Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних
Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено. We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², is positive definite....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166249 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859761329182605312 |
|---|---|
| author | Лопотко, О.В. |
| author_facet | Лопотко, О.В. |
| citation_txt | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено.
We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², is positive definite.
|
| first_indexed | 2025-12-02T03:35:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
© !. ". #!$!%&! , 2011
844 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
'(& 517.9
!. ". #$%$&'$ ()*+. ,-./0123. 43 -0 '56*738, #9:-: )
()*+,-.#/)+ 0!1-.2+) )3 4.-)56 7!7.*)!
"50).8+)56 9:);<(= 7 "!6 0>())56
We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k1(x + y) +
+ k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , is positive definite.
$/,4;13/ 8301<6*,93/1 =61>.0*:,1381 ;103?2 @435+8A >:42 =161B133?2, >,C 5/0/6?2 C>6/ [ k1(x +
+ y) + k2 (x ! y)] , x, y ! R2 , =/,/D801,93/ /=61>1,13/.
' 6/E/0- [3] F. G. &61A3 H*.0/.4:*: B10/> .=6CB/:*382 @435+-/3*,-: >,C
/>16D*33C -301<6*,9382 H/E6*D139 >/>*03/ :8H3*;1382 C>16 K(x, y) , x, y !R1.
I. F. J161H*3.958A : [1] H*=6/=/34:*: B10/> />16D*33C -301<6*,9382 H/E6*D139
>,C >/>*03/ :8H3*;1382 C>16 K(x, y) , x, y ! R1, H* >/=/B/</K :,*.382 @435+-A
>8@1613+-*,9382 /=16*0/6-:. L1A B10/> =/,C<*M 4 ::1>133- H* C>6/B K(x, y) ,
x, y !R1, <-,9E160/:/</ =6/.0/64 - =/E4>/:- 6/H:83133C H* 4H*<*,93138B8
:,* . 38B8 :150/6*B8 .*B/.=6CD1382 /=16*0/6-:, C5- 6/H<,C>*K09.C 4 +9/B4
=6/.0/6-; :->=/:->3* 6-:3-.09 $*6. 1:*, C >*M =/06-E31 H/E6*D133C. ' B/3/<6*@-7
[2] H* +-MK B10/>85/K >/:1>13/ 01/61B4 =6/ -301<6*,931 H/E6*D133C =*6382
>/>*03/ :8H3*;1382 (=.>.:.) @435+-A .5-3;133/7 5-,95/.0- HB-3382. ' 6/E/0- [4]
=/E4>/:*3/ -30 1<6*,931 H/E6*D133C >,C =*68 =*6382 >/>*03/ :8H3*;1382 (=.=.>.:.)
@435+-A />3-M7 HB-33/7. ' >*3-A 6/E/0- >/:1>13/ 01/61B4 >,C =.=.>.:. @435+-A >:/2
HB-3382. LC 01/61B* M 4H*<*,93133CB =685,*>-: 3, 4 [2, .. 712].
!?@ABC@@D. Пару парних дійсних неперервних функцій k1(x) , k2 (x) , x ! R2 ,
будемо називати додатно визначеними (п.п.д.в.), якщо для довільної фінітної
функції u(x) ! C0
" (R2) виконується нерівність
k1(x + y) + k2(x ! y)[ ]
R2
"
R2
" u(y)u(x) dxdy # 0 , (1)
тобто неперервне ядро K(x, y) = k1(x + y) + k2(x ! y)[ ] повинно бути додатно
визначеним.
*C$ECFA. Кожна п.п.д.в. функцій k1(x) , k2 (x) , x ! R2 , допускає зобра-
ження
k1(x1; x2) + k2(0; 0) =
1+ cos ! 1x1
2
R2
"
1+ cos ! 2 x2
2
d#1(! 1; ! 2) +
+
1+ cos !1x1
2
R2
"
1# cos !2 x2
2!2
d$2(!1; !2) +
N)%OGPQ#R)O S!JPQTO) )U $QP)VW (!(Q%)! "V S)QXO)VW Y')&LNZ É 845
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+
1! cos " 1x1
2" 1R2
#
1+ cos " 2 x2
2
d$3(" 1; " 2) +
+
1 ! cos " 1x1
2" 1R2
#
1 ! cos " 2 x2
2" 2
d$4 (" 1; " 2 ) , (2)
k1(0; 0) + k2(x1; x2) =
1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2 ) Ð
Ð
1+ cos ! 1x1
2
R2
"
1# cos ! 2 x2
2! 2
d$2(! 1; ! 2) Ð
Ð
1 ! cos " 1x1
2" 1R2
#
1+ cos " 2 x2
2
d$3(" 1; " 2 ) +
+
1! cos "1x1
2"1R2
#
1! cos "2 x2
2"2
d$4("1; "2) , (3)
де d!1("1; "2) , d! 2(" 1; " 2) , d! 3(" 1; " 2) , d! 4(" 1; " 2) Ñ борелівські невід’ємні
міри, причому
d! 4(" 1; " 2) = " 1" 2d! 1(" 1; " 2) , (4)
! 1d" 2 (! 1; ! 2 ) = ! 2d" 3(! 1; ! 2 ) . (5)
Якщо k1(x1; x2) ! Ce
N x12+x2
2( ) і k2(x1; x2) ! Ce
N x12+x2
2( ) , C, N > 0 , для всіх
x ! R2 , то міри у (2) і (3) визначаються однозначно. У випадку, коли k1(x) = 0 ,
міра d! 1(" 1; " 2) зосереджена на 0; ![ ) " 0; ![ ) і визначається однозначно, до
того ж
d! 2 (" 1; " 2 ) = " 2d! 1(" 1; " 2 ) , (6)
d! 3(" 1; " 2 ) = " 1d! 1(" 1; " 2 ) , (7)
d!4("1; "2) = "1"2d!1("1; "2) . (8)
У випадку, коли k2 (x) = 0 , міра d! 1(" 1; " 2) зосереджена на !"; 0( ] # !"; 0( ]
і визначається однозначно, до того ж
d! 2(" 1; " 2) = #" 2d! 1(" 1; " 2) , (9)
d!3("1; "2) = #"1d!1("1; "2) , (10)
d! 4(" 1; " 2) = " 1" 2d! 1(" 1; " 2) . (11)
Навпаки, функції виду (2), (3) з умовами (4), (5) є п.п.д.в. функціями.
!"#$ %$&&'. S* @435+-CB8 k1(x) , k2 (x) ::1>1B/ 5:*H-.5*,C638A >/E40/5 4
=6/.0/6-
L2(R2, dx)
846 !. ". #!$!%&!
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
u, ! Hk
= K(x, y)
R1
" u(y) ! (x) dxdy
R1
" , u, ! " C0
# (R2) . (12)
$-.,C =6/:1>133C @*50/68H*+-7 A =/=/:3133C :->3/.3/ (12) />16D8B/
<-,9E160/:8A =6/.0-6 Hk .
$/H3*;8B/ ;161H Aj , j = 1, 2 , B-3-B*,938A /=16*0/6 4 =6/.0/6-
H0 = L2(R2; dx) , C58A :->=/:->*M :86*H4 L1
( j ) = !
" 2
"xj
2 , j = 1, 2 . &/D38A -H
/ =16*0/6-: Aj , j = 1, 2 , >/=4.5*M =6/>/:D133C /.3*[133C H D = C0
! (R2) .
S:4D133C Aj , j = 1, 2 , 3* D E4>1 HE-<*08.C H :->/E6*D133CB u ! L( j)+u ,
u !C0
" (R2 ) , 4 =6/.0/6- Hk . S* /=16*0/68 Bj , j = 1, 2 (>8:. [2, .. 702, 703],
VIII ), B/D3* =68A3C08 /=16*0/68 u ! L( j )+u , u !C0
" (R2 ) , C5- >-K09 4 =6/.0/6-
H+
( j ) = L2 Rj ; p( j ) (xj )dxj( ) , >1 p(x) :8E86*MB/ 0*5, [/E
K(x, x)
R2! / p(x)dx < " . P/,9 /=16*0/6-: C j : H+ E4>409 :->-<6*:*08
/=16*0/ 68 :8<,C>4 u ! L( j )+u , >1 u ! D(C1) = H+
(1) " C0
# (R1) -
D(C2) = C0
! (R1) " H+
(1) . !.5-,958 5/B40*08:3-.09 K(x, y) - Aj 15:-:*,1303*
16B-0/:/.0- Cj : Hk , 0/ B/D3* /EB1D808.9 =161:-65/K 16B-0/:/.0- Cj :
Hk , 0/E0/ 6-:3/.0-
L( j)+u, ! = u, L( j)+! , u, ! "C0
# (R2) , j = 1, 2 . (13)
(,C <,*>5/</ >/>*03/ :8H3*;13/</ C>6* K(x, y) 6-:3-.09 (13) :85/34M09.C.
$161:-68B/ (13) >,C >/:-,93/</ >/>*03/ :8H3*;13/</ C>6* K(x, y) . LK
=161:-654 >/.0*039/ H>-A.3808 3* @435+-C2 :8>4 u(x1) u(x2) , /.5-,958 :/38
[-,93- 4 L2(R2; dx) .
)12*A j = 1 . ":1>1B/ >/=/B-D3- =*63- @435+-7
f1(t) = K1(t, x2 + y2)
R1
! u(y2)u(x2) dx2dy2
R1
!
-
f2(t) = K2(t, x2 ! y2)
R1
" u(y2) u(x2) dx2dy2
R1
" ,
0/>-
L(1)+u, ! = f1(x1 + y1)
! 2
! y1
2
R1
" u(y1)v(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2 (x1 ! y1)
"2
"y1
2
R1
# u(y1)$(x1)dx1dy1
R1
# =
N)%OGPQ#R)O S!JPQTO) )U $QP)VW (!(Q%)! "V S)QXO)VW Y')&LNZ É 847
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f1
R1
! (y1)
" 2
"y12
u(y1 # x1)$(x1)dx1
R1
!
%
&
'
'
(
)
*
*
dy1 +
+ f2
R1
! (y1)
" 2
"y12
u(y1 + x1)#(x1)dx1
R1
!
$
%
&
&
'
(
)
)
dy1 =
= f1(x1 + y1)u(y1)
! 2
! x1
2
R1
" #(x1)dx1dy1
R1
" +
+ f2(x1 ! y1) u(y1)
" 2
"x1
2
R1
# $(x1)dx1dy1
R1
# = u, L(1)+$ .
%*58B ;83/B, K(x, y) 5/B404M H !
" 2
"xj
2 , j = 1, 2 .
%1=16 >,C C>6* K(x, y) B/D3* H*.0/.4:*08 01/61B4 4.3 [2, .. 708, 709] -
/>16D*08 H/E6*D133C
k1(x + y) + k2(x ! y)[ ] = ! " (x, y)d#(" )
R2
$ =
= X!
! ," #A
$ (x,%)
R2
& X" (y,%) d' ! " (%) , x, y ! R2 , (14)
>1
!
" 2
"x j2
# $ = $ j# $ , !
" 2
"yj
2 # $ = $ j# $ ,
d! " # ($) = %" 1+" 2+#1+#2& $
%x1
" 1%x2
" 2 %y1
#1%y2
#2
'
(
)
*
+
, (0; 0)d- ($) ,
>/ 0/</ D
! 1
" 2
"x2"y2
# ! (0; 0) = ! 2
" 2
"x1"y1
# ! (0; 0) , (15)
! 4
! x1! x2! y1! y2
" # (0; 0) = #1#2" # (0; 0) , (16)
- X! (x, " ) = X! 1
(1)(x1, " 1)X! 2
(2)(x2, " 2) , X0
( j ) (xj , ! ) = cos ! j x j , X1
( j ) (xj , ! ) =
=
sin ! j x j
! j
, j = 1, 2 , A Ñ =*6*,1,1=-=1> H +-,/;8.,/:8B8 :16\83*B8 ! 1 = 0,1;
! 2 = 0,1 .
U5[/ 01=16 :85/3*MB/ 4 (14) H*B-34 x1 = ! x1 , y1 = ! y1 - >/>*B/ /068B*34
848 !. ". #!$!%&!
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
6-:3-.09 >/ (14), * =/0-B : />16D*3-A 6-:3/.0- :85/3*MB/ H*B-34 x2 = ! x2 ,
y2 = ! y2 - >/>*B/ />16D*34 6-:3-.09 >/ =/=161>39/7 6-:3/.0-, /068B*MB/
H/E6*D133C
k1(x1 + y1; x2 + y2) + k2(x1 ! y1; x2 ! y2)[ ] =
= cos ! 1x1 cos ! 2 x2
R2
" cos ! 1y1 cos ! 2 y2d# 0000(! 1; ! 2) +
+ cos !1x1
sin !2 y2
!2
cos !1y1
sin !2 y2
!2
d"0101(!1; !2 )
R2
# +
+
sin !1x1
!1
cos !2 x2
sin !1y1
!1
cos !2 y2d"1010(!1; !2)
R2
# +
+
sin ! 1x1
! 1
sin ! 2 x2
! 2
sin ! 1y1
! 1
sin ! 2 y2
! 2
d" 1111(! 1; ! 2)
R2
# , (17)
=68;/B4, H*:>C58 (15), (16), d! 1111(" 1; " 2) = ! 1! 2d" 0000(! 1; ! 2) - 1 0101 1(d! " ! ;
2 )! = 2 1010 1 2( ; )d! " ! ! , 0/E0/ :85/ 3*3/ 4B/:8 (4), (5). U5[/ 01=16 4 (17)
=/5,*>1B/ 1 1y x= , 2 2y x= , 0/ >-.0*31B/ H/E6*D133C (2), * C5[/ =/5,*>1B/
1 1y x= ! , 2 2y x= ! , 0/ />16D8B/ (3).
!>3/H3*;3-.09 B-6 4 (2), (3), C5[/ 1( )k x , 2( )k x H*>/:/,93CK09 /+-358,
: 8=,8:*M H 0/</, [/ H*B85*33C : kH /=16*0/6-: jC , 1, 2j = , .*B/.=6CD131 -
5/ B404K;1.
!.0*33M 0:16>D133C 01/61B8 >/:/>809.C 0*58B ;83/B.
NH H/E6*D133C (2) H3*2/>8B/
1 1 1 2 2( ; ) (0; 0)k x y x y k+ + + =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! + + ! +
" ! !# +
+
1+ cos !1(x1 + y1)
2
R2
"
1# cos !2 (x2 + y2)
2!2
d$2(!1; !2) +
+
1! cos " 1(x1 + y1)
2" 1R2
#
1+ cos " 2 (x2 + y2)
2
d$3(" 1; " 2) +
+
1! cos "1(x1 + y1)
2"1R2
#
1! cos "2 (x2 + y2)
2"2
d$4("1; "2) . (18)
NH H/E6*D133C (3) /068B4MB/
N)%OGPQ#R)O S!JPQTO) )U $QP)VW (!(Q%)! "V S)QXO)VW Y')&LNZ É 849
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
k1(0; 0) + k2(x1 ! y1; x2 ! y2) =
=
2
1 1 1 2 2 2
1 1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " + ! "
# ! !$ Ð
Ð
2
1 1 1 2 2 2
2 1 2
2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
+ ! " " ! "
# ! !
!$ Ð
Ð
2
1 1 1 2 2 2
3 1 2
1
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! + " !
# " "
"$ +
+
2
1 1 1 2 2 2
4 1 2
1 2
1 cos ( ) 1 cos ( )
( ; )
2 2
R
x y x y
d
! " ! ! " !
# " "
" "$ . (19)
(/>*:\8 (18) - (19), H 46*24:*33CB (4), (5) />16D8B/ 6-:3-.09
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2( ; ) ( ; ) (0; 0) (0; 0)k x y x y k x y x y k k+ + + ! ! + + =
=
2
1 1 2( ; )
R
d! " "# +
+ cos ! 1x1 cos ! 2 x2 cos ! 1y1 cos ! 2 y"#
R2
$ +
+ sin !1x1 sin !2 x2 sin !1y1 sin !2 y "#d$1(!1; !2) +
+
sin ! 1x1 sin ! 1y1 cos ! 2 x2 cos ! 2 y2
! 2
"
#$
R2
% +
+
cos !1x1 cos !1y1 sin !2 x2 sin !2 y2
!2
"
#$
d%2(!1; !2).
%/>-, /.5-,958 1 2(0; 0) (0; 0)k k+ = 2 1 1 2( ; )
R
d! " "# (+1 :8=,8:*M H (18) *E/ (19)), H
46*24:*33CB (4), (5) /068B4MB/
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( ; ) ( ; )k x y x y k x y x y+ + + ! ! =
=
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2cos cos cos cos ( ; )
R
x x y y d! ! ! ! " ! !# +
+
2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2
2 2
sin sin
cos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !# +
+
2
11 1 1
2 2 2 2 3 1 2
1 1
sin sin
cos cos ( ; )
R
x y
x y d
! !
! ! " ! !
! !
# +
850 !. ". #!$!%&!
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+
2
2 1 21 1 2 1 2
4 1 2
1 2 1 2
sin sin sin sin ( ; )
R
x x y y
d
! ! ! !
" ! !
! ! ! !
# . (20)
S* >/=/B/</K 6-:3/.0- (20) =161:-6CMB/ 4B/:4 (1).
%1/61B4 >/:1>13/.
' :8=*>54, 5/,8 4 316-:3/.0- (1) 2 ( ) 0k x = , /=16*0/68 0jA ! , 1, 2j = .
(-A.3/, 3 *=685,*>, >,C 1j = B*MB/
A1u, u = ! f1(x1 + y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
1 1 1 1 1 1( )x y t y t x+ = ! = "
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)dt1
R1
#
$
%
&&
'
(
))
u (x1)dx1
R1
# =
= ! f1(t1) ""ut1 (t1 ! x1)u(x1)dx1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
R1
# dt1 =
=
!!ux1
(t1 " x1)u(x1) dx1 =
R1
#
= " u(x1) !ux1
(t1 " x1)$% &' " (
(
+ !ux1
(t1 " x1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1
(t1 " x1) dx1 = d) * ) = " !ux1
(t1 " x1)
u(x1) = u * du = !u (x1) dx1
+
,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
= ! f1(t1) "ux1
(t1 ! x1) "u (x1) dx1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
dt1
R1
# =
= ! f1(x1 + z1) "u (z1) "u (x1) dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
1 1 1 1 1 1( )t x z t x z! = " = +
%/B4 -301<64:*33C 4 H/E6*D133- (17) E4>1 H>-A.3K:*08.C =/ 2 1 1R R R! != " . O,1-
B130*631 C>6/ E4>1 B*08 :8<,C>
( ; )x y!" = 1 1 2 2 1 1 2 2ch ch ch chx x y y! " ! " ! " ! " +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2ch sh ch shx x y y! " ! " ! " ! " +
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh ch sh chx x y y!" !" !" !" +
N)%OGPQ#R)O S!JPQTO) )U $QP)VW (!(Q%)! "V S)QXO)VW Y')&LNZ É 851
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
+ 1 1 2 2 1 1 2 2sh sh sh shx x y y! " ! " ! " ! " , 2R! " ,
- B-68 4 (17) E4>409 =/:ÕCH*3- .=-::->3/\133CB8 (9) Ð (11):
d!0000 ("1; "2 ) = #" (0; 0)d$("1; "2 ) = d$1("1; "2 ) ,
d! 0101(" 1; " 2) =
#2
#x2#y2
$
"
(0; 0)d%(" 1; " 2) = &" 2d%1(" 1; " 2) = d%2(" 1; " 2) ,
d! 1010 (" 1; " 2 ) =
#2
#x1#y1
$
"
(0; 0)d%(" 1; " 2 ) = &" 1d%1(" 1; " 2 ) = d%3(" 1; " 2 ) ,
d! 1111(" 1; " 2) =
! 4
! x1! y1! x2! y2
"
#
(0; 0)d$(#1; #2) =
= ! 1! 2d" 1(! 1; ! 2) = d! 4(" 1; " 2) .
U5[/ 01=16 4 H/E6*D133- (17) =/5,*>1B/ x1 = y1 , x2 = y2 , 0/ />16D8B/
k1(x1; x2) = ch !"1x1ch !"2 x2
R2
# d$1("1; "2) - k1(0; 0) = d!1("1; "2 )
R2
# ,
0/E0/ H/E6*D133C (2) - (3).
' :8=*>54, 5/,8 4 316-:3/.0- (1) k1(x) = 0 , /=16*0/68 Aj ! 0 , j = 1, 2 .
(-A.3/, 3*=685,*>, >,C j = 1 B*MB/
A1u,u = ! f1(x1 ! y1) ""u (y1)u(x1)dx1dy1
R1
#
R1
# =
(x1 ! y1 = t1 " y1 = x1 ! t1)
= ! f2(t1) ""ut1 (x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2(t1) ""ux1
(x1 ! t1)dt1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
R1
# u(x1)dx1 =
= ! f2(t1)
R1
" ##ut1 (x1 ! t1)u(x1)dx1
R1
"
$
%
&
&
'
(
)
)
dt1 =
=
!!ux1
(x1 " t1)u(x1)dx1 =
R1
#
= u(x1) !ux1
(x1 " t1)$% &' " (
(
" !ux1
(x1 " t1) !u (x1)dx1
R1
#
!!ux1
(x1 " t1)dx1 = d) * ) = " !ux1
(x1 " t1)
u(x1) = u * du = !u (x1)
+
,
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
852 !. ". #!$!%&!
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
= f2(t1) !ux1 (x1 " t1) !u (x1) dx1
R1
#
$
%
&
&
'
(
)
)
dt1
R1
# =
= f2 (x1 ! z1) "u (z1) "u (x1)dx1dz1 # 0
R1
$
R1
$ .
(x1 ! y1 = z1 " t1 = x1 ! z1)
%/B4 -301<64:*33C 4 H/E6*D133- (17) E4>1 H>-A.3K:*08.C =/ R+
2 = R+
1 ! R+
1 .
O,1B130*631 C>6/ E4>1 B*08 :8<,C>
!" (x; y) = cos "1x1 cos "2 x2 cos "1y1 cos "2 y2 +
+ cos ! 1x1 sin ! 2 x2 cos ! 1y1 sin ! 2 y2 +
+ sin ! 1x1 cos ! 2 x2 sin ! 1y1 cos ! 2 y2 +
+ sin ! 1x1 sin ! 2 x2 sin ! 1y1 sin ! 2 y2 , ! " R+
2 ,
- B-68 4 (17) E4>409 =/:ÕCH*3- .=-::->3/\133CB8 (6) Ð (8):
d! 0000(" 1; " 2) = #
"
(0; 0)d$(" 1; " 2) = d$1(" 1; " 2) ,
d!0101("1; "2 ) =
#2
#x2#y2
$" (0; 0)d%("1; "2 ) = "2d%1("1; "2 ) = d%2 ("1; "2 ) ,
d!1010("1; "2) =
#2
#x1#y1
$" (0; 0)d%("1; "2) = "1d%1("1; "2) = d%3("1; "2) ,
d! 1111(" 1; " 2 ) =
! 4
! x1! y1! x2! y2
"
#
(0; 0)d$(#1; #2) =
= !1!2d"1(!1; !2) = d! 4(" 1; " 2) .
U5[/ 01=16 4 H/E6*D133- (17) =/5,*>1B/ x1 = y1 , x2 = y2 , 0/ />16D8B/
k2(x1; x2) = cos ! 1x1 cos ! 2 x2
R+
2
" d#1(! 1; ! 2) - k2(0; 0) = d! 1(" 1; " 2)
R+
2
# ,
0/E0/ H/E6*D133C (2) - (3).
()*#)+$&&' . 1. )12*A k1(x) = k2(x) =
1
2
k(x1; x2) , 0/>- H (2) - (3) :8=,8:*M
1+ cos ! 1x1
2
R2
"
1# cos ! 2 x2
2! 2
d$2(! 1; ! 2) +
+
1! cos "1x1
2"1R2
#
1+ cos "2 x2
2
d$3("1; "2) = 0 .
%/B4
N)%OGPQ#R)O S!JPQTO) )U $QP)VW (!(Q%)! "V S)QXO)VW Y')&LNZ É 853
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 6
1
2
k(x1; x2) +
1
2
k(0; 0) =
1+ cos !1x1
2
R2
"
1+ cos !2 x2
2
d#1(!1; !2) +
+
1! cos " 1x1
2" 1R2
#
1! cos " 2 x2
2" 2
d$4(" 1; " 2) .
S 46*24:*33CB (4) =/=161>3M H/E6*D133C 3*E161 :8<,C>4
1
2
k(x1; x2) +
1
2
k(0; 0) =
2 + 2 cos ! 1x1 cos ! 2 x2
4
R2
" d#1(! 1; ! 2) ,
*E/
k2 (x1; x2 ) = cos ! 1x1 cos ! 2 x2
R2
" d#1(! 1; ! 2 ) ,
0/E0/ />16D8B/ H/E6*D133C (4.22) -H [2, .. 712].
2. )12*A k1(x) =
1
2
k(x) , k2(x) = !
1
2
k(x) , k(0; x2) = k(x1; 0) = 0 . %/>- 4 (2) -
(3) d! 1(" 1; " 2) = 0 , /.5-,958 k(0; 0) = 0 . F-6* d! 2(" 1; " 2) # 0 , =/H*C5
k(x1; 0) = 0 , - B-6* d! 3(" 1; " 2) # 0 , E/ k(0; x2) = 0 . %/>- />16D8B/ :->/B1
H/E6*D133C H [2, .. 712]
k(x1; x2) =
1! cos " 1x1
" 1R2
#
1! cos " 2 x2
" 2
d$4(" 1; " 2) .
1. Березанский Ю. М. !E/E[1381 01/61B? J/2316* 3* 6*H,/ D138C =/ ./E.0:133?B @435+8CB
>8@@16138*,93?2 /=16*0/6/: // (/5,. Q) ]]]P. Ð 1956. Ð 108, ^ 3. Ð ]. 893 Ð 896.
2. Березанский Ю. М. P*H,/D1381 =/ ./E.0:133?B @435+8CB .*B/./=6CD133?2 /=16*0/6/:. Ð &81::
)*45. >4B5*, 1965. Ð 798 ..
3. Крейн М. Г. !E />3 /B /E[1B B10/>1 6*H,/D138C =/,/D801,93/ /=61>1,1 33?2 C>16 3*
_,1B130*63?1 =6/8H:1>138C // (/5,. Q) ]]]P. Ð 1946. Ð 53, ^ 1. Ð ]. 3 Ð 6.
4. Лопотко О. В. N301<6*,931 H/E6*D133C =*6382 >/>*03/ :8H3*;1382 @435+-A />3-M7 HB-33/7 // '56.
B*0. D463. Ð 2010. Ð 62, ^ 2. Ð ]. 281 Ð 284.
!>16D*3/ 27.04.09,
=-.,C >//=6*+K:*33C Ñ 11.04.11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166249 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T03:35:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лопотко, О.В. 2020-02-18T15:47:44Z 2020-02-18T15:47:44Z 2011 Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних / О.В. Лопотко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 6. — С. 844–853. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166249 517.9 Получено интегральное представление четных функций двух переменных, для которых ядро [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², положительно определено. We obtain integral representation of even functions of two variables, for which the kernel [k₁(x+y)+k₂(x−y)], x,y∈R², is positive definite. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних Integral representation of even positive-definite functions of two variables Article published earlier |
| spellingShingle | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних Лопотко, О.В. Короткі повідомлення |
| title | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_alt | Integral representation of even positive-definite functions of two variables |
| title_full | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_fullStr | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_full_unstemmed | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_short | Інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| title_sort | інтегральне зображення парних додатно визначених функцій двох змінних |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166249 |
| work_keys_str_mv | AT lopotkoov íntegralʹnezobražennâparnihdodatnoviznačenihfunkcíidvohzmínnih AT lopotkoov integralrepresentationofevenpositivedefinitefunctionsoftwovariables |