Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
Розглядаються диференцiальнi рiвняння у банаховому просторi, що зазнають iмпульсного впливу у фiксованi моменти часу. Припускається, що у банаховому просторi введено часткову впорядкованiсть з допомогою деякого нормального конуса i диференцiальнi рiвняння, монотоннi вiдносно початкових даних. Запроп...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166243 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 904–923. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166243 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. 2020-02-18T15:25:42Z 2020-02-18T15:25:42Z 2011 Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 904–923. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166243 517.36 Розглядаються диференцiальнi рiвняння у банаховому просторi, що зазнають iмпульсного впливу у фiксованi моменти часу. Припускається, що у банаховому просторi введено часткову впорядкованiсть з допомогою деякого нормального конуса i диференцiальнi рiвняння, монотоннi вiдносно початкових даних. Запропоновано новий пiдхiд до побудови систем порiвняння у скiнченновимiрному просторi без використання допомiжних функцiй типу Ляпунова. На основi цього пiдходу встановлено достатнi умови стiйкостi за двома мiрами цього класу диференцiальних рiвнянь. При цьому за мiру початкових вiдхилень вибрано деяку мiру Бiркгофа, а за мiру поточних вiдхилень — норму у вихiдному банаховому просторi. Наведено приклади дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у критичних випадках i лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що зазнають iмпульсного впливу. We consider differential equations in a Banach space subjected to pulse influence at fixed times. It is assumed that a partial order is introduced in the Banach space with the use of a certain normal cone and that the differential equations are monotone with respect to initial data. We propose a new approach to the construction of comparison systems in a finite-dimensional space that does not involve auxiliary Lyapunov type functions. On the basis of this approach, we establish sufficient conditions for the stability of this class of differential equations in terms of two measures, choosing a certain Birkhoff measure as the measure of initial displacements, and the norm in the given Banach space as the measure of current displacements. We give some examples of investigation of impulsive systems of differential equations in critical cases and linear impulsive systems of partial differential equations. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием On the stability of abstract monotone impulsive differential equations in terms of two measures Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| spellingShingle |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием Двирный, А.И. Слынько, В.И. Статті |
| title_short |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| title_full |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| title_fullStr |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| title_sort |
об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием |
| author |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| author_facet |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the stability of abstract monotone impulsive differential equations in terms of two measures |
| description |
Розглядаються диференцiальнi рiвняння у банаховому просторi, що зазнають iмпульсного впливу у фiксованi моменти часу. Припускається, що у банаховому просторi введено часткову впорядкованiсть з допомогою деякого нормального конуса i диференцiальнi рiвняння, монотоннi вiдносно початкових даних. Запропоновано новий пiдхiд до побудови систем порiвняння у скiнченновимiрному просторi без використання допомiжних функцiй типу Ляпунова. На основi цього пiдходу встановлено достатнi умови стiйкостi за двома мiрами цього класу диференцiальних рiвнянь. При цьому за мiру початкових вiдхилень вибрано деяку мiру Бiркгофа, а за мiру поточних вiдхилень — норму у вихiдному банаховому просторi. Наведено приклади дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у критичних випадках i лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що зазнають iмпульсного впливу.
We consider differential equations in a Banach space subjected to pulse influence at fixed times. It is assumed that a partial order is introduced in the Banach space with the use of a certain normal cone and that the differential equations are monotone with respect to initial data. We propose a new approach to the construction of comparison systems in a finite-dimensional space that does not involve auxiliary Lyapunov type functions. On the basis of this approach, we establish sufficient conditions for the stability of this class of differential equations in terms of two measures, choosing a certain Birkhoff measure as the measure of initial displacements, and the norm in the given Banach space as the measure of current displacements. We give some examples of investigation of impulsive systems of differential equations in critical cases and linear impulsive systems of partial differential equations.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166243 |
| citation_txt |
Об устойчивости по двум мерам абстрактных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 904–923. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dvirnyiai obustoičivostipodvummeramabstraktnyhmonotonnyhdifferencialʹnyhuravneniisimpulʹsnymvozdeistviem AT slynʹkovi obustoičivostipodvummeramabstraktnyhmonotonnyhdifferencialʹnyhuravneniisimpulʹsnymvozdeistviem AT dvirnyiai onthestabilityofabstractmonotoneimpulsivedifferentialequationsintermsoftwomeasures AT slynʹkovi onthestabilityofabstractmonotoneimpulsivedifferentialequationsintermsoftwomeasures |
| first_indexed |
2025-11-26T21:39:16Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:39:16Z |
| _version_ |
1850777688877301760 |
| fulltext |
УДК 517.36
А. И. Двирный (Академия пожарной безопасности, Черкассы),
В. И. Слынько (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ
МОНОТОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
We consider differential equations in a Banach space subjected to pulse influence at fixed times. It is assumed
that a partial order is introduced in the Banach space with the use of a certain normal cone and that the
differential equations are monotone with respect to initial data. We propose a new approach to the construction
of comparison systems in a finite-dimensional space that does not involve auxiliary Lyapunov type functions.
On the basis of this approach, we establish sufficient conditions for the stability of this class of differential
equations in terms of two measures, choosing a certain Birkhoff measure as the measure of initial displacements,
and the norm in the given Banach space as the measure of current displacements. We give some examples of
investigation of impulsive systems of differential equations in critical cases and linear impulsive systems of
partial differential equations.
Розглядаються диференцiальнi рiвняння у банаховому просторi, що зазнають iмпульсного впливу у
фiксованi моменти часу. Припускається, що у банаховому просторi введено часткову впорядкованiсть
з допомогою деякого нормального конуса i диференцiальнi рiвняння, монотоннi вiдносно початкових
даних. Запропоновано новий пiдхiд до побудови систем порiвняння у скiнченновимiрному просторi
без використання допомiжних функцiй типу Ляпунова. На основi цього пiдходу встановлено достатнi
умови стiйкостi за двома мiрами цього класу диференцiальних рiвнянь. При цьому за мiру початкових
вiдхилень вибрано деяку мiру Бiркгофа, а за мiру поточних вiдхилень — норму у вихiдному банахо-
вому просторi. Наведено приклади дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю у
критичних випадках i лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що зазнають
iмпульсного впливу.
Введение. Исследование различных явлений и процессов в сложных системах
с бесконечномерным фазовым пространством при условии мгновенного измене-
ния вектора состояния системы — актуальная задача современного естествознания
[1, 2]. Математической формализацией моделей таких процессов и явлений яв-
ляются дифференциальные уравнения с импульсным воздействием [3]. Важным
вопросом качественного анализа для этого класса дифференциальных уравнений
является вопрос об устойчивости тех или иных стационарных решений. Фундамен-
тальные результаты для систем дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием в случае конечномерного фазового пространства получены в ряде работ
(см., например, [3, 4, 6, 7]). Вместе с тем некоторые вопросы теории устойчивости
систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием изучены мало.
В частности, к таким вопросам можно отнести исследование нелинейных систем
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в критических случаях.
Основные, известные авторам, результаты в этом направлении получены и обобще-
ны в работах [5, 8 – 12]. В рамках проблемы исследования устойчивости решений
систем дифференциальных уравнений в критическом случае актуальным является
вопрос о распространении известных критериев устойчивости решений автоном-
ных монотонных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [13 – 15] на
класс монотонных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием. Основная трудность в процессе такого распространения состоит в отсут-
ствии инвариантности системы дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием относительно сдвигов по времени. Именно наличие этого свойства для
обыкновенных дифференциальных уравнений позволило в работе [13] установить
c© А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО, 2011
904 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 905
критерий устойчивости нелинейных автономных монотонных систем дифферен-
циальных уравнений.
Проблема исследования устойчивости решений для дифференциальных урав-
нений с импульсным воздействием в бесконечномерном пространстве является
малоизученной. Как обычно, для этого класса систем естественной постановкой
проблемы устойчивости является исследование устойчивости в терминах двух мер
[16, 17]. Для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных произ-
водных при наличии импульсных возмущений характерна монотонность правых
частей относительно некоторого конуса в банаховом пространстве. Например, для
уравнений параболического типа на основе принципа максимума часто можно уста-
новить монотонность решений.
Целью настоящей работы является развитие метода сравнения для некоторо-
го класса абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
Предполагается, что рассматриваемые уравнения имеют свойство монотонности
по начальным данным относительно некоторого нормального конуса в банахо-
вом пространстве. При этом для таких уравнений строится система сравнения
в конечномерном пространстве. Существенным отличием предложенного варианта
метода сравнения от известных подходов [18] является то, что при построении сис-
темы сравнения не используются вспомогательные функции типа Ляпунова. При
таком подходе справедливость теоремы сравнения обеспечивается наличием свой-
ства монотонности решений исходного эволюционного уравнения. Следует также
отметить, что в случае отсутствия импульсного воздействия при исследовании
устойчивости бесконечномерных систем дифференциальных уравнений, монотон-
ных относительно некоторого конуса, возникает необходимость дополнительных
требований относительно соответствующей полугруппы операторов (как, напри-
мер, ее строгая монотонность [19 – 21]) либо дополнительных требований отно-
сительно компактности некоторых полутраекторий (как, например, в работе [22]).
Эти требования часто сужают область применимости соответствующих результатов
или являются трудно проверяемыми. Вариант принципа сравнения, предложенный
в настоящей работе, позволяет снять эти ограничения, а также получить оценки
времени переходных процессов.
1. Постановка задачи. Пусть X — банахово пространство с нормой ‖ · ‖X ,
T ⊂ R — открытое подмножество R. Произвольное отображение u : T → X на-
зывается абстрактной функцией. Для абстрактных функций можно ввести опре-
деления предельного перехода, непрерывности и дифференцируемости в сильном
или слабом смысле (см. [23]). В настоящей работе будем рассматривать эти по-
нятия в сильном смысле (по норме). Как обычно, обозначим через C(T ;X) класс
непрерывных на множестве T функций и через Ck(T ;X) класс k раз непрерывно
дифференцируемых на множестве T функций.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с импульсным воздействием
du
dt
= f(u), t 6= τk,
∆u(t) = g(u(t)), t = τk,
(1.1)
где u ∈ X, t ∈ [0,∞), f : X → X, ∆u(t) = u(t+ 0)− u(t), g : X → X. Последова-
тельность моментов импульсного воздействия {τk}∞k=1 имеет единственную точку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
906 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
сгущения на бесконечности. Определим понятие решения абстрактного дифферен-
циального уравнения (1.1).
Определение 1.1. Абстрактная функция u(t) называется (сильным) реше-
нием уравнения (1.1) на интервале [0, T ] тогда и только тогда, когда выполняются
условия:
1) u ∈ C([0, τk)
⋃
(
⋃∞
k=1(τk, τk+1)) ;X) и lim
t→τk−0
u(t) = u(τk);
2) u ∈ C1([0, T ] \
⋃∞
k=1{τk};X) и
du
dt
= f(u), t ∈ [t0, T ] \
∞⋃
k=1
{τk},
lim
t→τk−0
du(t)
dt
= f(u(τk)), lim
t→τk+0
du(t)
dt
= f(u(τk + 0));
3) при t = τk выполняются равенства
u(t+ 0)− u(t) = g(u(t)).
Предположим, что задача Коши для дифференциального уравнения (1.1) с на-
чальным условием u(0) = u0 ∈ H, где H — линейное подмножество пространства
X, имеет единственное решение, которое обозначим через u(t;u0), и при этом
u(t;u0) ∈ H при всех t ≥ 0. Решения задачи Коши естественным образом по-
рождают однопараметрическое семейство отображений {W t(·)}t≥0, W t : H → H,
определенное по правилу W t(x) = u(t;x).
Рассмотрим абстрактное дифференциальное уравнение без импульсного воз-
действия
dx
dt
= f(x). (1.2)
Предположим, что D(f) ⊂ H и соответствующая задача Коши с начальным усло-
вием x(0) = x0 ∈ H имеет единственное решение x(t;x0) ∈ H, определенное
при всех t ≥ 0, а решения задачи Коши для дифференциального уравнения (1.2)
порождают полугруппу операторов {V t(·)}t≥0.
Пусть K — некоторый конус в пространстве X, {ws}rs=1 ⊂ K ∩D(f) — набор
элементов конуса K и
P =
{
r∑
s=1
αsws, αs ≥ 0
}
.
Конус K естественно порождает структуру порядка в пространстве X:
y
K
≥ x⇔ y − x ∈ K.
В случае телесного конуса K можно также ввести отношение строгого порядка
y
K
> x⇔ y − x ∈ int K.
Напомним [27], что конус K называется нормальным, если существует положи-
тельная постоянная aK такая, что при всех 0
K
≤ x
K
≤ y выполняется ‖y‖X ≥
≥ aK‖x‖X . Далее предполагаем нормальность конуса K.
Относительно полугруппы {V t(·)}t≥0 введем следующие дополнительные пред-
положения:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 907
1) отображение V t(·) монотонно относительно частичного порядка, порожден-
ного конусом K, т. е. при всех x, y ∈ H из неравенства y
K
≥ x следует неравенство
V t(y)
K
≥ V t(x) при всех t ≥ 0;
2) существует норма ‖ · ‖2, эквивалентная исходной норме ‖ · ‖X , такая, что
полугруппа V t(·) удовлетворяет условию Липшица, точнее для любого ограни-
ченного подмножества M ⊂ H и достаточно малого положительного числа h0
существует положительная постоянная L такая, что при всех x ∈ M, y ∈ M и
h ∈ [0, h0] выполняется неравенство
‖V h(x)− V h(y)‖2 ≤ eLh‖x− y‖2; (1.3)
3) для любого компактного множества Q ⊂ P и достаточно малого положи-
тельного числа h0 существуют положительные постоянные C и γ такие, что при
всех x ∈ Q, y ∈ Q и h ∈ [0, h0] выполняется неравенство
‖V h(x)− x− hf(x)‖X ≤ Ch1+γ ; (1.4)
4) существуют функции Fs(α1, . . . , αr) ∈ C(Rr+;R), s = 1, r, такие, что при
всех αs ≥ 0, s = 1, r, выполняется неравенство
f
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
Fs(α1, . . . , αr)ws, (1.5)
и при всех s = 1, r — неравенство Fs(α1, . . . , αr) ≥ 0, если αs = 0 и αm ≥ 0,
m = 1, r.
Относительно функции u+ g(u) сделаем следующие предположения:
5) существует окрестность N точки u = 0 такая, что при всех x, y ∈ H ∩ N
неравенство x
K
≥ y влечет за собой выполнение неравенства x + g(x)
K
≥ y + g(y)
(локальная монотонность);
6) существуют функции Gs(α1, . . . , αr), Gs ∈ C(Rr+,R+), s = 1, r, такие, что
при всех αs ≥ 0, s = 1, r, выполняется неравенство
g
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
Gs(α1, . . . , αr)ws (1.6)
и функции αs+Gs(α1, . . . , αr), s = 1, r, имеют свойство локальной позитивности,
т.е. существуют положительные постоянные α0
s, s = 1, r, такие, что при всех
0 ≤ αs ≤ α0
s, s = 1, r, выполняются неравенства
αs +Gs(α1, . . . , αr) ≥ 0, s = 1, r.
Отметим, что предположение 5 в сочетании с предположением 1 относительно
свойств полугруппы {V t(·)}t≥0 влечет за собой свойство монотонности отображе-
ния W t(x) по переменной x относительно конуса K.
Предположим, что точка u = 0 является изолированным состоянием равновесия
абстрактного дифференциального уравнения (1.1). Определим основные понятия
устойчивости для состояния равновесия u = 0 абстрактного дифференциального
уравнения (1.1). Как обычно, понятия устойчивости для уравнений в банаховом
пространстве естественно формулировать в терминах двух мер [16, 20]. Определим
функции h0 : H → R+, h : H → R+ и подмножества в пространстве X:
H0
δ = {x ∈ H : h0(x) < δ}, H1
ε = {x ∈ H : h(x) < ε}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
908 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Определение 1.2. Состояние равновесия u = 0 абстрактного дифференци-
ального уравнения (1.1) называется:
1) устойчивым в конусе K по мерам (h0, h), если для любого числа ε > 0
существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что из включения u0 ∈ K ∩ H0
δ следует
включение W t(u0) ∈ K ∩H1
ε при всех t ≥ 0;
2) асимптотически устойчивым в конусе K по мерам (h0, h), если u = 0
устойчиво в конусе K и существует положительное число ρ такое, что при всех
u0 ∈ K ∩H0
ρ выполняется предельное соотношение limt→∞ h(W t(u0)) = 0.
Рассмотрим примеры мер, которые будут использованы в дальнейшем. Пусть
w ∈ K и x ∈ X. Предположим, что существует постоянная β > 0 такая, что
−βw
K
≤ x
K
≤ βw, тогда положим
hw(x) = inf
β>0
{
−βw
K
≤ x
K
≤ βw
}
,
в противном случае будем полагать, что hw(x) = +∞. Мера hw(x) называется
мерой Биркгофа [27]. Элементы пространства X, для которых hw(x) < +∞, на-
зываются w-измеримыми и образуют линейное подмножествоXw ⊂ X (если конус
K является нормальным, то Xw — подпространство в X [27]). В случае телесного
конуса K условие w ∈ int K гарантирует, что hw(x) < ∞ при всех x ∈ X, т. е.
Xw = X. Кроме того, будем рассматривать меру h(x) = ‖x‖X .
Целью настоящей работы является исследование устойчивости в конусе состо-
яния равновесия u = 0 абстрактного дифференциального уравнения (1.1).
2. Вспомогательные результаты. Основным методом исследования устойчи-
вости (асимптотической устойчивости) в конусе K в настоящей работе избран ме-
тод сравнения. Сформулируем сначала принцип сравнения для абстрактного диф-
ференциального уравнения (1.2). Наряду с этим уравнением рассмотрим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений (систему сравнения)
dχs
dt
= Fs(χ1, . . . , χr), s = 1, r, (2.1)
где χs ∈ R. Обозначим через χs(t;α1, . . . , αr), s = 1, r, решение задачи Коши
для системы дифференциальных уравнений (2.1) с начальным условием χs(0;α1,
. . . , αr) = αs, s = 1, r, ω+(α1, . . . , αr) — правый конец максимального интервала
существования решения χs(t;α1, . . . , αr), s = 1, r, задачи Коши для дифференци-
ального уравнения (2.1).
Лемма 2.1. Предположим, что для абстрактного дифференциального урав-
нения (1.2) выполняются предположения 1 – 4 из п. 1.
Тогда при всех αs ≥ 0, s = 1, r, и при всех t ∈ [0, ω+(α1, . . . , αr)) выполняются
неравенства
V t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
χs(t;α1, . . . , αr)ws (2.2)
и χs(t;α1, . . . , αr) ≥ 0 при всех s = 1, r.
Доказательство. Установим сначала справедливость сформулированного ут-
верждения при достаточно малых значениях t. Покажем, что существует T > 0
такое, что при всех t ∈ [0, T ] неравенство (2.2) выполняется. Зафиксируем α =
= (α1, . . . , αr)
T . Пусть 0 < t ≤ T и l — достаточное большое натуральное число,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 909
определим h =
t
l
, d =
∑r
s=1
‖ws‖2, d1 =
∑r
s=1
‖ws‖1 и подмножества
M =
{
x ∈ X : ‖x−
r∑
s=1
αsws‖2 ≤ dR
}
,
Q =
{
x ∈ P : ‖x−
r∑
s=1
αsws‖1 ≤ d1R
}
,
где R — фиксированное положительное число.
Используя метод математической индукции и монотонность полугруппы опе-
раторов V t, нетрудно установить выполнение неравенства
V mh
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
α(m)
s ws +Rm(h), (2.3)
где последовательность α(m) = (α
(m)
1 , . . . , α
(m)
r )T является решением системы раз-
ностных уравнений
α(m)
s = α(m−1)
s + hFs(α
(m−1)
1 , . . . , α(m−1)
r ), s = 1, r,
с начальными условиями α
(0)
s = αs, s = 1, r, а ошибки Rm(h) удовлетворяют
разностному уравнению
Rm(h) = V h
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws +Rm−1(h)
)
−
−
r∑
s=1
α(m−1)
s ws − hf
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws
)
(2.4)
с начальным условием R0(h) = 0.
Отметим, что в силу предположения 4 из п. 1 число T можно выбрать настолько
малым, чтобы выполнялись неравенства α(m)
s ≥ 0 и |α(m)
s − αs| < R при всех
s = 1, r, m = 1, l.
При m = 1 элемент
∑r
s=1
α(m−1)
s ws + Rm−1(h) принадлежит M. Предполо-
жим, что существует наименьшее натуральное число N (N ≤ l) такое, что
r∑
s=1
α(N)
s ws +RN (h) /∈M,
r∑
s=1
α(m)
s ws +Rm(h) ∈M, m = 1, N − 1.
Из уравнения (2.4) следует, что при всех m = 1, N выполняется оценка
‖Rm(h)‖2 ≤
∥∥∥∥∥V h
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws +Rm−1(h)
)
− V h
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws
)∥∥∥∥∥
2
+
+
∥∥∥∥∥V h
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws
)
−
r∑
s=1
α(m−1)
s ws − hf
(
r∑
s=1
α(m−1)
s ws
)∥∥∥∥∥
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
910 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Учитывая предположения 2 и 3 относительно полугруппы V t(·) и тот факт, что∥∥∥∥∥
r∑
s=1
α(m−1)
s ws −
r∑
s=1
αsws
∥∥∥∥∥
2
≤ dR,
∥∥∥∥∥
r∑
s=1
α(m−1)
s ws −
r∑
s=1
αsws
∥∥∥∥∥
1
≤ d1R, m = 1, N,
получаем
‖Rm(h)‖2 ≤ eLh‖Rm−1(h)‖2 + C1h
1+γ ,
где C1 — некоторая положительная постоянная. Очевидно, что ‖Rm(h)‖2 ≤ vm,
m = 1, N, где vm удовлетворяет разностному уравнению
vm = eLhvm−1 + C1h
1+γ , v0 = 0.
Таким образом, ‖Rm(h)‖2 ≤
C1
L
hγ(eLT − 1), m = 1, N. Натуральное число l
выберем настолько большим, чтобы
C1
L
hγ(eLT − 1) <
dR
2
, тогда∥∥∥∥∥
r∑
s=1
α(N)
s ws +RN (h)−
r∑
s=1
αsws
∥∥∥∥∥
2
≤ dhN‖F‖GR +
C1
L
hγ(eLT − 1) < dR.
Как следствие, включение
∑r
s=1
α(m)
s ws + Rm(h) ∈ M и оценка ‖Rm(h)‖2 ≤
≤ C1
L
hγ(eLT − 1) выполняются при всех m = 1, l. Полагая m = l и переходя к
пределу при h→ 0, получаем limh→0 ‖Rl(h)‖2 = 0 и вследствие эквивалентности
норм ‖ · ‖X и ‖ · ‖2 выполняется равенство lim
h→0
‖Rl(h)‖X = 0.
Полагая в неравенстве (2.3) m = l, имеем
V t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
α(l)
s ws +Rl(h).
Переходя в последнем неравенстве к пределу h → 0 (l → ∞) и учитывая, что
α
(l)
s → χs(t;α1, . . . , αr), s = 1, r, при l → ∞ (см. [28], доказательство леммы
Пеано), приходим к выводу о справедливости теоремы при достаточно малых t.
Таким образом, при всех t ∈ [0, T ] выполняется неравенство
V t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
χs(t;α1, . . . , αr)ws.
Рассмотрим множество T ⊂ R+ значений t, для которых неравенство (2.2)
выполняется на сегменте [0, t]. Предположим, что τ∗ = sup T < ω+(α1, . . . , αr),
тогда τ∗ принадлежит T и при достаточно малых положительных числах T ∗ таких,
что τ∗ + T ∗ < ω+(α1, . . . , αr) и T ∗ ∈ T . Применяя полугрупповое свойство,
получаем
V τ
∗+T∗
(
r∑
s=1
αsws
)
= V τ
∗
(
V T
∗
(
r∑
s=1
αsws
))
K
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 911
K
≤ V τ
∗
(
r∑
s=1
χs(T
∗;α1, . . . , αr)ws
)
K
≤
K
≤
r∑
s=1
χs(τ
∗;χ1(T ∗;α1, . . . , αr), . . . , χr(T
∗;α1, . . . , αr))ws =
=
r∑
s=1
χs(τ
∗ + T ∗;α1, . . . , αr)ws,
что противоречит выбору числа τ∗ и завершает доказательство леммы.
В некоторых случаях предположение 2 из п. 1 является слишком ограничитель-
ным и может быть ослаблено за счет введения дополнительных предположений
относительно телесности конуса K и повышения требований относительно глад-
кости функций Fs, s = 1, r.
Будем говорить, что набор {ws}rs=1 является допустимым, если существуют
неотрицательные постоянные δs, s = 1, r, такие, что элемент w =
∑r
s=1
δsws ∈
∈ int K.
Вместо условия 2 из п. 1 введем следующее предположение:
2а) конус K телесный, набор {ws}rs=1 является допустимым, выполняется пре-
дельное соотношение
lim
ε→0+
‖V ε(x)− x‖X = 0
и Fs ∈ Lip(Rr+;R), s = 1, r.
Лемма 2.2. Предположим, что для абстрактного дифференциального урав-
нения (1.2) выполняются предположения 1, 3, 4 из п. 1 и предположение 2а из
п. 2.
Тогда при всех αs ≥ 0, s = 1, r, и t ∈ [0, ω+(α1, . . . , αr)) выполняется неравен-
ство (2.2).
Доказательство. Наряду с системой сравнения (2.1) рассмотрим вспомога-
тельную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dχ̃s
dt
= Fs(χ̃1, . . . , χ̃r) + γδs, s = 1, r, (2.5)
где χ̃s ∈ R, γ — малый положительный параметр. Обозначим через χ̃s(t), s =
= 1, r, решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (2.5)
с начальным условием χ̃s(0) = αs + γδs, s = 1, r. Докажем, что при всех t ∈
∈ [0, ω̃+(α1 + γδ1, . . . , αr + γδr)) выполняется строгое неравенство
V t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
<
r∑
s=1
χ̃s(t)ws. (2.6)
Обозначим через T множество моментов времени t, для которых неравенство (2.6)
выполняется. Множество T непустое, так как 0 ∈ T . Обозначим τ∗ = sup T и
предположим, что τ∗ < ω̃+(α1+γδ1, . . . , αr+γδr). Тогда вследствие непрерывнос-
ти полугруппы {V t(·)}t≥0 и функций χ̃s(t), s = 1, r, по переменной t выполняется
неравенство
r∑
s=1
χ̃s(t)ws − V t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
> 0, t ∈ [0, τ∗), (2.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
912 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
и имеет место включение
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws − V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
)
∈ ∂K. (2.8)
Известно [27], что существует функционал ψ ∈ K∗ такой, что
ψ
(
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws − V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
))
= 0. (2.9)
Определим функцию
ξ(t) = ψ
(
r∑
s=1
χ̃s(t)ws − V t
(
r∑
s=1
αsws
))
.
Отметим, что ξ ∈ C1[0, ω̃+(α1 + γδ1, . . . , αr + γδr)) и
ξ̇(τ∗) = lim
h→0+0
ξ(τ∗)− ξ(τ∗ − h)
h
.
Из (2.7) и (2.8) следует, что ξ(τ∗) = 0, ξ(τ∗−h) > 0 при h > 0, поэтому ξ̇(τ∗) ≤ 0.
С другой стороны,
ξ̇(t) = γψ
(
r∑
s=1
δsws
)
+
+ψ
(
r∑
s=1
Fs(χ̃1(t), . . . , χ̃r(t))ws − f
(
V t
(
r∑
s=1
αsws
)))
.
Из условия 4 из п. 1 следует неравенство
f
(
r∑
s=1
χ̃s(t)ws
)
K
≤
r∑
s=1
Fs(χ̃1(t), . . . , χ̃r(t))ws.
Поэтому
ξ̇(t) ≥ γψ
(
r∑
s=1
δsws
)
+ ψ
(
f
(
r∑
s=1
χ̃s(t)ws
)
− f
(
V t
(
r∑
s=1
αsws
)))
.
При t = τ∗ с учетом включений
∑r
s=1
χ̃s(τ
∗)ws ∈ D(f) и V τ
∗
(∑r
s=1
αsws
)
∈
∈ D(f), по определению, получим
f
(
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
)
= lim
ε→0+
V ε
(∑r
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
)
−
∑r
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
ε
,
f
(
V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
))
= lim
ε→0+
V ε
(
V τ
∗
(∑r
s=1
αsws
))
− V τ∗
(∑r
s=1
αsws
)
ε
и, как следствие,
ψ
(
f
(
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
)
− f
(
V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
)))
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 913
= lim
ε→0+
1
ε
[
ψ
(
V ε
(
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
)
− V ε
(
V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
)))
+
+ψ
(
V τ
∗
(
r∑
s=1
αsws
)
−
r∑
s=1
χ̃s(τ
∗)ws
)]
.
В силу (2.9) последнее слагаемое в квадратных скобках уничтожается, а в силу
монотонности полугруппы {V t(·)}t≥0 и включения (2.8) предпоследнее слагаемое
в квадратных скобках неотрицательно, поэтому ξ̇(τ∗) ≥ γ
∑r
s=1
δsψ(ws) > 0.
Полученное противоречие доказывает, что τ∗ = ω̃+(α1 + γδ1, . . . , αr + γδr). Из
условия Fs ∈ Lip (Rr+;R) следует, что (см. [28])
χ̃s(t)→ χs(t;α1, . . . , αr),
lim inf
γ→0+
ω̃+(α1 + γδ1, . . . , αr + γδr) ≥ ω+(α1, . . . , αr)
при γ → 0 + . Переход к пределу γ → 0+ в неравенстве (2.6) завершает доказа-
тельство леммы.
Перейдем к формулировке соответствующих результатов для абстрактного диф-
ференциального уравнения (1.1). Наряду с абстрактным дифференциальным урав-
нением (1.1) рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием (систему сравнения)
dηs
dt
= Fs(η1, . . . , ηr), s = 1, r, t 6= τk,
∆ηs = Gs(η1, . . . , ηr), s = 1, r, t = τk,
(2.10)
где ηs ∈ R. Обозначим через ηs(t;α1, . . . , αr), s = 1, r, решение задачи Коши для
системы дифференциальных уравнений (2.10) с начальным условием ηs(0;α1, . . .
. . . , αr) = αs, s = 1, r, Ω+(α1, . . . , αr) — правый конец максимального интер-
вала существования решения ηs(t;α1, . . . , αr), s = 1, r. Кроме того, определим
величину
Ω̃+(α1, . . . , αr) ≤ Ω+(α1, . . . , αr)
такую, что при всех τk ≤ Ω̃+(α1, . . . , αr) имеет место включение
W τk
(
r∑
s=1
αsws
)
∈ N.
Сформулируем принцип сравнения для абстрактного дифференциального урав-
нения (1.1).
Теорема 2.1. Предположим, что абстрактное дифференциальное уравнение
с импульсным воздействием (1.1) удовлетворяет условиям 1 – 6 из п. 1 (или усло-
виям 1, 3 – 6 из п. 1 и 2а из п. 2).
Тогда для произвольных αs ≥ 0, s = 1, r, при всех t ∈
[
0, Ω̃+(α1, . . . , αr)
)
выполняется неравенство
W t
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
ηs(t;α1, . . . , αr)ws. (2.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
914 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Доказательство. Введем множество T ⊂ [0, Ω̃+(α1, . . . , αr)) тех t, при ко-
торых равенство (2.11) выполняется на сегменте [0, t]. Это множество непустое,
так как 0 ∈ T . Обозначим τ = sup T и предположим, что τ < Ω̃+(α1, . . . , αr).
Вследствие непрерывности слева отображения W t(·) по переменной t истинно
включение τ ∈ T :
W τ
(
r∑
s=1
αsws
)
K
≤
r∑
s=1
ηs(τ ;α1, . . . , αr)ws. (2.12)
Пусть τ не совпадает с моментом импульсного воздействия.
Выберем ε настолько малым, чтобы существовал элемент V ε
(
W τ
(∑r
s=1
αsws
))
и полуинтервал (τ, τ + ε] не содержал моментов импульсного воздействия. При-
меняя к неравенству (2.12) оператор V ε и учитывая монотонность полугруппы
операторов {V t(·)}t≥0, получаем
W τ+ε
(
r∑
s=1
αsws
)
=
= V ε
(
W τ
(
r∑
s=1
αsws
))
K
≤ V ε
(
r∑
s=1
ηs(τ ;α1, . . . , αr)ws
)
K
≤
K
≤
r∑
s=1
χs(ε; η1(τ ;α1, . . . , αr), . . . , ηr(τ ;α1, . . . , αr))ws =
=
r∑
s=1
ηs(τ + ε;α1, . . . , αr)ws,
что противоречит определению числа τ.
Предположим, что τ = τj , тогда W τ
(∑r
s=1
αsws
)
∈ N, и вследствие непре-
рывности слева по переменной t и условия 6 из п. 1
W τj+0
(
r∑
s=1
αsws
)
= W τj
(
r∑
s=1
αsws
)
+ g
(
W τj
(
r∑
s=1
αsws
))
K
≤
K
≤
r∑
s=1
(ηs(τj ;α1, . . . , αr) +Gs(η1(τj ;α1, . . . , αr), . . . , ηr(τj ;α1, . . . , αr)))wk =
=
r∑
s=1
ηs(τj + 0;α1, . . . , αr)ws. (2.13)
Пусть ε > 0 — настолько малое число, что существует элемент V ε
(
W τ
(∑r
s=1
αsws
))
и полуинтервал (τ, τ + ε] не содержит моментов импульсного воздействия. Тогда,
применяя оператор V ε к неравенству (2.13) и учитывая монотонность полугруппы
{V t(·)}t≥0, получаем
W τ+ε
(
r∑
s=1
αsws
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 915
= V ε
(
W τ
(
r∑
s=1
αsws
))
K
≤ V ε
(
r∑
s=1
ηs(τ ;α1, . . . , αr)ws
)
K
≤
K
≤
r∑
s=1
χs(ε; η1(τ ;α1, . . . , αr), . . . , ηr(τ ;α1, . . . , αr))ws =
=
r∑
s=1
ηs(τ + ε;α1, . . . , αr)ws,
что противоречит определению числа τ. Таким образом, предположение о том, что
τ < Ω̃+(α1, . . . , αr), приводит к противоречию. Следовательно, τ = Ω̃+(α1, . . . , αr),
что завершает доказательство теоремы 2.1.
3. Основной результат. Относительно системы сравнения (2.10) дополнитель-
но предположим Fs(0) = 0, Gs(0) = 0, s = 1, r, тогда η = 0 — состояние равно-
весия этой системы. Для состояния равновесия η = 0 системы сравнения можно
определить понятия устойчивости в конусе Rr+ аналогично определению 1.1 (см.
также [13]).
Теорема 3.1. Предположим, что для системы (1.1) выполняются предполо-
жения 1 – 6 из п. 1 (или предположения 1, 3 – 6 из п. 1, 2а из п. 2) и состояние
равновесия η = 0 системы сравнения (2.10):
1) устойчиво в конусе Rr+;
2) асимптотически устойчиво в конусе Rr+.
Тогда состояние равновесия u = 0 абстрактного дифференциального уравне-
ния (1.1):
1) устойчиво в конусе K по мерам (hw, ‖ · ‖X);
2) асимптотически устойчиво в конусе K по мерам (hw, ‖ · ‖X).
Доказательство. Пусть элемент u0 является w-измеримым и 0
K
≤ u0
K
≤
K
≤ hw(u0)w. Тогда существует достаточно малое положительное число T такое,
что при всех t ∈ [0, T ] выполняется неравенство
0
K
≤W t(u0)
K
≤W t(hw(u0)
r∑
s=1
δsws)
K
≤
K
≤
r∑
s=1
ηs
(
t;hw(x0)δ1, . . . , hw(x0)δr
)
ws. (3.1)
Покажем, что существует достаточно малое положительное число r0 такое, что
при всех u0 ∈ K, hw(u0) < r0 последнее неравенство выполняется при всех t ≥ 0.
Вследствие устойчивости в конусе Rr+ решения ηs = 0, s = 1, r, системы сравнения
(2.10) положительное число δ0 можно выбрать так, что при всех αs, 0 < αs < δ0,
s = 1, r, выполняется равенство Ω+(α1, . . . , αr) = +∞ и при всех t ≥ 0
ηs(t;α1, . . . , αr) <
R
2aKmr
, s = 1, r,
где положительное число R выбрано из условия
{x : ‖x‖X < R} ⊂ N ∩D,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
916 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
и m = maxs=1,r ‖ws‖X . Выберем r0 = mins=1,r
{
δ0
δs
}
. Обозначим через τ супре-
мум непустого множества моментов времени, для которых неравенство (3.1) выпол-
няется. Пусть τ не является моментом импульсного воздействия. Тогда, по непре-
рывности, неравенство (3.1) выполняется и при t = τ. Полугруппа V t(W τ (u0))
определена при достаточно малых t, поэтому, применяя лемму 2.1, получаем
0
K
≤W t+τ (u0) = V t(W τ (u0)))
K
≤
K
≤
r∑
s=1
ηs
(
t+ τ ;hw(u0)δ1, . . . , hw(u0)δr
)
ws.
Таким образом, существование конечного τ в этом случае приводит к противоре-
чию.
Предположим теперь, что τ = τk. Тогда вследствие непрерывности слева по t
эволюционного оператораW t неравенство (3.1) выполняется и при t = τk.Поэтому
‖W τk(u0)‖X ≤ aK
r∑
s=1
ηs(τk;hw(u0)δ1, . . . , hw(u0)δr)‖ws‖X < R
и W τk(u0) ∈ N, откуда следует, что
W τk+0(u0) = W τk(u0) + g(W τk(u0))
K
≤
K
≤
r∑
s=1
ηs(τk + 0;hw(u0)δ1, . . . , hw(u0)δr)ws.
Применяя к последнему неравенству оператор V t, определенный при достаточно
малых t, и лемму 3.1, приходим к противоречию. Таким образом, неравенство (3.1)
выполняется при всех t ≥ 0, если только hw(u0) < r0.
Зададим произвольное положительное число ε > 0. По условию теоремы
3.1 для заданного положительного числа
ε
aKmr
существует положительное чис-
ло ∆(ε) такое, что из неравенств 0 ≤ αs < ∆(ε), s = 1, r, следуют нера-
венства ηs(t;α1, . . . , αr) <
ε
aKmr
, s = 1, r, при всех t ≥ 0. Выберем δ(ε) =
= mins=1,r
{
∆(ε)
δs
, r0
}
> 0, тогда из условия u0 ∈ H0
δ и неравенства W t(u0)
K
≥ 0
следует, что
‖W t(u0)‖X ≤ aK
r∑
s=1
ηs(t; δ1hw(u0), . . . , δrhw(u0))‖ws‖X < ε
при всех t ≥ 0. Устойчивость в конусе K состояния равновесия u = 0 по ме-
рам (hw, ‖ · ‖X) доказана. Асимптотическая устойчивость в конусе K состояния
равновесия u = 0 по мерам (hw, ‖ · ‖X) легко выводится из оценки
‖W t(u0)‖X ≤ aK
r∑
s=1
ηs(t; δ1hw(u0), . . . , δrhw(u0))‖ws‖X ,
что и завершает доказательство теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 917
Обсудим приложение полученных результатов в случае, когда X = Rn, K —
телесный конус в пространстве Rn.
Рассмотрим дифференциальное уравнение с импульсным воздействием
dx
dt
= f(x), t 6= τk,
∆x(t) = g(x(t)), t = τk,
(3.2)
где x ∈ Rn, f ∈ C1(Rn;Rn), g ∈ C(Rn;Rn), f(0) = 0, g(0) = 0.
Предположим также, что состояние равновесия системы (3.2) является изоли-
рованным.
Определение 3.1. Функция f удовлетворяет условию Важевского, если для
любых x, y ∈ K и ψ ∈ K∗ таких, что y
K
≥ x и (ψ, y − x) = 0, выполняется
неравенство (ψ, f(y)− f(x)) ≥ 0.
Относительно функции g(x) предположим наличие свойства локальной моно-
тонности по переменной x относительно конуса K.
Известно [13], что условие Важевского гарантирует выполнение для локальной
полугруппы {V t(·)}t≥0 предположения 1 из п. 1. Условия 2 и 3 из п. 1 выполняются
вследствие предположений относительно гладкости функции f.
Теорема 3.2. Предположим, что существует допустимый набор {ws}rs=1
такой, что система дифференциальных уравнений (3.1) удовлетворяет условиям
предположений 4 – 6 из п. 1 и условию Важевского:
1) состояние равновесия ηs = 0, s = 1, r, системы сравнения (2.10) устойчиво
в конусе Rr+;
2) состояние равновесия ηs = 0, s = 1, r, системы сравнения (2.10) асимпто-
тически устойчиво в конусе Rr+.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (3.2):
1) устойчиво в конусе K;
2) асимптотически устойчиво в конусе K.
При доказательстве этой теоремы существенно используется эквивалентность
норм в конечномерном пространстве.
4. Приложение. Приведем некоторые приложения полученных результатов.
Пример 1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием
dx1
dt
= −ax31 + εx1x2x3, t 6= τk,
dx2
dt
= −ax32 + εx21x3, t 6= τk,
dx3
dt
= x33 + εx1x2x3, t 6= τk,
∆x1 = x31 + εx1x
2
2, t = τk,
∆x2 = x32 + εx1x2x3, t = τk,
∆x3 = −bx33 + εx2x
2
3, t = τk,
(4.1)
где ε, a, b — положительные постоянные, K = R3
+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
918 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2.
Положим w1 = (1, 1, 0)T , w2 = (0, 0, 1)T .
Тогда система сравнения имеет вид
dη1
dt
= −aη31 + εη21η2, t 6= τk,
dη2
dt
= η32 + εη21η2, t 6= τk,
∆η1 = (1 + ε)η31 + εη21η2, t = τk,
∆η2 = εη1η
2
2 − bη32 , t = τk.
(4.2)
Используя метод точечных отображений, можно показать, что условия асимптоти-
ческой устойчивости в конусе R3
+ системы сравнения (4.2) сводятся к совместности
системы неравенств
λ > 0, (1 + ε− aθ1)λ+ εθ2 < 0, εθ2λ
2 + ελ+ θ2 − b < 0.
Условия совместности этой системы представляют собой достаточные условия
асимптотической устойчивости в конусе R3
+ состояния равновесия x = 0 систе-
мы (4.1)
2ε2θ2 ≤ (aθ1 − 1− ε)(
√
ε2 + 4εθ2(b− θ2)− ε),
ε2 + 4θ2(b− θ2) > 0, 1 + ε− aθ1 < 0.
Пример 2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных
производных
∂w
∂t
= ε2
∂2w
∂x2
+Aw(t, x), t 6= τk,
w(t+ 0, x) = (I + Γ)w(t, x) + αε sin
πx
l
l∫
0
w(t, x) dx, t = τk,
(4.3)
где A = [aij ]
2
i,j=1 — действительная матрица, aij ≥ 0 при i 6= j, Γ = [γij ]
2
i,j=1, γii >
> −1, γij ≥ 0, i 6= j, i, j = 1, 2, ε, α — положительные параметры. Относительно
последовательности моментов импульсного воздействия {τk}∞k=1 предположим, что
выполняется двустороннее неравенство
0 < θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 <∞.
Для системы (4.3) рассмотрим смешанную задачу
w(0, x) = ϕ(x), x ∈ [0, l], ϕi ∈ C1(0, l) ∩ C[0, l],
w(t, 0) = 0, t ∈ [0,∞), (4.4)
w(t, l) = 0, t ∈ [0,∞).
Введем пространство X = (L2(0, l))2 с нормой ‖ϕ‖X =
{
‖ϕ1‖2L2[0,l] +
+‖ϕ2‖2L2[0,l]
}1/2
, подмножество
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 919
H =
{
(ϕ1, ϕ2)
∣∣ϕi ∈ C1(0, l) ∩ C[0, l], ϕi(0) = 0, ϕi(l) = 0, i = 1, 2
}
⊂ X
и конус
K =
{
(ϕ1, ϕ2) |ϕi(x) ≥ 0, x ∈ [0, l], i = 1, 2
}
.
Конус K нормальный, но не является телесным [27].
Рассмотрим вопрос о проверке основных предположений 1 – 3 и 5 относительно
смешанной задачи (4.3), (4.4). С этой целью рассмотрим систему дифференциаль-
ных уравнений в частных производных
∂v
∂t
= ε2
∂2v
∂x2
+Av(t, x) (4.5)
с начальными и граничными условиями (4.4).
Покажем, что решения системы дифференциальных уравнений (4.5) порождают
полугруппу операторов {V t(·)}t≥0, удовлетворяющую условиям 1 – 3 из п. 1.
Введем новые переменные u(t, x) = (u1(t, x), u2(t, x))T по формуле v(t, x) =
= eAtu(t, x), где v(t, x) = (v1(t, x), v2(t, x))T . В этом случае функция u(t, x) удов-
летворяет дифференциальному уравнению
∂u
∂t
= ε2
∂2u
∂x2
, (4.6)
а также начальным и граничным условиям (4.4). Решения смешанной задачи (4.4) –
(4.6) порождают линейную полугруппу U t(·). Из принципа максимума [24, 25]
следует, что U t(ϕ)
K
≥ 0 при условии ϕ
K
≥ 0. Неравенство Фридрихса (см. [23])
позволяет установить оценку
‖U t(ϕ0)‖X ≤ e−
π2ε2
l2
t‖ϕ0‖X ,
из которой непосредственно следует, что
‖V t(ϕ0)‖X ≤ e(‖A‖−
π2ε2
l2
)t‖ϕ0‖X .
Из линейности полугруппы V t и позитивности полугруппы U t следует выполнение
условия 1 из п. 2. Условие 2 из п. 2 выполняется вследствие линейности полугруппы
V t.
Выберемw1(x) =
(
sin
πx
l
, 0
)
, w2(x) =
(
0, sin
πx
l
)
.Свойство 3 из п. 1 выполня-
ется вследствие того, что функция ψ(x) = sin
πx
l
является аналитическим вектором
(см. [31, с. 457]) для дифференциального оператора
A = ε2
d2
dx2
, D(A) =
{
ψ ∈ C2[0, l], ψ(0) = ψ(l) = 0
}
.
Условие 5, очевидно, выполняется. Исследуем устойчивость по двум мерам линей-
ной системы (4.3). Система сравнения имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
920 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
dη1
dt
=
(
−π
2ε2
l2
+ a11
)
η1 + a12η2, t 6= τk,
dη2
dt
= a21η1 +
(
−π
2ε2
l2
+ a22
)
η2, t 6= τk,
η1(t+ 0) =
(
1 + γ11 +
2αlε
π
)
η1(t) + γ12η2(t), t = τk,
η2(t+ 0) = γ21η1(t) +
(
1 + γ22 +
2αlε
π
)
η2(t), t = τk.
(4.7)
Устойчивость системы (4.7) гарантирует устойчивость по мерам (hw, ‖ ·‖X) исход-
ной системы (полагаем w = w1 + w2) дифференциальных уравнений в частных
производных (4.3).
Система сравнения (4.7) может быть исследована известными методами [3]. В
случае, когда выполняются условия(
−π
2ε2
l2
+ a11
)(
−π
2ε2
l2
+ a22
)
< 0,
(
γ11 +
2αlε
π
)(
γ22 +
2αlε
π
)
< 0,
эта система может быть исследована с помощью методов, развитых в работах
[2, 26, 29, 30]. Полное исследование системы сравнения возможно в замкнутом
виде, но вследствие громоздкости здесь не проводится.
Пример 3. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных
производных
∂w
∂t
= ε2
∂2w
∂x2
+Aw(t, x), t 6= τk,
w(t+ 0, x) = (I + Γ)w(t, x), t = τk,
(4.8)
где A = [aij ]
2
i,j=1 — действительная матрица, aij ≥ 0 при i 6= j, i, j = 1, 2,
Γ = [γij ]
2
i,j=1, γii > −1, γij ≥ 0, i 6= j, i, j = 1, 2, ε — неотрицательный
параметр. Относительно последовательности моментов импульсного воздействия
{τk}∞k=1 предположим, что выполняется двустороннее неравенство
0 < θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 <∞.
Для системы (3.1) рассмотрим смешанную задачу
w(0, x) = ϕ(x), x ∈ [0, l], ϕ ∈
(
C1(0, l) ∩ C[0, l]
)2
,
w(t, 0)− β ∂w
∂x
(t, 0) = 0, t ∈ [0,∞), (4.9)
w(t, l) + β
∂w
∂x
(t, l) = 0, t ∈ [0,∞),
где β — положительная постоянная.
Введем пространство X = (C[0, l])2 с нормой ‖ϕ‖X = max
{
‖ϕ1‖C[0,l],
‖ϕ2‖C[0,l]
}
, подмножество
H =
{
(ϕ1, ϕ2) |ϕi ∈ C1(0, l) ∩ C[0, l],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 921
ϕi(0)− βϕ′i(0) = 0, ϕi(l) + βϕ′i(l) = 0, i = 1, 2
}
⊂ X
и конус
K =
{
(ϕ1, ϕ2) |ϕi(x) ≥ 0, x ∈ [0, l], i = 1, 2
}
.
Конус K является телесным и нормальным.
Условия 1 из п. 1 и 2а из п. 2 доказываются так же, как в примере 2. Для
проверки условия 3 выберем w1(x) = (ψ(x), 0), w2(x) = (0, ψ(x)), δ1 = δ2 = 1,
где ψ(x) ∈ D(A3), A — линейный дифференциальный оператор,
A = ε2
d2
dx2
,
D(A) =
{
ϕ ∈ C2[0, l], ϕ(0)− βϕ′(0) = 0, ϕ(l) + βϕ′(l) = 0
}
.
В этом случае w ∈ int K и w1(x) и w2(x) удовлетворяют условию 3 из п. 1.
Функцию ψ(x) будем выбирать в виде полинома шестой степени
ψ(x) = −x6 + a5x
5 + a4x
4 + a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0.
Условие ψ ∈ D(A3) позволяет однозначно выразить коэффициенты am, m = 0, 5,
многочлена ψ(x) :
ψ(x) = −x6 +
15l
4
(5βx4 + x5)− 5l2(30β2 + 20lβ + 3l2)
2(l + 2β)
(3βx2 + x3)+
+
l3(1128l2β2 + 232βl3 + 1800β4 + 19l4 + 2400lβ3)
4(l + 2β)2
(β + x).
Предположим, что min
x∈[0,l]
ψ(x) > 0 и обозначим
ω = max
x∈[0,l]
ψ′′(x)
ψ(x)
.
Тогда система сравнения имеет вид
dη1
dt
= (ε2ω + a11)η1 + a12η2, t 6= τk,
dη2
dt
= a21η1 + (ε2ω + a22)η2, t 6= τk,
η1(t+ 0) = (1 + γ11)η1(t) + γ12η2(t), t = τk,
η2(t+ 0) = γ21η1(t) + (1 + γ22)η2(t), t = τk.
(4.10)
Устойчивость (асимптотическая устойчивость) построенной системы сравнения
(4.10) и условие minx∈[0,l] ψ(x) > 0 влекут за собой наличие устойчивости (асимп-
тотической устойчивости) по мерам (hw, ‖ · ‖X) исходной системы дифференци-
альных уравнений (4.8). Ясно также, что система сравнения может быть иссле-
дована значительно проще, чем исходная система дифференциальных уравнений
[3, 26, 29, 30].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
922 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Заключение. Рассмотренные в п. 4 примеры свидетельствуют об эффектив-
ности предложенных методов исследования устойчивости решений систем диф-
ференциальных уравнений с импульсным воздействием. Пример 1 показывает,
что полученные результаты применимы и для систем с конечномерным фазовым
пространством и позволяют исследовать устойчивость в критических случаях для
систем высокой размерности. Примеры 2 и 3 показывают возможность исследова-
ния устойчивости по двум мерам систем дифференциальных уравнений в частных
производных при наличии импульсного воздействия. При этом, как принято в тео-
рии устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных
[16, 17], рассматриваются классические постановки смешанных задач. Вместе с
тем значительный интерес в случае систем с импульсным воздействием представ-
ляют расширение соответствующих постановок задач и введение обобщенных (в
том или ином смысле) решений, так как условия согласования граничных усло-
вий и импульсного воздействия часто слишком обременительны. Таким образом,
актуальной задачей для дальнейшего исследование является введение и исследо-
вание обобщенных решений этого класса уравнений, а также установление теорем
существования, единственности и устойчивости решений для таких уравнений.
1. Liu X. Progress in stability of impulsive systems with applications to population growth models //
Advances in Stability Theory at the End of the 20 th Century /Ed. A. A. Martynyuk (Stability and
Control: Theory, Methods and Applications). – London: Taylor and Francis, 2003. – 13. – P. 321 – 340.
2. Слынько В. И. Устойчивость движения механических систем: гибридные модели: Автореф. дис.
. . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 2009. – 24 с.
3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
4. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore:
World Sci., 1989. – 275 p.
5. Перестюк М. О., Чернiкова О. С. Деякi сучаснi аспекти теорiї диференцiальних рiвнянь з iмпульс-
ною дiєю // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 1. – С. 81 – 94.
6. Перестюк Н. А. К вопросу устойчивости положения равновесия импульсных систем // Год. на
ВУЗ: Прилож. мат. – София, 1976. – 11, кн. 1. – С. 145 – 150.
7. Перестюк Н. А. Устойчивость решений линейных систем с импульсным воздействием // Вестн.
Киев. ун-та. Математика и механика. – 1977. – № 19. – С. 71 – 76.
8. Ignat’ev A. O., Ignat’ev O. A., Soliman A. A. Asymptotic stability and instability of the solutions of
systems with impulse action // Math. Notes. – 2006. – 80, № 4. – P. 491 – 499.
9. Ignat’ev A. O. On the stability ofinvariant sets of systems with impulse effect // Nonlinear Anal. – 2008.
– 69. – P. 53 – 72.
10. Ignat’ev A. O., Ignat’ev O. A. Stability of solutions of systems with impulse effect // Progr. Nonlinear
Anal. Res. – Nova Sci. Publ., Inc., 2009. – P. 363 – 389.
11. Слынько В. И. Построение отображений Пуанкаре для голономной механической системы с двумя
степенями свободы при наличии ударов // Прикл. механика. – 2008. – 44, № 5. – С. 115 – 122.
12. Бабенко С. В., Слынько В. И. Устойчивость движения нелинейных систем с импульсным воздейст-
вием в критических случаях // Доп. НАН України. – 2008. – № 6. – С. 46 – 52.
13. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Исследование устойчивости автономных систем сравнения.
– Киев, 1978. – 24 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики, 78.28).
14. Оболенский А. Ю. Об устойчивости систем сравнения // Доп. АН УРСР. – 1979. – № 8. – С. 607 –
611.
15. Оболенский А. Ю. Об устойчивости линейных систем сравнения // Мат. физика и нелинейн.
механика. – 1984. – Вып. 1. – С. 51 – 55.
16. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. – Новосибирск: Наука,
1987. – 231 с.
17. Мовчан А. А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // Прикл.
математика и механика. – 1959. – 23, № 3. – С. 483 – 493.
18. Мартынюк А. А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод сравнения. – Киев:
Наук. думка, 1991. – 243 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДВУМ МЕРАМ АБСТРАКТНЫХ МОНОТОННЫХ . . . 923
19. Hirsch M. W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems // J. reine und angew.
Math. – 1988. – 383. – S. 1 – 53.
20. Кедык Т. В., Оболенский А. Ю. Об устойчивости по двум мерам гибридных квазимонотонных
расширений // Докл. АН УССР. – 1991. – № 8. – С. 80 – 82.
21. Кедык Т. В. Об инвариантных многообразиях гибридных квазимонотонных расширений // Докл.
АН УССР. – 1991. – № 10. – С. 8 – 11.
22. Оболенский А. Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского с запаздыванием //
Укр. мат. журн. – 1983. – 35, № 5. – С. 574 – 579.
23. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высш. шк., 1977. – 431 с.
24. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 с.
25. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. Курс лекцiй: Навч. пос. –
Київ: Либiдь, 1993. – 248 с.
26. Двирный А. И., Слынько В. И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно
конуса // Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 37 – 43.
27. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. – М.: Наука,
1985. – 256 с.
28. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
29. Двирный А. И. Об оценке границы робастности линейной системы с импульсным воздействием //
Доп. НАН України. – 2003. – № 9. – С. 34 – 39.
30. Слынько В. И. Об экспоненциальной устойчивости линейной импульсной системы в гильбертовом
пространстве // Доп. НАН України. – 2002. – № 12. – С. 44 – 47.
31. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Вища шк., 1990. –
600 с.
Получено 17.11.10,
после доработки — 02.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|