Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями

Встановлено достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду систем управління. Для випадку, коли матриця Якобі є виродженою, шляхом зведення до центральної канонічної форми отримано достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду. We establish sufficient conditions for the absolu...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний журнал
Дата:	2009
Автор:	Жуматов, С.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2009
Теми:	Короткі повідомлення
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166220
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 418-424. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166220
record_format	dspace
spelling	Жуматов, С.С. 2020-02-18T07:26:20Z 2020-02-18T07:26:20Z 2009 Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 418-424. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166220 517.925:62.50 Встановлено достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду систем управління. Для випадку, коли матриця Якобі є виродженою, шляхом зведення до центральної канонічної форми отримано достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду. We establish sufficient conditions for the absolute stability of a program manifold of control systems. In the case where the Jacobi matrix is degenerate, sufficient conditions for the absolute stability of a program manifold is obtained by reduction to the central canonical form. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями Stability of a program manifold of control systems with locally quadratic relations Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
spellingShingle	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями Жуматов, С.С. Короткі повідомлення
title_short	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
title_full	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
title_fullStr	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
title_full_unstemmed	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
title_sort	устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями
author	Жуматов, С.С.
author_facet	Жуматов, С.С.
topic	Короткі повідомлення
topic_facet	Короткі повідомлення
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Stability of a program manifold of control systems with locally quadratic relations
description	Встановлено достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду систем управління. Для випадку, коли матриця Якобі є виродженою, шляхом зведення до центральної канонічної форми отримано достатні умови абсолютної стійкості програмного многовиду. We establish sufficient conditions for the absolute stability of a program manifold of control systems. In the case where the Jacobi matrix is degenerate, sufficient conditions for the absolute stability of a program manifold is obtained by reduction to the central canonical form.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166220
citation_txt	Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями / С.С. Жуматов // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 418-424. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT žumatovss ustoičivostʹprogrammnogomnogoobraziâsistemupravleniâslokalʹnokvadratičnymisvâzâmi AT žumatovss stabilityofaprogrammanifoldofcontrolsystemswithlocallyquadraticrelations
first_indexed	2025-11-25T22:13:40Z
last_indexed	2025-11-25T22:13:40Z
_version_	1850560987906703360
fulltext	K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q UDK 517.925:62.50 S. S. Ûumatov (Yn-t matematyky M-va obrazovanyq y nauky Respublyky Kazaxstan, Almat¥) USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ SYSTEM UPRAVLENYQ S LOKAL\|NO KVADRATYÇNÁMY SVQZQMY Sufficient conditions of the absolute stability of program manifold of control systems are obtained. For the case where the Jacobi matrix is degenerate, by the reduction to the central canonical form, sufficient conditions of the absolute stability of program manifold are found. Vstanovleno dostatni umovy absolgtno] stijkosti prohramnoho mnohovydu system upravlinnq. Dlq vypadku, koly matrycq Qkobi [ vyrodΩenog, ßlqxom zvedennq do central\no] kanoniçno] formy otrymano dostatni umovy absolgtno] stijkosti prohramnoho mnohovydu. V rabote N. P. Eruhyna [1] postroeno vse mnoΩestvo system dyfferencyal\n¥x uravnenyj, ymegwyx zadannug yntehral\nug kryvug, sformulyrovana zadaça y dan metod ee reßenyq. Dal\nejßee razvytye πta zadaça poluçyla v rabotax A. S. Halyullyna, Y. A. Muxametzqnova, R. H. Muxarlqmova y yx uçenykov [2 – – 4] kak zadaça postroenyq system dyfferencyal\n¥x uravnenyj, v kotor¥x hladkoe mnohoobrazye, opredelqemoe pereseçenyem hyperpoverxnostej, qvlqet- sq yntehral\n¥m. Rassmotrym materyal\nug systemu, ymegwug (n – s)-mernoe yntehral\noe mnohoobrazye Ω( )t ≡ ω( , )t x = 0, dvyΩenyq kotoroj opys¥vagtsq ob¥knoven- n¥my dyfferencyal\n¥my uravnenyqmy ẋ = f (t, x) – Bξ , ξ̇ = ϕ σ( ), σ = P RTω ξ– , (1) hde B, P, R � sootvetstvenno ( )n r× -, ( )s r× - y ( )r r× -matryc¥, x — n-mer- n¥j vektor sostoqnyq obæekta, f � n-mernaq vektor-funkcyq, ω � s ≤ n-mer- n¥j vektor, ξ � r-mern¥j vektor upravlenyq po otklonenyg ot zadannoj proh- ramm¥, udovletvorqgwyj uslovyqm lokal\noj kvadratyçnoj svqzy ϕ θ σ ϕT K– –1( ) > 0, θ = diag θ θ1, ,… r , K = KT > 0. (2) Poskol\ku mnohoobrazye Ω( )t qvlqetsq yntehral\n¥m dlq system¥ (1), ymeet mesto ω̇ = ∂ω ∂t + H f (t, x, u) = F (t, ω, u), H = ∂ω ∂x � matryca Qkoby, F (t, 0, u) ≡ 0 � nekotoraq s-mernaq vektor-funkcyq; pry F = t( , ω, ξ ω( , )t ) systema naz¥- vaetsq zamknutoj, ξ = ξ ω( , )t � mnoΩestvo zakonov obratnoj svqzy [5]. Zadannaq prohramma Ω( )t toçno v¥polnqetsq lyß\ pry uslovyy, kohda naçal\n¥e znaçenyq vektora sostoqnyq system¥ udovletvorqgt uslovyqm ω(t0 , x0) = 0. No πty uslovyq ne vsehda mohut b¥t\ toçno v¥polnen¥. Poπtomu pry postroenyy system prohrammnoho dvyΩenyq sleduet ymet\ v vydu ewe y trebo- vanyq ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t otnosytel\no vektor- funkcyy ω. Postroym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1), yntehral\noe mnoho- obrazye Ω( )t kotoroj ymelo b¥ svojstvo ustojçyvosty. Pust\ F = – Aω , A � hurvyceva ( )s s× -matryca. Dyfferencyruq mnohoob- razye Ω( )t po vremeny t v sylu system¥ (1), poluçaem © S. S. ÛUMATOV, 2009 418 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ SYSTEM UPRAVLENYQ … 419 ω̇ = – Aω – HBξ, ξ̇ = ϕ σ( ), σ = P RTω ξ– . (3) Opredelenye. Prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t naz¥vaetsq absolgtno ustojçyv¥m otnosytel\no vektor-funkcyy ω, esly ono ustojçyvo v celom na reßenyqx uravnenyq (1) pry lgboj ω(t0 , x0) y ϕ σ( ), udovletvorqgwej us- lovyqm (2). Stavytsq zadaça: poluçyt\ uslovyq absolgtnoj ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t otnosytel\no vektor-funkcyy ω. Rassmotrym neavtonomnug systemu prohrammnoho mnohoobrazyq ω̇ = F t( , )ω . (4) PredpoloΩym, çto: a) F(t, 0) = 0 y F t( , )ω udovletvorqet uslovyqm su- westvovanyq y edynstvennosty nulevoho reßenyq system¥, b) suwestvuet neko- toraq neotrycatel\naq lokal\naq kvadratyçnaq svqz\ S [6] S = S t( , )ω ≥ 0 ∧ S t( , )0 = 0. (5) Teorema 1. Esly suwestvugt poloΩytel\no opredelennaq funkcyq V = V t( , )ω > 0 (6) y neotrycatel\noe çyslo α takye, çto M tω ω, ( )[ ] = V t( , )ω + α τ ω τ τ t t S d 0 ∫ [ ], ( ) > 0, (7) hde ω( )t � lgboe reßenye s uslovyem (5), – ˙ ( ) M 4 = W tω( )( ) > 0, (8) to prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t asymptotyçesky ustojçyvo pry v¥polne- nyy uslovyj (5) otnosytel\no vektor-funkcyy ω. Dokazatel\stvo. Dopustym, çto [7] lim ( ) t M t →∞ [ ]ω = α0 > 0, (9) hde α0 � nekotoroe çyslo. DokaΩem, çto α0 = 0. V sylu (8) ymeem dM dt ≤ –α1 α1 0>( ) . (10) Tohda dlq lgboho t > t0 s uçetom neravenstva (10) naxodym M tω( )[ ] = M tω( )0[ ] + t t dM dt d 0 ∫ τ ≤ M tω( )0[ ] – α0 0( – )t t . (11) Yz (11) pry dostatoçno bol\ßom t sleduet, çto M tω( )[ ] stanovytsq otryca- tel\noj, çto protyvoreçyt neravenstvu (9). Znaçyt, ymeet mesto uslovye lim ( ) t M t →∞ [ ]ω = 0. (12) V sylu predpoloΩenyq (5) neravenstvo (12) v¥polnqetsq tohda y tol\ko tohda, kohda lim ( ) t t →∞ ω = 0. (13) Analohyçno dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema. Teorema 2. Esly suwestvugt funkcyq V = V( )ω > 0, obladagwaq svojst- vom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 420 S. S. ÛUMATOV V = V( )ω → ∞ pry ω( )t → ∞, (14) y neotrycatel\noe çyslo α takye, çto ymegt mesto sootnoßenyq (6) y (7), to prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t asymptotyçesky ustojçyvo v celom pry uslovyqx (5) otnosytel\no vektor-funkcyy ω. Teper\ rassmotrym systemu (3) v sluçae, kohda upravlenye qvlqetsq prqm¥m y skalqrn¥m: ω̇ = – Aω – bξ , ξ = ϕ σ( ), σ = cTω . (15) Na osnovanyy teorem¥ 2 dostatoçn¥e uslovyq asymptotyçeskoj ustojçyvosty v celom prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t moΩno poluçyt\ pry v¥polnenyy ne- ravenstv ϕ( )0 = 0 ∨ k1 2σ < σ ϕ σ( ) < k2 2σ , (16) hde k1, k2 � nekotor¥e postoqnn¥e, a takΩe neravenstv (5) � (7) y uslovyq (8) pry V( )ω = ω ωT L + β ϕ σ σ σ 0 ∫ ( )d > 0, (17) hde β � neotrycatel\noe çyslo. Druhymy slovamy, spravedlyva sledugwaq teorema. Teorema 3. Esly suwestvugt vewestvennaq matryca L = LT > 0 y neot- rycatel\n¥e çysla α y β takye, çto v¥polnqetsq odno yz uslovyj F = 2G g gT ρ > 0, (18) 2ρG – ggT > 0, (19) 2G > 0 ∧ ρ – 2 1 1− g G gT – > 0, (20) to prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t asymptotyçesky ustojçyvo v celom ot- nosytel\no vektor-funkcyy ω pry uslovyqx S( )ω = σ ϕ σ ϕ σ σ– ( ) ( ) ––k k2 1 1( )( ) ≥ 0, (21) hde k ≥ 0, k2 ≤ ∞, A LT + L A + k ccT 1 α = 2G, (22) g = L b + 2 11 1 2 1– ––β αA c k k cT +( )  , (23) ρ = αk2 1– + βc bT . (24) Zameçanye 1. Esly nelynejnaq funkcyq ϕ σ( ) dyfferencyruema y razla- haetsq v rqd Maklorena ϕ σ( ) = h0σ + ψ σ( ) , to vmesto (15) poluçaem systemu ω̇ = – Ãω – bξ , ξ = ψ σ( ), σ = cTω . (25) Zdes\ Ã zavysyt ot h0, b y c: Ã = A + h bcT 0 , a funkcyq ψ udovletvorqet uslovyqm ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ SYSTEM UPRAVLENYQ … 421 ψ( )0 = 0 ∨ k̃1 2σ < σ ψ σ( ) < k̃2 2σ ∀σ ≠ 0, (26) hde k̃1 = k1 – h0, k̃2 = k2 – h0. Tohda prohrammnoe mnohoobrazye Ω( )t asymptotyçesky ustojçyvo v celom pry uslovyy (26), esly v¥polnqgtsq sootnoßenyq Ã LT + LÃ + k̃ ccT 1α = 2G, (27) ρ = L b + 2 1– ˜ –β αA c cT( ), ρ = α ˜ –k2 1 + βc bT . Yspol\zuq ravenstva [8] P HT + HP = U = uij s 1 , (28) P = diag ρ ρ1, ,… n , H = uij i j s ρ ρ+ 1 , (29) moΩno sformulyrovat\ sledugwug teoremu. Teorema 4. Dlq absolgtnoj ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t v uhle k k1 2,] [ otnosytel\no vektor-funkcyy ω dostatoçno v¥polne- nyq odnoho yz neravenstv (18) � (20), hde 2G, g y ρ opredelqgtsq tak: U + αccT = 2G, ρ = αk2 1– + p dT , (30) g = L d + 2 11 1 2 1– ––β αPp k k p+( )[ ], yly U > 0 ∧ ρ > 0, (31) L b = 2 11 1 2 1– – –α β+( )[ ]k k p Pp . (32) Uravnenye (32) est\ obobwennoe razreßagwee uravnenye Lur\e [9]. Zdes\ uslovye 2G > 0 yz (23) zameneno uslovyem U > 0, tak kak α ≥ 0. Zameçanye 2. Dlq v¥polnenyq sootnoßenyj (24), (32) neobxodymo, çtob¥ v¥polnqlys\ sootvetstvenno neravenstva α 1 1 2 1+( )k k b cT– > βb A cT T , (33) α 1 1 2 1+( )k k d pT– > βd AP pT –1 , (34) esly L = LT > 0. Teorema 5. Dlq asymptotyçeskoj ustojçyvosty v celom prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t pry uslovyy (21) otnosytel\no vektor-funkcyy ω dosta- toçno, çtob¥ G = Q > 0 ∧ L = LT > 0 ∧ α ≥ 0, (35) a takΩe lybo γ1 ≥ 0 ∧ γ 2 < 0 ∧ γ 3 ≥ 0 ∧ γ 2 2 – γ γ1 3 > 0, (36) lybo γ1 ≥ 0 ∧ γ 3 < 0, (37) hde matryca 2Q opredelqetsq formuloj (5.18) [4, s. 115], a γ s opredelq- etsq tak: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 422 S. S. ÛUMATOV γ1 = ( ) –γ γ5 1 5 T G , γ 5 = A cT , γ 2 = γ γ4 1 5 T G– – c bT , (38) γ 4 = L b – α 2 1 1 2 1+( )k k c– , γ 3 = γ γ4 1 4 T G– – 2 2 1αk– . Dokazatel\stvo. Pust\ matryca L = LT > 0 opredelena yz uravnenyq (22), α � zadannoe neotrycatel\noe çyslo y 2Q > 0. Tohda yz uslovyj ustojçyvosty (20) ostaetsq lyß\ poslednee: 2ρ – g G gT –1 > 0, (39) kotoroe svodytsq k neravenstvu γ β1 2 + 2 2γ β + γ 3 < 0. (40) Poskol\ku G > 0, vsehda ymeet mesto neravenstvo γ1 > 0, esly γ s ≠ 0. Poπto- mu dlq suwestvovanyq neotrycatel\noho parametra β dostatoçno v¥polnenyq uslovyj (36) lybo (37). Sledovatel\no, na osnovanyy teorem¥ 3 verna teo- rema 5. Zameçanye 3. Funkcyq vyda M = ω ωT L + β ϕ σ σ σ 0 ∫ ( )d + α ω δ δ 0 t S d∫ ( )( ) (41) otlyçaetsq ot funkcyy Lqpunova typa Lur\e (α = 0) nalyçyem posledneho slahaemoho. Preymuwestvom uslovyj (18) yly (19), yly (20) qvlqetsq to, çto ony neobxodym¥ y dostatoçn¥ dlq poloΩytel\noj opredelennosty –Ṁ = W. Krome toho, yz nyx moΩno takΩe poluçyt\, kak sledstvyq, yzvestn¥e uslovyq absolgtnoj ustojçyvosty dlq razlyçn¥x uhlov pry k1 = 0, k2 = k, k2 = ∞. Teper\ rassmotrym sluçaj, kohda xarakterystyçeskoe uravnenye matryc¥ H t( ) pry s = n ymeet r nulev¥x kornej, a mnohoobrazye Ω( )t zadano v lynej- nom vyde ω( , )t x ≡ H t x1( ) = 0, (42) hde H t1( ) ∈ Rs n× � zadannaq neprer¥vnaq matryca. Naßej cel\g qvlqetsq pryvedenye poluçennoj system¥ k central\noj ka- nonyçeskoj forme [10 – 12] y ustanovlenye uslovyj ustojçyvosty prohrammno- ho mnohoobrazyq. V¥berem funkcyg Eruhyna sledugwym obrazom: F (t, x, ω) = – ( )A t2 ω . (43) Tohda v¥raΩenye ∂ω ∂t + H t( ) ẋ = F (t, x, ω) zapyßetsq v vyde H t x( ) ˙ = A t2( )ω – ∂ω ∂t . (44) Prynymaq vo vnymanye sootnoßenye (42), ymeem H t x( ) ˙ = – ( )A t ω – q t( ), (45) hde H t( ) ∈ Rs s× , A t( ) = A t H t2 1( ) ( ) , q t( ) = ∂ω ∂t . Rassmotrym operator L t( ) = – ( )A t – H t( ) d dt . Teorema 6 [11]. Pust\ A t( ), H t( ) ∈ C m2 (α, β), rank H t( ) = s – r y mat- ryca H t( ) ymeet v yntervale (α, β ) poln¥j Ωordanov nabor otnosytel\no ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 USTOJÇYVOST\| PROHRAMMNOHO MNOHOOBRAZYQ SYSTEM UPRAVLENYQ … 423 operatora L t( ) , kotor¥j sklad¥vaetsq v r kletok porqdka l 1 , l2 , … , lr pry max i il = m. Tohda suwestvugt neosob¥e pry vsex t ∈ (α, β ) ( s × s )-mat- ryc¥ ˜ ( )M t , G t1( ) ∈ C1(α, β) takye, çto umnoΩenyem na ˜ ( )M t y zamenoj z = = G t y( ) systema (44) pryvodytsq k central\noj kanonyçeskoj forme E J y s r– ˙ 0 0 = M t E y l ( ) 0 0 + ˜ ( ) ( )M t q t , hde l = l1 + … + lr , J = diag (J1, … , Jr ), J j � Ωordanov¥e kletky porqdka lj , j = 1, r . V¥berem funkcyg Eruhyna v vyde F (t, x, ω) = – ( )A t2 ω – B t( )ξ , ξ̇ = ϕ σ( ), σ = PTω , (46) hde A t2( ) ∈ Rs s× � hurvyceva, B t( ) ∈ Rs k× � neprer¥vnaq, P ∈ Rk k× � po- stoqnnaq matryc¥, ϕ, σ ∈Rk � vektor¥, a nelynejnaq vektor-funkcyq ϕ σ( ) udovletvorqet lokal\n¥m uslovyqm kvadratyçnoj svqzy y dyfferencyruema po σ: ϕ( , )t 0 ≡ 0 ∧ 0 < σ ϕ σT K t1 ( , ) < σ σT K t( ) ∀ ≠σ 0 , (47) K2 < ∂ϕ ∂σ < K3. (48) Zdes\ K, Ki , i = 1, 2, 3, � dyahonal\n¥e matryc¥. S uçetom (42) y (46) poluçym systemu (44) v vyde H t x( ) ˙ = – ( )A t2 ω – q(t) – B t( )ξ , ξ̇ = ϕ σ( ), σ = PTω , (49) hde ϕ σ( ) udovletvorqet uslovyqm (47), (48). Na osnovanyy teorem¥ 6 systema (49) pryvodytsq k central\noj kanonyçes- koj forme u̇ = – ( )M t u – M t q1 1( ) – M t B t1 1 1 1( ) ( ) ( )ϕ σ , ν̇ = – ν – M t q2 2( ) – M t B t2 2 2 2( ) ( ) ( )ϕ σ , (50) σ1 = Q uT 1 , σ2 = Q uT 2 , σ = σ1 + σ2, y = uT T T ν( ) . Zdes\ q t1( ), q t2( ) yhragt rol\ postoqnno dejstvugwyx vozmuwenyj. Dlq sys- tem¥ (50) bez vozmuwenyj stroym funkcyg Lqpunova vyda V = u LuT + ν νT JNJ + 0 1 1 1 1σ ϕ σ β σ∫ T d( ) + 0 2 2 2 2σ ϕ σ β σ∫ T Jd( ) , (51) hde L = LT > 0, N = NT > 0, a β1, β2 � poloΩytel\n¥e dyahonal\n¥e mat- ryc¥. Dyfferencyruq funkcyg (51) po vremeny t, v sylu system¥ (50) poluçaem –V̇ = u G uT 0 + 2 1 1 1u GT ϕ σ( ) + ϕ σ ϕ σ1 1 2 1 1 T G( ) ( ) + + ν νT G3 + 2 4 2 2ν ϕ σT G ( ) + ϕ σ ϕ σ2 2 5 2 2 T G( ) ( ) > 0, esly v¥polnqgtsq obobwenn¥e uslovyq Syl\vestra ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 424 S. S. ÛUMATOV G G G G G G G G T T 0 1 1 2 3 4 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 > 0, (52) G0 = L M + M LT , G1 = LM B1 1 + 1 2 1 1M QT β , G2 = 2 JNJ, G3 = β1 1 1 1Q M BT , G4 = JNJVM2B2 + 1 2 2 2QTβ , G5 = β2 2 2 2Q M BT . Teorema 7. Pust\ nelynejnost\ ϕ σ( ) udovletvorqet uslovyqm (47), (48) y suwestvugt poloΩytel\no opredelenn¥e matryc¥ L , N , β . Tohda dlq ab- solgtnoj ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t otnosytel\no vek- tor-funkcyy ω bez vozmuwenyj dostatoçno v¥polnenyq uslovyq (52). Yz ustojçyvosty system¥ (50) bez vozmuwenyj sleduet, çto q t1( ) ≤ δ ε( ) , q t2( ) ≤ δ ε( ) pry u ≤ ε, ν ≤ ε. (53) Teorema 8. Pust\ v¥polnqgtsq vse uslovyq teorem¥ 7. Tohda dlq abso- lgtnoj ustojçyvosty prohrammnoho mnohoobrazyq Ω( )t otnosytel\no vek- tor-funkcyy ω dostatoçno v¥polnenyq uslovyj (53). 1. Eruhyn N. P. Postroenye vseho mnoΩestva system dyfferencyal\n¥x uravnenyj, ymegwyx zadannug yntehral\nug kryvug // Prykl. matematyka y mexanyka. � 1952. � 16, v¥p. 6. � S. 653 � 670. 2. Halyullyn A. S., Muxametzqnov Y. A., Muxarlqmov R. H. y dr. Postroenye system proh- rammnoho dvyΩenyq. � M.: Nauka, 1971. � 352 s. 3. Halyullyn A. S., Muxametzqnov Y. A., Muxarlqmov R. H. Obzor yssledovanyj po analyty- çeskomu postroenyg system prohrammnoho dvyΩenyq // Vestn. Ros. un-ta druΩb¥ narodov. � 1994. � # 1. � S. 5 � 21. 4. Ûumatov S.S., Krementulo V. V., Majharyn B. Û. Vtoroj metod Lqpunova v zadaçax ustoj- çyvosty upravlenyq dvyΩenyem. � Almat¥, 1999. � 228 s. 5. Letov A. M. Matematyçeskaq teoryq processov upravlenyq. � M.: Nauka, 1981. � 256 s. 6. Helyh A. X., Leonov H. A., Qkubovyç V. A. Ustojçyvost\ nelynejn¥x system s needynstven- n¥m sostoqnyem ravnovesyq. � M., 1978. � 400 s. 7. Malkyn Y. H. Teoryq ustojçyvosty dvyΩenyq. � M.: Nauka, 1966. � 532 s. 8. Majharyn B. Û. Ustojçyvost\ y kaçestvo processov nelynejn¥x system avtomatyçeskoho upravlenyq. � Alma-Ata, 1980. � 316 s. 9. Ajzerman M. A., Hantmaxer F. R. Absolgtnaq ustojçyvost\ rehulyruem¥x system. � M., 1963. � 140 s. 10. Samojlenko A. M., Qkovec V. P. O pryvodymosty v¥roΩdennoj lynejnoj system¥ k cent- ral\noj kanonyçeskoj forme // Dop. NAN Ukra]ny. � 1993. � # 4. � S. 10 � 15. 11. Qkovec\ V. P. Deqki vlastyvosti vyrodΩenyx linijnyx system // Ukr. mat. Ωurn. � 1997. � 49, # 9. � S. 1278 � 1296. 12. Qkovec\ V. P. Pro strukturu zahal\noho rozv�qzku vyrodΩeno] linijno] systemy dyferen- cial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku // Tam Ωe. � 1998. � 50, # 2. � S. 292 � 298. Poluçeno 06.10.08 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3

Устойчивость программного многообразия систем управления с локально квадратичными связями

Репозитарії

Схожі ресурси