Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r. We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Ar...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166211 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. 2020-02-18T07:24:20Z 2020-02-18T07:24:20Z 2009 Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211 517.5 Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r. We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве Approximation of unbounded operators by bounded operators in a Hilbert space Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| spellingShingle |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. Статті |
| title_short |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| title_full |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| title_sort |
аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве |
| author |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximation of unbounded operators by bounded operators in a Hilbert space |
| description |
Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r.
We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211 |
| citation_txt |
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf approksimaciâneograničennyhoperatorovograničennymivgilʹbertovomprostranstve AT biličenkoro approksimaciâneograničennyhoperatorovograničennymivgilʹbertovomprostranstve AT babenkovf approximationofunboundedoperatorsbyboundedoperatorsinahilbertspace AT biličenkoro approximationofunboundedoperatorsbyboundedoperatorsinahilbertspace |
| first_indexed |
2025-11-25T13:05:11Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:05:11Z |
| _version_ |
1850512725631827968 |
| fulltext |
UDK 517.5
V. F. Babenko (Dnepropetr. nac. un-t,
Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
R. O. Bylyçenko (Dnepropetr. nac. un-t)
APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV
OHRANYÇENNÁMY V HYL|BERTOVOM PROSTRANSTVE
The best approximation of arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in the Hilbert
space H on the class x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1}, k < r, is found.
Znajdeno najkrawe nablyΩennq dovil\noho stepenq Ak neobmeΩenoho samosprqΩenoho ope-
ratora A u hil\bertovomu prostori H na klasi x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1}, k < r.
Zadaça nayluçßeho pryblyΩenyq neohranyçennoho operatora lynejn¥my ohra-
nyçenn¥my operatoramy na klasse πlementov banaxova prostranstva poqvylas\
v yssledovanyqx S. B. Steçkyna v 1965 hodu [1]. V eho rabote [2] pryveden¥ po-
stanovka zadaçy, perv¥e pryncypyal\n¥e rezul\tat¥ y reßenye zadaçy dlq ope-
ratorov dyfferencyrovanyq maloho porqdka. Obzor dal\nejßyx rezul\tatov
po yssledovanyg toj yly ynoj zadaçy y sootvetstvugwye ss¥lky moΩno naj-
ty v [3].
Obwaq postanovka zadaçy nayluçßeho pryblyΩenyq neohranyçennoho ope-
ratora lynejn¥my ohranyçenn¥my operatoramy (sm., naprymer, [1 – 3], [4], § 7.1)
takova.
Pust\ X, Y � banaxov¥ prostranstva; A : X → Y � nekotor¥j operator (ne
obqzatel\no lynejn¥j) s oblast\g opredelenyq D A( ) � X; L( )N = L(N ; X, Y)
� mnoΩestvo lynejn¥x ohranyçenn¥x operatorov T yz X v Y, norm¥ koto-
r¥x T = T X Y→ ne prev¥ßagt çysla N > 0; Q � D A( ) � nekotor¥j klass
πlementov. Velyçyna
U T( ) = sup – :Ax T x x QY ∈{ }
naz¥vaetsq uklonenyem operatora T ∈ L( )N ot operatora A na klasse Q, a
velyçyna
E N( ) = E N A Q( ; , ) = inf ( ): ( )U T T N∈{ }L (1)
� nayluçßym pryblyΩenyem operatora A mnoΩestvom ohranyçenn¥x operato-
rov L( )N na klasse Q.
Zadaça Steçkyna nayluçßeho pryblyΩenyq operatora A na klasse Q
sostoyt v v¥çyslenyy velyçyn¥ E N( ) y naxoΩdenyy πkstremal\noho operato-
ra, t. e. operatora, realyzugweho nyΩngg hran\ v pravoj çasty (1).
Zadaça Steçkyna tesno svqzana s zadaçej ot¥skanyq modulq neprer¥vnosty
operatora A na klasse πlementov Q, kotoraq, po suwestvu, qvlqetsq abstrakt-
noj versyej zadaçy Kolmohorova ob ocenkax promeΩutoçnoj proyzvodnoj. Mo-
dulem neprer¥vnosty ω δ( ) operatora A na klasse Q naz¥vaetsq funkcyq ve-
© V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 147
148 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO
westvennoj peremennoj δ ∈ 0, ∞[ ) , kotoraq opredelqetsq sledugwym obrazom:
ω δ( ) = sup : ,Ax x Q xY X∈ ≤{ }δ . (2)
Sledugwaq teorema S. B. Steçkyna [2] daet πffektyvnug ocenku snyzu ve-
lyçyn¥ nayluçßeho pryblyΩenyq (1) operatora çerez eho modul\ neprer¥v-
nosty.
Teorema 1. Esly A � odnorodn¥j (v çastnosty, lynejn¥j) operator, Q
� central\no-symmetryçnoe, v¥pukloe mnoΩestvo yz oblasty opredelenyq
operatora A, to v¥polnqgtsq neravenstva
E N( ) ≥ sup ( ) –
δ
ω δ δ
>
{ }
0
N , N ≥ 0, (3)
ω δ( ) ≤ inf ( )
N
E N N
≥
+{ }
0
δ , δ ≥ 0. (4)
Pryvedem yzvestn¥e rezul\tat¥ dlq operatora dyfferencyrovanyq v pros-
transtve H = L2( )R . Çerez L
r
2 2, ( )R , r ∈N , oboznaçym prostranstvo vsex
funkcyj x L∈ 2( )R , (r – 1)-q proyzvodnaq kotor¥x lokal\no absolgtno nepre-
r¥vna y r-q proyzvodnaq prynadleΩyt prostranstvu L2( )R . Çerez W
r
2 2, ( )R
oboznaçym mnoΩestvo x{ ∈ L
r
2 2, ( )R : x r( )
2
≤ 1} .
Pust\ r, k ∈N , k < r. Dlq funkcyj x Lr∈ 2 2, ( )R yzvestno neuluçßaemoe ne-
ravenstvo Xardy � Lyttlvuda � Polya [5]:
x k( )
2
≤ x x
k
r r
k
r
2
1
2
–
( ) , (5)
yz (5) sleduet ocenka dlq modulq neprer¥vnosty operatora dyfferencyrova-
nyq d dxk k/ na klasse W
r
2 2, ( )R :
ω δ( ) ≤ δ
1– k
r . (6)
Na samom dele v (6) ymeet mesto ravenstvo
ω δ( ) = δ
1– k
r . (7)
Zameçanye 1. Dokazatel\stvo sootnoßenyq (7) suwestvenno opyraetsq na
tot fakt, çto vmeste s lgboj funkcyej x prostranstvo L
r
2 2, ( )R soderΩyt
lgbug funkcyg vyda ax bt( ), hde a, b ∈R , b > 0.
Nayluçßee pryblyΩenye operatora A = d dtk k/ na klasse funkcyj Q =
= W r
2 2, najdeno G. N. Subbotyn¥m y L. V. Tajkov¥m [6]. Ony dokazaly, çto v
πtom sluçae
E N( ) =
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
.
Pust\ H � hyl\bertovo prostranstvo so skalqrn¥m proyzvedenyem ( , )x y y
normoj x = ( , ) /x x 1 2 , A � lynejn¥j, neohranyçenn¥j, samosoprqΩenn¥j
operator v H, D A( ) � oblast\ eho opredelenyq, k, r � natural\n¥e çysla
(k < r). M¥ budem rassmatryvat\ zadaçu o v¥çyslenyy modulq neprer¥vnosty y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 149
zadaçu approksymacyy ohranyçenn¥my operatoramy dlq stepenej Ak operato-
ra A y klassa Q = WD Ar( ) = x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1} .
Pryvedem nekotor¥e svedenyq yz spektral\noj teoryy samosoprqΩenn¥x
operatorov, kotor¥e moΩno najty, naprymer, v [7] (§ 75, 88).
RazloΩenyem edynyc¥ naz¥vaetsq odnoparametryçeskoe semejstvo proekty-
rugwyx operatorov Et : H → H, zadannoe v koneçnom yly beskoneçnom ynter-
vale α β,[ ] (esly ynterval α β,[ ] beskoneçen, to, po opredelenyg, prynymaetsq
E–∞ = lim
–t
tE
→ ∞
, E∞ = lim
t
tE
→∞
, v sm¥sle syl\noj sxodymosty) y udovletvorqg-
wee sledugwym uslovyqm:
a) E Eu v = Es ∀u, v ∈ α β,[ ], hde s = min ,u v{ };
b) v sm¥sle syl\noj sxodymosty
Et – 0 = Et , α < t < β;
v) Eα = 0, Eβ = I (I � toΩdestvenn¥j operator: Ix = x ∀ ∈x H ).
Polahaem Et = 0 pry t ≤ α y Et = I pry t ≥ β.
Yz opredelenyq sleduet, çto dlq lgboho x H∈ funkcyq
σ( )t = ( , )E x xt , – ∞ < t < ∞,
qvlqetsq neprer¥vnoj sleva, neub¥vagwej funkcyej ohranyçennoj varyacyy,
dlq kotoroj
σ α( ) = 0, σ β( ) = (x, x).
Sohlasno spektral\noj teoreme kaΩdomu samosoprqΩennomu operatoru A
sootvetstvuet razloΩenye edynyc¥ Et , t ∈R, takoe, çto vektor x prynadle-
Ωyt D A( ) tohda y tol\ko tohda, kohda
–
,
∞
∞
∫ ( )t d E x xt
2 < ∞,
y esly x D A∈ ( ) , to
Ax =
–∞
∞
∫ td E xt .
Pry πtom
Ax 2 =
–
,
∞
∞
∫ ( )t d E x xt
2 < ∞.
Funkcyej ϕ( )A ot operatora A naz¥vaetsq operator, opredelqem¥j
formuloj
ϕ( )A x =
–
( )
∞
∞
∫ ϕ t d E xt
na vsex tex vektorax x H∈ , dlq kotor¥x v¥polneno sootnoßenye
–
( ) ,
∞
∞
∫ ( )ϕ t d E x xt
2 < ∞.
Pry πtom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
150 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO
ϕ( )A x 2 =
–
( ) ,
∞
∞
∫ ( )ϕ t d E x xt
2 .
V çastnosty, dlq x D Ak∈ ( ) , k ∈N ,
A xk =
–∞
∞
∫ t dE xk
t
y
A xk 2
=
–
,
∞
∞
∫ ( )t d E x xk
t
2 .
Sledugwaq teorema daet analoh ravenstva (7) dlq samosoprqΩenn¥x opera-
torov, dejstvugwyx v hyl\bertovom prostranstve H.
Teorema 2. Pust\ k , r ∈N , k < r, y A � neohranyçenn¥j samosoprqΩen-
n¥j operator v hyl\bertovom prostranstve H , ω δ( ) � modul\ neprer¥vnos-
ty operatora Ak na klasse Q = WD Ar( ). Tohda
ω δ( ) ≤ δ
1– k
r . (8)
Esly operator A takov, çto
( – )E E D At s
r2( ) ≠ θ{ }, 0 ≤ s < t ≤ ∞, (9)
to
ω δ( ) = δ
1– k
r . (10)
Zameçanye 2. V¥polnenye dlq operatora A uslovyq (9) zamenqet v obwem
sluçae otmeçennoe v zameçanyy 1 svojstvo prostranstv Lr
2 2, .
Dokazatel\stvo. Dlq lgboho x D Ar∈ ( ) ymeet mesto neravenstvo (sm.,
naprymer, [4], § 5.1)
A xk ≤ x A x
k
r
r
k
r1– .
Otsgda dlq x WD Ar∈ ( ) takoho, çto x = δ, poluçaem
A xk ≤ δ
1– k
r ,
tak çto
ω δ( ) ≤ δ
1– k
r
y (8) dokazano.
Teper\ dokaΩem, çto pry v¥polnenyy uslovyq (9)
ω δ( ) ≥ δ
1– k
r .
Pust\ δ > 0 zadano. Dlq πtoho δ y proyzvol\noho ε ∈ (0, 1) poloΩym t =
= 1
1
δ
r y s = (1 – ε) 1
1
δ
r .
V¥berem πlement x ∈ (Et – Es) D A r2( ) takoj, çto x = δ. V¥brann¥j πle-
ment x prynadleΩyt klassu WD Ar( ). Dejstvytel\no,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 151
A xr 2
= A x A xr r,( ) = A x xr2 ,( ) =
s
t
r
uu d E x x∫ 2 ( , ) ≤ t xr2 2 ≤ 1.
Dlq v¥brannoho x budem takΩe ymet\
A xk 2
= A x A xk k,( ) = A x xk2 ,( ) =
s
t
k
uu d E x x∫ 2 ( , ) .
Poskol\ku x ∈ (Et – Es) D A r2( ) , to
x 2 =
s
t
ud E x x∫ ( , ) .
Sledovatel\no,
A xk 2
≥ s xk2 2 = ( – )
–
1 2 2 1
ε δk
k
r
.
Takym obrazom, dlq lgboho ε > 0 suwestvuet x ∈ WD Ar( ), x = δ, takoj,
çto
A xk ≥ ( – )
–
1
1
ε δk
k
r .
V sylu proyzvol\nosty ε poluçym
A xk ≥ δ
1– k
r .
Otsgda y yz (8) sleduet (10).
Teorema dokazana.
Sledugwaq teorema daet reßenye zadaçy Steçkyna o pryblyΩenyy
operatora Ak ohranyçenn¥my operatoramy na klasse WD Ar( ).
Teorema 3. Pust\ k , r ∈N , k < r, y A � neohranyçenn¥j samosoprqΩen-
n¥j operator v hyl\bertovom prostranstve H. Tohda dlq lgboho N > 0
E N( ) ≤
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
. (11)
Esly operator A takov, çto v¥polneno uslovye (9), to dlq lgboho N > 0
E N( ) =
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
. (12)
Pry πtom πkstremal\n¥m approksymyrugwym operatorom yz L( )N qvlqetsq
funkcyq ϕN A( ) ot operatora A, hde
ϕN t( ) =
t t t
k
r
k
r
N
t N k
r
k
r
t N k
r
k
r
k r k r
r k
k
r k
k
k k r k
k k r k
–
–
, – ,
, – .
–
–
–
–
–
–
–
sign{ }
≤
≥
1
1
0 1
1 1 1
1 1 1
(13)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
152 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO
Dokazatel\stvo. Budem sledovat\ sxeme rassuΩdenyj yz rabot¥ [6]. V ka-
çestve approksymyrugweho operatora T rassmotrym funkcyg ot operatora
ϕN A( ) , hde funkcyq ϕN opredelena ravenstvom (13).
Snaçala proverym, çto ϕN A( ) ∈ L( )N . Ymeem
ϕN A x( ) 2 =
–
( ) ( , )
∞
∞
∫ ϕN tt d E x x2 ≤
≤ max ( ) ( , )
–
t
N tt d E x xϕ 2
∞
∞
∫ = max ( )
t
N t xϕ 2 2 .
Poskol\ku
max ( )
t
N tϕ 2 = N2 ,
to
ϕN A x( ) 2 ≤ N x2 2,
t. e. ϕN A( ) ≤ N.
Teper\ rassmotrym A xk � ϕN A x( ) dlq x ∈ WD Ar( ). Budem ymet\
A x A xk
N– ( )ϕ =
–
– ( )
∞
∞
∫ ( )t t dE xk
N tϕ =
=
–
– ( ) ( , )
∞
∞
∫ ( )
t t d E x xk
N tϕ
2
1
2
≤
≤ max
– ( )
( , )
–
t
k
N
r
r
t
t t
t
t d E x x
ϕ
∞
∞
∫
2
1
2
.
Ravenstvo
max
– ( )
t
k
N
r
t t
t
ϕ
=
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
proverqetsq neposredstvenn¥m v¥çyslenyem. Krome toho, dlq x ∈ WD Ar( )
–
( , )
∞
∞
∫
t d E x xr
t
2
1
2
≤ 1.
Takym obrazom, dlq x ∈ WD Ar( )
A x A xk
N– ( )ϕ ≤
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
,
y, sledovatel\no,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 153
E N( ) ≤ sup – ( )
x Q
k
NA x A x
∈
ϕ ≤
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
.
Sootnoßenye (11) dokazano.
Esly v¥polneno uslovye (9), to po teoreme 2
ω δ( ) = δ
1– k
r .
Sledovatel\no, v sylu teorem¥ 1
E N( ) ≥ sup –
–
δ
δ δ
>
0
1 k
r N =
k
r
k
r
N
r k
k
r k
k
1 –
–
–
.
Otsgda y yz neravenstva (11) poluçaem (12).
Teorema dokazana.
V kaçestve prymera rassmotrym operator dyfferencyrovanyq A : L2( )R →
→ L2( )R , Ax u( ) = i dx
du
. Dannomu operatoru sootvetstvuet razloΩenye edynyc¥
Et takoe, çto dlq lgb¥x s, t, s < t (sm., naprymer, [7], § 89)
( – ) ( )E E x ut s = 1
2π
–
( – ) ( – )–
( – )
( )
∞
∞
∫ e e
i z u
x z dz
it z u is z u
.
Oçevydno, çto dann¥j operator A udovletvorqet uslovyg (9). ∏to
pryvodyt nas k rezul\tatu G. N. Subbotyna y L. V. Tajkova [6].
Druhoj vaΩn¥j prymer daet operator umnoΩenyq na nezavysymug peremen-
nug: A : L2( )R → L2( )R , Ax u( ) = ux(u). ∏tomu operatoru sootvetstvuet razlo-
Ωenye edynyc¥ takoe, çto dlq lgb¥x s, t, s < t (sm., naprymer, [7], § 89)
( – ) ( )E E x ut s = X s t x u, ( )[ ] ,
hde X s t,[ ] � xarakterystyçeskaq funkcyq otrezka s t,[ ].
Oçevydno, çto πtot operator takΩe udovletvorqet uslovyg teorem¥ 2 y,
sledovatel\no, dlq neho ymeet mesto (12).
1. Steçkyn S. B. Neravenstva meΩdu normamy proyzvodn¥x proyzvol\noj funkcyy // Acta
Sci. Math. � 1965. � 26, # 3 � 4. � S. 225 � 230.
2. Steçkyn S. B. Nayluçßee pryblyΩenye lynejn¥x operatorov // Mat. zametky. � 1967. � 1,
# 2. � S. 231 � 244.
3. Arestov V. V. PryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohranyçenn¥my y rodstvenn¥e
πkstremal\n¥e zadaçy // Uspexy mat. nauk. � 1996. � 51, # 6. � S. 88 � 124.
4. Babenko V. F., Kornejçuk N. P., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. Neravenstva dlq proyzvodn¥x
y yx pryloΩenyq. � Kyev: Nauk. dumka, 2003. � 590 s.
5. Xardy H. H., Lyttlvud D. E., Polya H. Neravenstva. � M.: Komknyha, 2006. � 456 s.
6. Subbotyn G. N., Tajkov L. V. Nayluçßee pryblyΩenye operatora dyfferencyrovanyq v
prostranstve L2 // Mat. zametky. � 1968. � 3, # 2. � S. 157 � 164.
7. Axyezer N. Y., Hlazman Y. M. Teoryq lynejn¥x operatorov v hyl\bertovom prostranstve. �
M.: Nauka, 1966. � 544 s.
Poluçeno 28.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
|