Kak m¥ uvydym pozdnee, yz poluçenn¥x teorem v¥tekagt dovol\no ynteresn¥e sledstvyq, v çastnosty teorema Soxockoho � Vejer- ßtrassa. Toçn¥e opredelenyq y ponqtyq budut dan¥ nyΩe. © E. A. SEVOST|QNOV, 2009 116 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ … 117 Teoryq Q -homeomorfyzmov � homeomorfyzmov, dlq kotor¥x v¥polneno (2), a takΩe blyzkyx k nym klassov, razvyvalas\ v osnovnom dlq sluçaq, kohda maΩoranta prynadleΩala yzvestnomu prostranstvu BMO (funkcyj ohranyçen- noho sredneho kolebanyq po DΩonu � Nyrenberhu [3]) (sm., naprymer, [4]). Voz- moΩnost\ neprer¥vnoho prodolΩenyq v yzolyrovannug hranyçnug toçku dlq kvazyrehulqrn¥x otobraΩenyj b¥la pokazana v rabotax O. Martyo, S. Rykmana y G. Vqjsqlq (sm., naprymer, [5, 6]). 2. Predvarytel\n¥e svedenyq. Pryvedem osnovn¥e opredelenyq y obozna- çenyq, yspol\zuem¥e v dal\nejßem. Vsgdu dalee D � oblast\ v Rn, n ≥ 2. OtobraΩenye f D n: → R naz¥vaetsq dyskretn¥m, esly proobraz f y−1( ) kaΩ- doj toçky y n∈R sostoyt yz yzolyrovann¥x toçek, y otkr¥t¥m, esly obraz lgboho otkr¥toho mnoΩestva U D⊆ qvlqetsq otkr¥t¥m mnoΩestvom v R n. Vezde dalee zapys\ f D n: → R predpolahaet, çto otobraΩenye f neprer¥vno v oblasty zadanyq. Zapys\ G D� oznaçaet, çto G � kompaktnoe podmnoΩe- stvo oblasty D . Hovorqt, çto otobraΩenye f soxranqet oryentacyg (antyso- xranqet), esly topolohyçeskyj yndeks µ ( y, f, G ) > 0 ( µ ( y, f, G ) < 0 ) dlq pro- yzvol\noj oblasty G D� y proyzvol\noho y f G f G∈ ∂( ) ( )\ . V dal\nejßem B ( x0, r ) = x x x rn∈ − <{ }R : 0 , B ( r ) = x x rn∈ <{ }R : , B n = x xn∈ <{ }R : 1 , m x( ) � n -mernaq mera Lebeha. Pryvedenn¥e v¥ße ponqtyq estestvenn¥m obrazom rasprostranqgtsq na otobraΩenyq f D n: → R , hde oblast\ D n⊂ R y R n = Rn U { }∞ � odnotoçeçnaq kompaktyfykacyq Rn. Napomnym, çto boreleva funkcyq ρ : [ , ]R n → ∞0 naz¥vaetsq dopustymoj dlq semejstva Γ kryv¥x γ v Rn, esly ρ γ ( )x dx∫ ≥ 1 dlq vsex kryv¥x γ ∈ Γ . V πtom sluçae pyßem ρ ∈adm Γ . Modulem semejstva kryv¥x Γ naz¥vaetsq ve- lyçyna M ( Γ ) = inf ( ) ( ) ρ ρ ∈ ∫ admΓ n D x dm x . Pust\ Q D: [ , ]→ ∞1 � yzmerymaq po Lebehu funkcyq. OtobraΩenye f D n: → R naz¥vaetsq Q -otobraΩenyem, esly M f( )Γ ≤ Q x x dm xn D ( ) ( ) ( )ρ∫ dlq lgboho semejstva Γ kryv¥x γ v D y dlq kaΩdoj dopustymoj funkcyy ρ ∈adm Γ . Dannoe opredelenye neznaçytel\no otlyçaetsq ot vvedennoho v raz- dele  1 v [ 4 ] (sm. takΩe [7], hde modul\noe neravenstvo yzuçalos\ dlq specyal\noho klassa otobraΩenyj). Upomqnutoe v¥ße otlyçye, vproçem, nykak ne skaz¥vaetsq na pryloΩenyqx k druhym yzvestn¥m klassam otobraΩenyj (sm. poslednyj punkt). Sleduq [6] (razdel 10, hl. II), kondensatorom v R n, n ≥ 2, naz¥vaem paru E = ( A, C ) , hde A � otkr¥toe mnoΩestvo v Rn, a C � kompaktnoe podmno- Ωestvo A . Emkost\g kondensatora E naz¥vaetsq sledugwaq velyçyna: cap E = cap ( A, C ) = inf ( ) ( )u W E n A u dm x ∈ ∇∫ 0 , (3) hde W E0( ) = W A C0( , ) � semejstvo neotrycatel\n¥x neprer¥vn¥x funkcyj u : A → R s kompaktn¥m nosytelem v A takyx, çto u ( x ) ≥ 1 pry x ∈ C y u ∈ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 118 E. A. SEVOST|QNOV ∈ ACL . V formule (3), kak ob¥çno, ∇u = ( ) / ∂( )=∑ ii n u 2 1 1 2 . Napomnym, çto otobraΩenye f D n: → R naz¥vaetsq absolgtno neprer¥vn¥m na lynyqx (py- ßut f ∈ ACL ), esly v lgbom n - mernom parallelepypede P s rebramy, paral- lel\n¥my osqm koordynat, y takom, çto P D⊂ , vse koordynatn¥e funkcyy f = ( f1 , … , fn ) absolgtno neprer¥vn¥ na poçty vsex prqm¥x, parallel\n¥x osqm koordynat. Bolee podrobno o prymenenyy modulej (emkostej) v teoryy otobraΩenyj sm., naprymer, v [8], a takΩe [9]. Nekotor¥e polezn¥e svedenyq o modulqx, emkostqx, a takΩe razlyçn¥x xarakterystykax kondensatorov y svqzqx meΩdu nymy soderΩatsq v [10]. M¥ ne budem zdes\ ostanavlyvat\sq na ukazann¥x svqzqx bolee detal\no. V dal\nejßem v rasßyrennom prostranstve Rn = R n U { }∞ yspol\zuetsq sferyçeskaq (xordal\naq) metryka h ( x, y ) = π π( ) ( )x y− , hde π � stereo- hrafyçeskaq proekcyq Rn na sferu S en n( , )/ /+1 2 1 2 v Rn+1: h ( x, ∞ ) = 1 1 2+ x , h ( x, y ) = x y x y − + +1 12 2 , x ≠ ∞ ≠ y . Pust\ f D n: → R , n ≥ 2, � otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye, β : [ , )a b → Rn � nekotoraq kryvaq y x f a∈ −1( ( ))β . Kryvaq α: [ , )a c D→ naz¥vaetsq maksy- mal\n¥m podnqtyem kryvoj β pry otobraΩenyy f s naçalom v toçke x , esly: 1) α ( a ) = x ; 2) f � α = β [ , )a c ; 3) esly c < c ′ ≤ b , to ne suwestvuet kryvoj ′ ′ →α : [ , )a c D takoj, çto α = ′α [ , )a c y f � α ′ = β [ , )a c′ . Pust\ f � otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye y x f a∈ −1( ( ))β . Tohda kryvaq β ymeet maksymal\noe podnqtye pry otobraΩenyy f s naçalom v toçke x (sm. sledstvye 3.3, hl. II v [6]). Lemma 1. Pust\ E = ( A, C ) � proyzvol\n¥j kondensator v R n y ΓE � semejstvo vsex kryv¥x vyda γ : [ , )a b A→ , γ ( )a C∈ y γ I ( )\A F ≠ ∅ dlq proyzvol\noho kompakta F A⊂ . Tohda cap E = M E( )Γ (sm. predloΩenye 10.2, hl. II v [6]). Zameçanye 1. Ponqtye kondensatora y emkosty kondensatora v Rn moΩno perenesty v Rn (sm. razdel 2.1 v [5]). Lemma 1 ostaetsq spravedlyvoj dlq kon- densatorov v Rn (sm. zameçanye 10.8(1), hl. II v [6]). Hovorqt, çto kompakt C v Rn, n ≥ 2, ymeet nulevug emkost\ (pyßut cap C = 0), esly suwestvuet ohranyçennoe otkr¥toe mnoΩestvo A s C A⊂ takoe, çto cap ( A, C ) = 0. Yzvestno, çto (sm. lemmu 3.4, hl. II v [11]) v posled- nem sluçae y dlq lgboho druhoho ohranyçennoho otkr¥toho mnoΩestva A v R n, soderΩaweho C, budet v¥polneno cap ( A, C ) = 0. V protyvnom sluçae polahaem cap ( A, C ) > 0. Lehko vydet\, çto proyzvol\noe odnotoçeçnoe mno- Ωestvo C a= { } ymeet emkost\ nul\. Analohyçno tomu, kak poslednee oprede- lenye vvedeno v Rn, moΩno opredelyt\ ponqtye mnoΩestva emkosty nul\ v Rn (sm., naprymer, razdel 2.12 v [5]). Lemma 2. Pust\ E � kompaktnoe sobstvennoe podmnoΩestvo Rn takoe, çto cap E > 0. Tohda dlq kaΩdoho a > 0 suwestvuet poloΩytel\noe çyslo δ > 0 takoe, çto cap R n E C\ ,( ) ≥ δ dlq proyzvol\noho kontynuuma C ⊂ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ … 119 ⊂ R n E\ , udovletvorqgweho uslovyg h C a( ) ≥ (sm. lemmu 3.11 v [5] yly lemmu 2.6 hl. III v [6]). Zameçanye 2. Esly kompakt F v Rn, F D⊂ , ymeet emkost\ nul\, to pry kaΩdom α > 0 α - mernaq xausdorfova mera Λα( )F mnoΩestva F ravna nulg (sm. lemmu 2.13 v [5]). Sledovatel\no, mes F = 0, Int F = ∅ y D F\ qvlqetsq oblast\g po teoreme Menhera � Ur¥sona (sm., naprymer, teoremu IV.4 v [12]). 3. Osnovnaq lemma o prodolΩenyy. Lemma 3. Pust\ f n n: { }\B R0 → , n ≥ 2, � otkr¥toe dyskretnoe Q - otobraΩenye, takoe, çto cap R B n nf\ \( { })0( ) > 0. PredpoloΩym, çto suwe- stvuet ε0 > 0, ε0 < 1 takoe, çto pry ε → 0 Q x x dm xn x ( ) ( )( )ψ ε ε< < ∫ 0 = o I n( ( , ))ε ε0 , (4) hde ψ( )t � neotrycatel\naq na ( 0, ∞ ) funkcyq takaq, çto ψ( )t > 0 dlq poçty vsex t y 0 < I ( , )ε ε′ = ψ ε ε ( )t dt ′ ∫ < ∞ dlq vsex (fyksyrovann¥x) ′ε yz ( 0, ε0 ] y ε ∈ ( 0, ε′ ) . Tohda f ymeet nepre- r¥vnoe prodolΩenye f n n: B R→ v B n . Neprer¥vnost\ ponymaetsq v sm¥sle prostranstva Rn otnosytel\no xordal\noj metryky h . Dokazatel\stvo. PredpoloΩym protyvnoe, a ymenno, çto otobraΩenye f ne moΩet b¥t\ prodolΩeno po neprer¥vnosty v toçku x0 = 0. Tohda najdutsq dve posledovatel\nosty x j y ′x j , prynadleΩawye B n \ { }0 , takye, çto x j → 0 , ′x j → 0 y h f x f xj j( ( ), ( ))′ ≥ a > 0 dlq vsex j ∈ N . Ne ohranyçyvaq obwnosty rassuΩdenyj, moΩno sçytat\, çto x j y ′x j leΩat vnutry ßara B( )ε0 . PoloΩym r j = max ,{ }x xj j′ . Soedynym toçky x j y ′x j zamknutoj kryvoj, leΩawej v B rj( ) { }\ 0 . Oboznaçym πtu kryvug çerez Cj y rassmotrym kondensator Ej = ( \ ){ },B n jC0 . V sylu otkr¥tosty y neprer¥vnosty otobra- Ωenyq f f E j takΩe qvlqetsq kondensatorom. Rassmotrym semejstva kryv¥x ΓE j y Γf E j (sm. oboznaçenyq lemm¥ 1). Pust\ Γj ∗ � semejstvo maksymal\n¥x podnqtyj Γf E j pry otobraΩenyy f s naçalom v Cj , leΩawyx v B n \ { }0 . Po- kaΩem, çto Γ Γj E j ∗ ⊂ . PredpoloΩym protyvnoe. Tohda suwestvuet kryvaq β : [ , )a b n→ R semej- stva Γf E j , dlq kotoroj sootvetstvugwee maksymal\noe podnqtye α : [ , )a c → → B n \ { }0 leΩyt so svoym zam¥kanyem α v nekotorom kompakte vnutry B n \ { }0 . Sledovatel\no, α � kompakt v Bn \ { }0 . Zametym, vo-perv¥x, çto c ≠ ≠ b, poskol\ku v protyvnom sluçae β � kompakt v f A , çto protyvoreçyt us- lovyg β ∈Γf E j . Rassmotrym mnoΩestvo G = x x tn k k∈ ={ }→∞R : lim ( )α , hde t a ck ∈[ , ) takye, çto limk kt→∞ = c : lim ( )k kt→∞ α = x . Zametym, çto, perexodq k podposledovatel\nostqm, zdes\ moΩno ohranyçyt\sq monotonn¥my posledo- vatel\nostqmy tk . Dlq x ∈ G , v sylu neprer¥vnosty f v Bn \ { }0 , budem ymet\ f t f xk( ( )) ( )α → pry k → ∞ , hde t a ck ∈[ , ), tk → c pry k → ∞ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 120 E. A. SEVOST|QNOV Odnako f tk( ( ))α = β( )tk → β( )c pry k → ∞ . Otsgda zaklgçaem, çto f postoqnna na G v Bn \ { }0 . S druhoj storon¥, po uslovyg Kantora v kompakte α (sm. [13, c. 8, 9]) G = k kt c = ∞ 1 I α ([ , )) = lim sup ([ , )) k kt c →∞ α = lim inf ([ , )) k kt c →∞ α ≠ ∅ v sylu monotonnosty posledovatel\nosty svqzn¥x mnoΩestv α ([ , ))t ck y, takym obrazom, G qvlqetsq svqzn¥m po I (9.12) v [14]. Takym obrazom, v sylu dys- kretnosty f G ne moΩet sostoqt\ bolee, çem yz odnoj toçky, y kryvaq α : [ a, c ) → Bn \ { }0 prodolΩaetsq do zamknutoj kryvoj α : [ a, c ] → Bn \ { }0 . Tohda ymeem f c( ( ))α = β( )c , t. e. α( )c ∈ f c−1( ( ))β . S druhoj storon¥, moΩno po- stroyt\ (sm. sledstvye 3.3, hl. II v [6]) maksymal\noe podnqtye α′ kryvoj β [ , )c b s naçalom v toçke α( )c . Tohda, obæedynqq podnqtyq α y α′, poluçaem novoe podnqtye α″ kryvoj β, kotoroe opredeleno na [ , )a c′ , çto protyvoreçyt maksymal\nosty podnqtyq α . Takym obrazom, Γ Γj E j ∗ ⊂ . Zametym, çto Γf E j > f jΓ∗, y, sledovatel\no, M f E j ( )Γ ≤ M f j( )Γ∗ ≤ M f E j ( )Γ . (5) Zametym, çto semejstvo ΓE j razbyvaetsq na dva podsemejstva: ΓE j = ΓE j1 U ΓE j2 , (6) hde ΓE j1 � semejstvo vsex kryv¥x α ( t ) : [ a, c ) → Bn \ { }0 s naçalom v C j , ta- kyx, çto najdetsq tk ∈ [ , )a c s α( )tk → 0 pry tk → c – 0; ΓE j2 � semejstvo vsex kryv¥x α ( t ) : [ a, c ) → Bn \ { }0 s naçalom v C j takyx, çto najdetsq tk ∈ ∈ [ , )a c s dist ( )( ),α tk n∂B → 0 pry tk → c – 0. V sylu sootnoßenyj (5) y (6) M f E j ( )Γ ≤ M f M fE Ej j ( ) ( )Γ Γ 1 2 + . (7) PokaΩem, çto M f E j ( )Γ 1 = 0 dlq lgboho fyksyrovannoho j ∈ N . Zafyksyruem celoe çyslo j ≥ 1 y poloΩym lj = min ,{ }x xj j′ . Rassmotrym kol\co A jε, = = x x ln j∈ < <{ }R : ε . Po teoreme Luzyna suwestvuet borelevskaq funkcyq ψ∗( )t = ψ( )t dlq poçty vsex t . Sledovatel\no, funkcyq ρε( )x = ψ ε ε ε ∗ ∈ ∈     ( ) / \ ( , ), , , , , , x I l x A x A j j n j0 R korrektno opredelena y qvlqetsq borelevskoj. Krome toho, dlq lgboho γ ∈ΓE j1 ρε γ dx∫ ≥ 1 I l t dt j l j ( , ) ( ) ε ψ ε ∗∫ = 1 (sm. teoremu 5.7 v [9]). Sledovatel\no, ρε ∈adm ΓE j1 y, po opredelenyg Q -oto- braΩenyq, M f E j ( )Γ 1 ≤ F ( ε ) : = 1 0 I l Q x x dm x j n n x ( , ) ( ) ( )( ) ε ψ ε ε ∗ < < ∫ . (8) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ … 121 PokaΩem, çto F ( ε ) → 0. Uçyt¥vaq (4), poluçaem sootnoßenye Q x x dm xn x ( ) ( )( )ψ ε ε ∗ < < ∫ 0 = G t dt n ( ) ( )ε ψ ε ε ∗∫       0 , hde G( )ε → 0 pry ε → 0. Zametym, çto F ( ε ) = G t dt t dt l l n j j ( ) ( ) ( ) ε ψ ψ ε ε 1 0 +           ∗ ∗ ∫ ∫ . Zdes\ ψ ε ∗∫ ( )t dt l j 0 < ∞ — fyksyrovannoe çyslo, a ψ ε ∗∫ ( )t dt l j → ∞ pry ε → 0, poskol\ku velyçyna yntehrala sleva v (4) uvelyçyvaetsq pry umen\ßenyy ε . Takym obrazom, F ( ε ) → 0. Otmetym, çto levaq çast\ neravenstva (8) ne zavysyt ot ε , a j fyksyrovano. Otsgda poluçaem M f E j ( )Γ 1 = 0. Analohyçno sxeme, pryvedennoj v¥ße, rassmotrym kol\co Aj = x r xn j∈ < <{ }R : ε0 . Po teoreme Luzyna suwestvuet borelevskaq funkcyq ψ∗( )t = ψ( )t dlq poçty vsex t . Tohda funkcyq ρ j x( ) = ψ ε∗ ∈ ∈    ( )/ \ ( , ), , , , x I r x A x A j j n j 0 0 R takΩe qvlqetsq borelevskoj y ρ γ j dx∫ ≥ 1 0 0 I r t dt j rj ( , ) ( ) ε ψ ε ∗∫ = 1 dlq proyzvol\noj kryvoj γ ∈ΓE j2 . Takym obrazom, po opredelenyg Q -otobra- Ωenyq sohlasno uslovyqm (4) y (7) M f E j ( )Γ ≤ S( )rj : = 1 0 0 I r Q x x dm x j n n r xj ( , ) ( ) ( )( ) ε ψ ε ∗ < < ∫ , hde S( )rj → 0 pry j → ∞ . Okonçatel\no, po lemme 1 y v sylu sootnoßenyq (5) cap f E j → 0 pry j → ∞ . S druhoj storon¥, po lemme 2 cap f E j ≥ δ > 0 dlq vsex j ∈ N . Poluçennoe protyvoreçye oproverhaet predpoloΩenye, çto f ne ymeet predela pry x → 0 v Rn . Teorema 1. Pust\ x D0 ∈ , f : D x\ { }0 → Rn � otkr¥toe dyskretnoe Q - otobraΩenye takoe, çto cap R n f D x\ \( { })0( ) > 0. Esly q rx0 ( ) = O r n log 1 1        − (9) pry r → 0, hde q rx0 ( ) � srednee yntehral\noe znaçenye Q x( ) nad sferoj x x− 0 = r, to f ymeet neprer¥vnoe prodolΩenye f : D → Rn . V çastnosty, esly pry nekotorom ε( )x0 Q x( ) ≤ log 1 0 1 x x n −     − ∀ ∈x B x x( , ( ))0 0ε , to v¥- polneno (9) y, znaçyt, spravedlyvo zaklgçenye teorem¥. Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno sçytat\, çto x0 = 0 y B n D⊂ . Fyksyruem ε0 < 1. PoloΩym ψ ( t ) = 1 1t tlog − . Zametym, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 122 E. A. SEVOST|QNOV Q x dm x x x n x ( ) ( ) log − < < ( )∫ 1 0ε ε = ε ε0 1∫ ∫ = −( )         x r n Q x dm x x x dS dr ( ) ( ) log ≤ ≤ C dr r r nω ε ε − −∫1 1 0 log = C nω ε ε− − −1 1 0 1log log log( ) = C Inω ε ε−1 0( , ), hde I ( , )ε ε0 : = ψ ε ε ( )t dt 0∫ y C � nekotoraq postoqnnaq. NuΩnoe zaklgçenye sleduet teper\ neposredstvenno yz lemm¥ 3. 4. Koneçnoe srednee kolebanye. Hovorqt, çto funkcyq ϕ : D R→ s ϕ ∈L Dloc 1 ( ) ymeet ohranyçennoe srednee kolebanye v oblasty D , ϕ ∈BMO , esly ϕ ∗ = sup ( ) ( ) B D B BB x dm x ⊂ ∫ −1 ϕ ϕ < ∞ , hde toçnaq verxnqq hran\ beretsq po vsem ßaram B D⊂ y ϕB = B −1 × × ϕ( ) ( )x dm x B∫ � srednee znaçenye funkcyy ϕ na ßare B (sm. [3]). S cel\g uprowenyq zapysy m¥ oboznaçaem v dal\nejßem −∫ A f x dm x( ) ( ) : = 1 A f x dm x A ∫ ( ) ( ), hde, kak ob¥çno, A oboznaçaet lebehovu meru mnoΩestva A ⊆ Rn. Yzvestno, çto L D∞( ) ⊂ BMO D( ) ⊂ L Dp loc( ) (sm., naprymer, [3]). Sleduq rabote [2], vve- dem sledugwye opredelenyq. Budem hovoryt\, çto funkcyq ϕ : D → R ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x D0 ∈ (pyßem ϕ ∈FMO v x0 ) , esly lim ( ) ( ) ( , ) ε ε εϕ ϕ → − −∫ 0 0B x x dm x < ∞ , (10) hde ϕε = −∫ ϕ ε ( ) ( ) ( , ) x dm x B x0 . Zametym, çto pry v¥polnenyy uslovyq (10) voz- moΩna sytuacyq, kohda ϕε → ∞ pry ε → 0 . Naprymer, funkcyq ϕ ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 , esly v toçke x D0 ∈ v¥polneno lim ( ) ( ) ( , )ε ε ϕ → −∫ 0 0 x dm x B x < ∞ . Teorema 2. Pust\ x D0 ∈ , f D x: { }\ 0 → R n � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye takoe, çto cap R n f D x\ \( { })0( ) > 0. Esly funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 , to f ymeet neprer¥vnoe pro- dolΩenye f D n: → R . Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty, moΩno sçytat\, çto x0 0= y B n D⊂ . Pust\ ε0 1< −e . Na osnovanyy sledstvyq 2.3 v [2] dlq funkcyy 0 < < ψ ( t ) = ( )logt t− −1 1 ymeem Q x x dm xn x ( ) ( )( )ψ ε ε< < ∫ 0 = O log log 1 ε     . Zametym takΩe, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ … 123 I ( , )ε ε0 : = ε ε ψ 0 ∫ ( )t dt = log log( ) log( ) 1 1 0 / / ε ε . Ostavßaqsq çast\ utverΩdenyq sleduet yz lemm¥ 3. Sledstvye 1. V çastnosty, esly Q x dm x x x ( ) ( ) − < ∫ 0 ε = O n( )ε (11) pry ε → 0, to f ymeet neprer¥vnoe prodolΩenye v D. 5. Sledstvyq. Analoh teorem¥ Soxockoho � Vejerßtrassa. Napomnym, çto yzolyrovannaq toçka x0 hranyc¥ ∂D oblasty D v R n naz¥vaetsq ustranymoj, esly suwestvuet koneçn¥j predel lim ( ) x x f x → 0 . Esly f x( ) → ∞ pry x x→ 0, toçku x0 budem naz¥vat\ polgsom. Yzolyrovannaq toçka x0 hranyc¥ ∂D naz¥vaetsq suwestvennoj osoboj toçkoj otobraΩenyq f : D → → Rn , esly ne suwestvuet lim ( ) x x f x → 0 . Teorema 3. Pust\ x0 � yzolyrovannaq toçka hranyc¥ D , f : D → R n � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye, a funkcyq Q ( x ) ymeet koneçnoe sred- nee kolebanye v toçke x0 lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (9), (11). Esly x0 � suwestvennaq osobaq toçka otobraΩenyq f , to cap R n f U x\ \( { })0( ) = 0 dlq lgboj okrestnosty U toçky x0 . Dokazatel\stvo neposredstvenno v¥tekaet, sootvetstvenno, yz teorem 2, 1 y sledstvyq 1. Teorema 4. Pust\ x0 � yzolyrovannaq toçka hranyc¥ D , f : D → Rn � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye, a funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (9), (11). Tohda toçka x0 qvlqetsq ustranymoj dlq otobraΩenyq f v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda f ohranyçeno v nekotoroj okrestnosty U toç- ky  x0 . Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto toçka x0 ustranyma, t. e. suwestvuet predel lim ( ) x x f x → 0 = A < ∞ . Tohda f x( ) ≤ A + 1 v dostatoçno maloj ok- restnosty U toçky x0 . Obratno, pust\ suwestvuet okrestnost\ U toçky x0 takaq, çto f x( ) ≤ M dlq nekotoroho M ∈ ( 0, ∞ ) y vsex x U x∈ \ { }0 . Tohda cap R n f U x\ \( { })0( ) > 0, y zaklgçenye sleduet yz teorem¥ 3. Teorema 5. Pust\ x0 � yzolyrovannaq toçka hranyc¥ D , f : D → R n � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye, a funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (9), (11). Esly cap R n f U x\ \( { })0( ) > 0 dlq nekotoroj okrestnosty U toç- ky x0 , to f moΩet b¥t\ neprer¥vn¥m obrazom prodolΩeno do otkr¥toho dyskretnoho Q -otobraΩenyq f : D xU { }0 → Rn . Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, f prodolΩaetsq do neprer¥vnoho otob- raΩenyq f : D xU { }0 → Rn v sylu, sootvetstvenno, teorem 2, 1 y sledstvyq 1. Modul\ semejstva kryv¥x v Rn, proxodqwyx çerez toçku, raven nulg (sm. 7.9 v [9]), otkuda sleduet, çto prodolΩennoe otobraΩenye f : D xU { }0 → Rn qvlq- etsq Q -otobraΩenyem. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 124 E. A. SEVOST|QNOV Yzvestno, çto dyskretn¥e otkr¥t¥e otobraΩenyq v Rn, n ≥ 2, lybo soxra- nqgt oryentacyg, lybo ne soxranqgt (sm., naprymer, razdel 4, hl. I v [6]). Pust\, dlq opredelennosty, f soxranqet oryentacyg. PokaΩem, çto prodol- Ωennoe otobraΩenye soxranqet oryentacyg, otkr¥to y dyskretno. Oboznaçym, kak ob¥çno, çerez B Df ( ) mnoΩestvo toçek vetvlenyq otobraΩenyq f v oblas- ty D, a çerez B Df ( )′ mnoΩestvo toçek vetvlenyq otobraΩenyq f v oblasty ′D = D xU { }0 . Esly x0 � toçka lokal\noj homeomorfnosty otobraΩenyq f, dokaz¥vat\ neçeho. Pust\ toçka x B Df0 ∈ ′( ). Po teoreme Çernavskoho dim ( )B Df = dim ( ( ))f B Df ≤ ≤ n – 2 (sm., naprymer, teoremu 4.6, hl. I v [6]), hde dim oboznaçaet topolohy- çeskug razmernost\ mnoΩestva (sm. [12]). Tohda poluçym dim ( ( ))f B Df ′ ≤ n – 2, (12) tak kak f B Df( ( ))′ = f B D f xf( ( )) { ( )}U 0 , mnoΩestvo { ( )}f x0 zamknuto y topo- lohyçeskaq razmernost\ kaΩdoho yz mnoΩestv f B Df( ( )) y { ( )}f x0 ne prev¥- ßaet n – 2 (sm. sledstvye 1, hl. III, razdel 3 v [12]). Pust\ G � oblast\ v ′D s G D� ′ y y f G f G∈ ( ) ( )\ ∂ . Tohda v sylu (12) suwestvuet toçka y f B Df0 ∉ ′( ( )), prynadleΩawaq toj Ωe komponente svqznos- ty mnoΩestva R n f G\ ( )∂ , çto y y . V sylu toho, çto topolohyçeskyj yn- deks  est\ velyçyna postoqnnaq na kaΩdoj svqznoj komponente mnoΩestva R n f G\ ( )∂ (sm. § 2, hl. I v [11]), ymeem µ( , , )y f G = µ( , , )y f G0 = i x f x G f y ( , ) ( )∈ − ∑ I 1 0 > 0. Takym obrazom, otobraΩenye f soxranqet oryentacyg v ′D . Nakonec, dlq lgboho y f D∈ ′( ), v sylu dyskretnosty otobraΩenyq f v ob- lasty D, mnoΩestvo { }( )f y−1 ne bolee çem sçetno, y potomu dim ( ){ }f y−1 = 0. Sledovatel\no [15, c. 333], otobraΩenye f otkr¥to y dyskretno, çto y trebo- valos\ dokazat\. Teorema 6 (analoh teorem¥ Soxockoho � Vejerßtrassa). Pust\ x0 � yzo- lyrovannaq toçka hranyc¥ D, f D n: → R � otkr¥toe dyskretnoe Q -oto- braΩenye, a funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (9), (11). Esly x 0 � suwest- vennaq osobaq toçka otobraΩenyq f, to dlq lgboho a ∈ R n najdetsq posle- dovatel\nost\ x xk → 0 pry k → ∞ takaq, çto f x ak( ) → pry k → ∞ . Dokazatel\stvo. Dopustym, çto zaklgçenye teorem¥ neverno dlq nekoto- roho a ∈ R n . Tohda suwestvugt okrestnost\ U toçky x0 y ε0 0> takye, çto h f x a( ( ), ) ≥ ε0 ∀ ∈x U x\ { }0 y po neravenstvu treuhol\nyka d0 = h B a f U x( ( , ), ( { }))/ \ε0 02 ≥ ε0 2/ . Sledo- vatel\no, cap R n f U x\ \( { })0( ) > 0. Otsgda po teoreme 3 sleduet suwestvova- nye predela (koneçnoho yly beskoneçnoho) otobraΩenyq f v toçke x0 , çto pro- tyvoreçyt pervonaçal\nomu predpoloΩenyg o nevozmoΩnosty ustranenyq. Teorema 7. Pust\ x0 � yzolyrovannaq toçka hranyc¥ D , f D n: → R � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye, a funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke x0 lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (9), (11). Esly x0 � suwestvenno osobaq toçka otobraΩenyq f, to suwest- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 USTRANENYE OSOBENNOSTEJ Y ANALOHY TEOREMÁ … 125 vuet mnoΩestvo C ⊂ Rn emkosty nul\ typa Fσ v Rn takoe, çto N y f U x( , , { })\ 0 = ∞ (13) dlq lgboj okrestnosty U toçky x0 y dlq vsex y ∈ R n C\ . Dokazatel\stvo. Pust\ U � proyzvol\naq okrestnost\ toçky x0 . Ne ohranyçyvaq obwnosty rassuΩdenyj, moΩno sçytat\, çto x0 0= y U n= B . Rassmotrym mnoΩestva Vk = B k( ) { }/ \1 0 , k = 1, 2, … . Polahaem C = R n k k f V\ ( ) = ∞ 1 U . (14) Po teoreme 3 kaΩdoe yz mnoΩestv Bk : = Rn kf V\ ( ) v obæedynenyy pravoj çasty sootnoßenyq (14) ymeet emkost\ nul\. Tohda C takΩe ymeet emkost\ nul\ (sm., naprymer, [8, c. 126]). Ostalos\ dokazat\ sootnoßenye (13). Fyksyruem y Cn∈R \ . Tohda y f Vk k ∈ = ∞ ( ) 1 I . (15) Yz (15) v¥tekaet suwestvovanye podposledovatel\nosty { }xk ii = ∞ 1 takoj, çto xki → 0 pry i → ∞ y f xki ( ) = y, i = 1, 2, … . Teorema 7 dokazana. 6. Analohy teorem¥ Pykara. Pust\ D � oblast\ v Rn , n ≥ 2. Budem ho- voryt\, çto funkcyq ϕ : D → R ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke ∞ , esly funkcyq ϕ∗( )x = ϕ x x 2     ymeet koneçnoe srednee kolebanye v toçke 0. Zametym, çto otobraΩenye ψ( )x = x x 2 podobno otobraΩaet sferu S ( 0, r ) na sferu S ( 0, 1 / r ) , otkuda sleduet J x( , )ψ = x n−( )1 2 . Sohlasno yzloΩen- nomu, v¥polnqq zamenu peremennoj v yntehrale, m¥ moΩem pereformulyrovat\ opredelenye koneçnoho sredneho kolebanyq v toçke ∞ sledugwym obrazom. Budem hovoryt\, çto funkcyq ϕ : D → R ymeet koneçnoe srednee koleba- nye v toçke ∞ (pyßem ϕ ∈ ∞FMO( )), esly pry R → ∞ ϕ ϕ( ) ( ) x dm x x R n x R − > ∫ 2 = O Rn 1    , hde ϕR = R x dm x x n n n x R Ω ϕ( ) ( ) 2 > ∫ , a Ωn � obæem edynyçnoho ßara v R n. Analohyçno dlq beskoneçnosty moΩno pereformulyrovat\ uslovyq vyda (9), (11) sootvetstvenno: −∫ Q x dS S R ( ) ( , )0 = O R n( )[log ] −1 , (16) Q x dm x x n x R ( ) ( ) 2 > ∫ = O Rn 1    . (17) Takym obrazom, na osnovanyy teorem 2, 1 y sledstvyq 1 poluçaem sledugwee ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1 126 E. A. SEVOST|QNOV utverΩdenye. Teorema 8 (analoh teorem¥ Lyuvyllq). Pust\ f n: R → Rn � otkr¥toe dyskretnoe Q -otobraΩenye, a funkcyq Q x( ) ymeet koneçnoe srednee koleba- nye v ∞ lybo udovletvorqet xotq b¥ odnomu yz uslovyj (16), (17). Tohda cap R R n nf\ ( )( ) = 0. V çastnosty, f ne moΩet otobraΩat\ vse R n na ohra- nyçennug oblast\. 7. Neskol\ko slov o pryloΩenyy rezul\tatov k druhym yzvestn¥m klassam. Praktyçesky dlq vsex yzvestn¥x n¥ne klassov otobraΩenyj ustanov- len¥ ocenky vyda (2). Sformulyrovann¥e v stat\e rezul\tat¥ mohut b¥t\ pry- menen¥, naprymer, k otobraΩenyqm s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥ (sm., napry- mer, teoremu 6.10 [4]). Bolee toho, vse yzloΩennoe v¥ße spravedlyvo dlq tak naz¥vaem¥x otobraΩenyj s koneçn¥m yskaΩenyem. OtobraΩenye f D: → Rn naz¥vaetsq otobraΩenyem s koneçn¥m yskaΩenyem, esly f W Dn∈ loc 1, ( ) y poçty vsgdu ′f x n( ) ≤ K x J x f( ) ( , ) dlq nekotoroj funkcyy K x D( ) : [ , )→ ∞1 (sm., naprymer, [16]). Teorema 9. KaΩdoe otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye f D: → R n s koneçn¥m yskaΩenyem takoe, çto K x Ln( ) ∈ − loc 1 y mera mnoΩestva Bf toçek vetvlenyq otobraΩenyq f ravna nulg, qvlqetsq Q-otobraΩenyem s Q = = K xn−1( ) (sm., zameçanye 4.10, teoremu 6.10 y neravenstvo (4.14) v [4]). Poluçenn¥e rezul\tat¥ takΩe moΩno prymenyt\ k otobraΩenyqm typa Q na poverxnostqx (sm., naprymer, [17]). 1. Tamrazov P. M. Moduly y πkstremal\n¥e metryky v neoryentyrovann¥x y skruçenn¥x ry- manov¥x mnohoobrazyqx // Ukr. mat. Ωurn. � 1998. � 50, # 10. � S. 1388 � 1398. 2. Yhnat\ev A., Rqzanov V. Koneçnoe srednee kolebanye v teoryy otobraΩenyj // Ukr. mat. vestn. � 2005. � 2, # 3. � S. 395 � 417. 3. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl. Math. – 1961. � 14. � P. 415 – 426. 4. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. D. Anal. Math. – 2004. � 93. � P. 215 – 236. 5. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1970. � 465. � P. 1 – 13. 6. Rickman S. Quasiregular mappings. Results in Mathematic and Related Areas (3), 26. – Berlin: Springer, 1993. 7. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2003. � 22. � P. 1397 – 1420. 8. Hol\dßtejn V. M., Reßetnqk G. H. Vvedenye v teoryg funkcyj s obobwenn¥my proyz- vodn¥my y kvazykonformn¥e otobraΩenyq. � Novosybyrsk: Nauka, 1983. 9. Väisälä J. Lectures on n -dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer, 1971. – 229. 10. Zoryj N. V. Modul\n¥e, funkcyonal\n¥e y potencyal\n¥e xarakterystyky kondensatorov v oblasty; sootnoßenyq meΩdu nymy // Ukr. mat. Ωurn. � 1992. � 44, # 5. � S. 604 � 613. 11. Reßetnqk G. H. Prostranstvenn¥e otobraΩenyq s ohranyçenn¥m yskaΩenyem. � Novosy- byrsk: Nauka, 1982. 12. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. 13. Kuratovskyj K. Topolohyq. � M.: Myr, 1969. � T. 2. 14. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942. 15. Titus C. J., Yong G. S. The extension of interiority, with some applications // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 329 – 340. 16. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001. 17. Myklgkov V. M. Optymal\noe rasstoqnye M. A. Lavrent\eva y prost¥e konc¥ na nepara- metryçeskyx poverxnostqx // Ukr. mat. vestn. � 2004. � 1, # 3. � S. 349 � 372. Poluçeno 18.12.07, posle dorabotky � 21.04.08 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 1

Ähnliche Einträge