Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона
Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуассона на классах (ψ,β)-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике. Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ,β...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166237 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона / К.М. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 939–959. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860030974246518784 |
|---|---|
| author | Жигалло, К.М. Харкевич, Ю.І. |
| author_facet | Жигалло, К.М. Харкевич, Ю.І. |
| citation_txt | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона / К.М. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 939–959. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуассона на классах (ψ,β)-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике.
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ,β)-differentiable periodic functions in the uniform metric.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:52:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. М. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψ
β,∞
БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА
Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the
classes of (ψ, β)-differentiable periodic functions in the uniform metric.
Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов
Пуассона на классах (ψ, β)-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике.
1. Постановка задачi та допомiжнi твердження. Нехай L1 — простiр сумовних на
(0, 2π) 2π-перiодичних функцiй f(t) з нормою ‖f‖L1
= ‖f‖1 =
∫ π
−π
|f(t)|dt; L∞
— простiр вимiрних i iстотно обмежених 2π-перiодичних функцiй f(t) з нормою
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|; C — простiр неперервних 2π-перiодичних функцiй f(t) з
нормою ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Для кожної функцiї f ∈ L1 розглянемо функцiю
B(ρ; f ;x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
(
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(1− ρ2)
]
ρk cos kt
)
dt, 0 ≤ ρ < 1,
що є розв’язком (див., наприклад, [1, c. 248]) бiгармонiчного рiвняння
∆2B = 0,
∆2B = ∆(∆B), ∆ =
1
ρ2
∂2
∂x2
+
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂
∂ρ
)
.
Бiгармонiчну функцiю B(ρ; f ;x), поклавши ρ = e−1/δ, будемо позначати через
Bδ = Bδ(f ;x), δ > 0, i називати бiгармонiчним iнтегралом Пуассона. В роботi ви-
вчаються апроксимативнi властивостi бiгармонiчного iнтеграла Пуассона на класi
(ψ, β)-диференцiйовних неперервних функцiй.
Нехай f ∈ C, а ak та bk — її коефiцiєнти Фур’є. Якщо послiдовнiсть дiйсних
чисел ψ(k), k ∈ N, i фiксоване дiйсне число β є такими, що ряд
∞∑
k=1
1
ψ (k)
(
ak cos
(
kx+
πβ
2
)
+ bk sin
(
kx+
πβ
2
))
є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L1, то ϕ(·) називають (ψ, β)-похiдною функцiї
f(·) у розумiннi О. I. Степанця [2 – 4] i позначають через fψβ (·). При цьому кажуть,
що функцiя f(·) належить множинi Cψβ . Якщо f ∈ Cψβ i fψβ ∈ N, N ⊆ L1, то
кажуть, що f ∈ CψβN. Далi, коли N збiгається з одиничною кулею простору L∞,
тобто N = {fψβ ∈ L∞ : ess sup
t
|fψβ (t)| ≤ 1}, класи CψβN позначають через Cψβ,∞.
При ψ(k) = k−r, r > 0, класи Cψβ,∞ збiгаються з класами W r
β,∞, якi були введенi в
[5], i fψβ = f
(r)
β — (r, β)-похiдна в розумiннi Вейля – Надя. Якщо, крiм цього, β = r,
r ∈ N, то fψβ є похiдною порядка r функцiї f i тодi класи Cψβ,∞ є вiдомими класами
c© К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7 939
940 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Соболєва W r
∞. У випадку β = r + 1, r ∈ N, класи W r
β,∞ збiгаються з класами
спряжених функцiй W
r
∞.
Послiдовностi ψ(k), k ∈ N,що визначають класи Cψβ,∞, зручно вважати звужен-
ням на множину натуральних чисел N деяких функцiй ψ(t) неперервного аргументу
t ≥ 1, що належать множинi M:
M :=
{
ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0
∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0
}
.
Услiд за О. I. Степанцем (див., наприклад, [3, c. 93] або [4, c. 160]) кожнiй функцiї
ψ ∈M поставимо у вiдповiднiсть характеристики
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1 (ψ(t)/2) , µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
, (1)
де ψ−1− функцiя, обернена до ψ. Iз множини M, використовуючи функцiю µ(ψ; t),
будемо видiляти пiдмножини M0, MC i M∞ вигляду
M0 = {ψ ∈M : 0 < µ (ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1} ,
MC = {ψ ∈M : 0 < K1 ≤ µ (ψ; t) ≤ K2 <∞ ∀t ≥ 1} ,
M∞ = {ψ ∈M : 0 < K ≤ µ (ψ; t) <∞ ∀t ≥ 1} ,
де константи K, K1, K2, взагалi кажучи, в рiзних спiввiдношеннях рiзнi й можуть
залежати вiд ψ.
Задачу про вiдшукання асимптотичних рiвностей при δ →∞ для величини
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
‖f(·)−Bδ(f ; ·)‖C (2)
услiд за О. I. Степанцем [4, с. 198], називатимемо задачею Колмогорова – Нiколь-
ського для класу Cψβ,∞ та бiгармонiчного iнтеграла Пуассона в рiвномiрнiй метрицi.
Зазначимо, що розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського на класi W r
∞ знай-
дено C. Канiєвим [6] та П. Пих [7]. Крiм того, C. Канiєв показав [8], що величини
E (W r
∞;Bδ)C та E (W r
1 ;Bδ)1 (W r
1 — множина 2π-перiодичних функцiй, для яких
‖f (r) (t) ‖1 ≤ 1) рiвнi, тобто оцiнки, отриманi для рiвномiрної метрики, є справед-
ливими i для iнтегральної. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв
Пуассона на класах диференцiйовних функцiй дослiджувались також Л. П. Фала-
лєєвим [9], авторами [10,11], В. П. Заставним [12] та iншими математиками.
Метою даної роботи є вивчення питання про апроксимативнi властивостi бi-
гармонiчних iнтегралiв Пуассона з точки зору задачi Колмогорова – Нiкольського
на класах Cψβ,∞ 2π-перiодичних неперервних функцiй f(·) у випадках, коли цi
класи охоплюють гладкi та нескiнченно диференцiйовнi функцiї, тобто у випадках
ψ ∈MC та ψ ∈M∞.
Для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона покладемо
τ(u) = τδ(u;ψ) =
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− [1 + γu] e−u)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 941
де γ = γ(δ) =
δ
2
(1 − e−2/δ), ψ(·) — визначена та неперервна при u ≥ 1 функ-
цiя. Повторивши мiркування, наведенi в роботi О. I. Степанця [4, c. 183], можна
показати, що коли перетворення Фур’є
τ̂(t) = τ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
τ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du (4)
функцiї τ(·), що задана за допомогою спiввiдношення (3), є сумовним на всiй
числовiй осi, тобто є збiжним iнтеграл
A(τ) =
∞∫
−∞
|τ̂δ(t)| dt, (5)
то для будь-якого f ∈ Cψβ,∞ в кожнiй точцi x ∈ R має мiсце рiвнiсть
f(x)−Bδ(f ;x) = ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂δ(t)dt, δ > 0. (6)
Тодi, врахувавши iнтегральне зображення (6), величину (2) запишемо у виглядi
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
τ̂(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
. (7)
2. Асимптотичнi рiвностi для верхнiх меж вiдхилень бiгармонiчних iнте-
гралiв Пуассона вiд функцiй iз класiв Cψβ,∞. Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай ψ належить MC , функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла донизу
на
[
b,∞
)
, b ≥ 1, i
∞∫
1
g(u)
u
du <∞. (8)
Тодi при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+
+O
1
δ3
δ∫
1
t2ψ(t)dt+
1
δ2
∞∫
δ
tψ(t)dt
, (9)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) при β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
,
ψ(t) =
1
t2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
942 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Доведення. Подамо функцiю τ(u), задану за допомогою спiввiдношення (3), як
суму таких функцiй ϕ(u) та ν(u):
ϕ(u) =
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u < 1
δ
,(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(10)
ν(u) =
(
1− [1 + γu] e−u − u2
2
− u
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,(
1− [1 + γu] e−u − u2
2
− u
δ
)
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
.
(11)
Через ϕ̂(·) та ν̂(·) позначимо перетворення Фур’є функцiй ϕ та ν вiдповiдно:
ϕ̂(t) = ϕ̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du, (12)
ν̂(t) = ν̂δ(t) =
1
π
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (13)
Далi, використавши теорему 1 з роботи Л. I. Баусова [13], покажемо, що перетво-
рення Фур’є ϕ̂(·) та ν̂(·) є сумовними на всiй числовiй осi.
Щоб переконатися у сумовностi перетворення Фур’є ϕ̂(·) на всiй числовiй осi,
потрiбно показати збiжнiсть iнтеграла
A(ϕ) =
∞∫
−∞
|ϕ̂δ(t)| dt, (14)
а для цього, в свою чергу, згiдно з теоремою 1 роботи Л. I. Баусова [13, с. 24],
досить показати збiжнiсть iнтегралiв
1/2∫
0
u|dϕ′(u)|,
∞∫
1/2
|u− 1||dϕ′(u)|,
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du,
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du.
Iз (10) випливає, що dϕ′(u) =
ψ(1)
ψ(δ)
du, u ∈
[
0,
1
δ
)
. Тому
1/δ∫
0
u|dϕ′(u)| = ψ(1)
2δ2ψ(δ)
. (15)
Врахувавши, що
∫ 1/2
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤
∫ ∞
1/δ
u|dϕ′(u)| i
∫ ∞
1/2
|u − 1||dϕ′(u)| ≤
≤
∫ ∞
1/δ
u|dϕ′(u)|, знайдемо оцiнку iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 943
∞∫
1/δ
u|dϕ′(u)| (16)
на кожному iз промiжкiв
[
1
δ
,
b
δ
)
та
[
b
δ
,∞
)
(при δ > 2b).
Iз спiввiдношення (10) при u ≥ 1
δ
маємо
dϕ′(u) =
(
ψ(δu) + 2
(
u+
1
δ
)
δψ′(δu) +
(
u2
2
+
u
δ
)
δ2ψ′′(δu)
)
du
ψ(δ)
. (17)
Беручи до уваги (17) i враховуючи, що функцiя ψ(u) є опуклою донизу та спадною
при u ≥ 1, отримуємо
b/δ∫
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u3
2
+
u2
δ
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2 +
u
δ
)
δ|ψ′(δu)|du+
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du. (18)
Оскiльки ψ(δu) ≤ ψ(1) при u ∈
[
1
δ
,
b
δ
)
, то
1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
uψ(δu)du ≤ ψ(1)
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
udu =
K
δ2ψ(δ)
.
Тодi, виконавши iнтегрування частинами у першому та другому iнтегралах з правої
частини нерiвностi (18), знайдемо
b/δ∫
1/δ
u|dϕ′(u)| ≤ K1
δ2ψ(δ)
. (19)
Для оцiнки iнтеграла (16) на промiжку
[
b
δ
,∞
)
використаємо спiввiдношення
lim
u→∞
u2ψ(u) = 0, (20)
lim
u→∞
u3ψ′(u) = 0. (21)
Покажемо їх справедливiсть. Дiйсно, оскiльки функцiя g(u) = u2ψ(u) опукла
донизу при u ≥ b ≥ 1, то можливi такi випадки: або limu→∞g(u) = 0, або
limu→∞ g(u) = K > 0, або limu→∞ g(u) =∞.
Нехай limu→∞ g(u) = K > 0, тодi знайдеться таке 0 < K1 < K, що для всiх
u ≥ 1 буде g(u) > K1, а отже, ψ(u) >
K1
u2
. А це суперечить тому, що функцiя
uψ(u), згiдно з умовою (8), є сумовною на [1,∞) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
944 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Нехай тепер limu→∞ g(u) =∞, тобто для довiльного M > 0 iснує таке N > 0,
що для всiх u > N буде виконуватись g(u) > M. Тодi
x∫
1
uψ(u)du =
N∫
1
uψ(u)du+
x∫
N
g(u)
u
du > K2 +
x∫
N
M
u
du = K2 +M(lnx− lnN).
I знову прийшли до суперечностi з умовою сумовностi функцiї uψ(u) на промiжку
[1,∞) . З огляду на вищесказане, робимо висновок про iстиннiсть спiввiдношення
(20).
Доведемо тепер (21). Функцiя g′(u) є сумовною на [1,∞) , тодi
limu→∞
∫ u
u/2
g′(x)dx = 0. Оскiльки при u ≥ b ≥ 1 функцiя g(u) опукла дони-
зу, то функцiя (−g′(u)) при u ≥ b не зростає i тому
−
u∫
u/2
g′(x)dx > −
(
u− u
2
) (
2uψ(u) + u2ψ′(u)
)
= −1
2
(
2u2ψ(u) + u3ψ′(u)
)
.
Звiдси i з (20) випливає справедливiсть (21).
Враховуючи (17), для довiльної функцiї ψ(·) ∈M отримуємо
∞∫
b/δ
u|dϕ′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
∞∫
b/δ
(
u3
2
+
u2
δ
)
δ2ψ′′(δu)du+
+
2
ψ(δ)
∞∫
b/δ
(
u2 +
u
δ
)
δ|ψ′(δu)|du+
1
ψ(δ)
∞∫
b/δ
uψ(δu)du. (22)
Зiнтегрувавши частинами перший та другий iнтеграли iз правої частини нерiвностi
(22) та взявши до уваги (20), (21) i (8), знайдемо
∞∫
b/δ
u|dϕ′(u)| ≤ K2
δ2ψ(δ)
. (23)
Отже, з спiввiдношень (15), (19) та (23) випливає, що при δ →∞
1/2∫
0
u|dϕ′(u)| = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
,
∞∫
1/2
|u− 1||dϕ′(u)| = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
. (24)
Враховуючи (10) та (8), отримуємо
∞∫
0
|ϕ(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
u
2
+
1
δ
)
du+
1
ψ(δ)
∞∫
1/δ
(
u
2
+
1
δ
)
ψ(δu)du ≤ K
δ2ψ(δ)
.
I, нарештi, переходимо до оцiнки iнтеграла
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du =
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 945
+
1∫
1−1/δ
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du. (25)
Подамо формулу (10) у виглядi
ϕ(u) =
(1− λδ,1(u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 0 ≤ u ≤ 1
δ
,
(1− λδ,1(u))
ψ(δu)
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
,
(26)
де λδ,1(u) = 1− u2
2
− u
δ
. Iз спiввiдношення (26) знайдемо
ϕ(1− u) =
(1− λδ,1(1− u))
ψ(1)
ψ(δ)
, 1− 1
δ
≤ u ≤ 1,
(1− λδ,1(1− u))
ψ(δ(1− u))
ψ(δ)
, u ≤ 1− 1
δ
,
(27)
ϕ(1 + u) =
(1− λδ,1(1 + u))
ψ(1)
ψ(δ)
, −1 ≤ u ≤ 1
δ
− 1,
(1− λδ,1(1 + u))
ψ(δ(1 + u))
ψ(δ)
, u ≥ 1
δ
− 1.
(28)
Оцiнимо спочатку перший доданок iз правої частини (25), додаючи та вiднiмаючи
пiд знаком модуля в пiдiнтегральнiй функцiї величину λδ,1(1 − u) − λδ,1(1 + u).
Отримаємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du ≤
1−1/δ∫
0
|λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du+
+
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du. (29)
Для першого iнтеграла з правої частини нерiвностi (29), як неважко переконатися,
є справедливою оцiнка
1−1/δ∫
0
|λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u)|
u
du = O(1). (30)
Оскiльки мають мiсце спiввiдношення (27) i (28), то при u ∈
[
0, 1− 1
δ
]
λδ,1(1− u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
ϕ(1− u), λδ,1(1 + u) = 1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
ϕ(1 + u).
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
946 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + (λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u))|
u
du ≤
≤
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1− u))
∣∣∣∣ duu +
1−1/δ∫
0
|ϕ(1 + u)|
∣∣∣∣1− ψ(δ)
ψ(δ(1 + u))
∣∣∣∣ duu .
(31)
Функцiя ϕ(·) задовольняє умови леми 2 з роботи [13], а тому
|ϕ(u)| ≤ |ϕ(0)|+ |ϕ(1)|+
1/2∫
0
u |dϕ′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1| |dϕ′(u)| := H(ϕ).
З огляду на це маємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u) + (λδ,1(1− u)− λδ,1(1 + u))|
u
du =
= H(ϕ)O
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du+
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du
. (32)
Беручи до уваги формулу (10) та оцiнки (24), отримуємо
H(ϕ) = O
(
1 +
1
δ2ψ(δ)
)
, δ →∞. (33)
Для iнтегралiв з правої частини (32) у випадку ψ ∈MC , як неважко переконатися,
при δ →∞ мають мiсце такi оцiнки:
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1− u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1− u))
du = O(1),
1−1/δ∫
0
|ψ(δ(1 + u))− ψ(δ)|
uψ(δ(1 + u))
du = O(1).
Звiдси, поєднуючи спiввiдношення (29) – (33) та враховуючи (20), отримуємо
1−1/δ∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)|
u
du = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
.
Дотримуючись аналогiчної схеми мiркувань, неважко переконатися в тому, що для
другого доданка з правої частини (25) має мiсце така сама оцiнка, а тому
1∫
0
|ϕ(1− u)− ϕ(1 + u)| du
u
= O
(
1
δ2ψ(δ)
)
, δ →∞.
Отже, за теоремою 1 з роботи [13] iнтеграл (14) є збiжним.
Сумовнiсть на всiй дiйснiй осi перетворення ν̂(t) вигляду (13) випливає iз збiж-
ностi iнтеграла
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 947
A(ν) =
∞∫
−∞
|ν̂δ(t)| dt. (34)
Для того щоб iнтеграл A(ν) був збiжним, необхiдно i достатньо (див. теорему 1
[13, с. 24]), щоб збiгалися iнтеграли
1/2∫
0
u|dν′(u)|,
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)|, (35)
∣∣∣∣sin βπ2
∣∣∣∣
∞∫
0
|ν(u)|
u
du,
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)|
u
du, (36)
де ν(u) — визначена та неперервна при всiх u ≥ 0 функцiя, задана спiввiдношен-
ням (11).
Знайдемо оцiнку першого iнтеграла з (35) на кожному з промiжкiв:
[
0,
1
δ
]
,[
1
δ
,
b
δ
]
та
[
b
δ
,
1
2
]
, δ > 2b. Позначимо
ν(u) := 1− e−u − γue−u − u2
2
− u
δ
. (37)
За допомогою (37) функцiю ν(u) вигляду (11) на промiжку
[
0,
1
δ
]
можна зобразити
так: ν(u) = ν(u)
ψ(1)
ψ(δ)
. Iз спiввiдношення (37) маємо
ν′(u) = e−u − γe−u + γue−u − u− 1
δ
,
ν′′(u) = −e−u + 2γe−u − γue−u − 1,
ν(0) = 0, ν′(0) = 1− γ − 1
δ
< 0.
Звiдси i з того, що
−1 + 2γ − γu < eu, u ∈ [0,∞),
випливають нерiвностi
ν(u) ≤ 0, ν′(u) < 0, ν′′(u) < 0, u ≥ 0. (38)
Отже, для функцiї ν(·), заданої формулою (11), беручи до уваги (37) та третю
нерiвнiсть з (38), отримуємо
ν′′(u) = ν′′(u)
ψ(1)
ψ(δ)
< 0, u ∈
[
0,
1
δ
]
. (39)
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
948 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
1/δ∫
0
u |dν′(u)| =−
1/δ∫
0
udν′(u) = ν
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
− 1
δ
ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
.
Враховуючи спiввiдношення
|ν(u)| < 2
3δ2
u+
1
δ
u2 +
u3
2
, |ν′(u)| < 2
3δ2
+
2
δ
u+
3
2
u2, u ≥ 0, (40)
знаходимо
1/δ∫
0
u |dν′(u)| = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (41)
Оцiнимо перший iнтеграл iз (35) на промiжку
[
1
δ
,
b
δ
]
, δ > 2b. Беручи до уваги
рiвнiсть
ν′′(u) = ν′′(u)
ψ(δu)
ψ(δ)
+ 2δν′(u)
ψ′(δu)
ψ(δ)
+ δ2ν(u)
ψ′′(δu)
ψ(δ)
, (42)
маємо
b/δ∫
1/δ
u |dν′(u)| ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν′′(u)|ψ(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν′(u)||ψ′(δu)|du+
+
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
u|ν(u)|ψ′′(δu)du.
Знову враховуючи нерiвностi (40) та оцiнку |ν′′(u)| < 2
δ
+ 3u, u ≥ 0, а також
iнтегруючи частинами, знаходимо
b/δ∫
1/δ
u |dν′(u)| ≤ K2
δ3ψ(δ)
. (43)
Далi покажемо, що у випадку опуклостi донизу функцiї u2ψ(u) при u ≥ b, b ≥ 1,
виконується нерiвнiсть
dν′(u) ≤ 0, u ≥ b/δ. (44)
Дослiдимо функцiю
ν̃(u) =
1
u2
− e−u
u2
− γ e
−u
u
− 1
2
− 1
uδ
.
Маємо
ν̃(u) =
ν(u)
u2
, γ > 1− 1
δ
,
ν̃′(u) = − 2
u3
+
2e−u
u3
+
e−u
u2
+ γ
e−u
u2
+ γ
e−u
u
+
1
u2δ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 949
=
1
u3
(
−2 + 2e−u + (1 + γ)ue−u + γu2e−u +
u
δ
)
,
ν̃′′(u) =
6
u4
− 6e−u
u4
− 4e−u
u3
− e−u
u2
− γ 2e−u
u3
− 2γ
e−u
u2
− γ e
−u
u
− 2
u3δ
=
=
1
u4
(
6− 6e−u − (4 + 2γ)ue−u − (1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u − 2u
δ
)
.
Тодi, враховуючи нерiвнiсть e−u ≥ 1− u, одержуємо
ν̃(u) < 0,
ν̃′(u) >
1
u3
(
−2 + 2− 2u+
(
1 + 1− 1
δ
)(
u− u2
)
+
+γu2e−u +
u
δ
)
=
1
u3
(
u2
δ
+ γu2e−u
)
> 0,
ν̃′′(u) <
1
u4
(
6− 6 + 6u−
(
4 + 2− 2
δ
)(
u− u2
)
−
−(1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u − 2u
δ
)
=
=
1
u4
(
−2u2
δ
− (1 + 2γ)u2e−u − γu3e−u
)
< 0.
I оскiльки при u ≥ b, b ≥ 1, виконується g(u) > 0, g′(u) < 0, g′′(u) > 0, то при
u ≥ b
δ
ν′′(u) =
(
1
δ2
ν̃(u)g(δu)
)′′
=
1
δ2
ν̃′′(u)g(δu) +
2
δ
ν̃′(u)g′(δu) + ν̃(u)g′′(δu) < 0.
Далi скористаємося такими твердженнями.
Твердження 1 [4, с. 161]. Функцiя ψ ∈ M належить MC тодi i лише тодi,
коли величина α(t) =
ψ(t)
t |ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+0), задовольняє умову 0 < K1 ≤ α(t) ≤
≤ K2 ∀t ≥ 1.
Твердження 2 [4, с. 175]. Для того щоб функцiя ψ ∈M належала M0, необ-
хiдно i достатньо, щоб для довiльного фiксованого числа c > 1 iснувала стала K
така, щоб при всiх t ≥ 1 виконувалась нерiвнiсть
ψ(t)
ψ(ct)
≤ K.
Беручи до уваги (44), (40), а також твердження 1 та 2, для функцiй ψ(·) з класу
MC одержуємо
1/2∫
b/δ
u |dν′(u)| = −
1/2∫
b/δ
udν′(u) = −1
2
ν′
(
1
2
)
+
b
δ
ν′
(
b
δ
)
+ ν
(
1
2
)
− ν
(
b
δ
)
≤
≤ K1 +
K2
δ3ψ(δ)
. (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
950 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Об’єднання формул (41), (43) та (45) дозволяє записати оцiнку
1/2∫
0
u|dν′(u)| = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
. (46)
Враховуючи спiввiдношення (20), (21), твердження 1 та 2, неважко переконатися в
тому, що для другого iнтеграла з (35) при δ →∞ має мiсце оцiнка
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)| = O(1). (47)
Перший iнтеграл iз (36) оцiнимо на кожному з промiжкiв:
[
0,
1
δ
]
,
[
1
δ
, 1
]
i
[
1
δ
,∞
)
.
Звертаючи увагу на першу нерiвнiсть з (38), робимо висновок, що ν(u) ≤ 0 при[
0,
1
δ
]
. Тому, використовуючи нерiвнiсть
e−u ≤ 1− u+
u2
2
, u ≥ 0, (48)
знаходимо
1/δ∫
0
|ν(u)|
u
du =
ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
−1 + e−u + γue−u +
u2
2
+
u
δ
)
du
u
≤
≤ ψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
((
−1 + γ +
1
δ
)
+ (1− γ)u+
γ
2
u2
)
du.
З останнього спiввiдношення внаслiдок нерiвностей
γ < 1, 1− γ < 1
δ
, (49)
−1 + γ +
1
δ
<
2
3δ2
(50)
маємо
1/δ∫
0
|ν(u)|
u
du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (51)
Знову беручи до уваги нерiвностi (48) – (50), отримуємо
1∫
1/δ
|ν(u)|
u
du ≤
1∫
1/δ
ψ(δu)
ψ(δ)
(
1
δ
+ γ − 1 + (1− γ)u+
γ
2
u2
)
du ≤
≤ K1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
ψ(u)du+
K2
δ3ψ(δ)
δ∫
1
uψ(u)du+
K3
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 951
= O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du
, δ →∞, (52)
∞∫
1
|ν(u)|
u
du =
1
ψ(δ)
∞∫
1
ψ(δu)
(
e−u − 1
u
+ γe−u +
u
2
+
1
δ
)
du ≤
≤ 1
ψ(δ)
∞∫
1
ψ(δu)
(
−1 +
u
2
+ γ +
u
2
+
1
δ
)
du = O
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
. (53)
Об’єднуючи (51) – (53) i враховуючи, що
∫ δ
1
u2ψ(u)du≥K, для першого iнтеграла
з (36) запишемо оцiнку
∞∫
0
|ν(u)|
u
du = O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
. (54)
Оцiнимо другий iнтеграл з (36), розглядаючи його на промiжках [0, 1− 1/δ] ,
[1− 1/δ, 1] . Введемо позначення
λδ,2(u) = [1 + γu] e−u +
u2
2
+
u
δ
,
з допомогою якого функцiю ν(·) вигляду (11) подамо у формi типу (26). Далi для
функцiї ν(·) проведемо аналогiчнi до крокiв (27) – (32) мiркування i переконаємося
в тому, що
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)| du
u
=
1∫
0
|λδ,2(1− u)− λδ,2(1 + u)| du
u
+O (H(ν)) , (55)
де
H(ν) := |ν(0)|+ |ν(1)|+
1/2∫
0
u|dν′(u)|+
∞∫
1/2
|u− 1||dν′(u)|.
Для величини H(ν), згiдно з (11), (46) та (47), має мiсце оцiнка
H(ν) = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (56)
Крiм того,
1∫
0
|λδ,2(1− u)− λδ,2(1 + u)|
u
du =
=
1∫
0
∣∣∣∣γ + 1
e
eu − e−u
u
− γ
e
(eu + e−u) + 2
(
1 +
1
δ
)∣∣∣∣ du = O(1), δ →∞. (57)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
952 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Спiвставляючи (55) – (57), отримуємо
1∫
0
|ν(1− u)− ν(1 + u)|
u
du = O
(
1 +
1
δ3ψ(δ)
)
при δ →∞. (58)
Отже, за теоремою 1 з роботи [13] iнтеграл (34) також є збiжним.
Таким чином, показано, що при виконаннi умов теореми 1 iнтегралA(τ) вигляду
(5) є збiжним, а отже, перетворення Фур’є τ̂(t) функцiї τ(u) = ϕ(u) + ν(u) є
сумовним на всiй числовiй осi. I тому для будь-якого f ∈ Cψβ,∞ у кожнiй точцi
x ∈ R має мiсце рiвнiсть (6). Зважаючи на (34), величину (7) записуємо у виглядi
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
(ϕ̂(t) + ν̂(t)) dt
∥∥∥∥∥∥
C
=
= sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥∥ψ(δ)
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
+O (ψ(δ)A(ν)) . (59)
Повторивши мiркування, наведенi у роботi [2, c. 12], неважко переконатися, що
ряд Фур’є функцiї fϕ(x) =
∫ +∞
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt має вигляд
S[fϕ] =
∞∑
k=1
(
k2
2δ2
+
k
δ2
)
1
ψ(δ)
(ak cos kx+ bk sin kx) ,
де ak, bk — коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Тому
+∞∫
−∞
fψβ
(
x+
t
δ
)
ϕ̂(t)dt =
1
δ2ψ(δ)
(
f
(2)
0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
)
, (60)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) (у розумiннi О.I. Степанця) при
β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
, ψ(t) =
1
t2
. Поєднуючи (59) та (60), отримуємо
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+O (ψ(δ)A(ν)) , δ →∞.
(61)
Iз нерiвностей (2.14) i (2.15) роботи Л. I. Баусова [13] з урахуванням формул (46),
(47), (54), (56) та (58) знаходимо оцiнку iнтеграла A(ν):
A(ν) = O
1
δ3ψ(δ)
δ∫
1
u2ψ(u)du+
1
δ2ψ(δ)
∞∫
δ
uψ(u)du
, δ →∞.
Звiдси та з (61) випливає (9).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 953
Зазначимо, що теорему 1 задовольняють, зокрема, такi функцiї ψ ∈M, якi при
t ≥ 1 мають вигляд ψ(t) =
1
t2
lnα(t + K), K > 0, α < −1; ψ(t) =
1
tr
lnα(t + K),
ψ(t) =
1
tr
arctg t, ψ(t) =
1
tr
(K + e−t), r > 2, K > 0, α ∈ R.
Далi знайдемо розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних
iнтегралiв Пуассона та класiв Cψβ,∞ неперервних функцiй у випадку, коли ψ ∈M,
зокрема, коли цi класи охоплюють нескiнченно диференцiйовнi функцiї.
Теорема 2. Якщо ψ належить M, функцiя g(u) = u2ψ(u) при u ∈ [b,∞) ,
b ≥ 1, опукла донизу i
∞∫
1
ug(u)du <∞, (62)
то при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
Cψβ,∞;Bδ
)
C
=
1
δ2
sup
f∈Cψβ,∞
∥∥∥∥∥f (2)0 (x)
2
+ f
(1)
0 (x)
∥∥∥∥∥
C
+O
(
1
δ3
)
, (63)
де f (1)0 (·), f (2)0 (·) — (ψ, β)-похiднi функцiї f(·) при β = 0 та, вiдповiдно, ψ(t) =
1
t
,
ψ(t) =
1
t2
.
Доведення. Нехай τ(u) = ϕ(u) + ν(u), де ϕ(u), ν(u) — функцiї, що визначенi
формулами (10) та (11). Доведемо сумовнiсть на всiй дiйснiй осi перетворень ϕ̂δ(t) i
µ̂δ(t) вигляду (12), (13). Спочатку покажемо збiжнiсть iнтеграла A(ϕ) вигляду (14).
Для цього розiб’ємо множину (−∞,∞) на двi пiдмножини: (−∞, δ) ∪ (δ,+∞) i
[−δ, δ].
Знайдемо оцiнку iнтеграла A(ϕ) при |t| > δ. Розглянемо iнтеграл∫ ∞
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du на кожному iз промiжкiв [0; 1/δ) та [1/δ;∞):
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (64)
Як випливає з (10), при u ∈
[
0,
1
δ
)
ϕ(0) = 0, ϕ
(
1
δ
)
=
3ψ(1)
2δ2ψ(δ)
, ϕ′(0) =
ψ(1)
δψ(δ)
,
ϕ′
(
1
δ
− 0
)
=
2ψ(1)
δψ(δ)
. Тодi двiчi iнтегруючи частинами перший iнтеграл iз правої
частини рiвностi (64), отримуємо
1/δ∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
3ψ(1)
2tδ2ψ(δ)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
+
2ψ(1)
t2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1/δ∫
0
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (65)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
954 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Зазначимо, що внаслiдок опуклостi функцiї g(u) та умови (62) мають мiсце спiввiд-
ношення (20) та (21). Тому, враховуючи, що limu→∞ ϕ(u) = 0 та limu→∞ ϕ′(u) = 0,
знаходимо
∞∫
1/δ
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 3ψ(1)
2tδ2ψ(δ)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
4ψ(1) + 3ψ′(1)
2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
∞∫
1/δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (66)
Поєднання формул (64) – (66) дозволяє записати
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 3ψ′(1)
2t2δψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du− 1
t2
∞∫
1/δ
ϕ′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Отже,∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K1
t2δψ(δ)
+
1
t2
1/δ∫
0
|ϕ′′(u)|du+
1
t2
∞∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du. (67)
Для функцiї ϕ(·) вигляду (10) на промiжку [0, 1/δ] очевидною є оцiнка
1/δ∫
0
|ϕ′′(u)|du =
ψ(1)
δψ(δ)
. (68)
Далi, використовуючи спiввiдношення (17) та враховуючи спадання й опуклiсть
донизу функцiї ψ(δu), u ∈
[
1
δ
,∞
)
, маємо
b/δ∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ 1
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
ψ(δu)du+
2δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
|ψ′(δu)| du+
+
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ′′(δu)du. (69)
Неважко переконатися, що
δ2
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ′′(δu)du =
K2
δψ(δ)
− δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
ψ′(δu)du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 955
Поєднавши останнє спiввiдношення з нерiвнiстю (69) та врахувавши, що
1
ψ(δ)
∫ b/δ
1/δ
ψ(δu)du ≤ (b− 1)ψ(1)
δψ(δ)
, знайдемо
b/δ∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ K2
δψ(δ)
+
3δ
ψ(δ)
b/δ∫
1/δ
(
u+
1
δ
)
|ψ′(δu)| du ≤ K3
δψ(δ)
. (70)
Знову застосувавши формулу (17) та взявши до уваги те, що ψ(u) є спадною на
[1,∞) i limu→∞ ψ(u) = 0, а також використавши (20), (21), отримаємо оцiнку
1
t2
∞∫
1/δ
|ϕ′′(u)|du ≤ K4
t2δψ(δ)
.
Звiдси та з спiввiдношень (67) – (70) знаходимо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2δψ(δ)
,
а отже,
∫
|t|≥δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt ≤ 2K
δ2ψ(δ)
. (71)
Знайдемо оцiнку iнтеграла A(ϕ) на промiжку [−δ, δ]. Оскiльки має мiсце умова
(62), то
δ∫
−δ
∣∣∣∣
∞∫
0
ϕ(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣dt ≤ 2δ
∞∫
0
|ϕ(u)|du =
=
2δψ(1)
ψ(δ)
1/δ∫
0
(
u2
2
+
u
δ
)
du+
2δ
ψ(δ)
∞∫
1/δ
(
u2
2
+
u
δ
)
ψ(δu)du ≤ K1
δ2ψ(δ)
. (72)
Iз спiввiдношень (71) i (72) при δ →∞ випливає оцiнка
A(ϕ) = O
(
1
δ2ψ(δ)
)
.
Отже, перетворення ϕ̂(t) вигляду (12) є сумовним на всiй числовiй осi.
Далi покажемо збiжнiсть iнтеграла A(ν) вигляду (34), де ν̂(t) — перетворення
Фур’є функцiї ν(·), заданої формулою (11). З цiєю метою розiб’ємо множину
(−∞,∞) на двi частини: [−δ, δ] i |t| > δ так, що
A(ν) =
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
956 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
+
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt := I1 + I2. (73)
Оцiнимо iнтеграл I1 =
1
π
∫ δ
−δ
∣∣∣∣∫ ∞
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ dt. Маємо
I1≤
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt+
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt.
(74)
Як зазначалося, згiдно з (11) та (37), ν(u) = ν
ψ(1)
ψ(δ)
при u ∈ [0, 1/δ] . Тому, засто-
совуючи першу нерiвнiсть з (40), отримуємо
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
1
π
δ∫
−δ
1/δ∫
0
|ν(u)| dudt =
=
ψ(1)
πψ(δ)
δ∫
−δ
1/δ∫
0
|ν(u)| dudt ≤ 2δψ(1)
πψ(δ)
1/δ∫
0
(
2u
3δ2
+
u2
δ
+
u3
2
)
du =
K
δ3ψ(δ)
. (75)
Використовуючи умову (62) та нерiвнiсть (40), знаходимо оцiнку другого iнтеграла
iз правої частини (74):
1
π
δ∫
−δ
∣∣∣∣∣∣∣
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣∣ dt ≤
≤ 1
π
δ∫
−δ
∞∫
1/δ
|ν(u)|dudt =
4
3πδ3ψ(δ)
∞∫
1
uψ(u)du+
+
2
πδ3ψ(δ)
∞∫
1
u2ψ(u)du+
1
πδ3ψ(δ)
∞∫
1
u3ψ(u)du = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (76)
Iз спiввiдношень (74) – (76) випливає, що
I1 = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (77)
Оцiнимо iнтеграл I2 =
1
π
∫
|t|>δ
∣∣∣∣∫ ∞
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣ dt. Двiчi iнтегруючи
частинами i враховуючи, що ν(0) = 0, ν′(0) = 0, знаходимо
1/δ∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t
ν
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 957
+
1
t2
ν′
(
1
δ
− 0
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
1/δ∫
0
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (78)
Внасiдок (20) та (21) маємо limu→∞ ν(u) = 0 i limu→∞ ν′(u) = 0. Тодi
∞∫
1/δ
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = −1
t
ν
(
1
δ
)
sin
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
ν′
(
1
δ
)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
− 1
t2
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du. (79)
Поєднуючи (78) iз (79), знаходимо
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du =
1
t2
(
ν′
(
1
δ
− 0
)
− ν′
(
1
δ
))
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du− 1
t2
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Згiдно з (11) та (37) маємо
ν′
(
1
δ
−0
)
= ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
, (80)
ν′
(
1
δ
)
= ν′
(
1
δ
)
ψ(1)
ψ(δ)
+ ν
(
1
δ
)
δψ′(1)
ψ(δ)
. (81)
Тому
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du = − 1
t2
ν
(
1
δ
)
δψ′(1)
ψ(δ)
cos
(
t
δ
+
βπ
2
)
−
− 1
t2
1/δ∫
0
+
∞∫
1/δ
ν′′(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du.
Звiдси, враховуючи першу нерiвнiсть з (40), отримуємо∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
t2
K1
δ2ψ(δ)
+
1/δ∫
0
|ν′′(u)|du+
∞∫
1/δ
|ν′′(u)|du
. (82)
Далi, використовуючи (39), (80) i те, що µ′(0) = 0, а також враховуючи першу
нерiвнiсть з (40), маємо
1/δ∫
0
|ν′′(u)|du = −ν′
(
1
δ
− 0
)
=
∣∣∣∣ν′(1
δ
)∣∣∣∣ ψ(1)
ψ(δ)
≤ K2
δ2ψ(δ)
. (83)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
958 К. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Розглянемо другий iнтеграл iз правої частини нерiвностi (82) на кожному iз
промiжкiв
[
1
δ
,
b
δ
]
та
[
b
δ
,∞
)
. Врахувавши (42) та провiвши мiркування, аналогiчнi
використаним при доведеннi спiввiдношення (43), одержимо
b/δ∫
1/δ
|ν′′(u)|du ≤ K3
δ2ψ(δ)
. (84)
На пiдставi (44), враховуючи (81) i те, що limu→∞ ν′(u) = 0, а також беручи до
уваги нерiвностi (40), знаходимо
∞∫
b/δ
|ν′′(u)|du = −
∞∫
b/δ
dν′(u) = ν′
(
b
δ
)
ψ(b)
ψ(δ)
+
∣∣∣∣ν ( bδ
)∣∣∣∣ δ|ψ′(b)|ψ(δ)
≤ K4
δ2ψ(δ)
. (85)
Iз (82) – (85) випливає, що∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤ K
t2δ2ψ(δ)
.
Тодi при δ →∞
I2 =
1
π
∫
|t|≥δ
∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
ν(u) cos
(
ut+
βπ
2
)
du
∣∣∣∣∣∣ dt = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
. (86)
Отже, внаслiдок поєднання спiввiдношень (73), (77) та (86) для iнтеграла (34)
отримуємо оцiнку
A(ν) = O
(
1
δ3ψ(δ)
)
, δ →∞. (87)
Оскiльки перетворення Фур’є ϕ̂(t) та ν̂δ(t) є сумовними на всiй числовiй осi,
то в умовах теореми 2 має мiсце (61). На пiдставi (61), беручи до уваги (87),
отримуємо (63).
Теорему 2 доведено.
Зазначимо, що умови теореми 2 задовольняють функцiї ψ ∈ M, якi при t ≥ 1
мають вигляд ψ(t) =
lnα(t+K)
tr
, ψ(t) =
1
tr
(K + e−t), де r > 4, K > 0, α ∈ R;
ψ(t) = tre−Kt
α
, ψ(t) = lnr(t+ e)e−Kt
α
, K > 0, α > 0, r ∈ R.
Нехай функцiя µ(·) = µ(ψ; ·) пов’язана з функцiєю ψ ∈M спiввiдношеннями (1).
З теореми 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок. Якщо ψ належить M∞, функцiя g(u) опукла донизу при u ∈ [b,∞) ,
b ≥ 1, i
lim
t→∞
µ(ψ; t) =∞, (88)
то при δ →∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть (63).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ Cψβ,∞ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА 959
Доведення. Переконаємося, що виконання умови (88) гарантує збiжнiсть iнте-
грала
∫ ∞
1
ug(u)du, тобто виконання (62). Як випливає з роботи [4, c. 164] (див.
формулу (12.24)), для будь-якого ψ ∈M виконується нерiвнiсть
ψ(t)
|ψ′(t)|
≤ 2 (η(t)− t) ∀t ≥ 1. (89)
З урахуванням (89) для довiльного r ≥ 0 мають мiсце спiввiдношення
(trψ(t))′ = rtr−1ψ(t)− tr|ψ′(t)| ≤ tr|ψ′(t)|
(
2r
η(t)− t
t
− 1
)
. (90)
Внаслiдок (88) величина (η(t)−t)/t прямує до нуля при t→∞. Тому на основi (90)
приходимо до висновку, що для довiльного r ≥ 0 знайдеться число t0 = t0(r, ψ)
таке, що при t > t0 функцiя trψ(t) не зростає. Тодi
∞∫
1
ug(u)du =
∞∫
1
u5ψ(u)
u2
du ≤ K
∞∫
1
du
u2
<∞.
Зазначимо, що при виконаннi умов теорем 1 та 2 рiвностi (9) та (63) дають
розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для класiв Cψβ,∞ та бiгармонiчних iн-
тегралiв Пуассона в рiвномiрнiй метрицi у випадку, коли функцiї ψ(t) спадають до
нуля при t→∞ швидше за функцiю
1
t2
, яка визначає порядок насичення лiнiйного
методу наближення, породженого оператором Bδ.
1. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. –
376 с.
2. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. –
Киев, 1983. – 57 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.10).
3. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
4. Степанец А. И. Методы теориии приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. I. – 427 с.
5. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Ber.
Acad. Wiss. – Leipzig, 1938. – 90. – S. 103 – 134.
6. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл.
АН СССР. – 1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
7. Pych P. On a biharmonic function in unit dise // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
8. Канiєв С. Точна оцiнка вiдхилення в середньому бiгармонiчних в крузi функцiй вiд їх граничних
значень // Доп. АН УРСР. – 1964. – № 4. – С. 451 – 454.
9. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из
Lip11 от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения (Мат. Всесоюз.
симп.). – Алма-Ата: Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
10. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiодичних функцiй їх бiгармонiй-
ними iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213 – 1219.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
12. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций
сверточными операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
13. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матри-
цами, I // Изв. вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
Одержано 25.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166237 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:52:13Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жигалло, К.М. Харкевич, Ю.І. 2020-02-18T15:21:07Z 2020-02-18T15:21:07Z 2011 Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона / К.М. Жигалло, Ю.І. Харкевич // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 939–959. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166237 517.5 Получены асимптотические равенства для верхних граней отклонений бигармонических интегралов Пуассона на классах (ψ,β)-дифференцируемых периодических функций в равномерной метрике. Asymptotic equalities are obtained for upper bounds of deviations of biharmonic Poisson integrals on the classes of (ψ,β)-differentiable periodic functions in the uniform metric. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона Approximation of functions from the classes Cψβ,∞ by biharmonic Poisson integrals Article published earlier |
| spellingShingle | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона Жигалло, К.М. Харкевич, Ю.І. Статті |
| title | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_alt | Approximation of functions from the classes Cψβ,∞ by biharmonic Poisson integrals |
| title_full | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_fullStr | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_full_unstemmed | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_short | Наближення функцій із класів Cψβ,∞ бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_sort | наближення функцій із класів cψβ,∞ бігармонічними інтегралами пуассона |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166237 |
| work_keys_str_mv | AT žigallokm nabližennâfunkcíiízklasívcψβbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûí nabližennâfunkcíiízklasívcψβbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT žigallokm approximationoffunctionsfromtheclassescψβbybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûí approximationoffunctionsfromtheclassescψβbybiharmonicpoissonintegrals |