Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве

Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве

Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r. We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Ar...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Український математичний журнал
Дата:2009
Автори: Бабенко, В.Ф., Биличенко, Р.О.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2009
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166211
record_format dspace
spelling Бабенко, В.Ф.
Биличенко, Р.О.
2020-02-18T07:24:20Z
2020-02-18T07:24:20Z
2009
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211
517.5
Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r.
We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
Approximation of unbounded operators by bounded operators in a Hilbert space
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
spellingShingle Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
Бабенко, В.Ф.
Биличенко, Р.О.
Статті
title_short Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
title_full Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
title_fullStr Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
title_full_unstemmed Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
title_sort аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
author Бабенко, В.Ф.
Биличенко, Р.О.
author_facet Бабенко, В.Ф.
Биличенко, Р.О.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2009
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Approximation of unbounded operators by bounded operators in a Hilbert space
description Знайдено найкраще наближення довільного степеня Ak необмеженого самоспряженого оператора A у гільбертовому просторі H на класі {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r. We determine the best approximation of an arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in a Hilbert space H on the class {x∈D(Ar):∥Arx∥≤1},k<r.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166211
citation_txt Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT babenkovf approksimaciâneograničennyhoperatorovograničennymivgilʹbertovomprostranstve
AT biličenkoro approksimaciâneograničennyhoperatorovograničennymivgilʹbertovomprostranstve
AT babenkovf approximationofunboundedoperatorsbyboundedoperatorsinahilbertspace
AT biličenkoro approximationofunboundedoperatorsbyboundedoperatorsinahilbertspace
first_indexed 2025-11-25T13:05:11Z
last_indexed 2025-11-25T13:05:11Z
_version_ 1850512725631827968
fulltext UDK 517.5 V. F. Babenko (Dnepropetr. nac. un-t, Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck), R. O. Bylyçenko (Dnepropetr. nac. un-t) APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY V HYL|BERTOVOM PROSTRANSTVE The best approximation of arbitrary power Ak of an unbounded self-adjoint operator A in the Hilbert space H on the class x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1}, k < r, is found. Znajdeno najkrawe nablyΩennq dovil\noho stepenq Ak neobmeΩenoho samosprqΩenoho ope- ratora A u hil\bertovomu prostori H na klasi x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1}, k < r. Zadaça nayluçßeho pryblyΩenyq neohranyçennoho operatora lynejn¥my ohra- nyçenn¥my operatoramy na klasse πlementov banaxova prostranstva poqvylas\ v yssledovanyqx S. B. Steçkyna v 1965 hodu [1]. V eho rabote [2] pryveden¥ po- stanovka zadaçy, perv¥e pryncypyal\n¥e rezul\tat¥ y reßenye zadaçy dlq ope- ratorov dyfferencyrovanyq maloho porqdka. Obzor dal\nejßyx rezul\tatov po yssledovanyg toj yly ynoj zadaçy y sootvetstvugwye ss¥lky moΩno naj- ty v [3]. Obwaq postanovka zadaçy nayluçßeho pryblyΩenyq neohranyçennoho ope- ratora lynejn¥my ohranyçenn¥my operatoramy (sm., naprymer, [1 – 3], [4], § 7.1) takova. Pust\ X, Y � banaxov¥ prostranstva; A : X → Y � nekotor¥j operator (ne obqzatel\no lynejn¥j) s oblast\g opredelenyq D A( ) � X; L( )N = L(N ; X, Y) � mnoΩestvo lynejn¥x ohranyçenn¥x operatorov T yz X v Y, norm¥ koto- r¥x T = T X Y→ ne prev¥ßagt çysla N > 0; Q � D A( ) � nekotor¥j klass πlementov. Velyçyna U T( ) = sup – :Ax T x x QY ∈{ } naz¥vaetsq uklonenyem operatora T ∈ L( )N ot operatora A na klasse Q, a velyçyna E N( ) = E N A Q( ; , ) = inf ( ): ( )U T T N∈{ }L (1) � nayluçßym pryblyΩenyem operatora A mnoΩestvom ohranyçenn¥x operato- rov L( )N na klasse Q. Zadaça Steçkyna nayluçßeho pryblyΩenyq operatora A na klasse Q sostoyt v v¥çyslenyy velyçyn¥ E N( ) y naxoΩdenyy πkstremal\noho operato- ra, t. e. operatora, realyzugweho nyΩngg hran\ v pravoj çasty (1). Zadaça Steçkyna tesno svqzana s zadaçej ot¥skanyq modulq neprer¥vnosty operatora A na klasse πlementov Q, kotoraq, po suwestvu, qvlqetsq abstrakt- noj versyej zadaçy Kolmohorova ob ocenkax promeΩutoçnoj proyzvodnoj. Mo- dulem neprer¥vnosty ω δ( ) operatora A na klasse Q naz¥vaetsq funkcyq ve- © V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO, 2009 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 147 148 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO westvennoj peremennoj δ ∈ 0, ∞[ ) , kotoraq opredelqetsq sledugwym obrazom: ω δ( ) = sup : ,Ax x Q xY X∈ ≤{ }δ . (2) Sledugwaq teorema S. B. Steçkyna [2] daet πffektyvnug ocenku snyzu ve- lyçyn¥ nayluçßeho pryblyΩenyq (1) operatora çerez eho modul\ neprer¥v- nosty. Teorema 1. Esly A � odnorodn¥j (v çastnosty, lynejn¥j) operator, Q � central\no-symmetryçnoe, v¥pukloe mnoΩestvo yz oblasty opredelenyq operatora A, to v¥polnqgtsq neravenstva E N( ) ≥ sup ( ) – δ ω δ δ > { } 0 N , N ≥ 0, (3) ω δ( ) ≤ inf ( ) N E N N ≥ +{ } 0 δ , δ ≥ 0. (4) Pryvedem yzvestn¥e rezul\tat¥ dlq operatora dyfferencyrovanyq v pros- transtve H = L2( )R . Çerez L r 2 2, ( )R , r ∈N , oboznaçym prostranstvo vsex funkcyj x L∈ 2( )R , (r – 1)-q proyzvodnaq kotor¥x lokal\no absolgtno nepre- r¥vna y r-q proyzvodnaq prynadleΩyt prostranstvu L2( )R . Çerez W r 2 2, ( )R oboznaçym mnoΩestvo x{ ∈ L r 2 2, ( )R  : x r( ) 2 ≤ 1} . Pust\ r, k ∈N , k < r. Dlq funkcyj x Lr∈ 2 2, ( )R yzvestno neuluçßaemoe ne- ravenstvo Xardy � Lyttlvuda � Polya [5]: x k( ) 2 ≤ x x k r r k r 2 1 2 – ( ) , (5) yz (5) sleduet ocenka dlq modulq neprer¥vnosty operatora dyfferencyrova- nyq d dxk k/ na klasse W r 2 2, ( )R : ω δ( ) ≤ δ 1– k r . (6) Na samom dele v (6) ymeet mesto ravenstvo ω δ( ) = δ 1– k r . (7) Zameçanye 1. Dokazatel\stvo sootnoßenyq (7) suwestvenno opyraetsq na tot fakt, çto vmeste s lgboj funkcyej x prostranstvo L r 2 2, ( )R soderΩyt lgbug funkcyg vyda ax bt( ), hde a, b ∈R , b > 0. Nayluçßee pryblyΩenye operatora A = d dtk k/ na klasse funkcyj Q = = W r 2 2, najdeno G. N. Subbotyn¥m y L. V. Tajkov¥m [6]. Ony dokazaly, çto v πtom sluçae E N( ) = k r k r N r k k r k k 1 – – –     . Pust\ H � hyl\bertovo prostranstvo so skalqrn¥m proyzvedenyem ( , )x y y normoj x = ( , ) /x x 1 2 , A � lynejn¥j, neohranyçenn¥j, samosoprqΩenn¥j operator v H, D A( ) � oblast\ eho opredelenyq, k, r � natural\n¥e çysla (k < r). M¥ budem rassmatryvat\ zadaçu o v¥çyslenyy modulq neprer¥vnosty y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 149 zadaçu approksymacyy ohranyçenn¥my operatoramy dlq stepenej Ak operato- ra A y klassa Q = WD Ar( ) = x{ ∈ D Ar( ) : A xr ≤ 1} . Pryvedem nekotor¥e svedenyq yz spektral\noj teoryy samosoprqΩenn¥x operatorov, kotor¥e moΩno najty, naprymer, v [7] (§ 75, 88). RazloΩenyem edynyc¥ naz¥vaetsq odnoparametryçeskoe semejstvo proekty- rugwyx operatorov Et : H → H, zadannoe v koneçnom yly beskoneçnom ynter- vale α β,[ ] (esly ynterval α β,[ ] beskoneçen, to, po opredelenyg, prynymaetsq E–∞ = lim –t tE → ∞ , E∞ = lim t tE →∞ , v sm¥sle syl\noj sxodymosty) y udovletvorqg- wee sledugwym uslovyqm: a) E Eu v = Es ∀u, v ∈ α β,[ ], hde s = min ,u v{ }; b) v sm¥sle syl\noj sxodymosty Et – 0 = Et , α < t < β; v) Eα = 0, Eβ = I (I � toΩdestvenn¥j operator: Ix = x ∀ ∈x H ). Polahaem Et = 0 pry t ≤ α y Et = I pry t ≥ β. Yz opredelenyq sleduet, çto dlq lgboho x H∈ funkcyq σ( )t = ( , )E x xt , – ∞ < t < ∞, qvlqetsq neprer¥vnoj sleva, neub¥vagwej funkcyej ohranyçennoj varyacyy, dlq kotoroj σ α( ) = 0, σ β( ) = (x, x). Sohlasno spektral\noj teoreme kaΩdomu samosoprqΩennomu operatoru A sootvetstvuet razloΩenye edynyc¥ Et , t ∈R, takoe, çto vektor x prynadle- Ωyt D A( ) tohda y tol\ko tohda, kohda – , ∞ ∞ ∫ ( )t d E x xt 2 < ∞, y esly x D A∈ ( ) , to Ax = –∞ ∞ ∫ td E xt . Pry πtom Ax 2 = – , ∞ ∞ ∫ ( )t d E x xt 2 < ∞. Funkcyej ϕ( )A ot operatora A naz¥vaetsq operator, opredelqem¥j formuloj ϕ( )A x = – ( ) ∞ ∞ ∫ ϕ t d E xt na vsex tex vektorax x H∈ , dlq kotor¥x v¥polneno sootnoßenye – ( ) , ∞ ∞ ∫ ( )ϕ t d E x xt 2 < ∞. Pry πtom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 150 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO ϕ( )A x 2 = – ( ) , ∞ ∞ ∫ ( )ϕ t d E x xt 2 . V çastnosty, dlq x D Ak∈ ( ) , k ∈N , A xk = –∞ ∞ ∫ t dE xk t y A xk 2 = – , ∞ ∞ ∫ ( )t d E x xk t 2 . Sledugwaq teorema daet analoh ravenstva (7) dlq samosoprqΩenn¥x opera- torov, dejstvugwyx v hyl\bertovom prostranstve H. Teorema 2. Pust\ k , r ∈N , k < r, y A � neohranyçenn¥j samosoprqΩen- n¥j operator v hyl\bertovom prostranstve H , ω δ( ) � modul\ neprer¥vnos- ty operatora Ak na klasse Q = WD Ar( ). Tohda ω δ( ) ≤ δ 1– k r . (8) Esly operator A takov, çto ( – )E E D At s r2( ) ≠ θ{ }, 0 ≤ s < t ≤ ∞, (9) to ω δ( ) = δ 1– k r . (10) Zameçanye 2. V¥polnenye dlq operatora A uslovyq (9) zamenqet v obwem sluçae otmeçennoe v zameçanyy 1 svojstvo prostranstv Lr 2 2, . Dokazatel\stvo. Dlq lgboho x D Ar∈ ( ) ymeet mesto neravenstvo (sm., naprymer, [4], § 5.1) A xk ≤ x A x k r r k r1– . Otsgda dlq x WD Ar∈ ( ) takoho, çto x = δ, poluçaem A xk ≤ δ 1– k r , tak çto ω δ( ) ≤ δ 1– k r y (8) dokazano. Teper\ dokaΩem, çto pry v¥polnenyy uslovyq (9) ω δ( ) ≥ δ 1– k r . Pust\ δ > 0 zadano. Dlq πtoho δ y proyzvol\noho ε ∈ (0, 1) poloΩym t = = 1 1 δ     r y s = (1 – ε) 1 1 δ     r . V¥berem πlement x ∈ (Et – Es) D A r2( ) takoj, çto x = δ. V¥brann¥j πle- ment x prynadleΩyt klassu WD Ar( ). Dejstvytel\no, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 151 A xr 2 = A x A xr r,( ) = A x xr2 ,( ) = s t r uu d E x x∫ 2 ( , ) ≤ t xr2 2 ≤ 1. Dlq v¥brannoho x budem takΩe ymet\ A xk 2 = A x A xk k,( ) = A x xk2 ,( ) = s t k uu d E x x∫ 2 ( , ) . Poskol\ku x ∈ (Et – Es) D A r2( ) , to x 2 = s t ud E x x∫ ( , ) . Sledovatel\no, A xk 2 ≥ s xk2 2 = ( – ) – 1 2 2 1 ε δk k r     . Takym obrazom, dlq lgboho ε > 0 suwestvuet x ∈ WD Ar( ), x = δ, takoj, çto A xk ≥ ( – ) – 1 1 ε δk k r . V sylu proyzvol\nosty ε poluçym A xk ≥ δ 1– k r . Otsgda y yz (8) sleduet (10). Teorema dokazana. Sledugwaq teorema daet reßenye zadaçy Steçkyna o pryblyΩenyy operatora Ak ohranyçenn¥my operatoramy na klasse WD Ar( ). Teorema 3. Pust\ k , r ∈N , k < r, y A � neohranyçenn¥j samosoprqΩen- n¥j operator v hyl\bertovom prostranstve H. Tohda dlq lgboho N > 0 E N( ) ≤ k r k r N r k k r k k 1 – – –     . (11) Esly operator A takov, çto v¥polneno uslovye (9), to dlq lgboho N > 0 E N( ) = k r k r N r k k r k k 1 – – –     . (12) Pry πtom πkstremal\n¥m approksymyrugwym operatorom yz L( )N qvlqetsq funkcyq ϕN A( ) ot operatora A, hde ϕN t( ) = t t t k r k r N t N k r k r t N k r k r k r k r r k k r k k k k r k k k r k – – , – , , – . – – – – – – – sign{ }     ≤         ≥                 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 (13) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 152 V. F. BABENKO, R. O. BYLYÇENKO Dokazatel\stvo. Budem sledovat\ sxeme rassuΩdenyj yz rabot¥ [6]. V ka- çestve approksymyrugweho operatora T rassmotrym funkcyg ot operatora ϕN A( ) , hde funkcyq ϕN opredelena ravenstvom (13). Snaçala proverym, çto ϕN A( ) ∈ L( )N . Ymeem ϕN A x( ) 2 = – ( ) ( , ) ∞ ∞ ∫ ϕN tt d E x x2 ≤ ≤ max ( ) ( , ) – t N tt d E x xϕ 2 ∞ ∞ ∫ = max ( ) t N t xϕ 2 2 . Poskol\ku max ( ) t N tϕ 2 = N2 , to ϕN A x( ) 2 ≤ N x2 2, t. e. ϕN A( ) ≤ N. Teper\ rassmotrym A xk � ϕN A x( ) dlq x ∈ WD Ar( ). Budem ymet\ A x A xk N– ( )ϕ = – – ( ) ∞ ∞ ∫ ( )t t dE xk N tϕ = = – – ( ) ( , ) ∞ ∞ ∫ ( )      t t d E x xk N tϕ 2 1 2 ≤ ≤ max – ( ) ( , ) – t k N r r t t t t t d E x x ϕ ∞ ∞ ∫      2 1 2 . Ravenstvo max – ( ) t k N r t t t ϕ = k r k r N r k k r k k 1 – – –     proverqetsq neposredstvenn¥m v¥çyslenyem. Krome toho, dlq x ∈ WD Ar( ) – ( , ) ∞ ∞ ∫      t d E x xr t 2 1 2 ≤ 1. Takym obrazom, dlq x ∈ WD Ar( ) A x A xk N– ( )ϕ ≤ k r k r N r k k r k k 1 – – –     , y, sledovatel\no, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 APPROKSYMACYQ NEOHRANYÇENNÁX OPERATOROV OHRANYÇENNÁMY … 153 E N( ) ≤ sup – ( ) x Q k NA x A x ∈ ϕ ≤ k r k r N r k k r k k 1 – – –     . Sootnoßenye (11) dokazano. Esly v¥polneno uslovye (9), to po teoreme 2 ω δ( ) = δ 1– k r . Sledovatel\no, v sylu teorem¥ 1 E N( ) ≥ sup – – δ δ δ >        0 1 k r N = k r k r N r k k r k k 1 – – –     . Otsgda y yz neravenstva (11) poluçaem (12). Teorema dokazana. V kaçestve prymera rassmotrym operator dyfferencyrovanyq A : L2( )R → → L2( )R , Ax u( ) = i dx du . Dannomu operatoru sootvetstvuet razloΩenye edynyc¥ Et takoe, çto dlq lgb¥x s, t, s < t (sm., naprymer, [7], § 89) ( – ) ( )E E x ut s = 1 2π – ( – ) ( – )– ( – ) ( ) ∞ ∞ ∫ e e i z u x z dz it z u is z u . Oçevydno, çto dann¥j operator A udovletvorqet uslovyg (9). ∏to pryvodyt nas k rezul\tatu G. N. Subbotyna y L. V. Tajkova [6]. Druhoj vaΩn¥j prymer daet operator umnoΩenyq na nezavysymug peremen- nug: A : L2( )R → L2( )R , Ax u( ) = ux(u). ∏tomu operatoru sootvetstvuet razlo- Ωenye edynyc¥ takoe, çto dlq lgb¥x s, t, s < t (sm., naprymer, [7], § 89) ( – ) ( )E E x ut s = X s t x u, ( )[ ] , hde X s t,[ ] � xarakterystyçeskaq funkcyq otrezka s t,[ ]. Oçevydno, çto πtot operator takΩe udovletvorqet uslovyg teorem¥ 2 y, sledovatel\no, dlq neho ymeet mesto (12). 1. Steçkyn S. B. Neravenstva meΩdu normamy proyzvodn¥x proyzvol\noj funkcyy // Acta Sci. Math. � 1965. � 26, # 3 � 4. � S. 225 � 230. 2. Steçkyn S. B. Nayluçßee pryblyΩenye lynejn¥x operatorov // Mat. zametky. � 1967. � 1, # 2. � S. 231 � 244. 3. Arestov V. V. PryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohranyçenn¥my y rodstvenn¥e πkstremal\n¥e zadaçy // Uspexy mat. nauk. � 1996. � 51, # 6. � S. 88 � 124. 4. Babenko V. F., Kornejçuk N. P., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. Neravenstva dlq proyzvodn¥x y yx pryloΩenyq. � Kyev: Nauk. dumka, 2003. � 590 s. 5. Xardy H. H., Lyttlvud D. E., Polya H. Neravenstva. � M.: Komknyha, 2006. � 456 s. 6. Subbotyn G. N., Tajkov L. V. Nayluçßee pryblyΩenye operatora dyfferencyrovanyq v prostranstve L2 // Mat. zametky. � 1968. � 3, # 2. � S. 157 � 164. 7. Axyezer N. Y., Hlazman Y. M. Teoryq lynejn¥x operatorov v hyl\bertovom prostranstve. � M.: Nauka, 1966. � 544 s. Poluçeno 28.05.08 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2

Схожі ресурси