Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области
Вивчено існування, єдиність розв'язку мїшаної задачї для коректного за Петровським рївняння у циліндричній обдастї та його поведінку при великих значеннях часу. We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylind...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166215 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области / Э.С. Гусейнова, Б.А. Искендеров // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 214-230. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166215 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гусейнова, Э.С. Искендеров, Б.А. 2020-02-18T07:24:59Z 2020-02-18T07:24:59Z 2009 Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области / Э.С. Гусейнова, Б.А. Искендеров // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 214-230. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166215 517.957 Вивчено існування, єдиність розв'язку мїшаної задачї для коректного за Петровським рївняння у циліндричній обдастї та його поведінку при великих значеннях часу. We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области |
| spellingShingle |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области Гусейнова, Э.С. Искендеров, Б.А. Статті |
| title_short |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области |
| title_full |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области |
| title_fullStr |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области |
| title_full_unstemmed |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области |
| title_sort |
смешанная задача для корректного по петровскому уравнения в цилиндрической области |
| author |
Гусейнова, Э.С. Искендеров, Б.А. |
| author_facet |
Гусейнова, Э.С. Искендеров, Б.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain |
| description |
Вивчено існування, єдиність розв'язку мїшаної задачї для коректного за Петровським рївняння у циліндричній обдастї та його поведінку при великих значеннях часу.
We study the problem of existence and uniqueness of the solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166215 |
| citation_txt |
Смешанная задача для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической области / Э.С. Гусейнова, Б.А. Искендеров // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 214-230. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT guseinovaés smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskoioblasti AT iskenderovba smešannaâzadačadlâkorrektnogopopetrovskomuuravneniâvcilindričeskoioblasti AT guseinovaés mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain AT iskenderovba mixedproblemforthepetrovskiiwellposedequationinacylindricaldomain |
| first_indexed |
2025-11-25T04:47:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:47:29Z |
| _version_ |
1850507030546087936 |
| fulltext |
УДК 517.957
Б. А. Искендеров, Э. С. Гусейнова (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО
ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
We study the existence and uniqueness of a solution of a mixed problem for the Petrovskii well-posed equation
in a cylindrical domain and the behavior of this solution for large values of time.
Вивчено iснування, єдинiсть розв’язку мiшаної задачi для коректного за Петровським рiвняння у цилiнд-
ричнiй областi та його поведiнку при великих значеннях часу.
1. Введение. При изучении распространения возмущений в вязком газе возникает
уравнение (
∂2
∂t2
− ω ∂
∂t
∆3 − a2∆3
)
u(t, x) = 0,
x =
(
x1, x2, x3
)
∈ R3, t > 0,
(1)
где ω =
4
3
ν, ν — кинематический коэффициент вязкости, a — скорость звука в газе,
∆3 — оператор Лапласа по (x1, x2, x3) [1]. В работе [2], как результат исследования
решения задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения, приведено
достаточное условие стабилизации при больших значениях времени решения зада-
чи Коши для уравнения (1) с периодическими начальными данными. В работе [3]
изучена смешанная задача для уравнения (1) в ограниченной области многомерно-
го пространства, а в работе [4] — поведение решения задачи Коши для уравнения
типа (1) в многомерном пространстве при больших значениях времени.
В настоящей работе изучаются существование, единственность решения сме-
шанной задачи для корректного по Петровскому уравнения в цилиндрической об-
ласти и асимптотика решения смешанной задачи при больших значениях времени.
2. Определения, обозначения и теорема о единственности решения смешан-
ной задачи. Обозначим через Rn+m(x, y) (n+m)-мерное евклидово пространст-
во с элементами (x, y) = (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym), через E = Rn(x) × Ω —
цилиндрическую область в Rn+m, где Ω — ограниченная область в Rm(y) с доста-
точно гладкой границей ∂Ω. В Q = (0,∞)× E рассмотрим смешанную задачу(
∂2
∂t2
− ω ∂
∂t
∆n,m − a2∆n,m
)
u(t, x, y) = f(t, x, y) (2.1)
с начальными функциями
u(0, x, y) = ϕ0(x, y),
∂
∂t
u(0, x, y) = ϕ1(x, y) (2.2)
и краевым условием
u(t, x, y)|∂E = 0, t > 0, (2.3)
где ϕj(x, y), f(t, x, y), j = 0, 1, — заданные функции, а
c© Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА, 2009
214 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 215
∆n,m =
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
2
+ . . .+
∂2
∂x2
n
+
∂2
∂y2
1
+
∂2
∂y2
2
+ . . .+
∂2
∂y2
m
.
Условия на данные задачи будут сформулированы ниже. Отметим, что уравне-
ние (2.1) является корректным по Петровскому.
Введем пространство функций H(α,β) (E, ρ(x)), элементы которого имеют про-
изводные в смысле Соболева – Слободецкого по x до порядка α, а по y до порядка
β, для которых
∫
E
ρ(x)
α∑
|θ|=0
β∑
|j|=0
(
D(θ)
x D(j)
y v(x, y)
)2
dE ≤ C,
где ρ(x) ≥ 0 — измеримая и растущая на бесконечности функция, α, β ≥ 0 —
целые числа, C > 0 — некоторая постоянная. Это пространство является банаховым
пространством, норма элементов которого определяется следующим образом:
‖v(x, y)‖H(α,β)(E,ρ(x)) =
∫
E
ρ(x)
α∑
|θ|=0
β∑
|j|=0
(
D(θ)
x D(j)
y v(x, y)
)2
dE
1/2
.
Через C2
[
[0,∞), H(α,β) (E, ρ(x))
]
будем обозначать пространство функций
u(t, x, y), непрерывно дифференцируемых по t до второго порядка включитель-
но и при каждом t > 0 принадлежащих пространству H(α,β) (E, ρ(x)) .
Через C2
ε
[
[0,∞),
◦
H (α,β) (E, ρ(x))
]
обозначим подпространство пространства
C2
[
[0,∞), H(α,β) (E, ρ(x))
]
, элементы которого при каждом t > 0 удовлетворяют
граничному условию (2.3) и неравенству∥∥u(t, x, y)
∥∥
H(α,β)(E,ρ(x))
≤ Ceεt, (2.4)
где ε > 0 — достаточно малое число, C — некоторая постоянная.
Определение. Под решением задачи (2.1) – (2.3) будем понимать функцию
u(t, x, y) ∈ C2
ε
[
[0,∞),
◦
H (2,2) (E, ρ(x))
]
, удовлетворяющую уравнению (2.1) и на-
чальным данным (2.2) почти всюду.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Если решение однородной задачи, соответствующей зада-
че (2.1) – (2.3), существует, то оно почти всюду равно нулю.
Доказательство. Умножим однородное уравнение на u(t, x, y) и проинтегри-
руем по (0, t) × ER, где ER = Ω × σR(x), σR(x) — шар радиуса R с центром в
начале координат:
εR(t) =
t∫
0
∫
ER
(
∂2
∂t2
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dERdt −
− ω
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂t
∆n,mu(t, x, y)
)
u(t, x, y)dERdt −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
216 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
− a2
t∫
0
∫
ER
(∆n,mu(t, x, y))u(t, x, y)dERdt ≡
≡ ε1R(t) + ωε2R(t)− a2ε3R(t) = 0. (2.5)
Рассмотрим каждое слагаемое в (2.5) в отдельности. Интегрируя в ε1R(t) один раз
по t по частям и учитывая равенство нулю начальных функций для однородной
задачи, получаем
ε1R(t) = −
∫
ER
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dER.
Устремляя R к бесконечности в ε1R(t), находим
ε1(t) = −
∫
ER
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dER. (2.6)
Рассмотрим второе слагаемое в (2.5). По первой формуле Грина [5] имеем
ε2R(t) = −
n∑
i=1
t∫
0
∫
ER
∂
∂xi
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
∂
∂xi
u(t, x, y)dERdt −
−
m∑
j=1
t∫
0
∫
ER
∂
∂yj
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
∂
∂yj
u(t, x, y)dERdt +
+
t∫
0
∫
∂ER
∂
∂ν
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dsRdt ≡ ε(1)
2R(t) + ε
(2)
2R(t) + ε
(3)
2R(t),
где ∂ER = ∂Ω× σR(x) ∪Ω× ∂σR(x), σR(x) — шар радиуса R с центром в начале
координат, ∂ΩR — поверхность шара ΩR, ds — элемент поверхности ∂ER, ∂ν —
внешняя нормаль к поверхности ∂ER.
Учитывая граничное условие (2.3), получаем
ε
(3)
2R(t) =
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
(
∂
∂ν
∂
∂t
u(t, x, y)
)
u(t, x, y)dsdt.
Поскольку
∂
∂ν
= cos(ν, x1)
∂
∂x1
+ . . .+ cos(ν, xn)
∂
∂xn
,
применяя неравенство Коши – Буняковского к ε(3)
2R(t), имеем
ε
(3)
2R(t) ≤
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)dsdt
1/2
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 217
×
n∑
i=1
t∫
0
∫
Ω×∂σ
R
(x)
(
∂
∂t
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dsdt
1/2
.
Используя теорему вложения Соболева [6], оцениваем первый интеграл в ε(3)
2R(t) :∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)ds ≤ e−c0R
∫
Ω×∂σ
R
(x)
ec0|x|u2(t, x, y)ds ≤
≤ Ce−c0R
∥∥u(t, x, y)
∥∥
H(2,2) (E, ρ(x)) .
Устремляя R к бесконечности, получаем∫
Ω×∂σ
R
(x)
u2(t, x, y)ds→ 0 при R→∞ и любом t > 0. (2.7)
Аналогично показываем, что∫
Ω×∂σ
R
(x)
∂
∂t
∂
∂xi
u(t, x, y)ds→ 0 при R→∞ и любом t > 0. (2.8)
Учитывая, что для однородной задачи ϕ0(x, y) ≡ 0, ϕ1(x, y) ≡ 0, имеем
ε
(1)
2R(t) = −1
2
n∑
i=1
∫
ER
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dER, (2.9)
ε
(2)
2R(t) = −1
2
m∑
j=1
∫
ER
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dER. (2.10)
Применяя первую формулу Грина [5] и учитывая нулевое граничное условие, на-
ходим
ε3R(t) = −
n∑
i=1
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dER −
m∑
j=1
t∫
0
∫
ER
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dER.
(2.11)
Введем обозначения
n∑
i=1
∫
E
(
∂
∂xi
u(t, x, y)
)2
dE = ‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E) , (2.12)
m∑
j=1
∫
E
(
∂
∂yj
u(t, x, y)
)2
dE = ‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) . (2.13)
Переходя в (2.5) – (2.10) к пределу приR→ +∞ и учитывая (2.12), (2.13), получаем
ε(R) = −
∫
E
(
∂
∂t
u(t, x, y)
)2
dE− ω
2
‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
218 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
−ω
2
‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) − a
2
t∫
0
‖∇xu(t, x, y)‖2L2(E) dt −
− a2
t∫
0
‖∇yu(t, x, y)‖2L2(E) dt = 0 (2.14)
при любом t > 0. Учитывая значения начальных данных для однородной задачи и
граничное условие (2.3), имеем
u(t, x, y) ≡ 0
при любом t > 0.
Теорема 2.1 доказана.
3. Построение функции Грина стационарной задачи. Для построения реше-
ния смешанной задачи (2.1) – (2.3) изучим стационарную задачу, соответствующую
задаче (2.1) – (2.3). С учетом оценки (2.4) выполним преобразование Лапласа над
задачей (2.1) – (2.3). В результате получим(
k2 − kω∆n,m − a2∆n,m
)
V (k, x, y) = F(k, x, y), (3.1)
V (k, x, y)|∂E = 0, (3.2)
где Re k ≥ ε > 0, V (k, x, y) — преобразование Лапласа по t от u(t, x, y), знак ∧
над функцией обозначает преобразование Лапласа по t этой функции, а
F(k, x, y) = f̂(k, x, y) + ϕ1(x, y) + (k − ω∆n,m)ϕ0(x, y).
Учитывая оценку (2.4), применяем к задаче (3.1), (3.2) преобразование Фурье
по x. Тогда(
k2 +
(
ωk + a2
)
|s|2
)
Ṽ (k, s, y)− (ωk + a2)∆mṼ (k, s, y) = F̃(k, s, y), (3.3)
Ṽ (k, s, y)|∂Ω = 0, (3.4)
где знак ∼ над функцией обозначает преобразование Фурье по x.
Рассмотрим дифференциальный оператор L, порожденный дифференциальным
выражением L̃ = ∆m, с областью определения
D(L) =
{
u(y) : u(y) ∈W 1
2 (Ω), L̃u ∈ L2(Ω)
}
.
Оператор L отрицательно-самосопряженный, спектр его дискретен и для собствен-
ных значений λl имеет место неравенство
0 > λ1 ≥ . . . ≥ λl ≥ . . . , lim
l→+∞
λl = −∞.
Собственные функции ψl(y) оператораL, соответствующие собственным значе-
ниям λl, образуют базис в пространстве L2(Ω) [7]. Использовав этот факт, докажем
следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 219
Теорема 3.1. Функция Грина задачи (3.1), (3.2) является аналитической функ-
цией от комплексного параметра k в полуплоскости Re k ≥ ε, и для нее имеет
место представление
G(k, x, y, z) =
i
4
(2π)−n/2
|x|1−n/2
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|x|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z), (3.5)
где H(1)
n/2−1(z) — функция Ханкеля первого рода.
При |x| ≥ δ > 0 ряд в (3.5) сходится равномерно по (k, x, y, z) в каждом
компакте из {Re k ≥ ε} × E× Ω и его можно дифференцировать по (x, y) любое
число раз. Функция (3.5) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость
Re k < ε, в которой имеет точки ветвления
k
(l)
1,2 = −|λl|ω
2
±
√
|λl|2ω
4
− |λl|a2,
из которых k(l)
1 → −
a2
ω
, k
(l)
2 → −∞ при l→ +∞. При нечетных n точки ветвле-
ния являются алгебраическими, а при четных n — трансцендентными.
Доказательство. Используя теорему 3.6 из [7] для решения задачи (3.3), (3.4),
имеем
Ṽ (k, s, y) =
∞∑
l=1
Cl(s, k)ψl(y)
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
,
где
Cl(s, k) =
1
(2π)n
∫
Ω
F̃(k, s, y)ψl(y)dy. (3.6)
Решение задачи (3.1), (3.2) определяется как обратное преобразование Фурье
от (3.6):
V (k, x, y) =
1
(2π)n
∞∑
l=1
ψl(y)
∫
Rn
Cl(s, k)e−i(s,x)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.7)
Здесь интегрирование законно в силу равномерной сходимости ряда в (3.6), которая
будет показана ниже.
Вычислим интегралы в (3.7). Подставляя выражение Cl(s, k) из (3.6) в (3.7),
получаем
V (k, x, y) =
1
(2π)n
∞∑
l=1
ψl(y)
∫
Rn
Fl(k, ξ)
∫
Rn
ei(s,x−ξ)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
dξ,
(3.8)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
220 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
Fl(k, ξ) =
∫
Ω
F(k, ξ, y)ψl(y)dy.
Теперь вычислим интеграл в (3.8). Обозначим τ = x− ξ и
Jl(τ, k) =
1
(2π)n
lim
N→+∞
∫
|s|≤N
ei(s,τ)ds
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.9)
Переходя в (3.9) к сферическим координатам и учитывая при этом сферическую
симметричность подынтегральной функции, находим
Jl,N (τ, k) = (2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
0
|s|n/2Jn/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
, (3.10)
где Jn/2−1(z) — функции Бесселя порядка n/2− 1.
Далее, вычислим интеграл в (3.10). Пусть n— нечетное число. Тогда zn/2Jn/2−1(z)
есть четная функция. Поэтому
Jl,N (τ, k) =
1
2
(2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2Jn/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
. (3.11)
Используем формулу
Jn/2−1(z) =
1
2
(
H
(1)
n/2−1(z) +H
(2)
n/2−1(z)
)
(3.12)
из [8], где H(1,2)
ν (z) — функции Ханкеля I и II рода. Подставляя (3.12) в (3.11),
получаем
Jl,N (τ, k) =
=
1
4
(2π)−(n/2+1)|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(1)
n/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
+
+
N∫
−N
|s|n/2H(2)
n/2−1 (|τ | |s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
≡
≡ J (1)
l,N (τ, k) + J
(2)
l,N (τ, k). (3.13)
Подынтегральные функции в (3.13) имеют полюсы в точках
|s|(l)1,2 = ±i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
.
При Re k > 0 корни |s|(l)1,2 расположены поровну в верхней и нижней полуплос-
костях, симметрично относительно вещественной оси.
Учитывая асимптотику функции Ханкеля H(1,2)
ν (z) [9] при больших значениях
аргумента, получаем, что подынтегральная функция в J (1)
l,N (τ, k) в полуплоскости
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 221
Im|s| > 0, |s| → ∞, экспоненциально убывает. Выходя в верхнюю полуплоскость
и применяя метод вычетов, находим
J
(1)
l,N (τ, k) =
i
8
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Выходя в нижнюю полуплоскость Im|s| < 0, аналогичным образом имеем
J
(2)
l,N (τ, k) = − i
8
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
×
×
(
−i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
H
(2)
n/2−1
(
−i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Учитывая формулу
H
(2)
n/2−1(−z) = (−1)n/2−1H
(1)
n/2−1(z), (3.14)
из [9] получаем
J
(1)
l,N (τ, k) = J
(2)
l,N (τ, k). (3.15)
Подставляя значения J (1)
l,N (τ, k), J (2)
l,N (τ, k) в (3.13), учитывая (3.14) и устремляя
N к бесконечности, находим
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
. (3.16)
Пусть теперь n — четное число. Выражая функцию Бесселя через функции Ханкеля
по формуле (3.12), имеем
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
0
|s|n/2
(
H
(1)
n/2−1 (|τ | |s|) +H
(2)
n/2−1 (|τ | |s|)
)
d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
(3.17)
Поскольку при четных n
H
(2)
n/2−1(z) = (−1)n/2H(2)
n/2−1(z),
интеграл в (3.17) можно привести к виду
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(1)
n/2−1 (|τ ||s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
222 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
При Im |s| > 0, действуя так же, как при вычислении J (1)
l,N (τ, k), и устремляя N к
бесконечности, получаем
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
При Im |s| < 0, используя формулу (3.14), интеграл в (3.17) можно привести к виду
Jl,N (τ, k) =
(2π)−(n/2+1)
2
|τ |1−n/2
N∫
−N
|s|n/2H(2)
n/2−1 (|τ | |s|) d|s|
|s|2 (a2 + ωk) + k2 − (a2 + ωk)λl
.
Далее, применяя метод вычетов, при этом выходя в нижнюю полуплоскость Im |s| <
< 0, и устремляя N к бесконечности, находим
Jl(τ, k) = − i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
−i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(2)
n/2−1
(
−i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
.
Учитывая четность и формулу (3.14), получаем
Jl(τ, k) =
i
4
(2π)−n/2
|τ |1−n/2
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|τ |
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
,
т. е. формулу (3.16).
Таким образом, для Jl(τ, k) при нечетных и четных n получили одну и ту же
формулу (3.16). Подставляя (3.16) в (3.8) и выделяя F(k, ξ, z), имеем
V (k, x, y) =
∫
E
G(k, x− ξ, y, z)F(k, ξ, z)dE, (3.18)
где
G(k, x, y, z) =
i
4
(2π)−n/2
|x|1−n/2
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×H(1)
n/2−1
(
i|x|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z). (3.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 223
Функция G(k, x, y, z) называется функцией Грина задачи (3.1), (3.2). Изучим
теперь сходимость ряда в (3.19). Обозначим через Oδ
(
−a
2
ω
)
δ-окрестность точки
k = −a
2
ω
.
Тогда в любом компакте K ⊂ C\Oδ
(
−a
2
ω
)
при достаточно большом l имеем
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥ |λl|1/2(1− ε),
где ε > 0 — достаточно малое число. Используя асимптотику функции Ханкеля
H
(1)
n/2−1(z) при больших значениях |z| [9], в компакте K получаем
∣∣G(k, x, y, z)
∣∣ ≤ C(n, ω, ε)
|k|
∞∑
l=1
|λl|(n−3)/4e−|x|(1−ε)|λl|
1/2
‖ψl(y)‖2C(Ω) . (3.20)
Здесь C(σ, ε, n) — некоторая константа, зависящая от σ, ε, n. В [8] получена сле-
дующая оценка собственных функций оператора L :∥∥ψl(y)
∥∥
Cν(Ω)
≤ C|λl|([m/2]+1+ν)/2. (3.21)
Известно [10], что
C0l
2/m ≤ |λl| ≤ C1l
2/m, (3.22)
где C0, C1 — константы, не зависящие от l. Тогда из (3.21) и (3.22) имеем∥∥ψl(y)
∥∥
Cν(Ω)
≤ Cl([m/2]+1+ν)/m.
Из (3.20) и (3.21) при ν = 0 находим
∣∣G(k, x, y, z)
∣∣ ≤ C(n, ω, δ)
|k|
∞∑
l=1
|λl|((n−3)/4+[m/2]+1)/2e−|x|(1−ε)|λl|
1/2
. (3.23)
Пусть теперь |x| ≥ δ > 0. Тогда в силу оценки (3.22) ряд в (3.23) сходится
равномерно в каждом компакте K1 ⊂ {Re k ≥ ε} × E × Ω. Используя формулу
дифференцирования функций Ханкеля [9] и их асимптотику при больших зна-
чениях аргумента так же, как и выше, можно показать, что ряд в (3.19) можно
дифференцировать по (x, y) любое число раз. Остальные утверждения теоремы
следуют из представления (3.5).
Теорема 3.1 доказана.
4. Существование решения смешанной задачи (2.1) – (2.3) и его оценка при
больших значениях времени. Решение смешанной задачи (2.1) – (2.3) определя-
ется как обратное преобразование Лапласа от V (k, x, y):
u(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
V (k, x, y)ektdk. (4.1)
Подставляя в (4.1) выражение V (k, x, y) из (3.18), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
224 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
u(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
ekt
∫
E
G(k, x− ξ, y, z)×
×
[
f̂(k, ξ, z) + ϕ1(ξ, z) + (k − ω∆n,m)ϕ0(ξ, z)
]
dE dk ≡
≡
3∑
ν=1
uν(t, x, y). (4.2)
Как следует из формулы (4.2), uν(t, x, y) являются обратным преобразованием Лап-
ласа по t от Vν(k, x, y), определяемых по формуле
V1(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ f̂(k, x, y),
V2(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ ϕ1(x, z), (4.3)
V3(k, x, y) = G(k, x, y, z) ∗ (k − ω∆n,m)ϕ0(x, z),
где свертка совершается по цилиндру E.
Рассмотрим каждое слагаемое в (4.2) в отдельности. Для изучения сходимости
интегралов, входящих в эти слагаемые, докажем следующую лемму.
Лемма 4.1. При |Im k| ≥ N, Re k ≥ 0 имеет место неравенство
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥ α1
(
|λl|+
Re k
ω
)1/2
+ α2
(
|Im k|
ω
)1/2
,
где N — достаточно большое число, α1 =
√√
2 + 1
25/4
, α2 =
1
25/4
.
Доказательство. Поскольку для достаточно больших |k|
k2
a2 + ωk
∼ k
ω
,
при |Im k| ≥ N, Re k ≥ 0 имеем
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∼ Re
√
|λl|+
k
ω
=
=
√√√√√√
√(
|λl|+
Re k
ω
)2
+
(
Im k
ω
)2
+ |λl|+
Re k
ω
2
. (4.4)
При любых вещественных a и b√
a2 + b2 ≥ |a|√
2
+
|b|√
2
. (4.5)
Дважды применив неравенство (4.4) к (4.3), получим
Re
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
≥
√√
2 + 1
25/4
(
|λl|+
Re k
ω
)1/2
+
1
25/4
(
|Im k|
ω
)1/2
.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 225
В дальнейшем будем полагать, что ρ(x) = eC0|x|, где 0 < C0 <
√(
1 +
1√
2
)
|λ1|,
λ1 — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа в области
Ω. Имеет место следующая теорема.
Будем считать n ≥ 3 и положим
β =
[
n− 3
2
]
, если n нечетное,[
n− 3
2
]
+ 1, если n четное.
Теорема 4.1. Пусть ∂Ω ∈ C(2m+β), f(t, x, y) = f(x, y)eiω
∗t, f(x, y),
∆n,mϕ0(x), ϕ1(x, y) ∈ H(0,β) (E, ρ(x)) .
Тогда для решения u(t, x, y) задачи (2.1) – (2.3) имеет место принцип предель-
ной амплитуды, т. е. при t→ +∞
u(t, x, y) = V (iω∗, x, y)eiω
∗t +W (t, x, y),
где V (iω∗, x, y) — решение стационарной задачи (3.1), (3.2) при k = iω∗ с правой
частью f(x, y), ω∗ — любое вещественное число,∥∥W (t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤
≤ Ceδt
[
‖∆n,mϕ0(ξ, z)‖H(0,β)(E,ρ(ξ)) + ‖ϕ1(x, y)‖H(0,β)(E,ρ(x))
]
,
C — некоторая константа, зависящая от ω, a, n, m; −a
2
ω
< δ < 0.
Доказательство. Рассмотрим
V1(k, x, y) =
i
4
(2π)−n/2
1
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
E
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)ψl(z)f̂(k, ξ, z),
в силу равномерной сходимости ряда в (3.19)
f̂l(ξ, k) =
∫
Ω
f̂(k, ξ, z)ψl(z)dz.
Тогда
V1(k, x, y) =
i
4
(2π)−n/2
1
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)f̂l(ξ, k)dξ,
(4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
226 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
u1(t, x, y) =
1
2πi
ε+i∞∫
ε−i∞
ektV1(k, x, y)dk =
=
(2π)−n/2−1
4
ε+i∞∫
ε−i∞
ekt
a2 + ωk
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
H
(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)
fl(ξ)
k − iω
dξdk.
Выберем число δ так, чтобы −a
2
ω
< δ < 0, и рассмотрим в комплексной
плоскости C контур
Γ = T−N ∪ [δ − iN, α+ iN ] ∪ TN ,
где T−N , TN — лучи, выходящие из точек k = ±iN и составляющие с мнимой
осью углы ±π
6
. Учитывая лемму 4.1 и то, что функция Ханкеля при |Im k| → ∞
экспоненциально убывает, контур интегрирования в (4.6) можно заменить на Γ, где
−a
2
ω
< δ < 0. Меняя в (4.6) порядок интегрирования и применяя теорему Коши,
получаем
u1(t, x, y) = V1(iω∗, x, y)eitω
∗
+
+
∫
Γ
ektV1(k, x, y)dk ≡ V1(iω∗, x, y) + u1,δ(t, x, y).
Оценим норму u1,δ(t, x, y) при больших t:
I1,δ(t) =
∫
E
eC0|x|u2
1,δ(t, x, y)dE =
=
∫
E
eC0|x|
1
2πi
∫
Γ
ekt
(k − iω) (a2 + ωk)
∞∑
l=1
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
ψl(y)fl(ξ)dξ
dk
2
dE.
(4.7)
Поскольку ψl(y) образуют ортонормированный базис в пространстве L2(Ω), то
I1,δ(t) =
= − 1
4π2
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
∫
Γ
ekt
(k − iω∗)(a2 + ωk)
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 227
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
fl(ξ)dξ
dk
2
dx.
(4.8)
Теперь оценим интегралы в (4.7). При больших |Im k|
I1,δ(t) ≤
≤ C
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
∫
Γ
etRe k 1
|k − iω∗| |a2 + ωk|
×
×
(
|λl|(n/2−1)/2 +
∣∣∣∣ kω
∣∣∣∣(n/2−1)/2
)
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1/2−n/2 1
|k − iω|
∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
× e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Im k/ω|1/2)
∣∣fl(ξ)∣∣dξ∣∣dk∣∣
2
dx ≡
≡ C
∫
Rn
eC0|x|
∞∑
l=1
[(
I
(1)
1,δ,l(x, t)
)2
+
(
I
(2)
1,δ,l(x, t)
)2
]
dx,
I
(1)
1,δ,l(x, t) =
1√
2π
∫
Γ
etRe k |λl|(n/2−1)/2
|k − iω||a2 + ωk|
×
×
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2 1∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
×e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Im k/ω|1/2) |fl(ξ)| dξ |dk| , (4.9)
I
(2)
1,δ,l(x, t) =
1√
2π
∫
Γ
etRe k 1
|k − iω| |a2 + ωk|
∣∣∣∣ kω
∣∣∣∣(n/2−1)/2
×
×
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2 1∣∣∣∣∣
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
∣∣∣∣∣
×
×e−|x−ξ|(α1|λl|1/2+α2|Imk/ω|1/2) |fl(ξ)| dξ |dk| . (4.10)
Оценивая внешний интеграл в (4.10), при больших t имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
228 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
I
(1)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δt|λl|n/4−1
∫
Rn
|x− ξ|(1−n)/2e−α1|λl|1/2|x−ξ| |fl(ξ)| dξ.
Применяя неравенство Коши – Буняковского, находим
I
(1)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δt|λl|n/4−1
∫
Rn
|x− ξ|1−ne−α1|λl|1/2|x−ξ|dξ
1/2
×
×
∫
Rn
e−α1|λl|1/2|x−ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
≤
≤ Ceδt|λl|β/2e−α1|λ1|1/2|x|
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
.
Аналогичным образом получаем
I
(2)
1,δ,l(x, t) ≤ Ce
δte−α1|λ1|1/2|x|
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
1/2
. (4.11)
Подставляя (4.11) в (4.9), имеем
I1,δ(t) ≤ Ce2δt
∫
Rn
e(C0−2α1|λ1|1/2)|x|×
×
∞∑
l=1
(
|λl|β + 1
) ∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|f2
l (ξ)dξ
dx. (4.12)
В силу условий на функцию f(x, y), меняя порядок суммирования и интегри-
рования и учитывая формулу (35) из [10], находим
I1,δ(t) ≤ Ce2δt
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ| ‖f(ξ, z)‖2Hβ(Ω) dξ ≤
≤ Ce2δt ‖f(ξ, z)‖2H(0,β)(E,ρ(ξ)) ,
где Hβ(Ω) — пространство Соболева – Слободецкого. Отсюда получаем∥∥u1,δ(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥f(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
, (4.13)
u2(t, x, y) и u3(t, x, y) оцениваются точно так же, как u1δ(t, x, y). Поэтому при
больших t > 0 имеем∥∥u2(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥ϕ1(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
,∥∥u3(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ Cδt
∥∥∆n,mϕ0(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(ξ))
.
(4.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОРРЕКТНОГО ПО ПЕТРОВСКОМУ УРАВНЕНИЯ . . . 229
Из (4.13) и (4.14) следует доказательство теоремы 4.1.
Теперь рассмотрим задачу (2.1) – (2.3) в случае, когда правая часть уравне-
ния (2.1) f(t, x, y) не является периодической функцией от времени. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 4.2. Если f(t, x, y) ∈ C0
[
[0,∞), H(0,β)(E, ρ(x))
]
и выполнены ос-
тальные условия теоремы 4.1, то для решения смешанной задачи (1.1) – (1.3) при
больших t имеет место оценка
∥∥u(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
≤ C
t∫
0
∥∥f(t, x, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dt
1/2
+
+ eδt
[∥∥∆n,mϕ0(ξ, z)
∥∥
H(0,β)(E,ρ(x))
+ ‖ϕ1(x, y)‖H(0,β)(E,ρ(x))
] .
Доказательство. Поскольку {ψl(y)} образует ортонормированный базис в
L2(Ω), по формуле Парсеваля имеем
∫
Ω
u2
1(t, x, y)dy =
∞∑
l=1
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
ε+i∞∫
ε−i∞
ekτ
a2 + ωk
(
i
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)n/2−1
×
×
∫
Rn
|x− ξ|1−n/2H(1)
n/2−1
(
i|x− ξ|
√
|λl|+
k2
a2 + ωk
)
fl(t− τ, ξ)dξ
dτ
∣∣∣∣∣∣
2
.
Здесь также применена формула Эфроса. Рассуждая так же, как при оценке I1,δ(t),
получаем ∫
Ω
u2
1(t, x, y)dy ≤ C(ω, δ, n)e−2α1|λ1|1/2|x|×
×
t∫
0
∫
Rn
eα1|λ1|1/2|ξ|
( ∞∑
l=1
(
1 + |λ1|β
)
f2
l (t− τ, ξ)
)
dξ
dτ ≤
≤ C(ω, δ, n)e−2α1|λ1|1/2|x|
t∫
0
∥∥f(t− τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(ξ))
dτ. (4.15)
Умножая обе части (4.15) на eC0|x| и интегрируя по Rn, находим∫
E
eC0|x|u2
1(t, x, y)dE ≤
≤ C(ω, δ, n)
∫
Rn
e(C0−2α1|λ1|1/2)|x|dx
t∫
0
∥∥f(t− τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dτ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
230 Б. А. ИСКЕНДЕРОВ, Э. С. ГУСЕЙНОВА
Отсюда при C0 < 2α1|λ1|1/2
‖u1‖L2(E,ρ(x)) ≤ C(ω, δ, n)
t∫
0
∥∥f(τ, ξ, y)
∥∥2
H(0,β)(E,ρ(x))
dτ
1/2
. (4.16)
Из (4.2), (4.14), (4.16) следует доказательство теоремы 4.2.
Замечание . Как следует из формулы (4.15), если f(t, x, y) ≡ 0, то∥∥u(t, x, y)
∥∥
L2(E,ρ(x))
при больших t экспоненциально убывает.
1. Войт С. С. Распространение начальных уплотнений в вязком газе // Уч. зап. МГУ им. М. В. Ло-
моносова. Механика. – 1954. – 5, № 172. – С. 125 – 142.
2. Горбачук М. Л., Кочубей А. Н., Шкляр А. Я. О стабилизации решений дифференциальных урав-
нений в гильбертовом пространстве // Докл. РАН. – 1995. – 341, № 6. – С. 734 – 736.
3. Iskenderov B. A., Huseynova E. S. On a mixed problem in boundary domain for one equation correct by
Petrovskii and estimate of its solution // Trans. NAS Azerbaijan. Ser. Phys.-Techn., Math. Sci. – 2005. –
25, № 7. – P. 31 – 40.
4. Huseynova E. S. On a behaviour of the solution of Cauchy problem for one correct by Petrovsky equation
at large time // Ibid. – 2006. – 26, № 7. – P. 85 – 96.
5. Владимиров В. С. Уравнение математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
6. Смирнов В. И. Курс высшей математики. – М.: Физматгиз, 1959. – Т. 5. – 655 с.
7. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1977. – 504 c.
8. Iskenderov B. A. Principles of radiation for elliptic equation in the cylindrical domain // Colloq. math.
sic. Janos Bolyai. Szeged, Hungary. – 1988. – P. 249 – 261.
9. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций. – М.: Наука, 1974. – 303 с.
10. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983. – 424 c.
Получено 09.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
|