Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій
Рассматриваются затухающие случайные блуждания на прямой. Вычислены стационарные распределения затухающей марковской эволюции, а также исследован частный полумарковский случай, когда времена пребывания процесса восстановления имеют эрланговские распределения. We study fading random walks on the line...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166221 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 425-431. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859633941396324352 |
|---|---|
| author | Погоруй, А.О. |
| author_facet | Погоруй, А.О. |
| citation_txt | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 425-431. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Рассматриваются затухающие случайные блуждания на прямой. Вычислены стационарные распределения затухающей марковской эволюции, а также исследован частный полумарковский случай, когда времена пребывания процесса восстановления имеют эрланговские распределения.
We study fading random walks on the line. We determine stationary distributions of the fading Markov evolution and investigate the special semi-Markov case where the sojourn times of the renewal process have Erlang distributions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:13:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
A. O. Pohoruj (Ûytomyr. un-t)
STACIONARNI ROZPODILY ZHASAGÇYX EVOLGCIJ
We study fading random walks on the line. We compute stationary distributions of the Markov fading
evolution and study the special semi-Markov case where sojourn times of the renewal process are
Erlang-distributed.
Rassmatryvagtsq zatuxagwye sluçajn¥e bluΩdanyq na prqmoj. V¥çyslen¥ stacyonarn¥e
raspredelenyq zatuxagwej markovskoj πvolgcyy, a takΩe yssledovan çastn¥j polumarkov-
skyj sluçaj, kohda vremena preb¥vanyq processa vosstanovlenyq ymegt πrlanhovskye raspre-
delenyq.
1. Vstup. Uperße telehrafnyj proces, qk model\ evolgci] çastynky na prq-
mij, vyvçavsq u robotax Hol\dßtejna [1] i Kaca [2]. Pislq c\oho telehrafnyj
proces doslidΩuvavsq bahat\ma matematykamy i fizykamy, oskil\ky takyj pro-
ces [ al\ternatyvog do vinerovo] modeli brounivs\koho procesu i ma[ vaΩlyve
znaçennq dlq praktyçnyx zastosuvan\ [3 – 9].
Rozhlqdalys\ takoΩ rizni uzahal\nennq telehrafnoho procesu na bahato-
vymirni prostory ta napivmarkovs\ki peremykagçi procesy (dyv. roboty [5 – 11]
ta navedenu v nyx bibliohrafig).
U roboti [12] doslidΩeno zhasagçu markovs\ku vypadkovu evolgcig, qka [
uzahal\nennqm modeli Hol\dßtejna � Kaca prqmolinijno] evolgci] çastynky na
vypadok, koly ]] ßvydkist\ z çasom prqmu[ do nulq. Zhasagça evolgciq mode-
lg[ rux çastynky na prqmij pid di[g zovnißn\o] syly, v rezul\tati qko] çastyn-
ka zupynq[t\sq u deqkij toçci, a otΩe, isnu[ hranyçnyj rozpodil koordynaty
procesu na prqmij.
U danij roboti doslidΩu[t\sq stacionarnyj rozpodil zhasagço] markovs\ko]
evolgci] iz zatrymkog u vidbyvagçomu ekrani, obçysleno hranyçnyj rozpodil
zhasagço] evolgci] z erlanhivs\kymy peremykannqmy.
2. Stacionarnyj rozpodil dlq markovs\koho vypadku z zatrymugçym
ekranom. Nexaj θk , k ≥ 0, � poslidovnist\ nezaleΩnyx vypadkovyx velyçyn,
qki magt\ pokaznykovi rozpodily P θk t≥{ } = e k t–λ I t ≥{ }0 , λk > 0. Vvedemo
vidpovidnyj cij poslidovnosti stoxastyçnyj potik τn =
k
n
k=∑ 0
θ , n ≥ 1. Nexaj
ξ( )t � proces vidnovlennq, qkyj zada[t\sq formulog ξ( )t = max n{ ≥ 0 : τn ≤
≤ t}, t > 0.
Rozhlqnemo zhasagçyj telehrafnyj proces η( )t = – ( )a t( )ξ , de 0 < a < 1 �
konstanta, t ≥ 0, i vidpovidnu jomu markovs\ku vypadkovu evolgcig
x t( ) =
0
t
sa ds∫ ( )– ( )ξ .
Cej proces vidriznq[t\sq vid rozhlqnutoho u roboti [12] tym, wo rizni θk ma-
gt\ rizni parametry λk , k ≥ 0. Nexaj u toçci x = 0 proces x t( ) ma[ vidbyvag-
çyj ekran iz zatrymkog, tobto qkwo x t( ) dosqh nulq i ξ( )t ma[ neparne zna-
çennq, to x t( ) = 0 do tyx pir, poky ξ( )t ne zminyt\ znaçennq. Naßa meta po-
lqha[ u doslidΩenni umov isnuvannq stacionarnoho rozpodilu ρ procesu x t( ) z
vidbyvagçym ekranom ta oderΩanni formuly dlq joho obçyslennq.
Rozhlqnemo dvokomponentnyj markovs\kyj proces ς( )t = x t( )( , ξ( )t ) . Infi-
nitezymal\nyj operator A c\oho procesu [ vidomym [5, 6]:
A x sϕ( , ) = C s
d x s
dx
( )
( , )ϕ
+ λ ϕ ϕs P x s x s( , ) – ( , )[ ],
© A. O. POHORUJ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 425
426 A. O. POHORUJ
de x R∈ , s = 0, 1, 2, … , funkciq ϕ( , )x s [ neperervno dyferencijovnog po x
z obmeΩenog perßog poxidnog, P x sϕ( , ) = P ϕ (x, s + 1), a funkciq C s( ) za-
da[t\sq formulog
C s( ) = (– )a s.
Nexaj ρ( , )x s � stacionarnyj rozpodil procesu ς( )t , todi
s
x s A x s dx
=
∞ ∞
∑ ∫
0 0
ρ ϕ( , ) ( , ) = 0. (1)
Zvidsy oderΩu[mo rivnqnnq dlq ρ( , )x s , a same
d x
dx
ρ( , )0
+ λ ρ0 0( , )x = 0,
–
( , )
a
d x
dx
ρ 1
+ λ ρ1 1( , )x – λ ρ0 0( , )x = 0,
a
d x
dx
2 2ρ( , )
+ λ ρ2 2( , )x – λ ρ1 1( , )x = 0, (2)
………………………………………………
(– )
( , )–1 1n na
d x n
dx
ρ
+ λ ρn x n( , ) – λ ρn x n– ( , – )1 1 = 0,
……………………………………………………………
z hranyçnymy umovamy λ2 1n – ρ[0, 2n – 1] = a n2 1– ρ(0 +, 2n – 1), n = 1, 2, … , qki
otrymugt\ iz (1) z uraxuvannqm isnuvannq v x = 0 atomiv ρ[0, 2n – 1] stacio-
narnoho rozpodilu ς( )t . Rozv�qzugçy poslidovno rivnqnnq systemy (2), oder-
Ωu[mo:
dlq neperervno] çastyny miry ρ
ρ( , )x 0 = c e x
0
0–λ , ρ( , )x 1 = c
a
e x
0
0
1 0
0
λ
λ λ
λ
+
– ,
ρ( , )x 2 = c
a a
e x
0
0
1 0
1
2
2
0
0
λ
λ λ
λ
λ λ
λ
+ –
– ,
………………………………………………………
ρ( , )x n = c
a0
0
1 0
λ
λ λ+
…
λ
λ λ
λn
n
n n
x
a
e– –
– (– )
1
01
0
i dlq atomiv
ρ[0, 2n – 1] = a n
n
n
2 1
2 1
0 2 1
–
–
( , – )
λ
ρ + =
= c a
a
n
n
0
2 1
2 1
0
1 0
–
–λ
λ
λ λ+
…
λ
λ λ
2 2
2 1
2 1
0
n
n
na
–
–
–+
, n = 1, 2, … .
Konstanta c0 [ normugçym mnoΩnykom, qkyj vyznaça[t\sq z rivnosti
n
x n dx
=
∞ ∞
∑ ∫
0 0
ρ( , ) +
m
m
=
∞
∑ [ ]
1
0 2 1ρ , – = 1. (3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
STACIONARNI ROZPODILY ZHASAGÇYX EVOLGCIJ 427
Zvidsy dlq isnuvannq nevyrodΩenoho rozpodilu ρ( )⋅ neobxidno, wob zbihalys\
rqdy
1
0λ
+ 1
1 0λ λ+ a
+ 1
1 0
1
2
2
0λ λ
λ
λ λ+ a a–
+ … + 1
1 0λ λ+ a
…
…
λ
λ λ
n
n
n na
–
– (– )
1
01
+ … (4)
ta
n
n
n
a
a a=
∞
∑ + +1
2 1
2 1
0
1 0
2
3
3
0
–
–λ
λ
λ λ
λ
λ λ
…
λ
λ λ
2 2
2 1
2 1
0
n
n
na
–
–
–+
. (5)
NevaΩko perekonatys\, wo koly 0 < a < 1 i λ = λ0 = λ1 = λ2 = … , to rqd (4) [
rozbiΩnym. Zaznaçymo, wo bez vidbyvagçoho ekranu takyj proces ma[ stacio-
narnyj rozpodil [12]. Poznaçymo n-j çlen rqdu (4) çerez dn . Vykorystovug-
çy kryterij Raabe dlq zbiΩnosti rqdiv, moΩna sformulgvaty dostatng umovu
zbiΩnosti rqdu (4):
lim –
n
n
n
n
d
d→∞ +
1
1 = lim
– (– )
n
n n
n n
n
n
a
→∞
+
++λ λ λ
λ
1
1
01
= p > 1.
Poznaçymo n-j çlen rqdu (5) çerez sn . Dlq zbiΩnosti rqdu (5) dostatn\o, wob
lim –
n
n
n
n
s
s→∞ +
1
1 = lim
– –
–n
n n n
n
n
n n
n
a a
a→∞
+
+
++λ λ λ λ λ
λ λ
2 1
2 2
2 2 1
2 1
0 2 1
2
2 2 1
= p > 1.
Zokrema, rqdy (4), (5) zbihagt\sq, qkwo isnu[ N ≥ 1 take, wo dlq vsix n ≥ N
λn = bn , de b > a, i v c\omu vypadku isnu[ stacionarnyj rozpodil procesu x t( )
z neperervnog çastynog ρ( )x =
n
x n=
∞∑ 0
ρ( , ) ta atomom ρ 0[ ] =
n=
∞∑ [
1
0ρ , 2n –
– 1]. Poznaçymo çerez σ1, σ2 sumy rqdiv (4), (5) vidpovidno. Todi stacionarnyj
rozpodil procesu x t( ) ma[ vyhlqd
ρ( )x =
λ σ
σ σ
λ0 1
1 2
0
+
e x– , ρ 0[ ] =
σ
σ σ
1
1 2+
.
3. Erlanhivs\kyj vypadok. Nexaj proces vidnovlennq ξ( )t zada[t\sq
formulog ξ( )t = max n{ ≥ 0 : τn ≤ t}, t > 0, de τn =
k
n
k=∑ 0
θ , θk � nezaleΩ-
ni vypadkovi velyçyny z erlanhivs\kym rozpodilom zi wil\nistg
f tk ( ) =
dF t
dt
k ( )
= λ λ2 0te I tt– ≥{ }, λ > 0.
U c\omu vypadku vypadkova evolgciq x t( ) =
0
t sa ds∫ (– ) ( )ξ [ napivmarkovs\kog.
Obçyslymo hranyçnyj rozpodil c\oho ne markovs\koho procesu.
Rozhlqnemo vypadkovu velyçynu σ =
0
∞
∫ (– ) ( )a dssξ . Oskil\ky θk odnakovo
rozpodileni i σ = θ1( + a2θ3 + … ) – a θ2( + a2θ4 + … ), to dlq znaxodΩennq
funkci] rozpodilu F xσ( ) = P σ ≤{ }x dosyt\ znajty rozpodil velyçyny η =
= θ1 + a2θ3 + … . Dlq sprowennq vykladok poklademo λ = 1. Poznaçymo
F x( ) = P η ≤{ }x , todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61 # 3
428 A. O. POHORUJ
F x( ) = P θ η1
2+ ′ ≤{ }a x =
0
2
∞
∫ + ′ ≤{ }ue u a x duu– P η =
=
0
2
∞
∫ ′ ≤{ }ue
x u
a
duu– P η –
,
de ′η � vypadkova velyçyna, odnakovo rozpodilena z η.
OtΩe,
F x( ) =
0
2
∞
∫ { }ue F
x u
a
duu– –
. (6)
NevaΩko perekonatys\, wo F( )0 = 0. Budemo ßukaty F x( ) u vyhlqdi rqdu
F x( ) = 1 + a x a e x
01 02+( ) – + a x a e x a
11 12
2
+( ) – / + …
… + a x a en n
x a n
1 2
2
+( ) – / + … . (7)
Zvidsy z uraxuvannqm (6) ma[mo
F x( ) =
0
01 2 02 11 2 121
2 4
∞
∫ + +
+ +
ue a
x u
a
a e a
x u
a
a eu
x u
a
x u
a– – ––
–
–
–
+
+ a
x u
a
a e du
x u
a
21 2 22
6– –
–
+
+ …
=
= 1 – xe x– – e x– + a a
a x x a e a x x a e
a
x x a
01
2
2 2 2 2
2 3
2 2
1
2
( – ) ( – – )
( – )
– – /+ +
+
+ a a
x a x a e a e
a
x x a
02
2
2 2 2
2 2
2
1
( – – )
( – )
– – /+
+
+ a a
a x x a e a x x a e
a
x x a
11
6
4 4 4 4
4 3
2 2
1
4
( – ) ( – )
( – )
– – /+ + +
+
+ a a
x a x a e a e
a
x x a
12
4
4 4 4
4 2
4
1
( – – )
( – )
– – /+
+
+ a a
a x x a e a x x a e
a
x x a
21
10
6 6 6 6
6 3
2 2
1
6
( – ) ( – )
( – )
– – /+ + +
+
+ a a
x a x a e a e
a
x x a
22
6
6 6 6
6 2
6
1
( – – )
( – )
– – /+
+ … , (8)
zvidky, v svog çerhu, z uraxuvannqm (7) oderΩu[mo:
pry xe x–
a01 = – 1 + a a
a
01
2
2 21( – )
+ a a
a
02
2
21 –
+ a a
a
11
6
4 21( – )
+ a a
a
12
4
41 –
+
+ a a
a
21
10
6 21( – )
+ a a
a
22
6
61 –
+ … + a a
a
n
n
n1
4 2
2 2 21
+
+( – )
+ a a
a
n
n
n2
2 2
2 21
+
+–
+ … ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
STACIONARNI ROZPODILY ZHASAGÇYX EVOLGCIJ 429
pry e x–
a02 = – 1 + a a
a
01
4
2 3
2
1( – )
– a a
a
02
4
2 21( – )
+ a a
a
11
10
4 3
2
1( – )
– a a
a
12
8
4 21( – )
+
+ a
a
a
21
16
6 3
2
1( – )
– a a
a
22
12
6 21( – )
+ … + a a
a
n
n
n1
6 4
2 2 3
1
+
+( )–
– a a
a
n
n
n2
4 4
2 2 2
1
+
+( )–
+ … ,
(9)
pry xe
x
a n– ( )2 1+
a n( )+1 1 = a a
a
n
n
n1
4 2
2 2 2
1
+
+( )–
,
pry e
x
a n– ( )2 1+
a n( )+1 2 = –
–
a
a
a
n
n
n1
6 4
2 2 3
2
1
+
+( )
+ a a
a
n
n
n2
4 4
2 2 2
1
+
+( )–
, n = 1, 2, … .
Iz (9) otrymu[mo dva spivvidnoßennq:
1 = a a
a
a
a a
a
a a a
01
2
2 2
8
2 2 4 2
18
2 2 4 2 6 21
1 1 1 1 1 1
+
( )
+
( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
+ …
– – – – – –
+
+ 2
1 1 1 1 1
8
2 3 4
18
2 3 4 2 6
a
a a
a
a a a– – – – –( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
+
+ a
a a a
18
2 2 4 3 61 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ …
+
+ a a
a
a
a a
a
a a a
02
2
2
8
2 2 4
18
2 2 4 2 61 1 1 1 1 1– – – – – –
+
( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
+ …
(10)
ta
1 = a a
a
a
a a
01
2
2 3
12
2 2 4 3
2
1
2
1 1– – –( )
+
( ) ( )
+ 2
1 1
12
2 3 4 2
a
a a– –( ) ( )
+
+ 2
1 1 1
24
2 2 4 2 6 3
a
a a a– – –( ) ( ) ( )
+
2
1 1 1
24
2 2 4 3 6 2
a
a a a– – –( ) ( ) ( )
+
+ 2
1 1 1
24
2 3 4 2 6 2
a
a a a– – –( ) ( ) ( )
+ …
–
– a a
a
a
a a
02
4
2 2
12
2 2 4 21
1 1 1
+
( )
+
( ) ( )
– – –
+ a
a a a
24
2 2 4 2 6 2
1 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ …
.(11)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61 # 3
430 A. O. POHORUJ
NevaΩko perekonatys\, vykorystavßy, napryklad, oznaku Dalambera, wo vsi
rqdy pry koefici[ntax rivnostej (10), (11) [ zbiΩnymy.
Zaznaçymo, wo dlq rqdu pry koefici[nti a01 u formuli (10) ma[ misce for-
mula [13, s. 202]
1 + a
a
2
2 2
1–( )
+ a
a a
8
2 2 4 2
1 1– –( ) ( )
+ a
a a a
18
2 2 4 2 6 2
1 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ …
… =
k
ka
=
∞
∏( )
1
2 1
1 –
–
.
Vvedemo poznaçennq
S1 = 1
1 1 1 1 1 1
2
2 2
8
2 2 4 2
18
2 2 4 2 6 2+
( )
+
( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
+ …
a
a
a
a a
a
a a a– – – – – –
+
+ 2
1 1 1 1 1
8
2 3 4
18
2 3 4 2 6
a
a a
a
a a a– – – – –( ) ( )
+
( ) ( ) ( )
+
+ a
a a a
18
2 2 4 3 61 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ …
,
S2 = a
a
2
21 –
+ a
a a
8
2 2 41 1– –( ) ( )
+ a
a a a
18
2 2 4 2 61 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ … ,
S3 = 2
1
2
2 3
a
a –( )
+ 2
1 1
12
2 2 4 3
a
a a– –( ) ( )
+ 2
1 1
12
2 3 4 2
a
a a– –( ) ( )
+
+ 2
1 1 1
24
2 2 4 2 6 3
a
a a a– – –( ) ( ) ( )
+ … ,
S4 = 1 + a
a
4
2 2
1–( )
+ a
a a
12
2 2 4 2
1 1– –( ) ( )
+ a
a a a
24
2 2 4 2 6 2
1 1 1– – –( ) ( ) ( )
+ … .
Rozv�qzugçy (10), (11), znaxodymo
a01 =
S S
S S S S
2 3
1 3 2 4
+
+
, a02 =
S S
S S S S
4 1
1 3 2 4
–
+
.
Zvidsy z uraxuvannqm (9) obçyslg[mo znaçennq inßyx koefici[ntiv rozkla-
du (7).
Iz (9) lehko baçyty, wo F( )0 = 1 + a02 + a12 + a22 + … = 0. Dali, iz (6) vy-
plyva[, wo F x( ) [ monotonnog, a iz (7) i (9) � lim ( )
x
F x
→ +∞
= 1. OtΩe, F x( ) �
funkciq rozpodilu. Lehko baçyty, wo ne isnu[ inßyx funkcij rozpodilu, qki b
zadovol\nqly rivnqnnq (6). Dijsno, qkwo F1 ≠ F � funkciq rozpodilu, wo [
rozv�qzkom (6), to i funkciq Φ = F1 – F [ rozv�qzkom (6), do toho Ω Φ [ nemo-
notonnog, wo nemoΩlyvo.
Funkciq rozpodilu dlq
σ = θ θ1
2
3+ + …( )a – a aθ θ2
2
4+ + …( )
ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
STACIONARNI ROZPODILY ZHASAGÇYX EVOLGCIJ 431
F xσ( ) = P σ ≤{ }x = P θ θ θ θ1
2
3 2
2
4+ + …( ) + + …( ) ≤{ }a a a x– =
= P θ θ
θ θ
2
2
4
1
2
3+ + …( ) ≥
+ + …( )
a
a x
a
–
=
0
1
∞
∫
dF y F
y x
a
( ) –
–
.
1. Goldstein S. On diffusion by discontinuous movements and on the telegraph equation // Quart. J.
Math. and Mech. – 1951. – 4. – P. 129 – 156.
2. Kac M. A stochastic model related to the telegrapher’s equation // Rocky Mountain J. Math. –
1974. – 4. – P. 497 – 509.
3. Turbyn A. F. Matematyçeskaq model\ odnomernoho brounovskoho dvyΩenyq kak al\terna-
tyva matematyçeskoj modely A. ∏jnßtejna, N. Vynera y P. Levy // Fraktal\nyj analiz ta
sumiΩni pytannq. � 1998. � # 2. � S. 47 � 60.
4. Korolgk V. S., Turbyn A. F. Matematyçeskye osnov¥ fazovoho ukrupnenyq sloΩn¥x sys-
tem. � Kyev: Nauk. dumka, 1978. � 220 s.
5. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1999. – 183 p.
6. Korolgk V. S., Svywuk A. V. Polumarkovskye sluçajn¥e πvolgcyy. � Kyev: Nauk. dumka,
1992. � 256 s.
7. Papanicolaou G. Asymptotic analysis of transport processes // Bull. Amer. Math. Soc. – 1975.
– 81. – P. 330 – 391.
8. Pinsky M. A. Lectures on random evolution. – World Sci., 1991. – 137 p.
9. Orsinger E., De Gregorio A. Random flights in higher spaces // J. Theor. Probab. – 2007. – 20. –
P. 769 – 806.
10. Pogorui A. A., Rodriguez-Dagnino R. M. One-dimensional semi-Markov evolution with general
Erlang sojourn times // Random Operators and Stochast. Equat. – 2005. – 13, # 4. – P. 399 – 405.
11. Pogorui A. A., Rodriguez-Dagnino R. M. Limiting distribution of random motion in a n-
dimensional parallelepiped // Ibid. – 2006. – 14, # 4.
12. Samojlenko I. V. Zhasagça markovs\ka vypadkova evolgciq // Ukr. mat. Ωurn. � 2002. � 54,
# 3. � S. 364 � 372.
13. Bejtmen H., ∏rdejy M. V¥sßye transcendentn¥e funkcyy. � M.: Nauka, 1967.
OderΩano 15.02.07,
pislq doopracgvannq � 25.11.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61 # 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166221 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:13:43Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Погоруй, А.О. 2020-02-18T07:26:41Z 2020-02-18T07:26:41Z 2009 Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій / А.О. Погоруй // Український математичний журнал. — 2009. — Т. 61, № 3. — С. 425-431. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166221 519.21 Рассматриваются затухающие случайные блуждания на прямой. Вычислены стационарные распределения затухающей марковской эволюции, а также исследован частный полумарковский случай, когда времена пребывания процесса восстановления имеют эрланговские распределения. We study fading random walks on the line. We determine stationary distributions of the fading Markov evolution and investigate the special semi-Markov case where the sojourn times of the renewal process have Erlang distributions. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій Stationary distributions of fading evolutions Article published earlier |
| spellingShingle | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій Погоруй, А.О. Короткі повідомлення |
| title | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| title_alt | Stationary distributions of fading evolutions |
| title_full | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| title_fullStr | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| title_full_unstemmed | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| title_short | Стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| title_sort | стаціонарні розподіли згасаючих еволюцій |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166221 |
| work_keys_str_mv | AT pogoruiao stacíonarnírozpodílizgasaûčihevolûcíi AT pogoruiao stationarydistributionsoffadingevolutions |