Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера. We establish existence theorems...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166244 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, А.А. Козьма // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 924–938. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004319401607168 |
|---|---|
| author | Евтухов, В.М. Козьма, А.А. |
| author_facet | Евтухов, В.М. Козьма, А.А. |
| citation_txt | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, А.А. Козьма // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 924–938. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера.
We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden - Fowler type.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова),
А. А. Козьма (Одес. гос. эконом. ун-т)
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order
differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities
of the Emden – Fowler type.
Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв
диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями
бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера.
1. Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение второго
порядка
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)[1 + ri(t)]ϕi0(y)ϕi1(y′), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, pi : [a, ω) → (0,+∞), i = 1, . . . ,m, −∞ < a < ω ≤
≤ +∞1, — непрерывно дифференцируемые функции, ri : [a, ω)→ R, i = 1, . . . ,m,
— непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
lim
t↑ω
ri(t) = 0, i = 1, . . . ,m, (1.2)
ϕik : ∆k → (0,+∞), k = 0, 1, i = 1, . . . ,m, — дважды непрерывно дифференциру-
емые функции,
∆k =
либо [y0
k, Yk),
либо (Yk, y
0
k],
y0
k ∈ R, Yk =
либо 0,
либо ±∞2,
k = 0, 1, (1.3)
причем ϕik такие, что при каждом k ∈ {0, 1}
lim
z→Yk
z∈∆k
ϕik(z) = ϕ0
ik, 0 ≤ ϕ0
ik ≤ +∞, i = 1, . . . ,m, (1.4)
и если ϕik(z) не является тождественной константой на промежутке ∆k, то
ϕ′ik(z) 6= 0 при z ∈ ∆k, lim
z→Yk
z∈∆k
zϕ′ik(z)
ϕik(z)
= σik = const,
lim sup
z→Yk
z∈∆k
∣∣∣∣zϕ′′ik(z)
ϕ′ik(z)
∣∣∣∣ < +∞.
(1.5)
1При ω = +∞ считаем, что a > 0.
2При Yk = +∞ (Yk = −∞) считаем, что y0k > 0 (y0k < 0).
c© В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА, 2011
924 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 925
Положим
πω(t) =
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞.
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1), определенное на промежутке
[t0, ω) ⊂ [a, ω), будем называть Пω(Y0, Y1, µ0)-решением, где −∞ ≤ µ0 ≤ +∞,
если оно удовлетворяет следующим условиям:
y(k) : [t0, ω)→ ∆k, lim
t↑ω
y(k)(t) = Yk, k = 0, 1, (1.6)
lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= µ0 и при µ0 = ±∞ lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
= 1. (1.7)
Разобьем множество M = {1, 2, . . . ,m} на четыре непересекающихся подмно-
жества:
M1 =
{
i ∈M : ϕ0
ik = const 6= 0, k = 0, 1
}
,
M2 =
{
i ∈M \M1 : ϕ0
i1 = const 6= 0
}
,
M3 =
{
i ∈M \M1 : ϕ0
i0 = const 6= 0
}
,
M4 = M \ (M1 ∪M2 ∪M3).
В [1, 2] и настоящей работе для каждого i ∈ M \M4 приведены условия, при
выполнении которых на любом Пω(Y0, Y1, µ0)-решении уравнения (1.1) правая его
часть асимптотически эквивалентна i-му слагаемому. При выполнении этих усло-
вий в [1] для i ∈M1 (M1 6= ∅) и всех возможных значений µ0, а в [2] для i ∈M2+k
(k ∈ {0, 1}, M2+k 6= ∅) и µ0 ∈ R \ {0, 1} были установлены необходимые и до-
статочные условия существования Пω(Y0, Y1, µ0)-решений. Кроме того, получены
асимптотические представления этих решений и их производных первого порядка
при t ↑ ω. Целью настоящей работы является установление условий существования
и асимптотического поведения Пω(Y0, Y1, µ0)-решений для i ∈ M2+k (k ∈ {0, 1},
M2+k 6= ∅) и µ0 = ±∞.
2. Некоторые априорные свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-решений.
Лемма 2.1. Пусть y : [t0, ω)→ ∆0 — Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1).
Тогда имеет место предельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞.
Доказательство леммы 2.1 при различных значениях Y0 см. в работах [3, 4].
Лемма 2.2. Пусть µ0 = ±∞, M2+k 6= ∅, k ∈ {0, 1} и для некоторого
i ∈M2+k выполняются условия
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< +∞ при j ∈M \ {i} (2.1)
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
926 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
γσik signπω(t) > 0, если j ∈M1,
γ(σik − σjk) signπω(t) > 0, если j ∈M2+k, j 6= i,
γ(σik − σj1−k) signπω(t) > 0, если j ∈M3−k,
γ(σik − σj0 − σj1) signπω(t) > 0, если j ∈M4,
(2.2)
где
γ =
1 при µ0 = +∞,
−1 при µ0 = −∞.
Тогда для каждого Пω(Y0, Y1,±∞)-решения уравнения (1.1) выполняются предель-
ные соотношения
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))
= 0 при j ∈M \ {i}. (2.3)
Доказательство. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 — произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-
решение уравнения (1.1). Положим при k ∈ {0; 1}
zj1(t) =
pj(t)
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M1,
zj2+k(t) =
pj(t)ϕjk(y(k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M2+k, i 6= j,
zj3−k(t) =
pj(t)ϕj1−k(y(1−k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M3−k,
zj4(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
, если j ∈M4.
Тогда
z′j1(t) =
pj(t)
pi(t)ϕik(y(k)(t))
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j2+k(t) =
pj(t)ϕjk(y(k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
×
×
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y(k+1)(t)ϕ′jk(y(k)(t))
ϕjk(y(k)(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j3−k(t) =
pj(t)ϕj1−k(y(1−k)(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
×
×
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y(2−k)(t)ϕ′j1−k(y(1−k)(t))
ϕj1−k(y(1−k)(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j4(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕik(y(k)(t))
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
+
y′′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 927
+
y′(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
− y(k+1)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
.
Запишем эти соотношения в виде
z′j1(t) =
zj1(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
− |πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
]
,
z′j2+k(t) =
zj2+k(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
+
+
|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′jk(y(k)(t))
ϕjk(y(k)(t))
− y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
)]
,
z′j3−k(t) =
zj3−k(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
−
−|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
−
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)1−2k y(1−k)(t)ϕ′j1−k(y(1−k)(t))
ϕj1−k(y(k)(t))
)]
,
z′j4(t) =
zj4(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
−
−|πω(t)|y(k+1)(t)
y(k)(t)
(
y(k)(t)ϕ′ik(y(k)(t))
ϕik(y(k)(t))
−
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)1−k y′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
−
(
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
)−k y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
)]
.
В силу условия (1.6) и второго из условий (1.5)
lim
t↑ω
y(k)(t)ϕ′lk(y(k)(t))
ϕlk(y(k)(t))
= σlk, где k = 0, 1; l = i, j. (2.4)
Кроме того, согласно условиям (1.6), (1.7) и лемме 2.1
lim
t↑ω
πω(t)y(k+1)(t)
y(k)(t)
= ±∞, k = 0, 1, и lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
= 1. (2.5)
Тогда с учетом (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) существуют постоянные z0
jl < 0, l = 1, 4, и
t1 ∈ [t0, ω) такие, что выполняются неравенства
z′jl(t) ≤
z0
jlzjl(t)
|πω(t)|
при t ∈ [t1, ω), l = 1, 4,
откуда следует, что
ln
∣∣∣∣ zjl(t)zjl(t1)
∣∣∣∣ ≤ z0
jl
t∫
t1
dτ
|πω(τ)|
при t ∈ [t1, ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
928 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Поскольку выражения, стоящие справа, стремятся к −∞ при t ↑ ω, то
lim
t↑ω
zjl(t) = 0, l = 1, 4, j ∈M\{i}.
Из этих предельных соотношений с учетом определения множеств Ml, l = 1, 4,
следует справедливость (2.3).
3. Основные результаты. Введем вспомогательные обозначения
Ii(t) =
t∫
I0
i
pi(s) ds, Qi(t) =
t∫
Q0
i
Ii(s) ds,
где
I0
i =
a, если
∫ ω
a
pi(s) ds = +∞,
ω, если
∫ ω
a
pi(s) ds < +∞,
Q0
i =
a, если
∫ ω
a
|Ii(s)| ds = +∞,
ω, если
∫ ω
a
|Ii(s)| ds < +∞.
Кроме того, при i ∈M2+k, k ∈ {0, 1} и σik 6= 1 введем функцию
Φik(s) =
s∫
Bik
dz
ϕik(z)
, где Bik =
y0
k, если
∣∣∣∣∣
∫ Yk
y0
k
dz
ϕik(z)
∣∣∣∣∣ = +∞,
Yk, если
∣∣∣∣∣
∫ Yk
y0
k
dz
ϕik(z)
∣∣∣∣∣ < +∞.
Для этой функции существует обратная функция Φ−1
ik , определенная при Bik = y0
k
на бесконечном промежутке
∆ik =
[0; +∞), если (1− σik)y0
k > 0,
(−∞; 0], если (1− σik)y0
k < 0,
(3.1)
и при Bik = Yk на конечном промежутке
∆ik =
(0; bik], если (1− σik)y0
k > 0,
(bik; 0), если (1− σik)y0
k < 0,
(3.2)
где bik =
∫ y0
k
Yk
dz
ϕik(z)
.
Для функций Φik и Φ−1
ik имеют место предельные соотношения
lim
s→Yk
Φik(s) =∞, lim
z→∞
Φ−1
ik (z) = Yk (при Bik = y0
k),
lim
s→Yk
Φik(s) = 0, lim
z→0
Φ−1
ik (z) = Yk (при Bik = Yk).
(3.3)
Кроме того, применяя правило Лопиталя, с учетом первого из предельных со-
отношений (1.5) получаем
lim
s→Yk
s∈ ∆k
Φik(s)
s
ϕik(s)
=
1
1− σik
, k = 0, 1. (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 929
Теорема 3.1. Пусть µ0 = ±∞ и для некоторого i ∈ M2 выполняются усло-
вия (2.1), (2.2), σi0 6= 1. Тогда для существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравне-
ния (1.1) необходимо и достаточно, чтобы
Y0 =
±∞, если lim
t↑ω
|Qi(t)|1−σi0 = +∞,
0, если lim
t↑ω
|Qi(t)|1−σi0 = 0,
Y1 =
±∞, если γπω(t) > 0,
0, если γπω(t) < 0,
(3.5)
при t ∈ (a, ω) выполнялись неравенства
αiQi(t)y
0
0 > 0, (1− σi0)Ii(t)Qi(t)y
0
0y
0
1 > 0, γ(1− σi0)πω(t)Ii(t) > 0
(3.6)
и имело место предельное соотношение
lim
t↑ω
(Ii(t))
2
pi(t)Qi(t)
= 1. (3.7)
Кроме того, каждое из таких решений допускает при t ↑ ω асимптотические
представления
y(t)
ϕi0(y(t))
= αi(1− σi0)2ϕ0
i1Qi(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
pi(t)
(1− σi0)Ii(t)
[1 + o(1)].
(3.8)
Доказательство теоремы 3.1. Необходимость. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 —
произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1). Тогда из леммы 2.1 следует
справедливость второго из условий (3.5). В силу выполнения условий i ∈M2, (2.1),
(2.2) из уравнения (1.1) с учетом леммы 2.2 следует, что
y′′(t) = αipi(t)ϕi0(y(t))ϕ0
i1[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.9)
Покажем, учитывая условие σi0 6= 1, что имеет место асимптотическое пред-
ставление
y′(t)
ϕi0(y(t))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.10)
Поскольку (
y′(t)
ϕi0(y(t))
)′
=
y′′(t)ϕi0(y(t))− y′(t)ϕ′i0(y(t))y′(t)
ϕ2
i0(y(t))
=
=
y′′(t)
ϕi0(y(t))
[
1− (y′(t))2
y′′(t)y(t)
y(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
]
,
в силу (1.5), (1.7) и (3.9) получаем(
y′(t)
ϕi0(y(t))
)′
= αiϕ
0
i1(1− σi0)pi(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.11)
Интегрируя это выражение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
930 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
y′(t)
ϕi0(y(t))
= ci + αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.12)
Если I0
i = t0, то справедливо (3.10). Покажем, что ci = 0 при I0
i = ω. Предположим
противное, тогда
y′(t)
ϕi0(y(t))
= ci + o(1) при t ↑ ω и в силу (3.9)
y′′(t)
y′(t)
= αiϕ
0
i1pi(t)
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)), находим
ln |y′(t)| = c+ αiϕ
0
i1Ii(t)
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
Здесь левая часть при t ↑ ω стремится к бесконечности, а правая — к константе.
Полученное противоречие доказывает справедливость (3.10) в случае, когда I0
i = ω.
Из (3.9) и (3.10) следует, что
y′′(t)
y′(t)
=
pi(t)
(1− σi0)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω
и, в силу определения Пω(Y0, Y1,±∞)-решения, имеет место третье из нера-
венств (3.6).
Применяя правило Лопиталя в форме Штольца, с учетом (1.5), (3.10) и условия
σi0 6= 1 находим
lim
t↑ω
y(t)
ϕi0(y(t))Qi(t)
= lim
t↑ω
(
y(t)
ϕi0(y(t))
)′
Q′i(t)
=
= lim
t↑ω
y′(t)
ϕi0(y(t))
[
1− y(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
]
Ii(t)
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2
или
y(t)
ϕi0(y(t))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.13)
Из этого соотношения следует справедливость первого из неравенств (3.6) и пер-
вого из асимптотических представлений (3.8).
В силу (3.10) и (3.13)
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.14)
что обеспечивает выполнение первого из условий (3.5) и второго из неравенств (3.6).
Кроме того, из (3.12) и (3.14) с учетом условия limt↑ω
y(t)y′′(t)
(y′(t))2
= 1 следу-
ет справедливость предельного соотношения (3.7) и второго из асимптотических
представлений (3.8).
Достаточность. Пусть выполняются условия (3.5) – (3.7). В силу (3.1) – (3.3),
а также (3.5) и (3.6) однозначно определяются значения Yk и промежутки ∆k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 931
∆ik, k = 0, 1. Установив Yk и ∆k, k = 0, 1, докажем существование хотя бы
одного Пω(Y0, Y1,±∞)-решения уравнения (1.1), которое допускает при t ↑ ω
асимптотическое представление (3.8). Для этого применим к уравнению (1.1) пре-
образование
Φi0(y(t)) = αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1(x)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + v2(x)],
(3.15)
где
x = β ln |Qi(t)|, β =
1, если Q0
i = a,
−1, если Q0
i = ω.
В силу первых из условий (3.5) и (3.6) можно выбрать t1 ∈ [t0, ω) так, что
3
2
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t) ⊂ ∆i0 при t ∈ [t1, ω). Тогда из первого соотношения (3.15) и
свойств функции Φi0 следует, что при t ∈ [t1, ω), |v1| ≤
1
2
имеет место равенство
y(t) = Yi(t, v1), в котором
Yi(t, v1) = Φ−1
i0
(
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1]
)
, (3.16)
где t — функция, обратная к x = β ln |Qi(t)|.
Для функции Yi в силу (3.1) – (3.4) имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1) = Y0 равномерно по v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
, (3.17)
Yi(t, v1) ⊂ ∆0 при t ∈ [t1, ω), |v1| ≤
1
2
. (3.18)
Кроме того, при каждом фиксированном значении v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
имеем
(Yi(t, v1))
′
t = ϕi0 (Yi(t, v1))αiϕ
0
i1(1− σi0)Ii(t)[1 + v1]. (3.19)
Тогда, применяя правило Лопиталя, находим
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))Qi(t)
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2[1 + v1]
или
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t)[1 + v1][1 + o(1)] (3.20)
при t ↑ ω и фиксированном v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
]
.
Из (3.19) и (3.20) получим
(
при любом фиксированном v1 ∈
[
−1
2
;
1
2
])
пре-
дельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t) (Yi(t, v1))
′
t
Yi(t, v1)
= lim
t↑ω
πω(t)Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
. (3.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
932 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Введем также функцию
Y
[1]
i (t, v1, v2) =
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
Yi(t, v1)[1 + v2], (3.22)
определенную при t ∈ (t1, ω), |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2. Для нее имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)′
t
(Yi(t, v1))
′
t Y
[1]
i (t, v1, v2)
=
= lim
t↑ω
Yi(t, v1)
1 + v2
1− σi0
((
Ii(t)
Qi(t)
)′
Yi(t, v1) +
Ii(t)
Qi(t)
(Yi(t, v1))
′
t
)
(Yi(t, v1))
′
t
1 + v2
1− σi0
Ii(t)
Qi(t)
Yi(t, v1)
=
= 1 + lim
t↑ω
(
Ii(t)
Qi(t)
)′
αiϕ
0
i1(1− σi0)2Qi(t)[1 + v1]ϕi0 (Yi(t, v1))
Ii(t)
Qi(t)
αiϕ0
i1(1− σi0)Qi(t)[1 + v1]ϕi0 (Yi(t, v1))
=
= 1 + (1− σi0) lim
t↑ω
(
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
= 1. (3.23)
В силу (3.21) и (3.23)
lim
t↑ω
πω(t)
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)′
t
Y
[1]
i (t, v1, v2)
= lim
t↑ω
πω(t)Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
(3.24)
при фиксированных |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2.
Из (3.24) с учетом второго и третьего из неравенств (3.6), предельного соотно-
шения (3.7), (3.22) и монотонности функции Yi по переменой v1 получаем
lim
t↑ω
Y
[1]
i (t, v1, v2) = Y1 равномерно по vk ∈
[
−1
2
;
1
2
]
, k = 1, 2, (3.25)
Y
[1]
i (t, v1, v2) ⊂ ∆i1 при t ∈ [t2, ω), где t2 ∈ [t1, ω). (3.26)
В силу условий (1.3) – (1.5), (3.17), (3.18), (3.25), (3.26) следует, что равномерно по
|vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, имеют место пределы
lim
t↑ω
Yi(t, v1)ϕ′j0 (Yi(t, v1))
ϕj0 (Yi(t, v1))
= σj0, j = 1,m, (3.27)
lim
t↑ω
Y
[1]
i (t, v1, v2)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) = σj1, j = 1,m, (3.28)
причем если lim Y→Yk
Y ∈∆k
ϕjk = const 6= 0, то σjk = 0, k ∈ {0, 1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 933
Поскольку выполняются условия (3.17), (3.18), (3.21), (3.23) – (3.28), при фик-
сированных |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, функции Yi(t, v1) и Y [1]
i (t, v1, v2) обладают всеми
теми свойствами Пω(Y0, Y1,±∞)-решений, которые использовались при доказа-
тельстве леммы 2.2 и, следовательно,
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
pi(t)ϕi0 (Yi(t, v1))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) = 0, j ∈M \ {i}. (3.29)
Так как
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
′
v1
=
=
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
αiϕ
0
i1(1− σi0)
Yi(t, v1)
×
×Qi(t)
[
Yi(t, v1)ϕ′j0 (Yi(t, v1))
ϕj0 (Yi(t, v1))
+
+
Y
[1]
i (t, v1, v2)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
) − Yi(t, v1)ϕ′i0 (Yi(t, v1))
ϕi0 (Yi(t, v1))
]
и выполняются условия (2.2), (3.27), (3.28), существует t3 ∈ [t2, ω) такое, что при
t ∈ [t3, ω) и |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2, правая часть сохраняет знак. Следовательно,
отношение
ϕj0 (Yi(t, v1))ϕj0
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
ϕi0 (Yi(t, v1))
изменяется монотонно по v1 при t ∈
[t3, ω), |v2| ≤
1
2
. Учитывая этот факт, нетрудно показать, что предельное соот-
ношение (3.29) выполняется равномерно по v1, v2. Рассуждая таким же образом и
учитывая (3.20), имеем
lim
t↑ω
Yi(t, v1)
ϕi0 (Yi(t, v1))Qi(t)[1 + v1]
= αiϕ
0
i1(1− σi0)2 (3.30)
равномерно по v1.
В результате преобразования (3.15) получим заданную на множестве
Ω = [x0; +∞)×D, x0 = β ln |Qi(t3)|,
D =
{
(v1, v2) : |vk| ≤
1
2
, k = 1, 2
}
систему дифференциальных уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
934 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
v′1 = β
[
−[1 + v1] +
αiYi(t, v1)
ϕ0
i1(1− σi0)2Qi(t)ϕi0(Yi(t, v1))
[1 + v2]
]
,
v′2 = β
[
−
(
I ′i(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
[1 + v2]− 1
1− σi0
[1 + v2]2+
(3.31)
+
(1− σi0)Q2
i (t)
I2
i (t)Yi(t, v1)
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]pj(t)ϕj0(Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
),
в которой t — функция, обратная к x = β ln |Qi(t)|.
На множестве Ω функции
Yi(t, v1)
ϕi0(Yi(t, v1))
и
ϕj0(Yi(t, v1))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v1, v2)
)
Yi(t, v1)
яв-
ляются непрерывными и дважды непрерывно дифференцируемыми по переменным
v1 и v2. Разложим эти функции при каждом фиксированном t по формуле Тейлора
с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки (0, 0) с целью выде-
ления линейных частей. С учетом этих разложений и (3.16) – (3.30) система (3.31)
принимает вид
v′1 = β[f1(x) + c11(x)v1 + c12(x)v2 + V1(x, v1, v2)],
v′2 = β[f2(x) + c21(x)v1 + c22(x)v2 + V2(x, v1, v2)],
(3.32)
где
f1(x) = −1 +
αi
ϕ0
i1(1− σi0)
Yi(t, 0)
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
,
c11 = −1 +
αi
ϕi1(1− σi0)2Qi(t)
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)
[
1− Yi(t, 0)ϕ′i0(Yi(t, 0))
ϕi0(Yi(t, 0))
]
,
c12(x) =
αi
ϕ0
i1(1− σi0)2Qi(t)
αiϕ
0
i1(1− σi0)Qi(t)
[
1− Yi(t, 0)ϕ′i0(Yi(t, 0))
ϕi0(Yi(t, 0))
]
,
f2(x) = −I
′
i(t)Qi(t)
I2
i (t)
+ 1− 1
1− σi0
+ (1− σi0)×
×
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ×
×ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
,
c21(x) = αiϕ
0
i1(1− σi0)2×
×
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ×
×
(
Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
)2
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 935
×
[
Yi(t, 0)ϕ′j0(Yi(t, 0))
ϕj0(Yi(t, 0))
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
+
+
Y
[1]
i (t, 0, 0)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) − ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)]
,
c22(x) = −
(
I ′i(t)Qi(t)
I2
i (t)
− 1
)
− 2
1− σi0
+
pi(t)Qi(t)
I2
i (t)
(1− σi0)
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]×
×
pj(t)ϕj0(Yi(t, 0))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
pi(t)ϕi0(Yi(t, 0))ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) Qi(t)ϕi0(Yi(t, 0))
Yi(t, 0)
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
×
×
Y
[1]
i (t, 0, 0)ϕ′j1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
)
ϕj1
(
Y
[1]
i (t, 0, 0)
) ,
а функции V1(x, v1, v2) и V2(x, v1, v2) таковы, что lim|v1|+|v2|→0
Vk(x, v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0,
k = 1, 2, равномерно по x ∈ [x0; +∞).
Кроме того, принимая во внимание условия (3.1) – (3.4), (3.16) – (3.30), а также
замену независимой переменной, получаем
lim
x→+∞
fk(x) = 0, k = 1, 2, lim
x→+∞
c11(x) = 0,
lim
x→+∞
c12(x) = 1, lim
x→+∞
c21(x) =
−1
1− σi0
, lim
x→+∞
c22(x) =
−2
1− σi0
.
Следовательно, система (3.32) является квазилинейной системой дифференци-
альных уравнений с почти постоянными коэффициентами. Записав характеристи-
ческое уравнение для предельной матрицы коэффициентов линейной части этой
системы ∣∣∣∣∣∣∣
−λ β
− β
1− σi0
−2β
1− σi0
− λ
∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
получим
λ2 +
2β
1− σi0
λ+
1
1− σi0
= 0.
У этого уравнения нет корней с нулевой действительной частью. Таким образом,
для системы дифференциальных уравнений (3.32) выполняются все условия тео-
ремы 2.1 работы [5]. На основании этой теоремы система (3.32) имеет хотя бы
одно решение (vk)2
k=1 : [x1,+∞) → R2, где x1 ≥ x0, которое стремится к нулю
при x → +∞. Этому решению, с учетом преобразования (3.15), соответствует
решение y(t) уравнения (1.1), которое вместе со своей производной допускают
асимптотические представления
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
936 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Φi0(y(t)) = αi(1− σi0)ϕ0
i1Qi(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi0)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Из этих соотношений, с учетом (3.4) и (3.7), следует справедливость асимптотиче-
ских представлений (3.8). Используя эти представления, а также условия (2.1), (2.2),
σi0 6= 1, (3.7), (3.6), нетрудно показать, что y(t) имеет все свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-
решения.
Теорема 3.2. Пусть µ0 = ±∞ и для некоторого i ∈ M3 выполняются усло-
вия (2.1), (2.2), σi1 6= 1. Тогда для существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравне-
ния (1.1) необходимо и достаточно, чтобы
Y1 =
±∞, если lim
t↑ω
|Ii(t)|1−σi1 = +∞,
0, если lim
t↑ω
|Ii(t)|1−σi1 = 0,
Y0 =
±∞, если γπω(t) > 0,
0, если γπω(t) < 0,
(3.33)
при t ∈ (a, ω) выполнялись неравенства
αi(1− σi1)Ii(t)y
0
1 > 0, (1− σi1)Ii(t)Qi(t)y
0
0y
0
1 > 0, γ(1− σi1)πω(t)Ii(t) > 0
(3.34)
и имело место предельное соотношение
lim
t↑ω
(Ii(t))
2
pi(t)Qi(t)
= 1. (3.35)
Кроме того, каждое из таких решений допускает при t ↑ ω асимптотические
представления
y′(t)
ϕi1(y′(t))
= αi(1− σi1)ϕ0
i0Ii(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
pi(t)
(1− σi1)Ii(t)
[1 + o(1)].
(3.36)
Доказательство теоремы 3.2. Необходимость. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 —
произвольное Пω(Y0, Y1,±∞)-решение уравнения (1.1). Тогда из леммы 2.1 следу-
ет справедливость второго из условий (3.33). В силу выполнения условий i ∈M3,
(2.1), (2.2) из леммы 2.2 следует, что
y′′(t) = αipi(t)ϕ
0
i0ϕi1(y′(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.37)
Применив правило Лопиталя, с учетом (1.5) и σi1 6= 1 получим
lim
t↑ω
y′(t)
Ii(t)ϕi1(y′(t))
= αi(1− σi1)ϕ0
i0, (3.38)
или
y′(t) = αi(1− σi1)ϕ0
i0Ii1(t)ϕi1(y′(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.39)
Из (3.39) следует справедливость первого из неравенств (3.34) и первого из асимп-
тотических представлений (3.36). Дифференцируя выражение
y(t)
ϕi1(y′(t))
, с учетом
(1.5), (1.7) и (3.39) получаем соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ И АСИМПТОТИКА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 937
(
y(t)
ϕi1(y′(t))
)′
= αi(1− σi1)2ϕ0
i0Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Исследуя его таким же образом, как и соотношение (3.10), имеем
y(t)
ϕi1(y′(t))
= αi[1− σi1]2ϕ0
i0Qi(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.40)
Отсюда с учетом (3.38) получаем
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi1)Qi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.41)
что подтверждает справедливость второго из неравенств (3.34). Кроме того, из
(3.37) и (3.39) получим асимптотическое представление
y′′(t)
y′(t)
=
pi(t)
(1− σi1)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.42)
Тогда, во-первых, справедливо первое из условий (3.33), во-вторых, с учетом (1.7)
выполняется третье из неравенств (3.34), а в-третьих, принимая во внимание (3.41)
и (1.7), получаем предельное соотношение (3.35) и, следовательно, второе из асимп-
тотических представлений (3.36).
Достаточность. Применяя к уравнению (1.1) преобразование
Φi1(y′(t)) = αiϕ
0
i0Ii(t)[1 + v2(x)],
y′(t)
y(t)
=
Ii(t)
(1− σi1)Qi(t)
[1 + v1(x)],
где
x = β ln |Ii(t)|, β =
1, если I0
i = a,
−1, если I0
i = ω,
получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 = β
[
−
(
1− I2
i (t)
Qi(t)I
′
i(t)
)
[1 + v1]− 1
1− σi1
I2
i (t)
Qi(t)I
′
i(t)
[1 + v1]2+
+
Ii(t)[1 + v1]
I ′i(t)Y
[1]
i (t, v2)
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
),
(3.43)
v′2 = β
[
− [1 + v2] +
1
αiϕ0
i0I
′
i(t)ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)×
×
m∑
j=1
αjpj(t)[1 + rj(t)]ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)]
,
где
Y
[1]
i (t, v2) = Φ−1
i1
(
αiϕ
0
i0Ii(t)[1 + v2(x)]
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
938 В. М. ЕВТУХОВ, А. А. КОЗЬМА
Yi(t, v1, v2) =
(1− σi1)Qi(t)
Ii(t)[1 + v1(x)]
Y
[1]
i (t, v2(x)),
t — функция, обратная к x = β ln |Ii(t)|.
По аналогии с доказательством теоремы 3.1, раскладывая функции
ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)
Y
[1]
i (t, v2)
и
ϕj0 (Yi(t, v1, v2))ϕj1
(
Y
[1]
i (t, v2)
)
ϕi1
(
Y
[1]
i (t, v2)
) при каждом
фиксированном t по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа в
окрестности точки (0, 0) ∈ D с целью выделения линейных частей, приводим
систему (3.43) к системе вида (3.32), которая в силу условий теоремы и свойств
функций Yi, Y
[1]
i является квазилинейной системой с почти постоянными коэффи-
циентами. Характеристическое уравнение для предельной матрицы коэффициентов
линейной части этой системы имеет вид
λ2 + β
2− σi1
1− σi1
λ+
1
1− σi1
= 0.
Поскольку оно не имеет корней с нулевой действительной частью, а также выпол-
няются другие условия теоремы 2.1 работы [5], система (3.43) имеет решение
(vk)2
k=1 : [x1,+∞) → R2, где x1 ≥ x0, которое стремится к нулю при x → +∞.
Этому решению соответствует решение y(t) уравнения (1.1), которое допускает при
t ↑ ω асимптотические представления (3.36). Используя эти представления и усло-
вия (3.34), (3.35), нетрудно показать, что y(t) имеет все свойства Пω(Y0, Y1,±∞)-
решения.
4. Выводы. В настоящей работе для каждого i ∈M\M4 получены условия, при
выполнении которых на любом Пω(Y0, Y1,±∞)-решении уравнения (1.1) правая
его часть асимптотически эквивалентна i-му слагаемому. При этих условиях в
случае i ∈ M2+k, k ∈ {0, 1}, M2+k 6= ∅, приведены необходимые и достаточ-
ные признаки существования Пω(Y0, Y1,±∞)-решений уравнения (1.1), а также
асимптотические представления таких решений при t ↑ ω.
1. Козьма А. А. Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка // Нелiнiйнi коливання. – 2006, – 9, № 4. – С. 490 –
501.
2. Козьма О. О. Асимптотичне поводження розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 374. – С. 55 – 65.
3. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существен-
но нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 3. – С. 338 – 355.
4. Касьянова В. А. Асимптотичнi зображення зникаючих розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцi-
альних рiвнянь другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 228. –
С. 5 – 19.
5. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем
квазилинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 4. –
С. 433 – 444.
Получено 28.01.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166244 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:03Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евтухов, В.М. Козьма, А.А. 2020-02-18T15:30:31Z 2020-02-18T15:30:31Z 2011 Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, А.А. Козьма // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 7. — С. 924–938. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166244 517.925 Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування та асимптотичнi зображення деяких класiв розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв iз нелiнiйностями бiльш загального вигляду, нiж нелiнiйностi типу Емдена – Фаулера. We establish existence theorems and asymptotic representations for some classes of solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden - Fowler type. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Евтухов, В.М. Козьма, А.А. Статті |
| title | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_alt | Existence criteria and asymptotics for some classes of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations |
| title_full | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short | Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort | признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166244 |
| work_keys_str_mv | AT evtuhovvm priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešeniisuŝestvennonelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdka AT kozʹmaaa priznakisuŝestvovaniâiasimptotikanekotoryhklassovrešeniisuŝestvennonelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdka AT evtuhovvm existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations AT kozʹmaaa existencecriteriaandasymptoticsforsomeclassesofsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequations |