О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках

О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках

Розв'язано задачу про існування усередненого за Стєкловим несиметричного сплайна, що набуває однакових мінімальних значень у наперед заданих точках

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2009
Main Author: Скороходов, Д.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2009
Series:Український математичний журнал
Subjects:
Статті
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166218
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 261-267. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166218
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1662182025-02-09T20:49:05Z О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points Скороходов, Д.С. Статті Розв'язано задачу про існування усередненого за Стєкловим несиметричного сплайна, що набуває однакових мінімальних значень у наперед заданих точках We solve the problem of existence of an asymmetric spline averaged in Steklov’s sense that takes equal minimum values at given points. Автор выражает благодарность В.Ф. Бабенко за помощь в обсуждении данной работы. 2009 Article О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 261-267. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166218 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Статті
Статті
spellingShingle Статті
Статті
Скороходов, Д.С.
О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
Український математичний журнал
description Розв'язано задачу про існування усередненого за Стєкловим несиметричного сплайна, що набуває однакових мінімальних значень у наперед заданих точках
format Article
author Скороходов, Д.С.
author_facet Скороходов, Д.С.
author_sort Скороходов, Д.С.
title О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
title_short О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
title_full О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
title_fullStr О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
title_full_unstemmed О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
title_sort о существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2009
topic_facet Статті
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166218
citation_txt О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках / Д.С. Скороходов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 2. — С. 261-267. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Український математичний журнал
work_keys_str_mv AT skorohodovds osuŝestvovaniiobobŝennogonesimmetričnogoαβsplainausredneniâkotorogoprinimaûtravnyeminimumyvzadannyhtočkah
AT skorohodovds ontheexistenceofageneralizedasymmetricαβsplinewhoseaveragevalueshaveequalminimaatgivenpoints
first_indexed 2025-11-30T16:12:23Z
last_indexed 2025-11-30T16:12:23Z
_version_ 1850232428729204736
fulltext UDK 517.5 D. S. Skoroxodov (Dnepropetr. nac. un-t) O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( )αα ββ, -SPLAJNA, USREDNENYQ KOTOROHO PRYNYMAGT RAVNÁE MYNYMUMÁ V ZADANNÁX TOÇKAX We solve the problem of the existence of an asymmetric spline which is averaged in the Steklov sense and attains equal minimal values at preassigned points. Rozv�qzano zadaçu pro isnuvannq userednenoho za St[klovym nesymetryçnoho splajna, wo nabuva[ odnakovyx minimal\nyx znaçen\ u napered zadanyx toçkax. Pust\ C y Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ , � prostranstva 2π -peryodyçeskyx funkcyj f : R → → R s sootvetstvugwymy normamy ⋅ C y ⋅ p. Dlq n ∈ N oboznaçym çerez R∞ n prostranstvo Rn , v kotorom rasstoqnye meΩdu toçkamy x y n, ∈ ∞R naxo- dytsq po pravylu x y− = max , ,x y x yn n1 1− … −{ } . Napomnym, çto svertkoj dvux funkcyj K L, ϕ ∈ 1 naz¥vaetsq funkcyq K ∗ ϕ , kotoraq opredelqetsq sledugwym obrazom: ( )( )K x∗ ϕ : = K x t t dt( ) ( )−∫ ϕ π 0 2 . Pry πtom funkcyq K naz¥vaetsq qdrom svertky. Dlq zadannoho qdra K polo- Ωym µ = µ ( K ) = 1, esly K t dt( ) 0 2π ∫ = 0, y µ = µ ( k ) = 0, esly K t dt( ) 0 2π ∫ ≠ 0. Dlq funkcyj f g L, ∈ 1 oboznaçym çerez f g⊥ tot fakt, çto 0 2π ∫ f t g t dt( ) ( ) = = 0. Budem hovoryt\, çto qdro K L∈ 1 qvlqetsq CVD -qdrom (sm. [1]), esly dlq lgb¥x a ∈ R y ϕ ∈C , ϕ µ⊥ , ymeet mesto neravenstvo ν µ ϕ( )a K+ ∗ ≤ ν ϕ( ), (1) hde ν ( g ) oboznaçaet kolyçestvo peremen znaka funkcyy g ∈ C na peryode. Oçevydno, çto qdra Bernully Dr (sm. [2], § 3.5) qvlqgtsq CVD -qdramy dlq vsex r ∈ N . Ewe odnym, no daleko ne edynstvenn¥m, vaΩn¥m semejstvom CVD - qder qvlqetsq semejstvo { }Aε ε >0 funkcyj, opredelqem¥x sledugwym obra- zom: A xε( ) : = 1 2π ε exp( ) ( ) ikx kk ch= −∞ ∞ ∑ . Kak pokazano v [3], semejstvo { }Aε ε >0 qvlqetsq takΩe del\taobrazn¥m semej- stvom funkcyj pry ε → 0 . Dlq proyzvol\noj yzmerymoj funkcyy g poloΩym g t±( ) : = max ( ),±{ }g t 0 . Pust\ α β, > 0 , n ∈ N . Oboznaçym çerez Sn α β, mnoΩestvo vsex funkcyj f ta- kyx, çto α β− + − −−1 1f t f t( ) ( ) ≡ 1 na peryode, f ⊥ 1 y ν ( f ) ≤ 2 n . ∏lement¥ © D. S. SKOROXODOV, 2009 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 261 262 D. S. SKOROXODOV mnoΩestva Sn α β, budem naz¥vat\ nesymmetryçn¥my ( , )α β -splajnamy yly pros- to splajnamy. Nesymmetryçn¥e ( , )α β -splajn¥, v çastnosty ( , )1 1 -splajn¥, qvlqgtsq ysk- lgçytel\no vaΩn¥my funkcyqmy, kotor¥e naßly mnohoçyslenn¥e prymene- nyq v teoryy pryblyΩenyj (sm., naprymer, [2, 4, 5]). Tak, v teoryy kvadratur, kak pokazano v rabote [6], vopros o nayluçßej kvadraturnoj formule na dosta- toçno ßyrokom klasse funkcyj po suwestvu svodytsq k reßenyg πkstremal\- noj zadaçy dlq nesymmetryçn¥x splajnov. Pust\ h > 0. Operator Sh : L1 → C takoj, çto S f xh( )( ) : = 1 2h f x t dt h h ( )+ − ∫ , naz¥vaetsq operatorom usrednenyq po Steklovu. Rezul\tat dejstvyq πtoho ope- ratora na funkcyg f ∈ L1 budem oboznaçat\ çerez f h . UtverΩdenyq o suwestvovanyy funkcyj, prynadleΩawyx nekotoromu klas- su y prynymagwyx odynakov¥e znaçenyq v zadann¥x toçkax, predstavlqgt bol\- ßoj ynteres dlq teoryy kvadratur (sm., naprymer, [4 – 12]). Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema 1. Pust\ α β, > 0 , n ∈ N , h ∈ ( 0, π / n ) y K � proyzvol\noe CVD -qdro. Tohda dlq lgboho nabora çysel 0 < x1 < … < xn < 2π suwestvu- et funkcyq f ∈ Sn α β, takaq, çto dlq vsex j = 1, n ( )( )K f xh j∗ = min ( ) [ , ) ( ) t hK f t ∈ ∗ 0 2π . Dlq dokazatel\stva teorem¥ 1 prymenym metod, predloΩenn¥j v rabote [5]. Otmetym, çto dlq dokazatel\stva podobn¥x utverΩdenyj πtot metod ne qvlqet- sq edynstvenn¥m. Suwestvugt metod¥, opyragwyesq na teoremu Borsuka (sm. [13]), a takΩe metod¥, v kotor¥x yskomug funkcyg f ∈ Sn α β, moΩno najty kak reßenye πkstremal\noj zadaçy (sm., naprymer, [6]). Odnako teoremu 1 s pomo- w\g poslednyx dvux metodov moΩno dokazat\ lyß\ dlq napered zadann¥x to- çek, dlq kotor¥x x1 < x2 – 2 h < … < xn – 2 ( n – 1 ) h < x1 + 2π – 2nh . Realyzacyq metoda yz rabot¥ [5] natalkyvaetsq na trudnosty, svqzann¥e s tem, çto operator usrednenyq po Steklovu ne qvlqetsq CVD -qdrom. Odnako, ymeet mesto nekotoroe oslablenye uslovyq (1) dlq operatorov Sh , kotoroe da- etsq sledugwej lemmoj. Lemma 1. Pust\ α β, > 0 , n ∈ N y splajn¥ s s Sn 1 2, ,∈ α β takov¥, çto ν( )sh 1 = ν( )sh 2 = 2n . Krome toho, pust\ raznost\ s s1 2− ne ymeet nulev¥x πkstremumov. Tohda dlq vsex h ∈ ( 0, π / n ) y λ ∈ R ν λ( )+ −s sh h 1 2 ≤ ν( )s s1 2− . Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ moΩno provesty analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 7 v rabote [14]. Perejdem teper\ k dokazatel\stvu teorem¥ 1. Vezde nyΩe budem predpolahat\ qdro K analytyçeskym na dejstvytel\noj osy. ∏to moΩno sdelat\ vsledstvye toho fakta, çto semejstvo funkcyj { }A Kε ε∗ >0 � sovokupnost\ CVD -qder, qvlqgwyxsq analytyçeskymy na dej- stvytel\noj osy y takyx, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 263 Aε ∗ K → K pry ε → 0 . Pust\ n ∈ N , h ∈ ( 0, π / n ) y α , β > 0. Oboznaçym çerez KNn mnoΩestvo funkcyj f, predstavym¥x v vyde f = K g ah∗ + , hde g Sn∈ α β, , a ∈ R y f ymeet rovno 2n πkstremumov na peryode. MnoΩestvo KNn nepusto, tak kak v sylu (1) K wh∗ ∈ KNn dlq proyzvol\noj 2π /n -peryo- dyçeskoj funkcyy w Sn∈ α β, . Dlq splajna f Sn∈ α β, çerez ξ1 < ξ2 < … < ξ2n < ξ1 + 2 π oboznaçym eho uzl¥, pronumerovann¥e takym obrazom, çto f ( t ) ≡ α pry t ∈ ∈ ( , )ξ ξ1 2 . Poskol\ku f ⊥ 1, nesloΩno vydet\, çto ( )− = ∑ 1 1 2 j j j n ξ = 2πβ α β+ . Sledovatel\no, proyzvol\naq systema toçek ξ1 < ξ2 < … < ξ2n < ξ1 + + 2 π , dlq kotoroj 2 1 1 2 1πβ α β ξ + − − = − ∑ ( ) j j j n < ξ π1 2+ , odnoznaçno opredelqet nekotor¥j splajn f Sn∈ α β, . Oboznaçym takug systemu toçek çerez ξ ξ ξj j j n=( )= −{ } 1 2 1 y nazovem ee opredelqgwej systemoj dlq splajna f . Splajn, sootvetstvugwyj systeme toçek ξ , oboznaçym çerez fξ . Dlq zadannoj opredelqgwej system¥ ξ poloΩym ξ2n = 2 1 1 2 1πβ α β ξ + − − = − ∑ ( ) j j j n y ξ2 1n+ = ξ π1 2+ . Pust\ Uρ ξ( ) � zamknut¥j ßar s centrom v toçke ξ = ( ), , ,ξ ξ ξ1 2 2 1… −n ra- dyusa ρ > 0 v prostranstve R ∞ −2 1n . Lemma 2. Pust\ ξ ∈ −R2 1n � opredelqgwaq systema dlq splajna f Sn ξ α β∈ , . Tohda najdetsq ρ > 0 takoe, çto proyzvol\naq toçka η ξρ∈U ( ) budet op- redelqgwej systemoj dlq nekotoroho splajna f Sn η α β∈ , . Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ moΩno provesty analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 3.2 yz [5]. Pust\ splajn f Sn∈ α β, takov, çto K f KNh n∗ ∈ , y ξ � eho opredelqgwaq systema. Dlq takoho splajna oboznaçym çerez 1ξ < 2ξ < … < nξ < 1 2ξ π+ te toçky, v kotor¥x funkcyq K f h∗ dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov. V sylu analytyçnosty na dejstvytel\noj osy y, sledovatel\no, ohranyçennosty qdra K najdetsq dostatoçno maloe çyslo ρ > 0, pry kotorom K f KNh n∗ ∈η dlq vsex η ξρ∈U ( ) . Rassmotrym proyzvol\n¥j ynterval ( , )a a + 2π , soderΩa- wyj toçky 1η < 2η < … < nη. Qsno, çto çyslo ρ moΩno v¥brat\ takym ob- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 264 D. S. SKOROXODOV razom, çtob¥ dlq lgboho η ξρ∈U ( ) toçky 1ξ < 2ξ < … < nξ , v kotor¥x funkcyq K f h∗ η dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov, takΩe prynadleΩaly yntervalu ( , )a a + 2π . OtobraΩenye τ ξρ: ( )U n→ −R2 1 opredelym sledugwym obrazom. Dlq kaΩ- doj toçky η ξρ∈U ( ) poloΩym τ ( η ) = 1 2 1 1η η η η η ηη η η η, , , ( ) ( ), , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )… ∗ − ∗ … ∗ − ∗{ }n h h h n hK f K f K f K f . NesloΩno ubedyt\sq v tom, çto otobraΩenye τ budet neprer¥vn¥m. Lemma 3. Suwestvuet ′ ∈ρ ρ( , )0 takoe, çto suΩenye otobraΩenyq τ na ßar U ′ρ ξ( ) qvlqetsq ynæektyvn¥m otobraΩenyem. Dokazatel\stvo. Pust\ a ≤ t1 ≤ t2 ≤ … ≤ t n2 < a + 2π � toçky, v koto- r¥x funkcyq K f h∗ ξ dostyhaet svoyx lokal\n¥x πkstremumov. PoloΩym mj : = ( )( )K f th j∗ ξ , j = 1 2, n. Çerez w0 oboznaçym naymen\ßee çyslo, udovletvorqgwee ravenstvu ω ξ( );K f wh∗ = 1 2 1 2 1min ,j n j jm m = + − , hde m n2 1+ = m1 y ω( ; )g t � modul\ neprer¥vnosty funkcyy g ∈ C. Pust\ θ : = 1 4 1 2 1n j n j jmin ,= + −ξ ξ . Dlq kaΩdoho ε ∈ −   = +0 1 8 1 2 1, min ,j n j jm m çyslo ′ρ v¥berem takym obrazom, çtob¥ ′ρ < min ; ;ρ θw0 2 2   y dlq proyzvol\- noho η ξρ∈ ′U ( ) rasstoqnye meΩdu funkcyqmy K f h∗ η y K f h∗ ξ v L∞ -metry- ke ne prev¥ßalo ε . Yz opredelenyq çysel ε y w0 sleduet, çto rasstoqnye meΩdu toçkamy, v kotor¥x funkcyq K f h∗ η , η ξρ∈ ′U ( ), dostyhaet svoyx lo- kal\n¥x πkstremumov, ne men\ße w0. PokaΩem, çto suΩenye otobraΩenyq τ na U ′ρ ξ( ) budet ynæektyvn¥m otob- raΩenyem. PredpoloΩym protyvnoe, t. e. najdutsq dve toçky η, ζ ξρ∈ ′U ( ), η ≠ ζ, ta- kye, çto τ ( η ) = τ ( ζ ) . Poskol\ku fη y fζ prynadleΩat mnoΩestvu KNn, ne- sloΩno vydet\, çto ν η( )f h = ν ζ( )f h = 2 n . (2) Pust\ a < 1η < … < nη < a + 2π y a < 1ζ < … < nζ < a + 2π � toçky, v kotor¥x funkcyy K f h∗ η y K f h∗ ζ dostyhagt svoyx lokal\n¥x mynymumov sootvetstvenno. Tohda, v sylu predpoloΩenyq, jη = jζ y ( ) ( )( ) ( )K f K fh j h∗ − ∗η ηη η1 = ( ) ( )( ) ( )K f K fh j h∗ − ∗ζ ζζ ζ1 dlq vsex j = 1, n . Bez ohranyçenyq obwnosty moΩem sçytat\, çto ζ η1 1− = ζ η− . Polo- Ωym u : = ζ η1 1− y rassmotrym funkcyg f t uη( )− . Dal\nejßye yssledovanyq provedem dlq sluçaq u > 0 (sluçaj u < 0 rassmatryvaetsq analohyçno). Oçevydno, çto systema ζ η η1 2 2 1, , ,+ … +{ }−u un qvlqetsq opredelqgwej ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 265 systemoj dlq splajna f t uη( )− . Poskol\ku u ≤ 2 ′ρ < 2θ, ymegt mesto ne- ravenstva ζ1 < ζ2 ≤ η2 + u < ζ3 ≤ η3 + u < … < ζ2 1n− ≤ η2 1n u− + < η2n u+ ≤ ζ2n . Yz πtoj cepoçky neravenstv sleduet, çto funkcyq f t u f tη ζ( ) ( )− − ymeet ne bolee 2n – 1 peremen znaka na peryode y vse ee πkstremum¥ ne qvlqgtsq nule- v¥my. PoloΩym g t1( ) : = ( ) ( )( ) ( )K f t u K fh h∗ − − ∗η η η1 , g t2( ) : = ( ) ( )( ) ( )K f t K fh h∗ − ∗ζ ζ η1 . PokaΩem, çto raznost\ g t1( ) – g t2( ) ymeet ne men\ße dvux peremen znaka na kaΩdom yntervale [ ],j jη η+1 , j = 1, n . Dejstvytel\no, tak kak u ≤ 2 ′ρ < < 2 0w , to g gj j1 2( ) ( )η η− > 0, j = 1, n . Krome toho, g u g uj j1 2( ) ( )η η+ − + < 0, j = 1, n . Takym obrazom, ν( )g g1 2− ≥ 2 n . (3) V sluçae, kohda µ = µ ( K ) = 1, poluçaem ν( )g g1 2− = ν η ηζ η η ζ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )K f K f K f u K fh h h h∗ − ∗ + ∗ ⋅ − − ∗ ⋅( )1 1 ≤ ≤ ν η ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅( ) . V sylu ravenstva (2) vydno, çto uslovyq lemm¥ 1 v¥polnen¥ dlq funkcyj f t uη( )− y f tζ( ). Sledovatel\no, ν( )g g1 2− ≤ ν η ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ ν η ζf u f( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ 2 2n − . Odnako πto protyvoreçyt neravenstvu (3). Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda µ = µ ( K ) = 0. Pust\ λ ∈ R � takoe çyslo, çto λ π K t dt( ) 0 2 ∫ = ( ) ( )( ) ( )K f K fh h∗ − ∗ζ ηη η1 1 . V πtom sluçae ν( )g g1 2− = ν η ηζ η η ζ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )K f K f K f u K fh h h h∗ − ∗ + ∗ ⋅ − − ∗ ⋅( )1 1 ≤ ≤ ν λη ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅ +( ) . S uçetom lemm¥ 1 y toho fakta, çto f t uη( )− – f tζ( ) ymeet ne bolee 2 2n − nenulev¥x lokal\n¥x πkstremuma, poluçaem ν( )g g1 2− ≤ ν λη ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅ +( ) ≤ ν η ζf u f( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ 2 2n − . Odnako πto snova protyvoreçyt neravenstvu (3). Sledovatel\no, suΩenye otob- raΩenyq τ na U ′ρ ξ( ) budet ynæektyvn¥m, çto y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥. Takym obrazom, yz lemm¥ 3 y neprer¥vnosty otobraΩenyq τ sleduet, çto τ � homeomorfyzm yz U ′ρ ξ( ) v R2 1n− . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 266 D. S. SKOROXODOV Pust\ E � mnoΩestvo toçek x = ( , , , )x x xn1 2 1… − ∈ Rn−1 takyx, çto 0 < < x1 < … < xn−1 < 2 π . Oçevydno, çto E � svqznoe mnoΩestvo. Pust\ E0 � takoe podmnoΩestvo mnoΩestva E, çto dlq kaΩdoj toçky x ∈ E0 najdetsq splajn f ∈ Sn α β, , dlq kotoroho K f KNh n∗ ∈ y K f h∗ dostyhaet svoyx lo- kal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1 1, , ,x xn… − . MnoΩestvo E0 ne pusto, tak kak ono soderΩyt toçku 2 2 1π π n n n , , ( )… −    . Dejstvytel\no, dlq proyzvol\noj 2π n -peryodyçeskoj funkcyy K f KNh n∗ ∈ moΩno v¥brat\ çyslo b takoe, çto funkcyq K f bh∗ ⋅ +( ) dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov v toçkax 2k n π , k = 0 1, n − . Lemma 4. MnoΩestvo E0 � otkr¥toe podmnoΩestvo mnoΩestva E . Dokazatel\stvo. V sylu opredelenyq mnoΩestva E0 dlq proyzvol\noj toçky x ∈ E0 najdetsq splajn f ∈ Sn α β, takoj, çto funkcyq K f h∗ dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1 1, , ,x xn… − . Pust\ ξ � opredelqgwaq systema dlq splajna f . V sylu lemm¥ 3 suwestvuet zamknut¥j ßar U ′ρ ξ( ) ta- koj, çto otobraΩenye τ ξρ: ( )U n ′ −→ R2 1 budet homeomorfyzmom. Tohda po teoreme ob ynvaryantnosty otkr¥toho mnoΩestva (sm. [15]) sleduet, çto toçka τ ξ( ) = ( , , , , , , )0 0 01 1x xn… …− budet vnutrennej toçkoj mnoΩestva τ ξρ( ( ))U ′ . Sledovatel\no, najdetsq okrestnost\ U ( x ) toçky x takaq, çto dlq proyzvol\- noj toçky y ∈ U ( x ) ( , , , , , , )0 0 01 1y yn… …− ∈ τ ξρ( ( ))U ′ . Takym obrazom, najdetsq toçka η ∈ U ′ρ ξ( ) takaq, çto τ ( η ) = ( , ,0 1y … … , yn− …1 0 0, , , ). ∏to y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥. Lemma 5. MnoΩestvo E0 qvlqetsq zamknut¥m podmnoΩestvom v E . Dokazatel\stvo. Pust\ x ∈ E y posledovatel\nost\ { }x Em m = ∞ ⊂1 0 sxo- dytsq k πlementu x pry m → ∞ . Po opredelenyg mnoΩestva E0 dlq kaΩdoj toçky xm najdetsq splajn fm ∈ Sn α β, s opredelqgwej systemoj ξ m = { }ξ j m m n = − 1 2 1 takoj, çto ( )( )K fm h∗ 0 = ( )( )K f xm h j m∗ , ( ) ( )K fm h∗ ′ 0 = ( ) ( )K f xm h j m∗ ′ , j = 1 1, n − . NesloΩno uvydet\, çto najdetsq podposledovatel\nost\ { }ξmk , sxodqwaq- sq k nekotoroj toçke ξ ∈ −R2 1n pry k → ∞ . Oçevydno, çto ξ � opredelqg- waq systema dlq splajna f ∈ Sn α β, . Sledovatel\no, f fmk − 1 → 0 pry k → → ∞ . Takym obrazom, posledovatel\nost\ { }K fm h kk ∗ = ∞ 1 sxodytsq ravnomerno k K f∗ , a posledovatel\nost\ ( )K fm h kk ∗ ′{ } = ∞ 1 � k ( )K f∗ ′ . Otsgda sleduet, çto ( )( ) ( )( )K f x K f xm h j m h jk k∗ → ∗ y ( ) ( ) ( ) ( )K f x K f xm h j m h jk k∗ ′ → ∗ ′ pry k → ∞ dlq vsex j = 1 1, n − y ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 267 ( ) ( )( ) ( )K f K fm h h k ∗ → ∗0 0 y ( ) ( )( ) ( )K f K fm h h k ∗ ′ → ∗ ′0 0 pry k → ∞ . Takym obrazom, ( ) ( )( ) ( )K f x K fh j h∗ = ∗ 0 , ( ) ( )( ) ( )K f x K fh j h∗ ′ = ∗ ′ =0 0 , j = 1 1, n − , y funkcyq K f h∗ dostyhaet ravn¥x lokal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1, ,x … … −, xn 1. ∏to y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥. Ytak, m¥ dokazaly, çto podmnoΩestvo E0 nepustoe, otkr¥toe y zamknutoe v svqznom mnoΩestve E . ∏to oznaçaet, çto E0 = E . Sledovatel\no, teorema 1 dokazana. Avtor v¥raΩaet blahodarnost\ V. F. Babenko za pomow\ v obsuΩdenyy dan- noj rabot¥. 1. Karlin S. Total positivity. – Stanford Univ. Press, 1968. 2. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyj. � M.: Nauka, 1976. � 320 s. 3. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1946. � 10. � S. 207 � 256. 4. Lyhun A. A. Toçn¥e neravenstva dlq splajn-funkcyj y nayluçßye kvadraturn¥e formu- l¥ na nekotor¥x klassax funkcyj // Mat. zametky. � 1976. � 19. � S. 913 � 926. 5. Motorn¥j V. P. O nayluçßej kvadraturnoj formule vyda p f xk kk n ( ) =∑ 1 na nekotor¥x klassax peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1974. � 38. � S. 583 � 614. 6. Babenko V. F. Approximations, widths and optimal quadrature formulae for classes of periodic functions with rearrangement invariant sets of derivatives // Anal. Math. – 1987. – 13. – P. 15 – 28. 7. Babenko V. F. Neravenstva dlq perestanovok dyfferencyruem¥x peryodyçeskyx funkcyj, zadaçy pryblyΩenyq y pryblyΩennoho yntehryrovanyq // Dokl. AN SSSR. � 1983. � 272. � S. 1038 � 1041. 8. Babenko V. F. O zadaçe optymyzacyy pryblyΩennoho yntehryrovanyq // Yzuçenye sovremen- n¥x voprosov summyrovanyq y pryblyΩenyq funkcyj y yx pryloΩenye. � Dnepropetrovsk, 1984. � S. 3 � 13. 9. Ûens¥kbaev A. A. Nayluçßaq kvadraturnaq formula na nekotor¥x klassax peryodyçes- kyx funkcyj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1977. � 41. � S. 1110 � 1124. 10. Ûens¥kbaev A. A. Monosplajn¥ mynymal\noj norm¥ y nayluçßye kvadraturn¥e formul¥ // Uspexy mat. nauk. � 1981. � 36. � S. 107 � 159. 11. Nykol\skyj S. M. Kvadraturn¥e formul¥. � M.: Nauka, 1988. 12. Motornyi V. P. On the best quadrature formula in the class of functions with bounded rth deriva- tive // E. J. Approxim. – 1998. – 4. – P. 459 – 478. 13. Spen\er ∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. � M.: Myr, 1971. 14. Babenko V. F., Skoroxodov D. S. Ob optymal\n¥x ynterval\n¥x kvadraturn¥x formulax na klassax peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj // Vestn. Dnepropetr. un-ta. Matema- tyka. � 2007. � 8. � S. 16 � 25. 15. Aleksandrov P. S. Kombynatornaq topolohyq. � M., 1956. Poluçeno 15.05.08 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2

Similar Items